Funcția de distribuție conține informații complete despre variabila aleatoare. În practică, funcția de alocare nu poate fi întotdeauna stabilită; uneori nu sunt necesare astfel de cunoștințe exhaustive. Informațiile parțiale despre o variabilă aleatoare sunt date de caracteristici numerice, care, în funcție de tipul de informații, sunt împărțite în următoarele grupe.
1. Caracteristicile poziției unei variabile aleatoare pe axa numerică (mod lu, mediană Pe mine, valorea estimata M(X)).
2. Caracteristicile răspândirii unei variabile aleatoare în jurul valorii medii (dispersie D(X), abaterea standard σ( X)).
3. Caracteristicile formei curbei y = φ( X) (asimetrie La fel de, curtoză Ex).
Să aruncăm o privire mai atentă la fiecare dintre aceste caracteristici.
Valorea estimata variabilă aleatorie X indică o valoare medie în jurul căreia sunt grupate toate valorile posibile X. Pentru o variabilă aleatoare discretă care poate lua doar un număr finit de valori posibile, așteptarea matematică este suma produselor tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare și probabilitatea acestor valori:
. (2.4)
Pentru o variabilă aleatoare continuă X, care are o densitate de distribuție dată φ( X) așteptarea matematică este următoarea integrală:
. (2.5)
Aici se presupune că integrala improprie converge absolut, i.e. exista.
Proprietățile așteptărilor matematice:
1. DOMNIȘOARĂ) = C, Unde Cu = const;
2. M(C∙X) = C∙M(X);
3. M(X ± Y) = M(X) ± ALE MELE), Unde Xși Y– orice variabile aleatoare;
4. M(X∙Y)=M(X)∙ALE MELE), Unde Xși Y sunt variabile aleatoare independente.
Sunt numite două variabile aleatorii independent , dacă legea de distribuție a unuia dintre ele nu depinde de ce valori posibile a luat cealaltă valoare.
Modă variabilă aleatoare discretă, notată lu, valoarea sa cea mai probabilă se numește (Fig. 2.3), iar modul unei variabile aleatoare continue este valoarea la care densitatea de probabilitate este maximă (Fig. 2.4).



Orez. 2.3 Fig. 2.4
median variabilă aleatoare continuă X valoarea sa Me se numește astfel, pentru care este la fel de probabil dacă variabila aleatoare se va dovedi a fi mai mică sau mai mare Pe mine, adică
P(X < Eu) = P(X > Pe mine)
Din definiția mediei rezultă că P(X<Pe mine) = 0,5, adică F (Pe mine) = 0,5. Din punct de vedere geometric, mediana poate fi interpretată ca abscisă, în care ordonata φ( X) traversează zona delimitată de curba de distribuție (Fig. 2.5). În cazul unei distribuții simetrice, mediana coincide cu modul și așteptarea matematică (Fig. 2.6).

Orez. 2.5 Fig. 2.6

Dispersia.

Varianta unei variabile aleatoare- o măsură a răspândirii unei variabile aleatoare date, adică abaterea acesteia de la așteptarea matematică. Notat D[X] în literatura rusă și (ing. varianţă) în ţări străine. În statistică, denumirea sau este adesea folosită. Rădăcina pătrată a varianței, egală cu , se numește abatere standard, abatere standard sau spread standard. Abaterea standard este măsurată în aceleași unități ca și variabila aleatoare în sine, iar varianța este măsurată în pătratele acelei unități.

Din inegalitatea lui Chebyshev rezultă că o variabilă aleatoare se îndepărtează de așteptările sale matematice cu mai mult de k abateri standard cu probabilitate mai mica de 1/ k². Deci, de exemplu, în cel puțin 75% din cazuri, variabila aleatoare este îndepărtată din medie cu cel mult două abateri standard, iar în aproximativ 89% - cu cel mult trei.

