Și astăzi nu toată lumea poate rezolva inegalitățile raționale. Mai exact, nu numai toată lumea poate decide. Puțini oameni o pot face.
Klitschko

Această lecție va fi dură. Atât de dur încât doar Aleșii vor ajunge la capăt. Prin urmare, înainte de a citi, recomand îndepărtarea femeilor, pisicilor, copiilor însărcinate și...

Bine, de fapt este destul de simplu. Să presupunem că ați stăpânit metoda intervalului (dacă nu ați stăpânit-o, vă recomand să vă întoarceți și să o citiți) și ați învățat cum să rezolvați inegalitățile de forma $P\left(x \right) \gt 0$, unde $P \left(x \right)$ este un polinom sau un produs al polinoamelor.

Cred că nu vă va fi greu să rezolvați, de exemplu, un astfel de joc (apropo, încercați-l pentru o încălzire):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Acum să complicăm puțin sarcina și să luăm în considerare nu doar polinoamele, ci și așa-numitele fracții raționale ale formei:

unde $P\left(x \right)$ și $Q\left(x \right)$ sunt aceleași polinoame de forma $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ sau produsul unor astfel de polinoame.

Aceasta va fi o inegalitate rațională. Punctul fundamental este prezența variabilei $x$ în numitor. De exemplu, iată inegalitățile raționale:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(align)\]

Și aceasta nu este o inegalitate rațională, ci cea mai comună, care este rezolvată prin metoda intervalului:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Privind în viitor, voi spune imediat: există cel puțin două moduri de a rezolva inegalitățile raționale, dar toate într-un fel sau altul sunt reduse la metoda intervalelor deja cunoscută nouă. Prin urmare, înainte de a analiza aceste metode, să ne amintim faptele vechi, altfel nu va mai avea sens din noul material.

Ce trebuie să știi deja

Nu sunt multe fapte importante. Avem nevoie de doar patru.

Formule de înmulțire prescurtate

Da, da: ne vor bântui pe tot parcursul curriculumului școlar de matematică. Și la universitate. Există destul de multe dintre aceste formule, dar avem nevoie doar de următoarele:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\dreapta); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\ dreapta). \\ \end(align)\]

Atenție la ultimele două formule - aceasta este suma și diferența de cuburi (și nu cubul sumei sau diferenței!). Sunt ușor de reținut dacă observați că semnul din prima paranteză este același cu semnul din expresia originală, iar în a doua paranteză este opusul semnului din expresia originală.

Ecuatii lineare

Acestea sunt cele mai simple ecuații de forma $ax+b=0$, unde $a$ și $b$ sunt numere obișnuite, iar $a\ne 0$. Această ecuație este ușor de rezolvat:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(align)\]

Observ că avem dreptul de a împărți la coeficientul $a$, deoarece $a\ne 0$. Această cerință este destul de logică, deoarece cu $a=0$ obținem asta:

În primul rând, nu există nicio variabilă $x$ în această ecuație. Acest lucru, în general, nu ar trebui să ne încurce (așa se întâmplă, să zicem, în geometrie și destul de des), dar totuși nu mai suntem o ecuație liniară.

În al doilea rând, soluția acestei ecuații depinde numai de coeficientul $b$. Dacă $b$ este și zero, atunci ecuația noastră este $0=0$. Această egalitate este întotdeauna adevărată; prin urmare, $x$ este orice număr (de obicei scris ca $x\în \mathbb(R)$). Dacă coeficientul $b$ nu este egal cu zero, atunci egalitatea $b=0$ nu este niciodată satisfăcută, adică. nici un răspuns (scris $x\în \varnothing $ și citiți „setul de soluții este gol”).

Pentru a evita toate aceste complexități, presupunem pur și simplu $a\ne 0$, ceea ce nu ne împiedică în niciun fel de la reflecții ulterioare.

Ecuații cuadratice

Permiteți-mi să vă reamintesc că aceasta se numește ecuație pătratică:

Aici în stânga este un polinom de gradul doi și din nou $a\ne 0$ (altfel, în loc de o ecuație pătratică, obținem una liniară). Următoarele ecuații sunt rezolvate prin discriminant:

1. Dacă $D \gt 0$, obținem două rădăcini diferite;
2. Dacă $D=0$, atunci rădăcina va fi una, dar a celei de-a doua multiplicități (ce fel de multiplicitate este și cum să o luăm în considerare - mai multe despre asta mai târziu). Sau putem spune că ecuația are două rădăcini identice;
3. Pentru $D \lt 0$ nu există deloc rădăcini, iar semnul polinomului $a((x)^(2))+bx+c$ pentru orice $x$ coincide cu semnul coeficientului $a $. Acesta, apropo, este un fapt foarte util, care din anumite motive este uitat să fie spus la orele de algebră.

Rădăcinile în sine sunt calculate după formula binecunoscută:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

De aici, de altfel, restricțiile asupra discriminantului. La urma urmei, rădăcina pătrată a unui număr negativ nu există. În ceea ce privește rădăcinile, mulți elevi au o mizerie groaznică în cap, așa că am înregistrat special o lecție întreagă: ce este o rădăcină în algebră și cum să o calculez - recomand cu căldură să o citești. :)

Operații cu fracții raționale

Tot ce a fost scris mai sus, știi deja dacă ai studiat metoda intervalelor. Dar ceea ce vom analiza acum nu are analogi în trecut - acesta este un fapt complet nou.

Definiție. O fracție rațională este o expresie a formei

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

unde $P\left(x \right)$ și $Q\left(x \right)$ sunt polinoame.

Este evident că este ușor să obțineți o inegalitate dintr-o astfel de fracție - este suficient doar să atribuiți semnul „mai mare decât” sau „mai puțin decât” la dreapta. Și puțin mai departe vom constata că rezolvarea unor astfel de probleme este o plăcere, totul este foarte simplu acolo.

Problemele încep atunci când există mai multe astfel de fracții într-o expresie. Ele trebuie reduse la un numitor comun - și tocmai în acest moment se comit un număr mare de greșeli ofensive.

Prin urmare, pentru a rezolva cu succes ecuații raționale, este necesar să stăpânești cu fermitate două abilități:

1. Factorizarea polinomului $P\left(x \right)$;
2. De fapt, aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Cum se factorizează un polinom? Foarte simplu. Să avem un polinom de forma

Să-l echivalăm cu zero. Obținem ecuația de gradul $n$-al-lea:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Să presupunem că am rezolvat această ecuație și am obținut rădăcinile $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (nu vă faceți griji: în cele mai multe cazuri nu va exista mai mult de două dintre aceste rădăcini) . În acest caz, polinomul nostru original poate fi rescris astfel:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(align)\]

Asta e tot! Vă rugăm să rețineți: coeficientul principal $((a)_(n))$ nu a dispărut nicăieri - va fi un factor separat în fața parantezelor și, dacă este necesar, poate fi inserat în oricare dintre aceste paranteze (practica arată că cu $((a)_ (n))\ne \pm 1$ există aproape întotdeauna fracţii printre rădăcini).

Sarcină. Simplificați expresia:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Decizie. În primul rând, să ne uităm la numitori: toate sunt binoame liniare și nu există nimic de factorizat aici. Deci, să factorizăm numărătorii:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\dreapta)\stanga(x-1\dreapta); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \ dreapta) \ stânga (2-5x \ dreapta). \\\end(align)\]

Vă rugăm să rețineți: în al doilea polinom, coeficientul senior „2”, în deplină conformitate cu schema noastră, a apărut mai întâi în fața parantezei, apoi a fost inclus în prima paranteză, deoarece o fracțiune a ieșit acolo.

Același lucru s-a întâmplat și în al treilea polinom, doar că acolo se confundă și ordinea termenilor. Totuși, coeficientul „−5” a ajuns să fie inclus în a doua paranteză (rețineți: puteți introduce un factor într-o singură paranteză!), ceea ce ne-a scutit de neplăcerile asociate rădăcinilor fracționale.

În ceea ce privește primul polinom, totul este simplu acolo: rădăcinile lui sunt căutate fie în mod standard prin discriminant, fie folosind teorema Vieta.

Să ne întoarcem la expresia originală și să o rescriem cu numărătorii descompusi în factori:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matrice)\]

Răspuns: $5x+4$.

După cum puteți vedea, nimic complicat. Un pic de matematică de clasa a 7-a-8 și atât. Scopul tuturor transformărilor este de a transforma o expresie complexă și înfricoșătoare în ceva simplu și ușor de lucrat.

Cu toate acestea, acest lucru nu va fi întotdeauna cazul. Deci acum vom lua în considerare o problemă mai serioasă.

Dar mai întâi, să ne dăm seama cum să aducem două fracții la un numitor comun. Algoritmul este extrem de simplu:

1. Factorizați ambii numitori;
2. Luați în considerare primul numitor și adăugați la el factorii prezenți în al doilea numitor, dar nu și în primul. Produsul rezultat va fi numitorul comun;
3. Aflați ce factori îi lipsesc fiecărei fracții originale, astfel încât numitorii să devină egali cu cel comun.

Poate că acest algoritm ți se va părea doar un text în care sunt „multe litere”. Deci, să aruncăm o privire la un exemplu specific.

Sarcină. Simplificați expresia:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \dreapta)\]

Decizie. Astfel de sarcini voluminoase sunt cel mai bine rezolvate pe părți. Să scriem ce este în prima paranteză:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Spre deosebire de problema anterioară, aici numitorii nu sunt atât de simpli. Să factorizăm pe fiecare dintre ele.

Trinomul pătrat $((x)^(2))+2x+4$ nu poate fi factorizat deoarece ecuația $((x)^(2))+2x+4=0$ nu are rădăcini (discriminantul este negativ) . O lasam neschimbata.

Al doilea numitor, polinomul cubic $((x)^(3))-8$, la o examinare mai atentă este diferența de cuburi și poate fi descompus cu ușurință folosind formulele de înmulțire abreviate:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \dreapta)\]

Nimic altceva nu poate fi factorizat, deoarece prima paranteză conține un binom liniar, iar a doua este o construcție deja familiară nouă, care nu are rădăcini reale.

În cele din urmă, al treilea numitor este un binom liniar care nu poate fi descompus. Astfel, ecuația noastră va lua forma:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \dreapta))-\frac(1)(x-2)\]

Este destul de evident că $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ va fi numitorul comun și, pentru a reduce toate fracțiile la acesta, trebuie să trebuie să înmulțiți prima fracție la $\left(x-2 \right)$, iar ultima la $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Apoi, rămâne doar să aduceți următoarele:

\[\begin(matrice) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ dreapta))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x) )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ stânga(((x)^(2))+2x+4 \dreapta)). \\ \end(matrice)\]

Atenție la a doua linie: când numitorul este deja comun, i.e. în loc de trei fracții separate, am scris una mare, nu ar trebui să scapi imediat de paranteze. Este mai bine să scrieți o linie suplimentară și să rețineți că, să zicem, a existat un minus înainte de a treia fracție - și nu va merge nicăieri, dar se va „atârna” în numărătorul din fața parantezei. Acest lucru vă va scuti de multe greșeli.

Ei bine, în ultima linie este utilă factorizarea numărătorului. Mai mult, acesta este un pătrat exact, iar formulele de înmulțire prescurtate ne vin din nou în ajutor. Noi avem:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Acum să ne ocupăm de a doua paranteză în același mod. Aici voi scrie pur și simplu un lanț de egalități:

\[\begin(matrice) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(matrice)\]

Revenim la problema inițială și ne uităm la produs:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Răspuns: \[\frac(1)(x+2)\].

Semnificația acestei probleme este aceeași cu cea anterioară: să arate cât de mult pot fi simplificate expresiile raționale dacă abordezi cu înțelepciune transformarea lor.

Și acum, când știi toate acestea, să trecem la subiectul principal al lecției de astăzi - rezolvarea inegalităților raționale fracționale. Mai mult decât atât, după o astfel de pregătire, inegalitățile în sine vor face clic ca nucile. :)

Principala modalitate de a rezolva inegalitățile raționale

Există cel puțin două abordări pentru rezolvarea inegalităților raționale. Acum vom lua în considerare una dintre ele - cea care este general acceptată în cursul de matematică din școală.

Dar mai întâi, să notăm un detaliu important. Toate inegalitățile sunt împărțite în două tipuri:

1. Strict: $f\left(x \right) \gt 0$ sau $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Nestrict: $f\left(x \right)\ge 0$ sau $f\left(x \right)\le 0$.

Inegalitățile de al doilea tip sunt ușor reduse la primul, precum și ecuația:

Această mică „adăugare” $f\left(x \right)=0$ duce la un lucru atât de neplăcut precum punctele umplute - le-am întâlnit din nou în metoda intervalului. În caz contrar, nu există diferențe între inegalitățile stricte și non-strictive, așa că haideți să analizăm algoritmul universal:

1. Colectați toate elementele diferite de zero de pe o parte a semnului de inegalitate. De exemplu, în stânga;
2. Aduceți toate fracțiile la un numitor comun (dacă există mai multe astfel de fracții), aduceți unele similare. Apoi, dacă este posibil, factorizați în numărător și numitor. Într-un fel sau altul, obținem o inegalitate de forma $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, unde bifa este semnul inegalității.
3. Echivalează numărătorul cu zero: $P\left(x \right)=0$. Rezolvăm această ecuație și obținem rădăcinile $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Apoi avem nevoie de că numitorul nu era egal cu zero: $Q\left(x \right)\ne 0$. Desigur, în esență, trebuie să rezolvăm ecuația $Q\left(x \right)=0$ și obținem rădăcinile $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) $, $x_(3 )^(*)$, ... (în problemele reale cu greu vor fi mai mult de trei astfel de rădăcini).
4. Marcam toate aceste rădăcini (atât cu cât și fără asteriscuri) pe o singură linie numerică, iar rădăcinile fără stele sunt pictate peste, iar cele cu stele sunt perforate.
5. Punem semnele plus și minus, selectăm intervalele de care avem nevoie. Dacă inegalitatea are forma $f\left(x \right) \gt 0$, atunci răspunsul vor fi intervalele marcate cu „plus”. Dacă $f\left(x \right) \lt 0$, atunci ne uităm la intervale cu „minusuri”.

Practica arată că punctele 2 și 4 provoacă cele mai mari dificultăți - transformări competente și aranjarea corectă a numerelor în ordine crescătoare. Ei bine, la ultimul pas, fiți extrem de atenți: plasăm întotdeauna semne pe baza ultima inegalitate scrisă înainte de a trece la ecuații. Aceasta este o regulă universală moștenită din metoda intervalului.

Deci, există o schemă. Sa exersam.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Decizie. Avem o inegalitate strictă de forma $f\left(x \right) \lt 0$. Evident, punctele 1 și 2 din schema noastră au fost deja completate: toate elementele inegalității sunt adunate în stânga, nimic nu trebuie redus la un numitor comun. Deci, să trecem la al treilea punct.

Setați numărătorul la zero:

\[\begin(align) & x-3=0; \\ &x=3. \end(align)\]

Și numitorul:

\[\begin(align) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(align)\]

În acest loc, mulți oameni rămân blocați, pentru că, în teorie, trebuie să notați $x+7\ne 0$, așa cum este cerut de ODZ (nu puteți împărți la zero, asta-i tot). Dar la urma urmei, în viitor vom scoate punctele care au venit de la numitor, așa că nu ar trebui să vă complicați încă o dată calculele - scrieți un semn egal peste tot și nu vă faceți griji. Nimeni nu va deduce puncte pentru asta. :)

Al patrulea punct. Marcăm rădăcinile obținute pe dreapta numerică:

Toate punctele sunt perforate deoarece inegalitatea este strictă

Notă: toate punctele sunt perforate deoarece inegalitatea originală este strictă. Și aici nu mai contează: aceste puncte au venit de la numărător sau de la numitor.

Ei bine, uită-te la semne. Luați orice număr $((x)_(0)) \gt 3$. De exemplu, $((x)_(0))=100$ (dar ați fi putut lua la fel de bine $((x)_(0))=3.1$ sau $((x)_(0)) = 1\000\000$). Primim:

Deci, în dreapta tuturor rădăcinilor avem o zonă pozitivă. Și atunci când treceți prin fiecare rădăcină, semnul se schimbă (nu va fi întotdeauna cazul, dar mai multe despre asta mai târziu). Prin urmare, trecem la al cincilea punct: plasăm semnele și alegem pe cel potrivit:

Revenim la ultima inegalitate, care era înainte de rezolvarea ecuațiilor. De fapt, coincide cu cea originală, deoarece nu am efectuat nicio transformare în această sarcină.

Deoarece este necesară rezolvarea unei inegalități de forma $f\left(x \right) \lt 0$, am umbrit intervalul $x\in \left(-7;3 \right)$ - este singurul marcat cu semnul minus. Acesta este răspunsul.

Răspuns: $x\în \left(-7;3 \right)$

Asta e tot! Este dificil? Nu, nu este greu. Într-adevăr, a fost o sarcină ușoară. Acum să complicăm puțin misiunea și să luăm în considerare o inegalitate mai „fantezică”. Când o rezolv, nu voi mai da astfel de calcule detaliate - voi sublinia pur și simplu punctele cheie. În general, o vom aranja așa cum am fi făcut-o la o muncă sau un examen independent. :)

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Decizie. Aceasta este o inegalitate nestrictă de forma $f\left(x\right)\ge 0$. Toate elementele diferite de zero sunt colectate în stânga, nu există numitori diferiți. Să trecem la ecuații.

Numărător:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(align)\]

Numitor:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(align)\]

Nu știu ce fel de pervers a alcătuit această problemă, dar rădăcinile nu au ieșit foarte bine: va fi dificil să le aranjezi pe o linie numerică. Și dacă totul este mai mult sau mai puțin clar cu rădăcina $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (acesta este singurul număr pozitiv - va fi în dreapta), atunci $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ și $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ necesită un studiu suplimentar: care dintre ele este mai mare?

Puteți afla asta, de exemplu:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Sper că nu este nevoie să explic de ce fracția numerică $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Dacă este necesar, vă recomand să vă amintiți cum să efectuați acțiuni cu fracții.

Și marchem toate cele trei rădăcini pe linia numerică:

Punctele de la numărător sunt umbrite, de la numitor sunt decupate

Am pus semne. De exemplu, puteți lua $((x)_(0))=1$ și puteți afla semnul în acest moment:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Ultima inegalitate dinaintea ecuațiilor a fost $f\left(x \right)\ge 0$, deci ne interesează semnul plus.

Avem două seturi: unul este un segment obișnuit, iar celălalt este o rază deschisă pe linia numerică.

Răspuns: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

O notă importantă despre numerele pe care le înlocuim pentru a afla semnul din cel mai din dreapta interval. Nu este necesar să înlocuiți un număr apropiat de rădăcina din dreapta. Puteți lua miliarde sau chiar „plus-infinit” - în acest caz, semnul polinomului din paranteză, numărător sau numitor este determinat numai de semnul coeficientului principal.

Să aruncăm o altă privire la funcția $f\left(x\right)$ din ultima inegalitate:

Conține trei polinoame:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x\right)=13x-4. \end(align)\]

Toate sunt binoame liniare și toate au coeficienți pozitivi (numerele 7, 11 și 13). Prin urmare, atunci când înlocuiți numere foarte mari, polinoamele în sine vor fi și ele pozitive. :)

Această regulă poate părea excesiv de complicată, dar doar la început, când analizăm sarcini foarte ușoare. În inegalități grave, substituția „plus-infinit” ne va permite să descoperim semnele mult mai rapid decât standardul $((x)_(0))=100$.

Ne vom confrunta foarte curând cu astfel de provocări. Dar mai întâi, să ne uităm la o modalitate alternativă de a rezolva inegalitățile raționale fracționale.

Mod alternativ

Această tehnică mi-a fost sugerată de unul dintre elevii mei. Eu însumi nu l-am folosit niciodată, dar practica a arătat că este cu adevărat mai convenabil pentru mulți studenți să rezolve inegalitățile în acest fel.

Deci, datele originale sunt aceleași. Trebuie să rezolvăm o inegalitate rațională fracțională:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Să ne gândim: de ce polinomul $Q\left(x \right)$ este „mai rău” decât polinomul $P\left(x \right)$? De ce trebuie să luăm în considerare grupuri separate de rădăcini (cu și fără asterisc), să ne gândim la punctele perforate etc.? Este simplu: o fracție are un domeniu de definiție, conform căruia fracția are sens doar atunci când numitorul ei este diferit de zero.

În rest, nu există diferențe între numărător și numitor: îl echivalăm și cu zero, căutăm rădăcinile, apoi le notăm pe linia numerică. Deci, de ce să nu înlocuiți bara fracțională (de fapt, semnul diviziunii) cu înmulțirea obișnuită și să scrieți toate cerințele DHS ca o inegalitate separată? De exemplu, așa:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Vă rugăm să rețineți: această abordare vă va permite să reduceți problema la metoda intervalelor, dar nu va complica deloc soluția. La urma urmei, oricum, vom echivala polinomul $Q\left(x\right)$ cu zero.

Să vedem cum funcționează în sarcini reale.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Decizie. Deci, să trecem la metoda intervalului:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

Prima inegalitate este rezolvată elementar. Doar setați fiecare paranteză la zero:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Rightarrow ((x)_(2))=11. \\ \end(align)\]

Cu a doua inegalitate, totul este, de asemenea, simplu:

Marcam punctele $((x)_(1))$ și $((x)_(2))$ pe linia reală. Toate sunt perforate deoarece inegalitatea este strictă:

Punctul potrivit s-a dovedit a fi perforat de două ori. Este în regulă.

Atenție la punctul $x=11$. Se pare că este „de două ori scos”: pe de o parte, îl scoatem din cauza severității inegalității, pe de altă parte, din cauza cerinței suplimentare a ODZ.

În orice caz, va fi doar un punct perforat. Prin urmare, punem semne pentru inegalitatea $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - ultimul pe care l-am văzut înainte de a începe rezolvarea ecuațiilor:

Suntem interesați de regiunile pozitive, deoarece rezolvăm o inegalitate de forma $f\left(x \right) \gt 0$ și le vom colora. Rămâne doar să scrieți răspunsul.

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Folosind această soluție ca exemplu, aș dori să vă avertizez împotriva unei greșeli comune în rândul studenților începători. Și anume: nu deschideți niciodată paranteze în inegalități! Dimpotrivă, încercați să factorizați totul - acest lucru va simplifica soluția și vă va economisi o mulțime de probleme.

Acum să încercăm ceva mai dificil.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Decizie. Aceasta este o inegalitate nestrictă de forma $f\left(x\right)\le 0$, deci aici trebuie să monitorizați cu atenție punctele completate.

Să trecem la metoda intervalului:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ nou 0. \\ \end(align) \right.\]

Să trecem la ecuație:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Rightarrow ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2,2. \\ \end(align)\]

Luăm în considerare cerința suplimentară:

Marcam toate rădăcinile obținute pe linia numerică:

Dacă un punct este eliminat și completat în același timp, acesta este considerat eliminat.

Din nou, două puncte se „suprapun” unul pe celălalt - acest lucru este normal, așa va fi întotdeauna. Este important doar să înțelegeți că un punct marcat atât ca perforat, cât și ca completat este de fapt un punct perforat. Acestea. „Gouging” este o acțiune mai puternică decât „picting over”.

Acest lucru este absolut logic, deoarece prin perforare marchem puncte care afectează semnul funcției, dar nu participă ei înșiși la răspuns. Și dacă la un moment dat numărul nu ne mai convine (de exemplu, nu intră în ODZ), îl ștergem din considerare până la sfârșitul sarcinii.

În general, încetează să filosofezi. Aranjam semnele și pictăm pe acele intervale care sunt marcate cu semnul minus:

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Și din nou am vrut să vă atrag atenția asupra acestei ecuații:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Încă o dată: nu deschideți niciodată paranteze în astfel de ecuații! Doar îți faci totul mai greu. Rețineți: produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. În consecință, această ecuație pur și simplu „se destramă” în câteva mai mici, pe care le-am rezolvat în problema anterioară.

Ținând cont de multiplicitatea rădăcinilor

Din problemele anterioare, este ușor de observat că tocmai inegalitățile nestricte sunt cele mai dificile, pentru că în ele trebuie să ții evidența punctelor umplute.

Dar există un rău și mai mare în lume - acestea sunt rădăcini multiple în inegalități. Aici este deja necesar să urmăriți nu unele puncte umplute acolo - aici semnul inegalității nu se poate schimba brusc la trecerea prin aceleași puncte.

Nu am considerat încă așa ceva în această lecție (deși o problemă similară a fost adesea întâlnită în metoda intervalului). Deci, să introducem o nouă definiție:

Definiție. Rădăcina ecuației $((\left(x-a \right))^(n))=0$ este egală cu $x=a$ și se numește rădăcina multiplicității $n$.

De fapt, nu ne interesează în mod deosebit valoarea exactă a multiplicității. Singurul lucru important este dacă acest număr $n$ este par sau impar. Pentru că:

1. Dacă $x=a$ este o rădăcină a multiplicității pare, atunci semnul funcției nu se schimbă la trecerea prin ea;
2. Și invers, dacă $x=a$ este o rădăcină a multiplicității impare, atunci semnul funcției se va schimba.

Un caz special al unei rădăcini de multiplicitate impară sunt toate problemele anterioare luate în considerare în această lecție: acolo multiplicitatea este egală cu unul peste tot.

Și mai departe. Înainte de a începe să rezolvăm probleme, aș dori să vă atrag atenția asupra unei subtilități care pare evidentă unui student cu experiență, dar care îi duce pe mulți începători într-o stupoare. Și anume:

Rădăcina multiplicității $n$ apare numai atunci când întreaga expresie este ridicată la această putere: $((\left(x-a \right))^(n))$, și nu $\left(((x)^( n) )-a\dreapta)$.

Încă o dată: paranteza $((\left(x-a \right))^(n))$ ne oferă rădăcina $x=a$ a multiplicității $n$, dar paranteza $\left(((x)^( n)) -a \right)$ sau, așa cum se întâmplă adesea, $(a-((x)^(n)))$ ne oferă o rădăcină (sau două rădăcini, dacă $n$ este par) a primei multiplicități , indiferent ce este egal cu $n$.

Comparaţie:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Totul este clar aici: toată paranteza a fost ridicată la puterea a cincea, așa că la ieșire am obținut rădăcina gradului al cincilea. Si acum:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Avem două rădăcini, dar ambele au prima multiplicitate. Sau iată altul:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

Și nu vă confundați cu gradul al zecelea. Principalul lucru este că 10 este un număr par, deci avem două rădăcini la ieșire și ambele au din nou prima multiplicitate.

În general, fiți atenți: multiplicitatea apare numai atunci când gradul se aplică întregii paranteze, nu doar variabilei.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \dreapta))^(5)))\ge 0\]

Decizie. Să încercăm să o rezolvăm într-un mod alternativ - prin trecerea de la particular la produs:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\dreapta.\]

Ne ocupăm de prima inegalitate folosind metoda intervalului:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \dreapta))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(align)\]

În plus, rezolvăm a doua inegalitate. De fapt, am rezolvat-o deja, dar pentru ca recenzenții să nu găsească defectul soluției, este mai bine să o rezolvăm:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Rețineți că nu există multiplicități în ultima inegalitate. Într-adevăr: ce diferență are de câte ori se taie punctul $x=-7$ pe dreapta numerică? Cel puțin o dată, de cel puțin cinci ori - rezultatul va fi același: un punct perforat.

Să notăm tot ce avem pe linia numerică:

După cum am spus, punctul $x=-7$ va fi în cele din urmă eliminat. Multiplicitățile sunt aranjate pe baza soluției inegalității prin metoda intervalului.

Rămâne de plasat semnele:

Deoarece punctul $x=0$ este o rădăcină a multiplicității pare, semnul nu se schimbă la trecerea prin el. Punctele rămase au o multiplicitate ciudată și totul este simplu cu ele.

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Fii atent la $x=0$ din nou. Din cauza multiplicității uniforme, apare un efect interesant: totul în stânga este pictat peste, în dreapta - de asemenea, iar punctul în sine este complet pictat.

În consecință, nu trebuie să fie izolat atunci când înregistrați un răspuns. Acestea. nu trebuie să scrieți ceva de genul $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (deși formal un astfel de răspuns ar fi de asemenea corect). În schimb, scriem imediat $x\în \left[ -4;6 \right]$.

Astfel de efecte sunt posibile numai pentru rădăcini de multiplicitate pară. Și în următoarea sarcină, vom întâlni „manifestarea” inversă a acestui efect. Gata?

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Decizie. De data aceasta vom urma schema standard. Setați numărătorul la zero:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rightarrow ((x)_(2))=4. \\ \end(align)\]

Și numitorul:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(align)\]

Deoarece rezolvăm o inegalitate nestrictă de forma $f\left(x \right)\ge 0$, rădăcinile de la numitor (care au asteriscuri) vor fi tăiate, iar cele de la numărător vor fi pictate peste .

Aranjam semnele și mângâiem zonele marcate cu „plus”:

Punctul $x=3$ este izolat. Aceasta este o parte a răspunsului

Înainte de a scrie răspunsul final, aruncați o privire atentă asupra imaginii:

1. Punctul $x=1$ are o multiplicitate pară, dar este el însuși perforat. Prin urmare, va trebui să fie izolat în răspuns: trebuie să scrieți $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ și nu $x\in \left(-\ infty ;2\right)$.
2. Punctul $x=3$ are și el o multiplicitate pară și este umbrit. Dispunerea semnelor indică faptul că punctul în sine ni se potrivește, dar un pas spre stânga și dreapta - și ne aflăm într-o zonă care cu siguranță nu ni se potrivește. Astfel de puncte se numesc izolate și sunt scrise ca $x\în \left\( 3 \right\)$.

Combinăm toate piesele obținute într-un set comun și notăm răspunsul.

Răspuns: $x\în \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definiție. Rezolvarea inegalității înseamnă găsiți setul tuturor soluțiilor sale, sau dovediți că acest set este gol.

S-ar părea: ce poate fi de neînțeles aici? Da, adevărul este că seturile pot fi specificate în moduri diferite. Să rescriem răspunsul la ultima problemă:

Citim literalmente ceea ce este scris. Variabila „x” aparține unei anumite mulțimi, care se obține prin unirea (simbolul „U”) a patru mulțimi separate:

• Intervalul $\left(-\infty ;1 \right)$, care înseamnă literal „toate numerele mai mici decât unu, dar nu unul în sine”;
• Intervalul este $\left(1;2 \right)$, adică. „toate numerele între 1 și 2, dar nu și numerele 1 și 2 în sine”;
• Mulțimea $\left\( 3 \right\)$, constând dintr-un singur număr - trei;
• Intervalul $\left[ 4;5 \right)$ care conține toate numerele între 4 și 5, plus 4 în sine, dar nu 5.

Al treilea punct este de interes aici. Spre deosebire de intervale, care definesc seturi infinite de numere și denotă doar limitele acestor mulțimi, mulțimea $\left\( 3 \right\)$ definește exact un număr prin enumerare.

Pentru a înțelege că enumeram numerele specifice incluse în set (și nu stabilim limite sau orice altceva), sunt folosite bretele. De exemplu, notația $\left\( 1;2 \right\)$ înseamnă exact „o mulțime formată din două numere: 1 și 2”, dar nu un segment de la 1 la 2. În niciun caz nu confundați aceste concepte .

Regula de adunare a multiplicității

Ei bine, la sfârșitul lecției de astăzi, o mică conserve de la Pavel Berdov. :)

Elevii atenți probabil și-au pus deja întrebarea: ce se va întâmpla dacă aceleași rădăcini se găsesc la numărător și numitor? Deci următoarea regulă funcționează:

Se adaugă multiplicități de rădăcini identice. Mereu. Chiar dacă această rădăcină apare atât la numărător, cât și la numitor.

Uneori este mai bine să decizi decât să vorbești. Prin urmare, rezolvăm următoarea problemă:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \dreapta))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(align)\]

Până acum, nimic deosebit. Setați numitorul la zero:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(align)\]

Se găsesc două rădăcini identice: $((x)_(1))=-2$ și $x_(4)^(*)=-2$. Ambele au prima multiplicitate. Prin urmare, le înlocuim cu o singură rădăcină $x_(4)^(*)=-2$, dar cu o multiplicitate de 1+1=2.

În plus, există și rădăcini identice: $((x)_(2))=-4$ și $x_(2)^(*)=-4$. Ele sunt de asemenea din prima multiplicitate, deci rămâne doar $x_(2)^(*)=-4$ din multiplicitatea 1+1=2.

Vă rugăm să rețineți: în ambele cazuri, am lăsat exact rădăcina „decupată” și am aruncat-o din considerare pe cea „vopsită peste”. Pentru că, chiar și la începutul lecției, am fost de acord: dacă un punct este șters și pictat în același timp, atunci tot îl considerăm perforat.

Ca rezultat, avem patru rădăcini și toate s-au dovedit a fi scoase:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(align)\]

Le marchem pe linia numerică, ținând cont de multiplicitatea:

Amplasăm semnele și pictăm peste zonele care ne interesează:

Tot. Fără puncte izolate și alte perversiuni. Puteți nota răspunsul.

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

regula înmulțirii

Uneori apare o situație și mai neplăcută: o ecuație care are rădăcini multiple este ea însăși ridicată la o anumită putere. Acest lucru modifică multiplicitățile tuturor rădăcinilor originale.

Acest lucru este rar, așa că majoritatea studenților nu au experiență în rezolvarea unor astfel de probleme. Iar regula aici este:

Când o ecuație este ridicată la o putere $n$, multiplicitatea tuturor rădăcinilor sale crește, de asemenea, cu un factor de $n$.

Cu alte cuvinte, ridicarea la o putere are ca rezultat înmulțirea multiplicităților cu aceeași putere. Să luăm ca exemplu această regulă:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Decizie. Setați numărătorul la zero:

Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Totul este clar cu primul multiplicator: $x=0$. Și aici încep problemele:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

După cum puteți vedea, ecuația $((x)^(2))-6x+9=0$ are o rădăcină unică a celei de-a doua multiplicități: $x=3$. Întreaga ecuație este apoi pătrat. Prin urmare, multiplicitatea rădăcinii va fi $2\cdot 2=4$, pe care am notat-o ​​în cele din urmă.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Nicio problemă cu numitorul:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(align)\]

În total, am obținut cinci puncte: două eliminate și trei completate. Nu există rădăcini care coincid în numărător și numitor, așa că le marchem doar pe linia numerică:

Aranjam semnele ținând cont de multiplicitățile și pictăm pe intervalele care ne interesează:

Din nou un punct izolat și unul perforat

Din cauza rădăcinilor chiar și a multiplicității, am primit din nou câteva elemente „non-standard”. Acesta este $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, nu $x\in \left[ 0;2 \right)$ și, de asemenea, un punct izolat $ x\în \left\( 3 \right\)$.

Răspuns. $x\în \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

După cum puteți vedea, totul nu este atât de dificil. Principalul lucru este atenția. Ultima secțiune a acestei lecții este dedicată transformărilor - chiar acelea despre care am discutat chiar la început.

Preconversii

Inegalitățile pe care le vom discuta în această secțiune nu sunt complexe. Totuși, spre deosebire de sarcinile anterioare, aici va trebui să aplicați abilități din teoria fracțiilor raționale - factorizarea și reducerea la un numitor comun.

Am discutat această problemă în detaliu chiar la începutul lecției de astăzi. Dacă nu sunteți sigur că înțelegeți despre ce este vorba, vă recomand cu tărie să vă întoarceți și să repetați. Pentru că nu are rost să înghesuim metodele de rezolvare a inegalităților dacă „înoți” în conversia fracțiilor.

La teme, apropo, vor exista și multe sarcini similare. Ele sunt plasate într-o subsecțiune separată. Și acolo vei găsi exemple foarte non-triviale. Dar asta va fi în teme, dar acum să analizăm câteva astfel de inegalități.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Decizie. Mutând totul spre stânga:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Reducem la un numitor comun, deschidem parantezele, dăm termeni similari la numărător:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ dreapta))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

Acum avem o inegalitate rațională fracțională clasică, a cărei soluție nu mai este dificilă. Îmi propun să o rezolv printr-o metodă alternativă - prin metoda intervalelor:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(align)\]

Nu uita de constrângerea care vine de la numitor:

Marcam toate numerele și restricțiile pe linia numerică:

Toate rădăcinile au prima multiplicitate. Nici o problema. Punem doar semnele și pictăm peste zonele de care avem nevoie:

E tot. Puteți nota răspunsul.

Răspuns. $x\în \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Desigur, acesta a fost un exemplu foarte simplu. Deci acum să aruncăm o privire mai atentă asupra problemei. Și apropo, nivelul acestei sarcini este destul de consistent cu munca independentă și de control pe această temă în clasa a VIII-a.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Decizie. Mutând totul spre stânga:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Înainte de a aduce ambele fracții la un numitor comun, descompunem acești numitori în factori. Deodată vor ieși aceleași paranteze? Cu primul numitor este ușor:

\[((x)^(2))+8x-9=\stanga(x-1 \dreapta)\stanga(x+9 \dreapta)\]

Al doilea este puțin mai dificil. Simțiți-vă liber să adăugați un multiplicator constant la paranteza în care a fost găsită fracția. Amintiți-vă: polinomul original a avut coeficienți întregi, deci este foarte probabil ca factorizarea să aibă și coeficienți întregi (de fapt, va avea întotdeauna, cu excepția cazului în care discriminantul este irațional).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

După cum puteți vedea, există o paranteză comună: $\left(x-1 \right)$. Revenim la inegalitate și aducem ambele fracții la un numitor comun:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ stânga(3x-2\dreapta))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right) )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(align)\]

Setați numitorul la zero:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( alinia)\]

Fără multiplicități și fără rădăcini care coincid. Marcam patru numere pe o linie dreaptă:

Punem semnele:

Scriem răspunsul.

Răspuns: $x\în \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ dreapta)$.

Cum se rezolvă inegalitățile folosind metoda intervalului (algoritm cu exemple)

Exemplu . (sarcina de la OGE) Rezolvați inegalitatea prin metoda intervalului \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Decizie:

Răspuns : \((7;7+\sqrt(11))\)

Exemplu . Rezolvați inegalitatea prin metoda intervalului \(≥0\)
Decizie:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Aici, la prima vedere, totul pare normal, iar inegalitatea se reduce inițial la forma dorită. Dar nu este așa - la urma urmei, în prima și a treia paranteză ale numărătorului, x este cu semnul minus. Transformăm parantezele, ținând cont de faptul că al patrulea grad este par (adică va elimina semnul minus), iar al treilea este impar (adică nu îl va elimina). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Ca aceasta. Acum întoarcem parantezele „la loc” deja convertite.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Acum toate parantezele arată așa cum ar trebui (mai întâi vine costumul nesemnat și abia apoi numărul). Dar înaintea numărătorului era un minus. Îl eliminăm prin înmulțirea inegalității cu \(-1\), fără a uita să inversăm semnul de comparație
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Gata. Acum inegalitatea pare corectă. Puteți folosi metoda intervalului.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Să plasăm puncte pe axă, semne și să pictăm peste golurile necesare.
		În intervalul de la \(4\) la \(6\), semnul nu trebuie schimbat, deoarece paranteza \((x-6)\) este într-un grad egal (a se vedea paragraful 4 al algoritmului) . Steagul va fi un memento că șase este, de asemenea, o soluție la inegalitate. Să scriem răspunsul.

Răspuns : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\stânga\(6\dreapta\)\)

Exemplu.(Misiunea de la OGE) Rezolvați inegalitatea folosind metoda intervalului \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Decizie:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Stânga și dreapta sunt aceleași - acest lucru clar nu este întâmplător. Prima dorință este de a împărți la \(-x^2-64\), dar aceasta este o greșeală, deoarece există șansa de a pierde rădăcina. În schimb, mutați \(64(-x^2-64)\) la stânga
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Scoateți minusul din prima paranteză și factorizați pe a doua
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Rețineți că \(x^2\) este fie zero, fie mai mare decât zero. Aceasta înseamnă că \(x^2+64\) este pozitiv unic pentru orice valoare a lui x, adică această expresie nu afectează în niciun fel semnul părții stângi. Prin urmare, putem împărți în siguranță ambele părți ale inegalității prin această expresie. Să împărțim și inegalitatea la \(-1\) pentru a scăpa de minus.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Acum puteți aplica metoda intervalului
\(x=8;\) \(x=-8\)		Să scriem răspunsul

Răspuns : \((-∞;-8]∪∪(3)∪ (pe intervalul (−6, 4) semnul nu este determinat, deoarece nu face parte din domeniul funcției). Pentru a face acest lucru, luați un punct din fiecare interval, de exemplu, 16 , 8 , 6 și −8 , și calculați valoarea funcției f din ele:

Dacă aveți întrebări despre cum s-a aflat care sunt valorile calculate ale funcției, pozitive sau negative, atunci studiați materialul articolului compararea numerelor.

Așezăm semnele pe care tocmai le-am definit și aplicăm hașura peste goluri cu semnul minus:

Ca răspuns, notăm unirea a două goluri cu semnul −, avem (−∞, −6]∪(7, 12) . Rețineți că −6 este inclus în răspuns (punctul corespunzător este solid, nu perforat Cert este că acesta nu este zero al funcției (pe care, la rezolvarea unei inegalități stricte, nu l-am include în răspuns), ci punctul limită al domeniului de definiție (este colorat, nu negru), în timp ce intrarea în domeniul definiției. Valoarea funcției în acest moment este negativă (după cum este evidențiată de semnul minus pe intervalul corespunzător), adică satisface inegalitatea. Dar 4 nu trebuie inclus în răspuns (ca precum și întregul interval ∪(7, 12) .

Bibliografie.

1. Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru invatamantul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
2. Mordkovich A. G. Algebră. Clasa a 9-a La ora 14:00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
3. Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
4. Kudryavtsev L.D. Curs de analiză matematică (în două volume): Un manual pentru studenții universităților și colegiilor tehnice. - M .: Mai sus. scoala, 1981, v. 1. - 687 p., ill.

În această lecție, vom continua să rezolvăm inegalitățile raționale folosind metoda intervalului pentru inegalități mai complexe. Luați în considerare soluția inegalităților liniar-fracționale și pătratice-fracționale și a problemelor conexe.

Acum revenim la inegalitate

Să luăm în considerare câteva sarcini conexe.

Găsiți cea mai mică soluție a inegalității.

Aflați numărul de soluții naturale ale inegalității

Aflați lungimea intervalelor care alcătuiesc mulțimea soluțiilor inegalității.

2. Portalul Științelor Naturii ().

3. Complex electronic educațional și metodologic pentru pregătirea claselor 10-11 pentru examenele de admitere la informatică, matematică, limba rusă ().

5. Centrul de Învățământ „Tehnologia Educației” ().

6. College.ru secțiunea de matematică ().

1. Mordkovich A.G. et al. Algebră Clasa 9: Caiet de sarcini pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina și colab. - ed. a IV-a. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. nr. 28 (b, c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38 litera (a).