Metode de rezolvare probleme combinatorii

Lista de opțiuni posibile

Problemele simple sunt rezolvate printr-o enumerare completă obișnuită a opțiunilor posibile fără compilare diverse mese si scheme.

Sarcina 1.
Ce numere din două cifre se pot forma din numerele 1, 2, 3, 4, 5?

Răspuns: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

Sarcina 2.
Ivanov, Gromov și Orlov participă la cursa finală de 100 m. Nume opțiuni posibile distributie premii.

Răspuns:
Opțiunea 1: 1) Ivanov, 2) Gromov, 3) Orlov.
Opțiunea 2: 1) Ivanov, 2) Orlov, 3) Gromov.
Opțiunea 3: 1) Orlov, 2) Ivanov, 3) Gromov.
Opțiunea 4: 1) Orlov, 2) Gromov, 3) Ivanov.
Opțiunea 5: 1) Gromov, 2) Orlov, 3) Ivanov.
Opțiunea 6: 1) Gromov, 2) Ivanov, 3) Orlov.

Sarcina 3.
Petya, Kolya, Vitya, Oleg, Tanya, Olya, Natasha, Sveta s-au înscris la clubul de dans. Ce perechi de dans de fată și băiat pot forma?

Răspuns:
1) Tanya - Petya, 2) Tanya - Kolya, 3) Tanya - Vitya, 4) Tanya - Oleg, 5) Olya - Petya, 6) Olya - Kolya, 7) Olya - Vitya, 8) Olya - Oleg, 9) Natasha - Petya, 10) Natasha - Kolya, 11) Natasha - Vitya, 12) Natasha - Oleg, 13) Sveta - Petya, 14) Sveta - Kolya, 15) Sveta - Vitya, 16) Sveta - Oleg.

Arborele opțiunilor posibile

O varietate de probleme combinatorii sunt rezolvate prin întocmirea de scheme speciale. În exterior, o astfel de schemă seamănă cu un copac, de unde și numele metodei - arborele de opțiuni posibile.

Sarcina 4.
Ce numere din trei cifre se pot forma din numerele 0, 2, 4?

Decizie.Să construim un arbore cu opțiuni posibile, având în vedere că 0 nu poate fi prima cifră dintr-un număr.

Răspuns: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

Sarcina 5.
Turiştii şcolii au decis să facă o excursie la lacul de munte. Prima etapă a călătoriei poate fi depășită cu trenul sau autobuzul. A doua etapă este cu caiace, biciclete sau pe jos. Iar a treia etapă a călătoriei este pe jos sau cu telecabina. Ce opțiuni de călătorie au turiștii școlari?

Decizie.Să construim un arbore de opțiuni posibile, desemnând călătoria cu trenul P, cu autobuzul - A, cu caiacul - B, cu bicicleta - C, pe jos - X, cu telecabina - K.

Răspuns:Cifra enumeră toate cele 12 opțiuni de călătorie posibile pentru turiștii școlari.

Sarcina 6.
Notați toate opțiunile posibile pentru programul de cinci lecții pe zi de la materii: matematică, rusă, istorie, Limba engleză, educația fizică și matematica ar trebui să fie a doua lecție.

Decizie.Să construim un arbore de opțiuni posibile, notând M - matematică, R - rusă, I - istorie, A - engleză, F - educație fizică.

Răspuns:Există 24 de opțiuni posibile în total:

R M Și DAR F

R M Și F DAR

R M DAR Și F

R M DAR F Și

R M F Și DAR

R M F DAR Și

Și M R DAR F

Și M R F DAR

Și M DAR R F

Și M DAR F R

Și M F R DAR

Și M F DAR R

DAR M R Și F

DAR M R F Și

DAR M Și R F

DAR M Și F R

DAR M F R Și

DAR M F Și R

F M R Și DAR

F M R DAR Și

F M Și R DAR

F M Și DAR R

F M DAR R Și

F M DAR Și R

Sarcina 7.
Sasha merge la școală în pantaloni sau blugi și poartă cămăși gri, albastre, verzi sau carouri pentru ei, pantofi interschimbabili ia pantofi sau adidași.
a) Câte zile va putea Sasha să arate într-un mod nou?
b) Câte zile va merge în adidași?
c) Câte zile va purta o cămașă în carouri și blugi?

Decizie.Să construim un arbore de opțiuni posibile, notând B - pantaloni, D - blugi, C - cămașă gri, D - cămașă albastră, Z - cămașă verde, P - cămașă în carouri, T - pantofi, K - adidași.

Răspuns:a) 16 zile; b) 8 zile; c) 2 zile.

Intabulare

Puteți rezolva probleme combinatorii folosind tabele. Ele, ca și arborele opțiunilor posibile, reprezintă vizual soluția unor astfel de probleme.

Sarcina 8.
Câte numere impare din două cifre pot fi făcute din numerele 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?

Decizie.Să facem un tabel: în stânga, prima coloană este primele cifre ale numerelor pe care le cauți, în partea de sus, primul rând este a doua cifră.

Răspuns: 28.

Sarcina 9.
Masha, Olya, Vera, Ira, Andrey, Misha și Igor se pregăteau să devină prezentatori la vacanță de revelion. Numiți opțiunile posibile dacă doar o fată și un băiat pot fi lideri.

Decizie.Să facem un tabel: în stânga, prima coloană sunt numele fetelor, în partea de sus, primul rând sunt numele băieților.

Răspuns:Toate opțiunile posibile sunt listate în rândurile și coloanele tabelului.

regula înmulțirii

Această metodă de rezolvare a problemelor combinatorii este utilizată atunci când nu este necesară enumerarea tuturor opțiunilor posibile, dar este necesar să se răspundă la întrebarea - câte dintre ele există.

