Subiectul numărul 2.

Conversia expresiilor algebrice

eu. Material teoretic

Noțiuni de bază

Expresie algebrică: întreg, fracționar, rațional, irațional.

Domeniul de aplicare, valorile valide ale expresiei.

Valoarea unei expresii algebrice.

Monom, polinom.

Formule de înmulțire prescurtate.

Factorizarea, încadrarea factorului comun.

Proprietatea de bază a fracției.

Grad, proprietăți ale gradului.

Kortym, proprietățile rădăcinilor.

Transformarea expresiilor raționale și iraționale.

O expresie compusă din numere și variabile folosind semnele adunării, scăderii, înmulțirii, împărțirii, ridicării la o putere rațională, extragerea rădăcinii și utilizarea parantezelor se numește algebric.

de exemplu: ;
;
;

;
;
;
.

Dacă o expresie algebrică nu conține divizarea în variabile și extragerea unei rădăcini din variabile (în special, exponențiarea cu un exponent fracționar), atunci se numește întreg.

de exemplu:
;
;
.

Dacă o expresie algebrică este compusă din numere și variabile folosind operațiile de adunare, scădere, înmulțire, exponențiere cu un exponent natural și împărțire și împărțire în expresii cu variabile, atunci se numește fracționat.

de exemplu:
;
.

Sunt numite expresii întregi și fracționale raţional expresii.

de exemplu: ;
;

.

Dacă o expresie algebrică folosește extragerea unei rădăcini din variabile (sau ridicarea variabilelor la o putere fracțională), atunci o astfel de expresie algebrică se numește iraţional.

de exemplu:
;
.

Se numesc valorile variabilelor pentru care expresia algebrică are sens valori variabile valide.

Se numește setul tuturor valorilor admisibile ale variabilelor domeniul definirii.

Domeniul unei întregi expresii algebrice este mulțimea numerelor reale.

Domeniul unei expresii algebrice fracționale este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția celor care transformă numitorul la zero.

de exemplu: are sens când
;

are sens când
, adică când
.

Domeniul unei expresii algebrice iraționale este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția celor care transformă în număr negativ expresia sub semnul rădăcinii unui grad par sau sub semnul ridicării la putere fracțională.

de exemplu:
are sens când
;

are sens când
, adică când
.

Se numește valoarea numerică obținută prin înlocuirea valorilor admisibile ale variabilelor într-o expresie algebrică valoarea expresiei algebrice.

de exemplu: expresie
la
,
ia valoare
.

Se numește o expresie algebrică care conține numai numere, puteri naturale ale variabilelor și produsele lor monom.

de exemplu:
;
;
.

Monomul, scris în primul rând ca produs al factorului numeric și al puterilor diferitelor variabile, se reduce la forma standard.

de exemplu:
;
.

Se numește factorul numeric al notației standard a unui monom coeficientul monomial. Se numește suma exponenților tuturor variabilelor gradul monomial.

Când înmulțim un monom cu un monom și ridicăm un monom la o putere naturală, obținem un monom, care trebuie redus la o formă standard.

Se numește suma monomiilor polinom.

de exemplu:
; ;
.

Dacă toți termenii polinomului sunt scriși în formă standard și se efectuează reducerea termenilor similari, atunci rezultatul polinom de formă standard.

de exemplu: .

Dacă există o singură variabilă în polinom, atunci se numește cel mai mare exponent al acestei variabile gradul polinom.

de exemplu: polinomul are gradul al cincilea.

Se numește valoarea unei variabile pentru care valoarea polinomului este zero rădăcină polinomială.

de exemplu: rădăcini polinomiale
sunt numerele 1,5 și 2.

Formule de înmulțire prescurtate

Cazuri speciale de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate

Diferența pătrată:
sau

Pătratul sumei:
sau

Pătratul diferenței:
sau

Suma cuburilor:
sau

Diferența de cuburi:
sau

Cub suma:
sau

Cubul de diferență:
sau

Transformarea unui polinom într-un produs al mai multor factori (polinoame sau monoame) se numește factorizarea unui polinom.

De exemplu:.

Metode de factorizare a unui polinom

de exemplu: .

Utilizarea formulelor de înmulțire scurtă.

de exemplu: .

Metoda de grupare. Legile comutative și asociative vă permit să grupați termenii unui polinom în diferite moduri. Una dintre modalități duce la faptul că aceeași expresie se obține între paranteze, care la rândul său este scoasă din paranteze.

De exemplu:.

