Funcția și modalitățile de setare.

A seta o funcție înseamnă a stabili o regulă (lege) cu ajutorul căreia, în funcție de valorile date ale variabilei independente, ar trebui să se găsească valorile corespunzătoare ale funcției. Să ne uităm la câteva modalități de definire a funcțiilor.

mod tabelar. Destul de obișnuit, constă în stabilirea unui tabel cu valorile argumentelor individuale și a valorilor funcției corespunzătoare ale acestora. Această metodă de definire a unei funcții este utilizată atunci când domeniul funcției este o mulțime finită discretă.

Cu metoda tabelară de definire a unei funcții, este posibil să se calculeze aproximativ valorile funcției care nu sunt conținute în tabel, corespunzătoare valorilor intermediare ale argumentului. Pentru a face acest lucru, utilizați metoda de interpolare.

Avantajele metodei tabelare de setare a unei funcții sunt că face posibilă determinarea anumitor valori specifice deodată, fără măsurători sau calcule suplimentare. Cu toate acestea, în unele cazuri, tabelul nu definește complet funcția, ci numai pentru unele valori ale argumentului și nu oferă o reprezentare vizuală a naturii modificării funcției în funcție de modificarea argumentului.

Mod grafic. Graficul funcției y = f(x) este mulțimea tuturor punctelor din plan ale căror coordonate satisfac ecuația dată.

Modul grafic de specificare a unei funcții nu face întotdeauna posibilă determinarea cu precizie a valorilor numerice ale argumentului. Cu toate acestea, are un mare avantaj față de alte metode - vizibilitatea. În inginerie și fizică, o metodă grafică de setare a unei funcții este adesea folosită, iar un grafic este singura modalitate disponibilă pentru aceasta.

Pentru ca atribuirea grafică a unei funcții să fie destul de corectă din punct de vedere matematic, este necesar să se indice construcția geometrică exactă a graficului, care, de cele mai multe ori, este dată de o ecuație. Aceasta conduce la următorul mod de definire a unei funcții.

mod analitic. Cel mai adesea, legea care stabilește o relație între un argument și o funcție este specificată prin intermediul formulelor. Acest mod de a defini o funcție se numește analitic.

Această metodă face posibil ca fiecare valoare numerică a argumentului x să găsească valoarea numerică corespunzătoare a funcției y exact sau cu o oarecare precizie.

Dacă relația dintre x și y este dată de o formulă care se rezolvă în raport cu y, i.e. are forma y = f(x), atunci spunem că funcția lui x este dată explicit.

Dacă valorile x și y sunt legate printr-o ecuație de forma F(x,y) = 0, i.e. formula nu este permisă în raport cu y, ceea ce înseamnă că funcția y = f(x) este implicit definită.

O funcție poate fi definită prin diferite formule în diferite părți ale zonei sale de activitate.

Metoda analitică este cea mai comună modalitate de definire a funcțiilor. Compactitatea, concizia, capacitatea de a calcula valoarea unei funcții pentru o valoare arbitrară a argumentului din domeniul definiției, capacitatea de a aplica aparatul de analiză matematică la o funcție dată sunt principalele avantaje ale metodei analitice de definire a unei funcții. funcţie. Dezavantajele includ lipsa vizibilității, care este compensată de capacitatea de a construi un grafic și nevoia de a efectua calcule uneori foarte greoaie.

mod verbal. Această metodă constă în faptul că dependența funcțională se exprimă în cuvinte.

Exemplul 1: funcția E(x) este partea întreagă a numărului x. În general, E(x) = [x] reprezintă cel mai mare număr întreg care nu depășește x. Cu alte cuvinte, dacă x = r + q, unde r este un număr întreg (poate fi negativ) și q aparține intervalului = r. Funcția E(x) = [x] este constantă pe intervalul = r.

