2. Modificări ale metodei Gauss

Metoda Gauss cu alegerea elementului principal. Principala limitare a metodei gaussiene este presupunerea că toate elementele în care se face împărțirea la fiecare pas al mișcării înainte nu sunt egale cu zero. Aceste elemente se numesc elemente principale și sunt situate pe diagonala principală a matricei A.

Dacă la un pas al mișcării înainte elementul principal = 0, atunci soluția ulterioară a sistemului este imposibilă. Dacă elementul principal are o valoare mică aproape de zero, atunci este posibilă o creștere puternică a erorii datorită creșterii puternice a valorii absolute a coeficienților obținuți ca urmare a divizării. În astfel de situații, metoda Gauss devine instabilă.

Metoda Gauss cu alegerea elementului principal permite excluderea apariției unor astfel de cazuri.

Ideea din spatele acestei metode este următoarea. La un k-lea pas al mișcării înainte, nu următoarea variabilă x k este exclusă din ecuații, ci o astfel de variabilă, al cărei coeficient este cel mai mare în valoare absolută. Aceasta garantează absența împărțirii la zero și stabilitatea metodei.

Dacă la pasul k ¹ este ales ca element principal, atunci rândurile cu numerele k și p și coloanele cu numerele k și q ar trebui schimbate în matricea A¢.

Permutarea rândurilor nu afectează soluția, deoarece corespunde permutării ecuațiilor din sistem, dar permutarea coloanelor înseamnă o modificare a numerotării variabilelor. Prin urmare, informațiile despre toate coloanele permutate trebuie păstrate astfel încât, după finalizarea mișcării inverse, numerotarea inițială a variabilelor să poată fi restabilită.

Există două modificări mai simple ale metodei Gauss:

Cu alegerea elementului principal după coloană;

Cu alegerea elementului principal după linie.

În primul caz, cel mai mare element al rândului k (dintre elemente , i = ) este selectat ca element principal. În al doilea - cel mai mare element de valoare absolută al coloanei k-a (dintre elemente , i = ). Prima abordare este cea mai răspândită, deoarece numerotarea variabilelor nu se modifică aici.

Trebuie remarcat faptul că modificările indicate privesc doar cursul direct al metodei gaussiene. Mișcarea inversă se efectuează fără modificări, dar după obținerea soluției, poate fi necesară restabilirea numerotării inițiale a variabilelor.

descompunerea LU. În software-ul de calculator modern, metoda Gaussiană este implementată folosind descompunerea LU, care este înțeleasă ca reprezentarea matricei coeficienților A ca produsul A = LU a două matrice L și U, unde L este matricea triunghiulară inferioară, U este matricea triunghiulară superioară

Dacă se obține descompunerea LU, atunci soluția sistemului original de ecuații (2) se reduce la soluția succesivă a următoarelor două sisteme de ecuații cu matrice de coeficienți triunghiulari

ecuație algebrică liniară numerică

unde Y = - vector de variabile auxiliare.

Această abordare face posibilă rezolvarea în mod repetat a sistemelor de ecuații liniare cu diferite părți din dreapta B. În acest caz, partea cea mai consumatoare de timp (LU-descompunerea matricei A) este efectuată o singură dată. Această procedură corespunde metodei Gaussiene directe și are o estimare a forței de muncă de O(n 3). Rezolvarea ulterioară a sistemelor de ecuații (6) și (7) poate fi efectuată în mod repetat (pentru diferit B), iar soluția fiecăruia dintre ele corespunde rulării inverse a metodei Gauss și are o estimare a complexității de calcul O (n 2).

Pentru a obține o descompunere LU, puteți utiliza următorul algoritm.

1. Pentru sistemul original (1), efectuați metoda Gauss directă și obțineți un sistem de ecuații triunghiulare (5).

2. Să se determine elementele matricei U conform regulii

u ij = C ij (i = ; j = )

3. Calculați elementele matricei L conform regulilor

Formulele de calcul pentru rezolvarea sistemului (6) sunt următoarele:

y 1 \u003d b 1 / l 11;

Formule de calcul pentru rezolvarea sistemului (7)

(i = n - 1, n - 2, ..., 1).

În același timp, găsirea efectivă a matricei inverse este un proces destul de laborios, iar programarea acesteia cu greu poate fi numită o sarcină elementară. Prin urmare, în practică, metodele numerice pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare sunt mai des folosite. Metodele numerice de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare includ: metoda Gauss, metoda Cramer, metode iterative. În metoda Gauss, de exemplu, se lucrează pe...

35437 x4=0,58554 5 x1=1,3179137 x2=-1,59467 x3=0,35371 x4=0,58462 6 x1=1,3181515 x2=-1,59506 x3=0,35467 x3=0,35371 x4=0,58462 6 x1=1,3181515 x2=-1,59506 x3=0,35506 x3=0,35506 x3=0,35467 x3=0,35371 ca punct de vecinătate în funcție de vecinătate, metoda de vecinătate a X45, metoda de vecinătate. este diferențiabilă de un număr suficient de ori. ...

În Turbo Pascal 7.0 pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda iterației simple. 1.2 Formularea matematică a problemei Fie A o matrice nesingulară și trebuie să rezolvăm un sistem în care elementele diagonale ale matricei A sunt nenule. 1.3 Prezentare generală a metodelor numerice existente pentru rezolvarea problemei Metoda Gauss În metoda Gauss, matricea SLAE utilizând echivalentul ...

Numere). Mai mult, conform formulelor (2), xn-1, xn-2,..., x1 sunt găsite secvenţial pentru i=n-1, n-2,...,1, respectiv. Astfel, soluția ecuațiilor de forma (1) este descrisă printr-o metodă numită metoda sweep, care se reduce la calcule folosind trei formule simple: găsirea așa-numiților coeficienți sweep δi, λi folosind formulele (3) pentru i= 1,2,…,n (măturare directă) și apoi necunoscut xi de...

(SLAE), constând din ecuații cu necunoscute:

Se presupune că există o soluție unică pentru sistem, adică .

Acest articol va lua în considerare cauzele erorii care apare în timpul soluționării sistemului folosind metoda Gauss, modalități de a identifica și elimina (reduce) această eroare.

