După ce primim informații generale despre egalitățile în matematică, trecem la subiecte mai restrânse. Materialul acestui articol va oferi o idee despre proprietățile egalităților numerice.

Ce este egalitatea numerică

Prima dată când întâlnim egalități numerice în școala elementară, când ne familiarizăm cu numerele și conceptul de „același”. Acestea. cele mai primitive egalităţi numerice sunt: ​​2 = 2, 5 = 5 etc. Și la acel nivel de studiu, le-am numit pur și simplu egalități, fără a preciza „numerice”, și am pus în ele un sens cantitativ sau ordinal (pe care îl poartă numerele naturale). De exemplu, ecuația 2 = 2 ar corespunde unei imagini cu două flori și doi bondari cocoțați pe fiecare. Sau, de exemplu, două cozi, unde Vasya și Vanya sunt pe locul doi în ordine.

Pe măsură ce apar cunoștințele operațiilor aritmetice, egalitățile numerice devin mai dificile: 5 + 7 \u003d 12; 6 - 1 = 5; 2 1 = 2; 21: 7 = 3 etc. Apoi încep să apară egalități, la înregistrarea cărora participă expresii numerice de diferite tipuri. De exemplu, (2 + 2) + 5 = 2 + (5 + 2) ; 4 (4 − (1 + 2)) + 12: 4 − 1 = 4 1 + 3 − 1 etc. Apoi facem cunoștință cu alte tipuri de numere, iar egalitățile numerice devin din ce în ce mai interesante și mai diverse.

Definiția 1

Egalitatea numerică este o egalitate, din care ambele părți constau din numere și/sau expresii numerice.

Proprietăţi ale egalităţilor numerice

Este dificil de supraestimat importanța proprietăților egalităților numerice în matematică: ele stau la baza multor lucruri, determină principiul lucrului cu egalități numerice, metode de rezolvare, reguli de lucru cu formule și multe altele. Evident, există necesitatea unui studiu detaliat al proprietăților egalităților numerice.

Proprietățile egalităților numerice sunt absolut în concordanță cu modul în care sunt definite acțiunile cu numere, precum și cu definirea numerelor egale prin diferența: număr A este egal cu numărul b numai când diferenţa a-b este zero. Mai departe, în descrierea fiecărei proprietăți, vom urmări această legătură.

Proprietățile de bază ale egalităților numerice

Să începem să studiem proprietățile egalităților numerice cu trei proprietăți de bază care sunt inerente tuturor egalităților. Enumerăm principalele proprietăți ale egalităților numerice:

• proprietatea reflexivității: a = a;
• proprietatea simetriei: dacă a = b, apoi b = a;
• proprietate de tranzitivitate: dacă a = bși b=c, apoi a = c, unde a , b și c sunt numere arbitrare.

Definiția 2

Proprietatea reflexivității denotă faptul că un număr este egal cu el însuși: de exemplu, 6 = 6, - 3 = - 3, 4 3 7 = 4 3 7 etc.

Dovada 1

Este ușor să demonstrezi validitatea egalității a − a = 0 pentru orice număr A: diferență a - a poate fi scris ca o sumă a + (− a), iar proprietatea de adunare a numerelor ne oferă posibilitatea de a afirma că orice număr A corespunde singurului număr opus − a, iar suma lor este zero.

Definiția 3

După proprietatea de simetrie a egalităţilor numerice: dacă numărul A este egal cu numărul b,
acel număr b este egal cu numărul A. De exemplu, 4 3 = 64 , apoi 64 = 4 3 .

Dovada 2

Puteți justifica această proprietate prin diferența de numere. condiție a = b corespunde egalității a − b = 0. Să demonstrăm asta b − a = 0.

Să scriem diferența b - a la fel de - (a - b), bazându-se pe regula deschiderii parantezelor precedate de semnul minus. Noua intrare pentru expresie este - 0, iar opusul lui zero este zero. Prin urmare, b − a = 0, prin urmare: b = a.

Definiția 4

Proprietatea tranzitivității egalităților numerice afirmă că două numere sunt egale între ele dacă sunt simultan egale cu un al treilea număr. De exemplu, dacă 81 = 9 și 9 = 3 2 , apoi 81 = 3 2 .

