Acest tutorial video va ajuta utilizatorii să-și facă o idee despre tema piramidei. Piramida corectă. În această lecție, ne vom familiariza cu conceptul de piramidă, vom da o definiție. Luați în considerare ce este o piramidă obișnuită și ce proprietăți are. Apoi demonstrăm teorema pe suprafața laterală a unei piramide regulate.

În această lecție, ne vom familiariza cu conceptul de piramidă, vom da o definiție.

Luați în considerare un poligon A 1 A 2...A n, care se află în planul α și un punct P, care nu se află în planul α (Fig. 1). Să conectăm punctul P cu vârfuri A 1, A 2, A 3, … A n. obține n triunghiuri: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R etc.

Definiție. Poliedru RA 1 A 2 ... A n, alcătuit din n-gon A 1 A 2...A nȘi n triunghiuri RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1, sunat n- piramida carbunelui. Orez. unu.

Orez. unu

Luați în considerare o piramidă patruunghiulară PABCD(Fig. 2).

R- vârful piramidei.

ABCD- baza piramidei.

RA- coasta laterala.

AB- marginea bazei.

De la un punct R scade perpendiculara RN pe planul solului ABCD. Perpendiculara desenată este înălțimea piramidei.

Orez. 2

Suprafața totală a piramidei constă din suprafața laterală, adică aria tuturor fețelor laterale și zona de bază:

S complet \u003d S lateral + S principal

O piramidă se numește corectă dacă:

• baza sa este un poligon regulat;
• segmentul care leagă vârful piramidei cu centrul bazei este înălțimea acesteia.

Explicație pe exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite

Luați în considerare o piramidă patruunghiulară obișnuită PABCD(Fig. 3).

R- vârful piramidei. baza piramidei ABCD- un patrulater regulat, adică un pătrat. Punct DESPRE, punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace, RO este înălțimea piramidei.

Orez. 3

Explicaţie: in dreapta n-gon, centrul cercului înscris și centrul cercului circumscris coincid. Acest centru se numește centrul poligonului. Uneori se spune că vârful este proiectat în centru.

Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, trasă din vârful ei, se numește apotemăși notat h a.

1. toate marginile laterale ale unei piramide regulate sunt egale;

2. fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale.

Să demonstrăm aceste proprietăți folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite.

Dat: RABCD- piramida patruunghiulara regulata,

ABCD- pătrat,

RO este înălțimea piramidei.

Dovedi:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Vezi Fig. 4.

Orez. 4

Dovada.

RO este înălțimea piramidei. Adică drept RO perpendicular pe plan ABC, și, prin urmare, direct AO, VO, SOȘi DO culcat în ea. Deci triunghiurile ROA, ROV, ROS, ROD- dreptunghiular.

Luați în considerare un pătrat ABCD. Din proprietățile unui pătrat rezultă că AO = BO = CO = DO.

Apoi triunghiurile dreptunghiulare ROA, ROV, ROS, ROD picior RO- general si picioare AO, VO, SOȘi DO egale, deci aceste triunghiuri sunt egale în două catete. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea segmentelor, RA = PB = PC = PD. Punctul 1 este dovedit.

Segmente ABȘi soare sunt egale pentru că sunt laturile aceluiași pătrat, RA = RV = PC. Deci triunghiurile AVRȘi VCR - isoscel și egal pe trei laturi.

În mod similar, obținem că triunghiurile ABP, BCP, CDP, DAP sunt isoscele și egale, ceea ce trebuia să fie demonstrat la punctul 2.

Aria suprafeței laterale a unei piramide obișnuite este egală cu jumătate din produsul perimetrului bazei și apotema:

Pentru demonstrație, alegem o piramidă triunghiulară obișnuită.

Dat: RAVS este o piramidă triunghiulară regulată.

AB = BC = AC.

RO- înălțime.

Dovedi: . Vezi fig. cinci.

Orez. cinci

Dovada.

