Toate problemele din această secțiune sunt opționale, în sensul că nu este necesar ca toți elevii să le poată rezolva. Folosește-le atât cât va fi interesant pentru elevii tăi, în măsura în care poți organiza activitățile de învățare ale școlarilor care contribuie la dezvoltarea lor. Primele sarcini sunt bune pentru lucrul frontal cu clasa. După ce lucrează cu ei, elevii învață să distingă mai bine între proporționalitatea directă și inversă, întâmpinând mai puține dificultăți cu sarcinile pe o regulă triplă simplă.
278 .* 3 gaini au depus 3 oua in 3 zile. Câte ouă vor depune 12 găini în 12 zile?
Elevii vor fi foarte surprinși când vor afla că răspunsul „evident” „12 ouă” este greșit. Soluția la prima problemă din această secțiune este cel mai bine analizată colectiv, poate după o deliberare la domiciliu. Întrebările directoare sunt date în secțiunea „Răspunsuri și sfaturi”. Scrieți pe scurt starea problemei:
zile de ouă de găină
12 12 x,
în timpul dialogului, trebuie să aflați de câte ori a crescut numărul de pui (de 4 ori); cum s-a schimbat numărul de ouă dacă numărul de zile nu s-a schimbat (creștet de 4 ori); de câte ori a crescut numărul de zile (de 4 ori); modul în care s-a schimbat numărul de ouă (a crescut de 4 ori). Ca urmare, numărul de ouă este:
x = 3 4 4 = 48.
279 .* 100 de țâțe în 100 de zile mănâncă 100 kg boabe. Câte kilograme de cereale vor mânca 10 țâțe în 10 zile?
280 .* 3 pictori pot picta 60 de ferestre în 5 zile.
a) Câți pictori ar trebui desemnați să picteze ferestre astfel încât să picteze 64 de ferestre în 2 zile?
b) Câte ferestre vor picta 5 zugravi în 4 zile?
c) Câte zile vor dura 2 zugravi pentru a picta 48 de ferestre?
281 .* a) 2 excavatoare pentru 2 h sapa 2 mşanţuri. Câte excavatoare pentru 5 h sap 5 mșanțuri?
b) 10 pompe pentru 10 min pompa 10 t apă. Câte minute vor pompa 25 de pompe 25 t apă?
282 .* Cursurile de limbi străine închiriază spații de clasă la școală. În prima jumătate a anului, pentru închirierea a 4 săli de clasă pentru 6 zile pe săptămână, școala a primit 336 R. pe luna. Care va fi chiria lunara in a doua jumatate a anului pentru 5 sali de clasa, 5 zile pe saptamana in aceleasi conditii?
283 .* Din "Aritmetic" L.F. Magnitsky. Cineva avea 100 R. în comercianţi timp de 1 an şi a achiziţionat doar 7 dintre ei R. Iar când a dat 1000 negustorilor R. timp de 5 ani, cat vor castiga?
284 .* Din „Aritmetica generală” a lui I. Newton. Dacă un scrib poate scrie 15 folii în 8 zile, de câți scriitori va fi nevoie pentru a scrie 405 folii în 9 zile?
285 .* Problema veche. Un copist poate copia 40 de coli în 4 zile, lucrând pe 9 hîntr-o zi. În câte zile va copia 60 de coli, lucrând 12 hîntr-o zi?
286 .* Gazda a fost intrebata:
Găinile voastre vin bine?
Gândește-te singur, - a fost răspunsul, - o găină și jumătate depune un ou și jumătate într-o zi și jumătate, iar în total am 12 găini.
Câte ouă depun puii pe zi?
287 .* a) În prima echipă de săpători sunt 4 persoane - sunt pentru 4 h sapat 4 mşanţuri. Sunt 5 oameni în a doua brigadă de săpători - sunt pentru 5 h sapat 5 mşanţuri. Care echipă funcționează cel mai bine?
b) Prima gazdă 3 găini au depus 6 ouă în 3 zile, iar a doua gazdă 4 găini au depus 8 ouă în 4 zile. Care gazdă are găini mai bune?
288 .* Sarcini antice. a) Întreținerea a 45 de persoane a fost cheltuită în 56 de zile 2040 R. Cât ar trebui cheltuit pentru a susține 75 de persoane timp de 70 de zile?
b) Pentru a tipări o carte care conține 32 de rânduri pe pagină și 30 de litere pe rând, sunt necesare 24 de coli de hârtie pentru fiecare exemplar. De câte coli de hârtie sunt necesare pentru a tipări această carte în același format, dar cu 36 de linii pe pagină și 32 de litere pe rând?
Luați în considerare probleme mai complexe cu patru și chiar șase cantități. Ele pot fi date ca teme opționale celor mai puternici elevi cărora le place să rezolve problemele puzzle.
289 .* Din „Aritmetica” de A.P. Kiseleva.
a) 120 de kilograme de kerosen au fost folosite pentru a ilumina 18 camere în 48 de zile, cu câte 4 lămpi aprinse în fiecare cameră. Câte zile vor dura 125 de kilograme de kerosen dacă 20 de camere sunt aprinse și 3 lămpi sunt aprinse în fiecare cameră?
b) Pentru 5 sobe identice cu kerosen care au ars timp de 24 de zile, 6 h zilnic, a cheltuit 120 l kerosenul. Câte zile sunt suficiente 216 l kerosen, dacă 9 din același kerosen vor arde 8 hîntr-o zi?
290 .* Veche sarcină. Un artel de excavatoare de 26 de persoane, care lucrează cu mașini de 12 h pe zi, poate săpa un canal la 96 m lungime, 20 m lățime și 12 dm adâncime în 40 de zile. Cât timp poate fi săpat un canal de 39 de excavatori, care lucrează timp de 80 de zile la 10 h pe zi dacă lățimea canalului ar trebui să fie de 10 m, adâncime 18 dm?
Sarcina 290 S.I. Shokhor-Trotsky l-a considerat nesatisfăcător pentru condițiile de viață și nepotrivit pentru practica școlară, el a considerat-o în „Metoda de aritmetică” (1935) „pentru el însuși”. Să aplicăm „formula finală” îmbunătățită de noi. Într-o clasă puternică, această metodă poate fi arătată studenților, dar numai cu participarea lor activă la soluție - altfel munca va fi lipsită de sens. Mai jos este o scurtă condiție a problemei și se dă un argument, în paralel cu care se poate păstra pe tablă o înregistrare treptat completată, afișată în dreapta.
Lungime Pers. Zile Ora. Shir. Ch.
96 26 40 12 20 12
x 39 80 10 10 18
Lungimea canalului va crește de la
creșterea numărului de persoane din 39 / 26 ori, x = 96· 39 / 26
de la creşterea numărului de zile în 80 / 40 ori x = 96 39 / 26 80 / 40
şi de la reducerea lăţimii în 20 / 10 ori; x = 96 39 / 26 80 / 40 .
Lungimea canalului va scădea de la
scăderea numărului de ore 12 / 10 ori și x = 96 39 / 26 80 / 40 20 / 10: 12 / 10
iar din creşterea adâncimii în 18 / 12 ori: x = 96· 39 / 26 · 80 / 40 · 20 / 10: 12 / 10: 18 / 12.
În final, avem: x = 320. Aceasta înseamnă că 39 de excavatori pot săpa un canal de 320 m lungime.
Toate problemele din această secțiune sunt opționale, în sensul că nu este necesar ca toți elevii să le poată rezolva. Folosiți-le cât de mult va fi interesant pentru studenții dvs.
Trei găini au depus 3 ouă în 3 zile. Câte ouă vor depune 12 găini în 12 zile?
Elevii vor fi foarte surprinși când vor afla că răspunsul „evident” „12 ouă” este greșit. Este mai bine să analizați soluția primei probleme din această secțiune în mod colectiv, poate după ce v-ați gândit acasă, notând pe scurt starea problemei:
Ouă de Zilele puiului
3 33
12 12 x
În timpul dialogului, trebuie să aflați de câte ori a crescut numărul de pui (de 4 ori); cum s-a schimbat numărul de ouă dacă numărul de zile nu s-a schimbat (creștet de 4 ori); de câte ori a crescut numărul de zile (de 4 ori); modul în care s-a schimbat numărul de ouă (a crescut de 4 ori). Numărul de ouă este: x = 3 4 4 = 48.
2. Trei pictori pot picta 60 de ferestre în 5 zile. Câți pictori ar trebui desemnați să picteze ferestrele astfel încât să picteze 64 de ferestre în 2 zile?
3. Cursuri de limbi străine închiriază spații pentru cursuri la școală. În prima jumătate a anului, școala a primit 336 de ruble pentru închirierea a patru săli de clasă timp de 6 zile pe săptămână. pe luna. Care va fi chiria lunara in a doua jumatate a anului pentru 5 sali de clasa, 5 zile pe saptamana in aceleasi conditii?
4. (Din „Aritmetica generală” de I. Newton.) Dacă un scrib poate scrie 15 folii în 8 zile, de câți scriitori va fi nevoie pentru a scrie 405 folii în 9 zile?
5. (O problemă veche.) Pentru întreținerea a 45 de persoane, 2040 de ruble au fost cheltuite în 56 de zile. Cât ar trebui cheltuit pentru a susține 75 de persoane timp de 70 de zile?
Luați în considerare probleme mai complexe cu patru și chiar șase cantități. Ele pot fi date ca teme opționale celor mai puternici elevi cărora le place să rezolve problemele puzzle.
6. (Din „Aritmetica” de A. Kiselyov.) Pentru iluminarea a 18 camere, s-au cheltuit 120 de lire de kerosen în 48 de zile, iar în fiecare cameră au ars 4 lămpi. Câte zile vor dura 125 de kilograme de kerosen dacă 20 de camere sunt aprinse și 3 lămpi sunt aprinse în fiecare cameră?
7. (O problemă veche.) Un artel de 26 de excavatori care lucrează cu mașini 12 ore pe zi poate săpa un canal de 96 m lungime, 20 m lățime și 12 dm adâncime în 40 de zile. Cât timp poate fi săpat un canal de 39 de excavatori, care lucrează 80 de zile timp de 10 ore pe zi, dacă lățimea canalului trebuie să fie de 10 m, adâncimea este de 18 dm?
Bun de suportat, bun de predat,
Atinge obiectivele prin adversitate
Slujește adevărul cu dragoste -
Eu o numesc înțelepciune.
A. V. Elisov.
Susținerea unui examen de matematică într-o formă nouă de către absolvenții școlii de bază și de către absolvenții școlii secundare sub forma Examenului Unificat de Stat a pus profesorilor o serie de întrebări: Cum să predați în noile condiții? Cum să-ți organizezi lecția în așa fel încât studenții să obțină satisfacții după examen și să nu spună că „nu am rezolvat astfel de probleme”? Cuvintele lui L.G. Peterson: „Astăzi, valoarea nu este locul în care lumea este percepută conform schemei „Știu – nu știu, pot – nu pot, dețin – nu știu”, ci acolo unde există teza „Căut și găsesc, gândesc și învăț, mă antrenez și fac”. Personalitatea elevului, atitudinea sa față de lume, capacitatea de comunicare și reflecție culturală, stima de sine adecvată și autodezvoltarea, concentrarea pe creație și bunătate vin în prim-plan.
