Lecție și prezentare pe teme: "Arxine. Tabel Arcsin. Formula y=arcsin(x)"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Manuale si simulatoare in magazinul online „Integral” pentru nota 10 din 1C
Mediul software „1C: constructor matematic 6.1”
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini interactive pentru construirea în spațiu

Ce vom studia:
1. Ce este arcsinusul?
2. Desemnarea arcsinusului.
3. Un pic de istorie.
4. Definiție.

6. Exemple.

Ce este arcsinus?

Băieți, am învățat deja cum să rezolvăm ecuații pentru cosinus, acum să învățăm cum să rezolvăm ecuații similare pentru sinus. Se consideră sin(x)= √3/2. Pentru a rezolva această ecuație, trebuie să construiți o dreaptă y= √3/2 și să vedeți: în ce puncte intersectează cercul numeric. Se poate observa că linia intersectează cercul în două puncte F și G. Aceste puncte vor fi soluția ecuației noastre. Redenumiți F ca x1 și G ca x2. Am găsit deja soluția acestei ecuații și am obținut: x1= π/3 + 2πk,
și x2= 2π/3 + 2πk.

Rezolvarea acestei ecuații este destul de simplă, dar cum se rezolvă, de exemplu, ecuația
sin(x)=5/6. Evident, această ecuație va avea și două rădăcini, dar ce valori vor corespunde soluției pe cercul numeric? Să aruncăm o privire mai atentă la ecuația noastră sin(x)=5/6.
Soluția ecuației noastre va fi două puncte: F= x1 + 2πk și G= x2 ​​​​+ 2πk,
unde x1 este lungimea arcului AF, x2 este lungimea arcului AG.
Notă: x2= π - x1, deoarece AF= AC - FC, dar FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Dar ce sunt aceste puncte?

Confruntați cu o situație similară, matematicienii au venit cu un nou simbol - arcsin (x). Se citește ca un arcsinus.

Atunci soluția ecuației noastre se va scrie astfel: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

Și soluția generală: x= arcsin(5/6) + 2πk și x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Arcsinusul este unghiul (lungimea arcului AF, AG) sinus, care este egal cu 5/6.

Un pic de istorie arcsinus

Istoria originii simbolului nostru este exact aceeași cu cea a arccos. Pentru prima dată, simbolul arcsin apare în lucrările matematicianului Scherfer și celebrului om de știință francez J.L. Lagrange. Ceva mai devreme, conceptul de arcsinus a fost considerat de D. Bernuli, deși l-a notat cu alte simboluri.

Aceste simboluri au devenit general acceptate abia la sfârșitul secolului al XVIII-lea. Prefixul „arc” provine din latinescul „arcus” (arc, arc). Acest lucru este destul de în concordanță cu sensul conceptului: arcsin x este un unghi (sau puteți spune un arc), al cărui sinus este egal cu x.

Definiţia arcsine

Dacă |а|≤ 1, atunci arcsin(a) este un astfel de număr din intervalul [- π/2; π/2], al cărui sinus este a.

Dacă |a|≤ 1, atunci ecuația sin(x)= a are o soluție: x= arcsin(a) + 2πk și
x= π - arcsin(a) + 2πk

Să rescriem:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Băieți, uitați-vă cu atenție la cele două soluții ale noastre. Ce părere aveți: se pot scrie într-o formulă generală? Rețineți că dacă există un semn plus înainte de arcsinus, atunci π este înmulțit cu un număr par 2πk, iar dacă semnul este minus, atunci multiplicatorul este impar 2k+1.
Având în vedere acest lucru, scriem formula soluției generale pentru ecuația sin(x)=a:

Există trei cazuri în care se preferă să scrie soluții într-un mod mai simplu:

sin(x)=0, atunci x= πk,

sin(x)=1, atunci x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, atunci x= -π/2 + 2πk.

Pentru orice -1 ≤ a ≤ 1, este valabilă următoarea egalitate: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Să scriem un tabel cu valorile cosinusului în sens invers și să obținem un tabel pentru arcsinus.

