Aslamazov L.G. Mișcare circulară // Kvant. - 1972. - Nr 9. - S. 51-57.

Prin acord special cu redacția și editorii revistei „Kvant”

Pentru a descrie mișcarea într-un cerc, împreună cu viteza liniară, este introdus conceptul de viteză unghiulară. Dacă un punct se mișcă de-a lungul unui cerc în timp Δ t descrie un arc, a cărui măsură unghiulară este Δφ, apoi viteza unghiulară.

Viteza unghiulară ω este legată de viteza liniară υ prin relația υ = ω r, Unde r- raza cercului de-a lungul căruia se mișcă punctul (fig. 1). Conceptul de viteză unghiulară este deosebit de convenabil pentru a descrie rotația unui corp rigid în jurul unei axe. Deși vitezele liniare ale punctelor situate la distanțe diferite față de axă nu vor fi aceleași, vitezele unghiulare ale acestora vor fi egale și putem vorbi despre viteza unghiulară de rotație a corpului în ansamblu.

Sarcina 1. Raza discului r se rostogolește fără alunecare pe un plan orizontal. Viteza centrului discului este constantă și egală cu υ p. Cu ce ​​viteză unghiulară se rotește discul în acest caz?

Fiecare punct al discului participă la două mișcări - în mișcare de translație cu o viteză υ n împreună cu centrul discului și în mișcare de rotație în jurul centrului cu o anumită viteză unghiulară ω.

Pentru a găsi ω, folosim absența alunecării, adică faptul că în fiecare moment de timp viteza unui punct de disc în contact cu planul este zero. Aceasta înseamnă că pentru subiect DAR(Fig. 2) viteza mișcării de translație υ p este egală ca mărime și opusă ca direcție cu viteza liniară a mișcării de rotație υ vr = ω· r. De aici ajungem imediat.

Sarcina 2. Găsiți puncte de viteză LA, Cuși D același disc (Fig. 3).

Luați în considerare mai întâi punctul LA. Viteza liniară a mișcării sale de rotație este îndreptată vertical în sus și este egală cu , adică egală ca mărime cu viteza mișcării de translație, care, totuși, este îndreptată orizontal. Adăugând aceste două viteze vectorial, aflăm că viteza rezultată υ B este egală ca mărime și formează un unghi de 45º cu orizontul. La punctul Cu vitezele de rotație și de translație sunt direcționate în același sens. Viteza rezultată υ C egal cu 2υ n şi îndreptat orizontal. În mod similar, se găsește viteza unui punct D(Vezi fig. 3).

Chiar și în cazul în care viteza unui punct care se mișcă de-a lungul unui cerc nu se schimbă în mărime, punctul are o anumită accelerație, deoarece direcția vectorului viteză se schimbă. Această accelerație se numește centripetă. Este îndreptată spre centrul cercului și este egală cu ( R este raza cercului, ω și υ sunt vitezele unghiulare și liniare ale punctului).

Dacă viteza unui punct care se mișcă de-a lungul unui cerc se schimbă nu numai în direcție, ci și în mărime, atunci, împreună cu accelerația centripetă, există și așa-numita tangenţial accelerare. Este direcționat tangențial la cerc și este egal cu raportul (Δυ este modificarea vitezei în timp Δ t).

Sarcina 3. Găsiți accelerații de puncte DAR, LA, Cuși D raza discului r rostogolire fără alunecare pe un plan orizontal. Viteza centrului discului este constantă și egală cu υ p (Fig. 3).

În sistemul de coordonate asociat cu centrul discului, discul se rotește cu o viteză unghiulară ω, iar planul se deplasează înainte cu o viteză υ p. Nu există nicio alunecare între disc și plan, prin urmare, . Viteza mișcării de translație υ p nu se modifică, prin urmare viteza unghiulară de rotație a discului este constantă și punctele discului au doar accelerație centripetă îndreptată spre centrul discului. Deoarece sistemul de coordonate se mișcă fără accelerație (cu o viteză constantă υ n), atunci într-un sistem de coordonate fix, accelerațiile punctelor discului vor fi aceleași.

Să ne întoarcem acum la problemele privind dinamica mișcării de rotație. Să luăm mai întâi în considerare cel mai simplu caz, când mișcarea de-a lungul unui cerc are loc cu o viteză constantă. Deoarece accelerația corpului este îndreptată spre centru, atunci suma vectorială a tuturor forțelor aplicate corpului trebuie să fie și ea îndreptată către centru și conform celei de-a doua legi a lui Newton.

Trebuie amintit că partea dreaptă a acestei ecuații include doar forțe reale care acționează asupra unui corp dat din alte corpuri. Nu forta centripeta nu apare la deplasarea într-un cerc. Acest termen este folosit pur și simplu pentru a desemna rezultanta forțelor aplicate unui corp care se mișcă într-un cerc. Cu privire la forța centrifugă, atunci apare numai atunci când descrieți mișcarea de-a lungul unui cerc într-un sistem de coordonate neinerțial (rotativ). Nu vom folosi aici deloc conceptul de forță centripetă și centrifugă.

Sarcina 4. Determinați cea mai mică rază de curbură a drumului pe care o poate trece mașina la o viteză de υ = 70 km/h și coeficientul de frecare a anvelopei pe șosea k =0,3.

R = m g, forța de reacție a drumului Nși forța de frecare F tr intre cauciucurile masinii si drum. Forțe Rși N direcționat vertical și de dimensiuni egale: P = N. Forța de frecare care împiedică alunecarea mașinii („deraparea”) este îndreptată spre centrul virajului și conferă accelerație centripetă: . Valoarea maximă a forței de frecare F tr max = k· N = k· m g, prin urmare, valoarea minimă a razei cercului, de-a lungul căreia încă se poate deplasa cu o viteză υ, se determină din ecuația . De aici (m).

Forța de reacție a drumului N când mașina se mișcă în cerc, nu trece prin centrul de greutate al mașinii. Acest lucru se datorează faptului că momentul său relativ la centrul de greutate trebuie să compenseze momentul de frecare care tinde să răstoarne mașina. Mărimea forței de frecare este mai mare, cu atât viteza mașinii este mai mare. La o anumită viteză, momentul forței de frecare va depăși momentul forței de reacție și mașina se va răsturna.

Sarcina 5. Cu ce ​​viteză se mișcă o mașină de-a lungul unui arc de cerc de rază R= 130 m, se poate răsturna? Centrul de greutate al vehiculului este la o înălțime h= 1 m deasupra drumului, lățimea ecartamentului vehiculului l= 1,5 m (Fig. 4).

În momentul răsturnării mașinii, ca forță de reacție a drumului N, și forța de frecare F mp sunt atașate la roata „exterioară”. Când o mașină se deplasează într-un cerc cu viteza υ, asupra ei acționează o forță de frecare. Această forță creează un moment în jurul centrului de greutate al vehiculului. Momentul maxim al forței de reacție a drumului N = m g relativ la centrul de greutate este (în momentul răsturnării, forța de reacție trece prin roata exterioară). Echivalând aceste momente, găsim ecuația pentru viteza maximă la care mașina nu se va răsturna încă:

De unde ≈ 30 m/s ≈ 110 km/h.

Pentru ca o mașină să se deplaseze cu o astfel de viteză este nevoie de un coeficient de frecare (vezi problema anterioară).

