Ce este o funcție generică. Funcții pare și impare

Conversie grafică.

Descrierea verbală a funcției.

Mod grafic.

Modul grafic de specificare a unei funcții este cel mai ilustrativ și este adesea folosit în inginerie. În analiza matematică, modalitatea grafică de specificare a funcțiilor este folosită ca ilustrație.

Graficul funcției f este mulțimea tuturor punctelor (x; y) ale planului de coordonate, unde y=f(x) și x „parcurge” întregul domeniu al funcției date.

O submulțime a planului de coordonate este un grafic al unei funcții dacă are cel mult un punct comun cu orice dreaptă paralelă cu axa Oy.

Exemplu. Cifrele de mai jos sunt grafice ale funcțiilor?

Avantajul unei sarcini grafice este claritatea acesteia. Puteți vedea imediat cum se comportă funcția, unde crește, unde scade. Din grafic, puteți afla imediat câteva caracteristici importante ale funcției.

În general, modurile analitice și grafice de definire a unei funcții merg mână în mână. Lucrul cu formula ajută la construirea unui grafic. Iar graficul sugerează adesea soluții pe care nu le vei observa în formulă.

Aproape orice student cunoaște cele trei moduri de a defini o funcție pe care tocmai le-am acoperit.

Să încercăm să răspundem la întrebarea: „Există și alte moduri de a defini o funcție?”

Există o astfel de cale.

O funcție poate fi definită fără ambiguitate în cuvinte.

De exemplu, funcția y=2x poate fi definită prin următoarea descriere verbală: fiecărei valori reale a argumentului x i se atribuie valoarea sa dublată. Regula este stabilită, funcția este stabilită.

Mai mult, este posibilă precizarea verbală a unei funcții, ceea ce este extrem de dificil, dacă nu imposibil, de precizat printr-o formulă.

De exemplu: fiecare valoare a argumentului natural x este asociată cu suma cifrelor care alcătuiesc valoarea lui x. De exemplu, dacă x=3, atunci y=3. Dacă x=257, atunci y=2+5+7=14. etc. Este dificil să notezi asta într-o formulă. Dar masa este ușor de făcut.

Metoda descrierii verbale este o metodă destul de rar folosită. Dar uneori se întâmplă.

Dacă există o lege a corespondenței unu-la-unu între x și y, atunci există o funcție. Ce lege, sub ce formă este exprimată - printr-o formulă, tabletă, grafic, cuvinte - nu schimbă esența materiei.

Luați în considerare funcțiile ale căror domenii de definiție sunt simetrice față de originea coordonatelor, i.e. pentru oricine X număr în afara domeniului de aplicare (- X) aparține și domeniului definiției. Printre aceste funcții se numără par si impar.

Definiție. Se apelează funcția f chiar, dacă pentru vreunul Xîn afara domeniului său

Exemplu. Luați în considerare funcția

Ea este egală. Hai să verificăm.

Pentru oricine X egalitățile

Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite pentru noi, ceea ce înseamnă că funcția este pară. Mai jos este un grafic al acestei funcții.

Definiție. Se apelează funcția f ciudat, dacă pentru vreunul Xîn afara domeniului său

Exemplu. Luați în considerare funcția

Ea este ciudată. Hai să verificăm.

Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul (0; 0).

Pentru oricine X egalitățile

Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite pentru noi, ceea ce înseamnă că funcția este impară. Mai jos este un grafic al acestei funcții.

Graficele prezentate în prima și a treia figură sunt simetrice față de axa y, iar graficele prezentate în figurile a doua și a patra sunt simetrice față de origine.

Care dintre funcțiile ale căror grafice sunt prezentate în figuri sunt pare și care sunt impare?

Chiar și funcție.

Chiar Este apelată o funcție al cărei semn nu se schimbă atunci când semnul este schimbat X.

X egalitate f(–X) = f(X). Semn X nu afectează semnul y.

Graficul unei funcții pare este simetric față de axa de coordonate (Fig. 1).

Chiar și exemple de funcții:

y= cos X

y = X 2

y = –X 2

y = X 4

y = X 6

y = X 2 + X

Explicaţie:
Să luăm o funcție y = X 2 sau y = –X 2 .
Pentru orice valoare X functia este pozitiva. Semn X nu afectează semnul y. Graficul este simetric față de axa de coordonate. Aceasta este o funcție uniformă.

funcţie impară.

ciudat este o funcție al cărei semn se schimbă atunci când semnul este schimbat X.

