Fundamentele rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi (LNDE-2) cu coeficienți constanți (PC)
Un CLDE de ordinul doi cu coeficienți constanți $p$ și $q$ are forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, unde $f\left( x \right)$ este o funcție continuă.
Următoarele două afirmații sunt adevărate în ceea ce privește al 2-lea LNDE cu PC.
Să presupunem că o funcție $U$ este o soluție particulară arbitrară a unei ecuații diferențiale neomogene. Să presupunem, de asemenea, că o funcție $Y$ este o soluție generală (OR) a ecuației diferențiale liniare omogenă corespunzătoare (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Atunci OR al LNDE-2 este egal cu suma soluțiilor private și generale indicate, adică $y=U+Y$.
Dacă partea dreaptă a LIDE de ordinul 2 este suma funcțiilor, adică $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, apoi mai întâi puteți găsi PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ care corespund fiecărei dintre funcțiile $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ și după aceea scrieți LNDE-2 PD ca $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Soluție LNDE de ordinul 2 cu PC
În mod evident, forma unuia sau altuia PD $U$ a unui LNDE-2 dat depinde de forma specifică a părții sale din dreapta $f\left(x\right)$. Cele mai simple cazuri de căutare a PD a LNDE-2 sunt formulate ca următoarele patru reguli.
Regula numărul 1.
Partea dreaptă a LNDE-2 are forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, unde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, adică se numește polinom de grad $n$. Apoi PR $U$ este căutat sub forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, unde $Q_(n) \left(x\right)$ este un alt polinom de același grad ca $P_(n) \left(x\right)$ și $r$ este numărul de rădăcini zero ale ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare. Coeficienții polinomului $Q_(n) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda coeficienților nedeterminați (NC).
Regula numărul 2.
Partea dreaptă a LNDE-2 are forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, unde $P_(n) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $n$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, unde $Q_(n ) \ left(x\right)$ este un alt polinom de același grad cu $P_(n) \left(x\right)$ și $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare egal cu $\alpha $. Coeficienții polinomului $Q_(n) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda NK.
Regula numărul 3.
Partea din dreapta a LNDE-2 are forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, unde $a$, $b$ și $\beta $ sunt numere cunoscute. Apoi PD $U$ al acestuia este căutat sub forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) )\right )\cdot x^(r) $, unde $A$ și $B$ sunt coeficienți necunoscuți, iar $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice a LODE-2 corespunzătoare egal cu $i\cdot \beta $. Coeficienții $A$ și $B$ se găsesc prin metoda NDT.
Regula numărul 4.
Partea dreaptă a LNDE-2 are forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, unde $P_(n) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $ n$, iar $P_(m) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $m$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, unde $Q_(s) \left(x\right) $ și $ R_(s) \left(x\right)$ sunt polinoame de grad $s$, numărul $s$ este maximul a două numere $n$ și $m$ și $r$ este numărul de rădăcinile ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare, egale cu $\alpha +i\cdot \beta $. Coeficienții polinoamelor $Q_(s) \left(x\right)$ și $R_(s) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda NK.
Metoda NK constă în aplicarea următoarei reguli. Pentru a găsi coeficienții necunoscuți ai polinomului, care fac parte din soluția particulară a ecuației diferențiale neomogene LNDE-2, este necesar:
- înlocuiți PD $U$, scris în formă generală, în partea stângă a LNDE-2;
- în partea stângă a LNDE-2, efectuați simplificări și grupați termeni cu aceleași puteri $x$;
- în identitatea rezultată, echivalează coeficienții termenilor cu aceleași puteri $x$ ale părților stângă și dreaptă;
- rezolvați sistemul rezultat de ecuații liniare pentru coeficienți necunoscuți.
Exemplul 1
Sarcină: găsiți OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. De asemenea, găsiți PR , îndeplinind condițiile inițiale $y=6$ pentru $x=0$ și $y"=1$ pentru $x=0$.
Scrieți LODA-2 corespunzătoare: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Ecuația caracteristică: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Rădăcinile ecuației caracteristice: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Aceste rădăcini sunt reale și distincte. Astfel, OR-ul LODE-2 corespunzător are forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Partea dreaptă a acestui LNDE-2 are forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Este necesar să se ia în considerare coeficientul exponentului exponentului $\alpha =3$. Acest coeficient nu coincide cu niciuna dintre rădăcinile ecuației caracteristice. Prin urmare, PR-ul acestui LNDE-2 are forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Vom căuta coeficienții $A$, $B$ folosind metoda NK.
Găsim prima derivată a CR:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Găsim derivata a doua a CR:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Inlocuim functiile $U""$, $U"$ si $U$ in loc de $y""$, $y"$ si $y$ in LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ În același timp, deoarece exponentul $e^(3\cdot x) $ este inclus ca factor în toate componentele, atunci acesta poate fi omis.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Efectuăm acțiuni în partea stângă a egalității rezultate:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Folosim metoda NC. Obținem un sistem de ecuații liniare cu două necunoscute:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Soluția acestui sistem este: $A=-2$, $B=-1$.
CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ pentru problema noastră arată astfel: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.
SAU $y=Y+U$ pentru problema noastră arată astfel: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ stânga(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Pentru a căuta un PD care îndeplinește condițiile inițiale date, găsim derivata $y"$ SAU:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Inlocuim in $y$ si $y"$ conditiile initiale $y=6$ pentru $x=0$ si $y"=1$ pentru $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Avem un sistem de ecuații:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
O rezolvam. Găsim $C_(1) $ folosind formula lui Cramer, iar $C_(2) $ este determinat din prima ecuație:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ începe(matrice)(cc) (1) și (1) \\ (-3) și (6) \end (matrice)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Astfel, PD-ul acestei ecuații diferențiale este: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.
