Acest articol este dedicat tehnicilor de rezolvare a diferitelor ecuații și inegalități care conțin
variabilă sub semnul modulului.

Dacă la examen întâlniți o ecuație sau o inegalitate cu un modul, o puteți rezolva,
fără a cunoaște deloc metode speciale și folosind doar definiția modulului. Adevăr,
poate dura o oră și jumătate de timp prețios pentru examen.

Prin urmare, vrem să vă vorbim despre tehnici care simplifică rezolvarea unor astfel de probleme.

În primul rând, să ne amintim asta

Luați în considerare diferite tipuri ecuații cu modul. (Mai multe despre inegalități mai târziu.)

Modulul din stânga, numărul din dreapta

Acesta este cel mai simplu caz. Să rezolvăm ecuația

Există doar două numere al căror modul este patru. Acestea sunt 4 și -4. Prin urmare, ecuația
este echivalent cu combinarea a două simple:

A doua ecuație nu are soluții. Soluții ale primei: x = 0 și x = 5.

Răspuns: 0; cinci.

Variabilă atât sub modul, cât și în afara modulului

Aici trebuie să extindeți modulul prin definiție. . . sau imagineaza-ti!

Ecuația se descompune în două cazuri, în funcție de semnul expresiei sub modul.
Cu alte cuvinte, este echivalent cu combinația a două sisteme:

Rezolvarea primului sistem: . Al doilea sistem nu are soluții.
Raspunsul 1.

Primul caz: x ≥ 3. Scoateți modulul:

Numărul , fiind negativ, nu satisface condiția x ≥ 3 și, prin urmare, nu este rădăcina ecuației inițiale.

Să aflăm dacă numărul îndeplinește această condiție. Pentru a face acest lucru, facem diferența și îi determinăm semnul:

Prin urmare, mai mult de trei și, prin urmare, este rădăcina ecuației originale

Al doilea caz: x< 3. Снимаем модуль:

Număr . este mai mare decât și, prin urmare, nu satisface condiția x< 3. Проверим :

Mijloace, . este rădăcina ecuației inițiale.

Eliminați modulul prin definiție? E înfricoșător chiar și să te gândești la asta, pentru că discriminantul nu este un pătrat perfect. Să folosim mai bine următoarea considerație: o ecuație de forma |A| = B este echivalent cu combinația a două sisteme:

La fel, dar ușor diferit:

Cu alte cuvinte, rezolvăm două ecuații, A = B și A = −B, apoi selectăm rădăcinile care îndeplinesc condiția B ≥ 0.

Să începem. În primul rând, rezolvăm prima ecuație:

Apoi rezolvăm a doua ecuație:

Acum, în fiecare caz, verificăm semnul din partea dreaptă:

Prin urmare, numai și sunt potrivite.

Ecuații cuadratice cu |x| = t

Să rezolvăm ecuația:

Deoarece , este convenabil să faceți modificarea |x| = t. Primim:

Răspuns: ±1.

Modulul este egal cu modulo

Vorbim de ecuații de forma |A| = |B|. Acesta este un dar al destinului. Fără extinderi de module prin definiție! E simplu:

De exemplu, luați în considerare ecuația: . Este echivalent cu următorul set:

Rămâne să rezolvi fiecare dintre ecuațiile populației și să notezi răspunsul.

Două sau mai multe module

Să rezolvăm ecuația:

Nu ne vom deranja cu fiecare modul separat și îl vom deschide prin definiție - vor fi prea multe opțiuni. Există o modalitate mai rațională - metoda intervalelor.

Expresiile de sub module dispar în punctele x = 1, x = 2 și x = 3. Aceste puncte împart linia numerică în patru intervale (intervale). Marcam aceste puncte pe linia numerica si asezam semnele pentru fiecare dintre expresii sub module pe intervalele obtinute. (Ordinea semnelor este aceeași cu ordinea modulelor corespunzătoare din ecuație.)

Astfel, trebuie să luăm în considerare patru cazuri - când x este în fiecare dintre intervale.

Cazul 1: x ≥ 3. Toate modulele sunt eliminate „cu un plus”:

Valoarea rezultată x = 5 satisface condiția x ≥ 3 și, prin urmare, este rădăcina ecuației inițiale.

Cazul 2: 2 ≤ x ≤ 3. Ultimul modul este acum eliminat „cu minus”:

Valoarea obținută a lui x este de asemenea potrivită - aparține intervalului considerat.