RAVS este o piramidă triunghiulară regulată. i.e AB= AC = BC. Lasa DESPRE- centrul triunghiului ABC, apoi RO este înălțimea piramidei. Baza piramidei este un triunghi echilateral. ABC. observa asta .

triunghiuri RAV, RVS, RSA- triunghiuri isoscele egale (după proprietate). O piramidă triunghiulară are trei fețe laterale: RAV, RVS, RSA. Deci, aria suprafeței laterale a piramidei este:

Partea S = 3S RAB

Teorema a fost demonstrată.

Raza unui cerc înscris la baza unei piramide patruunghiulare obișnuite este de 3 m, înălțimea piramidei este de 4 m. Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.

Dat: piramidă patruunghiulară regulată ABCD,

ABCD- pătrat,

r= 3 m,

RO- înălțimea piramidei,

RO= 4 m.

A găsi: partea S. Vezi fig. 6.

Orez. 6

Soluţie.

Conform teoremei dovedite, .

Găsiți mai întâi partea bazei AB. Știm că raza unui cerc înscris la baza unei piramide patruunghiulare regulate este de 3 m.

Apoi, m.

Aflați perimetrul pătratului ABCD cu latura de 6 m:

Luați în considerare un triunghi BCD. Lasa M- partea de mijloc DC. pentru că DESPRE- mijloc BD, apoi (m).

Triunghi DPC- isoscel. M- mijloc DC. adica RM- mediana, deci și înălțimea în triunghi DPC. Apoi RM- apotema piramidei.

RO este înălțimea piramidei. Apoi, drept RO perpendicular pe plan ABC, și de aici direct OM culcat în ea. Să găsim o apotema RM dintr-un triunghi dreptunghic rom.

Acum putem găsi suprafața laterală a piramidei:

Răspuns: 60 m2.

Raza unui cerc circumscris lângă baza unei piramide triunghiulare regulate este m. Aria suprafeței laterale este de 18 m 2. Aflați lungimea apotemului.

Dat: ABCP- piramida triunghiulara regulata,

AB = BC = SA,

R= m,

Latura S = 18 m 2.

A găsi: . Vezi fig. 7.

Orez. 7

Soluţie.

Într-un triunghi dreptunghic ABC dată fiind raza cercului circumscris. Să găsim o parte AB acest triunghi folosind teorema sinusului.

Cunoscând latura unui triunghi regulat (m), găsim perimetrul acestuia.

Conform teoremei privind suprafața laterală a unei piramide regulate, unde h a- apotema piramidei. Apoi:

Răspuns: 4 m.

Deci, am examinat ce este o piramidă, ce este o piramidă obișnuită, am demonstrat teorema pe suprafața laterală a unei piramide obișnuite. În următoarea lecție, ne vom familiariza cu piramida trunchiată.

Bibliografie

1. Geometrie. Clasele 10-11: un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ (nivel de bază și de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Ed. a 5-a, Rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Geometrie. Clasele 10-11: Un manual pentru instituţiile de învăţământ general / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. Geometrie. Clasa a 10-a: Manual pentru instituții de învățământ general cu studiu aprofundat și de profil al matematicii / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ed. a VI-a, stereotip. - M.: Butard, 008. - 233 p.: ill.

1. Portalul de internet „Yaklass” ()
2. Portalul de internet „Festivalul de Idei Pedagogice „Primul Septembrie” ()
3. Portalul de internet „Slideshare.net” ()

Teme pentru acasă

1. Poate un poligon regulat să fie baza unei piramide neregulate?
2. Demonstrați că muchiile care nu se intersectează ale unei piramide regulate sunt perpendiculare.
3. Aflați valoarea unghiului diedrului de pe latura bazei unei piramide patruunghiulare regulate, dacă apotema piramidei este egală cu latura bazei acesteia.
4. RAVS este o piramidă triunghiulară regulată. Construiți unghiul liniar al unghiului diedru de la baza piramidei.

Introducere

Când am început să studiem figurile stereometrice, am atins subiectul „Piramida”. Ne-a plăcut această temă pentru că piramida este foarte des folosită în arhitectură. Și din moment ce viitoarea noastră profesie de arhitect, inspirată de această figură, credem că ea va putea să ne împingă spre proiecte mărețe.