Sarcina 10.
LA turneu de fotbal sunt implicate mai multe echipe. S-a dovedit că toți au folosit alb, roșu, albastru și alb pentru pantaloni scurți și tricouri. culori verziși au fost prezentate toate opțiunile posibile. Câte echipe au participat la turneu?

Decizie.
Slipurile pot fi albe, roșii, albastre sau verzi, de ex. sunt 4 variante. Fiecare dintre aceste opțiuni are 4 opțiuni de culoare tricoului.

4 x 4 = 16.

Răspuns: 16 echipe.

Sarcina 11.
6 elevi trec un test la matematică. În câte moduri pot fi trecute pe listă?

Decizie.
Primul din listă poate fi oricare dintre cei 6 studenți,
al doilea din listă poate fi oricare dintre cei 5 studenți rămași,
al treilea - oricare dintre restul de 4 studenți,
al patrulea - oricare dintre restul de 3 studenți,
al cincilea - oricare dintre cei 2 studenți rămași,
al șaselea - ultimul 1 elev.

6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.

Răspuns: 720 de moduri.

Sarcina 12.
Câte numere pare din două cifre pot fi făcute din cifrele 0, 2, 3, 4, 6, 7?

Decizie.
Primul in Două cifre pot fi 5 cifre (numărul 0 nu poate fi primul dintr-un număr), al doilea dintr-un număr de două cifre poate fi de 4 cifre (0, 2, 4, 6, deoarece numărul trebuie să fie par).
5 x 4 = 20.

Răspuns: 20 de numere.

Sarcini pentru rezolvarea consolidării de material nou

Sarcina 1. În câte moduri pot cei 5 participanți la finală

alergare pe 5 benzi de alergare?

Decizie: R 5 \u003d 5! \u003d 1 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 4 ∙ 5 \u003d 120 de moduri.

Sarcina numărul 2. Cât costă numere din trei cifre poate fi alcătuit din numerele 1,2,3, dacă fiecare

Cifra apare în imaginea numărului o singură dată?

Decizie: Numărul tuturor permutărilor a trei elemente este P 3 =3!, unde 3!=1 * 2 * 3=6

Aceasta înseamnă că există șase numere din trei cifre formate din numerele 1,2,3.

Sarcina numărul 3.În câte moduri pot invita patru băieți pe patru din șase

fetele sa danseze?

Decizie: Doi băieți nu pot invita aceeași fată în același timp. Și

opțiuni în care aceleași fete dansează cu băieți diferiți,

considerat diferit, deci:

Sarcina #4. Câte numere diferite din trei cifre pot fi formate din numerele 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9, cu condiția ca fiecare cifră să fie folosită numai în introducerea numărului

o singura data?

Decizie: În starea problemei, se propune numărarea numărului de combinații posibile din

trei cifre luate din cele nouă cifre propuse, cu ordinea

aranjarea numerelor în combinație contează (de exemplu, numerele 132)

și 231 diferite). Cu alte cuvinte, trebuie să găsiți numărul de destinații de plasare din nouă

trei elemente.

Conform formulei pentru numărul de plasări, găsim:

Răspuns: 504 numere din trei cifre.

Sarcina #5În câte moduri poate fi ales un comitet de 3 dintre 7 persoane?

Decizie: Pentru a lua în considerare toate comisioanele posibile, trebuie să luați în considerare toate

posibile submulțimi de 3 elemente ale mulțimii constând din 7

Uman. Numărul dorit de moduri este

Sarcina numărul 6. La concurs participă 12 echipe. Câte opțiuni există

repartizarea premiilor (1, 2, 3) locuri?

Decizie: A 12 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 de opțiuni pentru distribuirea premiilor.

Răspuns: 1320 de opțiuni.

Sarcina numărul 7. La concursurile de atletism, școala noastră a fost reprezentată de o echipă din

10 sportivi. În câte moduri poate antrenorul să determine care dintre ele

va alerga în ștafeta 4x100m în prima, a doua, a treia și a patra etapă?

Decizie: Alegere de la 10 la 4, ținând cont de ordine:
moduri.

Răspuns: 5040 de moduri.

Sarcina numărul 8.În câte moduri pot roșu, negru, albastru și

bile verzi?

Decizie:În primul rând, puteți pune oricare dintre cele patru bile (4 moduri), pe

al doilea - oricare dintre cele trei rămase (3 moduri), locul al treilea - oricare dintre

restul de două (2 moduri), pe locul patru - ultima minge rămasă.

Total 4 3 2 1 = 24 de moduri.

P 4 = 4! \u003d 1 2 3 4 \u003d 24. Răspuns: 24 de moduri.

Sarcina numărul 9. Elevilor li s-a oferit o listă cu 10 cărți pe care să le citească

vacanță. În câte moduri poate un elev să aleagă 6 cărți dintre ele?

Decizie: Alegerea 6 din 10 indiferent de comanda:
moduri.

Răspuns: 210 moduri.

Sarcina numărul 10. Sunt 7 elevi în clasa a 9-a, 9 elevi în clasa a 10-a și 8 elevi în clasa a 11-a. Pentru

lucru pe șantierul școlii, este necesar să se evidențieze doi elevi din clasa a 9-a,

trei din 10 și unul din 11. Câte moduri există de a alege

elevii să lucreze pe terenul școlii?

Decizie: Alegeți din trei seturi fără a ține cont de comandă, fiecare alegere din

din primul set (C 7 2) poate fi combinat cu fiecare alegere din

al doilea (C 9 3)) și cu fiecare alegere a celui de-al treilea (C 8 1) conform regulii

inmultire obtinem:

Răspuns: 14.112 moduri.

Sarcina numărul 11. Elevii de clasa a IX-a Zhenya, Seryozha, Kolya, Natasha și Olya au fugit

schimbare la masa de tenis, la care jocul era deja în curs. Câți

cinci elevi de clasa a IX-a care au alergat până la masă pot lua

coadă la tenis de masă?