Instituția de învățământ „Statul Belarus
Academia Agricolă"
Catedra de Matematică Superioară
Instrucțiuni
privind studiul temei „Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi” de către studenții departamentului de contabilitate a formei de corespondență de învățământ (NISPO)
Gorki, 2013
Ecuații diferențiale liniare
ordinul doi cu constantăcoeficienți
Ecuații diferențiale liniare omogene
Ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți se numește ecuație de formă
acestea. o ecuație care conține funcția dorită și derivatele ei doar până la primul grad și nu conține produsele acestora. În această ecuație 
și 
sunt niște numere și funcția 
dat pe un anumit interval 
.
În cazul în care un 
pe interval 
, atunci ecuația (1) ia forma
,
(2)
și a sunat liniar omogen . În caz contrar, se numește ecuația (1). liniar neomogen .
Luați în considerare funcția complexă
,
(3)
Unde 
și 
sunt funcții reale. Dacă funcția (3) este o soluție complexă a ecuației (2), atunci partea reală 
, și partea imaginară 
solutii 
luate separat sunt soluții ale aceleiași ecuații omogene. Astfel, orice soluție complexă a ecuației (2) generează două soluții reale ale acestei ecuații.
Soluțiile unei ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:
În cazul în care un 
este o soluție a ecuației (2), apoi funcția 
, Unde DIN- o constantă arbitrară, va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2);
În cazul în care un 
și 
sunt soluții ale ecuației (2), apoi funcția 
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2);
În cazul în care un 
și 
sunt soluții ale ecuației (2), apoi combinația lor liniară 
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2), unde 
și 
sunt constante arbitrare.
Funcții 
și 
numit dependent liniar
pe interval 
dacă există astfel de numere 
și 
, care nu sunt egale cu zero în același timp, că pe acest interval egalitatea
Dacă egalitatea (4) este valabilă numai când 
și 
, apoi funcțiile 
și 
numit liniar independent
pe interval 
.
Exemplul 1
. Funcții 
și 
sunt liniar dependente, deoarece 
de-a lungul întregii drepte numerice. În acest exemplu 
.
Exemplul 2
. Funcții 
și 
sunt liniar independente pe orice interval, din moment ce egalitatea 
posibil numai dacă și 
, și 
.
Construirea unei soluții generale a unui omogen liniar
ecuații
Pentru a găsi o soluție generală a ecuației (2), trebuie să găsiți două dintre soluțiile sale liniar independente 
și 
. Combinație liniară a acestor soluții 
, Unde 
și 
sunt constante arbitrare și vor da soluția generală a unei ecuații liniare omogene.
Soluțiile liniar independente ale ecuației (2) vor fi căutate sub forma
,
(5)
Unde 
- un număr. Apoi 
,
. Să substituim aceste expresii în ecuația (2):
sau 
.
pentru că 
, apoi 
. Deci funcția 
va fi o soluție a ecuației (2) dacă 
va satisface ecuația
.
(6)
Ecuația (6) se numește ecuație caracteristică pentru ecuația (2). Această ecuație este o ecuație algebrică pătratică.
Lăsa 
și 
sunt rădăcinile acestei ecuații. Ele pot fi fie reale și diferite, fie complexe, fie reale și egale. Să luăm în considerare aceste cazuri.
Lasă rădăcinile 
și 
ecuațiile caracteristice sunt reale și distincte. Atunci soluțiile ecuației (2) vor fi funcțiile 
și 
. Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece egalitatea 
poate fi efectuat numai atunci când 
, și 
. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma
,
Unde 
și 
sunt constante arbitrare.
Exemplul 3
.
Soluţie
. Ecuația caracteristică pentru această diferență va fi 
. Rezolvând această ecuație pătratică, îi găsim rădăcinile 
și 
. Funcții 
și 
sunt soluții ale ecuației diferențiale. Soluția generală a acestei ecuații are forma 
.
număr complex 
se numește expresie a formei 
, Unde 
și 
sunt numere reale și 
se numește unitatea imaginară. În cazul în care un 
, apoi numărul 
se numește pur imaginar. Dacă 
, apoi numărul 
este identificat cu un număr real 
.
Număr 
se numește partea reală a numărului complex și 
- partea imaginară. Dacă două numere complexe diferă unul de celălalt doar prin semnul părții imaginare, atunci ele se numesc conjugate: 
,
.
Exemplul 4
. Rezolvați o ecuație pătratică 
.
Soluţie
. Ecuația discriminantă 
. Apoi. De asemenea, 
. Astfel, această ecuație pătratică are rădăcini complexe conjugate.
Fie rădăcinile ecuației caracteristice să fie complexe, i.e. 
,
, Unde 
. Soluțiile ecuației (2) pot fi scrise ca 
,
sau 
,
. Conform formulelor lui Euler
,
.
Apoi ,. După cum se știe, dacă o funcție complexă este o soluție a unei ecuații liniare omogene, atunci soluțiile acestei ecuații sunt atât părțile reale, cât și cele imaginare ale acestei funcții. Astfel, soluțiile ecuației (2) vor fi funcțiile 
și 
. De la egalitate
poate fi efectuat numai dacă 
și 
, atunci aceste soluții sunt liniar independente. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma
Unde 
și 
sunt constante arbitrare.
Exemplul 5
. Aflați soluția generală a ecuației diferențiale 
.
Soluţie
. Ecuația 
este caracteristic pentru diferenţialul dat. O rezolvăm și obținem rădăcini complexe 
,
. Funcții 
și 
sunt soluții liniar independente ale ecuației diferențiale. Soluția generală a acestei ecuații are forma.
Fie rădăcinile ecuației caracteristice să fie reale și egale, adică. 
