O fracție este raportul dintre numărător și numitor, iar numitorul nu trebuie să fie zero, iar numărătorul poate fi oricare.

Când ridicați orice fracție la o putere arbitrară, trebuie să ridicați separat numărătorul și numitorul fracției la această putere, după care trebuie să numărăm aceste puteri și astfel să obținem fracția ridicată la putere.

De exemplu:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) (2 / 3) (2 / 3) = 2^3 / 3^3

grad negativ

Dacă avem de-a face cu un grad negativ, atunci trebuie mai întâi să „inversam fracția” și abia apoi să o ridicăm la o putere conform regulii scrise mai sus.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Gradul de litere

Când lucrați cu valori literale precum „x” și „y”, exponențiarea urmează aceeași regulă ca înainte.

De asemenea, ne putem verifica prin ridicarea fracției ½ la a 3-a putere, ca rezultat obținem ½ * ½ * ½ = 1/8, care este în esență același cu

(1/2)^3 = 1/8.

Exponentiația literală x^y

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor cu puteri

Dacă înmulțim puteri cu aceeași bază, atunci baza în sine rămâne aceeași și adunăm exponenții. Dacă împărțim puteri cu aceeași bază, atunci și baza gradului rămâne aceeași, iar exponenții se scad.

Acest lucru poate fi arătat foarte ușor cu un exemplu:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Am putea obține același lucru dacă am ridica pur și simplu numitorul și numărătorul separat la puterea lui 3 și, respectiv, 4.

Ridicarea unei fracțiuni cu o putere la o altă putere

Când ridicăm o fracție, care se află deja într-o putere, din nou într-o putere, trebuie mai întâi să facem exponentiația internă și apoi să trecem la partea externă a exponențiației. Cu alte cuvinte, putem pur și simplu să înmulțim aceste puteri și să creștem fracția la puterea rezultată.

De exemplu:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Unirea, rădăcină pătrată

De asemenea, nu trebuie să uităm că ridicarea absolută a oricărei fracții la puterea zero ne va da 1, la fel ca orice alt număr, atunci când ridicăm la o putere egală cu zero, vom obține 1.

Rădăcina pătrată obișnuită poate fi reprezentată și ca putere a unei fracții

Rădăcină pătrată 3 = 3^(1/2)

Dacă avem de-a face cu o rădăcină pătrată sub care se află o fracție, atunci putem reprezenta această fracție în numărătorul căreia va fi o rădăcină pătrată de 2 - grad (deoarece rădăcina pătrată)

Și numitorul va conține și rădăcina pătrată, adică. cu alte cuvinte, vom vedea raportul dintre două rădăcini, acesta poate fi util pentru rezolvarea unor probleme și exemple.

Dacă ridicăm o fracție care se află sub rădăcina pătrată la a doua putere, atunci obținem aceeași fracție.

Produsul a două fracții sub același grad va fi egal cu produsul acestor două fracții, fiecare dintre ele individual va fi sub propriul grad.

Amintiți-vă: nu puteți împărți la zero!

De asemenea, nu uitați de o remarcă foarte importantă pentru o fracție, cum ar fi numitorul nu ar trebui să fie egal cu zero. În viitor, în multe ecuații, vom folosi această restricție, numită ODZ - intervalul de valori acceptabile

Când se compară două fracții cu aceeași bază, dar cu grade diferite, fracția mai mare va fi fracția în care gradul va fi mai mare, iar cea mai mică în care gradul va fi mai mic, dacă nu numai bazele sunt egale, ci și grade, fracția este considerată aceeași.

Exemple:

ex: 14^3,8 / 14^(-0,2) = 14^(3,8 -0,2) = 139,6

6^(1,77) 6^(- 0,75) = 6^(1,77+(- 0,75)) = 79,7 - 1,3 = 78,6

Subiectul se rezumă la faptul că trebuie să înmulțim fracții identice. Acest articol vă va spune ce regulă trebuie să utilizați pentru a ridica corect fracțiile algebrice la puteri naturale.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Regula pentru ridicarea unei fracții algebrice la o putere, dovada acesteia

Înainte de a începe să ridici la o putere, trebuie să-ți aprofundezi cunoștințele cu ajutorul unui articol despre o diplomă cu un indicator natural, unde există un produs al acelorași factori care stau la baza gradului, iar numărul lor este determinat de indicator. De exemplu, numărul 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Când ridicăm la o putere, cel mai adesea folosim regula. Pentru a face acest lucru, ridicați separat numărătorul și numitorul separat. Luați în considerare exemplul 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 . Regula se aplică la ridicarea unei fracțiuni la o putere naturală.

La ridicarea unei fracții algebrice la o putere naturală obținem unul nou, unde numărătorul are gradul fracției inițiale, iar numitorul are gradul numitorului. Acestea sunt toate de forma a b n = a n b n , unde a și b sunt polinoame arbitrare, b este diferit de zero și n este un număr natural.