Decizie: Orice elev de clasa a IX-a ar putea fi primul la rând, oricare dintre ei ar putea fi al doilea.

restul de trei, al treilea - oricare dintre celelalte două și al patrulea -

un elev de clasa a IX-a care a alergat pe penultimul, iar cel de-al cincilea a fost ultimul. De

regula înmulțirii, cinci elevi au 5 4321=120 de moduri

Dimensiune: px

Începeți impresia de pe pagină:

transcriere

1 1 Concepte de bază ale combinatoriei 1 Anexă Definiție Produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n inclusiv se numește n-factorial și se scrie Exemplu Calculați 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= ! 5! Exemplu Calculați! 7! 5! 5!! Să fie date trei litere din aceste litere: 7 1! Permutări 5 3 A, B, C Să facem toate combinațiile posibile de ABC / ACB / BCA / CAB / CBA / BAC (combinații totale) Vedem că ele diferă între ele doar în ordinea literelor Definiție Combinații de n elemente care se deosebesc între ele doar prin ordinea elementelor, se numesc permutări Permutările se notează prin simbolul n, unde n este numărul de elemente cuprinse în fiecare permutare 3 3! Numărul de permutări poate fi calculat folosind formula n sau folosind factorialul: n n 1 n 3 1 n n! Astfel, numărul de permutări a trei elemente conform formulei este, care coincide cu rezultatul exemplului de mai sus 5 0 Exemplu Calculați,! ! !- 5! 5! -cincisprezece! 5! 150! ! unu! Exemplu Câte numere diferite din cinci cifre pot fi făcute din numerele 1, 3, 4, 5, cu condiția să nu se repete nicio cifră în număr?

2 5! Exemplu Patru echipe au participat la competiție Câte opțiuni de repartizare a locurilor între ele sunt posibile? 4! Plasare Fie că există patru litere A, B, C, D Compuneți toate combinațiile de numai două litere, obținem: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC Vedem că toate combinațiile rezultate diferă fie prin litere, fie prin ordinea lor (combinațiile BA și AB sunt considerate diferite) Definiție Combinațiile de m elemente prin n elemente care diferă între ele fie prin elementele în sine, fie prin ordinea elementelor se numesc plasări Plasări sunt notate cu n A m n numărul de elemente din fiecare combinație , unde m este numărul tuturor elementelor disponibile, A n m m! (m n)! Exemplu Câte opțiuni există pentru distribuirea a trei premii dacă la extragere participă 7 echipe? 37! 7! A! 4! 10 Exemplu Câte numere diferite din patru cifre pot fi făcute din numerele 0, 1, 8, 9? 4 10! zece! A!! Exemplu Câte opțiuni de program pot fi create pentru o zi, dacă sunt 8 în total subiecte, și doar trei dintre ele pot fi incluse în programul zilei? 38! opt! A! 5! Exemplu Câte opțiuni pentru distribuirea a trei vouchere la un sanatoriu de diverse profiluri pot fi făcute pentru cinci solicitanți? 35! 5! A!!

3 Combinații Definiție Combinațiile sunt toate combinațiile posibile de m elemente prin n, care diferă unele de altele în macar cel puțin un element (aici m și n numere întregi, si n

4 Un fenomen aleatoriu poate fi caracterizat prin raportul dintre numărul de apariții ale acestuia și numărul de încercări, în fiecare dintre acestea, în aceleași condiții ale tuturor încercărilor, ar putea să apară sau nu.Pentru înregistrarea și investigarea acestor regularități , introducem câteva concepte și definiții de bază.Definiție Orice acțiune, fenomen, observație cu mai multe rezultate diferite, realizată într-un set dat de condiții, se va numi test.Definiție Rezultatul acestei acțiuni sau observații va fi numit eveniment aleatoriu. De exemplu, apariția unui număr atunci când o monedă este aruncată este un eveniment aleatoriu, deoarece poate sau nu să fi avut loc.Definiție Dacă suntem interesați de orice eveniment specific din toate posibilele evenimente posibile, atunci îl vom numi evenimentul dorit (sau rezultatul dorit) Definiție Toate evenimentele luate în considerare vor fi considerate la fel de posibile, cele care au șanse egale să se producă Deci, la aruncarea unui zar, 1 punct, 3, 4 , 5 sau puncte pot apărea rezultatele testului sunt la fel de probabile Cu alte cuvinte, egalitatea înseamnă egalitate, simetrie a rezultatelor testelor individuale în anumite condiții Evenimentele sunt de obicei notate cu majuscule ale alfabetului latin: A, B, C, D Definiție Evenimentele sunt numite incompatibile dacă nu pot apărea două dintre ele în acest experiment împreună În caz contrar, evenimentele sunt numite comune.Deci, atunci când o monedă este aruncată, apariția unui număr exclude apariția simultană a unei steme; acesta este un exemplu de evenimente incompatibile 4

5 Luați în considerare un alt exemplu Să se deseneze un cerc, un romb și un triunghi pe țintă. Se trage un singur foc Evenimentul A lovind cercul, evenimentul B lovind diamantul, evenimentul C lovind triunghiul Apoi evenimentele A și B, A și C, C și B sunt incompatibile Definiție Evenimentul se numește de încredere dacă se întâmplă în acest test în mod necesar De exemplu, câștigarea la un bilet de loterie câștig-câștig este un eveniment de încredere Evenimentele de încredere sunt notate cu litera U Definiție Un eveniment este numit imposibil dacă nu poate avea loc în acest test De exemplu, la aruncarea unui zar, este imposibil să obțineți 7 puncte Eveniment imposibil notat cu litera V Definiție Sistemul complet de evenimente A 1, A, A 3, A n este un set de evenimente incompatibile, apariția dintre care cel puțin unul este obligatoriu pentru acest test. Deci, pierderea a unu, două, trei, patru, cinci, șase puncte la aruncarea unui oase de joc este un sistem complet de evenimente, deoarece toate aceste evenimente sunt incompatibile și apariția este necesar cel puțin unul dintre ele Definiție Dacă sistemul complet constă din două evenimente, atunci astfel de evenimente sunt numite opuse și sunt notate cu A și A Exemplu Există un bilet de loterie „6 din 45” care nu poate fi câștigat. Aceste evenimente sunt incompatibile ? Exemplu Există 30 de bile numerotate într-o cutie Determinați care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, sigure, opuse: se extrage o bilă numerotată (; se extrage o bilă cu număr par (se extrage o bilă cu număr impar (C); o bilă) fără un număr este extras (D) Care dintre ele formează un grup complet?Exemplu Sunt adevărate sau imposibile evenimentele că o singură aruncare a unui zar va avea ca rezultat: 5 puncte; 7 puncte; de ​​la 1 la puncte? Care evenimente din această încercare alcătuiți un grup complet? 5