Proprietatea tranzitivității corespunde și definiției numerelor egale prin diferența și proprietățile operațiilor cu numere. Egalități a = bși b=c corespund egalităţilor a − b = 0și b − c = 0.

Dovada 3

Să demonstrăm egalitatea a - c = 0, din care va urma egalitatea numerelor Ași c. Deoarece adăugarea unui număr la zero nu schimbă numărul în sine, atunci a - c scrie in formular a + 0 - c. În loc de zero, înlocuim suma numerelor opuse −bși b, atunci expresia finală devine: a + (− b + b) − c. Să grupăm termenii: (a - b) + (b - c). Diferențele dintre paranteze sunt egale cu zero, apoi suma (a - b) + (b - c) este zero. Aceasta demonstrează că atunci când a − b = 0și b − c = 0, egalitatea a - c = 0, Unde a = c.

Alte proprietăți importante ale egalităților numerice

Principalele proprietăți ale egalităților numerice discutate mai sus stau la baza unui număr de proprietăți suplimentare care sunt destul de valoroase în contextul practicii. Să le enumerăm:

Definiția 5

Adunând (sau scăzând din) ambele părți ale egalității numerice, ceea ce este adevărat, același număr, obținem egalitatea numerică corectă. Să-l scriem la propriu: dacă a = b, Unde Ași b sunt niște numere, atunci a + c = b + c pentru orice c.

Dovada 4

Ca o justificare, scriem diferența (a + c) − (b + c).
Această expresie poate fi ușor convertită în formă (a - b) + (c - c).
Din a = b prin condiţie rezultă că a − b = 0și c − c = 0, apoi (a - b) + (c - c) = 0 + 0 = 0. Aceasta demonstrează că (a + c) − (b + c) = 0, prin urmare, a + c = b + c;

Definiția 6

Dacă ambele părți ale egalității numerice corecte sunt înmulțite cu orice număr sau împărțite la un număr care nu este egal cu zero, atunci obținem egalitatea numerică corectă.
Să o scriem la propriu: când a = b, apoi a c = b c pentru orice număr c. Dacă c ≠ 0 atunci și a:c = b:c.

Dovada 5

Egalitatea este adevărată: a c − b c = (a − b) c = 0 c = 0, și implică egalitatea produselor a cși b c. Iar împărțirea cu un număr diferit de zero c poate fi scrisă ca o înmulțire cu reciproca lui 1 c ;

Definiția 7

La Ași b, diferite de zero și egale între ele, reciprocele lor sunt și ele egale.
Să scriem: când a ≠ 0 , b ≠ 0 și a = b, apoi 1 a = 1 b. Egalitatea extremă nu este greu de demonstrat: în acest scop, împărțim ambele părți ale egalității a = b printr-un număr egal cu produsul a bși nu egal cu zero.

De asemenea, subliniem câteva proprietăți care permit adăugarea și înmulțirea părților corespunzătoare ale egalităților numerice corecte:

Definiția 8

Prin adăugarea termen cu termen a egalităților numerice corecte, se obține egalitatea corectă. Această proprietate se scrie astfel: dacă a = bși c = d, apoi a + c = b + d pentru orice numere a, b, c și d.

Dovada 6

Este posibilă fundamentarea acestei proprietăți utile pe baza proprietăților menționate anterior. Știm că orice număr poate fi adăugat la ambele părți ale unei egalități adevărate.
Spre egalitate a = b adăugați numărul c, și la egalitate c = d- număr b, rezultatul va fi egalitățile numerice corecte: a + c = b + cși c + b = d + b. Pe ultimul îl scriem sub forma: b + c = b + d. Din egalităţi a + c = b + cși b + c = b + d după proprietatea tranzitivității urmează egalitatea a + c = b + d. Ceea ce trebuia dovedit.

Este necesar să se clarifice că termen cu termen este posibil să se adauge nu numai două egalități numerice adevărate, ci și trei sau mai multe;

Definiția 7

În cele din urmă, descriem o astfel de proprietate: înmulțirea termen cu termen a două egalități numerice corecte dă egalitatea corectă. Să scriem cu litere: dacă a = bși c = d, apoi a c = b d.

