Toți cei care au studiat vreodată sau învață în prezent la școală au avut de înfruntat diverse dificultăți în studierea disciplinelor care sunt incluse în programul elaborat de Ministerul Educației.

Ce dificultăți întâmpinați

Studiul limbilor este însoțit de memorarea regulilor gramaticale existente și a principalelor excepții de la acestea. Educația fizică cere de la elevi un calcul mare, formă fizică bună și răbdare mare.

Cu toate acestea, nimic nu se compară cu dificultățile care apar în studiul disciplinelor exacte. Algebră, care conține modalități complicate de rezolvare a problemelor elementare. Fizica cu un set bogat de formule pentru legile fizice. Geometria și secțiunile sale, care se bazează pe teoreme și axiome complexe.

Un exemplu sunt axiomele care explică teoria paralelismului planurilor, care trebuie reținută, deoarece ele stau la baza întregului curs al curriculumului școlar de stereometrie. Să încercăm să ne dăm seama cât de ușor și mai rapid se poate face acest lucru.

Planuri paralele prin exemple

Axioma, care indică paralelismul planurilor, este următoarea: " Orice două plane sunt considerate paralele numai dacă nu conțin puncte comune.”, adică nu se intersectează între ele. Pentru a ne imagina mai detaliat această imagine, ca exemplu elementar, putem cita raportul dintre tavan și podea sau pereții opuși dintr-o clădire. Devine imediat clar ce se înțelege și se confirmă și faptul că aceste avioane în cazul obișnuit nu se vor intersecta niciodată.

Un alt exemplu este o fereastră cu geam dublu, unde foile de sticlă acționează ca avioane. De asemenea, în niciun caz nu vor forma puncte de intersecție unul cu celălalt. În plus, puteți adăuga rafturi de cărți, un cub Rubik, unde avioanele sunt fețele sale opuse și alte elemente ale vieții de zi cu zi.

Planurile considerate sunt desemnate cu un semn special sub forma a două drepte „||”, care ilustrează clar paralelismul planurilor. Astfel, prin aplicarea exemplelor reale, se poate forma o percepție mai clară a subiectului și, prin urmare, se poate trece mai departe la luarea în considerare a unor concepte mai complexe.

Unde și cum se aplică teoria planurilor paralele?

Când studiază un curs de geometrie școlară, elevii trebuie să se ocupe de sarcini versatile, în care este adesea necesar să se determine paralelismul dreptelor, o dreaptă și un plan între ei sau dependența planurilor unul față de celălalt. Analizând starea existentă, fiecare sarcină poate fi legată de cele patru clase principale de stereometrie.

Prima clasă include sarcini în care este necesar să se determine paralelismul unei linii drepte și al unui plan între ele. Soluția sa se reduce la demonstrarea teoremei cu același nume. Pentru a face acest lucru, trebuie să determinați dacă pentru o linie care nu aparține planului în cauză, există o linie paralelă în acest plan.

A doua clasă de probleme le include pe cele în care se folosește semnul planurilor paralele. Este folosit pentru a simplifica procesul de verificare, reducând astfel semnificativ timpul necesar pentru găsirea unei soluții.

Următoarea clasă acoperă spectrul de probleme privind corespondența dreptelor cu principalele proprietăți ale paralelismului planurilor. Rezolvarea problemelor din clasa a patra este de a determina dacă condiția planurilor paralele este îndeplinită. Știind exact cum are loc demonstrarea unei anumite probleme, devine mai ușor pentru elevi să navigheze atunci când aplică arsenalul existent de axiome geometrice.

Astfel, sarcinile, a căror condiție necesită definirea și demonstrarea paralelismului dreptelor, o dreaptă și un plan sau două plane între ele, se reduc la alegerea corectă a teoremei și a soluției conform mulțimii existente de reguli.

Pe paralelismul unei drepte și a unui plan

Paralelismul unei linii drepte și al unui plan este un subiect special în stereometrie, deoarece tocmai acesta este conceptul de bază pe care se bazează toate proprietățile ulterioare ale paralelismului figurilor geometrice.