Descrierea metodei

Procesul de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare

conform metodei Gauss constă din 2 etape:

1. Presupunem că . Apoi împărțim prima ecuație a sistemului la coeficient, ca rezultat obținem ecuația. Apoi, din fiecare dintre ecuațiile rămase, prima se scade, înmulțită cu coeficientul corespunzător. Ca urmare, sistemul este transformat în forma: 2. Presupunând că , împărțim a doua ecuație la coeficient și excludem necunoscuta din toate ecuațiile ulterioare etc. 3. Obținem un sistem de ecuații cu matrice triunghiulară:

• Determinarea directă înapoi a necunoscutelor

1. Din ecuația a sistemului determinăm 2. Din a - determinăm etc.

Analiza metodei

Această metodă aparține clasei metodelor directe de rezolvare a unui sistem de ecuații, ceea ce înseamnă că o soluție exactă poate fi obținută într-un număr finit de pași, cu condiția ca datele de intrare (matricea și partea dreaptă a ecuației - ) să fie specificat exact și calculul se efectuează fără rotunjire. Pentru a obține o soluție sunt necesare înmulțiri și împărțiri, adică ordinea operațiilor.

Condițiile în care metoda produce o soluție exactă nu sunt fezabile în practică - atât erorile de date de intrare, cât și erorile de rotunjire sunt inevitabile. Atunci apare întrebarea: cât de precisă poate fi obținută o soluție folosind metoda Gauss, cât de corectă este metoda? Să determinăm stabilitatea soluției în raport cu parametrii de intrare. Împreună cu sistemul original, luați în considerare sistemul perturbat:

Să fie introdusă o normă. - se numește numărul de condiție al matricei.

Sunt posibile 3 cazuri:

Numărul condiției matricei este întotdeauna . Dacă este mare () , atunci se spune că matricea este prost condiționată. În acest caz, mici perturbări ale părților din dreapta ale sistemului, cauzate fie de inexactități în setarea datelor inițiale, fie cauzate de erori de calcul, afectează semnificativ soluția sistemului. În linii mari, dacă eroarea părților din dreapta este , atunci eroarea soluției va fi .

Să ilustrăm rezultatele obţinute pe următorul exemplu numeric: Dat un sistem

Ea are o soluție.

Acum luați în considerare sistemul perturbat:

Soluția unui astfel de sistem este vectorul.

Cu o perturbare foarte mică a părții drepte, am obținut o perturbare disproporționat de mare a soluției. Această „nefiabilitate” a soluției poate fi explicată prin faptul că matricea este aproape degenerată: liniile corespunzătoare celor două ecuații aproape coincid, așa cum se poate vedea în grafic:

Un astfel de rezultat ar putea fi de așteptat din cauza condiționalității proaste a matricei:

Calculul este destul de complex, comparabil cu soluția întregului sistem, prin urmare, pentru estimarea erorii, se folosesc metode mai aspre, dar ușor de implementat.

Metode de estimare a erorilor

1) Suma de verificare: folosit de obicei pentru a preveni erorile aleatoare în procesul de calcul fără ajutorul computerelor.

Realizam o coloana de control, formata din elementele de control ale sistemului:

La transformarea ecuațiilor se efectuează aceleași operații asupra elementelor de control ca și asupra membrilor liberi ai ecuațiilor. Ca urmare, elementul de control al fiecărei noi ecuații trebuie să fie egal cu suma coeficienților acestei ecuații. O discrepanță mare între ele indică erori în calcule sau instabilitatea algoritmului de calcul în raport cu eroarea de calcul.

2) Eroarea relativă a soluției cunoscute permite fără costuri suplimentare semnificative obținerea unei judecăți despre eroarea soluției.

Un anumit vector este dat cu componente având, dacă este posibil, aceeași ordine și semn ca și componentele soluției dorite. Se calculează vectorul și, împreună cu sistemul original de ecuații, sistemul este rezolvat.

Să fie și să se obțină efectiv soluții ale acestor sisteme. Judecarea asupra erorii soluției dorite poate fi obținută pe baza ipotezei: erorile relative în rezolvarea prin metoda de eliminare a sistemelor cu aceeași matrice și părți din dreapta diferite, care sunt, respectiv, valorile și , diferă nu de un număr foarte mare de ori.

3) Rescalare - o tehnică utilizată pentru a vă face o idee despre valoarea reală a erorii care apare din cauza rotunjirii în calcule.

Alături de sistemul original, sistemul se rezolvă prin aceeași metodă

, unde și sunt numere

Dacă nu ar exista o eroare de rotunjire, atunci egalitatea ar fi valabilă pentru soluțiile sistemelor originale și scalate: . Prin urmare, pentru și , care nu sunt puteri de doi, compararea vectorilor și oferă o idee despre mărimea erorii de calcul

Îmbunătățirea eliminării gaussiene

Modificările metodei Gauss considerate mai jos fac posibilă reducerea erorii rezultatului.

Selectarea elementului principal

Principala creștere a erorii în metodă are loc în timpul mișcării înainte, când rândul de început este înmulțit cu coeficienți. Dacă coeficienții sunt 1%20" alt=" >1 ">, atunci erorile obținute în pașii anteriori sunt acumulat Gaussian cu alegerea elementului principal La fiecare pas, alegerea maximului element cu coloană se adaugă schemei uzuale după cum urmează:

Să se obțină următorul sistem de ecuații în cursul eliminării necunoscutelor:

, .

Găsiți astfel încât și schimbați ecuațiile -a și --a.

O astfel de transformare în multe cazuri reduce semnificativ sensibilitatea soluției la erorile de rotunjire în calcule.

Îmbunătățirea iterativă a rezultatelor

Dacă există suspiciunea că soluția obținută este puternic distorsionată, atunci rezultatul poate fi îmbunătățit după cum urmează. Cantitatea se numește rezidual. Eroarea satisface sistemul de ecuații

.

Rezolvând acest sistem, obținem o aproximare și set

.

Dacă acuratețea acestei aproximări este nesatisfăcătoare, atunci repetăm ​​această operație.

Procesul poate fi continuat până când toate componentele sunt suficient de mici. În acest caz, calculele nu pot fi oprite doar pentru că toate componentele vectorului rezidual au devenit suficient de mici: acesta poate fi rezultatul condiționalității proaste a matricei coeficienților.

