Ecuațiile trigonometrice nu sunt subiectul cel mai ușor. În mod dureros sunt diverse.) De exemplu, acestea:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

etc...

Dar acești monștri trigonometrici (și toți ceilalți) au două caracteristici comune și obligatorii. În primul rând - nu o să credeți - există funcții trigonometrice în ecuații.) În al doilea rând: toate expresiile cu x sunt în cadrul acestor aceleaşi funcţii.Și numai acolo! Dacă x apare undeva in afara, De exemplu, sin2x + 3x = 3, aceasta va fi o ecuație de tip mixt. Astfel de ecuații necesită o abordare individuală. Aici nu le vom lua în considerare.

Nici în această lecție nu vom rezolva ecuații malefice.) Aici ne vom ocupa de cele mai simple ecuații trigonometrice. De ce? Da, pentru că decizia orice ecuațiile trigonometrice sunt formate din două etape. În prima etapă, ecuația malefica este redusă la una simplă prin diverse transformări. Pe al doilea - această ecuație cea mai simplă este rezolvată. Nici o alta cale.

Deci, dacă aveți probleme în a doua etapă, prima etapă nu are prea mult sens.)

Cum arată ecuațiile trigonometrice elementare?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Aici A reprezintă orice număr. Orice.

Apropo, în interiorul funcției poate să nu existe un x pur, ci un fel de expresie, cum ar fi:

cos(3x+π /3) = 1/2

etc. Acest lucru complică viața, dar nu afectează metoda de rezolvare a ecuației trigonometrice.

Cum se rezolvă ecuații trigonometrice?

Ecuațiile trigonometrice pot fi rezolvate în două moduri. Prima modalitate: folosind logica și un cerc trigonometric. Vom explora acest drum aici. A doua modalitate - folosirea memoriei și a formulelor - va fi luată în considerare în lecția următoare.

Prima modalitate este clară, de încredere și greu de uitat.) Este bună pentru a rezolva ecuații trigonometrice, inegalități și tot felul de exemple nestandardizate complicate. Logica este mai puternică decât memoria!

Rezolvăm ecuații folosind un cerc trigonometric.

Includem logica elementară și capacitatea de a folosi un cerc trigonometric. Nu poti!? Totuși... Îți va fi greu în trigonometrie...) Dar nu contează. Aruncă o privire la lecțiile „Cercul trigonometric ...... Ce este?” și „Numărarea unghiurilor pe un cerc trigonometric”. Totul este simplu acolo. Spre deosebire de manuale...)

Ah, stii!? Și chiar stăpâniți „Lucrare practică cu cerc trigonometric”!? Acceptă felicitări. Acest subiect vă va fi apropiat și de înțeles.) Ceea ce este deosebit de plăcut este că cercul trigonometric nu îi pasă ce ecuație rezolvați. Sinus, cosinus, tangent, cotangent - totul este la fel pentru el. Principiul soluției este același.

Deci luăm orice ecuație trigonometrică elementară. Cel putin asta:

cosx = 0,5

Trebuie să-l găsesc pe X. Vorbind în limbaj uman, ai nevoie găsiți unghiul (x) al cărui cosinus este 0,5.

Cum am folosit cercul înainte? Am desenat un colț pe el. În grade sau radiani. Și imediat văzut funcţiile trigonometrice ale acestui unghi. Acum să facem invers. Desenați un cosinus egal cu 0,5 pe cerc și imediat vom vedea injecţie. Rămâne doar să notăm răspunsul.) Da, da!

Desenăm un cerc și marchem cosinusul egal cu 0,5. Pe axa cosinusului, desigur. Ca aceasta:

Acum să desenăm unghiul pe care ni-l dă acest cosinus. Treceți mouse-ul peste imagine (sau atingeți imaginea de pe o tabletă) și vedea același colț X.

Care unghi are un cosinus de 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Unii oameni vor mormăi sceptici, da... Ei spun, a meritat să îngrădești cercul, când oricum totul este clar... Poți, desigur, mormăi...) Dar adevărul este că aceasta este o eroare. Răspuns. Sau mai degrabă inadecvat. Cunoscătorii cercului înțeleg că există încă o grămadă de unghiuri care dau și un cosinus egal cu 0,5.