Conform axiomelor disponibile, în cazul în care două puncte ale unei drepte aparțin unui anumit plan, putem concluziona că în el se află și linia dreaptă dată. În această situație, devine clar că există trei opțiuni pentru locația liniei în raport cu planul în spațiu:

1. Linia aparține avionului.
2. Pentru o linie și un plan există un punct comun de intersecție.
3. Nu există puncte de intersecție pentru o dreaptă și un plan.

Pe noi ne interesează, în special, ultima variantă, când nu există puncte de intersecție. Abia atunci putem spune că linia și planul sunt paralele unul față de celălalt. Astfel, se confirmă condiția teoremei principale asupra semnului de paralelism a unei drepte și a unui plan, care afirmă că: „Dacă o dreaptă care nu aparține planului în cauză este paralelă cu orice dreaptă din acel plan, atunci linia în cauză este, de asemenea, paralelă cu planul dat.”

Necesitatea folosirii semnului paralelismului

Semnul paralelismului planelor este de obicei folosit pentru a găsi o soluție simplificată la problemele despre planuri. Esența acestui semn este următoarea: Dacă există două drepte care se intersectează situate în același plan, paralele cu două drepte aparținând altui plan, atunci astfel de planuri pot fi numite paralele.».

Teoreme suplimentare

Pe lângă utilizarea unei caracteristici care dovedește paralelismul planurilor, în practică se poate întâlni și utilizarea altor două teoreme suplimentare. Primul este prezentat sub următoarea formă: Dacă unul dintre cele două plane paralele este paralel cu al treilea, atunci al doilea plan fie este paralel cu al treilea, fie coincide complet cu acesta.».

Pe baza utilizării teoremelor date, este întotdeauna posibil să se demonstreze paralelismul planurilor în raport cu spațiul luat în considerare. A doua teoremă arată dependența planurilor de o dreaptă perpendiculară și are forma: „ Dacă două plane non-coincidente sunt perpendiculare pe o linie dreaptă, atunci ele sunt considerate paralele între ele».

Conceptul de condiție necesară și suficientă

La rezolvarea în mod repetat a problemelor de demonstrare a paralelismului planurilor s-a derivat o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul planurilor. Se ştie că orice plan este dat de o ecuaţie parametrică de forma: A 1 x+ B 1 y+ C 1 z+D 1 =0. Condiția noastră se bazează pe utilizarea unui sistem de ecuații care specifică locația planurilor în spațiu și este reprezentată de următoarea formulare: Pentru a demonstra paralelismul a două plane, este necesar și suficient ca sistemul de ecuații care descriu aceste planuri să fie inconsecvent, adică să nu aibă soluție.».

Proprietăți de bază

Cu toate acestea, la rezolvarea problemelor geometrice, utilizarea semnului paralelismului nu este întotdeauna suficientă. Uneori apare o situație când este necesar să se dovedească paralelismul a două sau mai multe drepte în planuri diferite sau egalitatea segmentelor cuprinse pe aceste drepte. Pentru a face acest lucru, utilizați proprietățile planurilor paralele. În geometrie, sunt doar două dintre ele.

Prima proprietate vă permite să judecați paralelismul dreptelor în anumite plane și este prezentată în următoarea formă: Dacă două plane paralele sunt intersectate de o treime, atunci liniile formate de liniile de intersecție vor fi și ele paralele între ele.».

Sensul celei de-a doua proprietăți este de a demonstra egalitatea segmentelor situate pe drepte paralele. Interpretarea sa este prezentată mai jos. " Dacă luăm în considerare două plane paralele și închidem o regiune între ele, atunci se poate argumenta că lungimea segmentelor formate de această regiune va fi aceeași».

Paralelismul planurilor este un concept care a apărut pentru prima dată în geometria euclidiană în urmă cu mai bine de două mii de ani.