Exemplu numeric

Luați în considerare, de exemplu, o matrice Vandermonde 7x7 și 2 părți drepte diferite:

Aceste sisteme au fost rezolvate în două moduri. Tipul de date este float. Ca urmare, am obținut următoarele rezultate:

Metoda convențională
1		2
1	2	1	2
0.999991	1	0.999996	1
1.00019	1	7.4774e-005	2.33e-008
0.998404	1	0.999375	1
1.00667	1	0.00263727	1.12e-006
0.985328	1	0.994149	1
1.01588	1	0.00637817	3.27e-006
0.993538	1	0.99739	1
0,045479	2.9826e-006	0,01818	8.8362e-006
0,006497	4.2608e-007	0,0045451	2.209e-006
0,040152	4.344e-005	0,083938	2.8654e-006

Cu alegerea elementului conducător după linie
1		2
1	2	1	2
1	1	1	1
1	1	-3.57628e-005	1.836e-007
1.00001	1	1.00031	1
0.999942	1	-0.00133276	7.16e-006
1.00005	1	1.00302	0,99998
1.00009	1	-0.0033505	1.8e-005
0.99991	1	1.00139	0,99999
0,000298	4.3835e-007	0,009439	5.0683e-005
4.2571e-005	6.2622e-008	0,0023542	1.2671e-005
0,010622	9.8016e-007	0,29402	1.4768e-006

Una dintre cele mai simple moduri de a rezolva un sistem de ecuații liniare este o metodă bazată pe calcularea determinanților ( regula lui Cramer). Avantajul său este că vă permite să înregistrați imediat soluția, este mai ales convenabil în cazurile în care coeficienții sistemului nu sunt numere, ci un fel de parametri. Dezavantajul său este greutatea calculelor în cazul unui număr mare de ecuații, în plus, regula lui Cramer nu este direct aplicabilă sistemelor în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de necunoscute. În astfel de cazuri, este de obicei folosit metoda Gauss.

Se numesc sisteme de ecuații liniare care au același set de soluții echivalent. Este evident că setul de soluții ale unui sistem liniar nu se va schimba dacă vreo ecuație este schimbată sau dacă una dintre ecuații este înmulțită cu un număr diferit de zero, sau dacă o ecuație este adăugată la alta.

metoda Gauss (metoda de eliminare succesiva a necunoscutelor) constă în faptul că, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul se reduce la un sistem treptat echivalent. În primul rând, cu ajutorul primei ecuații, X 1 din toate ecuațiile ulterioare ale sistemului. Apoi, folosind a 2-a ecuație, eliminăm X 2 din a 3-a și toate ecuațiile ulterioare. Acest proces, numit metoda Gauss directă, continuă până când rămâne doar o necunoscută în partea stângă a ultimei ecuații x n. După aceea, se face Revers gaussian– rezolvând ultima ecuație, găsim x n; după aceea, folosind această valoare, din penultima ecuație pe care o calculăm x n-1 etc. Ultimul găsim X 1 din prima ecuație.

Este convenabil să se efectueze transformări gaussiene realizând transformări nu cu ecuațiile în sine, ci cu matricele coeficienților lor. Luați în considerare matricea:

numit sistem de matrice extinsă, deoarece pe lângă matricea principală a sistemului, include o coloană de membri liberi. Metoda Gauss se bazează pe aducerea matricei principale a sistemului într-o formă triunghiulară (sau formă trapezoidală în cazul sistemelor nepătrate) folosind transformări elementare de rând (!) ale matricei extinse a sistemului.

Exemplul 5.1. Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss:

Soluţie. Să scriem matricea augmentată a sistemului și, folosind primul rând, după aceea vom seta restul elementelor la zero:

primim zerouri în rândurile 2, 3 și 4 ale primei coloane:

Acum avem nevoie ca toate elementele din a doua coloană de sub al doilea rând să fie egale cu zero. Pentru a face acest lucru, puteți înmulți a doua linie cu -4/7 și adăugați la a treia linie. Totuși, pentru a nu ne ocupa de fracții, vom crea o unitate în al 2-lea rând al celei de-a doua coloane și numai

Acum, pentru a obține o matrice triunghiulară, trebuie să eliminați elementul din al patrulea rând al coloanei a treia, pentru aceasta puteți înmulți al treilea rând cu 8/54 și îl puteți adăuga la al patrulea. Totuși, pentru a nu avea de-a face cu fracțiile, vom schimba rândurile al 3-lea și al 4-lea și al 3-a și al 4-lea coloane și numai după aceea vom reseta elementul specificat. Rețineți că atunci când coloanele sunt rearanjate, variabilele corespunzătoare sunt schimbate și acest lucru trebuie reținut; alte transformări elementare cu coloane (adunare și înmulțire cu un număr) nu pot fi efectuate!

Ultima matrice simplificată corespunde unui sistem de ecuații echivalent cu cel inițial:

De aici, folosind cursul invers al metodei Gauss, găsim din a patra ecuație X 3 = -1; din a treia X 4 = -2, din a doua X 2 = 2 și din prima ecuație X 1 = 1. În formă de matrice, răspunsul se scrie ca

Am luat în considerare cazul când sistemul este definit, adică. când există o singură soluție. Să vedem ce se întâmplă dacă sistemul este inconsecvent sau nedeterminat.

Exemplul 5.2. Explorați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Soluţie. Scriem și transformăm matricea augmentată a sistemului

Scriem un sistem simplificat de ecuații:

Aici, în ultima ecuație, s-a dovedit că 0=4, adică. contradicţie. Prin urmare, sistemul nu are soluție, adică. ea este incompatibil. à

Exemplul 5.3. Explorați și rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Soluţie. Scriem și transformăm matricea extinsă a sistemului:

Ca urmare a transformărilor s-au obținut doar zerouri în ultima linie. Aceasta înseamnă că numărul de ecuații a scăzut cu una:

Astfel, după simplificări, rămân două ecuații, și patru necunoscute, adică. două „în plus” necunoscute. Lasă „de prisos”, sau, după cum se spune, variabile libere, voi X 3 și X patru . Apoi

Presupunând X 3 = 2Ași X 4 = b, primim X 2 = 1–Ași X 1 = 2b–A; sau sub formă de matrice

O soluție scrisă în acest fel se numește general, din moment ce, prin darea parametrilor Ași b valori diferite, este posibil să descriem toate soluțiile posibile ale sistemului. A

Metoda Gauss, numită și metoda eliminării succesive a necunoscutelor, constă în următoarele. Folosind transformări elementare, sistemul de ecuații liniare este adus într-o astfel de formă încât matricea sa de coeficienți se dovedește a fi trapezoidal (la fel ca triunghiular sau în trepte) sau aproape de trapezoidal (cursul direct al metodei Gauss, atunci - doar o mișcare directă). Un exemplu de astfel de sistem și soluția acestuia este prezentat în figura de mai sus.

