Unele concepte și termeni sunt folosiți strict în limite înguste.Alte definiții se găsesc în zone care sunt puternic opuse. Deci, de exemplu, conceptul de „gradient” este folosit de un fizician, un matematician și un specialist în manichiură sau „Photoshop”. Ce este un gradient ca concept? Să ne dăm seama.

Ce spun dicționarele?

Ce este un „gradient” dicționarele tematice speciale interpretează în raport cu specificul lor. Tradus din latină, acest cuvânt înseamnă - „cel care merge, crește”. Iar „Wikipedia” definește acest concept ca „un vector care indică direcția de creștere a mărimii”. În dicționarele explicative, vedem sensul acestui cuvânt ca „o schimbare a oricărei valori cu o singură valoare”. Conceptul poate avea atât sens cantitativ, cât și calitativ.

Pe scurt, este o tranziție graduală lină a oricărei valori cu o singură valoare, o schimbare progresivă și continuă a cantității sau direcției. Vectorul este calculat de matematicieni, meteorologi. Acest concept este folosit în astronomie, medicină, artă, grafică pe computer. Sub termenul similar sunt definite tipuri complet diferite de activități.

Funcții matematice

Care este gradientul unei funcții în matematică? Aceasta indică direcția de creștere a unei funcții într-un câmp scalar de la o valoare la alta. Mărimea gradientului este calculată folosind definiția derivatelor parțiale. Pentru a afla cea mai rapidă direcție de creștere a funcției pe grafic, sunt selectate două puncte. Ele definesc începutul și sfârșitul vectorului. Rata cu care o valoare crește de la un punct la altul este mărimea gradientului. Funcțiile matematice bazate pe calculele acestui indicator sunt utilizate în grafica vectorială pe computer, ale cărei obiecte sunt imagini grafice ale obiectelor matematice.

Ce este un gradient în fizică?

Conceptul de gradient este comun în multe ramuri ale fizicii: gradient de optică, temperatură, viteză, presiune etc. În această industrie, conceptul denotă o măsură a creșterii sau scăderii unei valori pe unitate. Se calculează ca diferență între cei doi indicatori. Să luăm în considerare câteva dintre cantități mai detaliat.

Ce este un gradient potențial? În lucrul cu un câmp electrostatic se determină două caracteristici: tensiunea (puterea) și potențialul (energia). Aceste cantități diferite sunt legate de mediu. Și deși definesc caracteristici diferite, totuși au o legătură între ele.

Pentru a determina puterea câmpului de forță, se utilizează gradientul de potențial - o valoare care determină rata de modificare a potențialului în direcția liniei câmpului. Cum se calculează? Diferența de potențial a două puncte ale câmpului electric este calculată din tensiunea cunoscută folosind vectorul de intensitate, care este egal cu gradientul de potențial.

Condiții de meteorologi și geografi

Pentru prima dată, conceptul de gradient a fost folosit de meteorologi pentru a determina modificarea mărimii și direcției diferiților indicatori meteorologici: temperatură, presiune, viteza și puterea vântului. Este o măsură a modificării cantitative a diferitelor cantități. Maxwell a introdus termenul în matematică mult mai târziu. În definirea condițiilor meteorologice, există concepte de gradienți verticali și orizontale. Să le luăm în considerare mai detaliat.

Ce este un gradient vertical de temperatură? Aceasta este o valoare care arată modificarea performanței, calculată la o înălțime de 100 m. Poate fi fie pozitivă, fie negativă, spre deosebire de orizontală, care este întotdeauna pozitivă.

Gradientul arată mărimea sau unghiul pantei pe sol. Se calculează ca raport dintre înălțimea și lungimea proiecției traseului pe o anumită secțiune. Exprimat ca procent.

Indicatori medicali

Definiția „gradientului de temperatură” poate fi găsită și printre termenii medicali. Arată diferența dintre indicatorii corespunzători ai organelor interne și a suprafeței corpului. În biologie, gradientul fiziologic fixează o schimbare în fiziologia oricărui organ sau organism în ansamblu în orice stadiu al dezvoltării sale. În medicină, un indicator metabolic este intensitatea metabolismului.

Nu numai fizicienii, ci și medicii folosesc acest termen în munca lor. Ce este gradientul de presiune în cardiologie? Acest concept definește diferența de tensiune arterială în orice secțiuni interconectate ale sistemului cardiovascular.

Un gradient descrescător al automatității este un indicator al scăderii frecvenței excitațiilor inimii în direcția de la bază spre vârf, care apar automat. În plus, cardiologii identifică locul leziunii arteriale și gradul acesteia controlând diferența de amplitudine a undelor sistolice. Cu alte cuvinte, folosind gradientul de amplitudine al pulsului.

Ce este un gradient de viteză?

Când se vorbește despre viteza de schimbare a unei anumite cantități, se înțelege prin aceasta rata de schimbare în timp și spațiu. Cu alte cuvinte, gradientul de viteză determină modificarea coordonatelor spațiale în raport cu indicatorii temporali. Acest indicator este calculat de meteorologi, astronomi, chimiști. Gradientul vitezei de forfecare a straturilor de fluid este determinat în industria petrolului și gazelor pentru a calcula viteza cu care un fluid se ridică printr-o țeavă. Un astfel de indicator al mișcărilor tectonice este aria calculelor efectuate de seismologi.