Forța structurilor arhitecturale, cea mai importantă calitate a acestora. Asociând rezistența, în primul rând, cu materialele din care sunt create și, în al doilea rând, cu caracteristicile soluțiilor de proiectare, se dovedește că rezistența unei structuri este direct legată de forma geometrică care este de bază pentru aceasta.

Cu alte cuvinte, vorbim despre acea figură geometrică, care poate fi considerată ca un model al formei arhitecturale corespunzătoare. Se pare că forma geometrică determină și rezistența structurii arhitecturale.

Piramidele egiptene au fost mult timp considerate cea mai durabilă structură arhitecturală. După cum știți, au forma unor piramide patruunghiulare obișnuite.

Această formă geometrică este cea care oferă cea mai mare stabilitate datorită suprafeței mari de bază. Pe de altă parte, forma piramidei asigură că masa scade pe măsură ce înălțimea deasupra solului crește. Aceste două proprietăți sunt cele care fac piramida stabilă și, prin urmare, puternică în condițiile gravitației.

Obiectivul proiectului: învață ceva nou despre piramide, aprofundează cunoștințele și găsește aplicații practice.

Pentru a atinge acest obiectiv, a fost necesar să se rezolve următoarele sarcini:

Aflați informații istorice despre piramidă

Considerați piramida ca o figură geometrică

Găsiți aplicații în viață și arhitectură

Găsiți asemănări și diferențe între piramidele situate în diferite părți ale lumii

Partea teoretică

Informații istorice

Începutul geometriei piramidei a fost pus în Egiptul antic și Babilonul, dar a fost dezvoltat activ în Grecia antică. Primul care a stabilit cu ce este egal volumul piramidei a fost Democrit, iar Eudox din Cnidus a dovedit-o. Matematicianul grec antic Euclid a sistematizat cunoștințele despre piramidă în volumul XII al „Începuturilor” sale și, de asemenea, a scos la iveală prima definiție a piramidei: o figură corporală delimitată de planuri care converg dintr-un singur plan într-un punct.

Mormintele faraonilor egipteni. Cea mai mare dintre ele - piramidele lui Keops, Khafre și Mikerin din El Giza în timpurile străvechi au fost considerate una dintre cele șapte minuni ale lumii. Ridicarea piramidei, în care grecii și romanii au văzut deja un monument al mândriei fără precedent a regilor și cruzimii, care a condamnat întregul popor din Egipt la o construcție fără sens, a fost cel mai important act de cult și trebuia să exprime, aparent, identitatea mistică a țării și a conducătorului ei. Populația țării a lucrat la construcția mormântului în perioada anului lipsită de muncă agricolă. O serie de texte mărturisesc atenția și grija pe care regii înșiși (deși dintr-o perioadă mai târziu) le-au acordat construcției mormântului lor și a constructorilor acestuia. De asemenea, se știe despre onorurile speciale de cult care s-au dovedit a fi piramida însăși.

Noțiuni de bază

Piramidă Se numește poliedru, a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri având un vârf comun.

Apotema- inaltimea fetei laterale a unei piramide regulate, trasa din varful acesteia;

Fețe laterale- triunghiuri convergente în vârf;

Coaste laterale- laturile comune ale fetelor laterale;

vârful piramidei- un punct care unește marginile laterale și nu se află în planul bazei;

Înălţime- un segment de perpendiculară trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia (capetele acestui segment sunt vârful piramidei și baza perpendicularei);

Secțiunea diagonală a unei piramide- sectiune a piramidei care trece prin varf si diagonala bazei;

Baza- un poligon care nu aparține vârfului piramidei.

Principalele proprietăți ale piramidei corecte

Marginile laterale, fețele laterale și respectiv apotemele sunt egale.

Unghiurile diedrice de la bază sunt egale.

Unghiurile diedrice de la marginile laterale sunt egale.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile de bază.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate fețele laterale.

Formule piramidale de bază

Aria suprafeței laterale și complete a piramidei.

Aria suprafeței laterale a piramidei (plină și trunchiată) este suma ariilor tuturor fețelor sale laterale, aria suprafeței totale este suma ariilor tuturor fețelor sale.

Teorema: Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul perimetrului bazei și apotema piramidei.

p- perimetrul bazei;

h- apotema.

