Netezire mecanică bazată pe medii mobile

Metode de netezire a seriilor temporale

Foarte des, nivelurile seriilor temporale economice fluctuează. În același timp, tendința de dezvoltare a unui fenomen economic în timp este ascunsă de abateri aleatorii ale valorilor seriei într-o direcție sau alta. Pentru a identifica mai bine tendințele dezvoltarea procesului studiat efectuați netezirea (alinierea) serii temporale de indicatori economici. Esența diferitelor metode de netezire se rezumă la înlocuirea nivelurilor reale ale seriei temporale cu valori calculate, care sunt supuse fluctuațiilor într-o măsură mai mică. Acest lucru contribuie la o manifestare clară a tendinței.

Metodele de netezire a seriilor temporale sunt împărțite în două grupuri principale:

1) aliniere analitică folosind o curbă trasată între niveluri specifice ale seriei astfel încât să reflecte tendința inerentă seriei și, în același timp, să o elibereze de fluctuații minore;

2) alinierea mecanică niveluri individuale ale seriei de timp folosind valorile reale ale nivelurilor învecinate.

Esența metodelor de netezire analitică pe baza regulii matematice care prin oricare n puncte situate pe plan, este posibil să se tragă un minim polinom (n - 1) grad astfel încât să treacă prin toate punctele desemnate.

Esența metodelor mecanice de netezire constă în faptul că se iau mai multe niveluri ale unei serii de dinamici, formând un interval de netezire. Pentru ei, este selectat un polinom, al cărui grad ar trebui să fie mai mic decât numărul de niveluri incluse în intervalul de netezire. Folosind un polinom, se determină valorile netezite ale nivelurilor serie din mijlocul intervalului de netezire. Apoi, intervalul de netezire este deplasat înainte cu o observație, se calculează următoarea valoare netezită și așa mai departe.

Netezire mecanică bazată pe medii mobile

Cea mai simplă metodă de netezire mecanică este netezire medie mobilă simplă. Metoda se numește astfel deoarece se bazează pe calculul unei medii simple a mai multor niveluri ale seriei. Media simplă alunecă de-a lungul seriei temporale cu un pas egal cu perioada de observație.

Mai întâi pentru seria temporală YT se determină intervalul de netezire m, în plus m< n . Dacă este necesar să netezi micile fluctuații aleatorii, atunci intervalul de netezire este luat cât mai mare posibil; intervalul de netezire se reduce dacă este necesar să se păstreze fluctuaţii mai mici. Cu cât intervalul de netezire este mai larg, cu atât fluctuațiile se anulează reciproc, iar tendința de dezvoltare este mai lină. Cu cât fluctuațiile sunt mai puternice, cu atât intervalul de netezire ar trebui să fie mai larg. În aceleași condiții, se recomandă utilizarea unui interval de netezire de lungime impară. Pentru primul m nivelurile serii temporale, se calculează media lor aritmetică; aceasta va fi valoarea netezită a nivelului seriei care se află la mijlocul intervalului de netezire.

Pentru a calcula valorile netezite, se utilizează formula:

Unde m = 2 p + 1– intervalul de netezire al seriei temporale de lungime impară. Ca urmare a acestei proceduri, (n - m + 1)

Procedura de netezire poate fi aplicată și la un interval de netezire de lungime uniformă. Acest lucru este valabil mai ales pentru analiza și prognoza fenomenelor care au fluctuații sezoniere. La netezirea proceselor sezoniere, intervalul de netezire trebuie neapărat să fie egal cu lungimea valului sezonier. În caz contrar, va exista o distorsiune a componentelor seriilor de timp, în special a componentelor v t. În cazul în care se folosește un interval de netezire de lungime uniformă, de ex. m = 2p, se aplică formula:

(4.2).

Ca urmare a acestei proceduri, (n-m) niveluri netezite ale seriei.