Principalele caracteristici ale geometriei clasice

Nașterea acestei discipline științifice este asociată cu celebra lucrare a gânditorului antic grec Euclid, care a scris pamfletul „Începuturi” în secolul al III-lea î.Hr. Împărțit în treisprezece cărți, Elementele a fost cea mai înaltă realizare a tuturor matematicii antice și a stabilit postulatele fundamentale asociate cu proprietățile figurilor plane.

Condiția clasică de paralelism pentru plane a fost formulată astfel: două plane pot fi numite paralele dacă nu au puncte comune între ele. Acesta a fost al cincilea postulat al muncii euclidiene.

Proprietățile planurilor paralele

În geometria euclidiană, există, de regulă, cinci dintre ele:

• Proprietatea unu(descrie paralelismul planurilor și unicitatea lor). Printr-un punct care se află în afara unui anumit plan dat, putem desena unul și un singur plan paralel cu acesta

• Proprietatea trei(cu alte cuvinte, se numește proprietatea unei drepte care intersectează paralelismul planelor). Dacă o singură linie dreaptă intersectează unul dintre aceste plane paralele, atunci îl va intersecta pe celălalt.

• Proprietatea patru(proprietatea dreptelor tăiate pe plane paralele între ele). Când două plane paralele se intersectează cu un al treilea (la orice unghi), liniile de intersecție ale acestora sunt și ele paralele

• Proprietatea a cincea(o proprietate care descrie segmente de drepte paralele diferite care sunt închise între planuri paralele între ele). Segmentele acelor drepte paralele care sunt închise între două plane paralele sunt în mod necesar egale.

Paralelismul planurilor în geometriile non-euclidiene

Astfel de abordări sunt, în special, geometria lui Lobachevsky și Riemann. Dacă geometria lui Euclid a fost realizată pe spații plate, atunci geometria lui Lobaciovski a fost realizată în spații curbate negativ (pur și simplu curbe), iar în cea a lui Riemann își găsește realizarea în spații curbate pozitiv (cu alte cuvinte, sfere). Există o opinie stereotipă foarte răspândită conform căreia în Lobaciovski se intersectează planurile paralele (și, de asemenea, liniile).

Cu toate acestea, acest lucru nu este adevărat. Într-adevăr, nașterea geometriei hiperbolice a fost asociată cu demonstrarea celui de-al cincilea postulat al lui Euclid și cu schimbarea vederilor asupra acestuia, dar însăși definiția planurilor și liniilor paralele implică faptul că ele nu se pot intersecta nici la Lobachevsky, nici la Riemann, indiferent în ce spații. sunt realizate. Iar schimbarea de opinii și formulări a fost după cum urmează. Postulul că un singur plan paralel poate fi trasat printr-un punct care nu se află pe un plan dat a fost înlocuit cu o altă formulare: printr-un punct care nu se află pe un anumit plan dat, cel puțin două drepte care se află în același plan cu cel dat și nu-l intersectează.

Acest articol va studia problemele paralelismului planurilor. Să dăm o definiție a planurilor care sunt paralele între ele; notăm semnele și condițiile suficiente de paralelism; Să ne uităm la teorie prin ilustrații și exemple practice.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definiția 1

Planuri paralele sunt avioane care nu au puncte comune.

Pentru a desemna paralelismul se folosește următorul simbol: ∥. Dacă sunt date două plane: α și β , care sunt paralele, o scurtă înregistrare despre aceasta va arăta astfel: α ‖ β .

În desen, de regulă, planurile paralele unul cu celălalt sunt afișate ca două paralelograme egale decalate unul față de celălalt.

În vorbire, paralelismul poate fi notat astfel: planurile α și β sunt paralele și, de asemenea, - planul α este paralel cu planul β sau planul β este paralel cu planul α.

Paralelismul planurilor: semnul și condițiile paralelismului

În procesul de rezolvare a problemelor geometrice, apare adesea întrebarea: planurile date sunt paralele între ele? Pentru a răspunde la această întrebare se folosește semnul paralelismului, care este și o condiție suficientă pentru paralelismul planurilor. Să o scriem ca o teoremă.