O situație similară apare atunci când întoarceți o motocicletă sau o bicicletă. Forța de frecare care creează accelerația centripetă are un moment în jurul centrului de greutate care tinde să răstoarne motocicleta. Prin urmare, pentru a compensa acest moment prin momentul forței de reacție a drumului, motociclistul se înclină spre viraj (Fig. 5).

Sarcina 6. Un motociclist circulă pe un drum orizontal cu o viteză de υ = 70 km/h, făcând un viraj cu o rază R\u003d 100 m. În ce unghi α față de orizont ar trebui să se încline pentru a nu cădea?

Forța de frecare dintre motocicletă și drum, deoarece imprimă accelerație centripetă motociclistului. Forța de reacție a drumului N = m g. Condiția de egalitate a momentelor forței de frecare și a forței de reacție față de centrul de greutate dă ecuația: F tp l sinα = N· l cos α, unde l- distanta OA de la centrul de greutate până la traseul motocicletei (vezi fig. 5).

Înlocuind aici valorile F tp si N, găsește ceva sau . Rețineți că rezultanta forțelor Nși F tp la acest unghi de înclinare al motocicletei trece prin centrul de greutate, ceea ce asigură că momentul total al forțelor este egal cu zero Nși F tp .

Pentru a mari viteza de deplasare de-a lungul rotunjirii drumului, sectiunea de drum la viraj se face inclinata. În același timp, pe lângă forța de frecare, forța de reacție a drumului participă și la crearea accelerației centripete.

Sarcina 7. Cu ce ​​viteză maximă υ se poate deplasa o mașină de-a lungul unei căi înclinate cu un unghi de înclinare α cu o rază de curbură Rși coeficientul de frecare a anvelopelor pe șosea k?

Forța gravitației acționează asupra mașinii m g, forță de reacție N, direcționat perpendicular pe planul căii și forța de frecare F tp îndreptat de-a lungul căii (Fig. 6).

Deoarece nu ne interesează acest caz, momentele forțelor care acționează asupra mașinii, am trasat toate forțele aplicate centrului de greutate al mașinii. Suma vectorială a tuturor forțelor trebuie să fie îndreptată către centrul cercului de-a lungul căruia se mișcă mașina și să îi imprime accelerație centripetă. Prin urmare, suma proiecțiilor forțelor pe direcția spre centru (direcția orizontală) este , adică

Suma proiecțiilor tuturor forțelor pe direcția verticală este zero:

N cos α - m g – F t p sinα = 0.

Substituind în aceste ecuații valoarea maximă posibilă a forței de frecare F tp = k Nși excluzând forța N, găsiți viteza maximă , cu care se mai poate deplasa pe o astfel de cale. Această expresie este întotdeauna mai mare decât valoarea corespunzătoare unui drum orizontal.

După ce ne-am ocupat de dinamica rotației, să trecem la problemele pentru mișcarea de rotație în plan vertical.

Sarcina 8. mașină de masă m= 1,5 t se deplasează cu o viteză de υ = 70 km/h de-a lungul drumului prezentat în Figura 7. Secțiuni de drum ABși soare pot fi considerate arce de cerc de rază R= 200 m atingându-se într-un punct LA. Determinați forța de presiune a mașinii pe drum în puncte DARși Cu. Cum se schimbă forța de presiune atunci când o mașină trece de un punct LA?

La punctul DAR gravitația acționează asupra mașinii R = m gși forța de reacție a drumului N / A. Suma vectorială a acestor forțe trebuie să fie îndreptată spre centrul cercului, adică vertical în jos, și să creeze o accelerație centripetă: , de unde (H). Forța de presiune a mașinii pe drum este egală ca mărime și opusă ca direcție forței de reacție. La punctul Cu suma vectorială a forţelor este îndreptată vertical în sus: şi (H). Astfel, la punct DAR forța de presiune este mai mică decât forța gravitațională și într-un punct Cu- Mai mult.

La punctul LA mașina se deplasează dintr-o secțiune convexă a drumului într-una concavă (sau invers). Când conduceți pe o secțiune convexă, proiecția gravitației în direcția spre centru trebuie să depășească forța de reacție a drumului NB 1, și . La conducerea pe o porțiune concavă a drumului, dimpotrivă, forța de reacție a drumului N B 2 depășește proiecția gravitației: .

Din aceste ecuații obținem că la trecerea prin punct LA forța de presiune a mașinii pe șosea se modifică brusc cu o valoare de ≈ 6·10 3 N. Desigur, astfel de sarcini de șoc acționează distructiv atât asupra mașinii, cât și pe șosea. Prin urmare, drumurile și podurile încearcă întotdeauna să își schimbe curbura fără probleme.

Când o mașină se deplasează de-a lungul unui cerc cu o viteză constantă, suma proiecțiilor tuturor forțelor pe direcția tangentă la cerc trebuie să fie egală cu zero. În cazul nostru, componenta tangențială a gravitației este echilibrată de forța de frecare dintre roțile mașinii și drum.

Mărimea forței de frecare este controlată de cuplul aplicat roților de către motor. Acest moment tinde să provoace alunecarea roților față de drum. Prin urmare, apare o forță de frecare care previne alunecarea și este proporțională cu momentul aplicat. Valoarea maximă a forței de frecare este k N, Unde k este coeficientul de frecare dintre anvelopele mașinii și drum, N- forta de presiune asupra drumului. Când mașina se mișcă în jos, forța de frecare joacă rolul unei forțe de frânare, iar la deplasarea în sus, dimpotrivă, rolul forței de tracțiune.

Sarcina 9. Masa vehiculului m= 0,5 t, deplasându-se cu o viteză de υ = 200 km/h, face o „buclă moartă” de rază R= 100 m (Fig. 8). Determinați forța de presiune a mașinii pe drum în partea de sus a buclei DAR; la punct LA, al cărui vector rază formează un unghi α = 30º cu verticala; la punct Cu unde viteza mașinii este direcționată vertical. Este posibil ca o mașină să se deplaseze de-a lungul unei bucle la o viteză atât de constantă cu un coeficient de frecare a anvelopei pe drum k = 0,5?

În partea de sus a buclei, forța gravitației și forța de reacție a drumului N / Aîndreptată vertical în jos. Suma acestor forțe creează o accelerație centripetă: . Asa de N.

Forța de presiune a mașinii pe drum este egală ca mărime și opusă ca direcție forței N / A.

La punctul LA accelerația centripetă este creată de suma forței de reacție și proiecția gravitației pe direcția spre centru: . De aici N.

Este ușor să vezi asta NB > N / A; pe măsură ce unghiul α crește, forța de reacție a drumului crește.

La punctul Cu forță de reacție H; accelerația centripetă în acest punct este creată numai de forța de reacție, iar gravitația este direcționată tangențial. Când se deplasează de-a lungul părții inferioare a buclei, forța de reacție va depăși și valoarea maximă Forța de reacție H are în punct D. Sens , astfel, este valoarea minimă a forței de reacție.

Viteza mașinii va fi constantă dacă componenta tangențială a gravitației nu depășește forța maximă de frecare k Nîn toate punctele buclei. Această condiție este cu siguranță îndeplinită dacă valoarea minimă depăşeşte valoarea maximă a componentei tangenţiale a forţei de greutate. În cazul nostru, această valoare maximă este egală cu m g(se ajunge la punctul Cu), iar condiția este îndeplinită pentru k= 0,5, υ = 200 km/h, R= 100 m.