Dovada acestei reguli se scrie ca o fracție, care trebuie ridicată la o putere, pe baza definiției în sine cu un indicator natural. Apoi obținem înmulțirea fracțiilor de forma a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . b = a n b n

Exemple, soluții

Regula de ridicare a unei fracții algebrice la o putere se realizează secvențial: mai întâi numărătorul, apoi numitorul. Când există un polinom în numărător și numitor, atunci sarcina în sine se va reduce la ridicarea polinomului dat la o putere. După aceea, va fi indicată o nouă fracție, care este egală cu cea inițială.

Exemplul 1

La pătratul fracției x 2 3 y z 3

Decizie

Este necesar să se fixeze gradul x 2 3 · y · z 3 2 . După regula ridicării unei fracții algebrice la o putere, obținem o egalitate de forma x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Acum este necesar să convertiți fracția rezultată într-o formă algebrică prin exponențiere. Apoi obținem o expresie a formei

x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Toate cazurile de exponențiere nu necesită o explicație detaliată, astfel încât soluția în sine are o scurtă înregistrare. Adică înțelegem asta

x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Răspuns: x 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6 .

Dacă numărătorul și numitorul au polinoame, atunci este necesar să ridicați întreaga fracție la o putere și apoi să aplicați formulele de înmulțire abreviate pentru a o simplifica.

Exemplul 2

Patratul fracției 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y.

Decizie

Din regulă avem asta

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2

Pentru a converti expresia, trebuie să utilizați formula pentru pătratul sumei a trei termeni la numitor, iar la numărător - pătratul diferenței, ceea ce va simplifica expresia. Primim:

2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 x 2 3 x y + 2 x 2 (- y ) + 2 3 x y - y = = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Răspuns: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Rețineți că atunci când ridicăm o fracție pe care nu o putem reduce la o putere naturală, obținem și o fracție ireductibilă. Acest lucru nu face mai ușor de rezolvat. Când o fracție dată poate fi redusă, atunci când este exponențiată, constatăm că este necesar să se efectueze reducerea fracției algebrice, pentru a evita efectuarea reducerii după ridicarea la putere.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

O fracție este raportul dintre numărător și numitor, iar numitorul nu trebuie să fie zero, iar numărătorul poate fi oricare.

Când ridicați orice fracție la o putere arbitrară, trebuie să ridicați separat numărătorul și numitorul fracției la această putere, după care trebuie să numărăm aceste puteri și astfel să obținem fracția ridicată la putere.

De exemplu:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) (2 / 3) (2 / 3) = 2^3 / 3^3

grad negativ

Dacă avem de-a face cu un grad negativ, atunci trebuie mai întâi să „inversam fracția” și abia apoi să o ridicăm la o putere conform regulii scrise mai sus.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Gradul de litere

Când lucrați cu valori literale precum „x” și „y”, exponențiarea urmează aceeași regulă ca înainte.

De asemenea, ne putem verifica prin ridicarea fracției ½ la a 3-a putere, ca rezultat obținem ½ * ½ * ½ = 1/8, care este în esență același cu

Exponentiația literală x^y

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor cu puteri

Dacă înmulțim puteri cu aceeași bază, atunci baza în sine rămâne aceeași și adunăm exponenții. Dacă împărțim puteri cu aceeași bază, atunci și baza gradului rămâne aceeași, iar exponenții se scad.

Acest lucru poate fi arătat foarte ușor cu un exemplu:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Am putea obține același lucru dacă am ridica pur și simplu numitorul și numărătorul separat la puterea lui 3 și, respectiv, 4.

Ridicarea unei fracțiuni cu o putere la o altă putere

Când ridicăm o fracție, care se află deja într-o putere, din nou într-o putere, trebuie mai întâi să facem exponentiația internă și apoi să trecem la partea externă a exponențiației. Cu alte cuvinte, putem pur și simplu să înmulțim aceste puteri și să creștem fracția la puterea rezultată.

De exemplu:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Unirea, rădăcină pătrată

De asemenea, nu trebuie să uităm că ridicarea absolută a oricărei fracții la puterea zero ne va da 1, la fel ca orice alt număr, atunci când ridicăm la o putere egală cu zero, vom obține 1.

Rădăcina pătrată obișnuită poate fi reprezentată și ca putere a unei fracții

Rădăcină pătrată 3 = 3^(1/2)

Dacă avem de-a face cu o rădăcină pătrată sub care se află o fracție, atunci putem reprezenta această fracție în numărătorul căreia va fi o rădăcină pătrată de 2 - grade (deoarece rădăcina pătrată)

Și numitorul va conține și rădăcina pătrată, adică. cu alte cuvinte, vom vedea raportul dintre două rădăcini, acesta poate fi util pentru rezolvarea unor probleme și exemple.

Dacă ridicăm o fracție care se află sub rădăcina pătrată la a doua putere, atunci obținem aceeași fracție.

Produsul a două fracții sub același grad va fi egal cu produsul acestor două fracții, fiecare dintre ele individual va fi sub propriul grad.

Amintiți-vă: nu puteți împărți la zero!