Exemplul 2: funcția y = (x) - parte fracțională a unui număr. Mai precis, y =(x) = x - [x], unde [x] este partea întreagă a numărului x. Această funcție este definită pentru toate x. Dacă x este un număr arbitrar, atunci reprezentându-l ca x = r + q (r = [x]), unde r este un număr întreg și q se află în intervalul . = 2[" class="link_thumb"> 7 O funcție care este determinată de condițiile: f (x) este un număr întreg; f(x)x;x; f + 1 > x,x, partea întreagă a numărului se numește partea întreagă a numărului. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (mulțime de numere întregi) Pentru partea întreagă a numărului x, se folosește notația [ x ]. = 2 = 47 [-0,23] = - 1 x,x, partea întreagă a numărului se numește partea întreagă a numărului. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (mulțime de numere întregi) Pentru partea întreagă a numărului x, se folosește notația [ x ]. \u003d 2 ["\u003e x, x, partea întreagă a numărului se numește partea întreagă a numărului. D (f) \u003d (-; +), E (f) \u003d Z (set de numere întregi) Pentru partea întreagă a numărului x, este utilizată notația [x]. \u003d 2 \u003d 47 [ - 0,23] \u003d - 1 "\u003e x, x, partea întreagă a numărului se numește partea întreagă a numarul. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (mulțime de numere întregi) Pentru partea întreagă a numărului x, se folosește notația [ x ]. = 2 [" title="(!LANG: O funcție care este definită de condițiile: f (x) este un număr întreg; f (x) x; x; f + 1 > x,x, partea întreagă a numărului se numește parte întreagă a numărului.D (f) = (-;+), E (f) = Z (mulțime de numere întregi) Pentru partea întreagă a numărului x, folosiți notația [ x ].= 2 ["> title="O funcție care este determinată de condițiile: f (x) este un număr întreg; f(x)x;x; f + 1 > x,x, partea întreagă a numărului se numește partea întreagă a numărului. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (mulțime de numere întregi) Pentru partea întreagă a numărului x, se folosește notația [ x ]. = 2["> !}

Dintre toate metodele de mai sus de specificare a unei funcții, metoda analitică oferă cele mai mari oportunități de utilizare a aparatului de analiză matematică, iar metoda grafică are cea mai mare claritate. De aceea, analiza matematică se bazează pe o sinteză profundă a metodelor analitice și geometrice. Studiul funcțiilor date analitic este mult mai ușor și devine clar dacă luăm în considerare graficele acestor funcții în paralel.

X y=x

Mare matematician - Dirichlet In profesor la Berlin, din 1855 Universitatea Göttingen. Principalele lucrări despre teoria numerelor și analiza matematică. În domeniul analizei matematice, Dirichlet a formulat și studiat pentru prima dată cu acuratețe conceptul de convergență condiționată a unei serii, a stabilit un criteriu pentru convergența unei serii (așa-numitul criteriu Dirichlet, 1862) și (1829) a dat o dovadă riguroasă a posibilității de a extinde o funcție într-o serie Fourier având un număr finit de maxime și minime. Lucrări semnificative ale lui Dirichlet sunt dedicate mecanicii și fizicii matematice (principiul lui Dirichlet în teoria funcției armonice). Dirichlet Peter Gustav Lejeune () matematician german, membru corespondent străin. Academia de Științe din Petersburg (c), membru al Societății Regale din Londra (1855), Academia de Științe din Paris (1854), Academia de Științe din Berlin. Dirichlet a demonstrat o teoremă privind existența unui număr infinit de numere prime în orice progresie aritmetică a numerelor întregi, primul termen și a căror diferență sunt numere coprime și a studiat (1837) legea distribuției primelor în progresii aritmetice, în legătură cu pe care le-a introdus serii funcționale de o formă specială ( așa-numita serie Dirichlet).

Definirea analitică a unei funcții

Funcția %%y = f(x), x \in X%% dată într-un mod analitic explicit, dacă se dă o formulă care specifică succesiunea operațiilor matematice care trebuie efectuate cu argumentul %%x%% pentru a obține valoarea %%f(x)%% a acestei funcție.

Exemplu

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

Deci, de exemplu, în fizică, cu mișcare rectilinie uniform accelerată, viteza unui corp este determinată de formula t%% se scrie astfel: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%.

Funcții definite pe bucăți

Uneori funcția luată în considerare poate fi definită prin mai multe formule care operează în diferite părți ale domeniului definiției sale, în care argumentul funcției se modifică. De exemplu: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Funcțiile de acest fel sunt uneori numite constitutiv sau pe bucati. Un exemplu de astfel de funcție este %%y = |x|%%

Domeniul de aplicare a funcției

Dacă funcția este specificată într-un mod analitic explicit folosind o formulă, dar domeniul de aplicare al funcției sub forma unui set %%D%% nu este specificat, atunci prin %%D%% vom înțelege întotdeauna setul de valori ​​de argumentul %%x%% pentru care această formulă are sens . Deci, pentru funcția %%y = x^2%%, domeniul definiției este setul %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, deoarece argumentul %%x% % poate prelua orice valoare linie numerică. Și pentru funcția %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%%, domeniul de definiție va fi setul de valori %%x%% care satisface inegalitatea %%1 - x^2 > 0%%, m .e. %%D = (-1, 1)%%.