Cu alte cuvinte, pentru orice valoare X egalitate f(–X) = –f(X).

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine (Fig. 2).

Exemple de funcție impară:

y= păcat X

y = X 3

y = –X 3

Explicaţie:

Luați funcția y = - X 3 .
Toate valorile la va avea semnul minus. Acesta este semnul X afectează semnul y. Dacă variabila independentă este un număr pozitiv, atunci funcția este pozitivă; dacă variabila independentă este un număr negativ, atunci funcția este negativă: f(–X) = –f(X).
Graficul funcției este simetric față de origine. Aceasta este o funcție ciudată.

Proprietățile funcțiilor pare și impare:

NOTĂ:

Nu toate caracteristicile sunt pare sau impare. Există funcții care nu sunt supuse unei astfel de gradări. De exemplu, funcția rădăcină la = √X nu se aplică funcțiilor pare sau impare (Fig. 3). Atunci când enumerați proprietățile unor astfel de funcții, trebuie oferită o descriere adecvată: nici par, nici impar.

Funcții periodice.

După cum știți, periodicitatea este repetarea anumitor procese la un anumit interval. Funcțiile care descriu aceste procese sunt numite functii periodice. Adică acestea sunt funcții în ale căror grafice există elemente care se repetă la anumite intervale numerice.

Dependența variabilei y de variabila x, în care fiecare valoare a lui x corespunde unei singure valori a lui y se numește funcție. Notația este y=f(x). Fiecare funcție are o serie de proprietăți de bază, cum ar fi monotonitatea, paritatea, periodicitatea și altele.

Luați în considerare proprietatea de paritate mai detaliat.

O funcție y=f(x) este apelată chiar dacă îndeplinește următoarele două condiții:

2. Valoarea funcției la punctul x aparținând domeniului funcției trebuie să fie egală cu valoarea funcției la punctul -x. Adică, pentru orice punct x, din domeniul funcției, următoarea egalitate f (x) \u003d f (-x) trebuie să fie adevărată.

Graficul unei funcții pare

Dacă construiți un grafic al unei funcții pare, aceasta va fi simetrică față de axa y.

De exemplu, funcția y=x^2 este pară. Hai să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O.

Luați un x=3 arbitrar. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Prin urmare, f(x) = f(-x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite pentru noi, ceea ce înseamnă că funcția este pară. Mai jos este un grafic al funcției y=x^2.

Figura arată că graficul este simetric față de axa y.

Graficul unei funcții impare

O funcție y=f(x) se numește impară dacă îndeplinește următoarele două condiții:

1. Domeniul funcției date trebuie să fie simetric față de punctul O. Adică dacă un punct a aparține domeniului funcției, atunci punctul corespunzător -a trebuie să aparțină și domeniului funcției date.

2. Pentru orice punct x, din domeniul funcției, trebuie îndeplinită următoarea egalitate f (x) \u003d -f (x).

Graficul unei funcții impare este simetric față de punctul O - originea. De exemplu, funcția y=x^3 este impară. Hai să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O.

Luați un x=2 arbitrar. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Prin urmare f(x) = -f(x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite pentru noi, ceea ce înseamnă că funcția este impară. Mai jos este un grafic al funcției y=x^3.

Figura arată clar că funcția impară y=x^3 este simetrică față de origine.

Ascundeți afișarea

Modalități de a seta o funcție

Fie funcția dată de formula: y=2x^(2)-3 . Atribuind orice valoare variabilei independente x, puteți utiliza această formulă pentru a calcula valorile corespunzătoare ale variabilei dependente y. De exemplu, dacă x=-0,5 , atunci folosind formula, obținem că valoarea corespunzătoare a lui y este y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

Având în vedere orice valoare luată de argumentul x în formula y=2x^(2)-3 , poate fi calculată o singură valoare a funcției care îi corespunde. Funcția poate fi reprezentată sub formă de tabel:

X	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Folosind acest tabel, vă puteți da seama că pentru valoarea argumentului -1, valoarea funcției -3 va corespunde; iar valoarea x=2 va corespunde cu y=0 și așa mai departe. De asemenea, este important de știut că fiecare valoare de argument din tabel corespunde unei singure valori de funcție.

Mai multe funcții pot fi setate folosind grafice. Cu ajutorul graficului se stabilește ce valoare a funcției se corelează cu o anumită valoare a lui x. Cel mai adesea, aceasta va fi o valoare aproximativă a funcției.