Aria suprafețelor laterale și complete ale unei piramide trunchiate.

p1, p 2 - perimetrele de bază;

h- apotema.

R- suprafața totală a unei piramide trunchiate obișnuite;

partea S- zona suprafeței laterale a unei piramide trunchiate regulate;

S1 + S2- suprafata de baza

Volumul piramidei

Formă Scara de volum este folosită pentru piramide de orice fel.

H este înălțimea piramidei.

Unghiurile piramidei

Unghiurile care sunt formate de fața laterală și baza piramidei se numesc unghiuri diedrice la baza piramidei.

Un unghi diedru este format din două perpendiculare.

Pentru a determina acest unghi, de multe ori trebuie să utilizați teorema celor trei perpendiculare.

Se numesc unghiurile care sunt formate de o muchie laterală și proiecția acesteia pe planul bazei unghiuri dintre marginea laterală și planul bazei.

Unghiul format din două fețe laterale se numește unghi diedru la marginea laterală a piramidei.

Unghiul, care este format din două margini laterale ale unei fețe ale piramidei, se numește colțul din vârful piramidei.

Secțiuni ale piramidei

Suprafața unei piramide este suprafața unui poliedru. Fiecare dintre fețele sale este un plan, deci secțiunea piramidei dată de planul secant este o linie întreruptă constând din drepte separate.

Secțiune diagonală

Secțiunea unei piramide printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu se află pe aceeași față se numește secțiune diagonală piramide.

Secțiuni paralele

Teorema:

Dacă piramida este străbătută de un plan paralel cu baza, atunci marginile laterale și înălțimile piramidei sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;

Secțiunea acestui plan este un poligon asemănător bazei;

Zonele secțiunii și ale bazei sunt legate între ele ca pătratele distanțelor lor față de vârf.

Tipuri de piramide

Piramida corectă- o piramidă, a cărei bază este un poligon regulat, iar vârful piramidei este proiectat în centrul bazei.

La piramida corectă:

1. coastele laterale sunt egale

2. fețele laterale sunt egale

3. apotemele sunt egale

4. unghiurile diedrice la bază sunt egale

5. unghiurile diedrice la marginile laterale sunt egale

6. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile bazei

7. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate fețele laterale

Piramida trunchiată- partea de piramidă cuprinsă între baza acesteia și un plan de tăiere paralel cu bază.

Baza și secțiunea corespunzătoare a unei piramide trunchiate se numesc bazele unei piramide trunchiate.

Se numește perpendiculară trasată din orice punct al unei baze pe planul alteia înălțimea trunchiului piramidei.

Sarcini

Numarul 1. Într-o piramidă patruunghiulară regulată, punctul O este centrul bazei, SO=8 cm, BD=30 cm.Aflați muchia laterală SA.

Rezolvarea problemelor

Numarul 1. Într-o piramidă obișnuită, toate fețele și marginile sunt egale.

Să luăm în considerare OSB: OSB-dreptunghi dreptunghiular, deoarece.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Piramida în arhitectură

Piramidă - o structură monumentală sub forma unei piramide geometrice regulate obișnuite, în care laturile converg într-un punct. După scopul funcțional, piramidele erau în antichitate un loc de înmormântare sau de cult. Baza unei piramide poate fi triunghiulară, pătraunghiulară sau poligonală cu un număr arbitrar de vârfuri, dar cea mai comună versiune este baza pătraunghiulară.

Se cunosc un număr considerabil de piramide, construite de diferite culturi ale lumii antice, în principal ca temple sau monumente. Cele mai mari piramide sunt piramidele egiptene.

Pe tot Pământul puteți vedea structuri arhitecturale sub formă de piramide. Clădirile piramidale amintesc de cele mai vechi timpuri și arată foarte frumos.

Piramidele egiptene sunt cele mai mari monumente de arhitectură ale Egiptului Antic, printre care una dintre „Șapte minuni ale lumii” este piramida lui Keops. De la picior până în vârf, ajunge la 137,3 m, iar înainte de a pierde vârful, înălțimea ei era de 146,7 m.