Funcții economice

Pentru a fundamenta concluzii teoretice importante, conceptul de gradient este utilizat pe scară largă de economiști. La rezolvarea problemelor consumatorilor se folosește o funcție de utilitate, care ajută la reprezentarea preferințelor dintr-un set de alternative. „Funcția de constrângere bugetară” este un termen folosit pentru a se referi la un set de pachete de consumatori. Gradienții din această zonă sunt utilizați pentru a calcula consumurile optime.

gradient de culoare

Termenul „gradient” este familiar oamenilor creativi. Deși sunt departe de științele exacte. Ce este un gradient pentru un designer? Deoarece în științele exacte este o creștere treptată a valorii cu unul, astfel încât în ​​culoare acest indicator denotă o tranziție lină și întinsă a nuanțelor de aceeași culoare de la mai deschis la mai închis sau invers. Artiștii numesc acest proces „întindere”. De asemenea, este posibil să comutați la diferite culori însoțitoare din aceeași gamă.

Întinderea în degrade a nuanțelor în colorarea camerelor a ocupat o poziție puternică printre tehnicile de proiectare. Stilul ombre nou-fangled - un flux lin de nuanță de la deschis la întuneric, de la luminos la pal - transformă eficient orice cameră din casă și birou.

Opticienii folosesc lentile speciale în ochelarii lor de soare. Ce este un gradient în ochelari? Aceasta este fabricarea unei lentile într-un mod special, când de sus în jos culoarea se schimbă de la o nuanță mai închisă la una mai deschisă. Produsele realizate folosind această tehnologie protejează ochii de radiațiile solare și vă permit să vizualizați obiectele chiar și în condiții de lumină foarte puternică.

Culoare în design web

Cei care sunt angajați în design web și grafică pe computer sunt bine conștienți de instrumentul universal „gradient”, care creează o mare varietate de efecte. Tranzițiile de culoare sunt transformate în evidențieri, un fundal fantezist, tridimensionalitate. Manipularea nuanțelor, crearea de lumini și umbre adaugă volum obiectelor vectoriale. În acest scop, se folosesc mai multe tipuri de gradienți:

• Liniar.
• Radial.
• conic.
• Oglindă.
• Romboid.
• gradient de zgomot.

frumusețe gradient

Pentru vizitatorii saloanelor de înfrumusețare, întrebarea despre ce este un gradient nu va fi o surpriză. Adevărat, în acest caz, cunoașterea legilor matematice și a fundamentelor fizicii nu este necesară. Totul este despre tranzițiile de culoare. Părul și unghiile devin obiectul gradientului. Tehnica ombre, care înseamnă „ton” în franceză, a intrat în modă de la iubitorii de sporturi de surfing și alte activități pe plajă. Părul ars și recrescut în mod natural a devenit un succes. Femeile de modă au început să-și vopsească în mod special părul cu o tranziție abia vizibilă de nuanțe.

Tehnica ombre nu a trecut pe lângă saloanele de unghii. Gradientul de pe unghii creează o colorare cu o iluminare treptată a plăcii de la rădăcină până la margine. Masters oferă orizontală, verticală, cu o tranziție și alte soiuri.

Lucrări de ac

Conceptul de „gradient” este familiar pentru femeile cu ac din altă parte. O tehnică de acest fel este folosită în crearea de articole handmade în stilul decoupage. În acest fel, se creează lucruri antice noi, sau se restaurează altele vechi: comode, scaune, comode etc. Decoupage presupune aplicarea unui model folosind un șablon, care se bazează pe un gradient de culoare ca fundal.

Artiștii din țesături au adoptat vopsirea în acest fel pentru modelele noi. Rochiile cu culori degrade au cucerit podiumurile. Moda a fost preluată de aci - tricotatoare. Tricotajele cu o tranziție lină de culoare sunt un succes.

Rezumând definiția „gradientului”, putem spune despre o zonă foarte extinsă a activității umane în care acest termen își are locul. Înlocuirea cu sinonimul „vector” nu este întotdeauna adecvată, deoarece vectorul este, până la urmă, un concept funcțional, spațial. Ceea ce determină generalitatea conceptului este o modificare treptată a unei anumite cantități, substanțe, parametru fizic pe unitate într-o anumită perioadă. În culoare, aceasta este o tranziție lină de ton.

Lasa Z= F(M) este o funcție definită într-o vecinătate a punctului M(y; x);L={ Cos; Cos} – vector unitar (în Fig. 33 1=  , 2= ); L este o dreaptă care trece printr-un punct M; M1(x1; y1), unde x1=x+x și y1=y+y- un punct pe o linie L;  L- dimensiunea segmentului MM1;  Z= F(x+x, y+y)-F(X, Y) – creșterea funcției F(M) la punct M(x; y).

Definiție. Limita relației, dacă există, se numește Funcția derivată Z = F ( M ) la punct M ( X ; Y ) în direcția vectorului L .

Desemnare.

Dacă funcţia F(M) diferentiabil la un punct M(x; y), apoi la punct M(x; y) există o derivată în orice direcție L provin de la M; se calculează după următoarea formulă:

(8)

Unde Cos Și Cos- cosinusurile de direcție ale vectorului L.