Exemple

1. Calculați: arcsin(√3/2).
Rezolvare: Fie arcsin(√3/2)= x, apoi sin(x)= √3/2. Prin definiție: - π/2 ≤x≤ π/2. Să ne uităm la valorile sinusului din tabel: x= π/3, deoarece sin(π/3)= √3/2 și –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Răspuns: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Calculați: arcsin(-1/2).
Rezolvare: Fie arcsin(-1/2)= x, apoi sin(x)= -1/2. Prin definiție: - π/2 ≤x≤ π/2. Să ne uităm la valorile sinusului din tabel: x= -π/6, deoarece sin(-π/6)= -1/2 și -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Răspuns: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Calculați: arcsin(0).
Rezolvare: Fie arcsin(0)= x, apoi sin(x)= 0. Prin definiție: - π/2 ≤x≤ π/2. Să ne uităm la valorile sinusului din tabel: înseamnă x = 0, deoarece sin(0)= 0 și - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Răspuns: arcsin(0)=0.

4. Rezolvați ecuația: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk și x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Să ne uităm la valoarea din tabel: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Răspuns: x= -π/4 + 2πk și x= 5π/4 + 2πk.

5. Rezolvați ecuația: sin(x) = 0.
Soluție: Să folosim definiția, apoi soluția va fi scrisă sub forma:
x= arcsin(0) + 2πk și x= π - arcsin(0) + 2πk. Să ne uităm la valoarea din tabel: arcsin(0)= 0.
Răspuns: x= 2πk și x= π + 2πk

6. Rezolvați ecuația: sin(x) = 3/5.
Soluție: Să folosim definiția, apoi soluția va fi scrisă sub forma:
x= arcsin(3/5) + 2πk și x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Răspuns: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Rezolvați inegalitatea sin(x) Soluție: Sinusul este ordonata punctului cercului numeric. Deci: trebuie să găsim astfel de puncte, a căror ordonată este mai mică de 0,7. Să desenăm o linie dreaptă y=0,7. Intersectează cercul numeric în două puncte. Inegalitatea y Atunci soluția inegalității va fi: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Probleme pe arcsinus pentru rezolvare independentă

1) Calculați: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).
2) Rezolvați ecuația: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sin(x) = -1,2.
3) Rezolvați inegalitatea: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x) ≤ 1/2.

Este prezentată o metodă de derivare a formulelor pentru funcțiile trigonometrice inverse. Se obțin formule pentru argumente negative, expresii care relaționează arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Este indicată o metodă de derivare a formulelor pentru suma arcsinusurilor, arccosinusului, arctangentelor și arccotangentelor.

Formule de bază

Derivarea formulelor pentru funcțiile trigonometrice inverse este simplă, dar necesită control asupra valorilor argumentelor funcțiilor directe. Acest lucru se datorează faptului că funcțiile trigonometrice sunt periodice și, prin urmare, funcțiile lor inverse sunt multivalorice. Dacă nu se specifică altfel, funcțiile trigonometrice inverse înseamnă valorile lor principale. Pentru a determina valoarea principală, domeniul de definire al funcției trigonometrice este restrâns la intervalul pe care este monotonă și continuă. Derivarea formulelor pentru funcțiile trigonometrice inverse se bazează pe formulele funcțiilor trigonometrice și pe proprietățile funcțiilor inverse ca atare. Proprietățile funcțiilor inverse pot fi împărțite în două grupe.

Primul grup include formule care sunt valabile în întregul domeniu al funcțiilor inverse:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x
tg(arctg x) = x (-∞ < x < +∞ )
ctg(arctg x) = x (-∞ < x < +∞ )

Al doilea grup include formule care sunt valabile numai pe setul de valori ale funcțiilor inverse.
arcsin(sin x) = x la
arccos(cos x) = x la
arctg(tg x) = x la
arcctg(ctg x) = x la

Dacă variabila x nu se încadrează în intervalul de mai sus, atunci ar trebui redusă la ea folosind formulele funcțiilor trigonometrice (în continuare n este un număr întreg):
sinx = sin(-x-π); sinx = sin(π-x); sinx = sin(x+2πn);
cos x = cos(-x); cosx = cos(2π-x); cosx = cos(x+2πn);
tgx = tg(x+πn); ctgx = ctg(x+πn)

De exemplu, dacă se știe că
arcsin(sin x) = arcsin(sin( π - x )) = π - x .

Este ușor de observat că pentru π - x se încadrează în intervalul necesar. Pentru a face acest lucru, înmulțiți cu -1: și adăugați π: sau Totul este corect.

Funcțiile inverse ale argumentului negativ

Aplicând formulele de mai sus și proprietățile funcțiilor trigonometrice, obținem formule pentru funcțiile inverse ale unui argument negativ.

arcsin(-x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

De atunci înmulțind cu -1, avem: sau
Argumentul sinus se încadrează în intervalul permis al intervalului arcsinus. Prin urmare formula este corectă.