Teorema 1

Planurile sunt paralele dacă două drepte care se intersectează ale unui plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte care se intersectează ale altui plan.

Dovada acestei teoreme este dată în programul de geometrie pentru clasele 10 - 11.

În practică, pentru a demonstra paralelismul, printre altele, se folosesc următoarele două teoreme.

Teorema 2

Dacă unul dintre planurile paralele este paralel cu al treilea plan, atunci celălalt plan fie este paralel cu acest plan, fie coincide cu acesta.

Teorema 3

Dacă două plane non-coincidente sunt perpendiculare pe o dreaptă, atunci ele sunt paralele.

Pe baza acestor teoreme și a semnului paralelismului însuși, se dovedește faptul paralelismului oricăror două planuri.

Să considerăm mai detaliat condiția necesară și suficientă pentru paralelismul planurilor α și β, dat într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional.

Să presupunem că într-un sistem de coordonate dreptunghiular este dat planul α, care corespunde ecuației generale A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 și, de asemenea, este dat și planul β, care este definit prin ecuația generală de forma A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Teorema 4

Pentru ca planele date α și β să fie paralele, este necesar și suficient ca sistemul de ecuații liniare A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 nu are soluție (era incompatibilă).

Dovada

Să presupunem că planele date definite de ecuațiile A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 sunt paralele și, prin urmare, nu au puncte comune. Astfel, nu există un singur punct în sistemul de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional, ale cărui coordonate ar corespunde condițiilor ambelor ecuații ale planelor simultan, adică. sistemul A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 nu are soluție. Dacă sistemul specificat nu are soluții, atunci nu există un singur punct în sistemul de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional, ale cărui coordonate ar îndeplini simultan condițiile ambelor ecuații ale sistemului. Prin urmare, planurile date de ecuațiile A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 nu au puncte comune, adică. sunt paralele.

Să analizăm utilizarea condiției necesare și suficiente pentru paralelismul planurilor.

Exemplul 1

Date două plane: 2 x + 3 y + z - 1 = 0 și 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 . Trebuie să determinați dacă sunt paralele.

Decizie

Scriem sistemul de ecuații din condițiile date:

2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0

Să verificăm dacă este posibil să rezolvăm sistemul de ecuații liniare rezultat.

Rangul matricei 2 3 1 2 3 1 1 3 este egal cu unu, deoarece minorii de ordinul doi sunt egali cu zero. Rangul matricei 2 3 1 1 2 3 1 1 3 - 4 este egal cu doi, deoarece minorul lui 2 1 2 3 - 4 este diferit de zero. Astfel, rangul matricei principale a sistemului de ecuații este mai mic decât rangul matricei extinse a sistemului.

Împreună cu aceasta rezultă din teorema Kronecker-Capelli: sistemul de ecuații 2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 nu are soluții. Acest fapt demonstrează că planele 2 x + 3 y + z - 1 = 0 și 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 sunt paralele.

Rețineți că dacă am aplica metoda Gauss pentru a rezolva un sistem de ecuații liniare, aceasta ar da același rezultat.

Răspuns: planurile date sunt paralele.

Condiția necesară și suficientă pentru ca planele să fie paralele poate fi descrisă în alt mod.

Teorema 5

Pentru ca două plane necoincidente α și β să fie paralele între ele, este necesar și suficient ca vectorii normali ai planurilor α și β să fie coliniari.

Dovada condiției formulate se bazează pe definiția vectorului normal al planului.

Să presupunem că n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) și n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) sunt vectorii normali ai planurilor α și, respectiv, β. Să scriem condiția de coliniaritate a acestor vectori:

n 1 → = t n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t A 2 B 1 = t B 2 C 1 = t C 2, unde t este un număr real.

Astfel, pentru ca planurile necoincidente α și β cu vectorii normali dați mai sus să fie paraleli, este necesar și suficient să aibă loc un număr real t, pentru care egalitatea este adevărată:

n 1 → = t n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t A 2 B 1 = t B 2 C 1 = t C 2

Exemplul 2

Planurile α și β sunt date într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional. Planul α trece prin punctele: A (0 , 1 , 0) , B (- 3 , 1 , 1) , C (- 2 , 2 , - 2) . Planul β este descris prin ecuația x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 Este necesar să se demonstreze paralelismul planurilor date.