Beneficiile definiției explicite a funcției analitice

Rețineți că modul analitic explicit de a specifica o funcție este destul de compact (formula, de regulă, ocupă puțin spațiu), ușor de reprodus (formula este ușor de scris) și este cel mai adaptat pentru a efectua operații și transformări matematice pe funcții.

Unele dintre aceste operații - algebrice (adunare, înmulțire etc.) - sunt bine cunoscute de la cursul de matematică din școală, altele (diferențiere, integrare) vor fi studiate în viitor. Cu toate acestea, această metodă nu este întotdeauna clară, deoarece natura dependenței funcției de argument nu este întotdeauna clară și, uneori, sunt necesare calcule greoaie pentru a găsi valorile funcției (dacă sunt necesare).

Specificarea funcției implicite

Funcția %%y = f(x)%% este definită într-un mod analitic implicit, dacă este dată relația $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ raportând valorile funcției %%y%% și argumentul %% X%%. Dacă sunt date valori ale argumentului, atunci pentru a găsi valoarea %%y%% corespunzătoare unei anumite valori a %%x%%, este necesar să se rezolve ecuația %%(1)%% în raport cu %%y%% la acea valoare particulară de %%x%%.

Având în vedere o valoare de %%x%%, ecuația %%(1)%% poate să nu aibă o soluție sau mai mult de o soluție. În primul caz, valoarea specificată %%x%% nu este în sfera funcției implicite, iar în al doilea caz specifică funcţie multivalorică, care are mai multe valori pentru o anumită valoare a argumentului.

Rețineți că dacă ecuația %%(1)%% poate fi rezolvată explicit în raport cu %%y = f(x)%%, atunci obținem aceeași funcție, dar deja definită într-un mod analitic explicit. Deci, ecuația %%x + y^5 - 1 = 0%%

iar egalitatea %%y = \sqrt(1 - x)%% definesc aceeași funcție.

Definirea funcției parametrice

Când dependența lui %%y%% de %%x%% nu este dată direct, ci în schimb dependențele ambelor variabile %%x%% și %%y%% de o a treia variabilă auxiliară %%t%% sunt date în formă

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$despre care vorbesc parametrice metoda de setare a funcției;

atunci variabila auxiliară %%t%% se numește parametru.

Dacă este posibil să se excludă parametrul %%t%% din ecuațiile %%(2)%%, atunci se ajunge la o funcție dată de o dependență analitică explicită sau implicită de %%y%% de %%x%% . De exemplu, din relațiile $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ cu excepția pentru parametrul % %t%% obținem dependența %%y = 2 x + 2%%, care stabilește o linie dreaptă în planul %%xOy%%.

Mod grafic

Un exemplu de definiție grafică a unei funcții

Exemplele de mai sus arată că modalitatea analitică de definire a unei funcții corespunde acesteia imagine grafică, care poate fi considerată o formă convenabilă și vizuală de descriere a unei funcții. Uneori folosit mod grafic definirea unei funcții când dependența %%y%% de %%x%% este dată de o linie pe planul %%xOy%%. Cu toate acestea, pentru toată claritatea sa, pierde în acuratețe, deoarece valorile argumentului și valorile corespunzătoare ale funcției pot fi obținute din grafic doar aproximativ. Eroarea rezultată depinde de scara și acuratețea măsurării abscisei și ordonatei punctelor individuale ale graficului. Pe viitor, vom atribui rolul graficului funcției doar pentru a ilustra comportamentul funcției și, prin urmare, ne vom restrânge la construcția de „schițe” de grafice care reflectă principalele caracteristici ale funcțiilor.

Mod tabular

Notă mod tabelar atribuiri de funcții, când unele valori ale argumentelor și valorile funcției corespunzătoare sunt plasate într-un tabel într-o anumită ordine. Așa se construiesc binecunoscutele tabele de funcții trigonometrice, tabele de logaritmi etc. Sub forma unui tabel, relația dintre cantitățile măsurate în studii experimentale, observații și teste este de obicei prezentată.