Exemplul 46. Calculați derivata unei funcții Z= X2 + Y2 X la punct M(1; 2)în direcția vectorului MM1, Unde M1- punct cu coordonate (3; 0).

. Să găsim vectorul unitar L, având această direcție:

Unde Cos= ; Cos=- .

Calculăm derivatele parțiale ale funcției în punct M(1; 2):

Prin formula (8) obținem

Exemplul 47. Aflați derivata unei funcții U = X y2 Z3 la punct M(3; 2; 1)În direcția vectorială MN, Unde N(5; 4; 2) .

. Să găsim vectorul și cosinusurile de direcție:

Calculați valorile derivatelor parțiale la punct M:

Prin urmare,

Definiție. Gradient FuncțiiZ= F(M) în punctul M(x; y) este un vector ale cărui coordonate sunt egale cu derivatele parțiale corespunzătoare u luate în punctul M(x; y).

Desemnare.

Exemplul 48. Găsiți gradientul unei funcții Z= X2 +2 Y2 -5 la punct M(2; -1).

Decizie. Găsim derivate parțiale: și valorile lor la punct M(2; -1):

Exemplul 49. Aflați mărimea și direcția gradientului unei funcții într-un punct

Decizie. Să găsim derivatele parțiale și să le calculăm valorile în punctul M:

Prin urmare,

Derivata direcțională pentru o funcție de trei variabile este definită în mod similar U= F(X, Y, Z) , formulele sunt derivate

Este introdus conceptul de gradient

Subliniem asta Proprietățile de bază ale funcției de gradient mai important pentru analiza optimizării economice: în direcția gradientului, funcția crește. În problemele economice, se folosesc următoarele proprietăți ale gradientului:

1) Fie dată o funcție Z= F(X, Y) , care are derivate parțiale în domeniul definiției. Luați în considerare un punct M0(x0, y0) din domeniul definirii. Fie valoarea funcției în acest punct F(X0 , Y0 ) . Luați în considerare graficul funcției. Prin punct (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) spațiu tridimensional, desenăm un plan tangent la suprafața graficului funcției. Apoi gradientul funcției calculat la punct (x0, y0), considerat geometric ca un vector atașat unui punct (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) , va fi perpendicular pe planul tangent. Ilustrația geometrică este prezentată în fig. 34.

2) Funcția gradient F(X, Y) la punct M0(x0, y0) indică direcția celei mai rapide creșteri a funcției în punct М0. În plus, orice direcție care formează un unghi ascuțit cu gradientul este direcția de creștere a funcției în punct М0. Cu alte cuvinte, o mică mișcare dintr-un punct (x0, y0)în direcția gradientului funcției în acest punct duce la o creștere a funcției și în cea mai mare măsură.

Luați în considerare un vector opus gradientului. Se numeste anti-gradient . Coordonatele acestui vector sunt:

Funcție anti-gradient F(X, Y) la punct M0(x0, y0) indică direcția celei mai rapide scăderi a funcției în punct М0. Orice direcție care formează un unghi ascuțit cu antigradientul este direcția în care funcția scade în acel punct.

3) Când se studiază o funcție, adesea devine necesar să se găsească astfel de perechi (X y) din domeniul de aplicare al funcției, pentru care funcția ia aceleași valori. Luați în considerare setul de puncte (X, Y) în afara domeniului de aplicare F(X, Y) , astfel încât F(X, Y)= Const, unde este intrarea “ Const” înseamnă că valoarea funcției este fixă ​​și egală cu un număr din intervalul funcției.

Definiție. Linie de nivel de funcție U = F ( X , Y ) numit liniaF(X, Y)=С în avionXOy, în punctele cărora funcția rămâne constantăU= C.

Liniile de nivel sunt reprezentate geometric pe planul de schimbare al variabilelor independente sub formă de linii curbe. Obținerea liniilor de nivel poate fi imaginată după cum urmează. Luați în considerare setul Cu, care constă din puncte din spațiul tridimensional cu coordonate (X, Y, F(X, Y)= Const), care, pe de o parte, aparțin graficului funcției Z= F(X, Y), pe de altă parte, ele se află într-un plan paralel cu planul de coordonate CUM, și separat de acesta printr-o valoare egală cu o constantă dată. Apoi, pentru a construi o linie de nivel, este suficient să intersectezi suprafața graficului funcției cu un plan Z= Constși proiectați linia de intersecție pe un plan CUM. Raționamentul de mai sus este justificarea posibilității de a construi direct linii de nivel pe un plan CUM.

Definiție. Setul de linii de nivel este numit Harta cu linii de nivel.

Exemple binecunoscute de linii de nivel sunt niveluri de aceeași înălțime pe o hartă topografică și linii cu aceeași presiune barometrică pe o hartă meteorologică.

Definiție. Se numește direcția în care rata de creștere a funcției este maximă direcția „preferată”., sau Direcția celei mai rapide creșteri.

Direcția „preferată” este dată de vectorul gradient al funcției. Pe fig. 35 prezintă punctul maxim, minim și șa în problema optimizării unei funcții a două variabile în absența restricțiilor. Partea de jos a figurii arată liniile de nivel și direcțiile celei mai rapide creșteri.