Decizie

Să ne asigurăm că avioanele date nu coincid. Într-adevăr, este, deoarece coordonatele punctului A nu corespund ecuației planului β.

Următorul pas este de a determina coordonatele vectorilor normali n 1 → și n 2 → corespunzător planurilor α și β . De asemenea, verificăm starea de coliniaritate a acestor vectori.

Vectorul n 1 → poate fi specificat luând produsul încrucișat al vectorilor A B → și A C → . Coordonatele acestora sunt, respectiv: (- 3 , 0 , 1) și (- 2 , 2 , - 2) . Apoi:

n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → - 3 0 1 - 2 1 - 2 = - i → - 8 j → - 3 k → ⇔ n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3)

Pentru a obține coordonatele vectorului normal al planului x 12 + y 3 2 + z 4 = 1, reducem această ecuație la ecuația generală a planului:

x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 12 x + 2 3 y + 1 4 z - 1 = 0

Astfel: n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4 .

Să verificăm dacă condiția de colinaritate a vectorilor n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3) și n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4

Deoarece - 1 \u003d t 1 12 - 8 \u003d t 2 3 - 3 \u003d t 1 4 ⇔ t \u003d - 12, atunci vectorii n 1 → și n 2 → sunt legați prin egalitatea n 1 → = - 12 n 2 → , adică. sunt coliniare.

Răspuns: planurile α și β nu coincid; vectorii lor normali sunt coliniari. Astfel, planele α și β sunt paralele.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Obiectivele lecției:

• Introduceți conceptul de planuri paralele.
• Considerați și demonstrați teoreme care exprimă semnul paralelismului planurilor și proprietățile planelor paralele.
• Urmăriți aplicarea acestor teoreme în rezolvarea problemelor.

Planul lecției (scrieți pe tablă):

I. Lucrări orale pregătitoare.

II. Învățarea de materiale noi:

1. Dispunerea reciprocă a două planuri în spațiu.
2. Definirea planurilor paralele.
3. Semnul planurilor paralele.
4. Proprietatea planelor paralele.

III. Rezumatul lecției.

IV. Teme pentru acasă.

ÎN CURILE CURĂRILOR

I. Lucrări orale

Aș dori să încep lecția cu un citat din scrisoarea filozofică a lui Chaadaev:

„De unde această putere miraculoasă de analiză în matematică? Faptul este că aici mintea operează în deplină supunere față de această regulă.

Vom lua în considerare această subordonare față de regulă în sarcina următoare. Pentru a asimila material nou, este necesar să repetați câteva întrebări. Pentru a face acest lucru, trebuie să stabiliți o afirmație care decurge din aceste afirmații și să vă justificați răspunsul:

II. Învățarea de materiale noi

1. Cum pot fi situate două avioane în spațiu? Care este setul de puncte aparținând ambelor planuri?

Răspuns:

a) coincid (atunci ne vom ocupa de un plan, nemulțumit);
b) se intersectează, ;
c) nu se intersectează (nu există deloc puncte comune).

2. Definiție: Dacă două plane nu se intersectează, atunci ele se numesc paralele.

3. Desemnare:

4. Dați exemple de planuri paralele din mediul înconjurător

5. Cum să afli dacă două plane din spațiu sunt paralele?

Răspuns:

Puteți folosi definiția, dar acest lucru nu este practic, deoarece nu este întotdeauna posibil să se stabilească intersecţia planurilor. Prin urmare, este necesar să se ia în considerare o condiție suficientă pentru a afirma paralelismul planurilor.

6. Luați în considerare situațiile:

b) dacă ?

c) dacă ?

De ce în a) și b) răspunsul este: „nu întotdeauna”, dar în c) „da”? (Liniile care se intersectează definesc un plan într-un mod unic, ceea ce înseamnă că sunt definite în mod unic!)