Clădirea postului de radio din capitala Slovaciei, asemănătoare cu o piramidă inversată, a fost construită în 1983. Pe lângă birouri și spații de servicii, în interiorul volumului există o sală de concerte destul de spațioasă, care are una dintre cele mai mari orgi din Slovacia .

Luvru, care „este la fel de tăcut și maiestuos ca o piramidă” a suferit multe schimbări de-a lungul secolelor înainte de a deveni cel mai mare muzeu din lume. S-a născut ca cetate, ridicată de Filip Augustus în 1190, care s-a transformat în scurt timp într-o reședință regală. În 1793 palatul a devenit muzeu. Colecțiile sunt îmbogățite prin legaturi sau achiziții.

Definiție

Piramidă este un poliedru compus dintr-un poligon \(A_1A_2...A_n\) și \(n\) triunghiuri cu un vârf comun \(P\) (nu se află în planul poligonului) și laturile opuse care coincid cu laturile lui poligonul.
Denumire: \(PA_1A_2...A_n\) .
Exemplu: piramidă pentagonală \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Triunghiuri \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) etc. numit fetele laterale piramide, segmente \(PA_1, PA_2\), etc. - coaste laterale, poligon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – bază, punctul \(P\) – vârf.

Înălţime Piramidele sunt o perpendiculară coborâtă din vârful piramidei până în planul bazei.

O piramidă cu un triunghi la bază se numește tetraedru.

Piramida se numește corect, dacă baza sa este un poligon regulat și este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

\((a)\) marginile laterale ale piramidei sunt egale;

\((b)\) înălțimea piramidei trece prin centrul cercului circumscris lângă bază;

\((c)\) nervurile laterale sunt înclinate față de planul de bază la același unghi.

\((d)\) fețele laterale sunt înclinate față de planul de bază la același unghi.

tetraedru regulat este o piramidă triunghiulară, ale cărei fețe sunt triunghiuri echilaterale egale.

Teorema

Condițiile \((a), (b), (c), (d)\) sunt echivalente.

Dovada

Desenați înălțimea piramidei \(PH\) . Fie \(\alpha\) planul bazei piramidei.

1) Să demonstrăm că \((a)\) implică \((b)\) . Fie \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

pentru că \(PH\perp \alpha\), atunci \(PH\) este perpendicular pe orice dreptă situată în acest plan, deci triunghiurile sunt dreptunghiulare. Deci aceste triunghiuri sunt egale în cateta comună \(PH\) și ipotenuză \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Deci \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Aceasta înseamnă că punctele \(A_1, A_2, ..., A_n\) sunt la aceeași distanță de punctul \(H\) , prin urmare, ele se află pe același cerc cu raza \(A_1H\) . Acest cerc, prin definiție, este circumscris poligonului \(A_1A_2...A_n\) .

2) Să demonstrăm că \((b)\) implică \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) dreptunghiulară și egală în două picioare. Prin urmare, unghiurile lor sunt de asemenea egale, prin urmare, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Să demonstrăm că \((c)\) implică \((a)\) .

Similar cu primul punct, triunghiuri \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) dreptunghiular și de-a lungul piciorului și unghi ascuțit. Aceasta înseamnă că și ipotenuzele lor sunt egale, adică \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Să demonstrăm că \((b)\) implică \((d)\) .

pentru că într-un poligon regulat, centrele cercurilor circumscrise și înscrise coincid (în general, acest punct se numește centrul unui poligon regulat), atunci \(H\) este centrul cercului înscris. Să desenăm perpendiculare din punctul \(H\) spre laturile bazei: \(HK_1, HK_2\), etc. Acestea sunt razele cercului înscris (prin definiție). Apoi, conform TTP, (\(PH\) este o perpendiculară pe plan, \(HK_1, HK_2\), etc. sunt proiecții perpendiculare pe laturi) oblice \(PK_1, PK_2\), etc. perpendicular pe laturile \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectiv. Deci, prin definiție \(\unghi PK_1H, \unghi PK_2H\) egal cu unghiurile dintre fețele laterale și bază. pentru că triunghiurile \(PK_1H, PK_2H, ...\) sunt egale (ca dreptunghic pe două catete), apoi unghiurile \(\unghi PK_1H, \unghi PK_2H, ...\) sunt egale.