Astfel, în cazul nostru, este posibilă mișcarea mașinii de-a lungul „buclei moarte” la o viteză constantă.

Luați în considerare acum mișcarea mașinii de-a lungul „buclei moarte” cu motorul oprit. După cum sa menționat deja, de obicei momentul forței de frecare se opune momentului aplicat roților de către motor. Când mașina se mișcă cu motorul oprit, acest moment este absent, iar forța de frecare dintre roțile mașinii și drum poate fi neglijată.

Viteza mașinii nu va mai fi constantă - componenta tangențială a gravitației încetinește sau accelerează mișcarea mașinii de-a lungul „buclei moarte”. Se va modifica și accelerația centripetă. Este creat, ca de obicei, de forța de reacție rezultată a drumului și de proiecția gravitației pe direcția spre centrul buclei.

Sarcina 10. Care este viteza minimă pe care ar trebui să o aibă mașina în partea de jos a buclei D(vezi Fig. 8) pentru a o face cu motorul oprit? Care va fi forța de presiune a mașinii pe drum în punctul respectiv LA? Raza buclei R= 100 m, greutatea vehiculului m= 0,5 t.

Să vedem care este viteza minimă pe care o poate avea mașina în partea de sus a buclei DAR să continui să te miști în jurul cercului?

Accelerația centripetă în acel punct al drumului este creată de suma forței gravitaționale și a forței de reacție a drumului . Cu cât viteza mașinii este mai mică, cu atât forța de reacție este mai mică. N / A. Cu o valoare, această forță dispare. La o viteză mai mică, gravitația va depăși valoarea necesară pentru a crea accelerația centripetă, iar mașina se va ridica de pe șosea. La viteză, forța de reacție a drumului dispare doar în partea de sus a buclei. Într-adevăr, viteza mașinii în alte secțiuni ale buclei va fi mai mare și, așa cum este ușor de observat din soluția problemei anterioare, forța de reacție a drumului va fi, de asemenea, mai mare decât la punctul DAR. Prin urmare, dacă mașina din partea de sus a buclei are viteză, atunci nu va părăsi bucla nicăieri.

Acum determinăm ce viteză ar trebui să aibă mașina în partea de jos a buclei D până în vârful buclei DAR viteza lui. Pentru a găsi viteza υ D poți folosi legea conservării energiei, ca și cum mașina s-ar fi deplasat doar sub influența gravitației. Faptul este că forța de reacție a drumului în fiecare moment este direcționată perpendicular pe mișcarea mașinii și, prin urmare, munca sa este zero (reamintim că lucrul Δ A = F·Δ s cos α, unde α este unghiul dintre forță Fși direcția de mișcare Δ s). Forța de frecare dintre roțile mașinii și drum la conducerea cu motorul oprit poate fi neglijată. Prin urmare, suma energiei potențiale și cinetice a mașinii atunci când conduceți cu motorul oprit nu se modifică.

Să echivalăm valorile energiei mașinii în puncte DARși D. În acest caz, vom număra înălțimea de la nivelul punctului D, adică energia potențială a mașinii în acest punct va fi considerată egală cu zero. Apoi primim

Înlocuind aici valoarea pentru viteza dorită υ D, aflăm: ≈ 70 m/s ≈ 260 km/h.

Dacă mașina intră în buclă cu această viteză, o va putea finaliza cu motorul oprit.

Să stabilim acum cu ce forță va apăsa mașina pe drum în punctul respectiv LA. Viteza vehiculului la punct LA din nou este ușor de găsit din legea conservării energiei:

Înlocuind aici valoarea, aflăm că viteza .

Folosind soluția problemei anterioare, pentru o viteză dată, găsim forța de presiune în punct B:

În mod similar, puteți găsi forța de presiune în orice alt punct al „buclei moarte”.

Exerciții

1. Găsiți viteza unghiulară a unui satelit artificial Pământului care se rotește pe o orbită circulară cu o perioadă de revoluție T= 88 min. Aflați viteza liniară a acestui satelit, dacă se știe că orbita lui este situată la distanță R= 200 km de suprafața Pământului.

2. Raza discului R plasat între două bare paralele. Șinele se deplasează la viteze υ 1 și υ 2. Determinați viteza unghiulară a discului și viteza centrului acestuia. Nu există alunecare.

3. Discul se rostogolește pe o suprafață orizontală fără să alunece. Arătați că capetele vectorilor viteză ai punctelor cu diametrul vertical sunt pe aceeași linie dreaptă.

4. Avionul se deplasează într-un cerc cu o viteză orizontală constantă υ = 700 km/h. Definiți raza R acest cerc dacă corpul aeronavei este înclinat la un unghi α = 5°.

5. Sarcina de masă m\u003d 100 g, suspendat pe un fir de lungime l= 1 m, se rotește uniform într-un cerc în plan orizontal. Aflați perioada de rotație a sarcinii dacă, în timpul rotației acesteia, firul este deviat vertical cu un unghi α = 30°. De asemenea, determinați tensiunea firului.

6. Mașina se deplasează cu o viteză υ = 80 km/h de-a lungul suprafeței interioare a unui cilindru vertical de rază R= 10 m într-un cerc orizontal. La ce coeficient minim de frecare între anvelopele mașinii și suprafața cilindrului este posibil acest lucru?

7. Sarcina de masă m suspendat de un fir inextensibil, a cărui tensiune maximă posibilă este de 1,5 m g. La ce unghi maxim α poate fi deviat firul față de verticală, astfel încât firul să nu se rupă în timpul mișcării ulterioare a sarcinii? Care va fi tensiunea firului în momentul în care firul formează un unghi α/2 cu verticala?

Răspunsuri

I. Viteza unghiulară a unui satelit artificial Pământului ≈ 0,071 rad/s. Viteza liniară a satelitului υ = ω· R. Unde R este raza orbitei. Înlocuind aici R = R 3 + h, Unde R 3 ≈ 6400 km, găsim υ ≈ 467 km/s.

2. Două cazuri sunt posibile aici (Fig. 1). Dacă viteza unghiulară a discului este ω, iar viteza centrului său este υ, atunci vitezele punctelor în contact cu șinele vor fi, respectiv, egale cu

în cazul a) υ 1 = υ + ω R, υ 2 = υ - ω R;

în cazul b) υ 1 = υ + ω R, υ 2 = ω R – υ.

(Am presupus pentru certitudine că υ 1 > υ 2). Rezolvând aceste sisteme, găsim:

A)

b)

3. Viteza oricărui punct M culcat pe segment OV(vezi Fig. 2) se găsește prin formula υ M = υ + ω· rM, Unde rM- distanta fata de punct M spre centrul discului O. Pentru orice punct N aparţinând segmentului OA, avem: υ N = υ – ω· rN, Unde r N- distanta fata de punct N spre centru. Notați cu ρ distanța de la orice punct al diametrului VA până la punctul DAR contactul discului cu avionul. Atunci este evident că rM = ρ – Rși r N = R – ρ = –(ρ – R). Unde R este raza discului. Prin urmare, viteza oricărui punct de pe diametru VA se găsește prin formula: υ ρ = υ + ω (ρ – R). Deoarece discul se rostogolește fără alunecare, atunci pentru viteza υ ρ obținem υ ρ = ω · ρ. De aici rezultă că capetele vectorilor viteză sunt pe linia dreaptă care emană din punct DARși înclinat la diametru VA la un unghi proporțional cu viteza unghiulară de rotație a discului ω.