Într-un astfel de sistem, ultima ecuație conține o singură variabilă și valoarea acesteia poate fi găsită în mod unic. Apoi valoarea acestei variabile este înlocuită în ecuația anterioară ( Revers gaussian , apoi - doar o mișcare inversă), din care se găsește variabila anterioară și așa mai departe.

Într-un sistem trapezoidal (triunghiular), după cum vedem, a treia ecuație nu mai conține variabile yși X, iar a doua ecuație - variabilă X .

După ce matricea sistemului a luat o formă trapezoidală, nu mai este dificil să rezolvați problema compatibilității sistemului, să determinați numărul de soluții și să găsiți soluțiile în sine.

Avantajele metodei:

1. la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu mai mult de trei ecuații și necunoscute, metoda Gauss nu este la fel de greoaie ca metoda Cramer, deoarece sunt necesare mai puține calcule la rezolvarea metodei Gauss;
2. folosind metoda Gauss, poți rezolva sisteme nedefinite de ecuații liniare, adică având o soluție comună (și le vom analiza în această lecție), iar folosind metoda Cramer, poți afirma doar că sistemul este incert;
3. poți rezolva sisteme de ecuații liniare în care numărul de necunoscute nu este egal cu numărul de ecuații (le vom analiza și în această lecție);
4. metoda se bazează pe metode elementare (școlare) - metoda de substituire a necunoscutelor și metoda de adunare a ecuațiilor, pe care am atins-o în articolul corespunzător.

Pentru ca toată lumea să fie impregnată de simplitatea cu care se rezolvă sistemele de ecuații liniare trapezoidale (triunghiulare, trepte), prezentăm soluția unui astfel de sistem folosind cursa inversă. O soluție rapidă la acest sistem a fost prezentată în imaginea de la începutul lecției.

Exemplul 1 Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind mișcarea inversă:

Soluţie. În acest sistem trapezoidal, variabila z se găsește în mod unic din a treia ecuație. Înlocuim valoarea acesteia în a doua ecuație și obținem valoarea variabilei y:

Acum știm valorile a două variabile - zși y. Le înlocuim în prima ecuație și obținem valoarea variabilei X:

Din pașii anteriori, scriem soluția sistemului de ecuații:

Pentru a obține un astfel de sistem trapezoidal de ecuații liniare, pe care l-am rezolvat foarte simplu, este necesară aplicarea unei mișcări directe asociate transformărilor elementare ale sistemului de ecuații liniare. De asemenea, nu este foarte greu.

Transformări elementare ale unui sistem de ecuații liniare

Repetând metoda școlară de adunare algebrică a ecuațiilor sistemului, am aflat că la una dintre ecuațiile sistemului se poate adăuga o altă ecuație a sistemului, iar fiecare dintre ecuații poate fi înmulțită cu câteva numere. Ca rezultat, obținem un sistem de ecuații liniare echivalent cu cel dat. În ea, o ecuație conținea deja o singură variabilă, înlocuind valoarea căreia în alte ecuații, ajungem la o soluție. O astfel de adăugare este unul dintre tipurile de transformare elementară a sistemului. Când folosim metoda Gauss, putem folosi mai multe tipuri de transformări.

Animația de mai sus arată cum sistemul de ecuații se transformă treptat într-unul trapezoidal. Adică, cel pe care l-ați văzut la prima animație și v-ați asigurat că este ușor să găsiți valorile tuturor necunoscutelor din ea. Cum să efectuați o astfel de transformare și, desigur, exemple, vor fi discutate în continuare.

La rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu orice număr de ecuații și necunoscute în sistemul de ecuații și în matricea extinsă a sistemului poate sa:

1. linii de schimb (acesta a fost menționat chiar la începutul acestui articol);
2. dacă în urma altor transformări au apărut linii egale sau proporționale, acestea pot fi șterse, cu excepția uneia;
3. ștergeți rândurile „nule”, unde toți coeficienții sunt egali cu zero;
4. înmulțiți sau împărțiți orice șir cu un număr;
5. adăugați la orice linie o altă linie înmulțită cu un număr.

În urma transformărilor, obținem un sistem de ecuații liniare echivalent cu cel dat.

Algoritm și exemple de rezolvare prin metoda Gauss a unui sistem de ecuații liniare cu o matrice pătrată a sistemului

Luați în considerare mai întâi soluția sistemelor de ecuații liniare în care numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuații. Matricea unui astfel de sistem este pătrată, adică numărul de rânduri din acesta este egal cu numărul de coloane.

Exemplul 2 Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Rezolvând sisteme de ecuații liniare folosind metode școlare, am înmulțit termen cu termen una dintre ecuații cu un anumit număr, astfel încât coeficienții primei variabile din cele două ecuații să fie numere opuse. Când se adună ecuații, această variabilă este eliminată. Metoda Gauss funcționează într-un mod similar.

Pentru a simplifica aspectul soluției compune matricea augmentată a sistemului:

În această matrice, coeficienții necunoscutelor sunt situați în stânga înaintea barei verticale, iar membrii liberi sunt în dreapta după bara verticală.

Pentru comoditatea împărțirii coeficienților variabilelor (pentru a obține o împărțire la unu) schimbați primul și al doilea rând din matricea sistemului. Obținem un sistem echivalent cu cel dat, deoarece în sistemul de ecuații liniare se pot rearanja ecuațiile:

Cu noua prima ecuație elimina variabila X din a doua și din toate ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, adăugați primul rând înmulțit cu (în cazul nostru cu ) la al doilea rând al matricei, iar primul rând înmulțit cu (în cazul nostru cu ) la al treilea rând.

Acest lucru este posibil pentru că

Dacă au existat mai mult de trei ecuații în sistemul nostru, atunci prima linie ar trebui adăugată la toate ecuațiile ulterioare, înmulțită cu raportul coeficienților corespunzători, luați cu semnul minus.

Ca urmare, obținem o matrice echivalentă cu sistemul dat a unui nou sistem de ecuații, în care toate ecuațiile, începând cu a doua nu conțin o variabilă X :

Pentru a simplifica al doilea rând al sistemului rezultat, îl înmulțim cu și obținem din nou matricea sistemului de ecuații echivalent cu acest sistem:

Acum, păstrând prima ecuație a sistemului rezultat neschimbată, folosind a doua ecuație, eliminăm variabila y din toate ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, adăugați al doilea rând înmulțit cu (în cazul nostru, cu ) la al treilea rând al matricei sistemului.