Dacă întoarceți partea mobilă OA pentru o tură completă, punctul A va reveni la poziția inițială. Cu același cosinus egal cu 0,5. Acestea. unghiul se va schimba 360° sau 2π radiani și cosinus nu este. Noul unghi 60° + 360° = 420° va fi, de asemenea, o soluție pentru ecuația noastră, deoarece

Există un număr infinit de astfel de rotații complete... Și toate aceste unghiuri noi vor fi soluții la ecuația noastră trigonometrică. Și toate trebuie să fie scrise cumva. Toate.În caz contrar, decizia nu este luată în considerare, da...)

Matematica poate face acest lucru simplu și elegant. Într-un răspuns scurt, scrieți set infinit solutii. Iată cum arată ecuația noastră:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

voi descifra. Mai scrie semnificativ mai frumos decât să desenezi prost niște litere misterioase, nu?)

π /3 este același unghi ca și noi a văzut pe cerc şi determinat conform tabelului cosinusurilor.

2π este o tură completă în radiani.

n - acesta este numărul de complete, adică întreg revoluții. Este clar că n poate fi 0, ±1, ±2, ±3.... și așa mai departe. După cum este indicat de intrarea scurtă:

n ∈ Z

n aparține ( ∈ ) la mulțimea de numere întregi ( Z ). Apropo, în loc de scrisoare n pot fi folosite litere k, m, t etc.

Această notație înseamnă că puteți lua orice număr întreg n . Cel puțin -3, cel puțin 0, cel puțin +55. Ce vrei. Dacă introduceți acel număr în răspunsul dvs., obțineți un unghi specific, care cu siguranță va fi soluția ecuației noastre dure.)

Sau, cu alte cuvinte, x \u003d π / 3 este singura rădăcină a unei mulțimi infinite. Pentru a obține toate celelalte rădăcini, este suficient să adăugați orice număr de ture complete la π / 3 ( n ) în radiani. Acestea. 2πn radian.

Tot? Nu. Întind în mod special plăcerea. Pentru a ne aminti mai bine.) Am primit doar o parte din răspunsurile ecuației noastre. Voi scrie această primă parte a soluției după cum urmează:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nu o singură rădăcină, este o serie întreagă de rădăcini, scrise sub formă scurtă.

Dar există și alte unghiuri care dau și un cosinus egal cu 0,5!

Să revenim la poza noastră, conform căreia am notat răspunsul. Iat-o:

Deplasați mouse-ul peste imagine și vedea un alt colt care dă, de asemenea, un cosinus de 0,5. Cu ce ​​crezi că este egală? Triunghiurile sunt la fel... Da! Este egal cu unghiul X , reprezentat doar în sens negativ. Acesta este colțul -X. Dar am calculat deja x. π /3 sau 60°. Prin urmare, putem scrie în siguranță:

x 2 \u003d - π / 3

Și, desigur, adăugăm toate unghiurile care se obțin prin ture complete:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Asta e tot acum.) Într-un cerc trigonometric, noi a văzut(cine înțelege, desigur)) toate unghiuri care dau un cosinus egal cu 0,5. Și au notat aceste unghiuri într-o formă matematică scurtă. Răspunsul sunt două serii infinite de rădăcini:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Acesta este răspunsul corect.

Speranţă, principiul general de rezolvare a ecuaţiilor trigonometrice cu ajutorul unui cerc este de înțeles. Marcam cosinusul (sinus, tangent, cotangent) din ecuația dată pe cerc, desenăm unghiurile corespunzătoare și notăm răspunsul. Desigur, trebuie să vă dați seama ce fel de colțuri suntem a văzut pe cerc. Uneori nu este atât de evident. Ei bine, așa cum am spus, aici este necesară logica.)

De exemplu, să analizăm o altă ecuație trigonometrică:

Vă rugăm să rețineți că numărul 0,5 nu este singurul număr posibil din ecuații!) Este mai convenabil pentru mine să-l scriu decât rădăcinile și fracțiile.