. Atunci soluțiile ecuației (2) sunt funcțiile 
și 
. Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece expresia poate fi identic egală cu zero numai atunci când 
și 
. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma 
.
Exemplul 6
. Aflați soluția generală a ecuației diferențiale 
.
Soluţie
. Ecuație caracteristică 
are rădăcini egale 
. În acest caz, soluțiile liniar independente ale ecuației diferențiale sunt funcțiile 
și 
. Soluția generală are forma 
.
Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi neomogene cu coeficienți constanți
și partea dreaptă specială
Soluția generală a ecuației liniare neomogene (1) este egală cu suma soluției generale 
ecuația omogenă corespunzătoare și orice soluție particulară 
ecuație neomogenă: 
.
În unele cazuri, o anumită soluție a unei ecuații neomogene poate fi găsită destul de simplu prin forma părții drepte 
ecuațiile (1). Să luăm în considerare cazurile în care este posibil.
acestea. partea dreaptă a ecuației neomogene este un polinom de grad m. În cazul în care un 
nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, atunci o soluție particulară a ecuației neomogene ar trebui căutată sub forma unui polinom de grad m, adică
Cote 
sunt determinate în procesul de găsire a unei anumite soluții.
Dacă 
este rădăcina ecuației caracteristice, atunci o anumită soluție a ecuației neomogene trebuie căutată sub forma
Exemplul 7
. Aflați soluția generală a ecuației diferențiale 
.
Soluţie
. Ecuația omogenă corespunzătoare pentru această ecuație este 
. Ecuația sa caracteristică 
are rădăcini 
și 
. Soluția generală a ecuației omogene are forma 
.
pentru că 
nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, atunci vom căuta o soluție particulară a ecuației neomogene sub forma unei funcții 
. Găsiți derivatele acestei funcții 
,
și înlocuiți-le în această ecuație:
sau . Echivalează coeficienții la 
și membri gratuiti: 
Rezolvând acest sistem, obținem 
,
. Atunci o anumită soluție a ecuației neomogene are forma 
, iar soluția generală a acestei ecuații neomogene va fi suma soluției generale a ecuației omogene corespunzătoare și soluția particulară a celei neomogene: 
.
Fie ecuația neomogenă să aibă forma
În cazul în care un 
nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, atunci o soluție specială a ecuației neomogene ar trebui căutată în formă. Dacă 
este rădăcina ecuației de multiplicitate caracteristică k
(k=1 sau k=2), atunci în acest caz soluția particulară a ecuației neomogene va avea forma .
Exemplul 8
. Aflați soluția generală a ecuației diferențiale 
.
Soluţie
. Ecuația caracteristică pentru ecuația omogenă corespunzătoare are forma 
. rădăcinile sale 
,
. În acest caz, soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare se scrie ca 
.
Deoarece numărul 3 nu este rădăcina ecuației caracteristice, atunci ar trebui căutată o anumită soluție a ecuației neomogene sub forma 
. Să găsim derivate de ordinul întâi și al doilea:,
Înlocuiți în ecuația diferențială: 
+
+,
+,.
Echivalează coeficienții la 
și membri gratuiti:
De aici 
,
. Atunci o anumită soluție a acestei ecuații are forma 
, și soluția generală
.
Metoda Lagrange de variație a constantelor arbitrare
Metoda de variație a constantelor arbitrare poate fi aplicată oricărei ecuații liniare neomogene cu coeficienți constanți, indiferent de forma părții drepte. Această metodă face posibilă găsirea întotdeauna a unei soluții generale a unei ecuații neomogene dacă este cunoscută soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare.
Lăsa 
și 
sunt soluții liniar independente ale ecuației (2). Atunci soluția generală a acestei ecuații este 
, Unde 
și 
sunt constante arbitrare. Esența metodei de variație a constantelor arbitrare este că soluția generală a ecuației (1) este căutată sub forma
Unde 
și 
- noi caracteristici necunoscute de găsit. Deoarece există două funcții necunoscute, sunt necesare două ecuații care conțin aceste funcții pentru a le găsi. Aceste două ecuații alcătuiesc sistemul
care este un sistem algebric liniar de ecuații în raport cu 
și 
. Rezolvând acest sistem, găsim 
și 
. Integrând ambele părți ale egalităților obținute, găsim
și 
.
Înlocuind aceste expresii în (9), obținem soluția generală a ecuației liniare neomogene (1).
Exemplul 9
. Aflați soluția generală a ecuației diferențiale 
.
Soluţie.
Ecuația caracteristică pentru ecuația omogenă corespunzătoare ecuației diferențiale date este 
. Rădăcinile sale sunt complexe 
,
. pentru că 
și 
, apoi 
,
, iar soluția generală a ecuației omogene are forma Apoi se va căuta soluția generală a acestei ecuații neomogene sub forma unde 
și 
- funcții necunoscute.
Sistemul de ecuații pentru găsirea acestor funcții necunoscute are forma
Rezolvând acest sistem, găsim 
,
. Apoi
,
. Să substituim expresiile obținute în formula soluției generale:
Aceasta este soluția generală a acestei ecuații diferențiale obținute prin metoda Lagrange.
Întrebări pentru autocontrolul cunoștințelor
Ce ecuație diferențială se numește ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți?
Care ecuație diferențială liniară se numește omogenă și care dintre ele se numește neomogenă?
Care sunt proprietățile unei ecuații liniare omogene?
Ce ecuație se numește caracteristică pentru o ecuație diferențială liniară și cum se obține?
În ce formă este scrisă soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul diferitelor rădăcini ale ecuației caracteristice?
În ce formă se scrie soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul rădăcinilor egale ale ecuației caracteristice?
În ce formă se scrie soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți în cazul rădăcinilor complexe ale ecuației caracteristice?