Orice expresie algebrică fracțională poate fi scrisă ca un coeficient de două expresii raționale cu o variabilă la numitor.

de exemplu:
.

Se numește o fracție al cărei numărător și numitor sunt expresii raționale, iar numitorul conține o variabilă fracție rațională.

de exemplu:
;
;
.

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții raționale sunt înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, monom sau polinom, atunci valoarea fracției nu se va modifica. Această expresie se numește proprietatea de baza a fractiei:

.

Se numește acțiunea de împărțire a numărătorului și numitorului unei fracții la același număr reducerea fracției:

.

de exemplu:
;
.

Muncă n multiplicatori, fiecare dintre care este egal cu A, Unde A este o expresie algebrică arbitrară sau un număr real și n este un număr natural, se numește gradA :

.

Expresie algebrica A numit baza gradului, număr
n – indicator.

de exemplu:
.

Se presupune prin definiție că pentru orice A, diferit de zero:

și
.

În cazul în care un
, apoi
.

proprietăți de grad

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
.

În cazul în care un ,
, apoi expresia n-al cărui grad este egal cu A, se numește rădăcinăn gradul deA . Se face referire la el
. în care A numit expresie radicală, n numit indicator de rădăcină.

de exemplu:
;
;
.

Proprietăți rădăcinăngradul de a

1.
.

2.
,
.

3.
.

4.
.

5.
.

Generalizând conceptul de grad și rădăcină, obținem conceptul de grad cu un exponent rațional:

.

În special,
.

Acțiuni efectuate asupra rădăcinilor

de exemplu: .

II. Material practic

Exemple de îndeplinire a sarcinilor

Exemplul 1. Aflați valoarea unei fracții
.

Răspuns: .

Exemplul 2. Simplificați expresia
.

Să transformăm expresia din primele paranteze:

, dacă
.

Să transformăm expresia din a doua paranteză:

.

Împărțiți rezultatul din prima paranteză la rezultatul din a doua paranteză:

Răspuns:

Exemplul 3. Simplificați expresia:

.

Exemplul 4. Simplificați expresia.

Să convertim prima fracție:

.

Să transformăm a doua fracție:

.

Ca rezultat, obținem:
.

Exemplul 5 Simplificați expresia
.

Decizie. Să luăm măsuri:

1)
;

2)
;

3)
;

6)
;

Răspuns:
.

Exemplul 6 Dovediți identitatea
.

1)
;

2)
;

Exemplul 7 Simplificați expresia:

.

Decizie. Realizam actiunile:

;

2)
.

Exemplul 8 Dovediți identitatea
.

Decizie. Realizam actiunile:

1)
;

2)

;

3)
.

Sarcini pentru munca independenta

1. Simplificați expresia:

A)
;

b)
;

2. Scoateți în considerare:

A)
;

b)
;.Document

Subiect nr. 5.1. Ecuații trigonometrice I. Teoreticmaterial Concepte de bază Ecuație trigonometrică ... folosind diverse algebricşi formule trigonometrice şi transformări. II. Practic material Exemple de sarcini...

Material teoretic pentru grupuri externe și studenți de sesiune cuprins lecția 1 informatică lecția 2 informație

Lecţie

Teoreticmaterial pentru... , transformări, transfer și utilizare. Informația este cunoaștere pronunţat... și acumulat anterior, subiecte astfel, contribuind la progresiste... adevărul lor cu ajutorul algebric metode. Spune și pronunțări...

Tema „Dezvoltarea unui program de curs opțional ca parte a pregătirii pre-profil” Finalizat

Document

... teoretic studiu de fezabilitate a proiectului iunie-august 2005 3. Selectie material... arată aplicarea definiției modulului când transformarealgebricexpresii. Modul în Ecuații: - ... motivați elevul prin promovare subiecte cel mai mult, intraprofil...

Ajutor didactic

... Subiect 1. Identic transformărialgebricexpresii Subiect 2. Algebric teoreticmaterial

Și lui Kondaurova selectate capitole ale teoriei și metodelor de predare a matematicii educația matematică suplimentară a școlarilor

Ajutor didactic

... Subiect 1. Identic transformărialgebricexpresii(inclusiv utilizarea substituțiilor, conceptul de modul al unui număr). Subiect 2. Algebric... educatori. Prelegerile la distanță sunt teoreticmaterial care poate fi prezentat în...

Proprietățile de bază ale adunării și înmulțirii numerelor.