Dacă au existat mai mult de trei ecuații în sistemul nostru, atunci a doua linie ar trebui adăugată la toate ecuațiile ulterioare, înmulțită cu raportul coeficienților corespunzători, luați cu semnul minus.

Ca rezultat, obținem din nou matricea sistemului echivalent cu sistemul dat de ecuații liniare:

Am obținut un sistem trapezoidal de ecuații liniare echivalent cu cel dat:

Dacă numărul de ecuații și variabile este mai mare decât în ​​exemplul nostru, atunci procesul de eliminare secvențială a variabilelor continuă până când matricea sistemului devine trapezoidală, ca în exemplul nostru demonstrativ.

Vom găsi soluția „de la capăt” - invers. Pentru asta din ultima ecuație determinăm z:
.
Înlocuind această valoare în ecuația anterioară, găsi y:

Din prima ecuație găsi X:

Răspuns: soluția acestui sistem de ecuații - .

: în acest caz, același răspuns va fi dat dacă sistemul are o soluție unică. Dacă sistemul are un număr infinit de soluții, atunci va fi și răspunsul, iar acesta este subiectul celei de-a cincea părți a acestei lecții.

Rezolvați singur un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss și apoi uitați-vă la soluție

În fața noastră este din nou un exemplu de sistem consistent și definit de ecuații liniare, în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute. Diferența față de exemplul nostru demonstrativ de la algoritm este că există deja patru ecuații și patru necunoscute.

Exemplul 4 Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss:

Acum trebuie să utilizați a doua ecuație pentru a exclude variabila din ecuațiile ulterioare. Să facem niște lucrări pregătitoare. Pentru a face mai convenabil raportul dintre coeficienți, trebuie să obțineți o unitate în a doua coloană a celui de-al doilea rând. Pentru a face acest lucru, scădeți al treilea rând din al doilea rând și înmulțiți al doilea rând rezultat cu -1.

Să efectuăm acum eliminarea efectivă a variabilei din a treia și a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, adăugați al doilea, înmulțit cu , la a treia linie, iar al doilea, înmulțit cu , la a patra.

Acum, folosind a treia ecuație, eliminăm variabila din a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, la a patra linie, adăugați a treia, înmulțit cu . Obținem o matrice extinsă de formă trapezoidală.

Am obținut un sistem de ecuații, care este echivalent cu sistemul dat:

Prin urmare, sistemele rezultate și date sunt consistente și definite. Găsim soluția finală „de la capăt”. Din a patra ecuație, putem exprima direct valoarea variabilei „x patrulea”:

Inlocuim aceasta valoare in a treia ecuatie a sistemului si obtinem

,

,

În sfârșit, înlocuirea valorii

În prima ecuație dă

,

unde găsim "x primul":

Răspuns: Acest sistem de ecuații are o soluție unică. .

De asemenea, puteți verifica soluția sistemului pe un calculator care rezolvă prin metoda lui Cramer: în acest caz, același răspuns va fi dat dacă sistemul are o soluție unică.

Rezolvarea prin metoda Gauss a problemelor aplicate pe exemplul unei probleme pentru aliaje

Sistemele de ecuații liniare sunt folosite pentru a modela obiecte reale ale lumii fizice. Să rezolvăm una dintre aceste probleme - pentru aliaje. Sarcini similare - sarcini pentru amestecuri, costul sau greutatea specifică a mărfurilor individuale dintr-un grup de mărfuri și altele asemenea.

Exemplul 5 Trei bucăți de aliaj au o masă totală de 150 kg. Primul aliaj conține 60% cupru, al doilea - 30%, al treilea - 10%. În același timp, în al doilea și al treilea aliaj luate împreună, cuprul este cu 28,4 kg mai puțin decât în ​​primul aliaj, iar în al treilea aliaj, cuprul este cu 6,2 kg mai puțin decât în ​​al doilea. Aflați masa fiecărei piese de aliaj.

Soluţie. Compunem un sistem de ecuații liniare:

Înmulțind a doua și a treia ecuație cu 10, obținem un sistem echivalent de ecuații liniare:

Compunem matricea extinsă a sistemului:

Atenție, mișcare directă. Adunând (în cazul nostru, scăzând) un rând, înmulțit cu un număr (se aplică de două ori), cu matricea extinsă a sistemului au loc următoarele transformări:

Cursa dreaptă s-a terminat. Am obținut o matrice extinsă de formă trapezoidală.

Să folosim inversul. Găsim o soluție de la final. Vedem asta .

Din a doua ecuație găsim

Din a treia ecuație -

De asemenea, puteți verifica soluția sistemului pe un calculator care rezolvă prin metoda lui Cramer: în acest caz, același răspuns va fi dat dacă sistemul are o soluție unică.

Simplitatea metodei Gauss este dovedită de faptul că matematicianul german Carl Friedrich Gauss i-a luat doar 15 minute pentru a o inventa. Pe lângă metoda numelui său, din opera lui Gauss, dictonul „Nu trebuie să confundăm ceea ce ni se pare incredibil și nefiresc cu absolut imposibil” este un fel de scurtă instrucțiune pentru a face descoperiri.

În multe probleme aplicate, poate să nu existe o a treia restricție, adică o a treia ecuație, atunci este necesar să se rezolve un sistem de două ecuații cu trei necunoscute prin metoda Gauss sau, dimpotrivă, există mai puține necunoscute decât ecuații. Acum începem să rezolvăm astfel de sisteme de ecuații.

Folosind metoda Gauss, puteți determina dacă orice sistem este consecvent sau inconsecvent n ecuații liniare cu n variabile.

Metoda Gauss și sisteme de ecuații liniare cu un număr infinit de soluții

Următorul exemplu este un sistem consistent, dar nedefinit de ecuații liniare, adică are un număr infinit de soluții.

După efectuarea transformărilor în matricea extinsă a sistemului (permutarea rândurilor, înmulțirea și împărțirea rândurilor cu un anumit număr, adăugarea unui rând la altul), rânduri de formă

Dacă în toate ecuaţiile având forma

Membrii liberi sunt egali cu zero, asta înseamnă că sistemul este nedefinit, adică are un număr infinit de soluții, iar ecuațiile de acest tip sunt „de prisos” și sunt excluse din sistem.

Exemplul 6

Soluţie. Să compunem matricea extinsă a sistemului. Apoi, folosind prima ecuație, eliminăm variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, la al doilea, al treilea și al patrulea rând, adăugați primul, înmulțit cu , respectiv:

Acum să adăugăm a doua linie la a treia și a patra.