Situația 3 este un semn de paralelism a două plane.

7. Teorema: Dacă două drepte care se intersectează dintr-un plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte ale altui plan, atunci aceste planuri sunt paralele.

Dat:

Dovedi:

Dovada:

(Notațiile pe desen sunt aplicate de către elevi).

1. Notă: . În mod similar:
2. Fie: .
3. Avem: În mod similar:
4. Se obține: o contradicție cu axioma planimetriei trece prin M.
5. Deci: greșit, apoi h. etc.

8. Rezolvați Nr. 51 (Elevii aplică desemnări desenului).

Dat:

Dovedi:

Dovada:

1 cale

1. Să construim

2 sensuri

Intrați prin prin .

9. Luați în considerare două proprietăți ale planurilor paralele:

Teorema: Dacă două plane paralele sunt intersectate de o treime, atunci liniile de intersecție ale acestora sunt paralele.

(Elevii înșiși completează și marchează desenul).

Dat:

( eubine)

Profesor de matematică UP №3

Tuaeva Z.S.

2015

Subiectul lecției „Paralelismul planurilor”

Tip de lecție: lecție de învățare a materialelor noi.

Obiectivul principal:

Introduceți conceptul de planuri paralele.

Demonstrați un criteriu pentru paralelismul a două plane.

Luați în considerare proprietățile planelor paralele.

Sarcini:

Educational :

Să-și formeze deprinderea de a aplica semnul paralelismului a două plane și proprietățile studiate ale planurilor paralele în rezolvarea problemelor.

Educational :

Dezvoltarea imaginației spațiale a elevilor,

Dezvoltarea activității mentale a elevilor.

Dezvoltarea abilităților logice, raționale, critice, creative și cognitive ale elevilor.

Educational :

Educație pentru acuratețe, alfabetizare grafică.

Utilizarea noilor tehnologii educaționale: utilizarea tehnologiei de învățare problematică.

Planul lecției

II. Învățarea de noi materiale pe o tablă interactivă cu un model:

Definiţia parallel planes.

Semn de paralelism a două plane.

Proprietățile planelor paralele.

O convorbire cu elevii pe probleme în care profesorul, creând sistematic situații problematice și organizând activitățile elevilor pentru rezolvarea problemelor educaționale, asigură îmbinarea optimă a activităților lor independente, de căutare, cu asimilarea concluziilor gata făcute ale științei.

III. Formarea deprinderilor și abilităților

Rezolvarea problemelor pe care elevii le pot folosisemnul paralelismului a două plane și proprietățile planelor paralele. Muncă independentă pentru a controla dobândirea și a conduce consolidarea primară a materialului

IV. Teme pentru acasă

Profesorul comentează temele

În timpul orelor:

1. Mesajul subiectului și scopul lecției. Mesajul planului de lecție.

2. Etapa de actualizare a cunoștințelor.

Întrebări pentru studenți:

1. Ce drepte din spațiu se numesc paralele?

(Două drepte din spațiu se numesc paralele dacă se află în același plan și nu au puncte comune)

2. Formulați definiția paralelismului unei drepte și a unui plan?

(O dreaptă și un plan se numesc paralele dacă nu au puncte comune)

3. Formulați cea de-a treia axiomă a stereometriei?

(Dacă două planuri au un punct comun, atunci au o linie comună pe care se află toate punctele comune ale acestor planuri)

4. Cum pot fi situate două avioane în spațiu?

(Două planuri fie se intersectează în linie dreaptă (Fig. 1, a) fie nu se intersectează (Fig. 1, b))

Fig.1, a Fig.1, b

3. Învățarea de materiale noi.

1. Problema de invatare : Definiți planuri paralele.

Situație de învățare :

Întrebări pentru studenți:

1. Câte puncte comune au două plane care nu se intersectează?

(Nici un punct comun)

2. Care sunt numele avioanelor care nu au un singur punct comun?

(Planuri paralele)

3. Formulați definiția planurilor paralele, având în vedere numărul punctelor lor comune?

Două plane se numesc paralele dacă nu au puncte comune.