Proprietatea comutativă a adunării: atunci când termenii sunt rearanjați, valoarea sumei nu se modifică. Pentru orice numere a și b, egalitatea este adevărată

Proprietatea asociativă a adunării: pentru a adăuga un al treilea număr la suma a două numere, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea la primul număr. Pentru orice numere a, b și c egalitatea este adevărată

Proprietatea comutativă a înmulțirii: permutarea factorilor nu modifică valoarea produsului. Pentru orice numere a, b și c, egalitatea este adevărată

Proprietatea asociativă a înmulțirii: pentru a înmulți produsul a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți primul număr cu produsul celui de-al doilea și al treilea.

Pentru orice numere a, b și c, egalitatea este adevărată

Proprietate distributivă: Pentru a înmulți un număr cu o sumă, puteți înmulți acel număr cu fiecare termen și adăugați rezultatele. Pentru orice numere a, b și c egalitatea este adevărată

Din proprietățile comutative și asociative ale adunării rezultă că în orice sumă puteți rearanja termenii după cum doriți și îi puteți combina în grupuri într-un mod arbitrar.

Exemplul 1 Să calculăm suma 1,23+13,5+4,27.

Pentru a face acest lucru, este convenabil să combinați primul termen cu al treilea. Primim:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Din proprietățile comutative și asociative ale înmulțirii rezultă: în orice produs, puteți rearanja factorii în orice fel și îi puteți combina în mod arbitrar în grupuri.

Exemplul 2 Să aflăm valoarea produsului 1,8 0,25 64 0,5.

Combinând primul factor cu al patrulea și al doilea cu al treilea, vom avea:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Proprietatea de distribuție este valabilă și atunci când numărul este înmulțit cu suma a trei sau mai mulți termeni.

De exemplu, pentru orice numere a, b, c și d, egalitatea este adevărată

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Știm că scăderea poate fi înlocuită cu adunare prin adăugarea la minuend a numărului opus scăderii:

Acest lucru permite ca o expresie numerică de forma a-b să fie considerată suma numerelor a și -b, o expresie numerică de forma a + b-c-d să fie considerată suma numerelor a, b, -c, -d etc. proprietăţile considerate ale acţiunilor sunt valabile şi pentru asemenea sume.

Exemplul 3 Să ​​găsim valoarea expresiei 3,27-6,5-2,5+1,73.

Această expresie este suma numerelor 3,27, -6,5, -2,5 și 1,73. Aplicând proprietățile de adunare, obținem: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4.

Exemplul 4 Să calculăm produsul 36·().

Multiplicatorul poate fi considerat ca suma numerelor și -. Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, obținem:

36()=36-36=9-10=-1.

Identități

Definiție. Două expresii ale căror valori corespunzătoare sunt egale pentru orice valoare a variabilelor se spune a fi identic egale.

Definiție. O egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor se numește identitate.

Să găsim valorile expresiilor 3(x+y) și 3x+3y pentru x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Am obtinut acelasi rezultat. Din proprietatea distributivă rezultă că, în general, pentru orice valoare a variabilelor, valorile corespunzătoare ale expresiilor 3(x+y) și 3x+3y sunt egale.

Luați în considerare acum expresiile 2x+y și 2xy. Pentru x=1, y=2 ele iau valori egale:

Cu toate acestea, puteți specifica valorile x și y astfel încât valorile acestor expresii să nu fie egale. De exemplu, dacă x=3, y=4, atunci

Expresiile 3(x+y) și 3x+3y sunt identic egale, dar expresiile 2x+y și 2xy nu sunt identic egale.

Egalitatea 3(x+y)=x+3y, adevărată pentru orice valori ale lui x și y, este o identitate.

Egalitățile numerice adevărate sunt, de asemenea, considerate identități.

Deci, identitățile sunt egalități care exprimă principalele proprietăți ale acțiunilor asupra numerelor:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Alte exemple de identități pot fi date:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Transformări identitare ale expresiilor

Înlocuirea unei expresii cu alta, identic egală cu aceasta, se numește transformare identică sau pur și simplu transformare a unei expresii.

Transformările identice ale expresiilor cu variabile se realizează pe baza proprietăților operațiilor asupra numerelor.

Pentru a găsi valoarea expresiei xy-xz având în vedere valorile x, y, z, trebuie să efectuați trei pași. De exemplu, cu x=2,3, y=0,8, z=0,2 obținem:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Acest rezultat poate fi obținut în doar două etape, folosind expresia x(y-z), care este identic egală cu expresia xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Am simplificat calculele prin înlocuirea expresiei xy-xz cu expresia identic egală x(y-z).