La fel și pentru alte funcții.
arccos(-x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x

arctan(-x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctg x

arcctg(-x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x

Exprimarea arcsinusului în termeni de arccosinus și a arctangentei în termeni de arccotangente

Exprimăm arcsinusul în termeni de arccosinus.

Formula este valabilă pentru Aceste inegalități sunt valabile pentru că

Pentru a verifica acest lucru, înmulțim inegalitățile cu -1 : și adăugăm π/2 : sau Totul este corect.

În mod similar, exprimăm arctangentei prin arccotangente.

Exprimarea arcsinusului prin arctangent, arccosinus prin arccotangent și invers

Procedăm într-un mod similar.

Formule de sumă și diferență

Într-un mod similar, obținem formula pentru suma arcsinusurilor.

Să stabilim limitele de aplicabilitate ale formulei. Pentru a nu ne ocupa de expresii greoaie, introducem notația: X = arcsin x, Y = arcsin y. Formula este aplicabilă atunci când
. Mai mult, observăm că, din moment ce arcsin(- x) = - arcsin x, arcsin(- y) = - arcsin y, atunci pentru semne diferite, x și y, X și Y au și semne diferite și, prin urmare, inegalitățile sunt valabile. Condiția diferitelor semne pentru x și y poate fi scrisă cu o singură inegalitate: . Adică atunci când formula este valabilă.

Acum luați în considerare cazul x > 0 și y > 0 , sau X > 0 și Y > 0 . Atunci condiția de aplicabilitate a formulei este îndeplinirea inegalității: . Deoarece cosinusul scade monoton pentru valorile argumentului în intervalul de la 0 , la π , atunci luăm cosinusul părților stânga și dreaptă ale acestei inegalități și transformăm expresia:
;
;
;
.
Din moment ce și ; atunci cosinusurile incluse aici nu sunt negative. Ambele părți ale inegalității sunt pozitive. Le pătram și convertim cosinusurile prin sinusuri:
;
.
Substitui sin X = sin arc sin x = x:
;
;
;
.

Deci, formula rezultată este valabilă pentru sau .

Acum luați în considerare cazul x > 0, y > 0 și x 2 + y 2 > 1 . Aici argumentul sinus ia valorile: . Trebuie redusă la intervalul zonei valorii arcsinus:

Asa de,

la i.

Înlocuind x și y cu - x și - y , avem

la i.
Efectuam transformari:

la i.
Sau

la i.

Deci, avem următoarele expresii pentru suma arcsinusurilor:

la sau ;

pentru și ;

la și .

Ce este arcsinus, arccosinus? Ce este arc tangentă, arc tangentă?

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

La concepte arcsinus, arccosinus, arctangent, arccotangent populația studențească este precaută. El nu înțelege acești termeni și, prin urmare, nu are încredere în această familie glorioasă.) Dar în zadar. Acestea sunt concepte foarte simple. Ceea ce, apropo, face viața mult mai ușoară pentru o persoană informată atunci când rezolvă ecuații trigonometrice!

Sunteți confuz în privința simplității? Degeaba.) Chiar aici și acum te vei convinge de asta.

Desigur, pentru înțelegere, ar fi bine să știm ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Da, valorile lor de tabel pentru unele unghiuri ... Cel puțin în termenii cei mai generali. Atunci nici aici nu vor fi probleme.

Deci, suntem surprinși, dar amintiți-vă: arcsinus, arccosinus, arctangent și arctangent sunt doar câteva unghiuri. Nici mai mult nici mai puțin. Există un unghi, să zicem 30°. Și există un unghi arcsin0.4. Sau arctg(-1,3). Există tot felul de unghiuri.) Puteți scrie pur și simplu unghiuri în moduri diferite. Puteți scrie unghiul în grade sau radiani. Sau puteți - prin sinus, cosinus, tangentă și cotangentă...

Ce înseamnă expresia

arcsin 0,4?

Acesta este unghiul al cărui sinus este 0,4! Da Da. Acesta este sensul arcsinusului. Repet în mod specific: arcsin 0,4 este un unghi al cărui sinus este 0,4.

Si asta e.

Pentru a păstra acest gând simplu în capul meu pentru o lungă perioadă de timp, voi oferi chiar o defalcare a acestui termen teribil - arcsinus:

arc păcat 0,4
injecţie, al cărui sinus este egal cu 0,4

Aşa cum este scris, aşa se aude.) Aproape. Prefix arc mijloace arc(cuvânt arcștii?), pentru că oamenii antici foloseau arcuri în loc de colțuri, dar acest lucru nu schimbă esența problemei. Amintiți-vă de această decodare elementară a unui termen matematic! Mai mult, pentru arc cosinus, arc tangentă și arc tangentă, decodificarea diferă doar prin numele funcției.

Ce este arccos 0.8?
Acesta este un unghi al cărui cosinus este 0,8.

Ce este arctan(-1,3)?
Acesta este un unghi a cărui tangentă este -1,3.

Ce este arcctg 12?
Acesta este un unghi a cărui cotangentă este 12.

O astfel de decodare elementară permite, de altfel, evitarea gafelor epice.) De exemplu, expresia arccos1,8 pare destul de solidă. Să începem decodarea: arccos1,8 este un unghi al cărui cosinus este egal cu 1,8... Hop-hop!? 1,8!? Cosinusul nu poate fi mai mare de unu!

Dreapta. Expresia arccos1,8 nu are sens. Și scrierea unei astfel de expresii într-un răspuns îl va amuza foarte mult pe verificator.)

Elementar, după cum puteți vedea.) Fiecare unghi are propriul său sinus și cosinus personal. Și aproape fiecare are propria tangentă și cotangentă. Prin urmare, cunoscând funcția trigonometrică, puteți nota unghiul în sine. Pentru aceasta sunt destinate arcsinus, arccosinus, arctangente și arccotangente. În plus, voi numi întreaga familie un diminutiv - arcade. să tastați mai puțin.)

Atenţie! verbale elementare și conştient descifrarea arcadelor vă permite să rezolvați cu calm și încredere o varietate de sarcini. Si in neobișnuit sarcini doar ea le salvează.

Este posibil să treceți de la arcade la grade obișnuite sau radiani?- Aud o întrebare precaută.)

De ce nu!? Uşor. Puteți merge acolo și înapoi. Mai mult, uneori este necesar să faceți acest lucru. Arcurile sunt un lucru simplu, dar fără ele este oarecum mai calm, nu?)

De exemplu: ce este arcsin 0,5?

Să ne uităm la decriptare: arcsin 0,5 este unghiul al cărui sinus este 0,5. Acum porniți-vă capul (sau Google)) și amintiți-vă ce unghi are sinusul de 0,5? Sinusul este 0,5 y unghi de 30 de grade. Cam despre asta e: arcsin 0,5 este un unghi de 30°. Puteți scrie în siguranță:

arcsin 0,5 = 30°

Sau, mai solid, în termeni de radiani:

Gata, poți să uiți de arcsinus și să lucrezi cu grade sau radiani obișnuiți.

Daca ti-ai dat seama ce este arcsinus, arccosinus... Ce este arctangent, arccotangent... Atunci poți face față cu ușurință, de exemplu, unui astfel de monstru.)

O persoană ignorantă se va retrage îngrozită, da ...) Și un cunoscător amintiți-vă decriptarea: arcsinusul este unghiul al cărui sinus este ... Ei bine, și așa mai departe. Dacă o persoană informată cunoaște și tabelul sinusurilor... Tabelul cosinusurilor. Un tabel de tangente și cotangente, atunci nu sunt deloc probleme!

Este suficient să luăm în considerare că:

voi descifra, i.e. traduceți formula în cuvinte: unghi a cărui tangentă este 1 (arctg1) este un unghi de 45°. Sau, ceea ce este același, Pi/4. În mod similar:

și asta-i tot... Înlocuim toate arcadele cu valori în radiani, totul se reduce, rămâne de calculat cât va fi 1 + 1. Va fi 2.) Care este răspunsul corect.

Acesta este modul în care puteți (și ar trebui) să treceți de la arcsinus, arccosinus, arctangente și arctangente la grade și radiani obișnuiți. Acest lucru simplifică foarte mult exemplele înfricoșătoare!

Adesea, în astfel de exemple, în interiorul arcadelor sunt negativ valorile. Ca, arctg(-1.3), sau, de exemplu, arccos(-0.8)... Asta nu este o problemă. Iată câteva formule simple pentru a trece de la negativ la pozitiv:

Trebuie, să zicem, să determinați valoarea unei expresii:

Puteți rezolva acest lucru folosind un cerc trigonometric, dar nu doriți să îl desenați. Ei bine, bine. Mergând de la negativ valorile din interiorul arcului cosinus la pozitiv conform celei de-a doua formule:

În interiorul arccosinusului din dreapta deja pozitiv sens. Ce

trebuie doar să știi. Rămâne să înlocuiți radianii în locul arcului cosinus și să calculați răspunsul:

Asta e tot.

Restricții privind arcsinus, arccosinus, arctangent, arccotangent.

Există o problemă cu exemplele 7 - 9? Ei bine, da, există un truc acolo.)

Toate aceste exemple, de la 1 la 9, sunt sortate cu grijă pe rafturile din Secțiunea 555. Ce, cum și de ce. Cu toate capcanele și trucurile secrete. Plus modalități de a simplifica dramatic soluția. Apropo, această secțiune conține o mulțime de informații utile și sfaturi practice despre trigonometrie în general. Și nu numai în trigonometrie. Ajută mult.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Sunt date definiții ale funcțiilor trigonometrice inverse și graficele acestora. Precum și formule care raportează funcții trigonometrice inverse, formule pentru sume și diferențe.

Definiția funcțiilor trigonometrice inverse

Deoarece funcțiile trigonometrice sunt periodice, funcțiile inverse acestora nu sunt cu o singură valoare. Deci, ecuația y = sin x, pentru dat , are infinit de rădăcini. Într-adevăr, datorită periodicității sinusului, dacă x este o astfel de rădăcină, atunci x + 2n(unde n este un număr întreg) va fi și rădăcina ecuației. În acest fel, funcțiile trigonometrice inverse sunt multivalorice. Pentru a facilita lucrul cu ei, este introdus conceptul principalelor lor valori. Luați în considerare, de exemplu, sinusul: y = sin x. Dacă limităm argumentul x la intervalul , atunci pe el funcția y = sin x crește monoton. Prin urmare, are o funcție inversă cu o singură valoare, care se numește arcsinus: x = arcsin y.

Dacă nu se specifică altfel, funcțiile trigonometrice inverse înseamnă valorile lor principale, care sunt definite de următoarele definiții.

Arcsin ( y= arcsin x) este funcția inversă a sinusului ( x= siny

Arccosinus ( y= arccos x) este funcția inversă a cosinusului ( x= ca si) care are un domeniu de definiție și un set de valori.

Arctangent ( y= arctg x) este funcția inversă a tangentei ( x= tg y) care are un domeniu de definiție și un set de valori.

Arc tangentă ( y= arcctg x) este funcția inversă a cotangentei ( x= ctg y) care are un domeniu de definiție și un set de valori.

Grafice ale funcțiilor trigonometrice inverse

Graficele funcțiilor trigonometrice inverse se obțin din graficele funcțiilor trigonometrice prin reflexie în oglindă față de dreapta y = x. Vezi secțiunile Sinus, cosinus, Tangent, cotangent.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

Formule de bază

Aici, o atenție deosebită trebuie acordată intervalelor pentru care formulele sunt valabile.

arcsin(sin x) = x la
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x la
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x la
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x la
ctg(arctg x) = x

Formule care raportează funcții trigonometrice inverse

Formule de sumă și diferență

la sau

la şi

la şi

la sau

la şi

la şi

la

la

la

la

Funcțiile sin, cos, tg și ctg sunt întotdeauna însoțite de un arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Una este o consecință a celeilalte, iar perechile de funcții sunt la fel de importante pentru lucrul cu expresii trigonometrice.

Luați în considerare desenul unui cerc unitar, care afișează grafic valorile funcțiilor trigonometrice.

Dacă calculați arcurile OA, arcos OC, arctg DE și arcctg MK, atunci toate vor fi egale cu valoarea unghiului α. Formulele de mai jos reflectă relația dintre principalele funcții trigonometrice și arcele lor corespunzătoare.

Pentru a înțelege mai multe despre proprietățile arcsinusului, este necesar să luăm în considerare funcția acestuia. Programa are forma unei curbe asimetrice care trece prin centrul coordonatelor.

Proprietăți arcsinus:

Dacă comparăm grafice păcatși arc sin, două funcții trigonometrice pot găsi modele comune.

Arc cosinus

Arccos al numărului a este valoarea unghiului α, al cărui cosinus este egal cu a.

Curba y = arcos x oglindește graficul arcsin x, singura diferență fiind că trece prin punctul π/2 de pe axa OY.

Luați în considerare funcția arccosinus mai detaliat:

1. Funcția este definită pe segmentul [-1; unu].
2. ODZ pentru arccos - .
3. Graficul este situat în întregime în sferturile I și II, iar funcția în sine nu este nici pară, nici impară.
4. Y = 0 pentru x = 1.
5. Curba scade pe toată lungimea sa. Unele proprietăți ale arcului cosinus sunt aceleași cu funcția cosinus.

Unele proprietăți ale arcului cosinus sunt aceleași cu funcția cosinus.

Este posibil ca un astfel de studiu „detaliat” al „arcadelor” să le pară de prisos școlarilor. Cu toate acestea, în caz contrar, unele sarcini elementare tipice de USE pot duce elevii într-o fundătură.

Exercitiul 1. Specificați funcțiile prezentate în figură.

Răspuns: orez. 1 - 4, fig. 2 - 1.

În acest exemplu, accentul este pus pe lucrurile mărunte. De obicei, elevii sunt foarte neatenți la construcția graficelor și apariția funcțiilor. Într-adevăr, de ce să memorezi forma curbei, dacă poate fi întotdeauna construită din puncte calculate. Nu uitați că, în condițiile testului, timpul alocat desenului pentru o sarcină simplă va fi necesar pentru a rezolva sarcini mai complexe.

Arctangent

Arctg numărul a este o astfel de valoare a unghiului α încât tangenta sa este egală cu a.

Dacă luăm în considerare graficul arc-tangentei, putem distinge următoarele proprietăți:

1. Graficul este infinit și definit pe intervalul (- ∞; + ∞).
2. Arctangent este o funcție impară, prin urmare, arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 pentru x = 0.
4. Curba crește pe întregul domeniu de definire.

Să facem o scurtă analiză comparativă a tg x și arctg x sub forma unui tabel.

Arc tangentă

Arcctg al numărului a - ia o astfel de valoare a α din intervalul (0; π) încât cotangenta sa este egală cu a.

Proprietățile funcției arc cotangente:

1. Intervalul de definire a funcției este infinit.
2. Gama de valori admisibile este intervalul (0; π).
3. F(x) nu este nici par, nici impar.
4. Pe toată lungimea sa, graficul funcției scade.

Compararea ctg x și arctg x este foarte simplă, trebuie doar să desenați două desene și să descrieți comportamentul curbelor.

Sarcina 2. Corelați graficul și forma funcției.

În mod logic, graficele arată că ambele funcții sunt în creștere. Prin urmare, ambele figuri afișează o funcție arctg. Din proprietățile arc-tangentei se știe că y=0 pentru x = 0,

Răspuns: orez. 1 - 1, fig. 2-4.

Identități trigonometrice arcsin, arcos, arctg și arcctg

Anterior, am identificat deja relația dintre arcade și principalele funcții ale trigonometriei. Această dependență poate fi exprimată printr-un număr de formule care permit exprimarea, de exemplu, a sinusului unui argument prin arcsinus, arccosinus sau invers. Cunoașterea unor astfel de identități poate fi utilă în rezolvarea unor exemple specifice.

Există, de asemenea, rapoarte pentru arctg și arcctg:

O altă pereche utilă de formule stabilește valoarea sumei valorilor arcsin și arcos și arcctg și arcctg ale aceluiași unghi.

Exemple de rezolvare a problemelor

Sarcinile de trigonometrie pot fi împărțite condiționat în patru grupuri: calculați valoarea numerică a unei anumite expresii, trasați o funcție dată, găsiți domeniul său de definiție sau ODZ și efectuați transformări analitice pentru a rezolva exemplul.

La rezolvarea primului tip de sarcini, este necesar să se respecte următorul plan de acțiune:

Când lucrați cu grafice ale funcțiilor, principalul lucru este cunoașterea proprietăților lor și a aspectului curbei. Tabelele de identități sunt necesare pentru a rezolva ecuații și inegalități trigonometrice. Cu cât elevul își amintește mai multe formule, cu atât este mai ușor să găsești răspunsul la sarcină.

Să presupunem că la examen este necesar să găsiți răspunsul pentru o ecuație de tipul:

Dacă transformați corect expresia și o aduceți în forma dorită, atunci rezolvarea acesteia este foarte simplă și rapidă. Mai întâi, să mutăm arcsin x în partea dreaptă a ecuației.

Dacă ne amintim formula arcsin (sinα) = α, atunci putem reduce căutarea de răspunsuri la rezolvarea unui sistem de două ecuații:

Constrângerea modelului x a apărut, din nou, din proprietățile arcsinului: ODZ pentru x [-1; unu]. Când a ≠ 0, o parte a sistemului este o ecuație pătratică cu rădăcini x1 = 1 și x2 = - 1/a. Cu a = 0, x va fi egal cu 1.