4. Precizați modelele de planuri paralele pe obiectele clasei?

(Pardoseala și tavanul dulapului, doi pereți opuși, suprafața mesei și planul podelei)

2. Problema de invatare : formulați și demonstrați un semn de paralelism a două plane.

Situație de învățare :

Elevilor li se oferă un model de paralelipiped.

Întrebări pentru studenți:

1. Care este poziția relativă a avioanelor și ?

(avion și paralel)

2. Numiți oricare două linii drepte care se intersectează

(drept AB, drept BC)

3. Numiți planurile drepte , paralel cu liniile drepteABși Soare ?

(
║
║

4. Care este poziția relativă a drepteiAB si avionul ? Justificați răspunsul.

(AB║ pe baza paralelismului unei drepte și a unui plan: dacă o dreaptă care nu se află într-un plan dat (
), este paralelă cu o linie dreaptă situată în acest plan (
║

Dacă elevilor le este greu să justifice răspunsul, atunci atrageți-le atenția asupra semnului de paralelism al unei drepte și al unui plan.

5. Care este poziția relativă a linieiSoare si avionul ? Justificați răspunsul.

(Soare║ pe baza paralelismului unei drepte și a unui plan: dacă o dreaptă care nu se află într-un plan dat (
), este paralelă cu o linie dreaptă situată în acest plan (
║
), atunci este paralel cu planul însuși)

6. Asuma Planes și nu sunt paralele. Cum vor fi amplasate atunci?

(planele se vor intersecta de-a lungul unei linii drepte c)

7. Cum vor fi amplasate liniile în acest cazAB șicu ?

(cu ║AB, conform proprietatii
) paralel cu un alt plan (AB║
║AB))

8. Cum vor fi amplasate liniile în acest cazSoare șicu ?

(cu ║BC, după proprietate : dacă avionul trece prin linia dată (
) paralel cu un alt plan (BC║ ), și intersectează acest plan (
), atunci linia de intersecție a planurilor este paralelă cu dreapta dată (cu ║VS))

9. Câte drepte sunt paralele cu o dreaptăcu , trece prin punctLA ?

(Două linii: linia AB, linia BC)

10. Este posibil?

(Acest lucru nu este posibil, deoarece conform teoremei liniilor paralele: prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o dreaptă paralelă cu cea dată și, în plus, doar una)

11. Ce concluzie se poate trage? Este corectă presupunerea noastră?

(Presumarea noastră nu este corectă, rămâne să admitem că ║)

12. De câte drepte sunt necesare într-un plan randul de sus și au fost paralele?

(doua linii drepte)

13. Ce ar trebui să fie aceste rânduri între ele?

(intersectarea)

14. Câte drepte trebuie să fie paralele față de plan ?

(Două)

15. Formulați un semn de paralelism a două plane, ținând cont de numărul de drepte ale unui plan paralel cu dreptele altui plan?

Rezultatul concluziei elevilor:

Dacă două drepte care se intersectează dintr-un plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte ale altui plan, atunci aceste planuri sunt paralele.

3. Problema de invatare : formulați și demonstrați proprietățile planurilor paralele.

Situație de învățare :

Întrebări pentru studenți:

și ?

(avioanele sunt paralele)

în raport cu avioanele și ?

(avion traversează avionul și )

3. Ce poți spune despre liniile de intersecție a planurilor?

(liniile de intersecție ale planelor sunt paralele între ele)

4. Justifică-ți răspunsul folosind definiția dreptelor paralele în spațiu.

(liniile a și b se află în același plan) și nu se intersectează, deoarece dacă liniile se intersectează, atunci planele și ar avea un punct comun, ceea ce este imposibil, deoarece aceste planuri sunt paralele)

5. Formulați prima proprietate a planelor paralele, ținând cont de poziția relativă a dreptelor de intersecțieAși în ?

Rezultatul concluziei elevilor:

Dacă două plane paralele sunt intersectate de o treime, atunci liniile de intersecție ale acestora sunt paralele.