Care ar trebui să fie lecția modernă? În primul rând, aceasta este o lecție interesantă. Acesta este singurul mod de a menține motivația ridicată și colorarea emoțională a lecției. Aceasta este o structură atentă a lecției și logica învățării materialelor noi și varietatea materialului didactic și organizarea muncii elevilor și căutarea constantă a formelor și metodelor de predare și a echipamentelor tehnice ale lecţie.
Unde să încep? La începutul fiecărui an universitar în clasele 5-9 efectuez teste de monitorizare a admiterii pentru a identifica cunoștințele reziduale ale elevilor. Conform cunoștințelor reziduale, așez copiii în conformitate cu cele trei niveluri de antrenament în anumite rânduri. În același timp, elevii știu că pe măsură ce stăpânesc materialul, pot trece la grupa următoare în ceea ce privește nivelul lor de pregătire.
Pentru a obține rezultate bune la fiecare lecție, efectuez un calcul oral obligatoriu, predarea muncii independente, teste. In clasa a VI-a elevii sa insuseasca bine tema cu numere pozitive si negative, in clasa a VII-a sa studieze bine formulele de inmultire prescurtata, in clasa a VIII-a sa rezolve ecuatii patratice. Acestea sunt teme globale care nu pot fi rulate. În clasele 5-7 folosesc caiete de lucru cu sarcini de testare, precum și colecții de sarcini cu teste. Cunoașterea elevilor cu algoritmi de rezolvare a problemelor se realizează la lecție - prelegeri. Băieții au un caiet separat în care notează instrucțiuni și o mostră a sarcinii. Dezvoltarea ulterioară se realizează în clase practice cu diverse forme de lucru (frontal, de grup, individual). Pentru a controla rapid asimilarea algoritmului, de foarte multe ori (fiecare lectie sau fiecare lectie) efectuez mici lucrari independente, al carui scop nu este de a da note, ci de a identifica acei elevi care nu inteleg ceva. Acești tipi sunt asistență promptă de către consultanți sau le explic din nou, sunând la consiliu. Atunci când organizează munca în grup, unii elevi primesc sarcini menite să obțină rezultate obligatorii ale învățării, iar unii au o sarcină eșantion în față, în timp ce alții au doar un algoritm, elevii mai puternici primesc sarcini la un nivel avansat. Într-o astfel de lecție, munca mea este concentrată pe elevii mai slabi, într-un grup puternic, de regulă, ei găsesc întotdeauna soluția potrivită prin eforturi colective, aplicând în mod independent cunoștințele și metodele de activitate într-o situație nouă. Când evaluez studenții, nu mă grăbesc să pun note în jurnal, dau întotdeauna ocazia să obțin o notă mai mare și să fiu sigur că corectez „deuce”-ul, pentru aceasta elevul trebuie să lucreze la greșelile sale. propriu sau cu ajutorul consultanților (cu ajutorul meu), apoi rezolvați o sarcină similară în lecție.
Principalul lucru este că, în timp, băieții încetează să se mai teamă de „doi”, pun întrebări cu mai multă îndrăzneală, fac față sarcinilor de la nivelul obligatoriu.Atmosfera la lecție este prietenoasă, calmă.
Algoritmii de predare fac posibilă atingerea unui nivel obligatoriu de învățare pentru cei mai slabi elevi și nu pot duce la standardizarea gândirii și suprimarea puterilor creative ale copiilor, deoarece dezvoltarea diferitelor acțiuni (abilități) automatizate este o componentă necesară a procesului de creație. , fără de care este pur și simplu imposibil.
Învățarea algoritmilor nu se limitează la memorarea lor, implică și descoperirea, construirea și formarea independentă a algoritmilor, iar acesta este procesul creativ. În fine, algoritmizarea nu acoperă întregul proces educațional, ci doar pe acele componente ale acestuia acolo unde este cazul. Sistemul de algoritmi - programe permite într-o anumită măsură automatizarea procesului educațional în stadiul de dezvoltare a abilităților în rezolvarea problemelor tipice și creează oportunități ample pentru munca independentă activă a elevilor.
La sfârșitul clasei a VII-a și a clasei a VIII-a, prezint elevilor colecția de sarcini pentru pregătirea pentru certificarea finală de stat în clasa a IX-a de către L. V. Kuznetsova, editura Prosveshchenie 2007-2009. Această colecție este destinată pregătirii pentru certificarea finală de stat în algebră într-o formă nouă, care constă din trei secțiuni principale și două anexe.
În clasa a IX-a îmi dezvolt sistemul de pregătire a elevilor pentru examenul la cursul școlii de bază.
În planificarea calendaristică-tematică a orelor de algebră pentru clasa a IX-a introduc subiecte care trebuie repetate
Principala proprietate a proporției;
Probleme la întocmirea și rezolvarea proporțiilor;
Sarcini de interes;
Formule de înmulțire prescurtate;
Expresiile și transformările lor
Ecuații și sisteme de ecuații;
Inegalități și sisteme de inegalități;
Progresii aritmetice și geometrice.
Efectuez repetarea atât în clasă, cât și după oră prin consultații sistemice. La lecție, după ce am creat un microclimat în clasă, elaborez algoritmizarea acțiunilor; menținând interesul elevilor pentru materie, îmi formez motivație pentru învățare. Elevii învață bine materialul minim necesar în matematică dacă folosesc tehnici metodologice:
Rezolvarea problemelor conform modelului;
Luarea în considerare a diferitelor abordări pentru rezolvarea aceleiași probleme;
Compilarea diagramelor de referință și utilizarea altor mijloace vizuale de predare;
Selectarea corectă a subiectelor și a nivelului sarcinilor, oferindu-le o formă distractivă;
Utilizarea competiției a determinat următoarele întrebări ale profesorului: „Cum se rezolvă mai repede?”, Cine are soluția cea mai scurtă?”. , Cel mai usor?".
Efectuez control tematic prin testare, urmând regulile de organizare a muncii cu teste:
Elevii fac notițe pe fișele de răspuns;
Profesorul dă instrucțiuni despre cum să completezi corect cardul;
Timpul de finalizare și normele de evaluare trebuie explicate elevului în prealabil.
In lectii folosesc carduri-consultanti, cu ajutorul carora repeta materialul studiat. Acestea conțin toate momentele condiționale ale subiectului studiat, precum și algoritmul de rezolvare a sarcinilor.
CARD-CONSULTANT PE TEMA
„SISTEMUL DE ECUAȚII LINEARE”
Sistem de ecuații liniare: 
:
Modalități de a o rezolva
| Mod grafic | Metoda de substituire | Metoda de adunare |
| 1. În fiecare ecuație, exprimă y în termeni de x 2. Reprezentați grafic funcția fiecărei ecuații 3. Determinați coordonatele punctului de intersecție | 1. Din orice ecuație exprimă o variabilă în termenii alteia. 2. Înlocuiți expresiile obținute și rezolvați-o. 3. Înlocuiți valoarea găsită a variabilei și calculați valoarea celei de-a doua variabile. | 1. Egalizarea modulelor de coeficienți ai oricărei variabile. 2. Adaugă (scădea) ecuațiile primite ale sistemului. 3. Compuneți un sistem nou: o ecuație este nouă: cealaltă este una dintre cele vechi. 4. Rezolvați o nouă ecuație și găsiți valoarea unei variabile. 5. Înlocuiți valoarea variabilei găsite în vechea ecuație și găsiți valoarea unei alte variabile. |
Răspuns: x \u003d _______; y =_______
În lucrul cu copiii cu rezultate slabe, folosesc un întreg arsenal de cărți, Lucrează după model!” , care vă permit să elaborați algoritmul diferitelor acțiuni și operații matematice.
Exemple de sarcini.
| 1 expresie | 2 expresie | Produsul diferenței acestor expresii prin suma lor | Diferența pătratelor acestor expresii |
| cu 3 ani 0,5 x av | cu 5v 2 ani 2s | (c − x) (c + x) (3u - 5v) (3u + 5v) | C 2 - x 2 9u 2 - 25v 2 |
Elevii trebuie să finalizeze sarcinile cu lacune. Cuvintele cheie sunt omise, memorarea corectă a cărora indică o înțelegere a materialului.
Treceți sarcini.
rădăcini pătrate.
Utilizați tabele tematice pentru diferite secțiuni ale cursului școlar. Fiecare tabel conturează pe scurt teoria unei anumite probleme (definiții, teoreme, corolare, formule); sunt date desene, grafice, precum și exemple de rezolvare a celor mai fundamentale probleme.
Tabelele ajută la sistematizarea cunoștințelor, repetarea rapidă și completă a punctelor principale ale unui anumit subiect.
Masa. rădăcini pătrate.
| Definiția unei rădăcini aritmetice  |  = 4, deoarece 4 0, 4 2 = 16;
−5, deoarece −5 0;
| 
2 0,8 |
| Identități | Proprietăți de bază |
|
| 
| 
|
7, deoarece 7 2 25;
nedeterminat. 
3;
0,9. 
Comparații legate de rădăcinile pătrate
Dacă a b 0, atunci 
.
.
Dacă a 1, atunci a și 1.
Dacă 0 a 1, atunci a și 0 1.
| Îndepărtarea de sub rădăcină
| Introducere sub rădăcină
|
 ;
|  ;
|
, b 0
;
;
;Conduc lecții de generalizare și sistematizare a cunoștințelor. Fără lecții de generalizare și sistematizare a cunoștințelor, numite și lecții de generalizare a repetiției, procesul de repetare de către elevi a materialului educațional nu poate fi considerat complet. Scopul principal al acestor lecții este asimilarea de către elevi a legăturilor și relațiilor dintre concepte, teorii, în formarea unei viziuni holistice a elevilor despre materialul studiat, semnificația și aplicarea acestuia în condiții specifice. Rezumarea și repetarea sunt axate pe asigurarea reușitei studenților la examenele de matematică. Voi da un exemplu de repetare generalizantă pe tema: „Rezolvarea problemelor de text”.
Întrebări:
Probleme simple de proporție.
Probleme de raport dificile.
Testul numărul 1.
Găsirea unui număr după procentajul său.
Găsirea unui procent.
Testul numărul 2.
Probleme complexe cu procente. Exercițiu.
Sarcini pentru deplasarea de-a lungul râului.
Sarcini de mișcare.
Testul numărul 3.
Testul numărul 4.
Probleme de înmulțire și împărțire a numerelor naturale.
Sarcini parte.
Sarcini de colaborare.
Rezolvarea problemelor folosind ecuații.
Testul numărul 5.
Diverse sarcini. Întrebări și sarcini.
Surse folosite :
Algebră: Sat. sarcini de pregătire pentru certificarea finală în clasa a 9-a / [L. V. Kuznetsova, S. B. Suvorova, E. A. Bunimovici și alții]. M.: Educație, 2007.
Ziar educațional și metodic Matematică 2005, Nr. 18,19, 20, 21, 22, 23;2007 Nr. 18, 19; 2008 nr. 11, 12.
Programele instituțiilor de învățământ. Algebra 7-9. Moscova. Educaţie. 2008 Alcătuit de: Burmistrova T. A.
Probleme simple de proporție
Primele sarcini presupun obținerea unui răspuns pe baza ideilor experimentate ale elevilor, ele vizează repetarea conceptelor de proporționalitate directă și inversă.
La rezolvarea primelor probleme, este util să subliniem că prețul de achiziție este determinat de formulă
cost = preț cantitate,
și urmăriți cum, cu o creștere (scădere) a unei valori de mai multe ori, a doua valoare se modifică cu a treia neschimbată.