Dovada 7

Dovada acestei proprietăți este similară cu cea anterioară. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu orice număr, înmulțiți a = b pe c, A c = d pe b, obținem egalitățile numerice corecte a c = b cși c b = d b. Scriem ultimul ca b c = b d. Proprietatea tranzitivității face posibilă din egalitate a c = b cși b c = b d derivă egalitatea a c = b d pe care trebuia să-l dovedim.

Și din nou, clarificăm că această proprietate este aplicabilă pentru două, trei sau mai multe egalități numerice.
Astfel, se poate scrie: dacă a = b, apoi a n = b n pentru orice numere Ași b, și orice număr natural n.

Să încheiem acest articol prin colectarea tuturor proprietăților luate în considerare pentru claritate:

Dacă a = b , atunci b = a .

Dacă a = b și b = c , atunci a = c .

Dacă a = b , atunci a + c = b + c .

Dacă a = b, atunci a c = b c.

Dacă a = b și c ≠ 0, atunci a: c = b: c.

Dacă a = b , a = b , a ≠ 0 și b ≠ 0 , atunci 1 a = 1 b .

Dacă a = b și c = d, atunci a c = b d.

Dacă a = b , atunci a n = b n .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Având o idee generală despre egalități în matematică, putem trece la un studiu mai detaliat al acestei probleme. În acest articol, vom explica, în primul rând, ce sunt egalitățile numerice și, în al doilea rând, vom studia.

Navigare în pagină.

Ce este egalitatea numerică?

Cunoașterea egalităților numerice începe chiar din etapa inițială a studierii matematicii la școală. Acest lucru se întâmplă de obicei în clasa 1 imediat după ce primele numere de la 1 la 9 devin cunoscute și după ce expresia „la fel” capătă sens. Apoi apar primele egalități numerice, de exemplu, 1=1, 3=3 etc., care în acest stadiu sunt de obicei numite simplu egalități fără o definiție clarificatoare a „numericului”.

Egalităților de tipul specificat în această etapă primesc un sens cantitativ sau ordinal, care este încorporat în . De exemplu, ecuația numerică 3=3 corespundea imaginii, care arată două ramuri ale unui copac, fiecare având câte 3 păsări așezate pe el. Sau când camarazii noștri Petya și Kolya sunt al treilea la rând în două rânduri.

După studierea operațiilor aritmetice, apar înregistrări mai diverse ale egalităților numerice, de exemplu, 3+1=4, 7−2=5, 3 2=6, 8:4=2 etc. În plus, încep să apară egalități numerice de o formă și mai interesantă, care conține diverse părți în părțile lor, de exemplu, (2+1)+3=2+(1+3) , 4 (4−(1+2))+12:4−1=4 1+3−1și altele asemenea. Apoi există o cunoaștere cu alte tipuri de numere, iar egalitățile numerice devin din ce în ce mai diverse.

Așadar, este suficient să bateți în jurul tufișului, este timpul să dați o definiție a egalității numerice:

Definiție.

Egalitatea numerică este o egalitate, în ambele părți din care există numere și/sau expresii numerice.

Proprietăţi ale egalităţilor numerice

Principiile de lucru cu egalități numerice sunt determinate de proprietățile lor. Și multe sunt legate de proprietățile egalităților numerice din matematică: de la proprietățile de rezolvare a ecuațiilor și unele metode de rezolvare a sistemelor de ecuații până la regulile de lucru cu formule care conectează diverse cantități. Aceasta explică necesitatea unui studiu detaliat al proprietăților egalităților numerice.

Proprietățile egalităților numerice sunt deplin în acord cu modul în care sunt definite operațiile cu numere și sunt, de asemenea, în acord cu definirea numerelor egale prin diferență: numărul a este egal cu numărul b dacă și numai dacă diferența a−b este egală cu zero. Mai jos, când descriem fiecare proprietate, vom urmări această legătură.