Dezavantajul acestei metode este imposibilitatea de a determina direct valorile funcției pentru valorile argumentului care nu sunt incluse în tabel. Dacă există încredere că valorile argumentului care nu sunt prezentate în tabel aparțin domeniului funcției luate în considerare, atunci valorile corespunzătoare ale funcției pot fi calculate aproximativ folosind interpolarea și extrapolarea.

Exemplu

Modalități algoritmice și verbale de specificare a funcțiilor

Funcția poate fi setată algoritmic(sau programatic) într-un mod care este utilizat pe scară largă în calculele computerizate.

În cele din urmă, se poate remarca descriptiv(sau verbal) o modalitate de specificare a unei funcții, atunci când regula de potrivire a valorilor funcției cu valorile argumentului este exprimată în cuvinte.

De exemplu, funcția %%[x] = m~\forall (x \in . Totuși, și este important de subliniat că, pe măsură ce se dezvoltă informațiile noastre despre analiză, la numărul lor se vor adăuga și alte operații, în primul rând, trecerea la limită, cu care Cititorul este deja familiarizat din capitolul I.

Astfel, întregul conținut al termenului „expresie analitică” sau „formulă” va fi dezvăluit doar treptat.

2° A doua observație se referă la domeniul de definire a unei funcții printr-o expresie sau formulă analitică.

Fiecare expresie analitică care conține un argument x are, ca să spunem așa, o zonă naturală de aplicare: este mulțimea tuturor acelor valori ale lui x pentru care își păstrează un sens, adică are o valoare bine definită, finită, valoare reala. Să explicăm acest lucru cu exemple simple.

Deci, pentru o expresie, o astfel de zonă va fi întregul set de numere reale. Pentru o expresie, această zonă va fi redusă la un interval închis dincolo de care valoarea sa încetează să mai fie reală. Dimpotrivă, expresia va trebui să includă un decalaj deschis ca sfera sa naturală, deoarece la capete numitorul său devine 0. Uneori, intervalul de valori pentru care expresia păstrează semnificația constă în goluri împrăștiate: pentru acestea vor exista goluri pentru - goluri etc.

Ca exemplu final, luați în considerare suma unei progresii geometrice infinite

Dacă atunci, după cum știm, această limită există și are o valoare de . Pentru , limita fie este egală, fie nu există deloc. Astfel, pentru expresia analitică de mai sus, domeniul natural va fi intervalul deschis

În prezentarea următoare, va trebui să luăm în considerare atât expresii analitice mai complexe, cât și mai generale și vom studia de mai multe ori proprietățile funcțiilor date de o expresie similară în întreaga regiune în care aceasta își păstrează sensul, adică studiul aparatul analitic propriu-zis.

Este însă posibilă și o altă stare de fapt, asupra căreia considerăm că este necesar să atragem atenția cititorului în prealabil. Să ne imaginăm că o anumită întrebare, în care variabila x este limitată în esență la domeniul lui X, a condus la luarea în considerare a unei funcții care admite o expresie analitică. Deși se poate întâmpla ca această expresie să aibă sens în afara regiunii X, este, desigur, imposibil să o depășim. Aici expresia analitică joacă un rol subordonat, auxiliar.

De exemplu, dacă, investigând căderea liberă a unui punct greu de la o înălțime deasupra suprafeței pământului, recurgem la formula

Ar fi absurd să luăm în considerare valori negative ale lui t sau valori mai mari decât pentru, așa cum este ușor de observat, la , punctul va cădea deja la pământ. Și asta în ciuda faptului că expresia în sine - își păstrează sensul pentru tot ceea ce este real.

3° Se poate întâmpla ca o funcție să nu fie definită prin aceeași formulă pentru toate valorile argumentului, ci pentru unii printr-o formulă și pentru alții printr-o alta. Un exemplu de astfel de funcție între ele este funcția definită de următoarele trei formule:

si in sfarsit daca .

Menționăm și funcția Dirichlet (P. G. Lejeune-Dinchlet), care se definește astfel:

În sfârșit, împreună cu Kronecker (L. Kroneckcf) vom lua în considerare funcția, pe care el a numit-o „signum” și notat cu