Transformările de identitate ale expresiilor sunt utilizate pe scară largă în calcularea valorilor expresiilor și rezolvarea altor probleme. Au fost deja efectuate unele transformări identice, de exemplu, reducerea termenilor similari, deschiderea parantezelor. Amintiți-vă regulile pentru efectuarea acestor transformări:

pentru a aduce termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să înmulțiți rezultatul cu partea comună a literei;

dacă în fața parantezelor există un semn plus, atunci parantezele pot fi omise, păstrând semnul fiecărui termen cuprins între paranteze;

dacă există un semn minus înaintea parantezelor, atunci parantezele pot fi omise prin schimbarea semnului fiecărui termen cuprins între paranteze.

Exemplul 1 Să adăugăm termeni similari în suma 5x+2x-3x.

Folosim regula pentru reducerea termenilor similari:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Această transformare se bazează pe proprietatea distributivă a înmulțirii.

Exemplul 2 Să extindem parantezele din expresia 2a+(b-3c).

Aplicarea regulii de deschidere a parantezelor precedate de semnul plus:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Transformarea efectuată se bazează pe proprietatea asociativă a adunării.

Exemplul 3 Să ​​extindem parantezele din expresia a-(4b-c).

Să folosim regula pentru extinderea parantezelor precedate de semnul minus:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Transformarea efectuată se bazează pe proprietatea distributivă a înmulțirii și proprietatea asociativă a adunării. Să o arătăm. Să reprezentăm al doilea termen -(4b-c) din această expresie ca produs (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Aplicând aceste proprietăți ale acțiunilor, obținem:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Expresii numerice și algebrice. Conversia expresiei.

Ce este o expresie în matematică? De ce sunt necesare conversiile expresiilor?

Întrebarea, după cum se spune, este interesantă... Faptul este că aceste concepte stau la baza tuturor matematicii. Toată matematica constă din expresii și transformările lor. Nu foarte clar? Lasă-mă să explic.

Să presupunem că ai un exemplu rău. Foarte mare și foarte complex. Să zicem că ești bun la matematică și nu ți-e frică de nimic! Poti sa raspunzi imediat?

Va trebui decide acest exemplu. Secvenţial, pas cu pas, acest exemplu simplifica. După anumite reguli, desigur. Acestea. face conversia expresiei. Cât de bine realizați aceste transformări, deci sunteți puternic la matematică. Dacă nu știi să faci transformările corecte, la matematică nu poți face nimic...

Pentru a evita un viitor atât de incomod (sau prezent...), nu strica să înțelegeți acest subiect.)

Pentru început, să aflăm ce este o expresie în matematică. Ce expresie numerică si ce este expresie algebrica.

Ce este o expresie în matematică?

Exprimarea în matematică este un concept foarte larg. Aproape tot ceea ce ne ocupăm în matematică este un set de expresii matematice. Orice exemple, formule, fracții, ecuații și așa mai departe - toate constă în expresii matematice.

3+2 este o expresie matematică. c 2 - d 2 este și o expresie matematică. Și o fracție sănătoasă și chiar un număr - toate acestea sunt expresii matematice. Ecuația, de exemplu, este:

5x + 2 = 12

constă din două expresii matematice legate printr-un semn egal. O expresie este în stânga, cealaltă este în dreapta.

În termeni generali, termenul expresie matematică" este folosit, cel mai adesea, pentru a nu bolborosi. Te vor întreba ce este o fracție obișnuită, de exemplu? Și cum să răspunzi?!

Răspunsul 1: „Este... m-m-m-m... asa ceva... in care... Pot sa scriu mai bine o fractiune? Pe care o vrei?"

A doua opțiune de răspuns: „O fracțiune obișnuită este (cu bucurie și cu bucurie!) expresie matematică , care constă dintr-un numărător și un numitor!"

A doua opțiune este oarecum mai impresionantă, nu?)

În acest scop, sintagma „ expresie matematică „foarte bine. Atât corect, cât și solid. Dar pentru aplicare practică, trebuie să fii bine versat tipuri specifice de expresii în matematică .