6 Definiție Suma mai multor evenimente este un eveniment constând în apariția a cel puțin unuia dintre ele ca urmare a testului Suma evenimentelor A și B, notată (A + și înseamnă că evenimentul A, sau B, sau A și B împreună s-au produs Definiție Produsul mai multor evenimente se numește eveniment , care constă în apariția în comun a tuturor acestor evenimente ca rezultat al testului Produsul evenimentelor A și B denotă: AB 3 Determinarea probabilității unei eveniment Evenimentele aleatoare se realizează cu posibilități diferite Unele apar mai des, altele mai rar Pentru cuantificarea posibilităților de realizare a unui eveniment se introduce conceptul de probabilitate a unui eveniment Definiție Probabilitatea unui eveniment A este raportul dintre numărul M de rezultate favorabile la numărul total N de rezultate la fel de probabile care formează un grup complet: Probabilitatea unui anumit eveniment este 1, imposibil 0, aleatoriu: 0 (1 Aceasta este definiția clasică a probabilității Frecvența relativă a unui eveniment n teste: M N * (Exemplu O literă este aleasă la întâmplare din cuvântul „policlinic” Care este probabilitatea ca aceasta să fie o vocală? Ce este litera K? Ce este o vocală sau litera K? Total litere 11 Evenimentul A ca rezultat al experimentului a apărut o literă vocală Evenimentul B a apărut litera K Evenimentul A este favorizat de cinci evenimente (5 vocale), evenimentul B este favorizat de două m 5 m (, n 11 n 11 m n 4 Teoreme de bază și formule ale teoriei probabilităților Teorema adunării probabilităților Probabilitatea apariția unuia dintre evenimentele incompatibile este egală cu suma probabilităților acestora:

7 A A A A A 1 n 1 A n Probabilitatea sumei a două evenimente comune A A Suma probabilităților de evenimente opuse (1 Definiție Fie A și B două evenimente aleatoare ale aceluiași test Denumire: A B A Teorema înmulțirii probabilității Probabilitatea apariția simultană a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente A 7

Matematică (BkPl-100) M.P. Kharlamov An universitar 2011/2012, semestrul I Curs 5. Tema: Combinatorică, introducere în teoria probabilității 1 Tema: Combinatorică Combinatoria este o ramură a matematicii care studiază

Departamentul de Matematică și Informatică Matematică Complex educațional și metodologic pentru studenții din învățământul secundar profesional care învață folosind tehnologii la distanță Modulul 6 Elemente de teoria probabilităților și statistică matematică

SUBIECT. TEOREME DE ADUNAREA SI MULTIPLICAREA PROBABILITATILOR Operatii pe evenimente aleatorii. Algebra evenimentelor. Conceptul de compatibilitate a evenimentelor. Grup complet de evenimente. Dependența și independența evenimentelor aleatoare. Condiţional

Curs Teoria probabilității Concepte de bază Experiment Frecvență Probabilitate Teoria probabilității este o secțiune a matematicii care studiază tiparele fenomenelor aleatoare Evenimentele aleatoare sunt evenimente care, atunci când

LECȚIA 3 INTRODUCERE ÎN TEORIA PROBABILITĂȚII RECOMANDĂRI METODOLOGICE MISIS 2013 APROBAT: D.E. Kaputkin Președintele Comisiei Educaționale și Metodologice pentru punerea în aplicare a Acordului cu Departamentul de Educație al Munților.

1 PARTEA I. TEORIA PROBABILITĂȚII CAPITOLUL 1. 1. Elemente de combinatorie Definiție 1. Exemple: Definiție. -factorial este numărul notat cu !, în timp ce! = 1** * pentru toate numerele naturale 1, ; în afară de,

1) Câte numere naturale din trei cifre sunt care au doar două cifre mai puțin de cinci? Există doar cinci cifre mai mici de 5: ( 0; 1; 2; 3; 4 ) Cele cinci cifre rămase nu sunt mai mici de 5: ( ; ; ; ; ) Prima metodă de soluție

Cursul 3 Tematica Principalele teoreme și formule ale teoriei probabilităților Conținutul temei Algebra evenimentelor. Teoreme de adunare a probabilităților. Probabilitate condițională. Teoreme de înmulțire a probabilității. Formula probabilității totale.