Cazul 3: 1 ≤ x ≤ 2. Al doilea și al treilea modul sunt eliminate „cu minus”:

Am obținut egalitatea numerică corectă pentru orice x din intervalul considerat, ele servesc ca soluții la această ecuație.

Cazul 4: x ≤ 1 ≤ 1. Al doilea și al treilea modul sunt eliminate „cu minus”:

Nimic nou. Știm deja că x = 1 este o soluție.

Răspuns: ∪ (5).

Modul în cadrul unui modul

Să rezolvăm ecuația:

Începem prin a extinde modulul intern.

1) x ≤ 3. Se obține:

Expresia sub modul dispare la . Acest punct aparține celor luate în considerare
interval. Prin urmare, trebuie să luăm în considerare două subcazuri.

1.1) Se obține în acest caz:

Această valoare a lui x nu este bună, deoarece nu aparține intervalului luat în considerare.

1.2). Apoi:

Această valoare x nu este, de asemenea, bună.

Deci, pentru x ≤ 3 nu există soluții. Să trecem la al doilea caz.

2) x ≥ 3. Avem:

Aici avem noroc: expresia x + 2 este pozitivă în intervalul considerat! Prin urmare, nu vor mai exista subcazuri: modulul este eliminat „cu un plus”:

Această valoare a lui x se află în intervalul luat în considerare și, prin urmare, este rădăcina ecuației originale.

Așa se rezolvă toate sarcinile de acest tip - deschidem pe rând modulele imbricate, începând cu cel interior.

Instruire

Dacă modulul este reprezentat ca o funcție continuă, atunci valoarea argumentului său poate fi fie pozitivă, fie negativă: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Modulul este zero, iar modulul oricărui număr pozitiv este modulul său. Dacă argumentul este negativ, atunci după deschiderea parantezelor, semnul său se schimbă de la minus la plus. Pe baza acesteia rezultă concluzia că modulele opusului sunt egale: |-x| = |x| = x.

Modulul unui număr complex se găsește prin formula: |a| = √b ² + c ² și |a + b| ≤ |a| + |b|. Dacă argumentul conține un număr pozitiv ca multiplicator, atunci acesta poate fi scos din semnul parantezei, de exemplu: |4*b| = 4*|b|.

Dacă argumentul este prezentat ca număr complex, atunci pentru comoditatea calculelor, este permisă ordinea termenilor expresiei cuprinse între paranteze drepte: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 deoarece (2-3) este mai mic decât zero.

Argumentul ridicat la putere se află simultan sub semnul rădăcinii de același ordin - se rezolvă cu: √a² = |a| = ±a.

Dacă aveți o sarcină în fața dvs. care nu specifică condiția pentru extinderea parantezelor modulului, atunci nu trebuie să scăpați de ele - acesta va fi rezultatul final. Și dacă doriți să le deschideți, atunci trebuie să specificați semnul ±. De exemplu, trebuie să găsiți valoarea expresiei √(2 * (4-b)) ². Soluția lui arată astfel: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Deoarece semnul expresiei 4-b este necunoscut, acesta trebuie lăsat între paranteze. Dacă adăugați o condiție suplimentară, de exemplu, |4-b| >

Modulul lui zero este egal cu zero, iar modulul oricărui număr pozitiv este egal cu el însuși. Dacă argumentul este negativ, atunci după deschiderea parantezelor, semnul său se schimbă de la minus la plus. Pe baza acesteia rezultă concluzia că modulele numerelor opuse sunt egale: |-x| = |x| = x.

Modulul unui număr complex se găsește prin formula: |a| = √b ² + c ² și |a + b| ≤ |a| + |b|. Dacă argumentul conține un număr întreg pozitiv ca multiplicator, atunci acesta poate fi scos din semnul parantezei, de exemplu: |4*b| = 4*|b|.

Modulul nu poate fi negativ, astfel încât orice număr negativ este convertit într-unul pozitiv: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Dacă argumentul este prezentat ca număr complex, atunci pentru comoditatea calculelor, este permisă modificarea ordinii termenilor expresiei cuprinse între paranteze drepte: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 deoarece (2-3) este mai mic decât zero.