Exemplul 50. Găsiți linii la nivel de caracteristică U= X2 + Y2 .

Decizie. Ecuația familiei liniilor de nivel are forma X2 + Y2 = C (C>0) . Dăruind Cu diferite valori reale, obținem cercuri concentrice centrate la origine.

Construirea liniilor de nivel. Analiza lor este utilizată pe scară largă în problemele economice la nivel micro și macro, teoria echilibrului și soluțiile eficiente. Izocosturi, izocuante, curbe de indiferență - toate acestea sunt linii de nivel construite pentru diferite funcții economice.

Exemplul 51. Luați în considerare următoarea situație economică. Să fie descrisă producția de produse Funcția Cobb-Douglas F(X, Y)=10x1/3y2/3, Unde X- cantitatea de muncă La- suma de capital. Pentru achiziția de resurse au fost alocați 30 USD. unitati, pretul muncii este de 5 c.u. unitati, capital - 10 c.u. unitati Să ne punem întrebarea: care este cea mai mare producție care poate fi obținută în aceste condiții? Aici, „condiții date” înseamnă tehnologii date, prețurile resurselor și tipul de funcție de producție. După cum sa menționat deja, funcția Cobb-Douglas crește monoton în fiecare variabilă, adică o creștere a fiecărui tip de resursă duce la o creștere a producției. În aceste condiții, este clar că se poate crește achiziția de resurse atâta timp cât sunt suficienți bani. Pachete de resurse care costă 30 c.u. unități, îndeplinesc condiția:

5x + 10y = 30,

Adică, ele definesc linia de nivel de funcție:

G(X, Y) = 5x + 10y.

Pe de altă parte, cu ajutorul liniilor de nivel Funcții Cobb-Douglas (Fig. 36) este posibil să se arate creșterea funcției: în orice punct al liniei de nivel, direcția gradientului este direcția celei mai mari creșteri, iar pentru a construi un gradient într-un punct, este suficient să trageți o tangentă la linia de nivel în acest punct, trageți o perpendiculară pe tangentă și indicați direcția gradientului. Din fig. 36 se poate observa că mișcarea liniei de nivel a funcției Cobb-Douglas de-a lungul gradientului trebuie efectuată până când devine tangentă la linia de nivel. 5x + 10y = 30. Astfel, folosind conceptele de linie de nivel, gradient, proprietăți de gradient, este posibil să se dezvolte abordări pentru cea mai bună utilizare a resurselor în ceea ce privește creșterea volumului de ieșire.

Definiție. Suprafata la nivel de functie U = F ( X , Y , Z ) numita suprafataF(X, Y, Z)=С, în punctele cărora funcția rămâne constantăU= C.

Exemplul 52. Găsiți suprafețe la nivel de caracteristică U= X2 + Z2 - Y2 .

Decizie. Ecuația familiei suprafețelor de nivel are forma X2 + Z2 - Y2 =C. În cazul în care un C=0, apoi primim X2 + Z2 - Y2 =0 - con; dacă C<0 , apoi X2 + Z2 - Y2 =C - O familie de hiperboloizi cu două foi.