Proprietățile de bază ale egalităților numerice

O revizuire a proprietăților egalităților numerice ar trebui să înceapă cu trei proprietăți de bază care sunt caracteristice tuturor egalităților fără excepție. Asa de, proprietățile de bază ale egalităților numerice Acest:

• proprietatea reflexivității: a=a ;
• proprietatea simetriei: dacă a=b , atunci b=a ;
• și proprietatea tranzitivității: dacă a=b și b=c , atunci a=c ,

unde a, b și c sunt numere arbitrare.

Proprietatea de reflexivitate a egalităților numerice se referă la faptul că un număr este egal cu el însuși. De exemplu, 5=5 , −2=−2 , etc.

Este ușor de arătat că pentru orice număr a egalitatea a−a=0 este adevărată. Într-adevăr, diferența a−a poate fi rescrisă ca sumă a+(−a) , iar din proprietățile adunării numerelor știm că pentru orice număr a există un unic −a , iar suma numerelor opuse este egală cu zero .

Proprietatea de simetrie a egalităților numerice afirmă că dacă numărul a este egal cu numărul b, atunci numărul b este egal cu numărul a. De exemplu, dacă 2 3 =8 (vezi ), atunci 8=2 3 .

Justificăm această proprietate prin diferența de numere. Condiția a=b corespunde egalității a−b=0 . Să arătăm că b−a=0 . Regula pentru deschiderea parantezelor precedate de semnul minus ne permite să rescriem diferența b−a ca −(a−b) , care la rândul său este egal cu −0 , iar numărul opus zero este zero. Prin urmare, b−a=0 , ceea ce implică că b=a .

Proprietatea tranzitivității egalităților numerice afirmă că două numere sunt egale atunci când ambele sunt egale cu un al treilea număr. De exemplu, din egalitățile (vezi ) și 4=2 2 rezultă că .

Această proprietate este, de asemenea, în concordanță cu definiția numerelor egale prin diferență și proprietățile operațiilor cu numere. Într-adevăr, egalitățile a=b și b=c corespund egalităților a−b=0 și b−c=0 . Să arătăm că a−c=0 , de unde va rezulta că numerele a și c sunt egale. Deoarece adăugarea zero nu schimbă numărul, a−c poate fi rescris ca a+0−c . Zero este înlocuit cu suma numerelor opuse −b și b , în timp ce ultima expresie ia forma a+(−b+b)−c . Acum putem grupa termenii astfel: (a−b)+(b−c) . Și diferențele dintre paranteze sunt zerouri, prin urmare suma (a−b)+(b−c) este egală cu zero. Aceasta demonstrează că, în condiția a−b=0 și b−c=0, egalitatea a−c=0 este valabilă, de unde a=c .

Alte proprietăți importante

Dintre principalele proprietăți ale egalităților numerice, analizate în paragraful precedent, urmează o serie de proprietăți care au valoare practică tangibilă. Să le descompunem.

Să începem cu această proprietate: dacă adăugați (sau scădeți) același număr la ambele părți ale unei egalități numerice adevărate, atunci obțineți o egalitate numerică adevărată. Folosind litere, se poate scrie astfel: dacă a=b , unde a și b sunt niște numere, atunci a+c=b+c pentru orice număr c .

Pentru a justifica, compunem diferența (a+c)−(b+c) . Poate fi convertit la forma (a−b)+(c−c) . Deoarece a=b prin convenție, atunci a−b=0 și c−c=0 , deci (a−b)+(c−c)=0+0=0 . Aceasta demonstrează că (a+c)−(b+c)=0 , deci a+c=b+c .

Mergem mai departe: dacă ambele părți ale unei egalități numerice adevărate sunt înmulțite cu orice număr sau împărțite la un număr diferit de zero, atunci obținem egalitatea numerică corectă. Adică, dacă a=b , atunci a c=b c pentru orice număr c , iar dacă c este un număr diferit de zero, atunci a:c=b:c .

Într-adevăr, a·c−b·c=(a−b)·c=0·c=0 , ceea ce implică faptul că produsele lui a·c și b·c sunt egale. Și împărțirea cu un număr diferit de zero c poate fi considerată ca o înmulțire cu 1/c.