Dacă aveți o sarcină în fața dvs. care nu specifică condiția pentru extinderea parantezelor modulului, atunci nu trebuie să scăpați de ele - acesta va fi rezultatul final. Și dacă doriți să le deschideți, atunci trebuie să specificați semnul ±. De exemplu, trebuie să găsiți valoarea expresiei √(2 * (4-b)) ². Soluția lui arată astfel: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Deoarece semnul expresiei 4-b este necunoscut, acesta trebuie lăsat între paranteze. Dacă adăugați o condiție suplimentară, de exemplu, |4-b| > 0, atunci rezultatul este 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). Ca element necunoscut, poate fi dat și un anumit număr, care ar trebui luat în considerare, deoarece. va afecta semnul expresiei.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Nu alegem matematica profesia ei și ne alege pe noi.

Matematicianul rus Yu.I. Manin

Ecuații de modul

Cele mai dificile probleme de rezolvat la matematica școlară sunt ecuațiile care conțin variabile sub semnul modulului. Pentru a rezolva cu succes astfel de ecuații, este necesar să cunoașteți definiția și proprietățile de bază ale modulului. Desigur, elevii ar trebui să aibă abilitățile de a rezolva ecuații de acest tip.

Concepte și proprietăți de bază

Modulul (valoarea absolută) al unui număr real notat și se definește după cum urmează:

Proprietățile simple ale modulului includ următoarele relații:

Notă, că ultimele două proprietăți sunt valabile pentru orice grad par.

De asemenea, dacă , unde , atunci și

Proprietăți ale modulelor mai complexe, care poate fi utilizat eficient în rezolvarea ecuaţiilor cu module, sunt formulate cu ajutorul următoarelor teoreme:

Teorema 1.Pentru orice funcții analiticeȘi inegalitatea

Teorema 2. Egalitatea este aceeași cu inegalitatea.

Teorema 3. Egalitate este echivalent cu inegalitatea.

Luați în considerare exemple tipice de rezolvare a problemelor pe tema „Ecuații, conţinând variabile sub semnul modulului.

Rezolvarea ecuațiilor cu modul

Cea mai comună metodă în matematica școlară pentru rezolvarea ecuațiilor cu modul este metoda, bazat pe extinderea modulelor. Această metodă este generică, totusi, in cazul general, aplicarea lui poate duce la calcule foarte greoaie. În acest sens, elevii ar trebui să fie, de asemenea, conștienți de altele, metode şi tehnici mai eficiente de rezolvare a unor astfel de ecuaţii. În special, trebuie să aibă abilitățile de a aplica teoreme, dat în acest articol.

Exemplul 1 Rezolvați ecuația. (unu)

Soluţie. Ecuația (1) va fi rezolvată prin metoda „clasică” - metoda extinderii modulelor. Pentru a face acest lucru, spargem axa numerică puncte și intervale și luați în considerare trei cazuri.

1. Dacă , atunci , , , iar ecuația (1) ia forma . De aici rezultă. Totuși, aici , deci valoarea găsită nu este rădăcina ecuației (1).

2. Dacă , apoi din ecuația (1) obținem sau .

De atunci rădăcina ecuației (1).

3. Dacă , atunci ecuația (1) ia forma sau . Rețineți că .

Răspuns: , .

La rezolvarea următoarelor ecuații cu modulul, vom folosi în mod activ proprietățile modulelor pentru a crește eficiența rezolvării unor astfel de ecuații.

Exemplul 2 rezolva ecuatia.

Soluţie. Din moment ce și atunci rezultă din ecuație. În această privință, , , iar ecuația devine. De aici ajungem. Dar , deci ecuația originală nu are rădăcini.

Răspuns: fără rădăcini.

Exemplul 3 rezolva ecuatia.

Soluţie. De atunci . Daca atunci , iar ecuația devine.

De aici obținem.

Exemplul 4 rezolva ecuatia.

Soluţie.Să rescriem ecuația într-o formă echivalentă. (2)

Ecuația rezultată aparține ecuațiilor de tipul .

Ținând cont de Teorema 2, putem afirma că ecuația (2) este echivalentă cu inegalitatea . De aici obținem.

Răspuns: .

Exemplul 5 Rezolvați ecuația.

Soluţie. Această ecuație are forma. De aceea , conform teoremei 3, aici avem inegalitatea sau .

Exemplul 6 rezolva ecuatia.

Soluţie. Să presupunem că. Pentru că , atunci ecuația dată ia forma unei ecuații pătratice, (3)

Unde . Deoarece ecuația (3) are o singură rădăcină pozitivăși apoi . De aici obținem două rădăcini ale ecuației originale:Și .