Tema cursului: ALGEBRA EVENIMENTELOR TEOREME DE BAZĂ DESPRE PROBABILITATE Algebra evenimentelor Suma evenimentelor se numește evenimentul S = +, care constă în apariția a cel puțin unuia dintre ele Produsul evenimentelor și se numește

Departamentul de Matematică Superioară Prelegeri de Teoria Probabilității și Secția Statistică Matematică. Teoria probabilității Subiectul teoriei probabilităților este studiul regularităților specifice în masa omogenă

CUPRINS TEMA III. INTRODUCERE ÎN TEORIA PROBABILITĂȚII... 2 1. MATERIALE DE REFERINȚĂ... 2 1.1. CONCEPTE ȘI DEFINIȚII DE BAZĂ... 2 1.2. ACȚIUNI PRIVIND EVENIMENTE ALEATOARE... 4 1.3. DEFINIȚIE CLASICĂ

Cursul 2. Teoreme ale adunării și înmulțirii probabilităților Suma și produsul unui eveniment

BUGETAR DE STAT FEDERAL INSTITUȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNT PROFESIONAL SUPERIOR „Academia de Stat de Cultură și Artă Chelyabinsk” Departamentul de Informatică TEORIA PROBABILITĂȚII

PROBABILITATEA UNUI EVENIMENT ALEATOARE Axiomele lui Kolmogorov În 1933, AN Kolmogorov în cartea sa „Conceptele de bază ale teoriei probabilităților” a oferit o fundamentare axiomatică a teoriei probabilității. „Asta înseamnă că după

DEPARTAMENTUL DE ÎNVĂŢĂMÂNT NORD PROGRAM DE LUCRU Ora de teorie şi statistică a probabilităţilor Mijloace didactice utilizate: Manual: Tyurin Yu.N. etc.Teoria Probabilităţii şi Statistică. M., MTsNMO: JSC

Agenția Federală pentru Educație Instituția de Învățământ de Stat de Învățământ Profesional Superior „UNIVERSITATEA POLITEHNICĂ DE CERCETARE NAȚIONALĂ TOMSK” PRELEȚIE DE TEORIE

PROBABILITATE COMBINATORIALĂ Subiectul 5 Conținutul cursului 1 Introducere 2 3 4 Următorul paragraf 1 Introducere 2 3 4 Problemă... Problemă... Problemă... ... și soluție: Fată

PRELEȚIE DE DETERMINARE A PROBABILITĂȚII UNUI EVENIMENT Probabilitatea unui eveniment se referă la conceptele de bază ale teoriei probabilităților și exprimă o măsură a posibilității obiective ca un eveniment să se producă Pentru activitățile practice, este important

I Definirea probabilitatii si regulile de baza pentru calculul acesteia Experiment probabilistic Subiect al teoriei probabilitatilor

Cartea cu probleme Chudesenko, teoria probabilității, varianta Se aruncă două zaruri. Determinaţi probabilitatea ca: a suma numărului de puncte să nu depăşească N ; b produsul numărului de puncte nu depășește N; în

Alcătuit de: Profesor asociat al Departamentului de Fizică Medicală și Biologică Romanova N.Yu. Teoria probabilității 1 curs Introducere. Teoria probabilității este o știință matematică care studiază tiparele fenomenelor aleatorii.

MVDubatovskaya Teoria probabilității și statistica matematică Cursul 3 Metode de determinare a probabilităților 0 Definiția clasică a probabilităților Numim elementar oricare dintre rezultatele posibile ale unui experiment

Cursul 3 Tematica Principalele teoreme și formule ale teoriei probabilităților Conținutul temei Algebra evenimentelor. Teoreme de adunare a probabilităților. Probabilitate condițională. Teoreme de înmulțire a probabilității. Principalele categorii de algebră

Curs 1. Tema: ABORDĂRI DE BAZĂ ÎN DETERMINAREA PROBABILITĂȚII Subiectul teoriei probabilităților. Fundal istoric

M.P. Kharlamov http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Sinopsis Teoria probabilității și statistica matematică Rezumatul primei secțiuni (întrebări și răspunsuri) Dr. fiz.-matematică. Profesorul de științe Mihail Pavlovici Kharlamov

Teoria probabilității Plan de curs P Despre probabilitatea ca știință P Definițiile de bază ale probabilității P Frecvența unui eveniment aleatoriu Definiția probabilității P 4 Aplicarea combinatoriei la numărare

Elemente ale teoriei probabilităților Evenimente aleatoare Procese deterministe În știință și tehnologie sunt luate în considerare procese, al căror rezultat poate fi prezis cu certitudine: Dacă se aplică o diferență la capetele conductorului

TEMA 1 Combinatorie Calculul probabilităților Problema 1B La Cupa națională de fotbal participă 17 echipe Câte modalități există de a distribui medalii de aur, argint și bronz? În măsura în care

( σ-algebră - câmp de evenimente aleatoare - primul grup de axiome ale lui Kolmogorov - al doilea grup de axiome ale lui Kolmogorov - formule de bază ale teoriei probabilităților - teorema de adunare a probabilității - probabilitate condiționată

Fundamentele teoriei probabilităților Cursul 2 Cuprins 1. Probabilitatea condiționată 2. Probabilitatea produsului evenimentelor 3. Probabilitatea sumei evenimentelor 4. Formula probabilității totale Evenimente dependente și independente Definiție

N. G. TAKTAROV TEORIA PROBABILITĂȚII ȘI STATISTICA MATEMATICĂ: UN SCURT CURS CU EXEMPLE ȘI SOLUȚII

Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse Bugetul Federal de Stat Instituția de Învățământ de Învățământ Profesional Superior „Universitatea Socio-Economică de Stat Saratov”

Probleme de teoria probabilităților și statistică matematică. Evenimente aleatorii Sarcină. Într-un lot de N articole, articolele au un defect ascuns. Care este probabilitatea ca din k articole luate la întâmplare,

TEORIA PROBABILITĂȚII. SARCINI. Cuprins (pe temă) 1. Formula pentru definiția clasică a probabilității. Elemente de combinatorie. Probabilitate geometrică 4. Operaţii asupra evenimentelor. Teoreme de adunare și înmulțire

Formule combinatorii Să fie o mulțime formată din n elemente. Să o notăm cu U n. O permutare a n elemente este o ordine dată în mulțimea U n. Exemple de permutări: 1) distribuţie

CAPITOLUL 5 ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂȚII 5 Axiomele teoriei probabilităților Diverse evenimente pot fi clasificate după cum urmează: Eveniment imposibil Un eveniment care nu se poate întâmpla Anumit eveniment