1°. Pentru mai multe creioane identice plătit 8 ruble. Cât ar trebui să plătești pentru aceleași creioane dacă au fost cumpărate de 2 ori mai puțin?
2°. Pentru mai multe creioane identice plătit 8 ruble. Cât ar trebui să plătiți pentru același număr de creioane, fiecare dintre ele fiind de 2 ori mai scump?
3°. Sunt bani pentru a cumpăra 30 de creioane. Câte caiete pot fi cumpărate cu aceiași bani dacă caietul este de 2 ori mai ieftin decât un creion?
Un biciclist a parcurs 36 de km în câteva ore. Care este distanța parcursă în același timp de un pieton a cărui viteză este de 3 ori mai mică decât viteza unui biciclist?
Un biciclist a parcurs o anumita distanta in 3 ore.De cate ore ii va parcurge aceasta distanta unui motociclist, a carui viteza este de 5 ori viteza unui biciclist?
Să trecem la rezolvarea problemelor folosind proporții. Prima dintre ele conține valori întregi ale cantităților, al căror raport este, de asemenea, un număr întreg.
6. În 6 ore trenul a parcurs 480 km. Ce distanta a parcurs trenul in primele 2 ore daca viteza lui a fost constanta?
7. Pentru a face dulceață de cireșe pentru 6 kg de fructe de pădure, luați 4 kg de zahăr granulat. Câte kilograme de zahăr granulat trebuie luate pentru 12 kg de fructe de pădure?
100 g de soluție conțin 4 g de sare. Câte grame de sare sunt conținute în 300 g de soluție?
9. Un tren de pasageri a parcurs distanța dintre două orașe cu o viteză de 80 km/h în 3 ore Câte ore ar fi nevoie ca un tren de marfă să parcurgă aceeași distanță cu o viteză de 40 km/h?
10. Cinci pictori ar putea picta un gard în 8 zile. Câte zile vor dura 10 pictori pentru a picta același gard?
În problema 10, ca și în multe alte probleme, se presupune că toți lucrătorii lucrează cu aceeași productivitate și nu interferează între ei. Este de dorit să se stipuleze acest lucru de fiecare dată, astfel încât studenții să fie mai atenți la astfel de condiții.
Ca să nu aibă impresia că există doar două tipuri de dependență - directă sau invers proporțională - este util să luăm în considerare sarcini provocatoare în care dependența este de altă natură.
11. 1) 12 carasi au fost prinsi in 2 ore. Câți crapi vor fi prinși în 3 ore?
Trei cocoși au trezit 6 oameni. Câți oameni vor fi treziți de cinci cocoși?
Când Vasya a citit 10 pagini din carte, mai are 90 de pagini de citit. Câte pagini va mai avea de citit când va citi 30 de pagini?
Relația dintre numărul de pagini citite dintr-o carte și numărul de pagini rămase este adesea luată ca o relație inversă: cu cât sunt mai multe pagini citite, cu atât mai puține pagini rămase de citit. Atenție copiilor că creșterea uneia și scăderea celeilalte valori nu se produce în același număr de ori.
Luați în considerare o problemă în care dependența dintre cantități este adesea luată ca o proporționalitate directă și răspunsul „în 4 săptămâni” este considerat corect.
12*. Iazul este acoperit de crini, iar într-o săptămână zona acoperită cu crini se dublează. În câte săptămâni iazul este pe jumătate acoperit cu crini dacă este complet acoperit cu crini în 8 săptămâni?
Deoarece suprafața acoperită cu crini se dublează într-o săptămână, cu o săptămână înaintea iazului a fost complet acoperită cu crini, suprafața sa a fost acoperită de aceștia la jumătate. Adică iazul a fost pe jumătate acoperit cu crini în 7 săptămâni?
8 m de pânză costă la fel ca 63 m de chintz. Câți metri de chintz pot fi cumpărați în loc de 12 metri de pânză?
(O problemă veche.)Într-o zi fierbinte, 6 cositori au băut un butoi de kvas în 8 ore. Trebuie să aflăm câte cositoare vor bea același butoi de kvas în 3 ore?
(Din „Aritmetica” lui Al. Kiselyov?) 8 arshine de pânză costă 30 de ruble. Cât valorează 15 arshins din această pânză?
Un camion cu o viteză de 60 km/h a parcurs o distanță între orașe în 8 ore.În câte ore va parcurge o mașină aceeași distanță cu o viteză de 80 km/h?
Șoferul a observat că cu o viteză de 60 km/h a condus podul peste râu în 40 de secunde. La întoarcere, a trecut podul în 30 de secunde. Determinați viteza mașinii la întoarcere.
Două roți dințate sunt îmbinate cu dinți. Primul, care are 60 de dinți, face 50 de rotații pe minut. Câte rotații pe minut face al doilea, care are 40 de dinți?
Problemele considerate mai sus sunt destul de suficiente pentru ca elevii să învețe să facă distincția între proporționalitatea directă și inversă, să facă proporții] și să le rezolve.
(Din „Aritmetica” de A.P. Kiselev.) 8 muncitori termină unele lucrări în 18 zile; câte zile vor finaliza aceeași muncă 9 persoane, lucrând la fel de bine ca primele?
20*. (O problemă veche.) Zece muncitori trebuie să termine munca în 8 zile. Când au lucrat 2 zile, s-a dovedit a fi necesar să se termine munca după 3 zile. Câți lucrători mai trebuie să angajați?
(Din „Aritmetica” de L.F. Magnitsky.) Un anume domn a chemat un tâmplar și a ordonat să se construiască curtea. I-a dat 20 de muncitori și l-a întrebat în câte zile îi vor construi curtea. Tâmplarul a răspuns: în 30 de zile. Și maestrul trebuie să construiască în 5 zile, de dragul căruia l-a întrebat pe dulgher: câți oameni trebuie să ai, ca să poți construi o curte cu ei în 5 zile; iar eu sunt tamplar, nedumerit, te intreaba pe tine, aritmetician: cati oameni trebuie sa aiba pentru a construi acea curte in 5 zile?
22*. (O problemă veche.) Au luat 560 de soldați pentru a hrăni timp de 7 luni și li s-a ordonat să fie în serviciu timp de 10 luni; și au vrut să ia oameni departe de ei înșiși, ca să fie suficientă mâncare pentru 10 luni. Întrebarea este, câți oameni ar trebui reduse.
(O problemă veche.) O bandă de dulgheri, formată din 28 de persoane, poate construi o casă în 54 de zile, iar alta - de 30 de persoane - în 45 de zile. Care artel funcționează mai bine?
Încheind conversația despre probleme rezolvate cu ajutorul proporțiilor, este necesar să dam un exemplu de problemă care nu poate fi rezolvată „în mod vechi”
24. Un tren de călători parcurge o anumită distanță în 3 ore, iar un tren rapid - în 2 ore.Odată, aceste trenuri au părăsit două orașe unul spre celălalt în același timp. Trenul de pasageri a parcurs 120 km înainte de a se întâlni cu ambulanța. Câți kilometri a parcurs trenul rapid înainte de a întâlni trenul de călători?
Aici nu puteți împărți 120 km la 3 ore, deoarece o altă distanță a fost parcursă în 3 ore. Să scriem pe scurt starea problemei.
Distanța de timp
Express 2h x km
Pasager SP 120 km
Prima dată trenurile au parcurs aceeași cale, în timp ce viteza este invers proporțională cu timpul, adică viteza trenului rapid este de două ori mai mare decât viteza celui de pasageri.
Și a doua oară, timpul de deplasare a fost constant, în timp ce distanța este direct proporțională cu viteza, adică distanța parcursă de trenul rapid este de două ori distanța parcursă de trenul de călători.
Să facem o proporție 
, rezolvând care obținem x = 180. Trenul rapid a parcurs 180 km înainte de a se întâlni cu trenul de călători.
Sarcini dificile de proporție
Ouă de Zilele puiului
3 33
12 12 x
4.
5. (O problemă veche.)
6.
7.
(O problemă veche.)
Testul 1
Opțiunea 1
Cele două biblioteci aveau același număr de cărți. Un an mai târziu, numărul cărților din prima bibliotecă a crescut cu 50%, iar în a doua - de 2 ori. Care bibliotecă are mai multe cărți?
B. În a doua bibliotecă
LA. Există un număr egal de cărți
G
Când cumpărați o mașină de spălat în valoare de 6500 r. cumpărătorul a prezentat o reclamă decupată din ziar, dând dreptul la o reducere de 5%. Cât va plăti pentru mașină?
La primul curs al institutului pot fi admise 180 de persoane. Numărul de cereri depuse a fost de 120% din numărul de locuri la curs. Câte cereri au fost depuse?
Nivelul apei în râu era în jur de 2,4 m. În primele ore de viitură a crescut cu 5%. La ce nivel a ajuns apa din râu?
Opțiunea 2
Cele două biblioteci aveau același număr de cărți. Un an mai târziu, numărul cărților din prima bibliotecă a crescut cu 50%, iar în a doua - de 1,5 ori. Care bibliotecă are mai multe cărți?
B. În a doua bibliotecă
LA. Există un număr egal de cărți
G. Nu sunt suficiente date pentru a răspunde
Factura de utilități este de 800 de ruble. Cât va trebui să plătiți pentru utilități după creșterea prețului cu 6%?
În decembrie, fiecărui angajat al întreprinderii i sa plătit un bonus în valoare de 130 din salariul său lunar. Ce bonus a primit un angajat al cărui salariu este de 5500 de ruble?
Compania a plasat 5 milioane de ruble în bancă. la 8% pe an. Cât va fi în contul companiei într-un an?
B. 9 milioane de ruble D. 0,4 milioane de ruble
Găsirea unui număr după procentajul său
La magazinul de electrocasnice au fost aduse becuri. Printre acestea se aflau 16 becuri sparte, care reprezentau 2% din numărul lor. Câte becuri au fost aduse
Scor?
Găsiți un număr al cărui 110% este egal cu 33.
60% din clasă au mers la cinema, iar restul de 12 persoane au mers la expoziție. Câți elevi sunt în clasă?
4. Prețul mărfurilor a crescut cu 30% și acum este de 91 de ruble. Cât era produsul înainte de creșterea prețului?
5. Fabrica plănuia să producă 10.000 de mașini. Planul a fost depășit cu 2%. Câte mașini a produs uzina peste plan? Câte mașini ai scos din apă?
Problema 5 este cel mai bine rezolvată în două moduri. În primul rând, răspunzând la întrebările puse:
10.000 0,02 = 200 (mașină);
10.000 + 200 = 10.200 (mașină),
apoi punand mai multe intrebari:
-Cu ce procent uzina a îndeplinit planul?
- Pe 100 + 2 = 102 (%).
-Câte mașini reprezintă 102%?
10.000-1,02 = 10200 (mașină)
Iarba în timpul uscării pierde 80% din masă. Câte tone de fân se vor obține din 4 tone de iarbă proaspătă? Câte tone de iarbă trebuie tăiate pentru a usca 4 tone de fân?
100 - 80 \u003d 20 (%) - masa de iarbă este masa de fân;
4 0,2 \u003d 0,8 (t) - fânul se va obține din 4 tone de iarbă;
4: 0,2 \u003d 20 (t) - iarba trebuie tunsă.
Prețul albumului a fost redus mai întâi cu 15%, apoi cu încă 15 ruble. Noul preț al albumului după două reduceri de 19 ruble. Determinați prețul său inițial.
