Geometria este o știință cu multe fațete. Ea dezvoltă logica, imaginația și inteligența. Desigur, datorită complexității sale și sumă uriașă teoreme și axiome, școlarilor nu le place întotdeauna. În plus, este nevoie să-și dovedească în mod constant concluziile folosind standarde și reguli general acceptate.

Unghiurile adiacente și verticale sunt parte integrantă a geometriei. Cu siguranță mulți școlari le adoră pur și simplu pentru că proprietățile lor sunt clare și ușor de dovedit.

Formarea colțurilor

Orice unghi se formează prin intersecția a două drepte sau prin trasarea a două raze dintr-un punct. Ele pot fi numite fie o literă, fie trei, care desemnează succesiv punctele de construcție ale colțului.

Unghiurile sunt măsurate în grade și pot fi numite diferit (în funcție de valoarea lor). Deci, există un unghi drept, acut, obtuz și desfășurat. Fiecare dintre nume corespunde unei anumite măsurători de grad sau intervalului acesteia.

Un unghi ascuțit este un unghi a cărui măsură nu depășește 90 de grade.

Un unghi obtuz este un unghi mai mare de 90 de grade.

Un unghi se numește drept când măsura lui este de 90.

În cazul în care este format dintr-o linie dreaptă continuă, iar gradul său este 180, se numește desfășurat.

Unghiurile care au o latură comună, a cărei latură a doua se continuă între ele, se numesc adiacente. Ele pot fi fie ascuțite, fie contondente. Intersecția dreptei formează unghiuri adiacente. Proprietățile lor sunt după cum urmează:

1. Suma acestor unghiuri va fi egală cu 180 de grade (există o teoremă care demonstrează acest lucru). Prin urmare, unul dintre ele poate fi ușor de calculat dacă celălalt este cunoscut.
2. Din primul punct rezultă că unghiurile adiacente nu pot fi formate din două unghiuri obtuze sau două unghiuri acute.

Datorită acestor proprietăți, se poate calcula întotdeauna măsura gradului unui unghi având în vedere valoarea altui unghi, sau cel puțin raportul dintre ele.

Unghiuri verticale

Unghiurile ale căror laturi sunt o continuare una a celeilalte se numesc verticale. Oricare dintre soiurile lor poate acționa ca o astfel de pereche. Unghiurile verticale sunt întotdeauna egale între ele.

Ele se formează atunci când liniile se intersectează. Împreună cu acestea, colțurile adiacente sunt întotdeauna prezente. Un unghi poate fi atât adiacent pentru unul, cât și vertical pentru celălalt.

Când traversați o linie arbitrară, sunt luate în considerare și mai multe tipuri de unghiuri. O astfel de linie se numește secantă și formează unghiurile corespunzătoare, unilaterale și încrucișate. Sunt egali unul cu altul. Ele pot fi vizualizate în lumina proprietăților pe care le au unghiurile verticale și adiacente.

Astfel, subiectul colțurilor pare a fi destul de simplu și de înțeles. Toate proprietățile lor sunt ușor de reținut și de dovedit. Rezolvarea problemelor nu este dificilă atâta timp cât unghiurile corespund unei valori numerice. Deja mai departe, când începe studiul păcatului și cosului, va trebui să memorezi multe formule complexe, concluziile și consecințele lor. Până atunci, vă puteți bucura de puzzle-uri ușoare în care trebuie să găsiți colțuri adiacente.

Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt raze complementare. În figura 20, unghiurile AOB și BOC sunt adiacente.

Suma unghiurilor adiacente este de 180°

Teorema 1. Suma unghiurilor adiacente este 180°.

Dovada. Fasciculul OB (vezi Fig. 1) trece între laturile unghiului dezvoltat. Asa de ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

Din teorema 1 rezultă că dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile adiacente lor sunt egale.

Unghiurile verticale sunt egale

Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt raze complementare ale laturilor celuilalt. Unghiurile AOB și COD, BOD și AOC, formate la intersecția a două drepte, sunt verticale (Fig. 2).

Teorema 2. Unghiurile verticale sunt egale.

Dovada. Luați în considerare unghiurile verticale AOB și COD (vezi Fig. 2). Unghiul BOD este adiacent fiecărui unghi AOB și COD. Prin teorema 1, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Prin urmare, concluzionăm că ∠ AOB = ∠ COD.

Corolarul 1. Un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept.