Oricum primul si ultimul p valorile seriei nu sunt netezite. Valorile netezite pierdute ale nivelurilor seriei de timp sunt găsite utilizând câștigul absolut mediu găsit pentru primul și ultimul interval de netezire. Pentru a recupera observațiile pierdute la începutul seriei temporale, din prima valoare netezită se scade valoarea creșterii medii absolute găsite pentru primul interval de netezire. Se pare că valoarea netezită a nivelului seriei pt da y 1. Pentru a restabili observațiile pierdute la sfârșitul seriei de timp, la ultima valoare netezită se adaugă valoarea creșterii medii absolute găsite pentru ultimul interval de netezire. Se pare că valoarea netezită a nivelului seriei pt yn – p + 1. Apoi algoritmul se repetă până când se obține o valoare netezită. y n.

Un alt dezavantaj al metodei simple a mediei mobile este că poate fi folosit doar pentru serii cu tendință liniară. Dacă procesul se caracterizează printr-o dezvoltare neliniară și este necesar să se păstreze curbele tendinței, atunci utilizarea unei medii mobile simple este inadecvată, deoarece. acest lucru poate duce la distorsiuni semnificative. În astfel de cazuri, se utilizează metoda mediei mobile ponderate.

Metoda mediei mobile ponderate diferă de metoda mediei mobile simple prin aceea că nivelurile incluse în intervalul de netezire sunt însumate cu greutăți diferite. Acest lucru se datorează faptului că aproximarea seriei originale în intervalul de netezire se realizează folosind un polinom nu de gradul întâi, ca în metoda mediei mobile simple, ci de grad, începând cu al doilea. Se folosește formula medie aritmetică ponderată.

O analiză aprofundată a seriilor de timp necesită utilizarea unor metode mai complexe de statistică matematică. Dacă există o eroare aleatorie semnificativă (zgomot) în seria de timp, se utilizează una dintre cele două metode simple - netezirea sau nivelarea prin mărirea intervalelor și calcularea mediilor de grup. Această metodă vă permite să creșteți vizibilitatea seriei, dacă majoritatea componentelor „zgomote” sunt în interiorul intervalelor. Totuși, dacă „zgomotul” nu este în concordanță cu periodicitatea, distribuția nivelurilor de indicator devine aspră, ceea ce limitează posibilitatea unei analize detaliate a schimbării fenomenului în timp.

Se obțin caracteristici mai precise dacă se utilizează medii mobile - o metodă utilizată pe scară largă pentru netezirea indicatorilor seriei medii. Se bazează pe trecerea de la valorile inițiale ale seriei la valorile medii într-un anumit interval de timp. În acest caz, intervalul de timp în timpul calculului fiecărui indicator ulterior, așa cum ar fi, alunecă de-a lungul seriei temporale.

Utilizarea unei medii mobile este utilă atunci când tendințele serielor cronologice sunt incerte sau când valorile aberante ciclice (valori anormali sau intervenții) sunt puternic afectate.

Cu cât intervalul de netezire este mai mare, cu atât graficul cu medie mobilă arată mai neted. Atunci când se alege valoarea intervalului de netezire, este necesar să se pornească de la valoarea seriei dinamice și sensul semnificativ al dinamicii reflectate. O serie temporală mare cu un număr mare de puncte inițiale permite utilizarea unor intervale de timp de netezire mai mari (5, 7, 10 etc.). Dacă procedura medie mobilă este utilizată pentru a netezi o serie non-sezonieră, atunci cel mai adesea intervalul de netezire este luat egal cu 3 sau 5. https://tvoipolet.ru/iz-moskvi-v-nyu-jork/ - a mare oportunitate de a alege o companie aeriană pentru un zbor de la Moscova la New York

Să dăm un exemplu de calcul al numărului mediu mobil de ferme cu producții mari (mai mult de 30 kg/ha) (Tabelul 10.3).