15 + 19 = 34 (p.) - costul albumului până la al doilea
reducere de preț;
100 - 15 \u003d 85 (%) - cade pe 34 de ruble;
3) 
= 40 (p.) - albumul a meritat inițial.
Pune împreună trei numere. Primul a însumat 25% din sumă, iar al doilea - 40%. Găsiți al treilea număr dacă este cu 45 mai mic decât al doilea.
100 - 25 - 40 = 35 (%) - sume contabilizate
pe al treilea număr;
40 - 35 \u003d 5 (%) - suma cade pe 45;
3) 
= 315 este al treilea număr.
30% din clasa si inca 5 persoane au mers la cinema, iar restul de 3 au mers la clasa si inca 8 persoane au mers in excursie. Câți oameni sunt în clasă?
O treime dintre lucrătorii întreprinderii au avut vacanță vara, 35% din restul muncitorilor au avut vacanță toamna și alte 2.314 persoane au avut vacanță iarna și primăvara. Câți lucrători sunt în întreprindere?
La vânzarea mărfurilor pentru 693 p. a primit un profit de 10%. Determinați costul articolului.
Găsirea unui procent
În rezolvarea problemelor din această secțiune, elevii ar trebui să stăpânească o idee simplă: să găsească procentul a două numere, adică. câte procente este primul număr din al doilea, puteți exprima raportul dintre primul număr și al doilea ca procent.
Primele probleme de acest tip ar trebui să fie simple, adică raportul numerelor ar trebui exprimat ca o fracție zecimală finită.
Pentru a găsi procentul a două numere, puteți împărți primul număr la al doilea și înmulți rezultatul cu 100.
Din 16 kg de pere proaspete s-au obtinut 4 kg de pere uscate. Ce fracțiune din masa de pere proaspete lasă masa de pere uscate? Exprimați această parte ca procent. Ce procent din masă se pierde în timpul uscării?
Ce procent din 50 este 40? Ce procent din numărul 40 este numărul 50?
Masha a citit 120 de pagini și mai are de citit 130 de pagini din carte. Ce procent din toate paginile a citit ea? Ce procent din toate paginile mai are de citit?
Luna a avut 12 zile însorite și 18 înnorate. Ce procent din lună sunt zile însorite? zile înnorate?
5. Câte procente este 50 mai mult decât 40? 40 mai putin de 50?
50 din 40 este 
, sau 
% = 125% ;
50 mai mult de 40 cu 125 - 100 = 25 (%);
40 din 50 este 
, sau 
% = 80% ;
40 este mai mic de 50 cu 100 - 80 = 20 (%).
6. Prețul mărfurilor a scăzut de la 40 de ruble. pana la 30 r. Cât a scăzut prețul? Cu ce procente a scăzut prețul?
În problema 6, elevilor le este dificil să determine ce număr să ia ca 100%. Trebuie să le atragi atenția asupra numărului cu care compară un alt număr. Reformularea problemei ajută în aceasta: „Câte procente din 30 r. mai puțin de 40 de ruble? Comparați cu suma de 40 de ruble, ceea ce înseamnă 40 de ruble. este de 100%.
Testul 2
Opțiunea 1
Numărul accidentelor rutiere în perioada de vară a fost de 0,7 din numărul acestora în perioada de iarnă. Cu ce procente a scăzut numărul accidentelor rutiere vara comparativ cu iarna?
A. 70% B. 30% C. 7% D. 3%
A. B. C. 0,08 D. 0,8
1) 50% 2) 80% 3) 75% 4) 8%
Opțiunea 2
După reducerea televizorului, noul său preț a fost de 0,8 față de cel vechi. Ce procent din pretul vechi este cel nou?
A. 0,8% B. 8% C. 20% D. 80%
Potriviți fracțiile care exprimă fracțiile de o anumită valoare și procentele corespunzătoare acestora.
1) 40% 2) 25% 3) 80% 4) 4%
Sarcini dificile de proporție
Toate problemele din această secțiune sunt opționale, în sensul că nu este necesar ca toți elevii să le poată rezolva. Folosiți-le cât de mult va fi interesant pentru studenții dvs.
Trei găini au depus 3 ouă în 3 zile. Câte ouă vor depune 12 găini în 12 zile?
Elevii vor fi foarte surprinși când vor afla că răspunsul „evident” „12 ouă” este greșit. Decizia primuluidachas din această secțiune sunt cel mai bine dezasamblate colectiv,poate, după ce am deliberat acasă, notândcondiția pe scurt a sarcinii:
Ouă de Zilele puiului
3 33
12 12 x
În timpul dialogului, trebuie să aflați de câte ori a crescut numărul de pui (de 4 ori); cum s-a schimbat numărul de ouă dacă numărul de zile nu s-a schimbat (creștet de 4 ori); de câte ori a crescut numărul de zile (de 4 ori); modul în care s-a schimbat numărul de ouă (a crescut de 4 ori). Numărul de ouă este: x = 3 4 4 = 48.
2. Trei pictori pot picta 60 de ferestre în 5 zile. Câți pictori ar trebui desemnați să picteze ferestrele astfel încât să picteze 64 de ferestre în 2 zile?
3. Cursuri de limbi străine închiriază spații pentru cursuri la școală. În prima jumătate a anului, școala a primit 336 de ruble pentru închirierea a patru săli de clasă timp de 6 zile pe săptămână. pe luna. Care va fi chiria lunara in a doua jumatate a anului pentru 5 sali de clasa, 5 zile pe saptamana in aceleasi conditii?
4. (Din „Aritmetica generală” de I. Newton.) Dacă un scrib poate scrie 15 folii în 8 zile, de câți scriitori va fi nevoie pentru a scrie 405 folii în 9 zile?
5. (O problemă veche.) Pentru întreținerea a 45 de persoane, 2040 de ruble au fost cheltuite în 56 de zile. Cât ar trebui cheltuit pentru a susține 75 de persoane timp de 70 de zile?
Luați în considerare probleme mai complexe cu patru și chiar șase cantități. Ele pot fi date ca teme opționale celor mai puternici elevi cărora le place să rezolve problemele puzzle.
6. (Din „Aritmetica” de A. Kiselyov.) Pentru iluminarea a 18 camere, s-au cheltuit 120 de lire de kerosen în 48 de zile, iar în fiecare cameră au ars 4 lămpi. Câte zile vor dura 125 de kilograme de kerosen dacă 20 de camere sunt aprinse și 3 lămpi sunt aprinse în fiecare cameră?
7.
(O problemă veche.) Un artel de 26 de excavatori care lucrează cu mașini 12 ore pe zi poate săpa un canal de 96 m lungime, 20 m lățime și 12 dm adâncime în 40 de zile. Cât timp poate fi săpat un canal de 39 de excavatori, care lucrează 80 de zile timp de 10 ore pe zi, dacă lățimea canalului trebuie să fie de 10 m, adâncimea este de 18 dm?
Sarcini pentru deplasarea de-a lungul râului
Vitezele în aval și în amonte sunt suma și diferența dintre viteza proprie și viteza curentului. Pentru a le găsi, trebuie să aplicați metoda stăpânită anterior de a găsi două mărimi prin suma și diferența lor: diferența de viteze în aval și în amonte este egală cu dublul vitezei curente.
1. Pe drum de la punct DAR la paragraf LA nava a petrecut 1 oră 40 de minute, iar la întoarcere - 2 ore.În ce direcție curge râul?
Viteza bărcii în apă plată este de 18 km/h. Viteza râului este de 2 km/h. Cât de repede se va deplasa barca pe râu? Împotriva curentului?
Viteza bărcii în apă plată (viteza proprie) este de 12 km/h, iar viteza râului este de 3 km/h. Determinați: viteza bărcii cu debitul și împotriva curgerii râului; traseul bărcii de-a lungul râului în 3 ore; traseul bărcii împotriva curentului râului în 5 ore.
Viteza proprie a navei este de 27 km/h, viteza râului este de 3 km/h. Cât timp va dura nava să călătorească în aval între două dane dacă distanța dintre ele este de 120 km?
O barcă cu propria viteză de 15 km/h a navigat 2 ore în aval și 3 ore împotriva curentului. Cât de departe a înotat tot timpul, dacă viteza râului este de 2 km/h?
Distanța dintre cele două dane este de 24 km. Cât va dura motorul
Tabelul de mai jos (cu alte date numerice) este convenabil de utilizat pentru munca independentă.
Determinați vitezele și completați tabelul:
| viteza proprie | Viteza râului | Viteza de în aval cursul râului | Viteza contra curentului |
|
| 1 | 12 km/h | 4 km/h | ||
| 2 | 25 km/h | 28 km/h | ||
| 3 | 24 km/h | 20 km/h |
||
| 4 | 5 km/h | 17 km/h | ||
| 5 | 3 km/h | 16 km/h |
||
| 6 | 48 km/h | 42 km/h |
Barca cu motor a înotat 48 km în aval în 3 ore, iar împotriva curentului în 4 ore.Găsiți viteza curentului.
Viteza râului este de 3 km/h. Câți kilometri pe oră este viteza bărcii în aval mai mare decât viteza în amonte?
5 rata de eliminare.)
viteza de inchidere.)
(O problemă veche.)
(O problemă veche.)
în calea primului tren;
8. Distanța dintre orașe DARși LA este egal cu 720 km. Din DARîn LA
10. 1) Din alin DAR la paragraf LA A și B egal cu 30 km?
De la punctul A la punct LA,
30-2 = 60 (km);
10 + 5 = 15 (km/h);
60:15 = 4 (h).
Sarcini pentru mișcare
1. Doi pietoni au părăsit același punct în direcții opuse în același timp. Viteza primului este de 4 km/h, viteza celui de-al doilea 5 km/h Cât de departe vor fi unul dintre ele după 3 ore? Câți kilometri pe oră se îndepărtează pietonii unul de celălalt? (Această valoare se numește rata de eliminare.)
2. Din două sate, distanța dintre care este de 36 km, doi pietoni au ieșit unul spre celălalt în același timp. Vitezele lor sunt de 4 km/h și 5 km/h. Câți kilometri pe oră se apropie pietonii unul de altul? (Această valoare se numește viteza de inchidere.)
Cât de departe vor fi unul dintre ele după 3 ore?
Doi bicicliști au plecat în același timp unul spre celălalt din două puncte, distanța dintre care este de 36 km. Viteza primului este de 10 km/h, al doilea este de 8 km/h. În câte ore se vor întâlni?
1) Distanța dintre cele două orașe este de 900 km. Două trenuri au părăsit aceste orașe unul spre celălalt cu viteze de 60 km/h și 80 km/h. Cât de departe erau trenurile cu 1 oră înainte de întâlnire? Există o condiție suplimentară în sarcină?
3) Doi bicicliști au plecat în același timp întâlnindu-se din două sate, distanța cărora era de 54 km. Viteza primului este de 12 km/h, al doilea este de 15 km/h. În câte ore vor fi la 27 km unul de celălalt?
Un biciclist și un motociclist au părăsit același loc în același timp în aceeași direcție. Viteza unui motociclist este de 40 km/h, iar cea a unui biciclist este de 12 km/h. Care este viteza de îndepărtare a acestora unul de celălalt? În câte ore va fi distanța dintre ele de 56 km?