Funcția pară și impară

Funcția este chiar funcția, când f(-x)=f(x) pentru orice x din domeniu. O astfel de funcție va fi simetrică față de axa Oy.

Funcția este funcţie impară când f(-x)=-f(x) pentru orice x din domeniu. O astfel de funcție va fi simetrică față de originea O (0;0) .

Funcția este nici măcar, nici ciudatși a sunat functia generala când nu are simetrie în raport cu axa sau originea.

Examinăm următoarea funcție pentru paritate:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) cu un domeniu de definiție simetric despre origine. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Prin urmare, funcția f(x)=3x^(3)-7x^(7) este impară.

Funcția periodică

Funcția y=f(x) , în domeniul căreia f(x+T)=f(x-T)=f(x) este adevărată pentru orice x, se numește functie periodica cu perioada T \neq 0 .

Repetarea graficului funcției pe orice segment al axei absciselor, care are lungimea T .

Intervale în care funcția este pozitivă, adică f (x) > 0 - segmente ale axei absciselor, care corespund punctelor graficului funcției care se află deasupra axei absciselor.

f(x) > 0 pe (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Lacune în care funcția este negativă, adică f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Limitarea funcției

mărginit de jos se obișnuiește să se numească o funcție y=f(x), x \in X când există un număr A pentru care inegalitatea f(x) \geq A este valabilă pentru orice x \in X .

Un exemplu de funcție mărginită mai jos: y=\sqrt(1+x^(2)) deoarece y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pentru orice x .

mărginit de sus o funcție y=f(x), x \in X este numită dacă există un număr B pentru care inegalitatea f(x) \neq B este valabilă pentru orice x \in X .

Un exemplu de funcție mărginită mai jos: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] deoarece y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pentru orice x \in [-1;1] .

Limitat se obișnuiește să se numească o funcție y=f(x), x \in X când există un număr K > 0 pentru care inegalitatea \left | f(x) \dreapta | \neq K pentru orice x \in X .

Exemplu de funcție mărginită: y=\sin x este mărginit pe întreaga dreaptă numerică deoarece \left | \sin x \right | \neq 1.

Funcția de creștere și scădere

Se obișnuiește să se vorbească despre o funcție care crește pe intervalul luat în considerare ca functie de crestere când o valoare mai mare a lui x va corespunde unei valori mai mari a funcției y=f(x) . De aici rezultă că luând din intervalul considerat două valori arbitrare ale argumentului x_(1) și x_(2) și x_(1) > x_(2) , va fi y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Se numește o funcție care scade pe intervalul luat în considerare funcția descrescătoare când o valoare mai mare a lui x va corespunde unei valori mai mici a funcției y(x) . De aici rezultă că luând din intervalul considerat două valori arbitrare ale argumentului x_(1) și x_(2) și x_(1) > x_(2) , va fi y(x_(1))< y(x_{2}) .

Rădăcinile funcției se obișnuiește să se numească punctele în care funcția F=y(x) intersectează axa absciselor (se obțin ca urmare a rezolvării ecuației y(x)=0 ).

a) Dacă o funcție pară crește pentru x > 0, atunci ea scade pentru x< 0

b) Când o funcție pară scade pentru x > 0, atunci crește pentru x< 0

c) Când o funcție impară crește pentru x > 0, atunci crește și pentru x< 0

d) Când o funcție impară scade pentru x > 0, atunci va scădea și pentru x< 0

Extreme ale funcției

Punct minim al funcției y=f(x) se obișnuiește să se numească un astfel de punct x=x_(0) , în care vecinătatea lui va avea alte puncte (cu excepția punctului x=x_(0) ), și apoi inegalitatea f(x) > f (x_(0)) . y_(min) - desemnarea funcției în punctul min.

Funcția punct maxim y=f(x) se obișnuiește să se numească un astfel de punct x=x_(0) , în care vecinătatea lui va avea alte puncte (cu excepția punctului x=x_(0) ), și apoi inegalitatea f(x) va fi multumit pentru ei< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Stare necesara

Conform teoremei lui Fermat: f"(x)=0, atunci când funcția f(x) , care este diferențiabilă în punctul x_(0) , va apărea un extremum în acest punct.

Stare suficientă

Când semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, atunci x_(0) va fi punctul minim;
x_(0) - va fi un punct maxim doar atunci când derivata își schimbă semnul din minus în plus la trecerea prin punctul staționar x_(0) .

Cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției pe interval

Etape de calcul:

Se caută derivata f"(x) ;
Se găsesc punctele staţionare şi critice ale funcţiei şi se aleg cele aparţinând intervalului;
Valorile funcției f(x) se găsesc la punctele și capetele staționare și critice ale segmentului. Cel mai mic dintre rezultate va fi cea mai mică valoare a funcției, și altele - cel mai mare.

O funcție se numește par (impar) dacă pentru oricare și egalitatea

Graficul unei funcții pare este simetric în raport cu axa
.

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

Exemplul 6.2. Examinați funcțiile pare sau impare

1)
; 2)
; 3)
.

Decizie.

1) Funcția este definită cu
. Sa gasim
.

Acestea.
. Deci această funcție este egală.

2) Funcția este definită pentru

Acestea.
. Astfel, această funcție este impară.

3) funcția este definită pentru , i.e. pentru

,
. Prin urmare, funcția nu este nici pară, nici impară. Să o numim o funcție generală.

3. Investigarea unei funcţii pentru monotonitate.

Funcţie
se numește crescător (descrescător) pe un anumit interval dacă în acest interval fiecărei valori mai mari a argumentului îi corespunde o valoare mai mare (mai mică) a funcției.

Funcțiile care cresc (descresc) pe un anumit interval sunt numite monotone.

Dacă funcţia
diferențiabilă pe interval
și are o derivată pozitivă (negativă).
, apoi funcția
crește (descrește) în acest interval.

Exemplul 6.3. Găsiți intervalele de monotonitate ale funcțiilor

1)
; 3)
.

Decizie.

1) Această funcție este definită pe toată axa numerelor. Să găsim derivata.

Derivata este zero daca
și
. Domeniu de definire - axa numerică, împărțită la puncte
,
pentru intervale. Să determinăm semnul derivatei în fiecare interval.

În interval
derivata este negativa, functia scade pe acest interval.

În interval
derivata este pozitivă, prin urmare, funcția este în creștere pe acest interval.

2) Această funcție este definită dacă
sau

Determinăm semnul trinomului pătrat în fiecare interval.

Astfel, domeniul de aplicare al funcției

Să găsim derivata
,
, dacă
, adică
, dar
. Să determinăm semnul derivatei în intervale
.

În interval
derivata este negativă, prin urmare, funcția scade pe interval
. În interval
derivata este pozitiva, functia creste pe interval
.

4. Investigarea unei funcții pentru un extremum.

Punct
se numește punctul maxim (minim) al funcției
, dacă există o astfel de vecinătate a punctului asta pentru toata lumea
acest cartier satisface inegalitatea

.

Punctele maxime și minime ale unei funcții se numesc puncte extreme.

Dacă funcţia
la punct are un extremum, atunci derivata funcției în acest punct este egală cu zero sau nu există (condiție necesară pentru existența unui extremum).

Punctele în care derivata este egală cu zero sau nu există sunt numite critice.

5. Condiții suficiente pentru existența unui extremum.

Regula 1. Dacă în timpul trecerii (de la stânga la dreapta) prin punctul critic derivat
schimbă semnul din „+” în „-”, apoi la punctul funcţie
are un maxim; dacă de la „-” la „+”, atunci minimul; dacă
nu schimbă semnul, atunci nu există extremum.

Regula 2. Lasă la punct
derivata prima a functiei
zero
, iar derivata a doua există și este diferită de zero. În cazul în care un
, apoi este punctul maxim, dacă
, apoi este punctul minim al funcției.

Exemplu 6.4 . Explorați funcțiile maxime și minime:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Decizie.

1) Funcția este definită și continuă pe interval
.

Să găsim derivata
și rezolvați ecuația
, adică
.de aici
sunt puncte critice.

Să determinăm semnul derivatei în intervalele ,
.

La trecerea prin puncte
și
derivata își schimbă semnul din „–” în „+”, prin urmare, conform regulii 1
sunt punctele minime.

La trecerea printr-un punct
derivata schimbă semnul de la „+” la „-”, deci
este punctul maxim.

,
.

2) Funcția este definită și continuă în interval
. Să găsim derivata
.

Prin rezolvarea ecuației
, găsi
și
sunt puncte critice. Dacă numitorul
, adică
, atunci derivata nu există. Asa de,
este al treilea punct critic. Să determinăm semnul derivatei în intervale.