Ca urmare, ajungem la sistem

Ultimele două ecuații au devenit ecuații de forma . Aceste ecuații sunt satisfăcute pentru orice valoare a necunoscutelor și pot fi aruncate.

Pentru a satisface a doua ecuație, putem alege valori arbitrare pentru și , apoi valoarea pentru va fi determinată fără ambiguitate: . Din prima ecuație, valoarea pentru este, de asemenea, găsită în mod unic: .

Atât sistemul dat, cât și ultimul sunt compatibile, dar nedefinite, iar formulele

pentru arbitrare și să ne dea toate soluțiile sistemului dat.

Metoda Gauss și sisteme de ecuații liniare care nu au soluții

Următorul exemplu este un sistem inconsecvent de ecuații liniare, adică nu are soluții. Răspunsul la astfel de probleme este formulat astfel: sistemul nu are soluții.

După cum sa menționat deja în legătură cu primul exemplu, după efectuarea transformărilor în matricea extinsă a sistemului, liniile de formă

corespunzătoare unei ecuaţii de formă

Dacă printre ele există cel puțin o ecuație cu un termen liber diferit de zero (adică ), atunci acest sistem de ecuații este inconsecvent, adică nu are soluții, iar aceasta își completează soluția.

Exemplul 7 Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gauss:

Soluţie. Compunem matricea extinsă a sistemului. Folosind prima ecuație, excludem variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, adăugați primul înmulțit cu la al doilea rând, primul înmulțit cu al treilea rând și primul înmulțit cu al patrulea rând.

Acum trebuie să utilizați a doua ecuație pentru a exclude variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a obține rapoarte întregi ale coeficienților, schimbăm al doilea și al treilea rând din matricea extinsă a sistemului.

Pentru a exclude din a treia și a patra ecuație, adăugați a doua, înmulțită cu , la al treilea rând, iar a doua, înmulțită cu , la al patrulea.

Acum, folosind a treia ecuație, eliminăm variabila din a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, la a patra linie, adăugați a treia, înmulțit cu .

Sistemul dat este astfel echivalent cu următorul:

Sistemul rezultat este inconsecvent, deoarece ultima sa ecuație nu poate fi satisfăcută de nicio valoare a necunoscutelor. Prin urmare, acest sistem nu are soluții.

metoda Gauss excelent pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE). Are mai multe avantaje față de alte metode:

• în primul rând, nu este necesară investigarea prealabilă a sistemului de ecuații pentru compatibilitate;
• în al doilea rând, metoda Gauss poate fi folosită pentru a rezolva nu numai SLAE-uri în care numărul de ecuații coincide cu numărul de variabile necunoscute și matricea principală a sistemului este nedegenerată, ci și sisteme de ecuații în care numărul de ecuații nu coincide. cu numărul de variabile necunoscute sau determinantul matricei principale este egal cu zero;
• în al treilea rând, metoda Gauss conduce la un rezultat cu un număr relativ mic de operații de calcul.

Scurtă recenzie a articolului.

În primul rând, dăm definițiile necesare și introducem unele notații.

În continuare, descriem algoritmul metodei Gauss pentru cel mai simplu caz, adică pentru sistemele de ecuații algebrice liniare, numărul de ecuații în care coincide cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero. La rezolvarea unor astfel de sisteme de ecuații este cel mai clar vizibilă esența metodei Gauss, care constă în eliminarea succesivă a variabilelor necunoscute. Prin urmare, metoda Gaussiană este numită și metoda eliminării succesive a necunoscutelor. Să arătăm soluții detaliate ale mai multor exemple.

În concluzie, luăm în considerare soluția gaussiană a sistemelor de ecuații algebrice liniare a căror matrice principală este fie dreptunghiulară, fie degenerată. Soluția unor astfel de sisteme are câteva caracteristici, pe care le vom analiza în detaliu folosind exemple.

Navigare în pagină.

Definiții și notații de bază.

Considerăm un sistem de p ecuații liniare cu n necunoscute (p poate fi egal cu n):

Unde sunt variabile necunoscute, sunt numere (reale sau complexe), sunt membri liberi.

În cazul în care un , atunci sistemul de ecuații algebrice liniare se numește omogen, in caz contrar - eterogen.

Setul de valori ale variabilelor necunoscute, în care toate ecuațiile sistemului se transformă în identități, se numește Decizia SLAU.

Dacă există cel puțin o soluție la un sistem de ecuații algebrice liniare, atunci se numește comun, in caz contrar - incompatibil.

Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit. Dacă există mai multe soluții, atunci sistemul este apelat incert.

Se spune că sistemul este scris forma de coordonate dacă are forma
.

Acest sistem în formă matriceală records are forma , unde - matricea principală a SLAE, - matricea coloanei de variabile necunoscute, - matricea membrilor liberi.

Dacă adăugăm la matricea A ca (n + 1)-a coloană coloana matricei de termeni liberi, atunci obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, matricea mărită este desemnată cu litera T, iar coloana de membri liberi este separată printr-o linie verticală de restul coloanelor, adică

Matricea pătrată A se numește degenerat dacă determinantul său este zero. Dacă , atunci se numește matricea A nedegenerat.

Trebuie remarcat următorul punct.

Dacă se execută următoarele acțiuni cu un sistem de ecuații algebrice liniare

• schimbați două ecuații,
• înmulțiți ambele părți ale oricărei ecuații cu un număr real (sau complex) arbitrar și diferit de zero k,
• la ambele părți ale oricărei ecuații adăugați părțile corespunzătoare ale celeilalte ecuații, înmulțite cu un număr arbitrar k,

atunci obținem un sistem echivalent care are aceleași soluții (sau, ca și cel original, nu are soluții).

Pentru o matrice extinsă a unui sistem de ecuații algebrice liniare, aceste acțiuni vor însemna efectuarea de transformări elementare cu rânduri:

• schimbând două șiruri
• înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând al matricei T cu un număr diferit de zero k ,
• adunând la elementele oricărui rând al matricei elementele corespunzătoare din alt rând, înmulțite cu un număr arbitrar k .

Acum putem trece la descrierea metodei Gauss.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare, în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute și matricea principală a sistemului este nedegenerată, prin metoda Gauss.

Ce am face la școală dacă ni s-ar da sarcina de a găsi o soluție la un sistem de ecuații .

Unii ar face asta.