(O problemă veche.) Un oarecare tânăr a mers de la Moscova la Vologda. Mergea 40 de mile pe zi. O zi mai târziu, un alt tânăr a fost trimis după el, trecând 45 de mile pe zi. În câte zile îl va depăși al doilea pe primul?
(O problemă veche.) Două trenuri au plecat din Moscova spre Tver în același timp. Primul a trecut la 39 de verste și a ajuns la Tver cu două ore mai devreme.
al doilea, care a trecut la o oră de 26 de verste. Câte mile de la Moscova la Tver?
26 2 \u003d 52 (versts) - cât de mult a rămas trenul în urmă cu primul;
39 - 26 \u003d 13 (versts) - cât de mult a rămas al doilea tren în urma primului tren în 1 oră;
52: 13 \u003d 4 (h) - atât de mult timp a fost în calea primului tren;
39 4 \u003d 156 (versts) - distanța de la Moscova la Tver.
8. Distanța dintre orașe DARși LA este egal cu 720 km. Din DARîn LA Un tren rapid pleacă cu o viteză de 80 km/h. După 2 ore, un tren de călători a plecat de la B spre A spre el cu o viteză de 60 km/h. La câte ore după plecarea trenului expres se vor întâlni?
9. Două trenuri se deplasează unul spre celălalt - unul cu o viteză de 70 km/h, celălalt cu o viteză de 80 km/h. Un pasager care stătea în al doilea tren a observat că primul tren a trecut pe lângă el în 12 secunde. Care este lungimea primului tren?
10. 1) Din alin DAR la paragraf LA Un pieton pleacă cu o viteză de 5 km/h. În același timp, un biciclist a părăsit A pentru B cu o viteză de 10 km/h. Biciclistul a mers până la B, s-a întors și a mers cu aceeași viteză spre pieton. În câte ore după începerea mișcării se vor întâlni dacă distanța dintre A și B egal cu 30 km?
De la punctul A la punct LA, distanța dintre care este de 17 km, un biciclist a plecat cu o viteză de 12 km/h. În același timp, un pieton pleacă din A pentru B cu o viteză de 5 km/h. Biciclistul a mers până la B, a întors și s-a întors cu aceeași viteză.
La câte ore după începerea mișcării se vor întâlni?
Distanța dintre cele două puncte este de 12 km. Doi bicicliști au plecat în același timp unul spre celălalt cu viteze de 10 km/h și 8 km/h. Fiecare dintre ei a ajuns într-un punct diferit, s-a întors și s-a întors cu aceeași viteză. În câte ore după începerea mișcării se vor întâlni pentru a doua oară?
1)30:10 = 3(h); 4) 10 + 5 = 15 (km/h);
5-3 = 15 (km); 5) 15: 15 = 1 (h);
30 - 15 = 15 (km); 6) 3 + 1 = 4 (h).
30-2 = 60 (km);
10 + 5 = 15 (km/h);
60:15 = 4 (h).
Testul #4
1. Aflați timpul necesar unui biciclist pentru a ajunge din punctul A în punctul B
(vezi diagrama din figura 1).
υ=12 km/h
A| _________________________________________ LA
s = 6 km
Orez. unu.
DAR. 72 h B. 0,5 ore LA. 2 h
G. 5 h D. ________________
Din două puncte, distanța dintre care este de 10 km, doi turiști au plecat în același timp în aceeași direcție. Viteza primului turist este de 4 km/h, iar viteza celui care îl urmărește este de 6 km/h. Cât va dura ca al doilea turist să-l depășească pe primul?
DAR. După 1 oră B. După 2,5 ore LA. În 1
G. După 5 ore D. ________________________
De la o stație la alta de-a lungul râului, barca a navigat timp de 3 ore și a petrecut 4 ore la întoarcere.Viteza râului este de 1 km/h. Scrieți o ecuație pentru a afla viteza proprie a bărcii folosind x km/h.
Răspuns: _____________________
Obiectivele lecției:
- rezolvarea unor probleme mai complexe pentru mărimi proporționale („Regula triplă complicată”);
- dezvoltarea nu numai a gândirii logice, ci și a gândirii figurative, a imaginației copiilor și a capacității lor de a raționa, de a pune întrebări și de a le răspunde, adică vorbirea cursanților;
- extinderea orizontului în rezolvarea problemelor practice (sau plauzibile) străvechi;
- formarea de idei despre bogăția moștenirii culturale și istorice a omenirii.
În timpul orelor
I. Moment organizatoric:
Astăzi începem să rezolvăm probleme mai complexe, dar nu mai puțin interesante pentru mărimile proporționale.
Studiul proporțiilor și al acestor dependențe este de mare importanță pentru studiul ulterioar al matematicii.
Mai târziu, cu ajutorul proporțiilor, vei rezolva probleme de chimie, fizică și geometrie.
Cu ce au început?
- Familiarizați-vă cu conceptele de „raport”, „proporție”
(raport - ………., proporție - ……… (se așteaptă răspunsuri elevilor) - Am învățat cum să rezolvăm proporțiile și am aflat că principala modalitate de a le rezolva ar trebui să se bazeze pe ……. (proprietatea de bază a proporțiilor)
- Am învățat să distingem două cantități în condițiile problemelor, să stabilim tip de dependențăîntre ele. (relație directă sau inversă)
- Am învățat cum să facem o scurtă înregistrare a stării problemei și să întocmim o proporție (scăderea valorii este afișată cu o săgeată în jos și creșterea cu o săgeată în sus)
Dar să nu uităm asta - a analizat metoda de rezolvare a problemelor fără proporții (aplicarea acestei tehnici ar trebui precedată de întrebări puse la rezolvarea problemelor: de câte ori a crescut sau a scăzut valoarea?)
Să trecem de la simplu la complex.
II. munca orală.
1. Din aceste valori, selectați cele care sunt direct sau invers proporționale:
a) lungimea laturii pătratului și a perimetrului.
b) lungimea laturii pătratului și aria acestuia.
c) lungimea și lățimea unui dreptunghi pentru o zonă dată.
d) viteza mașinii și traseul pe care îl va parcurge într-un anumit timp.
e) viteza de deplasare a unui turist de la locul de tabără la gară și timpul necesar pentru a ajunge în stație.
e) vârsta arborelui și înălțimea acestuia.
g) volumul bilei de otel si masa acesteia.
h) numărul de pagini citite în carte și numărul de pagini rămase de citit.
(Relația dintre numărul de pagini citite dintr-o carte și numărul de pagini rămase este adesea confundată cu proporționalitate: cu cât sunt mai multe pagini citite, cu atât mai puține pagini rămase de citit. Vă rugăm să rețineți că creșterea uneia și scăderea în cealaltă nu are loc. în acelaşi număr de ori.).
2. Să analizăm problema:
Când Vasya a citit 10 pagini din carte, mai are 90 de pagini de citit. Câte pagini va mai avea de citit când va citi 30 de pagini.
3. Luați în considerare sarcinile („natura provocatoare”):
a) 12 carasi au fost prinși în 2 ore. Câți crapi vor fi prinși în 3 ore.
b) Trei cocoși au trezit 6 persoane. Câți oameni vor trezi 5 cocoși.
c) * Iazul este acoperit de crini, iar într-o săptămână zona acoperită cu crini se dublează. În câte săptămâni va fi iazul pe jumătate acoperit cu crini dacă este complet acoperit cu crini în 8 săptămâni?
(Soluție: deoarece zona acoperită cu crini se dublează într-o săptămână, apoi cu o săptămână înainte ca iazul să fie complet acoperit cu crini, zona sa a fost pe jumătate acoperită cu ei, adică iazul a fost pe jumătate acoperit cu crini în 7 săptămâni)
III. Rezolvarea problemelor:
(condiția sarcinilor este prevăzută pe tablă)
O scurtă condiție și două soluții sunt propuse pentru a fi făcute foarte repede de către elevii de la tablă.
1 cale:
Metoda 2: cantitatea de pânză a crescut de 15/8 ori, ceea ce înseamnă că vor plăti de 15/8 ori mai mulți bani
Х=30*15/8=56r25k
2. Un anume domn a chemat un tâmplar și a poruncit să construiască o curte. I-a dat 20 de muncitori și l-a întrebat în câte zile îi vor construi o curte. Tâmplarul a răspuns: în 30 de zile. Și stăpânul trebuie să construiască în 5 zile, iar pentru asta l-a întrebat pe dulgher: câți oameni trebuie să ai, ca să poți construi o curte cu ei în 5 zile; iar tâmplarul, nedumerit, te întreabă, aritmeticiane: câți oameni trebuie să angajeze pentru a construi o curte în 5 zile?
Pe tablă este scrisă o scurtă condiție neterminată:
Completați condiția și rezolvați problema în două moduri.
I varianta: proportie
Varianta II: fara proportii
În același timp, doi elevi lucrează la tablă.
eu. 
II. X \u003d 20 * 6 \u003d 120 de lucrători
3. Au luat 560 de soldați de mâncare timp de 7 luni, și li s-a ordonat să fie în serviciu 10 luni și au vrut să ia oameni de la ei înșiși ca să fie suficientă mâncare pentru 10 luni. Întrebarea este, câți oameni ar trebui reduse?
Veche sarcină.
(scriind pe tablă)
(completând o scurtă notă de către studenți)
Rezolvați această problemă fără proporție:
(Numărul de luni crește cu un factor, ceea ce înseamnă că numărul de soldați scade cu un factor.
560 - 392 = 168 (soldații trebuie reduse)
În antichitate, pentru rezolvarea multor tipuri de probleme, existau reguli speciale pentru rezolvarea lor. Problemele cunoscute nouă pentru proporționalitatea directă și inversă, în care este necesar să se găsească a patra cu trei valori a două mărimi, au fost numite probleme pentru „regula triplă”.
Dacă pentru trei valori au fost date cinci valori și a fost necesar să se găsească a șasea, atunci regula se numea „cinci”. În mod similar, pentru cele patru cantități a existat o „regula septenarului”. Sarcinile pentru aplicarea acestor reguli au fost numite și sarcini pentru „regula triplă complexă”.
Sa incercam!!!
4. Luați sarcina care vi s-a oferit ca una suplimentară.
Sarcina de teme.
Trei găini au depus 3 ouă în 3 zile. Câte ouă vor depune 12 găini în 12 zile?
Răspunsul la problemă este ………?
Vom analiza soluția problemei în mod colectiv, notând pe scurt starea problemei:
Elevii încearcă să pună întrebări în mod colectiv și să le răspundă.
(numărul cărturarilor crește din creșterea foilor în timp și scade
din cresterea zilelor lucratoare 
(scribi)).
Luați în considerare o problemă mai complexă cu patru cantități.
Luați o problemă, cu șase valori, ca temă opțională pentru acei elevi cărora le place să dezlege problemele puzzle.
6. Pentru iluminarea a 18 camere în 48 de zile, s-au cheltuit 120 de tone de kerosen și au ars câte 4 lămpi în fiecare cameră. Câte zile vor dura 125 de kilograme de kerosen dacă 20 de camere sunt iluminate și 3 lămpi sunt aprinse în fiecare cameră?
Se notează o scurtă condiție a problemei și se dă un argument, în paralel cu care se poate păstra pe tablă o înregistrare X = ... .. completată treptat.
Numărul de zile de utilizare a kerosenului crește de la o creștere a cantității de kerosen în
ori şi de la reducerea lămpilor la jumătate.
Numărul de zile de utilizare a kerosenului scade odată cu creșterea numărului de încăperi 20 ori.