dispersie variabila aleatoare se numește așteptarea matematică a pătratului abaterii sale de la așteptarea matematică
D(X) = M(X –M(X)) 2 .
Varianta unei variabile aleatoare X este convenabil să se calculeze cu formula:
a) pentru o cantitate discretă
; (2.6)
b) pentru o variabilă aleatoare continuă
j( X)d X – 2 . (2.7)
Dispersia are următoarele proprietăți:
1. DC) = 0, unde Cu = const;
2. DC× X) = C 2 ∙ D(X);
3. D(X± Y) = D(X) + D(Y), dacă Xși Y variabile aleatoare independente.
Deviație standard variabilă aleatorie X se numește rădăcina aritmetică a varianței, adică.
σ( X) = .
Rețineți că dimensiunea σ( X) coincide cu dimensiunea variabilei aleatoare în sine X, deci abaterea standard este mai convenabilă pentru caracterizarea împrăștierii.
O generalizare a principalelor caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare este conceptul de momente ale unei variabile aleatoare.
Momentul inițial al ordinului k α k variabilă aleatorie X se numește așteptarea matematică a mărimii X k, adică α k = M(X k).
Momentul inițial de ordinul întâi este așteptarea matematică a variabilei aleatoare.
Momentul central al ordinului k μ k variabilă aleatorie X se numește așteptarea matematică a mărimii ( X–M(X))k, adică μ k = M(X–M(X))k.
Momentul central de ordinul doi este varianța variabilei aleatoare.
Pentru o variabilă aleatoare discretă, momentul inițial este exprimat prin suma α k= , iar cea centrală este suma μ k = Unde p i = p(X=x i). Pentru momentele inițiale și centrale ale unei variabile aleatoare continue se pot obține următoarele egalități:
α k = ,  μ k = ,
unde φ( X) este densitatea de distribuție a variabilei aleatoare X.
Valoare La fel de= μ 3 / σ 3 se numește coeficient de asimetrie .
Dacă coeficientul de asimetrie este negativ, atunci aceasta indică o influență mare asupra valorii abaterilor negative m 3. În acest caz, curba de distribuție (Fig. 2.7) este mai plată la stânga M(X). Dacă coeficientul As este pozitiv, ceea ce înseamnă că influența abaterilor pozitive predomină, atunci curba de distribuție (Fig. 2.7) este mai plată în dreapta. În practică, semnul asimetriei este determinat de locația curbei de distribuție în raport cu modul (punctul maxim al funcției diferențiale).


Orez. 2.7
curtoză Ek se numeste cantitate
Ek\u003d μ 4 / σ 4 - 3.

Întrebarea 24: Corelație

Corelație (dependență de corelație) - relație statistică a două sau mai multe variabile aleatoare (sau variabile care pot fi considerate ca atare cu un grad acceptabil de acuratețe). În acest caz, modificările valorilor uneia sau mai multor dintre aceste cantități sunt însoțite de o modificare sistematică a valorilor unei alte cantități sau altor cantități. Măsura matematică a corelației a două variabile aleatoare este relație de corelație, sau coeficient de corelație (sau ) . Dacă o modificare a unei variabile aleatoare nu conduce la o modificare regulată a unei alte variabile aleatoare, ci conduce la o modificare a unei alte caracteristici statistice a acestei variabile aleatoare, atunci o astfel de relație nu este considerată o corelație, deși este statistică.

Pentru prima dată, termenul „corelație” a fost introdus în circulația științifică de către paleontologul francez Georges Cuvier în secolul al XVIII-lea. El a dezvoltat „legea corelației” părților și organelor ființelor vii, cu ajutorul căreia se poate restabili aspectul unui animal fosil, având la dispoziție doar o parte din rămășițele sale. În statistică, cuvântul „corelație” a fost folosit pentru prima dată de biologul și statisticianul englez Francis Galton la sfârșitul secolului al XIX-lea.

Unele tipuri de coeficienți de corelație pot fi pozitivi sau negativi (de asemenea, este posibil să nu existe o relație statistică - de exemplu, pentru variabile aleatoare independente). Dacă se presupune că este dată o relație de ordine strictă asupra valorilor variabilelor, atunci corelație negativă- corelație, în care o creștere a unei variabile este asociată cu o scădere a unei alte variabile, în timp ce coeficientul de corelație poate fi negativ; corelație pozitivăîn astfel de condiții, o corelație în care o creștere a unei variabile este asociată cu o creștere a unei alte variabile, în timp ce coeficientul de corelație poate fi pozitiv.

Teoria probabilității este o ramură specială a matematicii care este studiată numai de studenții instituțiilor de învățământ superior. Îți plac calculele și formulele? Nu vă este frică de perspectivele de familiarizare cu distribuția normală, entropia ansamblului, așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare discrete? Atunci acest subiect va fi de mare interes pentru tine. Să ne familiarizăm cu unele dintre cele mai importante concepte de bază ale acestei secțiuni a științei.

Să ne amintim elementele de bază

Chiar dacă vă amintiți cele mai simple concepte ale teoriei probabilităților, nu neglijați primele paragrafe ale articolului. Faptul este că, fără o înțelegere clară a elementelor de bază, nu veți putea lucra cu formulele discutate mai jos.

Deci, există un eveniment aleatoriu, un experiment. Ca urmare a acțiunilor efectuate, putem obține mai multe rezultate - unele dintre ele sunt mai frecvente, altele mai puțin frecvente. Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate efectiv obținute de un tip și numărul total de rezultate posibile. Numai cunoscând definiția clasică a acestui concept, puteți începe să studiați așteptările matematice și dispersia variabilelor aleatoare continue.

In medie

Înapoi la școală, la lecțiile de matematică, ai început să lucrezi cu media aritmetică. Acest concept este utilizat pe scară largă în teoria probabilității și, prin urmare, nu poate fi ignorat. Principalul lucru pentru noi în acest moment este că îl vom întâlni în formulele pentru așteptarea și varianța matematică a unei variabile aleatoare.

Avem o succesiune de numere și vrem să aflăm media aritmetică. Tot ceea ce ni se cere este să însumăm tot ceea ce este disponibil și să împărțim la numărul de elemente din succesiune. Să avem numere de la 1 la 9. Suma elementelor va fi 45, iar această valoare o vom împărți la 9. Răspuns: - 5.

Dispersia

În termeni științifici, varianța este pătratul mediu al abaterilor valorilor caracteristicilor obținute de la media aritmetică. Unul este notat cu litera latină majusculă D. Ce este necesar pentru a o calcula? Pentru fiecare element al șirului, calculăm diferența dintre numărul disponibil și media aritmetică și o pătratăm. Vor exista exact atâtea valori câte rezultate pot exista pentru evenimentul pe care îl luăm în considerare. În continuare, rezumăm totul primit și împărțim la numărul de elemente din secvență. Dacă avem cinci rezultate posibile, atunci împărțiți la cinci.

Varianta are, de asemenea, proprietăți pe care trebuie să le rețineți pentru a o aplica atunci când rezolvați probleme. De exemplu, dacă variabila aleatoare este mărită de X ori, varianța crește de X ori pătratul (adică, X*X). Nu este niciodată mai mic de zero și nu depinde de deplasarea valorilor cu o valoare egală în sus sau în jos. De asemenea, pentru încercările independente, varianța sumei este egală cu suma variațiilor.

Acum trebuie să luăm în considerare exemple de varianță a unei variabile aleatoare discrete și așteptările matematice.

Să presupunem că rulăm 21 de experimente și obținem 7 rezultate diferite. Am observat fiecare dintre ele, respectiv, de 1,2,2,3,4,4 și, respectiv, de 5 ori. Care va fi variația?

Mai întâi, calculăm media aritmetică: suma elementelor, desigur, este 21. O împărțim la 7, obținând 3. Acum scădem 3 din fiecare număr din șirul inițial, pătram fiecare valoare și adunăm rezultatele împreună. . Se dovedește 12. Acum ne rămâne să împărțim numărul la numărul de elemente și, s-ar părea, atât. Dar există o captură! Să discutăm.

Dependența de numărul de experimente

Se pare că atunci când se calculează varianța, numitorul poate fi unul dintre cele două numere: fie N, fie N-1. Aici N este numărul de experimente efectuate sau numărul de elemente din secvență (care este în esență același lucru). De ce depinde?

Dacă numărul de teste este măsurat în sute, atunci trebuie să punem la numitor N. Dacă este în unități, atunci N-1. Oamenii de știință au decis să deseneze granița în mod destul de simbolic: astăzi trece de-a lungul numărului 30. Dacă am efectuat mai puțin de 30 de experimente, atunci vom împărți cantitatea cu N-1, iar dacă mai mult, atunci cu N.

Sarcină

Să ne întoarcem la exemplul nostru de rezolvare a problemei varianței și așteptărilor. Am obținut un număr intermediar de 12, care trebuia împărțit la N sau N-1. Deoarece am efectuat 21 de experimente, adică mai puțin de 30, vom alege a doua opțiune. Deci răspunsul este: varianța este 12 / 2 = 2.

Valorea estimata

Să trecem la al doilea concept, pe care trebuie să îl luăm în considerare în acest articol. Așteptările matematice sunt rezultatul adunării tuturor rezultatelor posibile înmulțite cu probabilitățile corespunzătoare. Este important de înțeles că valoarea obținută, precum și rezultatul calculării varianței, se obține o singură dată pentru întreaga sarcină, indiferent de câte rezultate sunt luate în considerare în ea.

Formula de așteptare matematică este destul de simplă: luăm rezultatul, îl înmulțim cu probabilitatea lui, adăugăm același lucru pentru al doilea, al treilea rezultat etc. Tot ce este legat de acest concept este ușor de calculat. De exemplu, suma așteptărilor matematice este egală cu așteptările matematice ale sumei. Același lucru este valabil și pentru lucrare. Nu orice mărime din teoria probabilității permite efectuarea unor astfel de operații simple. Să luăm o sarcină și să calculăm valoarea a două concepte pe care le-am studiat simultan. În plus, am fost distrași de teorie – este timpul să exersăm.

Încă un exemplu

Am efectuat 50 de studii și am obținut 10 tipuri de rezultate - numere de la 0 la 9 - care apar în procente diferite. Acestea sunt, respectiv: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Amintiți-vă că pentru a obține probabilitățile, trebuie să împărțiți valorile procentuale la 100. Astfel, obținem 0,02; 0,1 etc. Să prezentăm un exemplu de rezolvare a problemei pentru varianța unei variabile aleatoare și așteptarea matematică.

Calculăm media aritmetică folosind formula pe care o amintim din școala elementară: 50/10 = 5.

Acum să traducem probabilitățile în numărul de rezultate „pe bucăți” pentru a face mai convenabil numărarea. Obținem 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 și 9. Scădem media aritmetică din fiecare valoare obținută, după care punem la pătrat fiecare dintre rezultatele obținute. Vedeți cum să faceți acest lucru cu primul element ca exemplu: 1 - 5 = (-4). Mai mult: (-4) * (-4) = 16. Pentru alte valori, faceți singur aceste operații. Dacă ați făcut totul bine, atunci după ce ați adăugat totul obțineți 90.

Să continuăm calcularea varianței și a mediei împărțind 90 la N. De ce alegem N și nu N-1? Așa este, pentru că numărul de experimente efectuate depășește 30. Deci: 90/10 = 9. Am obținut dispersia. Dacă primești un alt număr, nu dispera. Cel mai probabil, ai făcut o eroare banală în calcule. Verificați din nou ceea ce ați scris și, cu siguranță, totul va fi la locul său.

În sfârșit, să ne amintim formula de așteptare matematică. Nu vom da toate calculele, vom scrie doar răspunsul cu care puteți verifica după finalizarea tuturor procedurilor solicitate. Valoarea așteptată va fi 5,48. Ne amintim doar cum să efectuăm operațiuni, folosind exemplul primelor elemente: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... și așa mai departe. După cum puteți vedea, pur și simplu înmulțim valoarea rezultatului cu probabilitatea acestuia.

Deviere

Un alt concept strâns legat de dispersie și așteptările matematice este abaterea standard. Se notează fie prin literele latine sd, fie prin literele grecești „sigma”. Acest concept arată cum, în medie, valorile se abat de la caracteristica centrală. Pentru a-i găsi valoarea, trebuie să calculați rădăcina pătrată a varianței.

Dacă trasați o distribuție normală și doriți să vedeți abaterea pătratului direct pe ea, acest lucru se poate face în mai mulți pași. Luați jumătate din imagine la stânga sau la dreapta modului (valoarea centrală), trageți o perpendiculară pe axa orizontală, astfel încât zonele figurilor rezultate să fie egale. Valoarea segmentului dintre mijlocul distribuției și proiecția rezultată pe axa orizontală va fi abaterea standard.

Software

După cum se poate observa din descrierile formulelor și exemplele prezentate, calcularea varianței și a așteptărilor matematice nu este cea mai ușoară procedură din punct de vedere aritmetic. Pentru a nu pierde timpul, are sens să folosești programul folosit în învățământul superior – se numește „R”. Are funcții care vă permit să calculați valori pentru multe concepte din statistică și teoria probabilității.

De exemplu, definiți un vector de valori. Aceasta se face astfel: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

In cele din urma

Dispersia și așteptările matematice sunt fără de care este dificil să calculezi ceva în viitor. În cursul principal al prelegerilor la universități, acestea sunt luate în considerare deja în primele luni de studiu a materiei. Tocmai din cauza lipsei de înțelegere a acestor concepte simple și a incapacității de a le calcula, mulți studenți încep imediat să rămână în urmă în program și ulterior primesc note slabe în sesiune, ceea ce îi privează de burse.

Exersează cel puțin o săptămână timp de o jumătate de oră pe zi, rezolvând sarcini similare cu cele prezentate în acest articol. Apoi, la orice test de teorie a probabilităților, vei face față exemplelor fără sfaturi străine și foi de cheat.

Fiecare valoare individuală este complet determinată de funcția sa de distribuție. De asemenea, pentru a rezolva probleme practice, este suficient să cunoașteți mai multe caracteristici numerice, datorită cărora devine posibilă prezentarea principalelor caracteristici ale unei variabile aleatorii într-o formă concisă.

Aceste cantități sunt în primul rând valorea estimatași dispersie .

Valorea estimata- valoarea medie a unei variabile aleatoare în teoria probabilităţilor. Desemnat ca .

În cel mai simplu mod, așteptarea matematică a unei variabile aleatorii X(w), se găsesc ca integralăLebesgueîn ceea ce priveşte măsura probabilităţii R iniţială spațiu de probabilitate

De asemenea, puteți găsi așteptarea matematică a unei valori ca integrala Lebesgue din X prin distribuție de probabilitate R X cantități X:

unde este multimea tuturor valorilor posibile X.

Așteptări matematice ale funcțiilor dintr-o variabilă aleatoare X este prin distribuție R X. de exemplu, dacă X- variabilă aleatoare cu valori în și f(x)- lipsit de ambiguitate Borelfuncţie X , apoi:

În cazul în care un F(x)- functia de distributie X, atunci așteptarea matematică este reprezentabilă integralăLebesgue - Stieltjes (sau Riemann - Stieltjes):

în timp ce integrabilitatea X in ce sens ( * ) corespunde finiturii integralei

În cazuri specifice, dacă X are o distribuție discretă cu valori probabile x k, k=1, 2, . , și probabilități , atunci

dacă X are o distribuție absolut continuă cu o densitate de probabilitate p(x), apoi

în acest caz, existența unei așteptări matematice este echivalentă cu convergența absolută a seriei sau integralei corespunzătoare.

Proprietăți ale așteptării matematice a unei variabile aleatoare.

• Așteptarea matematică a unei valori constante este egală cu această valoare:

C- constant;

• M=C.M[X]

• Așteptările matematice ale sumei valorilor luate aleatoriu este egală cu suma așteptărilor lor matematice:

• Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente = produsul așteptărilor lor matematice:

M=M[X]+L[Y]

dacă Xși Y independent.

dacă seria converge:

Algoritm pentru calcularea așteptării matematice.

Proprietăți ale variabilelor aleatoare discrete: toate valorile lor pot fi renumerotate prin numere naturale; echivalează fiecare valoare cu o probabilitate diferită de zero.

1. Înmulțiți perechile pe rând: x i pe pi.

2. Adăugați produsul fiecărei perechi x i p i.

De exemplu, pentru n = 4 :

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete treptat, ea crește brusc în acele puncte ale căror probabilități au semn pozitiv.

Exemplu: Găsiți așteptările matematice după formula.

Așteptarea matematică (valoarea medie) a unei variabile aleatoare X , dată pe un spațiu de probabilitate discret, este numărul m =M[X]=∑x i p i , dacă seria converge absolut.

Atribuirea serviciului. Cu un serviciu online se calculează așteptările matematice, varianța și abaterea standard(vezi exemplu). În plus, este reprezentat grafic un grafic al funcției de distribuție F(X).

Proprietăți ale așteptării matematice a unei variabile aleatoare

1. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu ea însăși: M[C]=C , C este o constantă;
2. M=C M[X]
3. Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice: M=M[X]+M[Y]
4. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: M=M[X] M[Y] dacă X și Y sunt independenți.

Proprietăți de dispersie

1. Dispersia unei valori constante este egală cu zero: D(c)=0.
2. Factorul constant poate fi scos de sub semnul dispersiei prin pătratul: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Dacă variabilele aleatoare X și Y sunt independente, atunci varianța sumei este egală cu suma varianțelor: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Dacă variabilele aleatoare X și Y sunt dependente: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Pentru varianță, formula de calcul este valabilă:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Exemplu. Sunt cunoscute așteptările și variațiile matematice ale a două variabile aleatoare independente X și Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Aflați așteptarea și varianța matematică a variabilei aleatoare Z=9X-8Y+7 .
Decizie. Pe baza proprietăților așteptărilor matematice: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Pe baza proprietăților de dispersie: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Algoritm pentru calcularea așteptării matematice

Proprietăți ale variabilelor aleatoare discrete: toate valorile lor pot fi renumerotate prin numere naturale; Atribuiți fiecărei valori o probabilitate diferită de zero.

1. Înmulțiți perechile unul câte unul: x i cu p i .
2. Adunăm produsul fiecărei perechi x i p i .
   De exemplu, pentru n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete treptat, crește brusc în acele puncte ale căror probabilități sunt pozitive.

Exemplul #1.

x i	1	3	4	7	9
pi	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Aşteptarea matematică se găseşte prin formula m = ∑x i p i .
Așteptări matematice M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Dispersia se găsește prin formula d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Dispersia D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Abaterea standard σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78

Exemplul #2. O variabilă aleatorie discretă are următoarea serie de distribuție:

X	-10	-5	0	5	10
R	A	0,32	2A	0,41	0,03

Aflați valoarea a , așteptarea matematică și abaterea standard a acestei variabile aleatoare.

Decizie. Valoarea a se găsește din relația: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 sau 0,24=3 a , de unde a = 0,08

Exemplul #3. Determinați legea distribuției unei variabile aleatoare discrete dacă varianța ei este cunoscută și x 1 x 1 =6; x2=9; x3=x; x4=15
p1 = 0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96

Decizie.
Aici trebuie să faceți o formulă pentru a găsi varianța d (x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
unde așteptarea m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Pentru datele noastre
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
sau -9/100 (x 2 -20x+96)=0
În consecință, este necesar să găsiți rădăcinile ecuației și vor fi două dintre ele.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
O alegem pe cea care satisface condiția x 1 x3=12

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p1 = 0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3

Așteptările și varianța matematică sunt caracteristicile numerice cele mai frecvent utilizate ale unei variabile aleatorii. Ele caracterizează cele mai importante trăsături ale distribuției: poziția sa și gradul de dispersie. În multe probleme de practică, o descriere completă, exhaustivă a unei variabile aleatoare - legea distribuției - fie nu poate fi obținută deloc, fie nu este deloc necesară. În aceste cazuri, ele sunt limitate la o descriere aproximativă a unei variabile aleatorii folosind caracteristici numerice.

Așteptările matematice sunt adesea denumite pur și simplu valoarea medie a unei variabile aleatorii. Dispersia unei variabile aleatoare este o caracteristică a dispersiei, dispersia unei variabile aleatoare în jurul așteptărilor sale matematice.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete

Să abordăm conceptul de așteptare matematică, pornind mai întâi de la interpretarea mecanică a distribuției unei variabile aleatoare discrete. Fie ca unitatea de masă să fie distribuită între punctele axei x X1 , X 2 , ..., X n, iar fiecare punct material are o masă corespunzătoare din p1 , p 2 , ..., p n. Este necesar să alegeți un punct pe axa x, care caracterizează poziția întregului sistem de puncte materiale, ținând cont de masele acestora. Este firesc să luăm ca un astfel de punct centrul de masă al sistemului de puncte materiale. Aceasta este media ponderată a variabilei aleatoare X, în care abscisa fiecărui punct Xi intră cu o „pondere” egală cu probabilitatea corespunzătoare. Valoarea medie a variabilei aleatoare astfel obţinută X se numește așteptarea sa matematică.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestor valori:

Exemplul 1 A fost organizată o loterie win-win. Există 1000 de câștiguri, dintre care 400 sunt câte 10 ruble fiecare. 300 - 20 de ruble fiecare 200 - 100 de ruble fiecare. și 100 - 200 de ruble fiecare. Care este câștigul mediu pentru o persoană care cumpără un bilet?

Decizie. Vom găsi câștigul mediu dacă suma totală de câștiguri, care este egală cu 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 de ruble, este împărțită la 1000 (suma totală a câștigurilor). Apoi obținem 50000/1000 = 50 de ruble. Dar expresia pentru calcularea câștigului mediu poate fi reprezentată și în următoarea formă:

Pe de altă parte, în aceste condiții, valoarea câștigurilor este o variabilă aleatorie care poate lua valori de 10, 20, 100 și 200 de ruble. cu probabilități egale cu 0,4, respectiv; 0,3; 0,2; 0,1. Prin urmare, câștigul mediu așteptat este egal cu suma produselor mărimii plăților și probabilitatea de a le primi.

