Pentru comoditatea de a considera o funcție de putere, vom lua în considerare 4 cazuri separate: o funcție de putere cu un exponent natural, o funcție de putere cu un exponent întreg, o funcție de putere cu un exponent rațional și o funcție de putere cu un exponent irațional.
Funcție de putere cu exponent natural
Pentru început, introducem conceptul de diplomă cu exponent natural.
Definiția 1
Puterea unui număr real $a$ cu exponent natural $n$ este un număr egal cu produsul $n$ factori, fiecare dintre care este egal cu numărul $a$.
Poza 1.
$a$ este baza gradului.
$n$ - exponent.
Luați în considerare acum o funcție de putere cu un exponent natural, proprietățile și graficul acesteia.
Definiția 2
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ se numește funcție de putere cu exponent natural.
Pentru mai multă comoditate, luați în considerare separat funcția de putere cu exponent par $f\left(x\right)=x^(2n)$ și funcția de putere cu exponent impar $f\left(x\right)=x^(2n- 1)$ ($n\în N)$.
Proprietățile unei funcții de putere cu exponent natural par
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ este o funcție pară.
Domeniu -- $ \
Funcția scade cu $x\in (-\infty ,0)$ și crește cu $x\in (0,+\infty)$.
$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$
Funcția este convexă pe întregul domeniu de definiție.
Comportament la sfârșitul domeniului de aplicare:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]
Grafic (Fig. 2).
Figura 2. Graficul funcției $f\left(x\right)=x^(2n)$
Proprietățile unei funcții de putere cu exponent natural impar
Domeniul definiției sunt toate numerele reale.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ este o funcție impară.
$f(x)$ este continuu pe întregul domeniu al definiției.
Gama sunt toate numere reale.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Funcția crește pe întregul domeniu de definiție.
$f\left(x\right)0$, pentru $x\in (0,+\infty)$.
$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Funcția este concavă pentru $x\in (-\infty ,0)$ și convexă pentru $x\in (0,+\infty)$.
Grafic (Fig. 3).
Figura 3. Graficul funcției $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Funcția de putere cu exponent întreg
Pentru început, introducem conceptul de grad cu un exponent întreg.
Definiția 3
Gradul unui număr real $a$ cu exponent întreg $n$ este determinat de formula:
Figura 4
Luați în considerare acum o funcție de putere cu un exponent întreg, proprietățile și graficul acesteia.
Definiția 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ se numește o funcție de putere cu exponent întreg.
Dacă gradul este mai mare decât zero, atunci ajungem la cazul unei funcții de putere cu exponent natural. Am discutat deja mai sus. Pentru $n=0$ obținem o funcție liniară $y=1$. Lăsăm considerația sa în seama cititorului. Rămâne de luat în considerare proprietățile unei funcții de putere cu un exponent întreg negativ
Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent întreg negativ
Domeniul de aplicare este $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Dacă exponentul este par, atunci funcția este pară; dacă este impar, atunci funcția este impară.
$f(x)$ este continuu pe întregul domeniu al definiției.
Interval de valori:
Dacă exponentul este par, atunci $(0,+\infty)$, dacă este impar, atunci $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Dacă exponentul este impar, funcția scade cu $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Pentru un exponent par, funcția scade cu $x\in (0,+\infty)$. și crește cu $x\în \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ pe întregul domeniu
1. Funcția de putere, proprietățile și graficul acesteia;
2. Transformări:
transfer paralel;
Simetrie asupra axelor de coordonate;
Simetrie cu privire la origine;
Simetria cu privire la dreapta y = x;
Întinderea și micșorarea de-a lungul axelor de coordonate.
3. O funcție exponențială, proprietățile și graficul acesteia, transformări similare;
4. Funcția logaritmică, proprietățile și graficul acesteia;
5. Funcția trigonometrică, proprietățile și graficul acesteia, transformări similare (y = sin x; y = cos x; y = tg x);
Funcția: y = x\n - proprietățile și graficul acesteia.
Funcția de putere, proprietățile și graficul acesteia
y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / x etc. Toate aceste funcții sunt cazuri speciale ale funcției de putere, adică ale funcției y = xp, unde p este un număr real dat.
Proprietățile și graficul unei funcții de putere depind în esență de proprietățile unei puteri cu un exponent real și, în special, de valorile pentru care XȘi p are sens xp. Să trecem la o analiză similară a diferitelor cazuri, în funcție de
exponent p.
- Indicator p = 2n este un număr natural par.
y=x2n, Unde n este un număr natural și are următoarele proprietăți:
- domeniul de definiție este toate numerele reale, adică mulțimea R;
- set de valori - numere nenegative, adică y este mai mare sau egal cu 0;
- funcţie y=x2n chiar, pentru că x 2n = (-x) 2n
- funcția este în scădere pe interval X< 0 și crescând pe interval x > 0.
Graficul funcției y=x2n are aceeași formă ca, de exemplu, graficul unei funcții y=x4.
2. Indicator p = 2n - 1- număr natural impar
În acest caz, funcția de putere y=x2n-1, unde este un număr natural, are următoarele proprietăți:
- domeniul definirii - multimea R;
- set de valori - set R;
- funcţie y=x2n-1 ciudat pentru că (- x) 2n-1= x 2n-1;
- funcția este în creștere pe toată axa reală.
Graficul funcției y=x2n-1 y=x3.
3. Indicator p=-2n, Unde n- numar natural.
În acest caz, funcția de putere y=x-2n=1/x2n are urmatoarele proprietati:
- set de valori - numere pozitive y>0;
- funcția y = 1/x2n chiar, pentru că 1/(-x) 2n= 1/x2n;
- funcția crește pe intervalul x0.
Graficul funcției y = 1/x2n are aceeași formă ca, de exemplu, graficul funcției y = 1/x2.
4. Indicator p = -(2n-1), Unde n- numar natural.
În acest caz, funcția de putere y=x-(2n-1) are urmatoarele proprietati:
- domeniul de definitie este multimea R, cu exceptia x = 0;
- set de valori - set R, cu excepția y = 0;
- funcţie y=x-(2n-1) ciudat pentru că (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
- funcția este descrescătoare pe intervale X< 0 Și x > 0.
Graficul funcției y=x-(2n-1) are aceeași formă ca, de exemplu, graficul funcției y = 1/x3.