X = 48 * * : = 60 (zile)
În cele din urmă are X = 60. Aceasta înseamnă că 125 de kilograme de kerosen sunt suficiente pentru 60 de zile.
IV. Rezumatul lecției.
Am rezolvat întreaga lecție acum sarcini aproape uitate. Am trecut de la simplu la complex. Era clar că problemele vechi sunt de interes, e plăcut să vezi munca ta în rezolvarea problemelor, am avut o pregătire bună în a face distincția între proporționalitate directă și inversă.
Explicațiile oferite de profesor par clare, dar trebuie să mergi înainte și pe cont propriu.
V. Tema pentru acasă.
Zile de cereale
X \u003d 100: 10: 10 \u003d 1 kg
2. Problemă veche.
termen de venit în dirham
3. * Sarcină suplimentară.
Un artel de 26 de excavatori care lucrează cu mașini 12 ore pe zi poate săpa un canal de 96 de metri lungime, 20 de metri lățime și 12 metri adâncime în 40 de zile. Cât timp poate fi săpat un canal de 30 de excavatori, care lucrează timp de 80 de zile, 10 ore pe zi, dacă lățimea ar trebui să fie
10 m, adâncime 18 dm?
decizie. 
Sarcini de colaborare și productivitate
Sarcinile de acest tip conțin de obicei informații despre efectuarea de către mai mulți subiecți (muncitori, mecanisme, pompe etc.) a unor lucrări, al căror volum nu este indicat și nu este necesar (de exemplu, retipărirea unui manuscris, realizarea pieselor, săparea). tranșee, umplere prin conductele unui rezervor etc.). Se presupune că munca efectuată se desfășoară uniform, adică. cu o performanţă constantă pentru fiecare subiect. Deoarece cantitatea de muncă efectuată (sau volumul piscinei care se umple, de exemplu) nu ne interesează, atunci volumul întregii lucrări. sau piscina este luată ca unitate. Timpttrebuie să facă toată munca, iar P este producătorulintensitatea muncii, adică cantitatea de muncă efectuată pe unitatea de timp, sunt legate
raportP= 1/t .Este util să se cunoască schema standard de rezolvare a problemelor tipice.
Lăsați un muncitor să lucreze în x ore și un alt muncitor în y ore. Apoi într-o oră vor efectua respectiv 1/Xsi 1/yparte a muncii. Împreună într-o oră vor completa 1/X +1/ yparte a muncii. Prin urmare, dacă lucrează împreună, atunci toată munca se va face în 1/ (1/X+ 1/ y)
Rezolvarea problemelor în colaborare este o provocare pentru studenți, așa că atunci când vă pregătiți pentru un examen, puteți începe prin a rezolva cele mai simple probleme. Luați în considerare tipul de probleme pentru care este suficient să introduceți o singură variabilă.
Sarcina 1. Un tencuitor poate finaliza o sarcină cu 5 ore mai repede decât altul. Împreună vor îndeplini această sarcină în 6 ore. Câte ore va îndeplini fiecare sarcina?
Decizie. Lăsați primul tencuitor să finalizeze sarcina ptXore, apoi al doilea tencuitor va îndeplini această sarcină înX+5 ore. În 1 oră de lucru în comun, vor completa 1/X + 1/( X+5) sarcini. Să facem o ecuație
6×(1/X+ 1/( X+5))= 1 sauX² - 7 X-30 = 0. Rezolvând această ecuație, obținemX= 10 șiX= -3. Conform sarciniiXeste o valoare pozitivă. Prin urmare, primul tencuitor poate finaliza lucrarea în 10 ore, iar al doilea în 15 ore.
Sarcina 2 . Doi muncitori au terminat lucrarea in 12 zile. În câte zile poate fiecare muncitor să finalizeze lucrarea dacă unuia dintre ei i-a luat 10 zile în plus pentru finalizarea întregii lucrări decât celălalt?
Decizie . Lăsați primul muncitor să cheltuiască pentru toată muncaXzile, apoi a doua- (X-10 zile. Pentru 1 zi de muncă în comun, efectuează 1/X+ 1/( X-10) sarcini. Să facem o ecuație
12×(1/X+ 1/( X-10)= 1 sauX²-34X+120=0. Rezolvând această ecuație, obținemX=30 șiX= 4. NumaiX= 30. Prin urmare, primul muncitor poate finaliza munca în 30 de zile, iar al doilea în 20 de zile.
Sarcina 3. Pentru 4 zile de lucru în comun, 2/3 din câmp a fost arat cu două tractoare. Câte zile ar fi nevoie să arat întreg câmpul cu fiecare tractor, dacă primul poate fi arat cu 5 zile mai repede decât al doilea?
Decizie. Lăsați primul tractor să cheltuiascăpentru a finaliza sarcina X zile, apoi a doua - X + 5 zile. Pentru 4 zile de lucru în comun, ambele tractoare au arat 4×(1/ X + 1/( X +5)) sarcini, adică 2/3 din câmp. Scriem ecuația 4×(1/ X + 1/ ( X +5)) = 2/3 sauX² -7X-30 = 0. . Rezolvând această ecuație, obținemX= 10 șiX= -3. Conform sarciniiXeste o valoare pozitivă. Prin urmare, primul tractor poate ară câmpul în 10 ore, iar al doilea - în 15 ore.
Sarcina 4 . Masha poate imprima 10 pagini într-o oră, Tanya - 4 pagini în 0,5 și Olya - 3 pagini în 20 de minute. Cum pot fetele să împartă 54 de pagini de text între ele, astfel încât fiecare să lucreze pentru aceeași perioadă de timp?
Decizie . Conform condiției, Tanya tipărește 4 pagini în 0,5 ore, adică. 8 pagini într-o oră, iar Olya - 9 pagini într-o oră. Notând timp de X ore timpul în care fetele au lucrat, obținem ecuația
10X + 8X + 9X \u003d 54, de unde X \u003d 2.
Deci, Tanya trebuie să imprime 20 de pagini, Tanya 16 pagini și Olya 18 pagini.
Sarcina 5. Pe două duplicatoare care lucrează simultan, puteți face o copie a manuscrisului în 20 de minute. În ce timp se poate face această lucrare pe fiecare aparat separat, dacă se știe că atunci când se lucrează la primul va dura cu 30 de minute mai puțin decât când se lucrează la al doilea?
Decizie. Fie X min timpul necesar pentru a face o copie pe prima mașină, apoi X + 30 min este timpul necesar pentru a lucra pe a doua mașină. Apoi, copierea 1/X este efectuată de primul aparat în 1 minut și 1/(X + 30) copii - al doilea dispozitiv.
Să facem ecuația: 20× (1/X + 1/(X+30)) = 1, obținemX²-10X-600= 0. De unde X = 30 și X = - 20. Condiția problemei satisface X = 30. Se obține: 30 minute - timpul pentru care primul dispozitiv va face o copie, 60 minute - al doilea.
Sarcina 6. Firma A poate finaliza o comandă pentru producția de jucării cu 4 zile mai repede decât firma B. Cât timp poate fiecare firmă să finalizeze această comandă dacă se știe că atunci când lucrează împreună în 24 de zile finalizează o comandă de 5 ori mai mare?
Decizie. Notând pentru X zile timpul necesar firmei A pentru finalizarea comenzii, atunci X + 4 zile este timpul pentru firma B. La întocmirea ecuației trebuie avut în vedere că în 24 de zile de lucru în comun, nu 1 comandă vor fi finalizate, dar 5 comenzi. Obținem, 24× (1/X + 1/( X+4)) = 5. De unde urmează 5 X²-28X-96 = 0. După ce am rezolvat ecuația pătratică, obținem X = 8 și X = - 12/5. Prima firmă poate finaliza comanda în 8 zile, firma B în 12 zile.
Când rezolvați următoarele probleme, trebuie să introduceți mai mult de o variabilăși rezolvă sisteme de ecuații.
Sarcina 7 . Doi muncitori lucrează. După 45 de minute de muncă în comun, primul muncitor a fost transferat la un alt loc de muncă, iar al doilea lucrător a finalizat restul lucrării în 2 ore și 15 minute. În ce timp ar putea fiecare muncitor să facă individual toată munca, dacă se știe că al doilea va avea nevoie de 1 oră mai mult decât primul?
Decizie. Lăsați primul muncitor să facă toată munca în x ore, iar al doilea lucrător în y ore. Din condiția problemei avem x = y -1. 1 oră mai întâi
muncitorul va face 1/Xparte a lucrării, iar a doua - 1/yparte a muncii.T.la. au lucrat împreună ¾ de ore, apoi în acest timp au completat ¾ (1 /X + 1/ y)
parte a muncii. In spate2i 1/4h de lucru al doilea completat 9/4× (1/y) parte a muncii.T.la. toată munca este făcută, apoi compunem ecuația ¾ (1/X+1/ y)+9/4×1/y=1 sau
¾×1/X+ 3 ×1/y =1
Înlocuirea valoriiXîn această ecuație, obținem ¾× 1/ (y-1)+ 3×1/y= 1. Reducem această ecuație la ecuația pătratică 4y2 -19y + 12 =0, care aredecizii la 1 = mânăla 2 = 4 h. Prima soluție nu este potrivită (ambeledesprecare au lucrat împreună doar ¾ de ore!). Apoi y \u003d 4 și x \u003d3.
Răspuns. 3 ore, 4 ore.
Sarcina 8. Piscina poate fi umplută cu apă de la două robinete. Dacă primul robinet este deschis timp de 10 minute, iar al doilea - timp de 20 de minute, atunci piscina va fi umplută.
Dacă primul robinet este deschis timp de 5 minute, iar al doilea - timp de 15 minute, atunci 3/5 va fi umplut bazin.
Cât timp durează fiecare robinet să umple întreaga piscină?
Decizie.
Lăsați de la prima atingere este posibil să umpleți piscina în x minute, iar din a doua - în y 1 minut. Se umple primul robinet parte a piscinei, iar al doilea . În 10 minute, prima atingere se va umple parte a piscinei și în 20 de minute de la a doua atingere - .
T.la. bazinul va fi umplut, apoi obținem prima ecuație: 
. În mod similar, scriem a doua ecuație 
(umplut pentru toată piscina, dar numai volumul acestuia). Pentru a simplifica rezolvarea problemei, introducem noi variabile: 
Atunci avem un sistem liniar de ecuații:
10u + 20v =1,
,a cărui soluție va fi u = v = . De aici obținem răspunsul: x = min, y = 50 min.
Sarcină 9 . Doi fac treaba. Prima a funcționat timpul necesar celuilalt pentru a face toată munca. Apoi a funcționat al doilea timpul necesar primului pentru a termina restul lucrării. Amandoi au jucat doar toată munca. Cât timp durează fiecare pentru a finaliza această lucrare, dacă se știe că atunci când lucrează împreună o vor face în3 h36 min?
Decizie. Notați cu x ore și y ore timpul pentru care primul și, respectiv, al doilea fac toată munca. Apoi și
Părțile muncii pe care le fac1 orăFuncționează (după condiție)
timp, primul se va executa
parte a muncii. Va rămâne neîmplinit parte din munca pe care ar cheltui primul ore. După condiție, al doilea funcționează 1/3
de data asta. Atunci va face 
parte a muncii. Ambele au fost finalizate doar toată munca. Prin urmare, obținem ecuația 
.