Tipul specific este o altă problemă. Aceasta este cu totul altceva! Fiecare tip de expresie matematică are A mea un set de reguli și tehnici care trebuie utilizate în decizie. Pentru a lucra cu fracții - un set. Pentru lucrul cu expresii trigonometrice - al doilea. Pentru lucrul cu logaritmi - al treilea. etc. Undeva aceste reguli coincid, undeva diferă puternic. Dar nu vă temeți de aceste cuvinte groaznice. Logaritmi, trigonometrie și alte lucruri misterioase pe care le vom stăpâni în secțiunile relevante.

Aici vom stăpâni (sau - repetați, după cum doriți...) două tipuri principale de expresii matematice. Expresii numerice și expresii algebrice.

Expresii numerice.

Ce expresie numerică? Acesta este un concept foarte simplu. Numele însuși sugerează că aceasta este o expresie cu numere. Așa este. O expresie matematică formată din numere, paranteze și semne ale operațiilor aritmetice se numește expresie numerică.

7-3 este o expresie numerică.

(8+3.2) 5.4 este de asemenea o expresie numerică.

Și acest monstr:

tot o expresie numerică, da...

Un număr obișnuit, o fracție, orice exemplu de calcul fără x și alte litere - toate acestea sunt expresii numerice.

caracteristica principală numeric expresii din ea fara litere. Nici unul. Doar numere și pictograme matematice (dacă este necesar). E simplu, nu?

Și ce se poate face cu expresiile numerice? Expresiile numerice pot fi de obicei numărate. Pentru a face acest lucru, uneori trebuie să deschideți paranteze, să schimbați semnele, să prescurtați, să schimbați termeni - de ex. face conversii de expresie. Dar mai multe despre asta mai jos.

Aici ne vom ocupa de un caz atât de amuzant când cu o expresie numerică nu trebuie să faci nimic. Ei bine, nimic! Această operațiune frumoasă A nu face nimic)- se execută când expresia nu are sens.

Când nu are sens o expresie numerică?

Desigur, dacă vedem un fel de abracadabra în fața noastră, cum ar fi

atunci nu vom face nimic. Din moment ce nu este clar ce să faci cu el. Niște prostii. Cu excepția cazului în care, pentru a număra numărul de plusuri...

Dar în exterior există expresii destul de decente. De exemplu aceasta:

(2+3) : (16 - 2 8)

Cu toate acestea, această expresie este de asemenea nu are sens! Din simplul motiv că în a doua paranteză - dacă numărați - obțineți zero. Nu poți împărți la zero! Aceasta este o operație interzisă în matematică. Prin urmare, nici cu această expresie nu este nevoie să faceți nimic. Pentru orice sarcină cu o astfel de expresie, răspunsul va fi întotdeauna același: „Expresia nu are sens!”

Pentru a da un astfel de răspuns, desigur, a trebuit să calculez ce ar fi între paranteze. Și uneori între paranteze o astfel de răsucire... Ei bine, nu e nimic de făcut în privința asta.

Nu există atât de multe operații interzise în matematică. Există doar unul în acest thread. Impartirea cu zero. Interdicțiile suplimentare care apar în rădăcini și logaritmi sunt discutate în subiectele relevante.

Deci, o idee despre ceea ce este expresie numerică- a primit. concept expresia numerică nu are sens- realizat. Să mergem mai departe.

Expresii algebrice.

Dacă într-o expresie numerică apar litere, această expresie devine... Expresia devine... Da! Devine expresie algebrica. De exemplu:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Astfel de expresii se mai numesc expresii literale. Sau expresii cu variabile. Este practic același lucru. Expresie 5a +c, de exemplu - atât literal cât și algebric și expresie cu variabile.

concept expresie algebrica - mai larg decât numeric. Aceasta includeși toate expresiile numerice. Acestea. o expresie numerică este și o expresie algebrică, doar fără litere. Fiecare hering este un pește, dar nu orice pește este un hering...)

De ce literal- Este curat. Ei bine, din moment ce sunt litere... Expresie expresie cu variabile de asemenea, nu foarte perplex. Dacă înțelegi că numerele sunt ascunse sub litere. Tot felul de numere pot fi ascunse sub litere ... Și 5, și -18, și orice doriți. Adică o scrisoare poate a inlocui pentru numere diferite. De aceea se numesc literele variabile.

În expresie y+5, De exemplu, la- variabil. Sau doar spune " variabil", fără cuvântul „valoare”. Spre deosebire de cele cinci, care este o valoare constantă. Sau pur și simplu - constant.

Termen expresie algebricaînseamnă că pentru a lucra cu această expresie, trebuie să folosiți legile și regulile algebră. În cazul în care un aritmetic atunci funcționează cu numere specifice algebră- cu toate numerele deodată. Un exemplu simplu pentru clarificare.