Cum se scrie soluția generală a unei ecuații liniare neomogene?
În ce formă se caută o soluție particulară a unei ecuații liniare neomogene dacă rădăcinile ecuației caracteristice sunt diferite și nu sunt egale cu zero, iar partea dreaptă a ecuației este un polinom de grad m?
În ce formă se caută o soluție particulară a unei ecuații liniare neomogene dacă există un zero printre rădăcinile ecuației caracteristice, iar partea dreaptă a ecuației este un polinom de grad m?
Care este esența metodei Lagrange?
Acest articol dezvăluie problema rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. Teoria va fi luată în considerare împreună cu exemplele problemelor date. Pentru a descifra termeni de neînțeles, este necesar să ne referim la subiectul definițiilor și conceptelor de bază ale teoriei ecuațiilor diferențiale.
Luați în considerare o ecuație diferențială liniară (LDE) de ordinul doi cu coeficienți constanți de forma y "" + p y " + q y \u003d f (x) , unde p și q sunt numere arbitrare, iar funcția existentă f (x) este continuă pe intervalul de integrare x .
Să trecem la formularea teoremei soluției generale pentru LIDE.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Teorema soluției generale pentru LDNU
Teorema 1Soluția generală, situată pe intervalul x, a unei ecuații diferențiale neomogene de forma y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) cu coeficienți de integrare continuă pe intervalul x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) și o funcție continuă f (x) este egală cu suma soluției generale y 0 , care corespunde LODE și unei soluții particulare y ~ , unde ecuația neomogenă inițială este y = y 0 + y ~ .
Aceasta arată că soluția unei astfel de ecuații de ordinul doi are forma y = y 0 + y ~ . Algoritmul pentru găsirea y 0 este considerat în articolul despre ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. După aceea, ar trebui să trecem la definiția lui y ~ .
Alegerea unei anumite soluții pentru LIDE depinde de tipul funcției disponibile f (x) situată în partea dreaptă a ecuației. Pentru aceasta, este necesar să se ia în considerare separat soluțiile ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Când f (x) este considerat a fi un polinom de gradul al n-lea f (x) = P n (x) , rezultă că o anumită soluție a LIDE este găsită printr-o formulă de forma y ~ = Q n (x). ) x γ , unde Q n ( x) este un polinom de grad n, r este numărul de rădăcini zero ale ecuației caracteristice. Valoarea lui y ~ este o soluție particulară y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , apoi coeficienții disponibili, care sunt definiți de polinom
Q n (x) , găsim folosind metoda coeficienților nedeterminați din egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Exemplul 1
Calculați folosind teorema Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Soluţie
Cu alte cuvinte, este necesar să se treacă la o anumită soluție a unei ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți y "" - 2 y " = x 2 + 1 , care va îndeplini condițiile date y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Soluția generală a unei ecuații neomogene liniare este suma soluției generale care corespunde ecuației y 0 sau unei soluții particulare a ecuației neomogene y ~ , adică y = y 0 + y ~ .
Mai întâi, să găsim o soluție generală pentru LNDE și apoi una particulară.
Să trecem la găsirea y 0 . Scrierea ecuației caracteristice va ajuta la găsirea rădăcinilor. Înțelegem asta
k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2
Am descoperit că rădăcinile sunt diferite și reale. Prin urmare, scriem
y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.
Să găsim y ~ . Se poate observa că partea dreaptă a ecuației date este un polinom de gradul doi, atunci una dintre rădăcini este egală cu zero. De aici obținem că o soluție specială pentru y ~ va fi
y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, unde valorile A, B, C iau coeficienți nedefiniti.
Să le găsim dintr-o egalitate de forma y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Atunci obținem că:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Echivalând coeficienții cu aceiași exponenți x , obținem un sistem de expresii liniare - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Când rezolvăm în oricare dintre moduri, găsim coeficienții și scriem: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 și y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Această intrare se numește soluția generală a ecuației diferențiale neomogene liniare inițiale de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Pentru a găsi o anumită soluție care să îndeplinească condițiile y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , este necesar să se determine valorile C1și C2, pe baza unei egalități de forma y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Primim ca:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Lucrăm cu sistemul de ecuații rezultat de forma C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , unde C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .
Aplicând teorema Cauchy, avem asta
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Răspuns: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Când funcția f (x) este reprezentată ca produs al unui polinom cu gradul n și un exponent f (x) = P n (x) e a x , atunci de aici obținem că o anumită soluție a LIDE de ordinul doi va fi o ecuație de forma y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , unde Q n (x) este un polinom de gradul n, iar r este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice egal cu α .
Coeficienții aparținând lui Q n (x) se găsesc prin egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Exemplul 2
Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale de forma y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Soluţie
Ecuația generală y = y 0 + y ~ . Ecuația indicată corespunde LOD y "" - 2 y " = 0. Exemplul anterior arată că rădăcinile sale sunt k1 = 0şi k 2 = 2 şi y 0 = C 1 + C 2 e 2 x conform ecuaţiei caracteristice.
Se poate observa că partea dreaptă a ecuației este x 2 + 1 · e x . De aici, LNDE se găsește prin y ~ = e a x Q n (x) x γ , unde Q n (x) , care este un polinom de gradul doi, unde α = 1 și r = 0, deoarece ecuația caracteristică nu nu au rădăcină egală cu 1. Prin urmare, obținem asta
y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .
A, B, C sunt coeficienți necunoscuți, care pot fi găsiți prin egalitatea y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .
Am inteles
y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Echivalăm indicatorii pentru aceiași coeficienți și obținem un sistem de ecuații liniare. De aici găsim A, B, C:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Răspuns: se poate observa că y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 este o soluție particulară a LIDE și y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3
Când funcția este scrisă ca f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , și A 1și ÎN 1 sunt numere, atunci o ecuație de forma y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , unde A și B sunt considerați coeficienți nedeterminați, iar r numărul de rădăcini conjugate complexe aferente ecuației caracteristice, egal cu ± i β . În acest caz, căutarea coeficienților se realizează prin egalitatea y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Exemplul 3
Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale de forma y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Soluţie
Înainte de a scrie ecuația caracteristică, găsim y 0 . Apoi
k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i
Avem o pereche de rădăcini conjugate complexe. Să transformăm și să obținem:
y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Rădăcinile din ecuația caracteristică sunt considerate a fi o pereche conjugată ± 2 i , atunci f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Aceasta arată că căutarea pentru y ~ se va face din y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Necunoscute coeficienţii A şi B se vor căuta dintr-o egalitate de forma y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Să transformăm:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Atunci se vede ca
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)
Este necesar să se echivaleze coeficienții sinusurilor și cosinusurilor. Obținem un sistem de forma:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Rezultă că y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .
Răspuns: soluția generală a LIDE inițială de ordinul doi cu coeficienți constanți este considerată a fi
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
Când f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , atunci y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x) ) cos (β x) x γ Avem că r este numărul de perechi complexe de rădăcini conjugate legate de ecuația caracteristică, egal cu α ± i β , unde P n (x) , Q k (x) , L m ( x) și N m (x) sunt polinoame de gradul n, k, m, unde m = m a x (n, k). Găsirea coeficienților L m (x)și N m (x) se produce pe baza egalității y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Exemplul 4
Aflați soluția generală y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Soluţie
Din condiţia reiese clar că
α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1
Atunci m = m a x (n , k) = 1 . Găsim y 0 scriind mai întâi ecuația caracteristică de forma:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
Am descoperit că rădăcinile sunt reale și distincte. Prin urmare y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . În continuare, este necesar să se caute o soluție generală bazată pe o ecuație neomogenă y ~ de formă
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
Se știe că A, B, C sunt coeficienți, r = 0, deoarece nu există o pereche de rădăcini conjugate legate de ecuația caracteristică cu α ± i β = 3 ± 5 · i . Acești coeficienți se găsesc din egalitatea rezultată:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Găsirea termenilor derivati și similari dă
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))
După echivalarea coeficienților, obținem un sistem de forma
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
Din toate rezultă că
y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)păcat(5x))
Răspuns: acum s-a obținut soluția generală a ecuației liniare date:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Algoritm pentru rezolvarea LDNU
Definiția 1Orice alt tip de funcție f (x) pentru soluție oferă algoritmul de soluție:
- găsirea soluției generale a ecuației liniare omogene corespunzătoare, unde y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , unde y 1și y2 sunt soluții particulare liniar independente ale LODE, De la 1și De la 2 sunt considerate constante arbitrare;
- acceptarea ca soluție generală a LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- definirea derivatelor unei funcții printr-un sistem de forma C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x) ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) și găsirea funcțiilor C 1 (x)şi C2 (x) prin integrare.
Exemplul 5
Aflați soluția generală pentru y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .
Soluţie
Se trece la scrierea ecuației caracteristice, având scris anterior y 0 , y "" + 36 y = 0 . Să scriem și să rezolvăm:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)
Avem că înregistrarea soluției generale a ecuației date va lua forma y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Este necesar să trecem la definiția funcțiilor derivate C 1 (x)și C2(x) conform sistemului cu ecuații:
C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Trebuie luată o decizie cu privire la C 1 "(x)și C2" (x) folosind orice metodă. Apoi scriem:
C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Fiecare dintre ecuații trebuie să fie integrată. Apoi scriem ecuațiile rezultate:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4
Rezultă că soluția generală va avea forma:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Răspuns: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Am văzut că, în cazul în care se cunoaște soluția generală a unei ecuații liniare omogene, se poate găsi o soluție generală a unei ecuații neomogene prin metoda variației constantelor arbitrare. Cu toate acestea, întrebarea cum să găsiți soluția generală a ecuației omogene a rămas deschisă. Într-un caz particular, când în ecuația diferențială liniară (3) toți coeficienții p i(X)= un i - constante, se rezolvă destul de simplu, chiar și fără integrare.
Considerăm o ecuație diferențială liniară omogenă cu coeficienți constanți, adică ecuații de forma
y (n) + a 1 y (n – 1) + ... a n – 1 y " + a n y = 0, (14)
Unde un i- constante (i= 1, 2, ...,n).
După cum se știe, pentru o ecuație liniară omogenă de ordinul I, soluția este o funcție de forma e kx . Vom căuta o soluție pentru ecuația (14) sub forma j (X) = e kx.
Să substituim în ecuația (14) funcția j (X) și derivatele sale de ordin m (1 £ m£ n)j (m) (X) = k m e kx. obține
(k n + a 1 k n – 1 +… și n – 1 k + un n)e kx = 0,
dar e k x ¹ 0 pentru orice X, de aceea
k n + a 1 k n – 1 + ... a n – 1 k + a n = 0. (15)
Ecuația (15) se numește ecuație caracteristică, polinom din partea stângă,- polinom caracteristic , rădăcinile sale- rădăcini caracteristice ecuația diferențială (14).
Concluzie:
funcţiej (X) = e kx - rezolvarea ecuației liniare omogene (14) dacă și numai dacă numărul k - rădăcina ecuației caracteristice (15).
Astfel, procesul de rezolvare a ecuației liniare omogene (14) se reduce la rezolvarea ecuației algebrice (15).
Există diverse cazuri de rădăcini caracteristice.
1.Toate rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale și distincte.
În acest caz n diferite rădăcini caracteristice k 1 ,k 2 ,..., k n corespunde n diferite soluții ale ecuației omogene (14)
Se poate demonstra că aceste soluții sunt liniar independente și, prin urmare, formează un sistem fundamental de soluții. Astfel, soluția generală a ecuației este funcția
Unde DIN 1 , C 2 , ..., ~ n - constante arbitrare.
EXEMPLUL 7. Aflați soluția generală a ecuației liniare omogene:
A) la¢ ¢ (X) - 6la¢ (X) + 8la(X) = 0, b) la¢ ¢ ¢ (X) + 2la¢ ¢ (X) - 3la¢ (X) = 0.
Soluţie. Să facem o ecuație caracteristică. Pentru a face acest lucru, înlocuim derivata de ordin m funcții y(X) în gradul corespunzător
k(la (m) (X) « k m),
în timp ce funcția în sine la(X) deoarece derivata de ordinul zero este înlocuită cu k 0 = 1.
În cazul (a), ecuația caracteristică are forma k 2 - 6k + 8 = 0. Rădăcinile acestei ecuații pătratice k 1 = 2,k 2 = 4. Întrucât sunt reale și diferite, soluția generală are forma j (X)= C 1 e 2X + De la 2 e 4x.
Pentru cazul (b), ecuația caracteristică este ecuația de gradul trei k 3 + 2k 2 - 3k = 0. Găsiți rădăcinile acestei ecuații:
k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,
t . e . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.
Aceste rădăcini caracteristice corespund sistemului fundamental de soluții ale ecuației diferențiale:
j 1 (X)= e 0X = 1, j 2 (X) = e x, j 3 (X)= e - 3X .
Soluția generală, conform formulei (9), este funcția
j (X)= C 1 + C 2 e x + C 3 e - 3X .
II . Toate rădăcinile ecuației caracteristice sunt diferite, dar unele dintre ele sunt complexe.
Toți coeficienții ecuației diferențiale (14) și, în consecință, ai ecuației sale caracteristice (15)- numere reale, atunci dacă c printre rădăcinile caracteristice există o rădăcină complexă k 1 = a + ib, adică rădăcina sa conjugată k 2 = ` k 1 = a- ib.Prima rădăcină k 1 corespunde soluției ecuației diferențiale (14)
j 1 (X)= e (a+ib)X = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)
(am folosit formula lui Euler e i x = cosx + isinx). La fel, rădăcina k 2 = a- ib decizia corespunzătoare
j 2 (X)= e (a - -ib)X = e a x e - ib x= e ax(cosbx - isinbx).
Aceste soluții sunt complexe. Pentru a obține soluții reale din ele, folosim proprietățile soluțiilor unei ecuații liniare omogene (vezi 13.2). Funcții
sunt soluții reale ale ecuației (14). De asemenea, aceste soluții sunt liniar independente. Astfel, se poate trage următoarea concluzie.
Regula 1.O pereche de rădăcini complexe conjugate a± ib al ecuației caracteristice din FSR a ecuației liniare omogene (14) corespunde două soluții reale particulareși .
EXEMPLUL 8. Aflați soluția generală a ecuației:
A) la¢ ¢ (X) - 2la ¢ (X) + 5la(X) = 0 ;b) la¢ ¢ ¢ (X) - la¢ ¢ (X) + 4la ¢ (X) - 4la(X) = 0.
Soluţie. În cazul ecuației (a), rădăcinile ecuației caracteristice k 2 - 2k + 5 = 0 sunt două numere complexe conjugate
k 1, 2 = .
Prin urmare, conform regulii 1, ele corespund la două soluții reale liniar independente: și , iar soluția generală a ecuației este funcția
j (X)= C 1 e x cos 2x + C 2 e x sin 2X.
În cazul (b), pentru a găsi rădăcinile ecuației caracteristice k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0, factorizăm partea stângă:
k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.
Prin urmare, avem trei rădăcini caracteristice: k 1 = 1,k2 , 3 = ± 2i. Cornu k 1 decizia corespunzătoare , și o pereche de rădăcini complexe conjugate k 2, 3 = ± 2i = 0 ± 2i- două soluţii reale: şi . Compunem soluția generală a ecuației:
j (X)= C 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 păcat 2X.
III . Printre rădăcinile ecuației caracteristice există multipli.
Lăsa k 1 - adevărată rădăcină a multiplicității m ecuația caracteristică (15), adică printre rădăcini există m rădăcini egale. Fiecare dintre ele corespunde aceleiași soluții a ecuației diferențiale (14) Cu toate acestea, includeți m soluții egale în FSR sunt imposibile, deoarece ele constituie un sistem de funcții dependent liniar.
Se poate arăta că în cazul unei rădăcini multiple k 1 soluțiile ecuației (14), pe lângă funcție, sunt și funcțiile
Funcțiile sunt liniar independente pe întreaga axă a numerelor, deoarece , adică pot fi incluse în FSR.
Regula 2 rădăcină caracteristică reală k 1 multiplicităţile mîn FSR corespunde m solutii:
În cazul în care un k 1 - rădăcină complexă a multiplicității m ecuația caracteristică (15), atunci există o rădăcină conjugată k 1 multiplicităţile m. Prin analogie, obținem următoarea regulă.
Regula 3. O pereche de rădăcini complexe conjugate a± ib în FSR corespunde la 2m soluții reale independente liniar:
, , ..., ,
, , ..., .
EXEMPLUL 9. Aflați soluția generală a ecuației:
A) la¢ ¢ ¢ (X) + 3la¢ ¢ (X) + 3la¢ (X)+ y ( X)= 0;b) IV(X) + 6la¢ ¢ (X) + 9la(X) = 0.
Soluţie. În cazul (a), ecuația caracteristică are forma
k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0
(k + 1) 3 = 0,
adică k =- 1 - rădăcina multiplicității 3. Pe baza regulii 2 scriem soluția generală:
j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 X 2 .
Ecuația caracteristică în cazul (b) este ecuația
k 4 + 6k 2 + 9 = 0
sau altfel,
(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± eu .
Avem o pereche de rădăcini complexe conjugate, fiecare cu multiplicitate 2. Conform regulii 3, soluția generală se scrie ca
j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 + C 4 X .
Din cele de mai sus rezultă că pentru orice ecuație liniară omogenă cu coeficienți constanți, se poate găsi un sistem fundamental de soluții și se poate forma o soluție generală. Prin urmare, soluția ecuației neomogene corespunzătoare pentru orice funcție continuă f(X) din partea dreaptă poate fi găsită folosind metoda de variație a constantelor arbitrare (vezi Secțiunea 5.3).
Exemplul r10 Folosind metoda variației, găsiți soluția generală a ecuației neomogene la¢ ¢ (X) - la¢ (X) - 6la(X) = x e 2X .
Soluţie. În primul rând, găsim soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare la¢ ¢ (X) - la¢ (X) - 6la(X) = 0. Rădăcinile ecuației caracteristice k 2 - k- 6 = 0 sunt k 1 = 3,k 2 = - 2, a soluția generală a ecuației omogene - funcţie ` la ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .
Vom căuta o soluție la ecuația neomogenă în formă
la( X) = DIN 1 (X)e 3X + C 2 (X)e 2X . (*)
Să găsim determinantul Vronsky
W[e 3X , e 2X ] = .
Să compunem sistemul de ecuații (12) în raport cu derivatele funcțiilor necunoscute DIN ¢ 1 (X) și DIN¢ 2 (X):
Rezolvând sistemul folosind formulele lui Cramer, obținem
Integrarea, găsim DIN 1 (X) și DIN 2 (X):
Funcții de înlocuire DIN 1 (X) și DIN 2 (X) în egalitate (*), obținem soluția generală a ecuației la¢ ¢ (X) - la¢ (X) - 6la(X) = x e 2X :
În cazul în care partea dreaptă a unei ecuații liniare neomogene cu coeficienți constanți are o formă specială, o soluție particulară a ecuației neomogene poate fi găsită fără a recurge la metoda de variație a constantelor arbitrare.
Luați în considerare ecuația cu coeficienți constanți
y (n) + a 1 y (n– 1) + ... a n – 1 y " + a n y = f (X), (16)
f( X) = etopor(P n(X)cosbx + Rm(X)sinbx), (17)
Unde P n(X) și R m(X) - polinoame de grad n și m respectiv.
Soluție privată y*(X) din ecuația (16) este determinată de formula
la* (X) = x se topor(Domnul(X)cosbx + Nr(X)sinbx), (18)
Unde Domnul(X) și Nr(X) - polinoame de grad r = max(n, m) cu coeficienți nedeterminați , A s egal cu multiplicitatea rădăcinii k 0 = a + ib polinomul caracteristic ecuației (16), în timp ce se presupune s= 0 dacă k 0 nu este o rădăcină caracteristică.
Pentru a formula o anumită soluție folosind formula (18), trebuie să găsim patru parametri - a, b, rși s. Primele trei sunt determinate din partea dreaptă a ecuației, cu r- este de fapt cel mai înalt X găsit pe partea dreaptă. Parametru s se găsește comparând numărul k 0 = a + ibși ansamblul tuturor (ținând cont de multiplicitățile) rădăcinilor caracteristice ale ecuației (16) care se găsesc în rezolvarea ecuației omogene corespunzătoare.
Să luăm în considerare cazuri particulare ale formei funcției (17):
1) la A ¹ 0, b= 0f(X)= e ax P n(X);
2) când A= 0, b ¹ 0f(X)= P n(X) Cuosbx + Rm(X)sinbx;
3) când A = 0, b = 0f(X)=Pn(X).
Observație 1. Dacă P n (x) º 0 sau R m (x)º 0, atunci partea dreaptă a ecuației f(x) = e ax P n (x)с osbx sau f(x) = e ax R m (x)sinbx, adică conține doar una dintre funcții - cosinus sau sinus. Dar în notarea unei anumite soluții, ambele trebuie să fie prezente, deoarece, conform formulei (18), fiecare dintre ele este înmulțit cu un polinom cu coeficienți nedeterminați de același grad r = max(n, m).
Exemplul 11. Determinați forma unei anumite soluții a unei ecuații liniare omogene de ordinul al 4-lea cu coeficienți constanți, dacă partea dreaptă a ecuației este cunoscută f(X) = e x(2xcos 3x +(X 2 + 1)păcat 3X) și rădăcinile ecuației caracteristice:
A ) k 1 = k 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;
b ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = ± 1;
în ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = 1 ± 3i.
Soluţie. În partea dreaptă, găsim asta în soluția specială la*(X), care este determinat de formula (18), parametri: A= 1, b= 3, r= 2. Ele rămân aceleași pentru toate cele trei cazuri, de unde și numărul k 0 , care specifică ultimul parametru s formula (18) este egală cu k 0 = 1+ 3i. În cazul (a) nu există un număr între rădăcinile caracteristice k 0 = 1 + 3eu, mijloace, s= 0, iar soluția particulară are forma
y*(X) = X 0 e x(M 2 (X)cos 3x + N 2 (X)păcat 3X) =
= eX( (Topor 2 + Bx + C)cos 3x +(A 1 X 2 + B 1 x + C 1)păcat 3X.
În cazul (b) numărul k 0 = 1 + 3i apare o singură dată printre rădăcinile caracteristice, ceea ce înseamnă că s= 1 și
y*(X) = x e x((Topor 2 + Bx + C)cos 3x +(A 1 X 2 + B 1 x + C 1)păcat 3X.
Pentru cazul (c) avem s= 2 și
y*(X) = x 2 e x((Topor 2 + Bx + C)cos 3x +(A 1 X 2 + B 1 x + C 1)păcat 3X.
În exemplul 11, există două polinoame de gradul 2 cu coeficienți nedeterminați în înregistrarea soluției particulare. Pentru a găsi o soluție, trebuie să determinați valorile numerice ale acestor coeficienți. Să formulăm o regulă generală.
Pentru a determina coeficienții necunoscuți ai polinoamelor Domnul(X) și Nr(X) egalitatea (17) se diferențiază de numărul necesar de ori, funcția este înlocuită y*(X) și derivatele sale în ecuația (16). Comparând părțile din stânga și dreapta, se obține un sistem de ecuații algebrice pentru găsirea coeficienților.
Exemplul 12. Găsiți o soluție a ecuației la¢ ¢ (X) - la¢ (X) - 6la(X) = xe 2X, după ce s-a determinat o soluție particulară a ecuației neomogene prin forma părții drepte.
Soluţie. Soluția generală a ecuației neomogene are forma
la( X) = ` la(X)+ y*(X),
Unde ` la ( X) - soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare și y*(X) - o soluție particulară a unei ecuații neomogene.
Mai întâi rezolvăm ecuația omogenă la¢ ¢ (X) - la¢ (X) - 6la(X) = 0. Ecuația sa caracteristică k 2 - k- 6 = 0 are două rădăcini k 1 = 3,k 2 = - 2, Prin urmare, ` la ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .
Folosim formula (18) pentru a determina tipul de soluție particulară la*(X). Funcţie f(X) = xe 2X este un caz special (a) al formulei (17), în timp ce a = 2,b= 0 și r= 1, adică k 0 = 2 + 0i = 2. Comparând cu rădăcinile caracteristice, concluzionăm că s= 0. Înlocuind valorile tuturor parametrilor în formula (18), avem y*(X) = (Ah + B)e 2X .
Pentru a găsi valori DARși LA, găsiți derivatele primului și al doilea ordin al funcției y*(X) = (Ah + B)e 2X :
y*¢ (X)= Ae 2X + 2(Ah + B)e 2X = (2Ah + A + 2B)e 2x,
y*¢ ¢ (X) = 2Ae 2X + 2(2Ah + A + 2B)e 2X = (4Ah + 4A+ 4B)e 2X .
După înlocuirea funcţiei y*(X) și derivatele sale în ecuația pe care o avem
(4Ah + 4A+ 4B)e 2X - (2Ah + A + 2B)e 2X - 6(Ah + B)e 2X =xe 2X Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.
Astfel, o soluție particulară a ecuației neomogene are forma
y*(X) = (- 1/4X- 3/16)e 2X ,
si solutia generala - la ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .
Observația 2.În cazul în care se pune problema Cauchy pentru o ecuație neomogenă, trebuie mai întâi să găsim o soluție generală a ecuației
la( X) = ,
având determinate toate valorile numerice ale coeficienților în la*(X). Apoi utilizați condițiile inițiale și, înlocuindu-le în soluția generală (și nu în y*(X)), găsiți valorile constantelor C i.
Exemplul 13. Găsiți o soluție la problema Cauchy:
la¢ ¢ (X) - la¢ (X) - 6la(X) = xe 2X ,y(0) = 0, y ¢ (X) = 0.
Soluţie. Rezolvarea generală a acestei ecuații
la(X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X
a fost găsit în Exemplul 12. Pentru a găsi o soluție particulară care să satisfacă condițiile inițiale ale problemei Cauchy date, obținem sistemul de ecuații
Rezolvând-o, avem C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Prin urmare, soluția problemei Cauchy este funcția
la(X) = 1/8e 3X + 1/16e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .
Observația 3(principiul suprapunerii). Dacă într-o ecuație liniară L n[y(X)]= f(X), Unde f(X) = f 1 (X)+f 2 (X) și y* 1 (X) - rezolvarea ecuației L n[y(X)]= f 1 (X), A y* 2 (X) - rezolvarea ecuației L n[y(X)]= f 2 (X), apoi functia y*(X)= y* 1 (X)+ y* 2 (X) este rezolvarea ecuației L n[y(X)]= f(X).
EXEMPLUL 14. Indicați forma soluției generale a ecuației liniare
la¢ ¢ (X) + 4la(X) = x + sinx.
Soluţie. Rezolvarea generală a ecuației omogene corespunzătoare
` la(X) = C 1 cos 2x + C 2 păcat 2X,
întrucât ecuaţia caracteristică k 2 + 4 = 0 are rădăcini k 1, 2 = ± 2i.Latura dreaptă a ecuaţiei nu corespunde formulei (17), dar dacă introducem notaţia f 1 (X) = x, f 2 (X) = sinxși folosiți principiul suprapunerii , atunci o soluție particulară a ecuației neomogene poate fi găsită sub formă y*(X)= y* 1 (X)+ y* 2 (X), Unde y* 1 (X) - rezolvarea ecuației la¢ ¢ (X) + 4la(X) = x, A y* 2 (X) - rezolvarea ecuației la¢ ¢ (X) + 4la(X) = sinx. Prin formula (18)
y* 1 (X) = Ax + B,y* 2 (X) = Ccosx + Dsinx.
Apoi o soluție specială
y*(X) \u003d Ax + B + Ccosx + Dsinx,
deci soluţia generală are forma
la(X) = C 1 cos 2x + C 2 e - 2X + A x + B + Ccosx + Dsinx.
EXEMPLUL 15. Circuitul electric constă dintr-o sursă de curent conectată în serie cu fem e(t) = E sinw t, inductanţă L si containere DIN, și