Lucrăm după principiul general. Desenăm un cerc, marcam (pe axa sinusoidală, desigur!) 0,5. Desenăm deodată toate unghiurile corespunzătoare acestui sinus. Obținem această imagine:

Să ne ocupăm mai întâi de unghi. X in primul trimestru. Amintim tabelul sinusurilor și determinăm valoarea acestui unghi. Treaba este simplă:

x \u003d π / 6

Ne amintim turele complete și, cu conștiința curată, notăm prima serie de răspunsuri:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Jumătate din treabă este făcută. Acum trebuie să definim al doilea colt... Asta e mai complicat decât în ​​cosinus, da... Dar logica ne va salva! Cum să determinați al doilea unghi prin x? Da Ușor! Triunghiurile din imagine sunt aceleași, iar colțul roșu X egal cu unghiul X . Numai că se numără din unghiul π în direcția negativă. De aceea este roșu.) Și pentru răspuns, avem nevoie de un unghi măsurat corect din semiaxa pozitivă OX, adică. dintr-un unghi de 0 grade.

Treceți cursorul peste imagine și vedeți totul. Am scos primul colt ca sa nu complic poza. Unghiul care ne interesează (desenat în verde) va fi egal cu:

π - x

x o știm π /6 . Deci al doilea unghi va fi:

π - π /6 = 5π /6

Din nou, ne amintim adăugarea de revoluții complete și notăm a doua serie de răspunsuri:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Asta e tot. Un răspuns complet constă din două serii de rădăcini:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ecuațiile cu tangentă și cotangentă pot fi rezolvate ușor folosind același principiu general pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Cu excepția cazului în care, desigur, știi cum să desenezi tangenta și cotangenta pe un cerc trigonometric.

În exemplele de mai sus, am folosit valoarea tabelară a sinusului și cosinusului: 0,5. Acestea. unul dintre acele semnificații pe care le cunoaște elevul trebuie sa. Acum să ne extindem capacitățile la toate celelalte valori. Decide, deci decide!)

Deci, să presupunem că trebuie să rezolvăm următoarea ecuație trigonometrică:

Nu există o astfel de valoare a cosinusului în tabelele scurte. Ignorăm cu răceală acest fapt teribil. Desenăm un cerc, marcam 2/3 pe axa cosinusului și desenăm unghiurile corespunzătoare. Primim această imagine.

Înțelegem, pentru început, cu un unghi în primul sfert. Pentru a ști cu ce este x, ar nota imediat răspunsul! Nu știm... Eșec!? Calm! Matematica nu-și lasă pe ale ei în necaz! Ea a inventat arc cosinus pentru acest caz. Nu stiu? Degeaba. Aflați. Este mult mai ușor decât credeți. Conform acestui link, nu există o singură vrajă complicată despre „funcțiile trigonometrice inverse”... Este de prisos în acest subiect.

Dacă știți, spuneți-vă: „X este un unghi al cărui cosinus este 2/3”. Și imediat, pur prin definiția arccosinusului, putem scrie:

Ne amintim despre revoluții suplimentare și notăm cu calm prima serie de rădăcini a ecuației noastre trigonometrice:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

A doua serie de rădăcini se scrie și ea aproape automat, pentru al doilea unghi. Totul este la fel, doar x (arccos 2/3) va fi cu minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Și toate lucrurile! Acesta este răspunsul corect. Chiar mai ușor decât cu valorile tabelare. Nu trebuie să vă amintiți nimic.) Apropo, cei mai atenți vor observa că această imagine cu soluția prin arc cosinus în esență, nu este diferit de imagine pentru ecuația cosx = 0,5.

Exact! Principiul general pe asta și generalul! Am desenat în mod special două imagini aproape identice. Cercul ne arată unghiul X prin cosinusul său. Este un cosinus tabular sau nu - cercul nu știe. Ce fel de unghi este acesta, π / 3, sau ce fel de arc cosinus depinde de noi să decidem.

Cu un sinus același cântec. De exemplu:

Din nou desenăm un cerc, marcam sinusul egal cu 1/3, desenăm colțurile. Rezultă această imagine:

Și din nou imaginea este aproape aceeași ca pentru ecuație sinx = 0,5.Începem din nou de la colț în primul sfert. Cu ce ​​este x egal dacă sinusul său este 1/3? Nici o problema!

Deci primul pachet de rădăcini este gata:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Să aruncăm o privire la al doilea unghi. În exemplul cu o valoare de tabel de 0,5, a fost egal cu:

π - x

Deci aici va fi exact la fel! Doar x este diferit, arcsin 1/3. Şi ce dacă!? Puteți scrie în siguranță al doilea pachet de rădăcini:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Acesta este un răspuns complet corect. Deși nu pare foarte familiar. Dar e de înțeles, sper.)