De asemenea, nu uitați de o remarcă foarte importantă pentru o fracție, cum ar fi numitorul nu ar trebui să fie egal cu zero. În viitor, în multe ecuații, vom folosi această restricție, numită ODZ - intervalul de valori permise

Când se compară două fracții cu aceeași bază, dar cu grade diferite, fracția mai mare va fi fracția în care gradul va fi mai mare, iar cea mai mică în care gradul va fi mai mic, dacă nu numai bazele sunt egale, ci și grade, fracția este considerată aceeași.

În continuarea conversației despre gradul unui număr, este logic să ne ocupăm de găsirea valorii gradului. Acest proces a fost numit exponentiare. În acest articol, vom studia doar modul în care se realizează exponențiarea, în timp ce vom atinge toți exponenții posibili - naturali, întregi, raționali și iraționali. Și prin tradiție, vom lua în considerare în detaliu soluțiile la exemple de creștere a numerelor în diferite grade.

Navigare în pagină.

Ce înseamnă „exponentiație”?

Să începem prin a explica ceea ce se numește exponențiere. Iată definiția relevantă.

Definiție.

Exponentiatie este de a afla valoarea puterii unui număr.

Astfel, găsirea valorii puterii lui a cu exponentul r și ridicarea numărului a la puterea lui r este același lucru. De exemplu, dacă sarcina este „calculați valoarea puterii (0,5) 5”, atunci poate fi reformulată după cum urmează: „Ridicați numărul 0,5 la puterea lui 5”.

Acum puteți merge direct la regulile prin care se realizează exponentiarea.

Ridicarea unui număr la o putere naturală

În practică, egalitatea bazată pe se aplică de obicei sub forma . Adică, atunci când se ridică numărul a la o putere fracțională m / n, se extrage mai întâi rădăcina gradului al n-lea din numărul a, după care rezultatul este ridicat la o putere întreagă m.

Luați în considerare soluții la exemple de ridicare la o putere fracțională.

Exemplu.

Calculați valoarea gradului.

Decizie.

Vă prezentăm două soluții.

Prima cale. Prin definiția gradului cu exponent fracționar. Calculăm valoarea gradului sub semnul rădăcinii, după care extragem rădăcina cubă: .

A doua cale. Prin definiția unui grad cu exponent fracționar și pe baza proprietăților rădăcinilor, egalitățile sunt adevărate . Acum extrageți rădăcina În cele din urmă, ridicăm la o putere întreagă .

Evident, rezultatele obținute ale ridicării la o putere fracțională coincid.

Răspuns:

Rețineți că exponentul fracționar poate fi scris ca o fracție zecimală sau un număr mixt, în aceste cazuri ar trebui înlocuit cu fracția obișnuită corespunzătoare, iar apoi trebuie efectuată exponențiarea.

Exemplu.

Calculați (44,89) 2,5 .

Decizie.

Să scriem exponentul sub forma unei fracții obișnuite (dacă este necesar, vezi articolul): . Acum efectuăm ridicarea la o putere fracțională:

Răspuns:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

De asemenea, trebuie spus că ridicarea numerelor la puteri raționale este un proces destul de laborios (mai ales atunci când numărătorul și numitorul exponentului fracționar sunt numere destul de mari), care se realizează de obicei folosind tehnologia computerizată.

În încheierea acestui paragraf, ne vom opri asupra construcției numărului zero într-o putere fracțională. Am dat următorul sens gradului fracționar de zero al formei: căci avem , în timp ce zero la puterea m/n nu este definit. Deci, zero la o putere fracțională pozitivă este zero, de exemplu, . Și zero într-o putere negativă fracțională nu are sens, de exemplu, expresiile și 0 -4,3 nu au sens.

Ridicarea la o putere irațională

Uneori devine necesar să se afle valoarea gradului unui număr cu un exponent irațional. În acest caz, în scopuri practice, de obicei este suficientă obținerea valorii gradului până la un anumit semn. Observăm imediat că, în practică, această valoare este calculată folosind tehnologia de calcul electronică, deoarece ridicarea manuală la o putere irațională necesită un număr mare de calcule greoaie. Dar cu toate acestea vom descrie în termeni generali esența acțiunilor.

Pentru a obține o valoare aproximativă a exponentului lui a cu un exponent irațional, se ia o aproximare zecimală a exponentului și se calculează valoarea exponentului. Această valoare este valoarea aproximativă a gradului numărului a cu un exponent irațional. Cu cât este mai precisă aproximarea zecimală a numărului inițial, cu atât mai precisă va fi valoarea gradului în final.

Ca exemplu, să calculăm valoarea aproximativă a puterii lui 2 1,174367... . Să luăm următoarea aproximare zecimală a unui indicator irațional: . Acum ridicăm 2 la o putere rațională de 1,17 (am descris esența acestui proces în paragraful anterior), obținem 2 1,17 ≈ 2,250116. În acest fel, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Dacă luăm o aproximare zecimală mai precisă a unui exponent irațional, de exemplu, , atunci obținem o valoare mai precisă a gradului inițial: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manual de matematică Zh pentru 5 celule. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: un manual pentru 7 celule. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru 8 celule. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: un manual pentru 9 celule. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).