PRCTICUM Formule de bază de combinatorică Tipuri de evenimente Acțiuni asupra evenimentelor Probabilitate clasică Probabilitate geometrică Formule de bază de combinatorică Combinatoria studiază numărul de combinații,

Formula probabilității totale. Să existe un grup de evenimente H 1, H 2,..., H n cu următoarele proprietăți: 1) Toate evenimentele sunt incompatibile perechi: H i H j =; i, j=1,2,...,n; ij 2) Formele lor de unire

MINISTERUL EDUCAȚIEI AL FEDERĂȚIA RUSĂ IVANOVO UNIVERSITATEA DE ENERGIE DE STAT DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ SUPERIORĂ

MINISTERUL CULTURII AL FEDERATIEI RUSĂ BUGET FEDERAL DE STAT INSTITUȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNT SUPERIOR PROFESIONAL „ST.

Teoria Probabilităţilor şi Statistică Matematică Doctor în Fiz.-Matematică. Profesorul de științe Mihail Pavlovici Kharlamov „Pagină” cu materiale metodologice http://inter.vags.ru/hmp Filiala Volgograd a RANEPA (FGOU

Vorobyov V.V. „Liceu”, Kalachinsk, regiunea Omsk Atelier de lucru privind rezolvarea problemelor în teoria probabilităților și statistica matematică

Teoria Probabilităţilor şi Statistică Matematică Doctor în Fiz.-Matematică. Profesorul de științe Mihail Pavlovici Kharlamov „Pagină” cu materiale metodologice http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Filiala Volgograd a RANEPA

TEORIA PROBABILITĂȚII. DISTRIBUȚIA VALORILOR ALEATORII Sarcină. Alege răspunsul corect:. Frecvența relativă a unui eveniment aleatoriu A este o valoare egală cu ... a) raportul dintre numărul de cazuri care favorizează

CONCEPTE DE BAZĂ ALE TEORIEI PROBABILITĂȚII. 3.1. Evenimente aleatorii. Fiecare știință, când studiază fenomenele lumii materiale, operează cu anumite concepte, printre care se numără în mod necesar și unele fundamentale;

Învățământ profesional superior Licență V. S. Mkhitaryan, V. F. Shishov, A. Yu. Kozlov Teoria probabilității și statistică matematică Manual recomandat de Asociația Educațională și Metodologică pentru Educație

CUPRINS SECȚIUNEA I. TEORIA PROBABILITĂȚII Cuvânt înainte............................................ ............. ......... 6 PARTEA I. EVENIMENTE ALEATORII ................... ............... 7 CAPITOLUL 1. Analiza combinatorie a elementelor ........................

Teoria Probabilităţilor şi Statistică Matematică Doctor în Fiz.-Matematică. Profesorul de științe Mihail Pavlovici Kharlamov Resurse de internet cu materiale metodologice http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Filiala Volgograd

Chiv prin S evenimentul, constând în faptul că sistemul nu este închis, se poate scrie: S = A 1 A 2 + B = (A 1 + A 2) + B. 2.18. Similar cu rezolvarea problemelor 2.5, 2.6, se obține S = A(B 1 +B 2) C D; S = A + B 1 B 2 + C

Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse BUGET DE STAT FEDERAL INSTITUȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNTUL SUPERIOR PROFESIONAL „KAZAN

TEORIA PROBABILITĂȚII Combinatoria, regulile de produs și de sumă Combinatoria ca știință Combinatoria este o ramură a matematicii care studiază compușii unui subset de elemente extrase din

Agenția Federală pentru Educație Universitatea de Stat din Tomsk pentru Sisteme de Control și Radioelectronică NE Lugina ATELIER DE TEORIA PROBABILITĂȚII Manual Tomsk 2006 Recenzători: Cand.

Prelegere Evenimente aleatorii Definiție. Un rezultat elementar (sau un eveniment elementar) este orice rezultat simplu (adică, indivizibil în cadrul unei experiențe date) al unei experiențe. Setul tuturor rezultatelor elementare

AGENȚIA FEDERALĂ PENTRU EDUCAȚIE Instituția de învățământ de stat de învățământ profesional superior Universitatea tehnică de stat din Ulyanovsk S. G. Valeev S. V. Kurkina Test

4. Teoria probabilității Lucrarea de control pe această temă include patru sarcini. Să prezentăm conceptele de bază ale teoriei probabilităților necesare implementării lor. Pentru rezolvarea problemelor 50 50 este necesară cunoașterea temei

Sectiunea „Probabilitate si statistica” E.M. Udalova. Districtul Primorsky, școala 579 Teoria probabilității este o știință matematică care vă permite să găsiți probabilitățile altor evenimente aleatoare din probabilitățile unor evenimente aleatoare

Problema 1. Într-o urnă sunt 40 de bile. Probabilitatea ca 2 bile extrase să fie albe este de 7 60. Câte bile albe sunt în urnă? Numărul de moduri în care k articole pot fi alese dintre n este egal cu C k

4 Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse Instituția de învățământ de stat de învățământ profesional superior Departamentul „Academia de Stat de Economie și Drept din Khabarovsk”

AGENȚIA FEDERALĂ PENTRU EDUCAȚIE A MINISTERULUI EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI A FEDERAȚIA RUSĂ GOUVPO „Universitatea de Stat din Perm” Conf. univ. V.V. Morozenko UDC 59. (075.8) Departamentul de Teorie superioară a matematicii

AGENȚIA FEDERALĂ PENTRU EDUCAȚIE Instituția de Învățământ de Stat de Învățământ Profesional Superior „Universitatea Politehnică Tomsk” L. I. Konstantinova TEORIA PROBABILITĂȚII ȘI MATEMATICĂ