Luați în considerare două drepte care se intersectează AC și BD (Fig. 3). Ele formează patru colțuri. Dacă unul dintre ele este drept (unghiul 1 în Fig. 3), atunci și celelalte unghiuri sunt drepte (unghiurile 1 și 2, 1 și 4 sunt adiacente, unghiurile 1 și 3 sunt verticale). În acest caz, se spune că aceste drepte se intersectează în unghi drept și se numesc perpendiculare (sau reciproc perpendiculare). Perpendicularitatea dreptelor AC și BD se notează astfel: AC ⊥ BD.

Bisectoarea perpendiculară a unui segment este o dreaptă perpendiculară pe acest segment și care trece prin punctul său de mijloc.

AN - perpendicular pe linie

Luați în considerare o dreaptă a și un punct A care nu se află pe ea (Fig. 4). Conectați punctul A cu un segment de punctul H cu o dreaptă a. Un segment AH se numește perpendiculară trasată din punctul A pe linia a dacă dreptele AN și a sunt perpendiculare. Punctul H se numește baza perpendicularei.

Pătrat de desen

Următoarea teoremă este adevărată.

Teorema 3. Din orice punct care nu se află pe o dreaptă, se poate trasa o perpendiculară pe această dreaptă și, în plus, doar una.

Pentru a desena o perpendiculară de la un punct la o linie dreaptă din desen, se folosește un pătrat de desen (Fig. 5).

Cometariu. Enunțul teoremei constă de obicei din două părți. O parte vorbește despre ceea ce este dat. Această parte se numește condiția teoremei. Cealaltă parte vorbește despre ceea ce trebuie dovedit. Această parte se numește concluzia teoremei. De exemplu, condiția teoremei 2 este unghiurile verticale; concluzie - aceste unghiuri sunt egale.

Orice teoremă poate fi exprimată în detaliu în cuvinte, astfel încât starea sa va începe cu cuvântul „dacă”, iar concluzia cu cuvântul „atunci”. De exemplu, teorema 2 poate fi formulată în detaliu după cum urmează: „Dacă două unghiuri sunt verticale, atunci ele sunt egale”.

Exemplul 1 Unul dintre unghiurile adiacente este de 44°. Cu ce ​​este egal celălalt?

Decizie. Notați măsura în grade a altui unghi cu x, apoi conform teoremei 1.
44° + x = 180°.
Rezolvând ecuația rezultată, aflăm că x \u003d 136 °. Prin urmare, celălalt unghi este de 136°.

Exemplul 2 Fie ca unghiul COD din figura 21 să fie de 45°. Care sunt unghiurile AOB și AOC?

Decizie. Unghiurile COD și AOB sunt verticale, prin urmare, prin teorema 1.2, ele sunt egale, adică ∠ AOB = 45°. Unghiul AOC este adiacent unghiului COD, prin urmare, prin teorema 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Exemplul 3 Găsiți unghiuri adiacente dacă unul dintre ele este de 3 ori celălalt.

Decizie. Notați măsura gradului unghiului mai mic cu x. Apoi măsura gradului unghiului mai mare va fi Zx. Deoarece suma unghiurilor adiacente este 180° (Teorema 1), atunci x + 3x = 180°, de unde x = 45°.
Deci unghiurile adiacente sunt 45° și 135°.

Exemplul 4 Suma a două unghiuri verticale este de 100°. Aflați valoarea fiecăruia dintre cele patru unghiuri.

Decizie. Fie că figura 2 corespunde condiției problemei.Unghiurile verticale COD față de AOB sunt egale (Teorema 2), ceea ce înseamnă că și măsurile gradelor lor sunt egale. Prin urmare, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (suma lor este 100° după condiție). Unghiul BOD (de asemenea unghiul AOC) este adiacent unghiului COD și, prin urmare, prin teorema 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Colțuri adiacente- două unghiuri care au o latură în comun, iar celelalte două sunt continuare unul celuilalt.

Suma unghiurilor adiacente este de 180°

Unghiuri verticale sunt două unghiuri în care laturile unui unghi sunt continuarea laturilor celuilalt.

Unghiurile verticale sunt egale.

2. Semne de egalitate a triunghiurilor:

semnez: Dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Semnul II: Dacă laturile și două unghiuri adiacente acestuia ale unui triunghi sunt egale cu latura și, respectiv, două unghiuri adiacente acestuia ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente.

Semnul III: Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente

3. Semne de paralelism a două drepte: unghiuri unilaterale, situate în cruce și corespunzătoare:

Se numesc două drepte dintr-un plan paralel dacă nu se intersectează.