Rețineți că, adăugând partea stângă a primei ecuații în partea stângă a celei de-a doua ecuații și partea dreaptă în partea dreaptă, puteți scăpa de variabilele necunoscute x 2 și x 3 și puteți găsi imediat x 1:

Înlocuim valoarea găsită x 1 \u003d 1 în prima și a treia ecuație a sistemului:

Dacă înmulțim ambele părți ale celei de-a treia ecuații a sistemului cu -1 și le adăugăm la părțile corespunzătoare ale primei ecuații, atunci scăpăm de variabila necunoscută x 3 și putem găsi x 2:

Înlocuim valoarea obținută x 2 \u003d 2 în a treia ecuație și găsim variabila necunoscută rămasă x 3:

Alții ar fi procedat altfel.

Să rezolvăm prima ecuație a sistemului în raport cu variabila necunoscută x 1 și să substituim expresia rezultată în a doua și a treia ecuație a sistemului pentru a exclude această variabilă din ele:

Acum să rezolvăm a doua ecuație a sistemului în raport cu x 2 și să substituim rezultatul obținut în a treia ecuație pentru a exclude variabila necunoscută x 2 din aceasta:

Din a treia ecuație a sistemului se poate observa că x 3 =3. Din a doua ecuație găsim , iar din prima ecuație obținem .

Soluții familiare, nu?

Cel mai interesant lucru aici este că a doua metodă de soluție este în esență metoda eliminării secvențiale a necunoscutelor, adică metoda Gauss. Când am exprimat variabile necunoscute (prima x 1 , următoarea x 2 ) și le-am substituit în restul ecuațiilor sistemului, le-am exclus astfel. Am efectuat excepția până în momentul în care ultima ecuație a lăsat o singură variabilă necunoscută. Procesul de eliminare secvenţială a necunoscutelor se numeşte metoda Gauss directă. După ce trecerea înainte este finalizată, avem posibilitatea de a calcula variabila necunoscută din ultima ecuație. Cu ajutorul ei, din penultima ecuație, găsim următoarea variabilă necunoscută și așa mai departe. Procesul de a găsi succesiv variabile necunoscute în timp ce se trece de la ultima ecuație la prima este numit metoda Gauss inversă.

Trebuie remarcat faptul că atunci când exprimăm x 1 în termeni de x 2 și x 3 în prima ecuație și apoi substituim expresia rezultată în a doua și a treia ecuație, următoarele acțiuni conduc la același rezultat:

Într-adevăr, o astfel de procedură ne permite, de asemenea, să excludem variabila necunoscută x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului:

Nuanțe cu eliminarea variabilelor necunoscute prin metoda Gauss apar atunci când ecuațiile sistemului nu conțin unele variabile.

De exemplu, în SLAU în prima ecuație, nu există o variabilă necunoscută x 1 (cu alte cuvinte, coeficientul din fața acesteia este zero). Prin urmare, nu putem rezolva prima ecuație a sistemului în raport cu x 1 pentru a exclude această variabilă necunoscută din restul ecuațiilor. Calea de ieșire din această situație este schimbarea ecuațiilor sistemului. Deoarece luăm în considerare sisteme de ecuații liniare ale căror determinanți ai matricelor principale sunt diferiți de zero, există întotdeauna o ecuație în care variabila de care avem nevoie este prezentă și putem rearanja această ecuație la poziția de care avem nevoie. Pentru exemplul nostru, este suficient să schimbați prima și a doua ecuație a sistemului , atunci puteți rezolva prima ecuație pentru x 1 și o puteți exclude din restul ecuațiilor sistemului (deși x 1 este deja absent în a doua ecuație).

Sperăm că înțelegeți esențialul.

Să descriem Algoritmul metodei Gauss.

Trebuie să rezolvăm un sistem de n ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute de forma , iar determinantul matricei sale principale să fie diferit de zero.

Vom presupune că , deoarece putem întotdeauna realiza acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Excludem variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua. Pentru a face acest lucru, adăugați prima ecuație înmulțită cu la a doua ecuație a sistemului, adăugați prima înmulțită cu la a treia ecuație și așa mai departe, adăugați prima înmulțită cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde un .

Am ajunge la același rezultat dacă am exprima x 1 în termeni de alte variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am înlocui expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, acționăm în mod similar, dar numai cu o parte a sistemului rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, adăugați a doua ecuație înmulțită cu la a treia ecuație a sistemului, adăugați a doua înmulțită cu la a patra ecuație și așa mai departe, adăugați a doua înmulțită cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde un . Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.

În continuare, trecem la eliminarea necunoscutului x 3, acționând în același timp cu partea din sistem marcată în figură

Deci continuăm cursul direct al metodei Gauss până când sistemul ia forma

Din acest moment, începem cursul invers al metodei Gauss: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea obținută a lui x n găsim x n-1 din penultima ecuație și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație.

Să analizăm algoritmul cu un exemplu.

Exemplu.

metoda gaussiana.

Soluţie.

Coeficientul a 11 este diferit de zero, deci să trecem la cursul direct al metodei Gauss, adică la eliminarea variabilei necunoscute x 1 din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei. Pentru a face acest lucru, la părțile din stânga și din dreapta celei de-a doua, a treia și a patra ecuație, adăugați părțile din stânga și din dreapta primei ecuații, înmulțite cu , respectiv, și :

Variabila necunoscută x 1 a fost eliminată, să trecem la excluderea x 2 . La părțile din stânga și dreapta ale celei de-a treia și a patra ecuații ale sistemului, adunăm părțile din stânga și din dreapta celei de-a doua ecuații, înmulțite cu și :

Pentru a finaliza cursul înainte al metodei Gauss, trebuie să excludem variabila necunoscută x 3 din ultima ecuație a sistemului. Adaugă la stânga și la dreapta celei de-a patra ecuații, respectiv, laturile stânga și dreapta ale celei de-a treia ecuații, înmulțite cu :

Puteți începe cursul invers al metodei Gauss.

Din ultima ecuație avem ,
din a treia ecuație obținem,
din a doua
din prima.

Pentru a verifica, puteți înlocui valorile obținute ale variabilelor necunoscute în sistemul original de ecuații. Toate ecuațiile se transformă în identități, ceea ce înseamnă că soluția prin metoda Gauss a fost găsită corect.

Răspuns:

Și acum vom oferi soluția aceluiași exemplu prin metoda Gauss sub formă de matrice.

Exemplu.

Găsiți o soluție a sistemului de ecuații metoda gaussiana.

Soluţie.

Matricea extinsă a sistemului are forma . Deasupra fiecărei coloane sunt scrise variabile necunoscute, care corespund elementelor matricei.