Exemplul 2 Editura a decis să publice o nouă carte. El va vinde cartea cu 280 de ruble, din care 200 îi vor fi date lui, 50 librăriei și 30 autorului. Tabelul oferă informații despre costul publicării unei cărți și probabilitatea de a vinde un anumit număr de exemplare ale cărții.

Găsiți profitul așteptat al editorului.

Decizie. Variabila aleatoare „profit” este egală cu diferența dintre venitul din vânzare și costul costurilor. De exemplu, dacă se vând 500 de exemplare ale unei cărți, atunci venitul din vânzare este de 200 * 500 = 100.000, iar costul publicării este de 225.000 de ruble. Astfel, editorul se confruntă cu o pierdere de 125.000 de ruble. Următorul tabel rezumă valorile așteptate ale variabilei aleatoare - profit:

Număr	Profit Xi	Probabilitate pi	Xi p i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Total:		1,00	25000

Astfel, obținem așteptarea matematică a profitului editorului:

.

Exemplul 3Șansa de a lovi cu o lovitură p= 0,2. Determinați consumul de obuze care oferă așteptarea matematică a numărului de lovituri egal cu 5.

Decizie. Din aceeași formulă de așteptare pe care am folosit-o până acum, ne exprimăm X- consumul de scoici:

.

Exemplul 4 Determinați așteptările matematice ale unei variabile aleatorii X numărul de lovituri cu trei lovituri, dacă probabilitatea de a lovi cu fiecare lovitură p = 0,4 .

Sugestie: găsiți probabilitatea valorilor unei variabile aleatoare prin formula Bernoulli .

Proprietăți de așteptare

Luați în considerare proprietățile așteptărilor matematice.

Proprietatea 1. Așteptările matematice ale unei constante este egală cu această constantă:

Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării:

Proprietatea 3. Așteptările matematice ale sumei (diferenței) variabilelor aleatoare sunt egale cu suma (diferenței) așteptărilor lor matematice:

Proprietatea 4. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare sunt egale cu produsul așteptărilor lor matematice:

Proprietatea 5. Dacă toate valorile variabilei aleatoare X scade (creste) cu acelasi numar Cu, atunci așteptarea sa matematică va scădea (crește) cu același număr:

Când nu poți fi limitat doar la așteptări matematice

În cele mai multe cazuri, doar așteptarea matematică nu poate caracteriza în mod adecvat o variabilă aleatoare.

Să fie variabile aleatoare Xși Y sunt date de următoarele legi de distribuție:

Sens X	Probabilitate
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Sens Y	Probabilitate
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Așteptările matematice ale acestor mărimi sunt aceleași - egale cu zero:

Cu toate acestea, distribuția lor este diferită. Valoare aleatoare X poate lua doar valori care sunt puțin diferite de așteptările matematice și de variabila aleatoare Y poate lua valori care se abat semnificativ de la așteptările matematice. Un exemplu asemănător: salariul mediu nu permite judecarea proporției lucrătorilor cu plăți mari și prost plătite. Cu alte cuvinte, prin așteptarea matematică nu se poate judeca ce abateri de la ea, cel puțin în medie, sunt posibile. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți varianța unei variabile aleatoare.

Dispersia unei variabile aleatoare discrete

dispersie variabilă aleatoare discretă X se numește așteptarea matematică a pătratului abaterii sale de la așteptarea matematică:

Abaterea standard a unei variabile aleatoare X este valoarea aritmetică a rădăcinii pătrate a varianței sale:

.

Exemplul 5 Calculați variațiile și abaterile standard ale variabilelor aleatoare Xși Y, ale căror legi de distribuție sunt date în tabelele de mai sus.

Decizie. Așteptări matematice ale variabilelor aleatoare Xși Y, așa cum a fost găsit mai sus, sunt egale cu zero. Conform formulei de dispersie pentru E(X)=E(y)=0 obținem:

Apoi abaterile standard ale variabilelor aleatoare Xși Y constitui

.