Lucrând împreună pentru1
ambele vor face +
parte a muncii. Deoarece, în funcție de starea problemei, vor face această muncă pentru3
h36
min (adicăA 3
ore), atunci1
ora pe care o vor face toată munca. Prin urmare 1/X + 1/
y = 5/18.
Notând în prima ecuație , obținem ecuația pătratică
6 t 2 - 13 t + 6 = 0 , ale căror rădăcini sunt egalet 1 =2/3 , t 2 =3/2. Deoarece nu se știe cine aleargă mai repede, luăm în considerare ambele cazuri.
A)t = => y= X. Înlocuiți y în a doua ecuație: Evident, aceasta nu este o soluție.
sarcini, pentru că împreună fac treaba în mai mult de 3 ore.
b) t=3/2 => y=3/2 X. Din a doua ecuație avem 1/X+2/3× 1/X\u003d 5 / 18. De aicix=6,y=9.
Sarcina 10. Apa intră în rezervor din două conducte de diametre diferite. În prima zi, ambele conducte, funcționând simultan, au dosat 14m 3 apă. În a doua zi a fost aprinsă doar trâmbița mică. Ea a depus 14 m 3 apă, după ce a lucrat cu 5 ore mai mult decât în prima zi. În a treia zi, lucrarea a continuat în același timp ca și în a doua, dar la început ambele conducte au funcționat, dând 21 m. 3 apă. Și apoi a funcționat doar o țeavă mare, dând încă 20 m 3 apă. Găsiți performanța fiecărei țevi.
Decizie. În această problemă, nu există un concept abstract de „volum al unui rezervor”, ci sunt indicate volume specifice de apă care curg prin conducte. Cu toate acestea, metodologia de rezolvare a problemei rămâne de fapt aceeași.
Lăsați țevile mai mici și mai mari să pompeze în 1 oră x și y m3 apă. Lucrând împreună, ambele conducte furnizează x + y m3 apă.
Prin urmare, în prima zi conductele au funcționat 14/(X+ y) ore. În a doua zi, țeava mică a mai funcționat cu 5 ore, adică 5+14/(X+ y) . Pentru asta
timp ea a depus 14 m 3
apă. De aici obținem prima ecuație 
14 sau 5+14/(X+
y)=14/
X. În a treia zi, ambele conducte au lucrat împreună21/(X+
y) ore si apoi teava mare a functionat 20/Xore. Timpul total al conductelor coincide cu timpul de funcționare a primei conducte în a doua zi, adică.
5+14/( X+ y) =21/( X+ y)+ 20/ X. Deoarece părțile stângi ale ecuației sunt egale, avem . Scăpând de numitori, obținem o ecuație omogenă 20X 2 +27 X y-14 y 2 =0. Împărțirea ecuației lay 2 și desemnândX/ y= t, avem 20t 2 +27 t-14=0. Din cele două rădăcini ale acestei ecuații pătratice (t 1 = , t 2 = ) după sensul problemei este numai potrivităt= . Prin urmare,X= y. ÎnlocuindXîn prima ecuație, găsimy=5. ApoiX=2.
Sarcină 11. Cele două echipaje, lucrând împreună, au săpat șanțul în două zile. După aceea, au început să sape un șanț de aceeași adâncime și lățime, dar de 5 ori mai lung decât primul. La început, a lucrat doar prima brigadă, apoi doar a doua brigadă, având lucrări de o ori și jumătate mai puține decât prima brigadă. Săpatul celui de-al doilea șanț a fost finalizat în 21 de zile. În câte zile i-ar trebui celei de-a doua echipe să sape primul șanț dacă se știe că volumul de muncă efectuat de prima echipă într-o zi este mai mare decât volumul de muncă realizat într-o zi de a doua echipă?
Decizie.Această problemă este mai convenabil de rezolvat dacă aduceți munca efectuată la aceeași scară. Dacă ambele echipaje ar fi săpat primul șanț, lucrând împreună, în 2 zile, atunci evident că ar fi săpat al doilea șanț (de cinci ori mai lung) în 10 zile. Lăsați prima brigadă să sape acest șanț în x zile, iar pe a doua în y, adică. în 1 zi primul ar fi săpat parte a șanțului, a doua - pentru 1/y , și împreună -1/X+1/ y parte a șanțului.
Atunci noi avem 
.
Brigăzile au lucrat separat la săpatul celui de-al doilea șanț. Dacă a doua echipă a completat domeniul de activitatem, apoi (după starea problemei) - prima brigadă .
La fel dem +
m
=
m
egală cu cantitatea de muncă luată ca unitate, atuncim
=
.
În consecință, brigada a doua a săpat
tranșee și a cheltuit pe el la zile. Prima brigadă a săpat
tranșee și cheltuite X
zile. Prin urmare avem 
sauX
=
35-
.
Înlocuind x în prima ecuație, ajungem la ecuația pătratică2 ani 2
- 95y +1050 = 0, ale cărui rădăcini vor fi y 1
=
și
la 2
= 30. Apoi, respectiv,X 1
=
și
X 2
=15.
Din starea problemei selectați-l pe cel de care aveți nevoie: y \u003d 30. Deoarece valoarea găsită se referă la al doilea șanț, primul șanț (de cinci ori mai scurt) ar fi fost săpat de a doua echipă în 6 zile.
Sarcină 12. Trei excavatoare au participat la săparea unei gropi cu un volum de 340 m 3 . Într-o oră, primul excavator scoate 40 m 3 lire sterline, al doilea - pe cu m 3 mai puțin decât primul, iar al treilea - cu 2 secunde mai mult decât primul. În primul rând, primul și al doilea excavator au lucrat simultan și au săpat 140 m 3 sol. Apoi, restul gropii a fost săpat, lucrând simultan, primul și al treilea excavator. Determinați valorile cu(0<с<15), la care groapa a fost săpată în 4 ore, dacă lucrarea a fost efectuată fără întrerupere.
Decizie. Din moment ce primul excavator scoate 40 m 3 sol pe oră, apoi al doilea - (40-s) m 3 , iar al treilea - (40 + 2s) m 3 lire pe oră. Lăsați primul și al doilea excavator să lucreze împreună timp de x ore. Apoi din starea problemei rezultă (40+40-s)x = 140 sau (80-s)x = 140. Dacă primul și al treilea excavator au lucrat împreună la ceas, atunci avem (40+40+2s) y = 340-140 sau (80 + 2s) y - 200. Deoarece timpul total de funcționare este de 4 ore, obținem următoarea ecuație pentru determinarea cu x + y \u003d 4 sau
Această ecuație este echivalentă cu ecuația pătraticăcu 2 -30s+ 200 =0, ale căror decizii vor fi 1 = 10 m 3 si cu 2 = 20m 3 . Numai în funcție de starea problemeila
c = 10 m 3 .
Sarcină 10. Fiecare dintre cei doi lucrători a fost desemnat să prelucreze același număr de piese. Primul a început imediat lucrarea și a finalizat-o în 8 ore, al doilea a petrecut la început mai mult de 2 ore la reglarea dispozitivului, apoi cu ajutorul lui a terminat lucrarea cu 3 ore mai devreme decât primul. Se știe că cel de-al doilea muncitor, la o oră de la începerea lucrului, a procesat atâtea detalii câte procesase primul muncitor până în acel moment. De câte ori dispozitivul crește productivitatea mașinii (adică, numărul de piese procesate pe oră de lucru)?
Decizie. Acesta este un exemplu de problemă în care nu trebuie găsite toate necunoscutele.
Să desemnăm timpul de instalare al mașinii de către cel de-al doilea lucrător ca x (prin condiția x>2). Să presupunem că a fost necesar să procesăm fiecarenDetalii.
Apoi primul lucrător pe oră procesează detalii, iar al doilea Detalii. Ambii muncitori au prelucrat același număr de piese la o oră de la începerea lucrărilor celui de-al doilea. Înseamnă că De aici obținem ecuația pentru determinarea x: X 2 -4x + 3-0 ale căror rădăcini sunt x 1 = 1 șiX 2 = 3. Pentru că
x > 2, atunci valoarea necesară este x = 3. Prin urmare, al doilea lucrător procesează pe oră Detalii. Pentru că primul muncitor pe oră procesează
piese, apoi de aici constatăm că dispozitivul crește productivitatea muncii în = de 4 ori.
Sarcină 1 3. Trei lucrători trebuie să facă un număr de piese. La început, un singur muncitor a început să lucreze, iar după un timp i s-a alăturat al doilea. Când s-a făcut 1/6 din toate piesele, a început să lucreze și al treilea muncitor. Au terminat lucrarea în același timp și fiecare a făcut același număr de piese. Cât timp a lucrat al treilea muncitor dacă se știe că a lucrat cu două ore mai puțin decât al doilea și că primul și al doilea, lucrând împreună, ar putea produce tot numărul necesar de piese cu 9 ore mai devreme decât ar fi făcut al treilea, lucrând separat ?
Decizie. Lăsați primul lucrător să lucreze x ore și al treilea muncitor x ore. Apoi al doilea muncitor a mai lucrat 2 ore, adică y + 2 ore. Fiecare dintre ele a făcut un număr egal de părți, adică 1/3 din toate părțile. În consecință, primul ar face toate detaliile în 3 ore, al doilea în 3 (y + 2) ore și al treilea în 3y ore. Prin urmare, primul produce într-o oră parte din toate detaliile, a doua - si al treilea - .
Din moment ce toți trei în timpul muncii lor comune au produs toate detaliile, apoi obținem prima ecuație (toate trei au lucrat împreună la ceas)
. (1)
Primul și al doilea, lucrând împreună, ar fi făcut toate piesele împreună cu 9 ore mai devreme decât ar fi făcut al treilea muncitor, lucrând singur. De aici obținem a doua ecuație
.
(2)
Aceste două ecuații sunt ușor reduse la un sistem echivalent
Exprimând din a doua ecuație x și substituind în prima ecuație, obținem y 3 -5 ani 2 - 32y - 36 = 0. Această ecuație este factorizată(y- 9) (y +2) 2 = 0.
Deoarece y > 0, atunci ecuația are o singură rădăcină dorită y \u003d 9.Răspuns:y = 9.
Sarcină 14. Apa intră uniform în groapă, 10 pompe identice, acționând simultan, pot pompa apa dintr-o groapă umplută în 12 ore și 15 astfel de pompe - în 6h.Cât timp pot funcționa împreună 25 de astfel de pompe pentru a pompa apa dintr-o groapă plină?
Decizie.Lăsați volumul gropiiVm 3 , iar performanța fiecărei pompe este x m 3 la ora unu. Apa curge în groapă continuu.T.k. valoarea încasării sale este necunoscută, atunci notăm cu y m 3 pe oră - volumul de apă care intră în groapă. Zece pompe se vor pompa în 12 ore X= 120x apă. Această cantitate de apă este egală cu volumul total al gropii și cu volumul apei care intră în groapă în 12 ore. Tot acest volum esteV+12 y. Echivalând aceste volume, facem prima ecuație 120x =V + 12 y .
În mod similar, se întocmește o ecuație pentru 15 astfel de pompe:15-6 X = V + 6 ysau 90X = V + 6 y. Din prima ecuație avem V = 120x - 12y. Înlocuind V în a doua ecuație, obținem y = 5x.