Unghiuri de culcare transversală: 3 și 5, 4 și 6;

Colțuri unilaterale: 4 și 5, 3 și 6; orez. Pagina55

Unghiuri corespondente: 1 și 5, 4 și 8, 2 și 6, 3 și 7;

Teorema: Dacă la intersecția a două drepte ale unei transversale, unghiurile de culcare sunt egale, atunci liniile sunt paralele.

Teorema: Dacă la intersecția a două drepte ale unei secante, unghiurile corespunzătoare sunt egale, atunci liniile sunt paralele.

Teorema: Dacă la intersecția a două drepte ale unei secante suma unghiurilor unilaterale este egală cu 180 °, atunci liniile sunt paralele.

Teorema: dacă două drepte paralele sunt intersectate de o secantă, atunci unghiurile de culcare transversale sunt egale

Teorema: dacă două drepte paralele sunt intersectate de o secantă, atunci unghiurile corespunzătoare sunt egale

Teorema: dacă două drepte paralele sunt intersectate de o secantă, atunci suma unghiurilor unilaterale este 180°

4. Suma unghiurilor unui triunghi:

Suma unghiurilor unui triunghi este 180°

5. Proprietățile unui triunghi isoscel:

Teoremă: Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale.

Teorema: Într-un triunghi isoscel, bisectoarea trasată la bază este mediana și înălțimea (mediana este invers), (bisectoarea bisectează unghiul, mediana bisectează latura, înălțimea formează un unghi de 90 °)

Semn: Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale, atunci triunghiul este isoscel.

6. Triunghi dreptunghic:

Triunghi dreptunghic este un triunghi în care un unghi este un unghi drept (adică are 90 de grade)

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este mai lungă decât catetul

1. Suma a două unghiuri ascuțite ale unui triunghi dreptunghic este de 90°

2. catetul unui triunghi dreptunghic, situat opus unui unghi de 30 °, este egal cu jumătate din ipotenuză

3. Dacă catetul unui triunghi dreptunghic este egal cu jumătate din ipotenuză, atunci unghiul opus acestui catet este de 30 °

7. Triunghi echilateral:

TRIANGUL ECHILATERAL, o figură plată având trei laturi de lungime egală; cele trei unghiuri interne formate de laturi sunt de asemenea egale si egale cu 60 °C.

8. Sin, cos, tg, ctg:

Sin= , Cos= , tg= , ctg= , tg= ,ctg=

9. Semne de patrulater^

Suma unghiurilor patrulaterului este 2 π = 360°.

Un patrulater poate fi înscris într-un cerc dacă și numai dacă suma unghiurilor opuse este de 180°

10. Semne de asemănare ale triunghiurilor:

semnez: dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două unghiuri ale altuia, atunci astfel de triunghiuri sunt similare

Semnul II: dacă două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu două laturi ale altui triunghi și unghiurile cuprinse între aceste laturi sunt egale, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.

Semnul III: dacă trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu trei laturi ale altuia, atunci astfel de triunghiuri sunt similare

11. Formule:

· Teorema lui Pitagora: a 2 +b 2 =c 2

· Teorema păcatului:

· teorema cos:

· 3 formule ale ariei triunghiulare:

· Aria unui triunghi dreptunghic: S= S=

· Aria unui triunghi echilateral:

· Zona paralelogramului: S=ah

· Suprafata patrata: S = a2

· Zona trapezului:

· Zona rombului:

· Zona dreptunghiulară: S=ab

· Triunghi echilateral. Înălțime: h=

· Unitate trigonometrică: sin 2 a+cos 2 a=1

· Linia de mijloc a triunghiului: S=

· Linia mediană a trapezului:MK=

©2015-2019 site
Toate drepturile aparțin autorilor lor. Acest site nu pretinde autor, dar oferă o utilizare gratuită.
Data creării paginii: 2017-12-12

CAPITOLUL I.

NOȚIUNI DE BAZĂ.

§unsprezece. UNGHIURI ADJACENTE SI VERTICALE.

1. Colțuri adiacente.

Dacă continuăm partea unui colț dincolo de vârful său, vom obține două colțuri (Fig. 72): / Un soare și / SVD, în care o parte BC este comună, iar celelalte două AB și BD formează o linie dreaptă.

Două unghiuri care au o latură în comun și celelalte două formează o linie dreaptă se numesc unghiuri adiacente.