Așa se rezolvă ecuațiile trigonometrice folosind un cerc. Această cale este clară și de înțeles. El este cel care salvează în ecuațiile trigonometrice cu selecția rădăcinilor pe un interval dat, în inegalitățile trigonometrice - acestea sunt în general rezolvate aproape întotdeauna în cerc. Pe scurt, în orice sarcini care sunt puțin mai complicate decât cele standard.

Punerea în practică a cunoștințelor?

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice:

La început este mai simplu, direct pe această lecție.

Acum e mai greu.

Sugestie: aici trebuie să te gândești la cerc. Personal.)

Și acum nepretențioși în exterior ... Se mai numesc și cazuri speciale.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Sugestie: aici trebuie să vă dați seama într-un cerc unde există două serii de răspunsuri și unde există unul... Și cum să scrieți unul în loc de două serii de răspunsuri. Da, astfel încât să nu se piardă o singură rădăcină dintr-un număr infinit!)

Ei bine, destul de simplu):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Sugestie: aici trebuie să știți ce este arcsinus, arccosinus? Ce este arc tangentă, arc tangentă? Cele mai simple definiții. Dar nu trebuie să vă amintiți nicio valoare tabelară!)

Răspunsurile sunt, desigur, în dezordine):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nu merge totul? S-a întâmplat. Citiți din nou lecția. Numai gânditor(există un cuvânt atât de învechit...) Și urmați link-urile. Legăturile principale sunt despre cerc. Fără el în trigonometrie - cum să traversezi drumul legat la ochi. Uneori funcționează.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Conceptul de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

• Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, convertiți-o într-una sau mai multe ecuații trigonometrice de bază. Rezolvarea ecuației trigonometrice se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor patru ecuații trigonometrice de bază.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază.

• Există 4 tipuri de ecuații trigonometrice de bază:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază implică examinarea diferitelor poziții x pe cercul unității, precum și utilizarea unui tabel de conversie (sau calculator).
• Exemplul 1. sin x = 0,866. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator), obțineți răspunsul: x = π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: 2π/3. Rețineți: toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, adică valorile lor se repetă. De exemplu, periodicitatea lui sin x și cos x este 2πn, iar periodicitatea lui tg x și ctg x este πn. Deci raspunsul este scris asa:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Exemplul 2 cos x = -1/2. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator), obțineți răspunsul: x = 2π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Exemplul 3. tg (x - π/4) = 0.
• Răspuns: x \u003d π / 4 + πn.
• Exemplul 4. ctg 2x = 1.732.
• Răspuns: x \u003d π / 12 + πn.

Transformări utilizate în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

• Pentru transformarea ecuațiilor trigonometrice se folosesc transformări algebrice (factorizare, reducere a termenilor omogene etc.) și identități trigonometrice.
• Exemplul 5. Folosind identități trigonometrice, ecuația sin x + sin 2x + sin 3x = 0 este convertită în ecuația 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Astfel, următoarele ecuații trigonometrice de bază trebuie rezolvate: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Găsirea unghiurilor din valorile cunoscute ale funcțiilor.

  • Înainte de a învăța cum să rezolvi ecuațiile trigonometrice, trebuie să înveți cum să găsești unghiuri din valorile cunoscute ale funcțiilor. Acest lucru se poate face folosind un tabel de conversie sau un calculator.
  • Exemplu: cos x = 0,732. Calculatorul va da răspunsul x = 42,95 grade. Cercul unitar va da unghiuri suplimentare, al căror cosinus este, de asemenea, egal cu 0,732.

• Pune deoparte soluția pe cercul unității.

  • Puteți pune soluții pentru ecuația trigonometrică pe cercul unității. Soluțiile ecuației trigonometrice pe cercul unitar sunt vârfurile unui poligon regulat.
  • Exemplu: Soluțiile x = π/3 + πn/2 pe cercul unitar sunt vârfurile pătratului.
  • Exemplu: Soluțiile x = π/4 + πn/3 de pe cercul unitar sunt vârfurile unui hexagon regulat.

• Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

  • Dacă ecuația trigonometrică dată conține o singură funcție trigonometrică, rezolvați această ecuație ca o ecuație trigonometrică de bază. Dacă această ecuație include două sau mai multe funcții trigonometrice, atunci există 2 metode de rezolvare a unei astfel de ecuații (în funcție de posibilitatea transformării acesteia).
    • Metoda 1
  • Transformați această ecuație într-o ecuație de forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, unde f(x), g(x), h(x) sunt ecuațiile trigonometrice de bază.
  • Exemplul 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Decizie. Folosind formula unghiului dublu sin 2x = 2*sin x*cos x, înlocuiți sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Rezolvați acum două ecuații trigonometrice de bază: cos x = 0 și (sin x + 1) = 0.
  • Exemplul 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Rezolvați acum două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2cos x + 1) = 0.
  • Exemplul 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Rezolvați acum două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2sin x + 1) = 0.
    • Metoda 2
  • Convertiți ecuația trigonometrică dată într-o ecuație care conține o singură funcție trigonometrică. Apoi înlocuiți această funcție trigonometrică cu o necunoscută, de exemplu, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t etc.).
  • Exemplul 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Decizie. În această ecuație, înlocuiți (cos^2 x) cu (1 - sin^2 x) (în funcție de identitate). Ecuația transformată arată astfel:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Înlocuiți sin x cu t. Acum, ecuația arată astfel: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Aceasta este o ecuație pătratică cu două rădăcini: t1 = -1 și t2 = 9/5. A doua rădăcină t2 nu satisface domeniul funcției (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Exemplul 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Decizie. Înlocuiți tg x cu t. Rescrieți ecuația inițială după cum urmează: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Acum găsiți t și apoi găsiți x pentru t = tg x.

Lecție și prezentare pe tema: „Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Manuale si simulatoare in magazinul online „Integral” pentru nota 10 din 1C
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini interactive pentru construirea în spațiu
Mediul software „1C: constructor matematic 6.1”

Ce vom studia:
1. Ce sunt ecuațiile trigonometrice?

3. Două metode principale de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
4. Ecuații trigonometrice omogene.
5. Exemple.

Ce sunt ecuațiile trigonometrice?

Băieți, am studiat deja arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Acum să ne uităm la ecuațiile trigonometrice în general.

Ecuații trigonometrice - ecuații în care variabila este conținută sub semnul funcției trigonometrice.

Repetăm ​​forma rezolvării celor mai simple ecuații trigonometrice:

1) Dacă |а|≤ 1, atunci ecuația cos(x) = a are o soluție:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Dacă |а|≤ 1, atunci ecuația sin(x) = a are o soluție:

3) Dacă |a| > 1, atunci ecuația sin(x) = a și cos(x) = a nu au soluții 4) Ecuația tg(x)=a are o soluție: x=arctg(a)+ πk

5) Ecuația ctg(x)=a are o soluție: x=arcctg(a)+ πk

Pentru toate formulele, k este un număr întreg

Cele mai simple ecuații trigonometrice au forma: Т(kx+m)=a, T- orice funcție trigonometrică.

Exemplu.

Rezolvați ecuațiile: a) sin(3x)= √3/2

Decizie:

A) Să notăm 3x=t, apoi ne vom rescrie ecuația sub forma:

Soluția acestei ecuații va fi: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Din tabelul de valori obținem: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Să revenim la variabila noastră: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Atunci x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Răspuns: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, unde n este un număr întreg. (-1)^n - minus unu la puterea lui n.

Mai multe exemple de ecuații trigonometrice.

Rezolvați ecuațiile: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Decizie:

A) De data aceasta vom trece direct la calculul rădăcinilor ecuației:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Atunci x/5= πk => x=5πk

Răspuns: x=5πk, unde k este un număr întreg.

B) Scriem sub forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Știm că: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Răspuns: x=2π/9 + πk/3, unde k este un număr întreg.

Rezolvați ecuații: cos(4x)= √2/2. Și găsiți toate rădăcinile de pe segment.

Decizie:

Să rezolvăm ecuația noastră în formă generală: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Acum să vedem ce rădăcini cad pe segmentul nostru. Pentru k Pentru k=0, x= π/16, suntem în segmentul dat .
Cu k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, au lovit din nou.
Pentru k=2, x= π/16+ π=17π/16, dar aici nu am lovit, ceea ce înseamnă că nu vom lovi nici pentru k mare.

Răspuns: x= π/16, x= 9π/16

Două metode principale de soluție.