Astfel, cu aceleași așteptări matematice, varianța variabilei aleatoare X foarte mici și aleatorii Y- semnificativă. Aceasta este o consecință a diferenței de distribuție a acestora.

Exemplul 6 Investitorul are 4 proiecte alternative de investiții. Tabelul rezumă datele privind profitul așteptat în aceste proiecte cu probabilitatea corespunzătoare.

Proiectul 1	Proiectul 2	Proiectul 3	Proiectul 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Găsiți pentru fiecare alternativă așteptările matematice, varianța și abaterea standard.

Decizie. Să arătăm cum se calculează aceste cantități pentru a treia alternativă:

Tabelul rezumă valorile găsite pentru toate alternativele.

Toate alternativele au aceeași așteptare matematică. Asta înseamnă că, pe termen lung, toată lumea are același venit. Abaterea standard poate fi interpretată ca o măsură a riscului - cu cât este mai mare, cu atât riscul investiției este mai mare. Un investitor care nu dorește riscuri mari va alege proiectul 1 deoarece are cea mai mică abatere standard (0). Dacă investitorul preferă riscul și randamentele mari într-o perioadă scurtă, atunci va alege proiectul cu cea mai mare abatere standard - proiectul 4.

Proprietăți de dispersie

Să prezentăm proprietățile dispersiei.

Proprietatea 1. Dispersia unei valori constante este zero:

Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:

.

Proprietatea 3. Varianta unei variabile aleatoare este egală cu așteptarea matematică a pătratului acestei valori, din care se scade pătratul așteptării matematice a valorii în sine:

,

Unde .

Proprietatea 4. Varianta sumei (diferenței) variabilelor aleatoare este egală cu suma (diferenței) varianțelor acestora:

Exemplul 7 Se știe că o variabilă aleatoare discretă X ia doar două valori: −3 și 7. În plus, așteptarea matematică este cunoscută: E(X) = 4 . Aflați varianța unei variabile aleatoare discrete.

Decizie. Notează prin p probabilitatea cu care o variabilă aleatoare ia o valoare X1 = −3 . Apoi probabilitatea valorii X2 = 7 va fi 1 − p. Să derivăm ecuația pentru așteptările matematice:

E(X) = X 1 p + X 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,

de unde obținem probabilitățile: p= 0,3 și 1 − p = 0,7 .

Legea distribuției unei variabile aleatoare:

X	−3	7
p	0,3	0,7

Calculăm varianța acestei variabile aleatoare folosind formula de la proprietatea 3 a varianței:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Găsiți singur așteptările matematice ale unei variabile aleatoare și apoi vedeți soluția

Exemplul 8 Variabilă aleatoare discretă X ia doar două valori. Se ia valoarea mai mare de 3 cu o probabilitate de 0,4. În plus, este cunoscută varianța variabilei aleatoare D(X) = 6 . Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatorii.

Exemplul 9 O urna contine 6 bile albe si 4 negre. Se iau 3 bile din urnă. Numărul de bile albe dintre bilele extrase este o variabilă aleatorie discretă X. Găsiți așteptările matematice și varianța acestei variabile aleatoare.

Decizie. Valoare aleatoare X poate lua valorile 0, 1, 2, 3. Probabilitățile corespunzătoare pot fi calculate din regula înmulțirii probabilităților. Legea distribuției unei variabile aleatoare:

X	0	1	2	3
p	1/30	3/10	1/2	1/6

De aici așteptările matematice ale acestei variabile aleatoare:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Varianta unei variabile aleatoare date este:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Așteptările matematice și dispersia unei variabile aleatoare continue

Pentru o variabilă aleatoare continuă, interpretarea mecanică a așteptării matematice va păstra același sens: centrul de masă pentru o unitate de masă distribuită continuu pe axa x cu densitate. f(X). Spre deosebire de o variabilă aleatorie discretă, pentru care argumentul funcției Xi se modifică brusc, pentru o variabilă aleatoare continuă, argumentul se schimbă continuu. Dar așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue este, de asemenea, legată de valoarea medie a acesteia.

Pentru a găsi așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare continue, trebuie să găsiți integrale definite . Dacă este dată o funcție de densitate a unei variabile aleatoare continue, atunci aceasta intră direct în integrand. Dacă este dată o funcție de distribuție a probabilității, atunci prin diferențierea acesteia, trebuie să găsiți funcția de densitate.

Media aritmetică a tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continue se numește ea așteptări matematice, notat cu sau .