Situație de învățare :

Elevilor li se oferă un model de planuri paralele intersectate de un al treilea plan.

Întrebări pentru studenți:

1. Care este poziția relativă a avioanelor și ?

(avioanele sunt paralele)

2. Cum se află avionul în raport cu avioanele și ?

(avion traversează avionul și )

3. Ce poți spune despre segmenteABși Cu D ?

(segmente O bandă Cu D paralele între ele)

4. Ce poți spune despre segmenteACși LA D ?

(segmente AU și LA D sunt paralele între ele după proprietatea 1 )

5. Cum se numește un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele la perechi?

(paralelogram)

6. Ce proprietăți ale unui paralelogram cunoașteți?

într-un paralelogram laturile și unghiurile opuse sunt egale

Diagonalele unui paralelogram sunt tăiate în două de punctul de intersecție

7. Ce poți spune despre segmenteABși Cu D folosind prima proprietate a unui paralelogram?

(segmente O bandă Cu D egale între ele)

8. Formulați a doua proprietate a planurilor paralele folosind egalitatea segmentelorABși Cu D ?

Rezultatul concluziei elevilor:

Segmentele de drepte paralele închise între planuri paralele sunt egale.

4. Formarea deprinderilor și abilităților.

Rezolvarea problemelor

Sarcina numărul 1. (Nr. 54) (Pentru a determina semnul paralelismului a două plane)

Dat :

Dovedi :

║

A găsi :

Dovada:

1.
- linia de mijloc
MN ║ AC .

2. NP - linia de mijloc
NP ║ CD .

MN ║ AC
( MNP )║( ADC ) pe baza paralelismului 2 pl.

NP ║ CD

4.
asemănătoare
conform celui de-al treilea semn de asemănare a triunghiurilor (dacă trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu trei laturi ale altuia, atunci astfel de triunghiuri sunt similare)
(deoarece raportul ariilor a două triunghiuri similare este egal cu pătratul coeficientului de similitudine)

Răspuns :
.

Sarcina numărul 2. (Nr. 63 (a)) (Pentru a elabora 1 proprietăți ale planurilor paralele)

Dat:

║

A găsi:

Decizie:

1. Să demonstrăm că
║
.

La fel de

║(dupa conditie)

║
.(prin 1 proprietate a planurilor paralele)

2. Să demonstrăm că
asemănătoare
.

, după cum corespunde la
║
.şi secante

, după cum corespunde la
║
.şi secante

Mijloace,
asemănătoare
la 2 colturi.

3. Găsiți
.

După condiție

4. Găsiți
.

Să facem o proporție:

Răspuns :

Sarcina numărul 3. (Nr. 65) (Pentru a exersa 2 proprietăți ale planurilor paralele)

Dat :

║

║
║

Defini :

fel de patrulatere

Dovedi:

Decizie:

1. Să considerăm un patrulater
.

║
(dupa conditie)

=

patrulater

2. Să considerăm un patrulater
.

║
(dupa conditie)

=
(ca segmente de drepte paralele închise între planuri paralele, proprietatea 2)
patrulater
este un paralelogram

3. Să considerăm un patrulater
.

║
(dupa conditie)

=
(ca segmente de drepte paralele închise între planuri paralele, proprietatea 2)
patrulater
taie un triunghi similar cu cel dat. : ║ Teme pentru acasă.

§ 10 (p. 10-11) p. (20-21)

Nr. 53, Nr. 63(b).

Manual: L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, L. S. Kiseleva, E. G. Poznyak. Geometrie 10, 11. Moscova“ Educaţie ” , 2002.

6. Rezultatul lecției.

Astăzi în lecție am introdus conceptul de planuri paralele, dovedit independent semnul paralelismului a două plane, considerat proprietățile planurilor paralele. Am învățat să rezolvăm probleme pentru demonstrație folosind semnul paralelismului a două plane, să aplicăm proprietățile studiate ale planurilor paralele în rezolvarea problemelor.