Exemplul 7 rezolva ecuatia. (4)

Soluţie. Din moment ce ecuațiaeste echivalentă cu combinația a două ecuații:Și , atunci la rezolvarea ecuației (4) este necesar să se ia în considerare două cazuri.

1. Dacă , atunci sau .

De aici obținem , și .

2. Dacă , atunci sau .

De atunci .

Răspuns: , , , .

Exemplul 8rezolva ecuatia . (5)

Soluţie. De când și , atunci . De aici și din ecuația (5) rezultă că și , i.e. aici avem un sistem de ecuații

Cu toate acestea, acest sistem de ecuații este inconsecvent.

Răspuns: fără rădăcini.

Exemplul 9 rezolva ecuatia. (6)

Soluţie. Dacă desemnăm iar din ecuația (6) obținem

Sau . (7)

Deoarece ecuația (7) are forma , această ecuație este echivalentă cu inegalitatea . De aici obținem. De când , atunci sau .

Răspuns: .

Exemplul 10rezolva ecuatia. (8)

Soluţie.Conform teoremei 1, putem scrie

(9)

Ținând cont de ecuația (8), concluzionăm că ambele inegalități (9) se transformă în egalități, i.e. există un sistem de ecuații

Cu toate acestea, prin teorema 3, sistemul de ecuații de mai sus este echivalent cu sistemul de inegalități

(10)

Rezolvând sistemul de inegalități (10) obținem . Deoarece sistemul de inegalități (10) este echivalent cu ecuația (8), ecuația inițială are o singură rădăcină .

Răspuns: .

Exemplul 11. rezolva ecuatia. (11)

Soluţie. Fie și , atunci ecuația (11) implică egalitatea .

Din aceasta rezultă că și . Astfel, aici avem un sistem de inegalități

Soluția acestui sistem de inegalități suntȘi .

Răspuns: , .

Exemplul 12.rezolva ecuatia. (12)

Soluţie. Ecuația (12) va fi rezolvată prin metoda extinderii succesive a modulelor. Pentru a face acest lucru, luați în considerare mai multe cazuri.

1. Dacă , atunci .

1.1. Dacă , atunci și , .

1.2. Daca atunci . Dar , prin urmare, în acest caz, ecuația (12) nu are rădăcini.

2. Dacă , atunci .

2.1. Dacă , atunci și , .

2.2. Dacă , atunci și .

Răspuns: , , , , .

Exemplul 13rezolva ecuatia. (13)

Soluţie. Deoarece partea stângă a ecuației (13) este nenegativă, atunci și . În acest sens, , și ecuația (13)

ia forma sau .

Se știe că ecuația este echivalentă cu combinarea a două ecuațiiȘi , rezolvarea pe care o primim, . Pentru că , atunci ecuația (13) are o rădăcină.

Răspuns: .

Exemplul 14 Rezolvați un sistem de ecuații (14)

Soluţie. De când și , atunci și . Prin urmare, din sistemul de ecuații (14) obținem patru sisteme de ecuații:

Rădăcinile sistemelor de ecuații de mai sus sunt rădăcinile sistemului de ecuații (14).

Răspuns: ,, , , , , , .

Exemplul 15 Rezolvați un sistem de ecuații (15)

Soluţie. De atunci . În acest sens, din sistemul de ecuații (15) obținem două sisteme de ecuații

Rădăcinile primului sistem de ecuații sunt și , iar din cel de-al doilea sistem de ecuații obținem și .

Răspuns: , , , .

Exemplul 16 Rezolvați un sistem de ecuații (16)

Soluţie. Din prima ecuație a sistemului (16) rezultă că .

De atunci . Luați în considerare a doua ecuație a sistemului. În măsura în care, apoi , iar ecuația devine, , sau .

Dacă înlocuim valoareaîn prima ecuație a sistemului (16), apoi , sau .

Răspuns: , .

Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a problemelor, legate de soluția ecuațiilor, conţinând variabile sub semnul modulului, puteți sfătui tutoriale din lista de literatură recomandată.

1. Culegere de sarcini la matematică pentru solicitanții la universitățile tehnice / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Lumea și educația, 2013. - 608 p.

2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: sarcini de complexitate crescută. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 p.

3. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: metode nestandardizate de rezolvare a problemelor. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 p.

Aveti vreo intrebare?

Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.