Din proprietatea analizată a egalităților numerice, rezultă o consecință utilă: dacă a și b sunt diferite de zero și numere egale, atunci reciprocele lor sunt și ele egale. Adică dacă a≠0, b≠0 și a=b, atunci 1/a=1/b. Ultima egalitate este ușor de demonstrat: pentru aceasta, este suficient să împărțim ambele părți ale egalității inițiale a=b la un număr diferit de zero egal cu produsul a b .

Și să ne oprim asupra a încă două proprietăți care ne permit să adunăm și să înmulțim părțile corespunzătoare ale egalităților numerice corecte.

Dacă adăugați egalitățile numerice corecte termen cu termen, atunci obțineți egalitatea corectă. Adică, dacă a=b și c=d , atunci a+c=b+d pentru orice numere a , b , c și d .

Să justificăm această proprietate a egalităților numerice, plecând de la proprietățile deja cunoscute nouă. Se știe că putem adăuga orice număr la ambele părți ale unei egalități adevărate. În egalitatea a=b adunăm numărul c, iar în egalitatea c+d adunăm numărul b, ca urmare obținem egalitățile numerice corecte a+c=b+c și c+b=d+b , ultimul dintre care îl rescriem ca b+c= b+d. Din egalitățile a+c=b+c și b+c=b+d, prin proprietatea tranzitivității, rezultă egalitatea a+c=b+d, care urma să fie demonstrată.

Rețineți că este posibil să adăugați termen cu termen nu numai două egalități numerice corecte, ci și trei și patru și orice număr finit al acestora.

Terminăm trecerea în revistă a proprietăților egalităților numerice cu următoarea proprietate: dacă înmulțim două egalități numerice corecte termen cu termen, obținem egalitatea corectă. Să o formulăm formal: dacă a=b și c=d , atunci a c=b d .

Dovada acestei proprietăți este similară cu cea anterioară. Putem înmulți ambele părți ale egalității cu orice număr, înmulțim a=b cu c și c=d cu b, obținem egalitățile numerice corecte a c=b c și c b=d b , ultima dintre care o rescriem ca b c=b d . Atunci, prin proprietatea tranzitivității, egalitățile a·c=b·c și b·c=b·d implică egalitatea necesară a·c=b·d .

Rețineți că proprietatea vocală este adevărată pentru înmulțirea termen cu termen a trei sau mai multe egalități numerice corecte. Din această afirmație rezultă că dacă a=b , atunci a n =b n pentru orice numere a și b și orice număr natural n .

La sfârșitul acestui articol, scriem toate proprietățile analizate ale egalităților numerice într-un tabel:

Bibliografie.

• Moro M.I.. Matematică. Proc. pentru 1 cl. din timp şcoală La 2 p. Partea 1. (Primul semestru) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - ed. a VI-a. - M.: Iluminismul, 2006. - 112 p.: ill. + Ap. (2 separate l. ill.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Algebră: manual pentru 7 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Și acum să analizăm această sarcină în detaliu.

Luați în considerare următoarea celulă din piramidă.

Știm că 11 este suma lui 7 și un alt număr necunoscut. Evident, al doilea număr este 4, așa că putem completa celula din dreapta pe primul rând.

A rămas o celulă goală în piramidă. Ar trebui să conțină un număr, adăugând la care 7 ar trebui să obțină 12. Astfel. în celula goală din stânga pe primul rând ar trebui să fie numărul 5.

Luați în considerare celulele din al doilea rând. Ar trebui să existe două numere în a căror sumă ar trebui să fie egală cu 24. În același timp, rețineți că pentru a obține cele două numere dorite în a doua coloană, trebuie să adăugați 3 și 5 la un număr necunoscut, care este situat în celula din mijloc a primului rând, adică diferența dintre aceste două numere ar trebui să fie egală cu 2. Numerele 11 și 13 sunt potrivite pentru aceste condiții, deoarece 11 + 13 \u003d 24, iar pe de altă parte 13 - 11 \ u003d 2. Astfel, putem completa celulele din al 2-lea rând.

Și rămâne să găsim ultimul număr din primul rând. Acest număr se poate obține dacă se adună la 3 și apoi obținem 11. Astfel. acest numar este 8.