Tabelul 10.3 Netezirea seriei temporale prin intervale grosiere și medie mobilă

Anul contabil	Numărul de ferme cu producții mari	Sume pe trei ani	Se rulează pe trei ani	medii mobile
			90,0	89,7
1984				88,7
				87,3
			87,3	87,0
				86,7
				83,0
			83,0	82,3
				82,3
				82,6
			82,7	82,7

Exemple de calcul a mediei mobile:

1982 (84 + 94 + 92) / 3 = 90,0;

1983 (94 + 92 + 83) / 3 = 89,7;

1984 (92 + 83 + 91) / 3 = 88,7;

1985 (83 + 91 + 88) / 3 = 87,3.

Se întocmește un orar. Pe axa absciselor sunt indicați anii, iar pe axa ordonatelor este indicat numărul de ferme cu producții mari. Pe grafic sunt indicate coordonatele numărului de ferme, iar punctele obținute sunt legate printr-o linie întreruptă. Apoi, coordonatele mediei mobile de-a lungul anilor sunt indicate pe diagramă, iar punctele sunt conectate printr-o linie netedă și îndrăzneață.

O metodă mai complexă și mai eficientă este netezirea (alinierea) seriilor de timp folosind diverse funcții de aproximare. Ele vă permit să formați un nivel neted al tendinței generale și al axei principale a dinamicii.

Cea mai eficientă metodă de netezire cu funcții matematice este netezirea exponențială simplă. Această metodă ia în considerare toate observațiile anterioare ale seriei conform formulei:

S t = α∙X t + (1 - α ) ∙S t - 1 ,

unde S t este fiecare nouă netezire la momentul t ; S t - 1 - valoare netezită la momentul anterior t -1; X t este valoarea reală a seriei la momentul t ; α - parametru de netezire.

Dacă α = 1, atunci observațiile anterioare sunt complet ignorate; când α = 0, observațiile curente sunt ignorate; valorile α între 0 și 1 dau rezultate intermediare. Prin modificarea valorilor acestui parametru, puteți alege cea mai acceptabilă opțiune de aliniere. Alegerea valorii optime a lui α se realizează prin analiza imaginilor grafice obținute ale curbelor originale și nivelate, sau luând în considerare suma erorilor (erorilor) pătrate a punctelor calculate. Utilizarea practică a acestei metode trebuie efectuată folosind un computer în programul MS Excel. Expresia matematică a modelelor de dinamică a datelor poate fi obținută folosind funcția de netezire exponențială.

16.02.15 Viktor Gavrilov

38133 0

O serie temporală este o succesiune de valori care se modifică în timp. Voi încerca să vorbesc despre câteva abordări simple, dar eficiente pentru a lucra cu astfel de secvențe în acest articol. Există o mulțime de exemple de astfel de date - cotații valutare, volume de vânzări, solicitări ale clienților, date din diverse științe aplicate (sociologie, meteorologie, geologie, observații în fizică) și multe altele.

Seriile sunt o formă comună și importantă de descriere a datelor, deoarece ne permit să observăm întreaga istorie a modificării valorii care ne interesează. Acest lucru ne oferă posibilitatea de a judeca comportamentul „tipic” al cantității și abaterile de la un astfel de comportament.

M-am confruntat cu sarcina de a alege un set de date pe care să fie posibil să demonstrez vizual caracteristicile seriei temporale. Am decis să folosesc statisticile internaționale de trafic de pasageri, deoarece acest set de date este destul de descriptiv și a devenit oarecum un standard (http://robjhyndman.com/tsdldata/data/airpass.dat, sursă Time Series Data Library, R. J. Hyndman). Seria descrie numărul de pasageri aerieni internaționali pe lună (în mii) din 1949 până în 1960.

Deoarece am mereu la îndemână, care are un instrument interesant "" pentru lucrul cu rânduri, îl voi folosi. Înainte de a importa date într-un fișier, trebuie să adăugați o coloană de dată, astfel încât valorile să fie legate de timp și o coloană cu numele seriei pentru fiecare observație. Mai jos puteți vedea cum arată fișierul meu sursă, pe care l-am importat în Platforma Prognoz folosind vrăjitorul de import direct din instrumentul de analiză a seriilor de timp.