Am luat în considerare cele mai simple ecuații trigonometrice, dar există și altele mai complexe. Pentru rezolvarea acestora se utilizează metoda introducerii unei noi variabile și metoda factorizării. Să ne uităm la exemple.

Să rezolvăm ecuația:

Decizie:
Pentru a ne rezolva ecuația, folosim metoda introducerii unei noi variabile, notată: t=tg(x).

Ca rezultat al înlocuirii, obținem: t 2 + 2t -1 = 0

Aflați rădăcinile ecuației pătratice: t=-1 și t=1/3

Atunci tg(x)=-1 și tg(x)=1/3, am obținut cea mai simplă ecuație trigonometrică, să-i găsim rădăcinile.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Răspuns: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații

Rezolvați ecuații: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Decizie:

Să folosim identitatea: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Ecuația noastră devine: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Să introducem înlocuirea t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Soluția ecuației noastre pătratice sunt rădăcinile: t=2 și t=-1/2

Atunci cos(x)=2 și cos(x)=-1/2.

pentru că Cosinusul nu poate lua valori mai mari de unu, atunci cos(x)=2 nu are rădăcini.

Pentru cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Răspuns: x= ±2π/3 + 2πk

Ecuații trigonometrice omogene.

Definiție: O ecuație de forma a sin(x)+b cos(x) se numește ecuații trigonometrice omogene de gradul I.

Ecuații de formă

ecuații trigonometrice omogene de gradul doi.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică omogenă de gradul întâi, o împărțim la cos(x): Este imposibil să împărțiți la cosinus dacă este egal cu zero, să ne asigurăm că nu este așa:
Fie cos(x)=0, apoi asin(x)+0=0 => sin(x)=0, dar sinusul și cosinusul nu sunt egale cu zero în același timp, avem o contradicție, deci putem împărți în siguranță cu zero.

Rezolvați ecuația:
Exemplu: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Decizie:

Scoateți factorul comun: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Atunci trebuie să rezolvăm două ecuații:

cos(x)=0 și cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pentru x= π/2 + πk;

Luați în considerare ecuația cos(x)+sin(x)=0 Împărțiți ecuația noastră la cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Răspuns: x= π/2 + πk și x= -π/4+πk

Cum se rezolvă ecuații trigonometrice omogene de gradul doi?
Băieți, respectați întotdeauna aceste reguli!

1. Vedeți cu ce este egal coeficientul a, dacă a \u003d 0, atunci ecuația noastră va lua forma cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), un exemplu al cărei soluție este în precedenta diapozitiv

2. Dacă a≠0, atunci trebuie să împărțiți ambele părți ale ecuației la cosinusul pătrat, obținem:

Facem schimbarea variabilei t=tg(x) obținem ecuația:

Rezolvați Exemplul #:3

Rezolvați ecuația:
Decizie:

Împărțiți ambele părți ale ecuației la pătratul cosinus:

Facem o schimbare a variabilei t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Aflați rădăcinile ecuației pătratice: t=-3 și t=1

Atunci: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Răspuns: x=-arctg(3) + πk și x= π/4+ πk

Rezolvați Exemplul #:4

Rezolvați ecuația:

Decizie:
Să ne transformăm expresia:

Putem rezolva astfel de ecuații: x= - π/4 + 2πk și x=5π/4 + 2πk

Răspuns: x= - π/4 + 2πk și x=5π/4 + 2πk

Rezolvați Exemplul #:5

Rezolvați ecuația:

Decizie:
Să ne transformăm expresia:

Introducem înlocuirea tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Soluția ecuației noastre pătratice va fi rădăcinile: t=-2 și t=1/2

Atunci obținem: tg(2x)=-2 și tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Răspuns: x=-arctg(2)/2 + πk/2 și x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Sarcini pentru soluție independentă.

1) Rezolvați ecuația

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Rezolvați ecuațiile: sin(3x)= √3/2. Și găsiți toate rădăcinile de pe segmentul [π/2; π].

3) Rezolvați ecuația: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Rezolvați ecuația: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Rezolvați ecuația: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Rezolvați ecuația: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Când rezolvi multe probleme de matematică, în special cele care apar înainte de clasa a 10-a, este clar definită ordinea acțiunilor efectuate care vor duce la obiectiv. Astfel de probleme includ, de exemplu, ecuații liniare și pătratice, inegalități liniare și pătratice, ecuații fracționale și ecuații care se reduc la cele pătratice. Principiul soluționării cu succes a fiecăreia dintre sarcinile menționate este următorul: este necesar să se stabilească ce tip de sarcină este rezolvată, să se rețină succesiunea necesară de acțiuni care vor duce la rezultatul dorit, adică. răspundeți și urmați acești pași.