În aritmetică, se poate scrie asta

Dar dacă scriem o egalitate similară prin expresii algebrice:

a + b = b + a

vom decide imediat toateîntrebări. Pentru toate numerele accident vascular cerebral. Pentru un număr infinit de lucruri. Pentru că sub litere Ași b subînțeles toate numerele. Și nu numai numere, ci chiar și alte expresii matematice. Așa funcționează algebra.

Când nu are sens o expresie algebrică?

Totul este clar despre expresia numerică. Nu poți împărți la zero. Și cu litere, este posibil să aflăm cu ce împărțim?!

Să luăm ca exemplu următoarea expresie variabilă:

2: (A - 5)

Are sens? Dar cine îl cunoaște? A- orice număr...

Oricare, orice... Dar există un singur sens A, pentru care această expresie exact nu are sens! Și care este acel număr? Da! Sunt 5! Dacă variabila Aînlocuiți (se spune - „înlocuitor”) cu numărul 5, între paranteze, zero va fi. care nu poate fi divizat. Deci, se dovedește că expresia noastră nu are sens, dacă a = 5. Dar pentru alte valori A are sens? Puteți înlocui alte numere?

Cu siguranță. În astfel de cazuri, se spune pur și simplu că expresia

2: (A - 5)

are sens pentru orice valoare A, cu excepția a = 5 .

Întregul set de numere poate sa substitut în expresia dată se numește interval valid această expresie.

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat. Ne uităm la expresia cu variabile și ne gândim: la ce valoare a variabilei se obține operația interzisă (diviziunea la zero)?

Și apoi asigurați-vă că vă uitați la întrebarea sarcinii. Ce intreaba ei?

nu are sens, valoarea noastră interzisă va fi răspunsul.

Dacă întreabă la ce valoare a variabilei expresia are sensul(simți diferența!), răspunsul va fi toate celelalte numere cu excepția celor interzise.

De ce avem nevoie de sensul expresiei? El este acolo, el nu este... Care este diferența?! Cert este că acest concept devine foarte important în liceu. Foarte important! Aceasta este baza unor astfel de concepte solide, cum ar fi domeniul de valori valide sau domeniul de aplicare al unei funcții. Fără aceasta, nu veți putea rezolva deloc ecuații sau inegalități serioase. Ca aceasta.

Conversia expresiei. Transformări de identitate.

Ne-am familiarizat cu expresiile numerice și algebrice. Înțelegeți ce înseamnă expresia „expresia nu are sens”. Acum trebuie să ne dăm seama ce conversia expresiei. Răspunsul este simplu, scandalos.) Aceasta este orice acțiune cu o expresie. Si asta e. Tu faci aceste transformări încă de la prima clasă.

Luați expresia numerică cool 3+5. Cum poate fi convertit? Da, foarte usor! Calculati:

Acest calcul va fi transformarea expresiei. Puteți scrie aceeași expresie într-un mod diferit:

Nu am numărat nimic aici. Doar scrieți expresia într-o formă diferită. Aceasta va fi, de asemenea, o transformare a expresiei. Se poate scrie asa:

Și aceasta este, de asemenea, transformarea unei expresii. Puteți face oricâte dintre aceste transformări doriți.

Orice acţiune asupra unei expresii orice scrierea lui într-o formă diferită se numește transformare de expresie. Și toate lucrurile. Totul este foarte simplu. Dar este un lucru aici regula foarte importanta. Atât de important încât poate fi apelat în siguranță regula principala toată matematica. Încălcarea acestei reguli inevitabil duce la erori. intelegem?)

Să presupunem că ne-am transformat expresia în mod arbitrar, astfel:

Transformare? Cu siguranță. Am scris expresia într-o formă diferită, ce este greșit aici?

Nu e așa.) Cert este că transformările "tot ceea ce" matematica nu este deloc interesată.) Toată matematica este construită pe transformări în care aspectul se schimbă, dar esența expresiei nu se schimbă. Trei plus cinci pot fi scrise în orice formă, dar trebuie să fie opt.

transformări, expresii care nu schimbă esența numit identic.

Exact transformări identiceși ne permite, pas cu pas, să transformăm un exemplu complex într-o expresie simplă, păstrând esența exemplului. Dacă greșim în lanțul transformărilor, vom face o transformare NU identică, atunci vom decide o alta exemplu. Cu alte răspunsuri care nu au legătură cu cele corecte.)