Unghiurile adiacente se pot obține și în acest fel: dacă desenăm o rază dintr-un punct de pe o dreaptă (nu se află pe o dreaptă dată), atunci obținem unghiuri adiacente.
De exemplu, / ADF și / FDВ - colțuri adiacente (Fig. 73).

Colțurile adiacente pot avea o mare varietate de poziții (Fig. 74).

Unghiurile adiacente se adaugă la un unghi drept, deci umma a două unghiuri adiacente este 2d.

Prin urmare, un unghi drept poate fi definit ca un unghi egal cu unghiul său adiacent.

Cunoscând valoarea unuia dintre unghiurile adiacente, putem afla valoarea celuilalt unghi adiacent.

De exemplu, dacă unul dintre unghiurile adiacente este 3/5 d, atunci al doilea unghi va fi egal cu:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Unghiuri verticale.

Dacă extindem laturile unui unghi dincolo de vârful său, obținem unghiuri verticale. În desenul 75, unghiurile EOF și AOC sunt verticale; unghiurile AOE și COF sunt de asemenea verticale.

Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt prelungiri ale laturilor celuilalt unghi.

Lasa / 1 = 7 / 8 d(Fig. 76). Adiacent acestuia / 2 va fi egal cu 2 d- 7 / 8 d, adică 1 1/8 d.

În același mod, puteți calcula cu ce sunt egale / 3 și / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Fig. 77).

Vedem asta / 1 = / 3 și / 2 = / 4.

Puteți rezolva mai multe probleme din aceleași, și de fiecare dată obțineți același rezultat: unghiurile verticale sunt egale între ele.

Cu toate acestea, pentru a vă asigura că unghiurile verticale sunt întotdeauna egale între ele, nu este suficient să luați în considerare exemple numerice individuale, deoarece concluziile trase din exemple particulare pot fi uneori eronate.

Este necesar să se verifice validitatea proprietății unghiurilor verticale prin raționament, prin demonstrație.

Dovada poate fi efectuată după cum urmează (Fig. 78):

/ un +/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(deoarece suma unghiurilor adiacente este 2 d).

/ un +/ c = / b+/ c

(deoarece partea stângă a acestei egalități este egală cu 2 d, iar partea sa dreaptă este, de asemenea, egală cu 2 d).

Această egalitate include același unghi cu.

Dacă scadem în mod egal din valori egale, atunci va rămâne egal. Rezultatul va fi: / A = / b, adică unghiurile verticale sunt egale între ele.

Când luăm în considerare problema unghiurilor verticale, am explicat mai întâi care unghiuri sunt numite verticale, adică am dat definiție colțuri verticale.

Apoi am făcut o judecată (afirmație) despre egalitatea unghiurilor verticale și ne-am convins de validitatea acestei judecăți prin demonstrație. Se numesc astfel de hotărâri, a căror validitate trebuie dovedită teoreme. Astfel, în această secțiune am dat definiția unghiurilor verticale și am enunțat și demonstrat o teoremă despre proprietatea acestora.

În viitor, atunci când studiem geometria, va trebui să ne întâlnim constant cu definiții și dovezi ale teoremelor.

3. Suma unghiurilor care au un vârf comun.

Pe desenul 79 / 1, / 2, / 3 și / 4 sunt situate pe aceeași parte a unei linii drepte și au un vârf comun pe această linie dreaptă. În concluzie, aceste unghiuri formează un unghi drept, adică.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Pe desenul 80 / 1, / 2, / 3, / 4 și / 5 au un vârf comun. În concluzie, aceste unghiuri formează un unghi complet, adică / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Exerciții.

1. Unul dintre unghiurile adiacente este 0,72 d. Calculați unghiul format de bisectoarele acestor unghiuri adiacente.

2. Demonstrați că bisectoarele a două unghiuri adiacente formează un unghi drept.

3. Demonstrați că, dacă două unghiuri sunt egale, atunci și unghiurile lor adiacente sunt egale.

4. Câte perechi de colțuri adiacente sunt în desenul 81?

5. Poate o pereche de unghiuri adiacente să fie formată din două unghiuri ascuțite? din două colțuri obtuze? din unghiuri drepte și obtuze? dintr-un unghi drept si ascutit?

6. Dacă unul dintre unghiurile adiacente este drept, atunci ce se poate spune despre valoarea unghiului adiacent acestuia?

7. Dacă la intersecția a două drepte există un unghi drept, atunci ce se poate spune despre dimensiunea celor trei unghiuri rămase?