În mod evident, succesul sau eșecul în rezolvarea unei anumite probleme depinde în principal de cât de corect este determinat tipul de ecuație care se rezolvă, cât de corect este reprodusă succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, în acest caz, este necesar să aveți abilitățile de a efectua transformări și calcule identice.

O situație diferită apare cu ecuații trigonometrice. Nu este greu de stabilit faptul că ecuația este trigonometrică. Apar dificultăți la determinarea secvenței de acțiuni care ar duce la răspunsul corect.

Este uneori dificil să-i determine tipul prin apariția unei ecuații. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să o alegeți pe cea potrivită dintre câteva zeci de formule trigonometrice.

Pentru a rezolva ecuația trigonometrică, trebuie să încercăm:

1. aduce toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;
2. aduceți ecuația la „aceleași funcții”;
3. factorizați partea stângă a ecuației etc.

Considera metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

I. Reducerea la cele mai simple ecuații trigonometrice

Schema de rezolvare

Pasul 1. Exprimați funcția trigonometrică în termeni de componente cunoscute.

Pasul 2 Găsiți argumentul funcției folosind formule:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Pasul 3 Găsiți o variabilă necunoscută.

Exemplu.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Decizie.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Răspuns: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Substituție variabilă

Schema de rezolvare

Pasul 1. Aduceți ecuația într-o formă algebrică în raport cu una dintre funcțiile trigonometrice.

Pasul 2 Notați funcția rezultată prin variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții asupra t).

Pasul 3 Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.

Pasul 4 Faceți o înlocuire inversă.

Pasul 5 Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.

Exemplu.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Decizie.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Fie sin (x/2) = t, unde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 sau e = -3/2 nu satisface condiția |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Răspuns: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda de reducere a ordinii ecuațiilor

Schema de rezolvare

Pasul 1.Înlocuiți această ecuație cu una liniară folosind formulele de reducere a puterii:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Pasul 2 Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.

Exemplu.

cos2x + cos2x = 5/4.

Decizie.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Răspuns: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuații omogene

Schema de rezolvare

Pasul 1. Aduceți această ecuație în formă

a) a sin x + b cos x = 0 (ecuația omogenă de gradul I)

sau la vedere

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ecuația omogenă de gradul doi).

Pasul 2Împărțiți ambele părți ale ecuației la

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

și obțineți ecuația pentru tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Pasul 3 Rezolvați ecuația folosind metode cunoscute.

Exemplu.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Decizie.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Fie tg x = t, atunci

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 sau t = -4, deci

tg x = 1 sau tg x = -4.

Din prima ecuație x = π/4 + πn, n Є Z; din a doua ecuaţie x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda de transformare a unei ecuatii folosind formule trigonometrice

Schema de rezolvare

Pasul 1. Folosind tot felul de formule trigonometrice, aduceți această ecuație la o ecuație care poate fi rezolvată prin metodele I, II, III, IV.

Pasul 2 Rezolvați ecuația rezultată folosind metode cunoscute.

Exemplu.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Decizie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 sau 2cos x + 1 = 0;

Din prima ecuație 2x = π/2 + πn, n Є Z; din a doua ecuație cos x = -1/2.

Avem x = π/4 + πn/2, n Є Z; din a doua ecuație x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ca rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Răspuns: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Abilitatea și abilitățile de a rezolva ecuații trigonometrice sunt foarte important, dezvoltarea lor necesită un efort considerabil, atât din partea elevului, cât și a profesorului.

Multe probleme de stereometrie, fizică etc. sunt asociate cu rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.Procesul de rezolvare a unor astfel de probleme, așa cum spune, conține multe dintre cunoștințele și abilitățile care sunt dobândite la studierea elementelor de trigonometrie.

Ecuațiile trigonometrice ocupă un loc important în procesul de predare a matematicii și de dezvoltare a personalității în general.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Când rezolvi multe probleme de matematică, în special cele care apar înainte de clasa a 10-a, este clar definită ordinea acțiunilor efectuate care vor duce la obiectiv. Astfel de probleme includ, de exemplu, ecuații liniare și pătratice, inegalități liniare și pătratice, ecuații fracționale și ecuații care se reduc la cele pătratice. Principiul soluționării cu succes a fiecăreia dintre sarcinile menționate este următorul: este necesar să se stabilească ce tip de sarcină este rezolvată, să se rețină succesiunea necesară de acțiuni care vor duce la rezultatul dorit, adică. răspundeți și urmați acești pași.

În mod evident, succesul sau eșecul în rezolvarea unei anumite probleme depinde în principal de cât de corect este determinat tipul de ecuație care se rezolvă, cât de corect este reprodusă succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, în acest caz, este necesar să aveți abilitățile de a efectua transformări și calcule identice.

O situație diferită apare cu ecuații trigonometrice. Nu este greu de stabilit faptul că ecuația este trigonometrică. Apar dificultăți la determinarea secvenței de acțiuni care ar duce la răspunsul corect.

Este uneori dificil să-i determine tipul prin apariția unei ecuații. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să o alegeți pe cea potrivită dintre câteva zeci de formule trigonometrice.

Pentru a rezolva ecuația trigonometrică, trebuie să încercăm:

1. aduce toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;
2. aduceți ecuația la „aceleași funcții”;
3. factorizați partea stângă a ecuației etc.

Considera metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

I. Reducerea la cele mai simple ecuații trigonometrice

Schema de rezolvare

Pasul 1. Exprimați funcția trigonometrică în termeni de componente cunoscute.

Pasul 2 Găsiți argumentul funcției folosind formule:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Pasul 3 Găsiți o variabilă necunoscută.

Exemplu.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Decizie.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Răspuns: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Substituție variabilă

Schema de rezolvare

Pasul 1. Aduceți ecuația într-o formă algebrică în raport cu una dintre funcțiile trigonometrice.

Pasul 2 Notați funcția rezultată prin variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții asupra t).

Pasul 3 Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.

Pasul 4 Faceți o înlocuire inversă.

Pasul 5 Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.

Exemplu.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Decizie.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Fie sin (x/2) = t, unde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 sau e = -3/2 nu satisface condiția |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Răspuns: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda de reducere a ordinii ecuațiilor

Schema de rezolvare

Pasul 1.Înlocuiți această ecuație cu una liniară folosind formulele de reducere a puterii:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Pasul 2 Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.

Exemplu.

cos2x + cos2x = 5/4.

Decizie.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Răspuns: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuații omogene

Schema de rezolvare

Pasul 1. Aduceți această ecuație în formă

a) a sin x + b cos x = 0 (ecuația omogenă de gradul I)

sau la vedere

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ecuația omogenă de gradul doi).

Pasul 2Împărțiți ambele părți ale ecuației la

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

și obțineți ecuația pentru tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Pasul 3 Rezolvați ecuația folosind metode cunoscute.

Exemplu.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Decizie.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Fie tg x = t, atunci

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 sau t = -4, deci

tg x = 1 sau tg x = -4.

Din prima ecuație x = π/4 + πn, n Є Z; din a doua ecuaţie x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda de transformare a unei ecuatii folosind formule trigonometrice

Schema de rezolvare

Pasul 1. Folosind tot felul de formule trigonometrice, aduceți această ecuație la o ecuație care poate fi rezolvată prin metodele I, II, III, IV.

Pasul 2 Rezolvați ecuația rezultată folosind metode cunoscute.

Exemplu.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Decizie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 sau 2cos x + 1 = 0;

Din prima ecuație 2x = π/2 + πn, n Є Z; din a doua ecuație cos x = -1/2.

Avem x = π/4 + πn/2, n Є Z; din a doua ecuație x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ca rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Răspuns: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Abilitatea și abilitățile de a rezolva ecuații trigonometrice sunt foarte important, dezvoltarea lor necesită un efort considerabil, atât din partea elevului, cât și a profesorului.

Multe probleme de stereometrie, fizică etc. sunt asociate cu rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.Procesul de rezolvare a unor astfel de probleme, așa cum spune, conține multe dintre cunoștințele și abilitățile care sunt dobândite la studierea elementelor de trigonometrie.

Ecuațiile trigonometrice ocupă un loc important în procesul de predare a matematicii și de dezvoltare a personalității în general.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.