Aici este regula principală pentru rezolvarea oricăror sarcini: respectarea identității transformărilor.

Am dat un exemplu cu o expresie numerică 3 + 5 pentru claritate. În expresiile algebrice, transformările identice sunt date prin formule și reguli. Să presupunem că există o formulă în algebră:

a(b+c) = ab + ac

Deci, în orice exemplu, putem în loc de expresie a(b+c) simțiți-vă liber să scrieți o expresie ab+ac. Si invers. Aceasta este transformare identică. Matematica ne oferă posibilitatea de a alege dintre aceste două expresii. Și care să scrieți depinde de exemplul specific.

Alt exemplu. Una dintre cele mai importante și necesare transformări este proprietatea de bază a unei fracții. Puteți vedea mai multe detalii la link, dar aici reamintesc doar regula: dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite (împărțite) cu același număr sau cu o expresie care nu este egală cu zero, fracția nu se va modifica. Iată un exemplu de transformări identice pentru această proprietate:

După cum probabil ați ghicit, acest lanț poate fi continuat la nesfârșit...) O proprietate foarte importantă. Acesta vă permite să transformați tot felul de monștri exemplu în albi și pufosi.)

Există multe formule care definesc transformări identice. Dar cel mai important - o sumă destul de rezonabilă. Una dintre transformările de bază este factorizarea. Este folosit în toate matematicile - de la elementar la avansat. Să începem cu el. în lecția următoare.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

eu. Expresiile în care numerele, semnele operațiilor aritmetice și parantezele pot fi folosite împreună cu litere se numesc expresii algebrice.

Exemple de expresii algebrice:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Deoarece o literă dintr-o expresie algebrică poate fi înlocuită cu câteva numere diferite, litera se numește variabilă, iar expresia algebrică în sine este numită expresie cu o variabilă.

II. Dacă într-o expresie algebrică literele (variabilele) sunt înlocuite cu valorile lor și sunt efectuate acțiunile specificate, atunci numărul rezultat se numește valoarea expresiei algebrice.

Exemple. Găsiți valoarea unei expresii:

1) a + 2b -c pentru a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| la x = -8; y=-5; z = 6.

Decizie.

1) a + 2b -c pentru a = -2; b = 10; c = -3,5. În loc de variabile, le înlocuim valorile. Primim:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| la x = -8; y=-5; z = 6. Inlocuim valorile specificate. Amintiți-vă că modulul unui număr negativ este egal cu numărul său opus, iar modulul unui număr pozitiv este egal cu acest număr însuși. Primim:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Valorile unei litere (variabile) pentru care expresia algebrică are sens se numesc valori valide ale literei (variabilei).

Exemple. La ce valori ale variabilei expresia nu are sens?

Decizie.Știm că este imposibil de împărțit la zero, prin urmare, fiecare dintre aceste expresii nu va avea sens cu valoarea literei (variabilei) care transformă numitorul fracției la zero!

În exemplul 1), aceasta este valoarea a = 0. Într-adevăr, dacă în loc de a înlocuim 0, atunci numărul 6 va trebui împărțit la 0, dar acest lucru nu se poate face. Răspuns: expresia 1) nu are sens când a = 0.

În exemplul 2) numitorul x - 4 = 0 la x = 4, prin urmare, această valoare x = 4 și nu poate fi luată. Răspuns: expresia 2) nu are sens pentru x = 4.

În exemplul 3) numitorul este x + 2 = 0 pentru x = -2. Răspuns: expresia 3) nu are sens la x = -2.

În exemplul 4) numitorul este 5 -|x| = 0 pentru |x| = 5. Și din moment ce |5| = 5 și |-5| \u003d 5, atunci nu puteți lua x \u003d 5 și x \u003d -5. Răspuns: expresia 4) nu are sens pentru x = -5 și pentru x = 5.
IV. Se spune că două expresii sunt identice dacă, pentru orice valori admisibile ale variabilelor, valorile corespunzătoare ale acestor expresii sunt egale.

Exemplu: 5 (a - b) și 5a - 5b sunt identice, deoarece egalitatea 5 (a - b) = 5a - 5b va fi adevărată pentru orice valoare a și b. Egalitatea 5 (a - b) = 5a - 5b este o identitate.

Identitate este o egalitate care este valabilă pentru toate valorile admisibile ale variabilelor incluse în ea. Exemple de identități deja cunoscute de tine sunt, de exemplu, proprietățile de adunare și înmulțire, proprietatea de distribuție.

Înlocuirea unei expresii cu alta, identic egală cu aceasta, se numește transformare identică sau pur și simplu transformare a unei expresii. Transformările identice ale expresiilor cu variabile se realizează pe baza proprietăților operațiilor asupra numerelor.

Exemple.

A) convertiți expresia în egală identic folosind proprietatea distributivă a înmulțirii:

1) 10 (1,2x + 2,3y); 2) 1,5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Decizie. Reamintim proprietatea distributivă (legea) înmulțirii:

(a+b) c=a c+b c(legea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea: pentru a înmulți suma a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți fiecare termen cu acest număr și adăugați rezultatele).
(a-b) c=a c-b c(legea distributivă a înmulțirii în raport cu scăderea: pentru a înmulți diferența a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți cu acest număr redus și scăzut separat și scădeți al doilea din primul rezultat).

1) 10 (1,2x + 2,3y) \u003d 10 1,2x + 10 2,3y \u003d 12x + 23y.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) transformați expresia în identic egală folosind proprietățile comutative și asociative (legile) adunării:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Decizie. Aplicăm legile (proprietățile) adunării:

a+b=b+a(deplasare: suma nu se modifică din rearanjarea termenilor).
(a+b)+c=a+(b+c)(asociativ: pentru a adăuga un al treilea număr la suma a doi termeni, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea la primul număr).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.

în) transformați expresia în identic egală folosind proprietățile comutative și asociative (legile) înmulțirii:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 ani · (-unu); 9) 3a · (-3) · 2s.

Decizie. Să aplicăm legile (proprietățile) înmulțirii:

a b=b a(deplasare: permutarea factorilor nu modifică produsul).
(a b) c=a (b c)(combinativ: pentru a înmulți produsul a două numere cu un al treilea număr, puteți înmulți primul număr cu produsul celui de-al doilea și al treilea).

Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, sumele de monomii ocupă un loc important. Iată exemple de astfel de expresii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom sunt numiți membri ai polinomului. Mononoamele sunt denumite și polinoame, considerând un monom ca un polinom format dintr-un membru.

De exemplu, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
poate fi simplificat.

Reprezentăm toți termenii ca monomii ale formei standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Dăm termeni similari în polinomul rezultat:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatul este un polinom, toți membrii căruia sunt monomii ale formei standard, iar printre ele nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.

In spate gradul polinom forma standard ia cea mai mare dintre puterile membrilor săi. Deci, binomul \(12a^2b - 7b \) are al treilea grad, iar trinomul \(2b^2 -7b + 6 \) are al doilea.

De obicei, membrii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților acesteia. De exemplu:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Suma mai multor polinoame poate fi convertită (simplificată) într-o formă standard de polinom.

Uneori, membrii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece parantezele sunt opusul parantezelor, este ușor de formulat reguli de deschidere a parantezelor:

Dacă semnul + este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii încadrați între paranteze se scriu cu aceleași semne.

Dacă un semn „-” este plasat în fața parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.

Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom

Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, se poate transforma (simplifica) produsul dintre un monom și un polinom într-un polinom. De exemplu:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produsul unui monom și al unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.

Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.

Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțim acest monom cu fiecare dintre termenii polinomului.

Am folosit în mod repetat această regulă pentru înmulțirea cu o sumă.

Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame

În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.

Utilizați de obicei următoarea regulă.

Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.

Formule de înmulțire prescurtate. Sumă, diferență și pătrate diferențe

Unele expresii din transformările algebrice trebuie tratate mai des decât altele. Poate că cele mai comune expresii sunt \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) și \(a^2 - b^2 \), adică pătratul sumei, pătratul diferenței și pătratul diferenței. Ați observat că numele expresiilor indicate par a fi incomplete, deci, de exemplu, \((a + b)^2 \) este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu este atât de comun, de regulă, în loc de literele a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe.

Expresiile \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sunt ușor de convertit (simplificat) în polinoame de forma standard, de fapt, ați întâlnit deja o astfel de sarcină atunci când înmulțiți polinoame :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Identitățile rezultate sunt utile de reținut și aplicate fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - pătratul sumei este egal cu suma pătratelor și a produsului dublu.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - pătratul diferenței este suma pătratelor fără a dubla produsul.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.

Aceste trei identități permit transformărilor să înlocuiască părțile din stânga cu cele din dreapta și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru în acest caz este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți ce variabilele a și b sunt înlocuite în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.