Cursul direct al metodei Gauss aici implică aducerea matricei extinse a sistemului într-o formă trapezoidală folosind transformări elementare. Acest proces este similar cu excluderea variabilelor necunoscute pe care am făcut-o cu sistemul sub formă de coordonate. Acum te vei convinge de asta.

Să transformăm matricea astfel încât toate elementele din prima coloană, începând de la a doua, să devină zero. Pentru a face acest lucru, la elementele din al doilea, al treilea și al patrulea rând, adăugați elementele corespunzătoare din primul rând înmulțite cu , și respectiv pe:

În continuare, transformăm matricea rezultată astfel încât în ​​a doua coloană, toate elementele, începând de la a treia, să devină zero. Aceasta ar corespunde excluderii variabilei necunoscute x 2 . Pentru a face acest lucru, adăugați la elementele din al treilea și al patrulea rând elementele corespunzătoare din primul rând al matricei, înmulțite cu și :

Rămâne să excludem variabila necunoscută x 3 din ultima ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la elementele ultimului rând al matricei rezultate, adăugăm elementele corespunzătoare din penultimul rând, înmulțite cu :

Trebuie remarcat faptul că această matrice corespunde sistemului de ecuații liniare

care a fost obţinut mai devreme după mutarea directă.

E timpul să te întorci. În forma matriceală a notației, cursul invers al metodei Gauss implică o astfel de transformare a matricei rezultate astfel încât matricea marcată în figură

a devenit diagonală, adică a luat forma

unde sunt niste numere.

Aceste transformări sunt similare cu cele ale metodei Gauss, dar sunt efectuate nu de la prima linie la ultima, ci de la ultima la prima.

Adăugați elementelor din al treilea, al doilea și primul rând elementele corespunzătoare din ultimul rând, înmulțite cu , iar si iar respectiv:

Acum să adăugăm elementelor din al doilea și din primul rând elementele corespunzătoare ale celui de-al treilea rând, înmulțite cu și, respectiv, cu:

La ultimul pas al mișcării inverse a metodei Gauss, la elementele primului rând, adăugăm elementele corespunzătoare din al doilea rând, înmulțite cu:

Matricea rezultată corespunde sistemului de ecuații , din care găsim variabilele necunoscute.

Răspuns:

NOTĂ.

Când utilizați metoda Gauss pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare, calculele aproximative ar trebui evitate, deoarece acest lucru poate duce la rezultate absolut incorecte. Vă recomandăm să nu rotunjiți zecimale. Este mai bine să treceți de la fracțiile zecimale la fracțiile obișnuite.

Exemplu.

Rezolvarea sistemului de trei ecuații prin metoda gaussiană .

Soluţie.

Rețineți că în acest exemplu, variabilele necunoscute au o denumire diferită (nu x 1 , x 2 , x 3 , ci x, y, z ). Să trecem la fracțiile obișnuite:

Eliminați necunoscutul x din a doua și a treia ecuație a sistemului:

În sistemul rezultat, nu există o variabilă necunoscută y în a doua ecuație și y este prezent în a treia ecuație, prin urmare, schimbăm a doua și a treia ecuație:

În acest moment, cursul direct al metodei Gauss s-a încheiat (nu trebuie să excludeți y din a treia ecuație, deoarece această variabilă necunoscută nu mai există).

Să ne întoarcem.

Din ultima ecuație găsim ,
din penultimul


din prima ecuație pe care o avem

Răspuns:

X=10, y=5, z=-20.

Soluția sistemelor de ecuații algebrice liniare, în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de necunoscute, sau matricea principală a sistemului este degenerată, prin metoda Gauss.

Sistemele de ecuații a căror matrice principală este dreptunghiulară sau pătrată degenerată pot să nu aibă soluții, să aibă o singură soluție sau să aibă un număr infinit de soluții.

Acum vom înțelege cum metoda Gauss ne permite să stabilim compatibilitatea sau inconsecvența unui sistem de ecuații liniare și, în cazul compatibilității acestuia, să determinăm toate soluțiile (sau o singură soluție).

În principiu, procesul de eliminare a variabilelor necunoscute în cazul unor astfel de SLAE rămâne același. Cu toate acestea, merită să ne oprim în detaliu asupra unor situații care pot apărea.

Să trecem la cel mai important pas.

Așadar, să presupunem că sistemul de ecuații algebrice liniare după finalizarea executării înainte a metodei Gauss ia forma și niciuna dintre ecuații nu sa redus la (în acest caz, am concluziona că sistemul este inconsecvent). Apare o întrebare logică: „Ce să faci în continuare”?

Scriem variabilele necunoscute care se află pe primul loc al tuturor ecuațiilor sistemului rezultat:

În exemplul nostru, acestea sunt x 1 , x 4 și x 5 . În părțile din stânga ecuațiilor sistemului, lăsăm doar acei termeni care conțin variabilele necunoscute scrise x 1, x 4 și x 5, transferăm termenii rămași în partea dreaptă a ecuațiilor cu semnul opus:

Să atribuim valori arbitrare variabilelor necunoscute care se află în partea dreaptă a ecuațiilor, unde - numere arbitrare:

După aceea, numerele se găsesc în părțile corecte ale tuturor ecuațiilor SLAE-ului nostru și putem trece la cursul invers al metodei Gauss.

Din ultima ecuație a sistemului pe care o avem, din penultima ecuație găsim, din prima ecuație obținem

Soluția sistemului de ecuații este setul de valori ale variabilelor necunoscute

Dând numere valori diferite, vom obține soluții diferite ale sistemului de ecuații. Adică, sistemul nostru de ecuații are infinite de soluții.

Răspuns:

Unde - numere arbitrare.

Pentru a consolida materialul, vom analiza în detaliu soluțiile mai multor exemple.

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare metoda gaussiana.

Soluţie.

Să excludem variabila necunoscută x din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, adăugați la părțile din stânga și din dreapta celei de-a doua ecuații, respectiv, părțile din stânga și din dreapta primei ecuații, înmulțite cu , iar părțile din stânga și din dreapta celei de-a treia ecuații - părțile din stânga și din dreapta ale ecuației. prima ecuație, înmulțită cu:

Acum excludem y din a treia ecuație a sistemului de ecuații rezultat:

SLAE rezultat este echivalent cu sistemul .

Lăsăm doar termenii care conțin variabilele necunoscute x și y în partea stângă a ecuațiilor sistemului și transferăm termenii cu variabila necunoscută z în partea dreaptă: