În sarcina nr. 7 a nivelului de profil al USE în matematică, este necesar să se demonstreze cunoașterea funcției derivatei și antiderivatei. În cele mai multe cazuri, este suficientă simpla definire a conceptelor și înțelegerea semnificațiilor derivatului.

Analiza opțiunilor tipice pentru sarcinile Nr. 7 UTILIZARE în matematică de un nivel de profil

Prima versiune a sarcinii (versiunea demo 2018)

Figura prezintă un grafic al unei funcții diferențiabile y = f(x). Nouă puncte sunt marcate pe axa x: x 1 , x 2 , …, x 9 . Dintre aceste puncte, găsiți toate punctele în care derivata funcției y = f(x) este negativă. În răspunsul dvs., indicați numărul de puncte găsite.

Algoritm de rezolvare:

1. Să ne uităm la graficul funcției.
2. Căutăm puncte în care funcția scade.
3. Numărăm numărul lor.
4. Scriem răspunsul.

Decizie:

1. Pe grafic, funcția crește periodic, scade periodic.

2. În acele intervale în care funcția scade, derivata are valori negative.

3. Aceste intervale conțin puncte X 3 , X 4 , X 5 , X nouă . Există 4 astfel de puncte.

A doua versiune a sarcinii (de la Yaschenko, nr. 4)

Figura prezintă graficul funcției y \u003d f (x). Pe axa X sunt marcate punctele -2, -1, 2, 4. În care dintre aceste puncte este valoarea derivatei cea mai mare? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

Algoritm de rezolvare:

1. Să ne uităm la graficul funcției.
2. Considerăm comportamentul funcției în fiecare dintre puncte și semnul derivatei la acestea.
3. Găsim punctele în cea mai mare valoare a derivatei.
4. Scriem răspunsul.

Decizie:

1. Funcția are mai multe intervale de scădere și creștere.

2. Acolo unde funcția scade. Derivata are semnul minus. Astfel de puncte sunt printre cele indicate. Dar există puncte pe grafic în care funcția crește. Derivata lor este pozitivă. Acestea sunt punctele cu abscisele -2 și 2.

3. Considerăm un grafic în puncte cu x=-2 și x=2. În punctul x = 2, funcția urcă mai abruptă, ceea ce înseamnă că tangenta în acest punct are o pantă mai mare. Prin urmare, în punctul cu abscisa 2. Derivata are cea mai mare valoare.

A treia versiune a sarcinii (de la Yaschenko, nr. 21)

Linia este tangentă la graficul funcției . Gaseste un.

Algoritm de rezolvare:

1. Echivalăm ecuațiile tangentei și ale funcției.
2. Simplificam egalitatea obtinuta.
3. Găsim discriminantul.
4. Definiți parametrul A, pentru care soluția este unică.
5. Scriem răspunsul.

Decizie:

1. Coordonatele punctului tangentei satisfac ambele ecuatii: tangenta si functia. Deci putem echivala ecuațiile. Primim:

2. Simplificam egalitatea prin mutarea tuturor termenilor intr-o directie:

3. Trebuie să existe o singură soluție în punctul de contact, deci discriminantul ecuației rezultate trebuie să fie egal cu zero. Aceasta este condiția pentru unicitatea rădăcinii ecuației pătratice.

4. Obținem:

Dacă sarcina este rezolvată corect, atunci obțineți 1 punct.

Aproximativ 5 minute.

Pentru a rezolva sarcina 7 la matematică la un nivel de profil, trebuie să știți:

1. Sarcinile sunt împărțite în mai multe tipuri:
   • sensul fizic al derivatului.
   • semnificația geometrică a derivatei și tangentei;
   • aplicarea derivatei la studiul funcțiilor;
   • primitiv.
2. Cunoașterea funcției derivate și .
3. Și în cele mai multe cazuri, doar definirea conceptelor și înțelegerea semnificațiilor derivatului.

• derivat - rata de schimbare a funcției. Derivatul este pozitiv la intervale în care funcţie în dezvoltăși negativ pe intervalele la care funcţia scade.
• Puncte de extrem, maxim și minim. punct extrem– valoarea maximă/minimă a funcției pe setul dat. Dacă se atinge valoarea maximă, atunci punctul extrem se numește „punct maxim”, dacă se atinge cea mai mică valoare, atunci punctul extrem se numește „punct minim”.
• Primitiv. Funcţie F(x) se numește antiderivată pentru funcție f(x) pe un interval dat, dacă este pentru toate X din acest interval egalitatea F′(x) = f(x). Operația de găsire a funcției antiderivate se numește integrare.
• Integrare - operaţia matematică, opusul diferenţierii, adică găsirea derivatei. Integrarea vă permite să găsiți funcția în sine din derivata unei funcții.

02.01.2020

Rarele nurori se pot lăuda că au relații egale și prietenoase cu soacra lor. De obicei se întâmplă invers

DERIVAT-derivata functiei y = f(X) definit pe un anumit interval ( A, b) la punct X acest interval se numește limita la care tinde raportul de creștere a funcției fîn acel moment la creșterea corespunzătoare a argumentului pe măsură ce creșterea argumentului se apropie de zero.

Derivatul este de obicei notat după cum urmează:

Alte notații sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă:

Viteza instantanee.

Lasă punctul M se mișcă în linie dreaptă. Distanţă s punct de mișcare, numărat dintr-o poziție inițială M 0 , depinde de timp t, adică s este o funcție a timpului t: s= f(t). Lasă la un moment dat t punct de mișcare M era la distanta s din pozitia de start M 0 și la un moment dat t+ D t era într-o poziție M 1 - la distanta s+ D s din pozitia initiala ( vezi poza.).

Astfel, pentru o perioadă de timp D t distanţă s modificat cu valoarea D s. În acest caz, spunem că în intervalul de timp D t magnitudinea s a primit sporul D s.

Viteza medie nu poate caracteriza în toate cazurile cu exactitate viteza de deplasare a unui punct. M la momentul t. Dacă, de exemplu, corpul la începutul intervalului D t s-a deplasat foarte repede și, la sfârșit, foarte lent, atunci viteza medie nu va putea reflecta caracteristicile indicate ale mișcării punctului și va da o idee despre adevărata viteză a mișcării sale în acest moment t. Pentru a exprima mai precis viteza reală folosind viteza medie, trebuie să luați o perioadă mai mică de timp D t. Caracterizează cel mai pe deplin viteza de mișcare a unui punct în acest moment t limita la care tinde viteza medie la D t® 0. Această limită se numește viteza de mișcare la un moment dat:

Astfel, viteza de mișcare la un moment dat este limita raportului de creștere a traseului D s la incrementul de timp D t când incrementul de timp tinde spre zero. La fel de

Valoarea geometrică a derivatei. Tangenta la graficul unei functii.

Construcția tangentelor este una dintre acele probleme care au dus la nașterea calculului diferențial. Prima lucrare publicată despre calculul diferenţial, scrisă de Leibniz, a fost intitulată O nouă metodă a maximelor și minimelor, precum și a tangentelor, pentru care nici mărimile fracționale, nici iraționale nu reprezintă un obstacol, și un tip special de calcul pentru aceasta.

Fie curba graficul funcției y =f(X) într-un sistem de coordonate dreptunghiular ( cm. orez.).

Pentru o oarecare valoare X funcția contează y =f(X). Aceste valori Xși y punct de pe curbă M 0(X, y). Dacă argumentul X a da increment D X, apoi noua valoare a argumentului X+ D X corespunde noii valori a funcției y+ D y = f(X + D X). Punctul corespunzător al curbei va fi punctul M 1(X+ D X,y+ D y). Dacă tragem o secantă M 0M 1 și notăm cu j unghi format dintr-o secantă cu direcție pozitivă a axei Bou, se vede direct din figură că

Daca acum D X tinde spre zero, apoi punctul M 1 se deplasează de-a lungul curbei, apropiindu-se de punct M 0 și unghi j modificări cu modificarea D X. La Dx® 0 unghiul j tinde spre o oarecare limită a iar linia care trece prin punct M 0 iar componenta cu direcția pozitivă a axei absciselor, unghiul a, va fi tangenta dorită. Panta sa:

Prin urmare, f´( X) = tga

acestea. valoare derivată f´( X) pentru o valoare dată a argumentului X este egal cu tangenta unghiului format de tangenta la graficul functiei f(X) în punctul corespunzător M 0(X,y) cu direcția pozitivă a axei Bou.

Diferențiabilitatea funcțiilor.

Definiție. Dacă funcţia y = f(X) are o derivată la punct X = X 0, atunci funcția este diferențiabilă în acest punct.

Continuitatea unei funcții care are o derivată. Teorema.

Dacă funcţia y = f(X) este diferențiabilă la un moment dat X = X 0, atunci este continuă în acest punct.

Astfel, în punctele de discontinuitate, funcția nu poate avea o derivată. Concluzia inversă este falsă, adică. din faptul că la un moment dat X = X 0 functie y = f(X) este continuă, nu rezultă că este diferențiabilă în acest punct. De exemplu, funcția y = |X| continuu pentru toti X(–Ґ x x = 0 nu are nicio derivată. Nu există nicio tangentă la grafic în acest punct. Există o tangentă dreaptă și o tangentă stângă, dar ele nu coincid.

Câteva teoreme asupra funcţiilor diferenţiabile. Teoremă asupra rădăcinilor derivatei (teorema lui Roll). Dacă funcţia f(X) este continuă pe segment [A,b], este diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment și la capete X = Ași X = b dispare ( f(A) = f(b) = 0), apoi în interiorul segmentului [ A,b] există cel puțin un punct X= cu, A c b, în ​​care derivata fў( X) dispare, adică fў( c) = 0.

Teorema incrementului finit (teorema lui Lagrange). Dacă funcţia f(X) este continuă pe segmentul [ A, b] și este diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment, apoi în interiorul segmentului [ A, b] există cel puțin un punct cu, A c b că

f(b) – f(A) = fў( c)(b– A).

Teoremă privind raportul incrementelor a două funcții (teorema lui Cauchy).În cazul în care un f(X) și g(X) sunt două funcții continue pe segment [A, b] și diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment și gў( X) nu dispare nicăieri în interiorul acestui segment, apoi în interiorul segmentului [ A, b] există un astfel de punct X = cu, A c b că

Derivate de diverse ordine.

Lasă funcția y =f(X) este diferențiabilă pe un anumit interval [ A, b]. Valori derivate f ў( X), în general, depind de X, adică derivat f ў( X) este, de asemenea, o funcție a X. Când această funcție este diferențiată, se obține așa-numita derivată a doua a funcției f(X), care este notat f ўў ( X).

derivat n- ordinea funcției f(X) se numește derivată (de ordinul întâi) a derivatei n- 1- th și este notat cu simbolul y(n) = (y(n– 1))ў.

Diferențiale de diverse ordine.

Diferenţial de funcţie y = f(X), Unde X este o variabilă independentă, este dy = f ў( X)dx, unele functii de la X, dar din X numai primul factor poate depinde f ў( X), în timp ce al doilea factor ( dx) este incrementul variabilei independente Xși nu depinde de valoarea acestei variabile. La fel de dy există o funcție de la X, atunci putem determina diferenţialul acestei funcţii. Diferenţialul diferenţialului unei funcţii se numeşte diferenţială de ordinul doi sau de ordinul doi a acestei funcţii şi se notează d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( X)(dx) 2 .

Diferenţial n- ordinea se numește prima diferenţială a diferenţialului n- 1- Ordin:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(X)dx(n).

Derivat privat.

Dacă funcția depinde nu de unul, ci de mai multe argumente x i(i se modifică de la 1 la n,i= 1, 2,… n),f(X 1,X 2,… x n), apoi în calculul diferenţial este introdus conceptul de derivată parţială, care caracterizează rata de modificare a unei funcţii a mai multor variabile atunci când se modifică un singur argument, de exemplu, x i. Derivată parțială de ordinul I cu privire la x i este definită ca derivată obișnuită, se presupune că toate argumentele cu excepția x i, păstrați valori constante. Pentru derivatele parțiale, introducem notația

Derivatele parțiale de ordinul I astfel definite (ca funcții ale acelorași argumente) pot avea, la rândul lor, și derivate parțiale, acestea sunt derivate parțiale de ordinul doi etc. Luate în raport cu diferite argumente, astfel de derivate sunt numite mixte. Derivatele mixte continue de același ordin nu depind de ordinea diferențierii și sunt egale între ele.

Anna Chugainova

derivat funcțiiîntr-un punct se numește limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, cu condiția ca acesta să tinde spre zero.

Reguli de bază pentru găsirea derivatei

Dacă - și - sunt funcții diferențiabile într-un punct, (adică funcții care au derivate într-un punct), atunci:

Tabel de derivate ale funcțiilor de bază

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Regula de diferențiere a unei funcții complexe. Dacă și, adică , unde și au derivate, atunci

Diferențierea unei funcții definită parametric. Fie ca dependența unei variabile de o variabilă să fie dată parametric prin intermediul unui parametru:

Sarcina 3. Găsiți derivate ale funcțiilor date.

1)

Decizie. Aplicând regula 2 pentru găsirea derivatelor și formulele 1 și 2 din tabelul derivatelor, obținem:

Decizie. Aplicând regula 4 pentru găsirea derivatelor și formulele 1 și 13 din tabelul derivatelor, obținem:

.

Decizie. Aplicând regula 3 pentru găsirea derivatelor și formulele 5 și 11 din tabelul derivatelor, obținem:

Decizie. Presupunând unde, conform formulei de găsire a derivatei unei funcții complexe, obținem:

Decizie. Avem: Atunci, conform formulei de găsire a derivatei unei funcții dată parametric, obținem:

4. Derivate de ordin superior. Regula lui L'Hopital.

Derivată de ordinul doi a unei funcții se numeste derivata derivatei sale, i.e. . Următoarea notație este utilizată pentru derivata a doua: sau, sau.

Derivată de ordinul I a unei funcții se numește derivata derivatei sale de ordinul al treilea. Pentru derivata de ordinul --lea se folosește următoarea notație: or, or.

Regula lui L'Hopital. Fie funcțiile și să fie diferențiabile într-o vecinătate a unui punct, iar derivata nu dispare. Dacă funcțiile și sunt fie infinitezimale, fie infinit de mari în același timp și există o limită a raportului lui at, atunci există și o limită a raportului lui at. Și

.

Regula se aplică și când

Rețineți că, în unele cazuri, dezvăluirea incertitudinilor formei sau poate necesita aplicarea repetată a regulii L'Hospital.

Vedeți incertitudinile etc. transformările elementare se reduc uşor la incertitudini de formă sau.

Sarcina 4. Găsiți limita folosind regula lui L'Hopital.

Decizie Aici avem o nedeterminare a formei, din moment ce la. Să aplicăm regula lui L'Hospital:

.

După aplicarea regulii lui L'Hopital, am primit din nou incertitudinea formei, deoarece la. Aplicând din nou regula lui L'Hopital, obținem:

.

5. Cercetarea funcției

a) Funcții crescătoare și descrescătoare

Funcția este numită crescând pe segment , dacă pentru orice puncte și din segmentul în care are loc inegalitatea. Dacă funcția este continuă pe interval și la, atunci crește pe interval.

Funcția este numită în scădere pe segment , dacă pentru orice puncte și din segmentul, unde are loc inegalitatea. Dacă funcția este continuă pe interval și la, atunci scade pe interval.

Dacă o funcție este doar în creștere sau numai în scădere într-un interval dat, atunci este numită monoton pe interval.

b) Extreme ale funcției

punct minim funcții .

Dacă există - vecinătatea punctului astfel încât inegalitatea să fie valabilă pentru toate punctele din această vecinătate, atunci punctul este numit punct maxim funcții .

Punctele maxime și minime ale unei funcții se numesc ei puncte extreme.

Punctul se numește punct staționar dacă există sau nu.

Dacă există o vecinătate a punctului staționar astfel încât pentru și pentru, atunci - este punctul maxim al funcției.

Dacă există o vecinătate a punctului staționar astfel încât pentru și pentru, atunci punctul de minim al funcției.

A) Direcția curbei. Puncte de inflexiune

convex în sus pe interval , dacă se află sub tangenta trasată la graficul funcţiei în orice punct din acest interval.

O condiție suficientă pentru convexitatea ascendentă a graficului unei funcții pe un interval este îndeplinirea inegalității pentru oricare dintre intervalele luate în considerare.

Graficul unei funcții diferențiabile se numește convex în jos pe interval , dacă este situat deasupra tangentei trasate la graficul funcţiei în orice punct din acest interval.

O condiție suficientă pentru convexitatea descendentă a graficului unei funcții pe un interval este îndeplinirea inegalității pentru oricare dintre intervalele luate în considerare.

Se numește punctul în care se modifică direcția de convexitate a graficului funcției punct de inflexiune.

Un punct unde există sau nu este abscisa punctului de inflexiune dacă are semne diferite la stânga și la dreapta acestuia.

d) Asimptote

Dacă distanța de la punctul graficului unei funcții la o anumită dreaptă tinde spre zero cu o distanță infinită de la originea punctului, atunci linia dreaptă se numește asimptota graficului functiei.

Dacă există un număr astfel încât, atunci linia este asimptotă verticală.

Dacă există limite , atunci linia este oblică (orizontală la k=0) asimptotă.

e) Studiu general al funcției

1. Domeniul de aplicare a funcției

2. Puncte de intersecție ale graficului cu axele de coordonate

3. Investigarea unei funcții pentru continuitate, par/impar și periodicitate

4. Intervale de monotonitate a unei funcţii

5. Puncte extreme ale funcției

6. Intervale de convexitate și puncte de inflexiune ale graficului unei funcții

7. Asimptotele graficului unei funcții

8. Graficul funcției.

Sarcina 5. Investigați funcția și trasați graficul acesteia.

Decizie. 1) Funcția este definită pe toată axa numerelor, cu excepția punctului în care numitorul fracției dispare. . Avem: nu aparține domeniului acestei funcții. Prin urmare, punctele staționare ale acestei funcții sunt punctele, valoarea minimă (așa cum se arată în figură).

S-a scris multă teorie despre semnificația geometrică. Nu voi intra în derivarea incrementului funcției, vă voi aminti principalul lucru pentru finalizarea sarcinilor:

Derivata în punctul x este egală cu panta tangentei la graficul funcției y = f (x) în acest punct, adică este tangenta unghiului de înclinare la axa X.

Să luăm imediat sarcina de la examen și să începem să o înțelegem:

Sarcina numărul 1. Figura arată graficul funcției y = f(x) și tangenta la acesta în punctul cu abscisă x0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0.
Cine se grăbește și nu vrea să înțeleagă explicațiile: construiți până la orice astfel de triunghi (după cum se arată mai jos) și împărțiți latura în picioare (verticală) la cea culcat (orizontală) și veți fi fericit dacă nu uitați de semn (dacă linia dreaptă scade (→ ↓), atunci răspunsul ar trebui să fie cu minus, dacă linia dreaptă crește (→), atunci răspunsul trebuie să fie pozitiv!)

Trebuie să găsiți unghiul dintre tangentă și axa X, să-l numim α: trageți o linie dreaptă paralelă cu axa X oriunde prin tangenta la grafic, obținem același unghi.

Este mai bine să nu luați punctul x0, pentru că veți avea nevoie de o lupă mare pentru a determina coordonatele exacte.

Luând orice triunghi dreptunghic (în figură sunt sugerate 3 opțiuni), găsim tgα (unghiurile sunt egale, după cum corespunde), adică. obţinem derivata funcţiei f(x) în punctul x0. De ce asa?

Dacă trasăm tangente în alte puncte x2, x1 etc. tangentele vor fi diferite.

Să ne întoarcem în clasa a VII-a pentru a construi o linie dreaptă!

Ecuația unei drepte este dată de ecuația y = kx + b , unde

k - înclinare față de axa X.

b este distanța dintre punctul de intersecție cu axa Y și origine.

Derivata unei drepte este întotdeauna aceeași: y" = k.

În orice punct al liniei luăm derivata, aceasta va rămâne neschimbată.

Prin urmare, rămâne doar să găsim tgα (după cum sa menționat mai sus: împărțim partea în picioare de partea culcată). Împărțim piciorul opus la cel adiacent, obținem acel k \u003d 0,5. Totuși, dacă graficul este descrescător, coeficientul este negativ: k = −0,5.

Vă sfătuiesc să verificați a doua cale:
Două puncte pot fi folosite pentru a defini o linie dreaptă. Găsiți coordonatele oricăror două puncte. De exemplu, (-2;-2) și (2;-4):

Înlocuiți în ecuația y = kx + b în loc de y și x coordonatele punctelor:

-2 = -2k + b

Rezolvând acest sistem, obținem b = −3, k = −0,5

Concluzie: A doua metodă este mai lungă, dar în ea nu veți uita de semn.

Răspuns: - 0,5

Sarcina numărul 2. Figura arată grafic derivat funcțiile f(x). Opt puncte sunt marcate pe axa x: x1, x2, x3, ..., x8. Câte dintre aceste puncte se află pe intervalele funcției crescătoare f(x)?

Dacă graficul funcției este descrescător - derivata este negativă (și invers).

Dacă graficul funcției crește, derivata este pozitivă (și invers).

Aceste două fraze vă vor ajuta să rezolvați majoritatea problemelor.

Priveste cu atentie vi se oferă un desen al unei derivate sau al unei funcții, apoi alegeți una dintre cele două expresii.

Construim un grafic schematic al funcției. pentru că ni se dă un grafic al derivatei, apoi unde este negativă, graficul funcției scade, unde este pozitivă, crește!

Rezultă că 3 puncte se află pe zonele de creștere: x4; x5; x6.

Raspuns: 3

Sarcina numărul 3. Funcția f(x) este definită pe intervalul (-6; 4). Imaginea arată grafic al derivatei sale. Aflați abscisa punctului în care funcția ia cea mai mare valoare.

Vă sfătuiesc să construiți întotdeauna cum merge graficul funcției, cu astfel de săgeți sau schematic cu semne (ca în nr. 4 și nr. 5):

Evident, dacă graficul crește la -2, atunci punctul maxim este -2.

Raspuns: -2

Sarcina numărul 4. Figura prezintă un grafic al funcției f(x) și douăsprezece puncte de pe axa x: x1, x2, ..., x12. În câte dintre aceste puncte derivata funcției este negativă?

Sarcina este inversă, având în vedere graficul funcției, trebuie să construiți schematic cum va arăta graficul derivatei funcției și să calculați câte puncte se vor afla în intervalul negativ.

Pozitiv: x1, x6, x7, x12.

Negativ: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Raspuns: 7

Un alt tip de sarcină, când sunteți întrebat despre niște „extreme” teribile? Nu vă va fi greu să găsiți ce este, dar voi explica pentru grafice.

Sarcina numărul 5. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul (-16; 6). Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(x) pe segmentul [-11; 5].

Observați intervalul de la -11 la 5!

Să ne îndreptăm ochii strălucitori către placă: este dat graficul derivatei funcției => atunci extremele sunt punctele de intersecție cu axa X.

Raspuns: 3

Sarcina numărul 6. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f (x), definită pe intervalul (-13; 9). Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) pe segmentul [-12; 5].

Rețineți intervalul de la -12 la 5!

Puteți privi placa cu un ochi, punctul maxim este un extremum, astfel încât înaintea ei derivata este pozitivă (funcția crește), iar după aceasta derivata este negativă (funcția scade). Aceste puncte sunt încercuite.

Săgețile arată cum se comportă graficul funcției.

Raspuns: 3

Sarcina numărul 7. Figura prezintă un grafic al funcției f(x) definită pe intervalul (-7; 5). Aflați numărul de puncte în care derivata funcției f(x) este egală cu 0.

Vă puteți uita la tabelul de mai sus (derivata este zero, ceea ce înseamnă că acestea sunt puncte extreme). Și în această problemă, este dat graficul funcției, ceea ce înseamnă că trebuie să găsiți numărul de puncte de inflexiune!

Și puteți, ca de obicei: construim un grafic schematic al derivatei.

Derivata este zero atunci când graficul funcțiilor își schimbă direcția (de la creștere la descreștere și invers)

Raspuns: 8

Sarcina numărul 8. Imaginea arată grafic derivat funcția f(x) definită pe intervalul (-2; 10). Aflați intervalele funcției crescătoare f(x). În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Să construim un grafic schematic al funcției:

Acolo unde crește, obținem 4 puncte întregi: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Raspuns: 22

Sarcina numărul 9. Imaginea arată grafic derivat funcția f(x) definită pe intervalul (-6; 6). Aflați numărul de puncte f(x) în care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta y = 2x + 13.

Ni se oferă un grafic al derivatei! Aceasta înseamnă că tangenta noastră trebuie, de asemenea, să fie „tradusă” într-o derivată.

Derivată tangentă: y" = 2.

Acum să construim ambele derivate:

Tangentele se intersectează în trei puncte, deci răspunsul nostru este 3.

Raspuns: 3

Sarcina numărul 10. Figura prezintă graficul funcției f (x) și sunt marcate punctele -2, 1, 2, 3. În care dintre aceste puncte este valoarea derivatei cea mai mică? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

Sarcina este oarecum similară cu prima: pentru a găsi valoarea derivatei, trebuie să construiți o tangentă la acest grafic într-un punct și să găsiți coeficientul k.

Dacă linia este descrescătoare, k< 0.

Dacă linia este în creștere, k > 0.

Să ne gândim la modul în care valoarea coeficientului va afecta panta dreptei:

Cu k = 1 sau k = − 1, graficul va fi la mijloc între axele x și y.

Cu cât linia dreaptă este mai aproape de axa X, cu atât coeficientul k este mai aproape de zero.

Cu cât linia este mai aproape de axa Y, cu atât coeficientul k este mai aproape de infinit.

La punctul -2 și 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>acolo va fi cea mai mică valoare a derivatei

Raspunsul 1

Sarcina numărul 11. Linia este tangentă y = 3x + 9 la graficul funcției y = x³ + x² + 2x + 8 . Găsiți abscisa punctului de contact.

Linia va fi tangentă la grafic atunci când graficele au un punct comun, ca și derivatele lor. Echivalează ecuațiile graficelor și derivatele lor:

Rezolvând a doua ecuație, obținem 2 puncte. Pentru a verifica care dintre ele este potrivită, înlocuim fiecare dintre x în prima ecuație. Doar unul va face.

Nu vreau să rezolv deloc o ecuație cubică, ci una pătrată pentru un suflet dulce.

Doar asta trebuie să notezi ca răspuns, dacă primești două răspunsuri „normale”?

Când înlocuiți x (x) în graficele originale y \u003d 3x + 9 și y \u003d x³ + x² + 2x + 8, ar trebui să obțineți același Y

y= 1³+1²+2×1+8=12

Dreapta! Deci x=1 va fi răspunsul

Raspunsul 1

Sarcina numărul 12. Linia y = − 5x − 6 este tangentă la graficul funcției ax² + 5x − 5 . Gaseste un .

În mod similar, echivalăm funcțiile și derivatele lor:

Să rezolvăm acest sistem în raport cu variabilele a și x:

Raspuns: 25

Sarcina cu derivate este considerată una dintre cele mai dificile din prima parte a examenului, cu toate acestea, cu o mică atenție și înțelegere a problemei, veți reuși și veți crește procentul de finalizare a acestei sarcini!

Arătând relația semnului derivatei cu natura monotonității funcției.

Vă rugăm să fiți extrem de atenți în cele ce urmează. Uite, programul CE ți se dă! Funcția sau derivata ei

Dat un grafic al derivatei, atunci ne interesează doar semnele și zerourile funcției. Nu ne interesează, în principiu, nicio „denivelare” și „goluri”!

Sarcina 1.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe un interval. Determinați numărul de puncte întregi în care derivata funcției este negativă.

Decizie:

În figură, zonele cu funcție descrescătoare sunt evidențiate în culoare:

4 valori întregi se încadrează în aceste zone de funcție descrescătoare.

Sarcina 2.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe un interval. Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta.

Decizie:

Deoarece tangenta la graficul funcției este paralelă (sau coincide) cu o dreaptă (sau, care este aceeași, ) având pantă, egal cu zero, atunci tangenta are o pantă .

Aceasta înseamnă, la rândul său, că tangenta este paralelă cu axa, deoarece panta este tangenta unghiului de înclinare a tangentei la axă.

Prin urmare, găsim puncte extreme pe grafic (puncte maxime și minime), - în ele funcțiile tangente la grafic vor fi paralele cu axa.

Există 4 astfel de puncte.

Sarcina 3.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe intervalul . Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta.

Decizie:

Deoarece tangenta la graficul funcției este paralelă (sau coincide) cu o dreaptă, care are o pantă, atunci tangenta are o pantă.

Aceasta înseamnă, la rândul său, că la punctele de contact.

Prin urmare, ne uităm la câte puncte de pe grafic au o ordonată egală cu .

După cum puteți vedea, există patru astfel de puncte.

Sarcina 4.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe un interval. Aflați numărul de puncte în care derivata funcției este 0.

Decizie:

Derivata este zero la punctele extreme. Avem 4 dintre ele:

Sarcina 5.

Figura prezintă un grafic al funcției și unsprezece puncte pe axa x:. În câte dintre aceste puncte derivata funcției este negativă?

Decizie:

La intervale de funcție descrescătoare, derivata sa ia valori negative. Și funcția scade la puncte. Există 4 astfel de puncte.

Sarcina 6.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe un interval. Aflați suma punctelor extreme ale funcției.

Decizie:

puncte extremum sunt punctele maxime (-3, -1, 1) și punctele minime (-2, 0, 3).

Suma punctelor extreme: -3-1+1-2+0+3=-2.

Sarcina 7.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe intervalul . Aflați intervalele funcției crescătoare. În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Decizie:

Figura evidențiază intervalele la care derivata funcției este nenegativă.

Nu există puncte întregi pe intervalul mic de creștere, pe intervalul de creștere există patru valori întregi: , , și .

Suma lor:

Sarcina 8.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe intervalul . Aflați intervalele funcției crescătoare. În răspunsul tău, scrie lungimea celui mai mare dintre ele.

Decizie:

În figură sunt evidențiate toate intervalele la care derivata este pozitivă, ceea ce înseamnă că funcția în sine crește pe aceste intervale.

Lungimea celui mai mare dintre ele este de 6.

Sarcina 9.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe intervalul . În ce punct al segmentului ia cea mai mare valoare.

Decizie:

Ne uităm la modul în care se comportă graficul pe segment, și anume, ne interesează numai semn derivat .

Semnul derivatei pe este minus, deoarece graficul acestui segment este sub axă.