Afirmația dovedită ne permite să concluzionăm că mișcarea complexă a punctelor situate pe diametru VA, poate fi considerată în orice moment dat ca o simplă rotație în jurul unui punct fix DAR cu o viteză unghiulară ω egală cu viteza unghiulară de rotație în jurul centrului discului. Într-adevăr, în fiecare moment vitezele acestor puncte sunt direcționate perpendicular pe diametru VA, și sunt egale ca mărime cu produsul lui ω și distanța până la punct DAR.

Se pare că această afirmație este adevărată pentru orice punct de pe disc. În plus, este o regulă generală. Cu orice mișcare a unui corp rigid, în fiecare moment există o axă în jurul căreia corpul se rotește pur și simplu - axa instantanee de rotație.

4. Planul este afectat (vezi Fig. 3) de gravitație R = m gși forța de ridicare N, îndreptată perpendicular pe planul aripilor (deoarece aeronava se mișcă cu o viteză constantă, forța de tracțiune și forța de tracțiune a aerului se echilibrează reciproc). Forță rezultantă R

6. Mașina este afectată (Fig. 5) de gravitație R = m g, forța de reacție din partea laterală a cilindrului Nși forța de frecare F tp . Deoarece mașina se mișcă într-un cerc orizontal, forțele Rși F tp echilibrează reciproc, iar forța N creează accelerație centripetă. Valoarea maximă a forței de frecare este legată de forța de reacție N raport: F tp = k N. Ca rezultat, obținem un sistem de ecuații: , din care se află valoarea minimă a coeficientului de frecare

7. Sarcina se va deplasa într-un cerc de rază l(Fig. 6). Accelerația centripetă a sarcinii (υ - viteza sarcinii) este creată de diferența dintre valorile forței de tensiune a firului Tși proiecții gravitaționale m g direcția firului: . Asa de , unde β este unghiul format de fir cu verticala. Pe măsură ce sarcina coboară, viteza acesteia va crește și unghiul β va scădea. Tensiunea firului va deveni maximă la unghiul β = 0 (în momentul în care firul este vertical): . Viteza maximă a sarcinii υ 0 se află din unghiul α, cu care firul este deviat, din legea conservării energiei:

Folosind acest raport, pentru valoarea maximă a tensiunii firului, obținem formula: T max = m g(3 – 2 cos α). Conform sarcinii T m ax = 2m g. Echivalând aceste expresii, găsim cos α = 0,5 și, prin urmare, α = 60°.

Să determinăm acum tensiunea firului la . Viteza sarcinii în acest moment se găsește și din legea conservării energiei:

Înlocuind valoarea lui υ 1 în formula forței de întindere, găsim:

Probleme cu soluții și răspunsuri la exerciții

O roată de masă M și rază r se rostogolește fără să alunece de-a lungul unei șine orizontale drepte. Determinați vectorul principal și momentul principal al forțelor de inerție în jurul axei care trece prin centrul de masă al roții perpendicular pe planul de mișcare. Considerați roata ca pe un disc solid omogen. Centrul de masă se deplasează conform legii xC=at2/2, unde a este o valoare pozitivă constantă.Determină vectorul principal și momentul principal al forțelor de inerție ale roții mobile 2 a mecanismului planetar față de axa care trece prin el. centru de masă perpendicular pe planul de mișcare. Manivela OC se rotește cu o viteză unghiulară constantă. Masa roții 2 este egală cu M. Razele roților sunt r. Capătul A al unei tije subțiri omogene AB de lungime 2l și masa M se deplasează de-a lungul unui ghidaj orizontal cu ajutorul unui opritor E cu o viteză constantă v , iar tija se sprijină întotdeauna pe unghiul D. Determinați vectorul principal și momentul principal de forță inerția tijei față de axa care trece prin centrul de masă C al tijei perpendicular pe planul de mișcare, în funcție de unghiul φ. la problema anterioară se determină presiunea dinamică ND a tijei la unghiul D. Pentru a determina experimental decelerația unui troleibuz se folosește un accelerometru de lichid, format dintr-un tub curbat umplut cu ulei și situat în plan vertical. Determinați cantitatea de decelerare a troleibuzului în timpul frânării, dacă în același timp nivelul lichidului la capătul tubului situat pe direcția de mișcare crește la h2, iar la capătul opus scade la h1. α1=α2=45°, h1=25 mm, h2=75 mm.Cu ce ​​accelerație ar trebui să se miște o prismă de-a lungul unui plan orizontal, a cărui față laterală formează un unghi α cu orizontul, astfel încât sarcina aflată pe lateral Fața nu se mișcă în raport cu prisma? Studiul efectului forțelor de tracțiune și compresiune alternante rapid asupra unei bare metalice (test de oboseală), bara de testare A este atașată la capătul superior la glisorul B al mecanismului manivelă BCO și de capătul inferior este suspendată o sarcină de masă M. Aflați forța de tracțiune a barei, în cazul în care manivela OC se rotește în jurul axei O cu o viteză unghiulară constantă Determinați reacțiile de sprijin ale lagărului de tracțiune A și ale rulmentului B al macara rotativă la ridicarea unei sarcini E cu o masă de 3 tone cu o accelerație de (1/3)g. Masa macaralei este de 2 tone, iar centrul ei de masă este în punctul C. Masa căruciorului D este de 0,5 t. Macaraua și căruciorul sunt staționare Determinați reacțiile de sprijin ale lagărului de tracțiune A și ale rulmentului B ale macaraua rotativă considerată în problema anterioară, când căruciorul se deplasează spre stânga cu o accelerație de 0,5g fără sarcină E. Centrul de masă al căruciorului se află la nivelul suportului B. Un autocamion cu masa de 7 tone circulă pe bac, legat de mal cu două frânghii paralele, cu o viteză de 12 km/h; frânele opresc camionul timp de 3 m. Presupunând că forța de frecare a roților de pe puntea feribotului este constantă, determinați tensiunea cablurilor. Ignorați masa și accelerația feribotului.Un vagon cu masa M se deplasează în linie dreaptă cu accelerația w. Determinați presiunea verticală a roților din față și din spate ale mașinii dacă centrul său de masă C se află la o înălțime h față de suprafața solului. Distanțele dintre axele față și spate ale mașinii față de verticala care trece prin centrul de masă sunt egale cu a și, respectiv, b. Ignorați masele roților. Cum ar trebui să se miște mașina astfel încât presiunile roților din față și din spate să fie egale? Cu ce ​​accelerație w scade sarcina de masă M1, ridicând sarcina de masă M2 folosind palanul cu lanț prezentat în figură? Care este condiția pentru deplasarea uniformă a sarcinii M1? Ignorați masele blocurilor și cablului O pană netedă de masă M și cu un unghi de 2α la vârf împinge câte două plăci de masă M1, așezate în repaus pe o masă netedă orizontală. Scrieți ecuațiile de mișcare ale panei și plăcilor și determinați forța de presiune a panei pe fiecare dintre plăci.O greutate A de masă M1, căzând, pune în mișcare o greutate B de masă M2 prin intermediul unui fir inextensibil aruncat. peste un bloc fix C. Determinați forța de presiune a tabelului D pe podea dacă masa acestuia este M3. Ignorați masa firului O sarcină A de masă M1, coborând pe un plan înclinat D, formând un unghi α cu orizontul, pune în mișcare o sarcină B de masă M2 prin intermediul unui fir inextensibil aruncat peste un bloc fix C . Determinați componenta orizontală a presiunii planului înclinat D pe proeminența planșeului E. Ignorați masa filetului O tijă omogenă de masă M și lungime l se rotește cu o viteză unghiulară constantă ω în jurul unei axe verticale fixe perpendiculare pe tijă. și trecând prin capătul ei. Determinați forța de tracțiune în secțiunea transversală a tijei la distanța a de axa de rotație.O placă dreptunghiulară omogenă de masă M se rotește uniform în jurul unei axe verticale cu o viteză unghiulară ω. Determinați forța de rupere a plăcii în direcția perpendiculară pe axa de rotație în secțiunea care trece prin axa de rotație.Un disc rotund uniform de rază R și masă M se rotește cu o viteză unghiulară constantă ω în jurul diametrului său vertical. Determinați forța de rupere a discului de-a lungul diametrului O tijă subțire rectilinie omogenă de lungime l și masă M se rotește cu o viteză unghiulară constantă ω în jurul unui punct fix O (articulație sferică), descriind o suprafață conică cu axa OA și vârf în punctul O . Calculați unghiul de abatere al tijei față de direcția verticală, precum și valoarea N a presiunii tijei pe balamaua O. Într-un turometru centrifugal, două tije drepte, subțiri, uniforme, de lungimea a și b sunt legate rigid la un unghi drept, al cărui vârf O este conectat pivotant la un arbore vertical; arborele se rotește cu o viteză unghiulară constantă ω. Aflați relația dintre ω și unghiul de deviere format de direcția unei tije de lungime a și verticală.O tijă dreaptă uniformă subțire AB este conectată pivotant la un arbore vertical în punctul O. Arborele se rotește cu o viteză constantă ω. Determinați unghiul de abatere φ al tijei față de verticală dacă OA=a și OB=b. distanțele rulmenților față de o roată sunt egale între ele. Găsiți forțele de presiune asupra rulmenților atunci când arborele face 1200 rpm. Volanta are un plan de simetrie perpendicular pe axa de rotatie.Un disc rotund omogen de masa M se roteste uniform cu viteza unghiulara ω in jurul unei axe fixe situate in planul discului si distantata de centrul sau de masa C la o distanta. OC=a. Determinați forțele presiunii dinamice pe osie pe rulmentul de tracțiune A și rulmentul B dacă OB=OA. Axele x și y sunt invariabil legate de disc. Rezolvați problema anterioară presupunând că, în prezența forțelor de rezistență, viteza unghiulară a discului scade conform legii ω=ω0-ε0t, unde ω0 și ε0 sunt pozitive. constantă două sarcini C și D prin intermediul a două tije OC=OD=r perpendiculare pe axa AB și, în plus, reciproc perpendiculare. Determinați forțele presiunii dinamice a axei AB asupra lagărului axial A și a rulmentului B. Considerați greutățile C și D drept puncte materiale ale masei M fiecare. Ignorați masele tijelor. La momentul inițial, sistemul era în repaus. Axele x și y sunt legate rigid de tijele O tijă AB de lungime 2l, la capetele căreia se află greutăți de masă egală M, se rotește uniform cu o viteză unghiulară ω în jurul axei verticale Oz care trece prin mijlocul O al lungimea tijei. Distanța punctului O de la rulmentul C este a, de la rulmentul de tracțiune D este b. Unghiul dintre tija AB și axa Oz păstrează o valoare constantă α. Neglijând masa tijei și dimensiunile greutăților, se determină proiecțiile forțelor de presiune asupra rulmentului C și a rulmentului de tracțiune D în momentul în care tija se află în planul Oyz. Ha se pun capetele axei AB. pe două manivele identice AC și BD de lungime l și masă M1 fiecare, înclinate la un unghi de 180 ° una față de cealaltă. Axa AB de lungime 2a și masă M2 se rotește cu o viteză unghiulară constantă ω în rulmenții E și F distanțați simetric la o distanță de 2b unul de celălalt. Determinați forțele de presiune NE și NF pe rulmenți când manivela AC este îndreptată vertical în sus. Masa fiecărei manivele este considerată uniform distribuită de-a lungul axei sale.La arborele orizontal AB, care se rotește cu o viteză unghiulară constantă ω, sunt atașate două tije egale de lungime l, perpendiculare pe acesta, aflate în planuri reciproc perpendiculare. La capetele tijelor se află bile D și E de masă m fiecare. Determinați forțele presiunii dinamice a arborelui pe suporturile A și B. Considerați bilele ca puncte materiale; Ignorați masele tijelor Două tije sunt atașate rigid de un arbore vertical AB care se rotește cu o viteză unghiulară constantă ω. Tija OE formează un unghi φ cu arborele, tija OD este perpendiculară pe planul care conține arborele AB și tija OE. Dimensiuni date: OE=OD=l, AB=2a. Două bile E și D de masă m fiecare sunt atașate de capetele tijelor. Determinați forțele dinamice de presiune ale arborelui pe suporturile A și B. Considerați bilele D și E ca mase punctuale; nu se ține cont de masele tijelor Folosind condiția problemei 34.1, se determină forțele dinamice de presiune ale arborelui cotit pe lagărele K și L. Arborele se rotește uniform cu o viteză unghiulară ω O tijă omogenă KL, atașată în centru sub un unghi. α față de axa verticală AB, se rotește uniform accelerat în jurul acestei axe cu accelerație unghiulară ε. Să se determine forțele de presiune dinamică ale axei AB asupra lagărului axial A și a rulmentului B, dacă: M este masa tijei, 2l este lungimea acesteia, OA=OB=h/2; OK=OL=l. În momentul inițial, sistemul era în repaus O placă dreptunghiulară omogenă OABD de masă M cu laturile a și b, atașată cu latura OA de arborele OE, se rotește cu o viteză unghiulară constantă ω. Distanța dintre suporturi OE=2a. Calculați forțele laterale ale presiunii dinamice a arborelui pe suporturile O și E. Un cilindru rotund omogen drept de masă M, lungime 2l și rază r se rotește cu o viteză unghiulară constantă în jurul axei verticale Oz care trece prin centrul de masă O a cilindrului; unghiul dintre axa cilindrului Oζ și axa Oz păstrează o valoare constantă α. Distanța H1H2 dintre rulmentul axial și rulment este egală cu h. Determinați forțele de presiune laterale asupra acestora. Calculați forțele de presiune din rulmenții A și B în timpul rotației în jurul axei AB a unui disc rotund subțire omogen CD al unei turbine cu abur, presupunând că axa AB trece prin centrul O al discului, dar datorită la alezarea incorectă a bucșei formează un unghi AOE cu perpendiculara pe planul discului =α=0,02 rad. Având în vedere: masa discului este de 3,27 kg, raza acestuia este de 20 cm, viteza unghiulară corespunde la 30.000 rpm, distanța AO=50 cm, OB=30 cm; axa AB este considerată a fi absolut rigidă și sin 2α=2α. Ca urmare a asamblarii incorecte a discului rotund al unei turbine cu abur, planul discului formează un unghi α cu axa AB, iar centrul de masă C al discului nu se află pe această axă. Excentricitate OC=a. Aflați forțele laterale ale presiunii dinamice asupra rulmenților A și B, dacă masa discului este M, raza acestuia este R și AO=OB=h; viteza unghiulară a discului este constantă

Găsiți viteza liniară a Pământului vîn timpul mișcării sale orbitale. Raza medie a orbitei Pământului R\u003d 1,5 10 8 km.

Răspuns și soluție

v≈ 30 km/s.

v = 2πR/(365 24 60 60).

O elice de aeronavă cu o rază de 1,5 m se rotește în timpul aterizării cu o frecvență de 2000 min -1 , viteza de aterizare a aeronavei în raport cu Pământul este de 162 km/h. Determinați viteza punctului de la capătul elicei. Care este traiectoria acestui punct?

Răspuns și soluție

v≈ 317 m/s. Punctul de la capătul elicei descrie o spirală cu pas h≈ 1,35 m.

Elicea aeronavei se rotește la o frecvență de:

λ = 2000/60 s -1 = 33,33 s -1 .

Viteza liniară a punctului de la capătul elicei:

v lin = 2 πRλ≈ 314 m/s.

Viteza de aterizare a aeronavei v= 45 m/s.

Viteza rezultată a punctului de la capătul elicei este egală cu suma vectorilor vitezei liniare în timpul rotației elicei și a vitezei aeronavei în timpul aterizării:

v tăiere = ≈ 317 m/s.

Pasul traiectoriei elicoidale este egal cu:

h = v/λ ≈ 1,35 m.

Raza discului R se rulează fără alunecare cu o viteză constantă v. Găsiți locul punctelor de pe disc care au viteza în prezent v.

Răspuns

Locul punctelor de pe un disc care au viteză vîn acest moment, este raza arcului R, al cărui centru se află în punctul de contact al discului cu planul, adică. la centrul de rotaţie instantaneu.

Raza rolei cilindrice R plasat între două bare paralele. Reiki se mișcă într-o direcție cu viteze v 1 și v 2 .

Determinați viteza unghiulară de rotație a rolei și viteza centrului său dacă nu există alunecare. Rezolvați problema pentru cazul în care vitezele șinelor sunt direcționate în direcții diferite.

Răspuns

; .

Se rostogolește pe un plan orizontal fără alunecare cu o viteză constantă v cu raza cercului R. Care sunt vitezele și accelerațiile diferitelor puncte ale cercului față de Pământ? Exprimați viteza în funcție de unghiul dintre verticala și dreapta trasată între punctul de contact al cercului cu planul și punctul dat al cercului.

Răspuns

v A=2 v C cos α . Accelerația punctelor jantei conține doar o componentă centripetă egală cu A c = v 2 /R.

Mașina se mișcă cu o viteză v= 60 km/h. Cu ce ​​frecventa n roțile sale se rotesc dacă rulează de-a lungul autostrăzii fără alunecare, iar diametrul exterior al anvelopelor roților este egal cu d= 60 cm? Găsiți accelerația centripetă A tss stratul exterior de cauciuc pe anvelopele roților sale.

Răspuns

n≈ 8,84 s -1; A c ≈ 926 m / s 2.

Un cilindru cu pereți subțiri este plasat pe un plan orizontal, rotindu-se cu o viteză v 0 în jurul axei sale. Care va fi viteza de deplasare a axei cilindrului atunci când alunecarea cilindrului în raport cu planul se oprește?

Răspuns

v = v 0 /2.

Funcționează munca rezultanta tuturor forțelor aplicate unui corp care se mișcă uniform într-un cerc?

Răspuns

Sarcina de masă m poate aluneca fără frecare pe o tijă orizontală care se rotește în jurul unei axe verticale care trece printr-unul dintre capete. Sarcina este legată de acest capăt al tijei printr-un arc, al cărui coeficient de elasticitate este k. Cu ce ​​viteză unghiulară ω Se va întinde arcul la 50% din lungimea inițială?

Răspuns

Mase în două puncte m 1 și m 2 sunt atașate de fir și sunt pe o masă complet netedă. Distanțele de la ele până la capătul fix al firului sunt l 1 și l 2 respectiv.

Sistemul se rotește într-un plan orizontal în jurul unei axe care trece prin capătul fix cu o viteză unghiulară ω . Găsiți forțele de tensiune ale secțiunilor firului T 1 și T 2 .

Răspuns

T 1 = (m 1 l 1 +m 2 l 2)ω 2 ; T 2 = m 2 ω 2 l 2 .

Un bărbat stă pe marginea unei platforme orizontale rotunde cu o rază R\u003d 4 m. Cu ce ​​frecvență n platforma trebuie să se rotească în jurul unei axe verticale, astfel încât o persoană să nu poată sta pe ea cu un coeficient de frecare k=0,27?

Răspuns

n= 6,75 min-1.

masa corpului m situat pe un disc orizontal la distanta r din axa. Discul începe să se rotească cu o viteză mică. Construiți un grafic al dependenței componentei forței de frecare în direcția radială, care acționează asupra corpului, de viteza unghiulară de rotație a discului. La ce valoare a vitezei unghiulare a discului va începe corpul să alunece?

Răspuns

Piatra de masa m=0,5 kg, legat de o lungime de frânghie l=50 cm, se rotește într-un plan vertical. Tensiunea din frânghie când piatra trece de punctul cel mai de jos al cercului T\u003d 44 N. Până la ce înălțime h Se va ridica o piatră deasupra punctului cel mai de jos al cercului dacă frânghia este tăiată în timp ce viteza sa este îndreptată vertical în sus?

Răspuns

h≈ 2 m.

Sportivul trimite ciocanul (miezul de pe cablu) la distanță l\u003d 70 m de-a lungul traiectoriei care oferă raza maximă de aruncare. Ce putere T afectează mâinile sportivului în momentul aruncării? Greutatea ciocanului m=5 kg. Luați în considerare că sportivul accelerează ciocanul, rotindu-l într-un plan vertical în jurul unui cerc cu o rază R\u003d 1,5 m. Rezistența aerului nu este luată în considerare.

Răspuns

T≈ 2205 N.

Masa vehiculului M\u003d 3 * 10 3 kg se mișcă cu o viteză constantă v\u003d 36 km / h: a) de-a lungul unui pod orizontal; b) de-a lungul podului convex; c) de-a lungul unui pod concav. Raza de curbură a podului în ultimele două cazuri R\u003d 60 m. Cu ce ​​forță apasă mașina pe pod (în ultimele două cazuri) în momentul în care linia care leagă centrul de curbură al podului cu mașina formează un unghi α =10° cu verticala?

Răspuns

A) F 1 ≈ 29400 N; b) F 2 ≈ 24.000 N; în) F 3 ≈ 34.000 N.

Pe un pod convex, a cărui rază de curbură R= 90 m, cu viteza v= 54 km/h o mașină de masă m\u003d 2 t. În punctul podului, direcția către care din centrul de curbură al podului formează un unghi cu direcția către vârful podului α , mașina apasă cu forță F= 14 400 N. Determinați unghiul α .

Răspuns

α ≈ 8,5º.

Masa mingii m= 100 g suspendat de un fir de lungime l\u003d 1 m. Mingea a fost rotită astfel încât să înceapă să se miște într-un cerc într-un plan orizontal. În acest caz, unghiul făcut de fir cu verticala, α = 60°. Determinați munca totală efectuată în rotirea mingii.

Răspuns

A≈ 1,23 J.

Care este viteza maximă pe care o poate parcurge o mașină pe o curbă cu o rază de curbură? R\u003d 150 m, astfel încât să nu „derapeze” dacă coeficientul de frecare al anvelopelor de alunecare pe drum k = 0,42?

Răspuns

v≈ 89 km/h.

1. Care ar trebui să fie coeficientul maxim de frecare de alunecare kîntre anvelopele mașinii și asfalt pentru ca mașina să poată trece de raza de rotunjire R= 200 m în viteză v= 100 km/h?

2. O mașină cu tracțiune integrală, care pornește, crește uniform viteza, deplasându-se de-a lungul unei secțiuni orizontale a drumului, care este un arc de cerc α = raza de 30° R= 100 m. Cu ce ​​viteză maximă poate circula mașina pe o porțiune dreaptă a pistei? Coeficientul de frecare a roților pe sol k = 0,3.

Răspuns

1. k ≈ 0,4.

2. v≈ 14,5 m/s.

Trenul se deplasează de-a lungul unei curbe cu o rază R= 800 m cu viteza v= 12 km/h. Determinați cât de mult trebuie să fie șina exterioară mai mare decât șina interioară, astfel încât să nu apară forțe laterale asupra roților. Distanța orizontală dintre șine se ia egală cu d= 1,5 m.

Răspuns

∆h≈ 7,65 cm.

Un motociclist circulă pe un drum orizontal cu o viteză de 72 km/h, făcând un viraj cu o rază de curbură de 100 m.

Răspuns

1. Care este viteza maximă v un motociclist poate merge pe un plan orizontal, descriind un arc cu o rază R= 90 m dacă coeficientul de frecare de alunecare k = 0,4?

2. În ce unghi φ ar trebui să se abată de la direcția verticală?

3. Care va fi viteza maximă a unui motociclist dacă circulă pe o pistă înclinată cu unghi de înclinare α = 30° cu aceeași rază de curbură și coeficient de frecare?

4. Care ar trebui să fie unghiul de înclinare al pistei α 0 pentru ca viteza motociclistului să fie arbitrar mare?

Răspuns

1. v≈ 18,8 m/s. 2. φ ≈ 21,8°. 3. v max ≈ 33,5 m/s. 4. α 0 = arctg(1/ k).

Aeronava face o viraj, mișcându-se de-a lungul unui arc de cerc cu o viteză constantă v= 360 km/h. Definiți raza R acest cerc, dacă corpul aeronavei este rotit în jurul direcției de zbor într-un unghi α = 10°.

Răspuns

R≈ 5780 m.

La cotitura drumului cu raza R= 100 m mașina se deplasează uniform. Centrul de greutate al vehiculului este la o înălțime h= 1 m, ecartamentul vehiculului A= 1,5 m. Determinați viteza v la care vehiculul se poate răsturna. În direcția transversală, mașina nu alunecă.

Răspuns

v≈ 26,1 m/s.

Șoferul, conducând o mașină, a observat brusc în fața lui un gard, perpendicular pe direcția de mișcare. Ce este mai profitabil de făcut pentru a preveni un accident: încetiniți sau întoarceți-vă în lateral?

Răspuns

Incetineste.

În vagonul unui tren care se deplasează uniform de-a lungul unei linii curbe cu o viteză v= 12 km/h, sarcina este cântărită pe cântare cu arc. Greutatea încărcăturii m= 5 kg, iar raza de curbură a traseului R\u003d 200 m. Determinați citirea balanței arcului (forța de tensionare a arcului T).

Răspuns

T≈ 51 N.

Găsiți putere F unitate crema separatoare (densitate ρ c \u003d 0,93 g / cm 3) din lapte degresat ( ρ m \u003d 1,03 g / cm 3) pe unitate de volum, dacă se produce separarea: a) într-un vas staționar; b) într-un separator centrifugal care se rotește cu o frecvență de 6000 min -1 dacă lichidul este la distanță r= 10 cm de axa de rotație.

Răspuns

A) F unitate ≈ 980 N/m3;

b) F unitate ≈ 3,94 10 5 N / m 3;

Aeronava face o „buclă moartă” cu o rază R= 100 m și se deplasează de-a lungul ei cu o viteză v= 280 km/h. Cu ce ​​forță F masa corporală a pilotului M= 80 kg vor pune presiune pe scaunul aeronavei în partea de sus și de jos a buclei?

Răspuns

Fîn ≈ 4030 N, F n ≈ 5630 N.

Determinați forța de tragere T frânghie pași giganți, dacă masa unei persoane M\u003d 70 kg și frânghia în timpul rotației formează un unghi α \u003d 45 ° cu coloana. Cu ce ​​viteză unghiulară se vor roti treptele gigantice dacă lungimea suspensiei l= 5 m?

Răspuns

T≈ 990 N; ω ≈ 1,68 rad/s.

Găsiți perioada T rotirea unui pendul făcând mișcări circulare în plan orizontal. Lungimea firului l. Unghiul format de fir cu verticala, α .

Răspuns

.

O greutate suspendată pe un fir se rotește într-un plan orizontal, astfel încât distanța de la punctul de suspensie la planul în care are loc rotația este h. Găsiți frecvența și rotația sarcinii, presupunând că aceasta este constantă.

Răspuns

Rezultatul nu depinde de lungimea suspensiei.

Masa candelabru m= 100 kg suspendate de tavan pe un lant metalic a carui lungime l= 5 m. Determinați înălțimea h, prin care candelabru poate fi deviat astfel încât lanțul să nu se rupă în timpul balansărilor ulterioare? Se știe că ruperea lanțului are loc atunci când forța de întindere T> 1960 N.

Răspuns

h≈ 2,5 m.

Masa mingii m suspendat de un fir inextensibil. Care este unghiul minim α min, este necesar să deviați mingea astfel încât în ​​timpul mișcării ulterioare firul să se rupă dacă forța maximă posibilă de tensionare a firului este de 1,5 mg?

Răspuns

α min ≈ 41,4°.

Pendulul este deviat într-o poziție orizontală și eliberat. În ce unghi α cu verticala, forța de întindere a firului va fi egală ca mărime cu forța gravitațională care acționează asupra pendulului? Pendulul este considerat matematic.

Răspuns

α = arccos(⅓).

Sarcina de masă m, legat de un fir inextensibil, se rotește într-un plan vertical. Găsiți diferența maximă a forțelor de tensiune ale firului.

Răspuns

Gimnasta „învârte soarele” pe bara transversală. Greutatea gimnastei m. Presupunând că toată masa sa este concentrată în centrul de greutate, iar viteza în punctul de sus este zero, determinați forța care acționează asupra mâinilor gimnastei în punctul de jos.

Răspuns

O greutate este suspendată de un fir de lungime inextensibil l, iar celălalt - pe o tijă rigidă fără greutate de aceeași lungime. Ce viteze minime trebuie acordate acestor greutăți pentru ca acestea să se rotească într-un plan vertical?

Răspuns

Pentru fir v min = ; pentru lansetă v min = .

Masa mingii M atârnat de un fir. În starea întinsă, firul a fost așezat orizontal și mingea a fost eliberată. Deduceți dependența tensiunii firului T din colt α , care formează în prezent un fir cu direcție orizontală. Verificați formula derivată rezolvând problema pentru cazul când mingea trece prin poziția de echilibru, cu α = 90°.

Răspuns

T = 3mg păcat α ; T = 3mg.

Lungimea pendulului matematic l si greutate M dus într-un colț φ 0 din poziția de echilibru și i-a spus viteza inițială v 0 îndreptat perpendicular pe fir în sus. Găsiți tensiunea din șirul pendulului T in functie de unghi φ fire verticale.

Răspuns

.

O greutate suspendată pe un fir este luată deoparte astfel încât firul să ia o poziție orizontală și eliberată. Ce unghi cu verticala α formează băutura în momentul în care componenta verticală a vitezei greutății este cea mai mare?

Răspuns

Bile elastice identice cu masa m, suspendate pe fire de lungime egală cu un cârlig, sunt deviate în direcții diferite față de verticală printr-un unghi α și dă drumul. Bilele se lovesc și sară unele de altele. Care este puterea F, acţionând asupra cârligului: a) la poziţiile extreme ale firelor; b) la momentele inițiale și finale ale impactului mingilor; c) în momentul celei mai mari deformări a bilelor?

Răspuns

A) F = 2mg cos 2 α ;

b) F = 2mg(3 - 2cos α );

în) F = 2mg.

La un pendul matematic cu un fir flexibil inextensibil de lungime l conferă o viteză orizontală din poziţia de echilibru v 0 . Determinați înălțimea maximă de ridicare h când se deplasează în cerc, dacă v 0 2 = 3gl. Ce traiectorie va urma bila pendulului după ce a atins înălțimea maximă de ridicare? h pe un cerc? Determinați înălțimea maximă H realizată cu această mişcare a pendulului.

Răspuns

; de-a lungul unei parabole; .

O minge mică este suspendată într-un punct DAR pe un fir de lungime l. La punctul O pe distanta l/2 sub punctul DAR se bagă un cui în perete. Mingea este retrasă astfel încât firul să fie în poziție orizontală și eliberată. În ce punct al traiectoriei dispare tensiunea firului? Cât de departe se va mișca mingea? Care este punctul cel mai înalt în care se va ridica mingea?

Răspuns

Pe l/6 sub punctul de suspendare; de-a lungul unei parabole; pe 2 l/27 sub punctul de suspendare.

Un vas având forma unui trunchi de con expandat cu un diametru de fund D= 20 cm și unghiul de înclinare al pereților α = 60°, se rotește în jurul axei verticale 00 unu . La ce viteza unghiulara de rotatie a vasului ω o minge mică aflată la fundul ei va fi aruncată din vas? Frecarea este ignorată.

Răspuns

ω > ≈13 rad/s.

Sferă cu rază R= 2 m se rotește uniform în jurul axei de simetrie cu o frecvență de 30 min -1 . În interiorul sferei se află o bilă de masă m= 0,2 kg. Găsiți înălțimea h, corespunzătoare poziției de echilibru a mingii față de sferă și reacției sferei N.

Răspuns

h≈ 1 m; N≈ 0,4 N.

În interiorul unei suprafețe conice care se mișcă cu accelerație A, bila se rotește într-un cerc cu o rază R. Definiți perioada T mișcarea circulară a mingii. Unghiul vârfului conului 2 α .

Răspuns

.

Un corp mic de masă m alunecă pe o pantă înclinată, transformându-se într-o buclă moartă cu o rază R.

Frecarea este neglijabilă. Stabiliți: a) care ar trebui să fie cea mai mică înălțime h pantă astfel încât corpul să facă o buclă completă fără să cadă; b) ce presiune Fîn același timp, produce un corp pe platformă într-un punct al cărui vector rază formează un unghi α cu verticală.

Răspuns

A) h = 2,5R; b) F = 3mg(1 - cos α ).

Banda transportoare este înclinată la orizont într-un unghi α . Determinați viteza minimă a benzii v min, la care particula de minereu care se află pe ea este separată de suprafața benzii în locul în care curge pe tambur, dacă raza tamburului este egală cu R.

Răspuns

v min = .

Un corp mic alunecă în jos din partea de sus a sferei. La ce înălțime h de la vârf corpul se va desprinde de pe suprafața sferei cu o rază R? Ignora frecarea.

Răspuns

h = R/3.

Aflați energia cinetică a masei cercului m rostogolindu-se cu o viteză v. Nu există alunecare.

Răspuns

K = mv 2 .

Un cerc subțire fără alunecare se rostogolește într-o groapă în formă de emisferă. La ce adâncime h este forța presiunii normale a cercului pe peretele gropii egală cu gravitația sa? Raza gropii R, raza cercului r.

Răspuns

h = (R - r)/2.

Un mic cerc se rostogolește fără a aluneca pe suprafața interioară a unei emisfere mari. În momentul inițial, cercul s-a sprijinit de marginea superioară. Determinaţi: a) energia cinetică a cercului în punctul cel mai de jos al emisferei; b) ce proporție din energia cinetică cade pe mișcarea de rotație a cercului în jurul axei sale; c) forţa normală de apăsare a jantei spre punctul inferior al emisferei. Masa cercului este m, raza emisferei R.

Răspuns

A) K = mgR; b) 50%; în 2 mg.

Apa curge printr-o conducta situata in plan orizontal si avand o raza de rotunjire R= 2 m. Aflați presiunea laterală a apei. Diametrul conductei d= 20 cm. M= 300 de tone de apă.

Răspuns

p\u003d 1,2 10 5 Pa.

Corpul alunecă din punct DAR exact LA de-a lungul a două suprafeţe curbe înclinate care trec prin puncte Ași LA o dată de-a lungul unui arc convex, a doua - de-a lungul unui arc concav. Ambele arce au aceeași curbură și coeficientul de frecare este același în ambele cazuri.

În ce caz este viteza corpului într-un punct B Mai mult?

Răspuns

În cazul deplasării de-a lungul unui arc convex.

O tijă de masă neglijabilă, lungime l cu două bile mici m 1 și m 2 (m 1 > m 2) la capete se poate roti în jurul unei axe care trece prin mijlocul tijei perpendicular pe acesta. Tija este adusă în poziție orizontală și eliberată. Determinați viteza unghiulară ω și forța de presiune F pe axă în momentul în care tija cu bile trece de poziţia de echilibru.

Răspuns

; .

Un mic inel de masă m. Inelul fără frecare începe să alunece în spirală. Cu ce ​​forță F inelul va apăsa pe spirală după ce aceasta va trece n ture complete? Raza de viraj R, distanța dintre viraje adiacente h(turniți pasul). Gândi h ≪ R.

Răspuns

.

Un lanț metalic închis se află pe un disc orizontal neted, fiind așezat lejer pe un inel de centrare coaxial cu discul. Discul este pus în rotație. Luând forma lanțului ca un cerc orizontal, determinați forța de tensiune T de-a lungul lanțului dacă masa acestuia m= 150 g, lungime l= 20 cm și lanțul se rotește cu o frecvență n= 20 s -1 .

Răspuns

T≈ 12 N.

Plan reactiv m= 30 de tone zboară de-a lungul ecuatorului de la vest la est cu o viteză v= 1800 km/h. Cu cât se va schimba forța de susținere care acționează asupra avionului dacă acesta zboară cu aceeași viteză de la est la vest?

Răspuns

ΔF sub ≈ 1,74 10 3 N.