Agenția Federală de Transport Feroviar Filiala a bugetului federal de stat Instituția de învățământ profesional superior „Universitatea de stat din Siberia

Definiția unui determinant de matrice O matrice pătrată este formată dintr-un element A = (a). Determinantul unei astfel de matrice este A = det(a) = a. () a a Matricea pătrată 2 2 este formată din patru elemente A =

COLEGIUL TOMSK DE TRANSPORT FERROVIAR FILIALA SGUPS CULEGERE DE SARCINI INDIVIDUALE „Elemente de combinatorică. Fundamentele teoriei probabilităților” disciplinele Teoria probabilității și Statistica matematică

À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL RUSIEI Instituția de învățământ de la bugetul de stat federal de învățământ profesional superior „Universitatea Tehnică de Stat Ukhta” (USTU) Atelier de disciplină

MVDubatov Teoria probabilității și statistică matematică Cursul 4 Teoreme de adunare și înmulțire Formula probabilității totale Formula Bayes Fie și B evenimente și probabilități incompatibile

SARCINI: 1. Folosind paranteze, notează setul de numere naturale situate pe raza dintre numerele 10 și 15. Care dintre numerele 0; zece; unsprezece; 12; cincisprezece; 50 aparțin acestui set? 2. Notează setul

AGENȚIA FEDERALĂ DE ÎNVĂȚĂMÂNT Instituția de Învățământ de Stat de Învățământ Profesional Superior „UNIVERSITATEA POLITEHNICĂ DE CERCETARE NAȚIONALĂ TOMSK” L.I. KONSTANTINOV

Curs 5 Subiect Schema Bernoulli. Conținutul subiectului Schema Bernoulli. formula Bernoulli. Cel mai probabil număr de succese în schema Bernoulli. Variabilă aleatoare binomială. Principalele categorii ale binomului lui Newton, schema

Ca urmare a studierii secțiunii, studentul trebuie:

stiu:

¾ concepte de bază ale combinatoriei;

¾ definiția clasică a probabilității;

¾ definirea unei variabile aleatoare;

¾ caracteristicile matematice ale unei variabile aleatoare: așteptarea și varianța matematică;

a fi capabil să:

¾ rezolva probleme pentru a afla probabilitatea unui eveniment;

¾ rezolva probleme pentru găsirea așteptărilor matematice și a varianței unei variabile aleatoare.

Concepte de bază ale combinatoriei

La secţiunea de matematică numită combinatorică se rezolvă unele probleme legate de luarea în considerare a mulţimilor şi alcătuirea diferitelor combinaţii de elemente ale acestor mulţimi. De exemplu, dacă luăm 10 numere diferite 0, 1, 2, ..., 9 și facem combinații ale acestora, vom obține numere diferite, de exemplu, 345, 534, 1036, 5671, 45 etc.

Vedem că unele dintre aceste combinații diferă doar în ordinea cifrelor (345 și 534), altele în numerele incluse în ele (1036, 5671), iar altele diferă și prin numărul de cifre (345 și 45).

Astfel, combinatiile obtinute satisfac diverse conditii. În funcție de regulile de compunere, se pot distinge trei tipuri de combinații: plasamente, permutări și combinații. Cu toate acestea, să ne familiarizăm mai întâi cu conceptul de factorial.

Produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n inclusiv se numește n-factorial.

1. Cazare . Aranjamentele de n elemente, m fiecare, sunt astfel de conexiuni care diferă unele de altele fie prin elementele în sine, fie prin ordinea aranjamentului lor.

Exemplu. Câte numere din două cifre pot fi formate din cele cinci cifre 1, 2, 3, 4, 5, cu condiția ca niciunul să nu se repete?

Decizie. Deoarece numerele din două cifre diferă unele de altele fie prin numerele în sine, fie prin ordinea lor, numărul dorit este egal cu numărul de plasări a cinci elemente cu două:

Exercițiu.În câte moduri pot fi alese trei persoane dintre opt candidați pentru trei posturi?

Raspuns: 336.

2. Permutări . Permutările a n elemente sunt astfel de compuși ai tuturor n elemente care diferă unul de celălalt în ordinea elementelor.

Exemplu. Să fie date trei litere A, B, C. Câte combinații ale acestor litere pot fi făcute?

Decizie. Numărul de permutări a trei elemente poate fi calculat folosind formula: 3! == 6.

Exercițiu.În câte moduri pot fi așezate 7 persoane în 7 locuri?

Decizie. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Răspuns: 5040.

3. Combinații . Combinațiile de n elemente, fiecare m, sunt astfel de compuși care diferă unul de celălalt prin cel puțin un element.

Exemplu.În câte moduri pot fi aleși trei însoțitori dacă în clasă sunt 30 de elevi?

Decizie. Deoarece trebuie să alegeți 3 din 30 de elevi, puteți face combinații care diferă unele de altele prin cel puțin un element, adică. combinații de la 30 la 3:

Răspuns: 4060.

Exercițiu.În câte moduri se pot forma echipe de 5 persoane din 15 lucrători?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Răspuns: 3003.

Întrebări pentru autocontrol

1. Enumeraţi principalele sarcini ale combinatoriei.

2. Ce se numesc permutări?

3. Scrieți formula permutărilor a n elemente.

4. Ce se numește plasamente?

5. Notați formula pentru numărul de plasări a n elemente cu m.

6. Ce se numesc combinatii?

7. Notați formula pentru numărul de combinații de n elemente cu m.

Sarcina de control

SARCINI PRACTICE PENTRU AUTOCONTROL
Combinatorică
Câte numere diferite din cinci cifre pot fi făcute din cifrele 1, 3, 5, 7, 9, cu condiția ca nicio cifră să nu se repete în număr?

Câte opțiuni există pentru distribuirea a trei premii dacă la extragere participă 7 echipe?

În câte moduri pot fi selectați doi studenți pentru conferință dacă sunt 33 de persoane în grup?