Dacă în fiecare punct din spațiu sau parte de spațiu este definită valoarea unei anumite mărimi, atunci se spune că este dat câmpul acestei mărimi. Câmpul se numește scalar dacă valoarea considerată este scalară, adică. bine caracterizat prin valoarea sa numerică. De exemplu, câmpul de temperatură. Câmpul scalar este dat de funcția scalară a punctului u = /(M). Dacă în spațiu se introduce un sistem de coordonate carteziene, atunci există o funcție a trei variabile x, yt z - coordonatele punctului M: Definiție. Suprafața de nivel a unui câmp scalar este mulțimea de puncte la care funcția f(M) ia aceeași valoare. Ecuația suprafeței de nivel Exemplu 1. Găsiți suprafețe de nivel ale unui câmp scalar ANALIZA VECTORALĂ Suprafețe și linii la nivel de câmp scalar Derivată direcțională Derivată Derivată a unui câmp scalar Proprietăți de bază ale gradientului Definiția invariabilă a unui gradient Reguli pentru calcularea unui gradient -4 Prin definiție, o suprafață de nivel ecuația va fi. Aceasta este ecuația unei sfere (cu Ф 0) centrată la origine. Un câmp scalar se numește plat dacă câmpul este același în toate planurile paralele cu un anumit plan. Dacă planul indicat este luat ca plan xOy, atunci funcția câmpului nu va depinde de coordonata z, adică va fi o funcție doar a argumentelor x și y. și, de asemenea, semnificația. Ecuația liniilor de nivel - Exemplul 2. Găsiți linii de nivel ale unui câmp scalar Liniile de nivel sunt date de ecuații La c = 0 obținem o pereche de linii, obținem o familie de hiperbole (Fig. 1). 1.1. Derivată direcțională Fie un câmp scalar definit de o funcție scalară u = /(Af). Să luăm punctul Afo și să alegem direcția determinată de vectorul I. Să luăm un alt punct M astfel încât vectorul M0M să fie paralel cu vectorul 1 (Fig. 2). Să notăm lungimea vectorului MoM cu A/, iar incrementul funcției /(Af) - /(Afo), corespunzător deplasării D1, cu Di. Raportul determină viteza medie de modificare a câmpului scalar pe unitate de lungime față de direcția dată.Să tind acum la zero, astfel încât vectorul М0М să rămână paralel cu vectorul I. Definiție. Dacă pentru D/O există o limită finită a relaţiei (5), atunci se numeşte derivată a funcţiei la un punct dat Afo la direcţia dată I şi se notează cu simbolul zr!^. Deci, prin definiție, Această definiție nu are legătură cu alegerea sistemului de coordonate, adică are un caracter **variant. Să găsim o expresie pentru derivată în raport cu direcția în sistemul de coordonate carteziene. Fie funcția / să fie diferențiabilă într-un punct. Luați în considerare valoarea /(Af) într-un punct. Atunci incrementul total al funcției se poate scrie sub următoarea formă: unde și simbolurile înseamnă că derivatele parțiale sunt calculate în punctul Afo. Prin urmare, aici mărimile jfi, ^ sunt cosinusurile de direcție ale vectorului. Deoarece vectorii MoM și I sunt co-direcționați, cosinusurile lor de direcție sunt aceleași: derivate, sunt derivate ale funcției și de-a lungul direcțiilor axelor de coordonate cu exteriorul nno- Exemplul 3. Aflați derivata funcției spre punct Vectorul are o lungime. Cosinusurile sale de direcție: Prin formula (9) vom avea Faptul că, înseamnă că câmpul scalar într-un punct într-o direcție dată de vârstă- Pentru un câmp plat, derivata în direcția I într-un punct se calculează prin formula unde a este unghiul format de vectorul I cu axa Oh. Zmmchmm 2. Formula (9) pentru calcularea derivatei pe direcția I într-un punct dat Afo rămâne în vigoare chiar și atunci când punctul M tinde către punctul Mo de-a lungul unei curbe pentru care vectorul I este tangent în punctul PrISp 4. Calculați derivata câmpului scalar în punctul Afo(l, 1). aparținând unei parabole în direcția acestei curbe (în sensul creșterii absciselor). Direcția ] a unei parabole într-un punct este direcția tangentei la parabolă în acest punct (Fig. 3). Fie tangenta la parabolă în punctul Afo să formeze un unghi o cu axa Ox. Atunci de unde direcționarea cosinusului unei tangente Să calculăm valori și într-un punct. Avem Acum prin formula (10) obținem. Aflați derivata câmpului scalar într-un punct în direcția cercului Ecuația vectorială a cercului are forma. Găsim vectorul unitar m al tangentei la cerc Punctul corespunde valorii parametrului. Gradientul câmpului scalar Să fie definit un câmp scalar printr-o funcție scalară care se presupune că este diferențiabilă. Definiție. Gradientul unui câmp scalar » la un punct dat M este un vector notat cu simbolul grad și definit prin egalitate Este clar că acest vector depinde atât de funcția / cât și de punctul M la care se calculează derivata lui. Fie 1 un vector unitar în direcția Atunci formula derivatei direcționale se poate scrie după cum urmează: . astfel, derivata funcției u pe direcția 1 este egală cu produsul scalar al gradientului funcției u(M) și vectorul unitar 1° al direcției I. 2.1. Proprietățile de bază ale gradientului Teorema 1. Gradientul câmpului scalar este perpendicular pe suprafața de nivel (sau pe linia de nivel dacă câmpul este plat). (2) Să desenăm o suprafață de nivel u = const printr-un punct arbitrar M și să alegem o curbă netedă L pe această suprafață care trece prin punctul M (Fig. 4). Fie I un vector tangent la curba L în punctul M. Deoarece pe suprafața de nivel u(M) = u(M|) pentru orice punct Mj ∈ L, atunci Pe de altă parte, = (gradu, 1°) . Asa de. Aceasta înseamnă că vectorii grad și și 1° sunt ortogonali, astfel, vectorul grad și este ortogonal cu orice tangentă la suprafața de nivel în punctul M. Astfel, este ortogonal cu suprafața de nivel în sine în punctul M. Teorema 2 Gradientul este direcționat în direcția creșterii funcției câmpului. Mai devreme am demonstrat că gradientul câmpului scalar este îndreptat de-a lungul normalei la suprafața de nivel, care poate fi orientată fie spre creșterea funcției u(M), fie spre scăderea acesteia. Notați cu n normala suprafeței de nivel orientată în direcția creșterii funcției ti(M) și găsiți derivata funcției u în direcția acestei normale (Fig. 5). Avem Deoarece conform condiției din Fig. 5 și deci ANALIZA VECTORALĂ Câmp scalar Suprafețe și linii de nivel Derivată în direcție Derivată Gradient de câmp scalar Proprietăți de bază ale gradientului Definiția invariabilă a gradientului Reguli de calcul a gradientului Rezultă că grad și este direcționat în aceeași direcție cu cea în care am ales normala n, adică în direcția creșterii funcției u(M). Teorema 3. Lungimea gradientului este egală cu cea mai mare derivată în raport cu direcția într-un punct dat al câmpului, (aici, max $ este luat în toate direcțiile posibile de la un punct dat M până la punctul). Avem unde este unghiul dintre vectorii 1 și grad n. Deoarece cea mai mare valoare este Exemplul 1. Găsiți direcția celui mai mare și absolut câmp scalar în punct și, de asemenea, magnitudinea acestei schimbări mai mari în punctul specificat. Direcția celei mai mari modificări în câmpul scalar este indicată de un vector. Avem deci Acest vector determină direcția celei mai mari creșteri a câmpului până la un punct. Valoarea celei mai mari modificări în domeniu în acest moment este 2,2. Definiția invariantă a gradientului Mărimile care caracterizează proprietățile obiectului studiat și nu depind de alegerea sistemului de coordonate se numesc invarianți ai obiectului dat. De exemplu, lungimea unei curbe este un invariant al acestei curbe, dar unghiul tangentei la curbă cu axa x nu este un invariant. Pe baza celor trei proprietăți ale gradientului de câmp scalar demonstrat mai sus, putem da următoarea definiție invariantă a gradientului. Definiție. Gradientul de câmp scalar este un vector direcționat de-a lungul normalei la suprafața de nivel în direcția creșterii funcției de câmp și având o lungime egală cu cea mai mare derivată direcțională (la un punct dat). Fie un vector normal unitar îndreptat în direcția câmpului crescător. Apoi Exemplul 2. Găsiți gradientul distanței - un punct fix și M(x,y,z) - cel curent. 4 Avem unde este vectorul direcției unitare. Reguli pentru calcularea gradientului unde c este un număr constant. Formulele de mai sus sunt obținute direct din definiția gradientului și proprietățile derivaților. După regula diferențierii produsului Demonstrația este similară cu demonstrația proprietății Fie F(u) o funcție scalară diferențiabilă. Apoi 4 Prin definiția gradientului, avem Aplicați regula de diferențiere a unei funcții complexe tuturor termenilor din partea dreaptă. Obținem în special, formula (6) urmează din planul formulei la două puncte fixe ale acestui plan. Luați în considerare o elipsă arbitrară cu focare Fj și F] și demonstrați că orice rază de lumină care iese dintr-un focar al elipsei, după reflectarea din elipsă, intră în celălalt focar al acesteia. Liniile de nivel ale funcției (7) sunt ANALIZA VECTORALĂ Câmp scalar Suprafețe și linii de nivel Derivată direcțională Derivată Gradient de câmp scalar Proprietăți de bază ale gradientului Definiția invariabilă a gradientului Reguli de calcul a gradientului Ecuațiile (8) descriu o familie de elipse cu focare în punctele F ) și Fj. Conform rezultatului exemplului 2, avem și vectori cu rază. trasate la punctul P(x, y) din focarele F| și Fj și, prin urmare, se află pe bisectoarea unghiului dintre acești vectori cu rază (Fig. 6). Conform Tooromo 1, gradientul PQ este perpendicular pe elipsa (8) în punct. Prin urmare, Fig.6. normala la elipsa (8) în orice al-lea punct bisectează unghiul dintre vectorii cu rază trasați în acest punct. De aici și din faptul că unghiul de incidență este egal cu unghiul de reflexie, obținem: o rază de lumină care iese dintr-un focar al elipsei, reflectată din acesta, va cădea cu siguranță în celălalt focar al acestei elipse.

1 0 Gradientul este îndreptat de-a lungul normalei la suprafața de nivel (sau către linia de nivel dacă câmpul este plat).

2 0 Gradientul este direcționat în direcția creșterii funcției câmpului.

3 0 Modulul de gradient este egal cu cea mai mare derivată în direcția într-un punct dat al câmpului:

Aceste proprietăți dau o caracteristică invariantă a gradientului. Ei spun că vectorul gradU indică direcția și mărimea celei mai mari schimbări în câmpul scalar la un punct dat.

Observație 2.1. Dacă funcția U(x,y) este o funcție a două variabile, atunci vectorul

(2.3)

se află în planul oxi.

Fie U=U(x,y,z) și V=V(x,y,z) funcții diferențiabile în punctul М 0 (x,y,z). Atunci sunt valabile următoarele egalități:

a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = , V ;

e) gradU( = gradU, unde , U=U() are o derivată în raport cu .

Exemplul 2.1. Este dată funcția U=x 2 +y 2 +z 2. Determinați gradientul funcției în punctul M(-2;3;4).

Decizie. Conform formulei (2.2), avem

.

Suprafețele de nivel ale acestui câmp scalar sunt familia de sfere x 2 +y 2 +z 2 , vectorul gradU=(-4;6;8) este vectorul normal al planelor.

Exemplul 2.2. Aflați gradientul câmpului scalar U=x-2y+3z.

Decizie. Conform formulei (2.2), avem

Suprafețele de nivel ale unui câmp scalar dat sunt planele

x-2y+3z=C; vectorul gradU=(1;-2;3) este vectorul normal al planelor acestei familii.

Exemplul 2.3. Aflați panta cea mai abruptă a suprafeței U=x y în punctul M(2;2;4).

Decizie. Noi avem:

Exemplul 2.4. Aflați vectorul normal unitar la suprafața de nivel a câmpului scalar U=x 2 +y 2 +z 2 .

Decizie. Suprafețe de nivel ale unui câmp-sferă scalar dat x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Gradientul este îndreptat de-a lungul normalei la suprafața de nivel, astfel încât

Definește vectorul normal la suprafața de nivel în punctul M(x,y,z). Pentru un vector normal unitar, obținem expresia

, Unde

.

Exemplul 2.5. Găsiți gradientul câmpului U= , unde și sunt vectori constanți, r este vectorul rază a punctului.

Decizie. Lasa

Apoi:
. Prin regula de diferențiere a determinantului, obținem

Prin urmare,

Exemplul 2.6. Găsiți gradientul distanței, unde P(x,y,z) este punctul câmpului studiat, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) este un punct fix.

Decizie. Avem vector de direcție unitar.

Exemplul 2.7. Aflați unghiul dintre gradienții funcțiilor în punctul M 0 (1,1).

Decizie. Găsim gradienții acestor funcții în punctul M 0 (1,1), avem

; Unghiul dintre gradU și gradV în punctul M 0 se determină din egalitate

Prin urmare =0.

Exemplul 2.8. Aflați derivata față de direcția, vectorul rază este egal cu

(2.4)

Decizie. Găsirea gradientului acestei funcții:

Înlocuind (2.5) în (2.4), obținem

Exemplul 2.9. Găsiți în punctul M 0 (1;1;1) direcția celei mai mari modificări în câmpul scalar U=xy+yz+xz și mărimea acestei schimbări cele mai mari în acest punct.

Decizie. Direcția celei mai mari schimbări în câmp este indicată de vectorul grad U(M). Il gasim:

Prin urmare, . Acest vector determină direcția celei mai mari creșteri a acestui câmp în punctul M 0 (1;1;1). Valoarea celei mai mari modificări în câmp în acest moment este egală cu

.

Exemplul 3.1. Găsiți linii vectoriale ale câmpului vectorial unde este un vector constant.

Decizie. Asa avem

(3.3)

Înmulțiți numărătorul și numitorul primei fracții cu x, a doua cu y, a treia cu z și adăugați-o termen cu termen. Folosind proprietatea proporției, obținem

Prin urmare, xdx+ydy+zdz=0, ceea ce înseamnă

x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Acum înmulțind numărătorul și numitorul primei fracții (3.3) cu c 1, a doua cu c 2, a treia cu c 3 și însumând-o termen cu termen, obținem

De unde c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

Și, prin urmare, cu 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2-const.

Ecuații necesare ale liniilor vectoriale

Aceste ecuații arată că liniile vectoriale se obțin ca rezultat al intersecției sferelor având un centru comun la origine cu plane perpendiculare pe vector. . Rezultă că liniile vectoriale sunt cercuri ale căror centre sunt pe o dreaptă care trece prin origine în direcția vectorului c. Planurile cercurilor sunt perpendiculare pe dreapta specificată.

Exemplul 3.2. Găsiți linia de câmp vectorială trecând prin punctul (1,0,0).

Decizie. Ecuații diferențiale ale liniilor vectoriale

deci avem . Rezolvarea primei ecuații. Sau dacă introducem parametrul t, atunci vom avea În acest caz, ecuația ia forma sau dz=bdt, de unde z=bt+c2.

Se știe dintr-un curs de matematică școlar că un vector pe un plan este un segment direcționat. Începutul și sfârșitul lui au două coordonate. Coordonatele vectoriale sunt calculate scăzând coordonatele de început din coordonatele de sfârșit.

Conceptul de vector poate fi extins și la un spațiu n-dimensional (în loc de două coordonate vor fi n coordonate).

Gradient funcția gradz z=f(x 1 , x 2 , ... x n) este vectorul derivatelor parțiale ale funcției într-un punct, adică. vector cu coordonate.

Se poate dovedi că gradientul unei funcții caracterizează direcția de creștere cea mai rapidă a nivelului funcției într-un punct.

De exemplu, pentru funcția z \u003d 2x 1 + x 2 (a se vedea figura 5.8), gradientul în orice punct va avea coordonate (2; 1). Poate fi construit pe un plan în diferite moduri, luând orice punct ca început al vectorului. De exemplu, puteți conecta punctul (0; 0) la punctul (2; 1), sau punctul (1; 0) la punctul (3; 1) sau punctul (0; 3) la punctul (2; 4), sau t .P. (vezi figura 5.8). Toți vectorii construiți în acest fel vor avea coordonatele (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1).

Figura 5.8 arată clar că nivelul funcției crește în direcția gradientului, deoarece liniile de nivel construite corespund valorilor nivelului 4 > 3 > 2.

Figura 5.8 - Gradientul funcției z \u003d 2x 1 + x 2

Luați în considerare un alt exemplu - funcția z= 1/(x 1 x 2). Gradientul acestei funcții nu va mai fi întotdeauna același în puncte diferite, deoarece coordonatele sale sunt determinate de formulele (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).

Figura 5.9 prezintă liniile de nivel ale funcției z= 1/(x 1 x 2) pentru nivelurile 2 și 10 (linia 1/(x 1 x 2) = 2 este indicată printr-o linie punctată, iar linia 1/( x 1 x 2) = 10 este linie continuă).

Figura 5.9 - Gradienții funcției z \u003d 1 / (x 1 x 2) în diferite puncte

Luați, de exemplu, punctul (0,5; 1) și calculați gradientul în acest punct: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Rețineți că punctul (0,5; 1) se află pe linia de nivel 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, deoarece z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. Pentru desenați vectorul (-4; -2) în Figura 5.9, conectați punctul (0.5; 1) cu punctul (-3.5; -1), deoarece (-3.5 - 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).

Să luăm un alt punct de pe aceeași linie de nivel, de exemplu, punctul (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Calculați gradientul în acest punct (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Pentru a o reprezenta în Figura 5.9, conectăm punctul (1; 0.5) cu punctul (-1; -3.5), deoarece (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).

Să mai luăm un punct pe aceeași linie de nivel, dar abia acum într-un sfert de coordonate nepozitiv. De exemplu, punctul (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradientul în acest punct va fi (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Să o reprezentăm în Figura 5.9 conectând punctul (-0,5; -1) cu punctul (3,5; 1), deoarece (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

De remarcat că în toate cele trei cazuri luate în considerare, gradientul arată direcția de creștere a nivelului funcției (spre linia de nivel 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Se poate dovedi că gradientul este întotdeauna perpendicular pe linia de nivel (suprafața de nivel) care trece prin punctul dat.

Extreme ale unei funcții a mai multor variabile

Să definim conceptul extremum pentru o funcție a mai multor variabile.

Funcția multor variabile f(X) are în punctul X (0) maxim (minimum), dacă există o astfel de vecinătate a acestui punct încât pentru toate punctele X din această vecinătate să fie valabile inegalitățile f(X)f(X (0)) ().

Dacă aceste inegalități sunt satisfăcute ca stricte, atunci se numește extremul puternic, iar dacă nu, atunci slab.

Rețineți că extremul definit în acest fel este local caracter, deoarece aceste inegalități sunt valabile numai pentru o anumită vecinătate a punctului extremum.

O condiție necesară pentru un extremum local al unei funcții diferențiabile z=f(x 1, . . ., x n) într-un punct este egalitatea cu zero a tuturor derivatelor parțiale de ordinul întâi în acest punct:
.

Se numesc punctele în care sunt valabile aceste egalități staționar.

Într-un alt mod, condiția necesară pentru un extremum poate fi formulată după cum urmează: în punctul extremum, gradientul este egal cu zero. De asemenea, este posibil să se demonstreze o afirmație mai generală - în punctul extremum, derivatele funcției în toate direcțiile dispar.

Punctele staționare ar trebui să fie supuse unor studii suplimentare - dacă sunt îndeplinite condiții suficiente pentru existența unui extremum local. Pentru a face acest lucru, determinați semnul diferenţialului de ordinul doi. Dacă pentru oricare care nu este simultan egal cu zero, acesta este întotdeauna negativ (pozitiv), atunci funcția are un maxim (minim). Dacă poate dispărea nu numai la trepte zero, atunci problema extremului rămâne deschisă. Dacă poate lua atât valori pozitive, cât și negative, atunci nu există un extremum în punctul staționar.

În cazul general, determinarea semnului diferenţialului este o problemă destul de complicată, pe care nu o vom considera aici. Pentru o funcție a două variabile, se poate demonstra că dacă într-un punct staționar
, atunci există un extremum. În acest caz, semnul celei de-a doua diferențe coincide cu semnul
, adică dacă
, atunci acesta este maximul, iar dacă
, atunci acesta este minimul. În cazul în care un
, atunci nu există niciun extremum în acest moment și dacă
, atunci chestiunea extremumului rămâne deschisă.

Exemplul 1. Găsiți extremele unei funcții
.

Să găsim derivate parțiale prin metoda diferențierii logaritmice.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

În mod similar
.

Să găsim puncte staționare din sistemul de ecuații:

Astfel, se găsesc patru puncte staționare (1; 1), (1; -1), (-1; 1) și (-1; -1).

Să găsim derivate parțiale de ordinul doi:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

În mod similar
;
.

La fel de
, semn de expresie
depinde doar de
. Rețineți că în ambele derivate numitorul este întotdeauna pozitiv, deci puteți lua în considerare doar semnul numărătorului sau chiar semnul expresiilor x (x 2 - 3) și y (y 2 - 3). Să o determinăm în fiecare punct critic și să verificăm îndeplinirea condiției extreme suficiente.

Pentru punctul (1; 1) obținem 1*(1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
> 0 și
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Pentru punctul (1; -1) obținem 1*(1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Pentru că produsul acestor numere
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Pentru punctul (-1; -1) obținem (-1)*((-1) 2 - 3) = 2 > 0. produsul a două numere pozitive
> 0 și
> 0, în punctul (-1; -1) puteți găsi un minim. Este egal cu 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

A găsi global maximul sau minimul (cea mai mare sau cea mai mică valoare a funcției) este oarecum mai complicat decât extremul local, deoarece aceste valori pot fi atinse nu numai în puncte staționare, ci și la limita domeniului de definiție. Nu este întotdeauna ușor să studiezi comportamentul unei funcții la limita acestei regiuni.