Primul lucru pe care îl facem de obicei cu o serie de timp este să o reprezentam pe o diagramă. Platforma Prognoz vă permite să construiți un grafic prin simpla glisare și plasare a unei serii într-un registru de lucru.

Serii temporale pe diagramă

Simbolul „M” de la sfârșitul numelui seriei înseamnă că seria are o dinamică lunară (intervalul dintre observații este de o lună).

Deja din grafic, putem vedea că seria demonstrează două caracteristici:

• tendinţă- pe graficul nostru, aceasta este o creștere pe termen lung a valorilor observate. Se poate observa că tendința este aproape liniară.
• sezonalitate- pe grafic, acestea sunt fluctuații periodice ale valorii. În următorul articol despre seria de timp, vom învăța cum să calculăm perioada.

Seria noastră este destul de „îngrijită”, cu toate acestea, există adesea serii care, pe lângă cele două caracteristici descrise mai sus, demonstrează încă un lucru - prezența „zgomotului”, adică. variații aleatorii într-o formă sau alta. Un exemplu de astfel de serie poate fi văzut în graficul de mai jos. Acesta este un semnal sinusoidal amestecat cu o variabilă aleatorie.

Atunci când analizăm seriale, suntem interesați să identificăm structura acestora și să evaluăm toate componentele principale - tendință, sezonalitate, zgomot și alte caracteristici, precum și capacitatea de a face previziuni ale schimbărilor de amploare în perioadele viitoare.

Când lucrați cu seriale, prezența zgomotului îngreunează adesea analiza structurii seriei. Pentru a exclude influența acesteia și pentru a vedea mai bine structura seriei, puteți utiliza metodele de netezire a seriei.

Cea mai simplă metodă de netezire a seriei este media mobilă. Ideea este că pentru orice număr impar de puncte dintr-o succesiune serie, înlocuiți punctul central cu media aritmetică a punctelor rămase:

Unde x i- rândul original s i- rând netezit.

Mai jos puteți vedea rezultatul aplicării acestui algoritm celor două serii ale noastre. În mod implicit, Prognoz Platform sugerează utilizarea anti-aliasing cu o dimensiune a ferestrei de 5 puncte ( kîn formula noastră de mai sus va fi egal cu 2). Vă rugăm să rețineți că semnalul netezit nu mai este afectat de zgomot, dar odată cu zgomotul, desigur, dispar și câteva informații utile despre dinamica seriei. De asemenea, se poate observa că seriei netezite îi lipsește prima (și, de asemenea, ultima) k puncte. Acest lucru se datorează faptului că netezirea este efectuată pentru punctul central al ferestrei (în cazul nostru, pentru al treilea punct), după care fereastra este deplasată cu un punct, iar calculele sunt repetate. Pentru a doua serie, aleatorie, am folosit netezirea cu o fereastră egală cu 30 pentru a dezvălui mai bine structura seriei, deoarece seria este „de înaltă frecvență”, există o mulțime de puncte.

Metoda mediei mobile are anumite dezavantaje:

• Media mobilă este ineficientă în calcul. Pentru fiecare punct, media trebuie recalculată într-un mod nou. Nu putem reutiliza rezultatul calculat pentru punctul anterior.
• Media mobilă nu poate fi extinsă la primul și ultimul punct al seriei. Acest lucru poate cauza o problemă dacă suntem interesați exact de aceste puncte.
• Media mobilă nu este definită în afara seriei și, prin urmare, nu poate fi utilizată pentru prognoză.

Netezire exponențială

O metodă de netezire mai avansată care poate fi folosită și pentru predicție este netezirea exponențială, numită uneori și metoda Holt-Winters după numele creatorilor săi.

Există mai multe variante ale acestei metode:

• netezire unică pentru seriale care nu au tendință și sezonalitate;
• netezire dublă pentru seriale care au tendință, dar fără sezonalitate;
• netezire triplă pentru seriale care au atât tendințe, cât și sezonalitate.