Perioada de timp în care vor funcționa 25 de astfel de pompe este necunoscută. Să o notăm print. Apoi, ținând cont de condițiile problemei, prin analogie compunem ultima ecuație. Avem 25tx=V+Multumesc. Înlocuind y și V în această ecuație, găsim 25tx= 120x -12 5x +t 5x sau 20tx= 60x. De aici ajungemt= 3 ore.Răspuns: timp de 3 ore.
Sarcină 15. Două echipe au lucrat împreună timp de 15 zile, apoi li s-a alăturat o a treia echipă, iar la 5 zile după aceea, toată munca a fost finalizată. Se știe că a doua brigadă produce cu 20% mai mult pe zi decât prima. A doua și a treia brigadă împreună ar putea face toată munca timpul necesar pentru finalizarea întregii lucrări de către prima și a treia echipă atunci când lucrează împreună. Cât timp ar dura toate cele trei echipe pentru a face toată munca, lucrând împreună?
Decizie. Toate lucrările, lucrând separat, să fie efectuate de prima, a doua și, respectiv, a treia echipă pentru x, y șizzile. Apoi, în ziua în care cântă parte a muncii. Transformând prima condiție a problemei într-o ecuație, presupunând că întreaga cantitate de muncă este egală cu unu, obținem
15 sau
(1)
20
.
Din moment ce a doua brigadă produce 120% din ceea ce face prima brigadă (cu 20% mai mult), avem sau . (2)
Brigada a doua și a treia ar face toată munca în 1/ zile, iar prima și a treia - pentru 1/ zile. Conform condiției, prima valoare este egală cu
(3)
Al doilea, adică 1/ . De aici obținem a treia ecuație .În problemă, este necesar să se determine timpul pentru finalizarea întregii lucrări în trei echipe care lucrează împreună, adică amploarea1/ .
Este evident că este mai convenabil să rezolvăm sistemul de ecuații (1)-(3) dacă introducem variabile noi: ,
Este necesar să găsiți valoarea
l/(u + v+ w) .Atunci avem un sistem echivalent
Rezolvând acest sistem liniar, găsim cu ușurințău= Atunci valoarea dorită este egală cu 1/ Asa deAstfel, lucrând împreună, toate cele trei echipe vor finaliza întreaga lucrare în 16 zile.
Răspuns: timp de 16 zile. Dacă productivitatea celei de-a doua fabrici s-ar dubla, atunci ar fi egală cu aproape toate tipurile de sarcini de performanță întâlnite.
Sarcini
Doi muncitori împreună pot finaliza unele lucrări în 10 zile. După 7 zile de lucru împreună, unul dintre ei s-a îmbolnăvit, iar celălalt a terminat treaba după ce a mai muncit încă 9 zile. Cate zilePoate fiecare muncitor să facă separat toată munca?
O serie de muncitori au finalizat lucrarea în câteva zile. Dacă numărul lucrătorilor este crescuttsya cu 3, atunci munca se va face cu 2 zile mai devreme, iar dacă numărul de lucrători crește cu 12, atunci cu 5 zile mai devreme. Determinați numărul de muncitori și timpul necesar pentru finalizarea acestei lucrări.
Două pompe de putere diferită, lucrând împreună, umplu piscina în 4 ore.Pentru a umple jumătate din piscină, prima pompă durează cu 4 ore mai mult decât a doua pompă pentru a umple trei sferturi din piscină. Cât durează fiecare pompă individuală pentru a umple piscina?
10. Nava este încărcată cu macarale. Mai întâi au lucrat 2 ore patru macarale de aceeași putere, apoi li s-au alăturat încă două macarale, dar de putere mai mică, iar după 3 ore s-a finalizat încărcarea. Dacă toate macaralele ar începe să funcționeze în același timp, atunci încărcarea ar fi muncă rămasă. Productivitatea celei de-a treia echipe este jumătate din suma productivității primei și a doua echipe. De câte ori este productivitatea brigăzii a doua mai mare decât productivitatea brigăzii a treia?
15. Două echipe de tencuitori, lucrând împreună, au tencuit o clădire de locuințe în 6 zile. Cu altă ocazie, au tencuit un club și au lucrat de trei ori mai mult pe tencuiala unui bloc. La început prima brigadă a lucrat în club, apoi a doua brigadă a înlocuit-o și a dus lucrarea până la capăt, iar prima brigadă a finalizat volumul de muncă de două ori mai mult decât a doua. Au tencuit clubul în 35 de zile. În câte zile ar putea prima brigadăsa fac turul unei cladiri de locuinte daca se stie ca a doua brigada ar petrece mai mult de 14 zile pe asta?
Cele două echipe au început să lucreze la ora 8. După ce au făcut împreună 72 de piese, au început să lucreze separat. La ora 15, s-a dovedit că în timpul lucrului separat prima brigadă a făcut cu 8 detalii mai multe decât a doua. A doua zi, prima brigadă a mai făcut o parte în 1 oră, iar a doua brigadă a făcut o parte mai puțin în 1 oră decât în prima zi. Lucrarea brigăzii a început împreună la ora 8 și, după ce au făcut 72 de părți, au început din nou să lucreze separat. Acum, în timpul lucrului separat, prima brigadă a făcut cu 8 piese mai mult decât a doua, până la ora 13:00.Câte piese pe oră făcea fiecare brigadă?
Trei lucrători trebuie să facă 80 de piese identice. Se știe că toate trei împreună fac 20 de părți într-o oră. Primul a început să lucreze primul.lucru. A făcut 20 de piese, petrecând mai mult de 3 ore la fabricarea lor. Restul lucrării a fost făcută împreună de al doilea și al treilea muncitor. Întreaga lucrare a durat 8 ore. Câte ore i-ar lua primul muncitor pentru a face toate cele 80 de piese?
Piscina se umple cu apă prin prima țeavă cu 5 ore mai repede decât prin a doua țeavă și cu 30 de ore mai repede decât prin a treia țeavă. Se știe că prcapacitatea de coborâre a celei de-a treia țevi este de 2,5 ori mai mică decât capacitatea de transport a primei țevi și 24 m 3 /h este mai mică decât capacitatea celei de-a doua țevi. Găsiți capacitatea primei și a treia țevi.
Cu două excavatoare, dintre care primul are o productivitate mai mică, au fost săpateexcavare de lucru în comun cu un volum de 240 m 3 . Apoi primul a început să sape al doilea șanț, iar al doilea a continuat să sape primul. La 7 ore de la începerea lucrărilor, volumul primei gropi a fost de 480 m 3 mai mult decât volumul celei de-a doua gropi. A doua zi, al doilea excavator și-a crescut productivitatea cu 10 m 3 / h, iar primul a scăzut cu 10 m 3 /h Mai întâi, împreună au săpat o groapă de 240 m 3 , după care primul a început să sape o altă groapă, iar al doilea a continuat să sape prima. Acum volumul primei gropi a devenit 480 m 3 mai mult decât volumul celei de-a doua gropi deja la 5 ore după începerea lucrărilor excavatoarelor. Cât pământ pe oră au excavat excavatoarele în prima zi de lucru?
Trei autovehicule transportă cereale, încărcându-se complet la fiecare călătorie. Pentru un zbor, prima și a doua mașină sunt transportate împreună6 tone de cereale, iar primul și al treilea împreună transportă aceeași cantitate de cereale în 2 zboruri ca și al doilea în 3 zboruri. Cât de mult cereale se transportă într-o singură călătorie cu al doilea vagon, dacă se știe că o anumită cantitate de cereale este transportată de al doilea și al treilea împreună, cufăcând de 3 ori mai puține călătorii decât ar fi nevoie de o a treia mașină pentru a transporta aceeași cantitate de cereale?
Două excavatoare de modele diferite trebuie să pună două șanțuri cu aceeași crucesecțiune clară cu o lungime de 960mi180 m. Întreaga lucrare a durat 22 de zile, timp în care primul excavator a așezat un șanț mare. Al doilea excavator a început să lucreze cu 6 zile mai târziu decât primul, a săpat un șanț mai mic, l-a reparat timp de 3 zile și apoi l-a ajutat pe primul. Dacă nu ar fi necesar să petreceți timp pentru reparații, atunci lucrarea ar fi terminată în 21 de zile. Câți metri de șanț poate săpa fiecare excavator pe zi?
Trei brigăzi au arat două câmpuri cu o suprafață totală de 120 de hectare. Primul câmp a fost arat în 3 zile, toate cele trei echipe lucrând împreună. Al doilea câmp a fost arat timp de 6 zile din primul și al doilea brigadas. Dacă toate cele trei echipe au lucrat pe al doilea teren timp de 1 zi, atunci prima echipă ar putea ară restul celui de-al doilea teren în 8 zile. Câte hectare pe zi a ara a doua brigadă?
Două conducte de diametru egal sunt conectate la două bazine(lafiecare bazin are propria conducta). Un anumit volum de apă a fost turnat prin prima țeavă în prima piscină, iar imediat după aceea, același volum de apă a fost turnat în al doilea bazin prin a doua țeavă și toate acestea au durat 16 ore.Dacă apa curgea prin prima. țeavă la fel de mult timp ca prin a doua, iar prin a doua - la fel de mult timp ca prin prima, apoi apa va fi turnată prin prima țeavă timp de 320 m 3 mai puțin decât al doilea. Daca prin primul ar trece 10 m 3 mai puțin, iar prin al doilea - cu 10 m 3 mai multă apă, atunci ar fi nevoie de 20 de ore pentru a turna volumele inițiale de apă în piscină (mai întâi în prima, apoi în a doua). Cât timp a trecut apa prin fiecare conductă?
Două convoai, formate din același număr de mașini, transportă mărfuri. În fiecare dintreVehiculele din apropiere au aceeași capacitate de transport și sunt încărcate complet în timpul călătoriilor. Capacitatea de transport a mașinilor în diferite coloane este diferită, iar pentru o călătorie primul convoi transportă cu 40 de tone mai multă marfă decât al doilea convoi. Dacă numărul de mașini din primul convoi este redus cu 2, iar în al doilea convoi - cu 10, atunci primul convoi va transporta 90 de tone de marfă într-o singură cursă, iar al doilea convoi va transporta 90 de tone de marfă în 3 curse. . Care este capacitatea de transport a vehiculelor celui de-al doilea convoi?
Un muncitor poate face un lot de piese în 12 ore.Un muncitor a început lucrul, altul i s-a alăturat o oră mai târziu, un al treilea o oră mai târziu, și așa mai departe, până la terminarea lucrării. Cât timp a lucrat primul muncitor? (Productivitatea muncii tuturor lucrătorilor este aceeași.)
O echipă de muncitori de aceeași calificare a trebuit să producă un lot de piese. PrimulLa început, un muncitor s-a pus pe treabă, o oră mai târziu i s-a alăturat al doilea, o oră mai târziu, un al treilea și tot așa, până când toată echipa a început să lucreze. Dacă toți membrii echipei ar fi lucrat de la bun început, munca ar fi fost finalizată cu 2 ore mai repede. Câți lucrători sunt în echipă?
Trei muncitori săpau un șanț. La început, primul muncitor lucra jumătate din timp, neocerut de ceilalți doi să sape întreg șanțul, apoi al doilea muncitor a lucrat jumătate din timpul necesar celorlalți doi să sape întreg șanțul și, în cele din urmă, al treilea muncitor a lucrat jumătate din timpul necesar celorlalți doi să sape întreg șanțul. Drept urmare, șanțul a fost săpat. De câte ori mai repede ar fi săpat șanțul dacă toți cei trei muncitori ar fi lucrat în același timp de la bun început?