Rezolvarea ecuațiilor
a) Ecuația 13 EMBED.3 1415. b) Ecuația 13 EMBED.3 1415.
Câte numere din patru cifre divizibile cu 5 pot fi făcute din cifrele 0, 1, 2, 5, 7 dacă fiecare număr nu trebuie să conțină aceleași cifre?

Dintr-un grup de 15 persoane ar trebui selectați un maistru și 4 membri ai brigăzii. În câte moduri se poate face acest lucru?

Literele de cod Morse sunt formate din simboluri (puncte și liniuțe). Câte litere pot fi reprezentate dacă fiecare literă trebuie să conțină cel mult cinci caractere?

În câte moduri pot fi formate panglici în patru culori din șapte panglici de culori diferite?

În câte moduri pot fi alese patru persoane pentru patru posturi diferite dintre nouă candidați?

În câte moduri poți alege 3 din 6 cărți?

Înainte de absolvire, un grup de 30 de studenți au făcut schimb de fotografii. Câte fotografii au fost distribuite.

În câte moduri pot fi așezați 10 invitați în zece locuri la masa festivă?

Câte meciuri trebuie să joace 20 de echipe de fotbal într-un campionat dintr-o rundă?

În câte moduri pot fi împărțiți 12 persoane în echipe dacă sunt 6 persoane în fiecare echipă?

Teoria probabilității
O urnă conține 7 bile roșii și 6 albastre. Două bile sunt scoase din urnă în același timp. Care este probabilitatea ca ambele bile să fie roșii (evenimentul A)?

Nouă cărți diferite sunt aranjate la întâmplare pe un raft. Găsiți probabilitatea ca patru anumite cărți să fie plasate una lângă alta (evenimentul C).

Din 10 bilete, 2 sunt câștigătoare.Determină probabilitatea ca dintre 5 bilete luate la întâmplare, unul să fie câștigător.

3 cărți sunt extrase la întâmplare dintr-un pachet de cărți (52 de cărți). Aflați probabilitatea ca acesta să fie un trei, șapte, as.

Copilul se joacă cu cele cinci litere ale alfabetului împărțit A, K, R, W, Y. Care este probabilitatea ca, cu un aranjament aleatoriu de litere pe rând, să primească cuvântul „Acoperiș”.

O cutie conține 6 bile albe și 4 roșii. Două bile sunt luate la întâmplare. Care este probabilitatea ca acestea să fie de aceeași culoare?

Prima urna contine 6 bile negre si 4 albe, a doua urna contine 5 bile negre si 7 albe. Din fiecare urnă se extrage câte o minge. Care este probabilitatea ca ambele bile să fie albe?

Variabila aleatoare, așteptarea matematică și varianța unei variabile aleatoare
Notați legea de distribuție a numărului de lovituri pe țintă cu șase lovituri, dacă probabilitatea de a lovi cu o singură lovitură este 0,4.

Probabilitatea ca un elev să găsească în bibliotecă cartea de care are nevoie este de 0,3. Întocmește o lege de distribuție a numărului de biblioteci pe care le va vizita dacă în oraș sunt patru biblioteci.

Vânătorul trage în joc înainte de prima lovitură, dar nu reușește să facă mai mult de patru lovituri. Găsiți varianța numărului de rateuri dacă probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este 0,7.

Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare X, dacă legea distribuției sale este dată de tabel:

X
1
2
3
4

R
0,3
0,1
0,2
0,4

Uzina are patru linii automate. Probabilitatea ca în timpul schimbului de lucru prima linie să nu necesite ajustare este de 0,9, a doua - 0,8, a treia - 0,75, a patra - 0,7. găsiți așteptarea matematică a numărului de linii care nu necesită ajustare în timpul schimbului de lucru.
Aflați varianța unei variabile aleatoare X, cunoscând legea distribuției sale:

X
0
1
2
3
4

R
0,2
0,4
0,3
0,08
0,02

V. RĂSPUNSURI

Combinatorică
1. 13 Ecuația EMBED.3 1415. 2. 13 Ecuația EMBED.3 1415. 3. 13 Ecuația EMBED.3 1415. 4. a) 13 Ecuația EMBED.3 1415, 5; b) 13 Ecuația EMBED.3 1415. 5. 13 Ecuația EMBED.3 1415. 6.13 Ecuația EMBED.3 1415. 7. 13 Ecuația EMBED.3 1415. 8. 13 Ecuația EMBED.3 1415.3 1415. EMBED EMBED 1415. 10.13 Ecuația EMBED.3 1415. 11. 13 Ecuația EMBED.3 1415. 12. 13 Ecuația EMBED.3 1415. 13.190.14.924.

Teoria probabilității
1. 13 Ecuația EMBED.3 1415 2.13 Ecuația EMBED.3 1415 3. 13 Ecuația EMBED.3 1415 4. 13 Ecuația EMBED.3 14155. 13 Ecuația EMBED.3 14156.133 Ecuația EMBED 14156.133.

Variabila aleatoare, așteptarea matematică și varianța unei variabile aleatoare.
1.
0
1
2
3
4
5
6

0,046656
0,186624
0,311040
0,276480
0,138240
0,036864
0,004096

2.
1
2
3
4

0,3
0,21
0,147
0,343

3. 13 Ecuația EMBED.3 1415 4. 13 Ecuația EMBED.3 1415 5.13 Ecuația EMBED.3 1415 6.13 Ecuația EMBED.3 1415.

Intrare rădăcină Ecuație Ecuație nativă Ecuație nativă Ecuație nativă Ecuație nativă Ecuație nativă Ecuație nativă Ecuație nativă Ecuație nativă Ecuație nativă Ecuație nativă Ecuație nativă Ecuație nativă Ecuație nativă Ecuație nativă Ecuație nativă Ecuație nativă Ecuație nativă Ecuație nativă Ecuație nativă Ecuație nativă