Metoda de netezire exponențială calculează valorile seriei netezite prin actualizarea valorilor calculate în pasul anterior folosind informațiile din pasul curent. Informațiile de la pașii anteriori și actuali sunt preluate cu greutăți diferite care pot fi controlate.

În cea mai simplă versiune de netezire unică, raportul este:

Parametru α definește raportul dintre valoarea netejită la pasul curent și valoarea netezită din pasul precedent. La α =1 vom lua numai punctele seriei originale, i.e. nu va exista netezire. La α =0 seria, vom lua numai valorile netezite din pașii anteriori, adică. seria va deveni o constantă.

Pentru a înțelege de ce netezirea se numește exponențială, trebuie să extindem relația recursiv:

Se poate observa din relația că toate valorile anterioare ale seriei contribuie la valoarea netezită actuală, dar contribuția lor se estompează exponențial din cauza creșterii gradului parametrului α .

Cu toate acestea, dacă există o tendință în date, o simplă netezire va „rămîne în urmă” (sau va trebui să luați valori α aproape de 1, dar apoi netezirea va fi insuficientă). Trebuie să utilizați netezirea exponențială dublă.

Netezirea dublă folosește deja două ecuații - o ecuație evaluează tendința ca diferență între valorile netezite curente și anterioare, apoi netezește tendința cu o netezire simplă. A doua ecuație efectuează netezirea ca în cazul simplu, dar al doilea termen folosește suma valorii netezite anterioare și a tendinței.

Netezirea triplă include o altă componentă, sezonalitate și folosește o altă ecuație. În același timp, se disting două variante ale componentei sezoniere - aditivă și multiplicativă. În primul caz, amplitudinea componentei sezoniere este constantă și nu depinde de amplitudinea de bază a seriei în timp. În al doilea caz, amplitudinea se modifică odată cu modificarea amplitudinii de bază a seriei. Acesta este doar cazul nostru, așa cum se poate observa din grafic. Pe măsură ce seria crește, amplitudinea fluctuațiilor sezoniere crește.

Deoarece prima noastră serie are atât tendințe, cât și sezonalitate, am decis să ajustez parametrii de netezire triplă pentru aceasta. În Platforma Prognoz, acest lucru este destul de ușor de făcut, deoarece atunci când valoarea parametrului este actualizată, platforma redesenează imediat graficul seriei netezite și vizual puteți vedea imediat cât de bine descrie seria noastră originală. M-am stabilit pe următoarele valori:

Cum am calculat perioada, ne vom uita în următorul articol despre seriile de timp.

De obicei, valorile între 0,2 și 0,4 pot fi considerate ca prime aproximări. Platforma Prognoz folosește și un model cu un parametru suplimentar ɸ , care atenuează tendința astfel încât să se apropie de o constantă în viitor. Pentru ɸ Am luat valoarea 1, care corespunde modelului obișnuit.

Am făcut și o prognoză a valorilor seriei prin această metodă pentru ultimii 2 ani. În figura de mai jos, am marcat punctul de pornire al prognozei trasând o linie prin el. După cum puteți vedea, seria originală și cea netezită coincid destul de bine, inclusiv în perioada de prognoză - nu-i rău pentru o metodă atât de simplă!

Platforma Prognoz vă permite, de asemenea, să selectați automat valorile optime ale parametrilor utilizând o căutare sistematică în spațiul valorilor parametrilor și minimizând suma abaterilor pătrate ale seriei netezite față de original.

Metodele descrise sunt destul de simple, ușor de aplicat și un bun punct de plecare pentru analiza structurii și prognoza serii de timp.

Citiți mai multe despre serii cronologice în articolul următor.

Foarte des, nivelurile seriei de dinamică fluctuează, în timp ce tendința de dezvoltare a fenomenului în timp este ascunsă de abateri aleatorii ale nivelurilor într-o direcție sau alta. Pentru a identifica mai clar tendința de dezvoltare a procesului studiat, inclusiv pentru aplicarea ulterioară a metodelor de prognoză bazate pe modele de tendințe, netezire(aliniere) serii de timp.

Metodele de netezire a seriilor temporale sunt împărțite în două grupuri principale:

1. alinierea analitică folosind o curbă trasată între niveluri specifice ale seriei astfel încât să reflecte tendința inerentă seriei și, în același timp, să o elibereze de fluctuații minore;

2. alinierea mecanică a nivelurilor individuale ale seriei de timp folosind valorile reale ale nivelurilor învecinate.

Esența metodelor de netezire mecanică este următoarea. Se iau mai multe niveluri ale seriei temporale, formându-se interval de netezire. Pentru ei, este selectat un polinom, al cărui grad ar trebui să fie mai mic decât numărul de niveluri incluse în intervalul de netezire; folosind un polinom, se determină valori noi, aliniate ale nivelurilor din mijlocul intervalului de netezire. Apoi, intervalul de netezire este deplasat cu un nivel al seriei la dreapta, se calculează următoarea valoare netezită și așa mai departe.

Cea mai simplă metodă de netezire mecanică este metoda mediei mobile simple.

2.4.1.Metoda mediei mobile simple.

Mai întâi pentru seria temporală: se determină intervalul de netezire. Dacă este necesar să netezi micile fluctuații aleatorii, atunci intervalul de netezire este luat cât mai mare posibil; intervalul de netezire se reduce dacă este necesar să se păstreze fluctuaţii mai mici.

Pentru primele niveluri ale seriei se calculează media lor aritmetică. Aceasta va fi valoarea netezită a nivelului seriei care se află la mijlocul intervalului de netezire. Apoi intervalul de netezire este deplasat cu un nivel la dreapta, se repetă calculul mediei aritmetice și așa mai departe. Următoarea formulă este utilizată pentru a calcula nivelurile netezite ale seriei:

unde (pentru impar); pentru numerele pare, formula devine mai complicată.

În urma unei astfel de proceduri, se obțin valori netezite ale nivelurilor seriei; în acest caz, primul și ultimul nivel al seriei sunt pierdute (nu netezite). Un alt dezavantaj al metodei este că este aplicabilă numai serii cu tendință liniară.

2.4.2.Metoda mediei mobile ponderate.

Metoda mediei mobile ponderate diferă de metoda anterioară de netezire prin faptul că nivelurile incluse în intervalul de netezire sunt adăugate cu greutăți diferite. Acest lucru se datorează faptului că aproximarea seriei în intervalul de netezire se realizează folosind un polinom nu de gradul I, ca în cazul precedent, ci de grad începând de la al doilea.

Se utilizează formula mediei aritmetice ponderate:

,

unde ponderile sunt determinate folosind metoda celor mai mici pătrate. Aceste greutăți sunt calculate pentru diferite grade ale polinomului de aproximare și diferite intervale de netezire.

1. pentru polinoamele de ordinul doi și trei, succesiunea numerică de ponderi pentru intervalul de netezire are forma: , iar la are forma: ;

2. pentru polinoamele de gradul al patrulea și al cincilea și cu un interval de netezire, succesiunea greutăților este următoarea: .

Distribuția greutăților pe intervalul de netezire, obținută pe baza metodei celor mai mici pătrate, vezi diagrama 1.

2.4.3.Metoda de netezire exponențială.

Metoda de netezire exponențială aparține aceluiași grup de metode.

Particularitatea sa constă în faptul că, în procedura de găsire a nivelului netezit, sunt utilizate numai valorile nivelurilor anterioare ale seriei, luate cu o anumită pondere, iar ponderea observației scade pe măsură ce se îndepărtează de punct de timp pentru care se determină valoarea netezită a nivelului seriei.

Dacă pentru seria temporală originală

valorile netezite corespunzătoare sunt notate cu , apoi netezirea exponențială se efectuează conform formulei:

Unde parametru de netezire ; cantitatea se numeste factor de reducere.

Folosind relația de recurență dată pentru toate nivelurile seriei, începând de la primul și terminând cu momentul de timp , se poate obține că media exponențială, adică valoarea nivelului seriei netezit prin această metodă, este o medie ponderată a tuturor nivelurilor anterioare.

Netezirea seriilor temporale

netezirea seriilor temporale, acestea. Înlocuirea nivelurilor reale cu valori calculate care au o volatilitate mai mică decât datele originale este o metodă simplă de identificare a tendințelor. Transformarea corespunzătoare se numește filtrare.

Netezirea seriilor temporale se realizează în următoarele cazuri:

· În reprezentarea grafică a seriei temporale, tendința nu este clar vizibilă. Prin urmare, seria este netezită, valorile netezite sunt reprezentate pe grafic și, de regulă, tendința apare mai clar;

· Se aplică metode de analiză și prognoză, necesitând netezirea seriilor temporale ca precondiție;

La eliminarea observațiilor anormale;

· Cu prognoza directă a indicatorilor economici și prognozarea unei schimbări de trend - „puncte de cotitură”.

Metodele de netezire existente sunt împărțite în două grupuri:

1) Metode analitice. Pentru netezire, se utilizează o curbă care este trasată în raport cu valorile reale ale seriei, astfel încât să reflecte tendința inerentă seriei și, în același timp, să o elibereze de mici fluctuații nesemnificative. Astfel de curbe sunt numite și curbe de creștere, ele sunt folosite în principal pentru prognoza indicatorilor economici;

2) Metode de netezire mecanică. Fiecare nivel individual al seriei este netezit folosind valorile reale ale nivelurilor adiacente acestuia. Pentru a netezi seriile cronologice, se folosesc adesea metodele de netezire exponențială a mediei mobile simple și ponderate.

Metoda medie mobilă simplă include următorii pași:

1. Se determină numărul de observații incluse în intervalul de netezire. În acest caz, se folosește regula: dacă este necesară netezirea fluctuațiilor mici, haotice, atunci intervalul de netezire este luat cât mai mare posibil și, dimpotrivă, intervalul de netezire este redus atunci când este necesar să se păstreze unde mai mici și să se obțină scăpați de fluctuațiile repetate periodice care apar, de exemplu, din cauza autocorelațiilor de nivel.

2. Se calculează valoarea medie a observațiilor care formează intervalul de netezire, care este și valoarea de netezire a nivelului situat în centrul intervalului de netezire, cu condiția ca m să fie un număr impar, conform formulei.

unde m este numărul de observații incluse în intervalul de netezire; p este numărul de observații situate pe laturile opuse celei netezite.

Pentru m impar, valoarea parametrului p se calculează după cum urmează:

Prima observație netezită va fi t, unde t = p+1.

3. Intervalul de netezire este deplasat cu un termen la dreapta, iar valoarea netezită pentru observația (t + 1) -a se găsește folosind formula (1). Apoi schimbarea este efectuată din nou și așa mai departe.

Procedura continuă până când ultima observație a seriei temporale intră în intervalul de netezire.

Metoda mediei mobile simple poate fi utilizată dacă reprezentarea grafică a seriei seamănă cu o linie dreaptă.

În acest caz, dinamica de dezvoltare a procesului studiat nu este distorsionată. Cu toate acestea, atunci când tendința seriei de nivelat are curbe și, în plus, este de dorit să se păstreze valurile mici, nu este recomandabil să se folosească metoda mediei mobile simple pentru a netezi seria, deoarece în acest caz:

ambele linii convexe și concave sunt aliniate;

· are loc o deplasare a valului de-a lungul rândului;

· semnul undei se schimbă, i.e. pe curba care leagă punctele netezite, în loc de o secțiune convexă, se formează una concavă și invers. Acesta din urmă are loc atunci când intervalul de netezire este de o dată și jumătate lungimea de undă.

Astfel, dacă desfășurarea procesului este neliniară, atunci aplicarea metodei mediei mobile simple poate duce la distorsiuni semnificative ale procesului studiat.

În astfel de cazuri, este mai fiabil să folosiți alte metode de netezire, cum ar fi metoda mediei mobile ponderate.

Metoda mediei mobile ponderate diferă de precedentul prin aceea că netezirea în intervalul se realizează nu de-a lungul unei linii drepte, ci de-a lungul unei curbe de ordin superior. Acest lucru se datorează faptului că însumarea membrilor seriei incluși în intervalul de netezire se realizează cu anumite ponderi calculate folosind metoda celor mai mici pătrate.

Dacă netezirea este efectuată folosind un polinom (polinom) de ordinul doi și al treilea, atunci se iau următoarele ponderi

(-3; 12; 17; 12; - 3) pentru m=5;

(-2; 3; 6; 7; 3; - 2) pentru m=7.

Caracteristici la scară:

1) sunt simetrice față de elementul central;

2) suma greutăților, ținând cont de factorul comun, este egală cu unu.

Dezavantajul metodei: prima și ultima p observații ale seriei rămân neatenuate.

Calculul indicatorilor dinamicii proceselor economice

Calculul indicatorilor dinamicii proceselor economice este etapa finală a analizei preliminare a datelor.

Pentru a caracteriza dinamica modificărilor indicatorilor economici, se folosește adesea conceptul de autocorelare, care caracterizează nu numai interdependența nivelurilor aceleiași serii legate de diferite puncte de observație, ci și gradul de stabilitate al desfășurării procesului. în timp, valoarea perioadei optime de prognoză etc.

Gradul de strângere a relației statistice dintre nivelurile seriei de timp, deplasate cu f unități de timp, este determinat de valoarea coeficientului de corelație r(f). Deoarece r(φ) măsoară apropierea conexiunii dintre nivelurile aceleiași serii de timp, se numește în mod obișnuit coeficientul de autocorelație. În acest caz, f - lungimea deplasării temporale - se numește de obicei lag.

Coeficientul de autocorelare este calculat prin formula

Cu o lungime mare a seriei studiate, calculul coeficienților de autocorelare poate fi simplificat. Pentru aceasta, se constată abateri nu de la media seriei corelate, ci de la media totală a întregii serii. În acest caz

Ordinea coeficienților de autocorelare este determinată de decalajul de timp: ordinul întâi (la φ = 1), ordinul al doilea (la φ = 2), etc.

Secvența coeficienților de autocorelare a nivelurilor primului, al doilea și al ordinului următor se numește funcție de autocorelare. Ale căror valori pot varia de la -1 la +1, dar din staționaritate rezultă că r(f) = - r(f). Graficul unei funcții de autocorelare se numește corelogramă.

Analiza funcției de autocorelare și a corelogramei face posibilă determinarea decalajului la care autocorelația este cea mai mare, i.e. folosind analiza funcției de autocorelare și a corelogramei se poate dezvălui structura seriei.

Dacă coeficientul de autocorelare de ordinul 1 s-a dovedit a fi cel mai mare, seria studiată conține doar o tendință. Dacă coeficientul de autocorelare de ordinul φ s-a dovedit a fi cel mai mare, atunci seria conține oscilații ciclice cu o periodicitate de φ momente de timp. Dacă niciunul dintre coeficienții de autocorelare nu este semnificativ, atunci se poate face una dintre cele două ipoteze despre structura acestei serii: fie seria nu conține o tendință și fluctuații sezoniere, fie seria conține o tendință neliniară puternică, care necesită suplimentar analiza pentru a identifica. Prin urmare, este recomandabil să se utilizeze coeficientul de autocorelare de nivel și funcția de autocorelare pentru a identifica prezența sau absența componentei de tendință f(t) și a componentei sezoniere S(t) în seria temporală.