5) Să demonstrăm că \((d)\) implică \((b)\) .

Similar cu al patrulea punct, triunghiurile \(PK_1H, PK_2H, ...\) sunt egale (ca dreptunghiulare de-a lungul catetei și unghi ascuțit), ceea ce înseamnă că segmentele \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sunt egale. Prin urmare, prin definiție, \(H\) este centrul unui cerc înscris în bază. Dar de atunci pentru poligoane regulate, centrele cercului înscris și circumscris coincid, atunci \(H\) este centrul cercului circumscris. Chtd.

Consecinţă

Fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele egale.

Definiție

Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, trasă din vârful ei, se numește apotemă.
Apotemele tuturor fețelor laterale ale unei piramide regulate sunt egale între ele și sunt, de asemenea, mediane și bisectoare.

Notite importante

1. Înălțimea unei piramide triunghiulare regulate scade până la punctul de intersecție al înălțimilor (sau bisectoarelor, sau medianelor) bazei (baza este un triunghi regulat).

2. Înălțimea unei piramide patruunghiulare regulate scade până la punctul de intersecție a diagonalelor bazei (baza este un pătrat).

3. Înălțimea unei piramide hexagonale regulate scade până la punctul de intersecție a diagonalelor bazei (baza este un hexagon regulat).

4. Înălțimea piramidei este perpendiculară pe orice linie dreaptă aflată la bază.

Definiție

Piramida se numește dreptunghiular dacă una dintre marginile sale laterale este perpendiculară pe planul bazei.

Notite importante

1. Pentru o piramidă dreptunghiulară, muchia perpendiculară pe bază este înălțimea piramidei. Adică \(SR\) este înălțimea.

2. Pentru că \(SR\) perpendicular pe orice dreptă de la bază, atunci \(\triunghi SRM, \triunghi SRP\) sunt triunghiuri dreptunghiulare.

3. Triunghiuri \(\triunghi SRN, \triunghi SRK\) sunt de asemenea dreptunghiulare.
Adică orice triunghi format din această muchie și diagonala care iese din vârful acestei muchii, care se află la bază, va fi dreptunghiular.

\[(\Large(\text(Volumul și suprafața piramidei)))\]

Teorema

Volumul unei piramide este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea piramidei: \

Consecințe

Fie \(a\) latura bazei, \(h\) înălțimea piramidei.

1. Volumul unei piramide triunghiulare regulate este \(V_(\text(triunghi dreptunghic pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Volumul unei piramide patruunghiulare regulate este \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Volumul unei piramide hexagonale regulate este \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Volumul unui tetraedru regulat este \(V_(\text(right tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorema

Aria suprafeței laterale a unei piramide obișnuite este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema.

\[(\Large(\text(piramida trunchiată)))\]

Definiție

Considerăm o piramidă arbitrară \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Să desenăm un plan paralel cu baza piramidei printr-un anumit punct situat pe marginea laterală a piramidei. Acest plan va împărți piramida în două poliedre, dintre care una este o piramidă (\(PB_1B_2...B_n\) ), iar cealaltă se numește trunchi de piramidă(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Piramida trunchiată are două baze - poligoane \(A_1A_2...A_n\) și \(B_1B_2...B_n\) , care sunt similare între ele.

Înălțimea unei piramide trunchiate este o perpendiculară trasată de la un punct al bazei superioare până la planul bazei inferioare.

Notite importante

1. Toate fețele laterale ale unei piramide trunchiate sunt trapeze.

2. Segmentul care leagă centrele bazelor unei piramide trunchiate regulate (adică o piramidă obținută printr-o secțiune a unei piramide regulate) este înălțimea.

Aici sunt colectate informații de bază despre piramide și formule și concepte aferente. Toate sunt studiate cu un tutore la matematică în pregătirea examenului.

Luați în considerare un plan, un poligon culcat în ea și un punct S care nu se află în el. Conectați S la toate vârfurile poligonului. Poliedrul rezultat se numește piramidă. Segmentele se numesc margini laterale. Poligonul se numește bază, iar punctul S este numit vârful piramidei. În funcție de numărul n, piramida se numește triunghiulară (n=3), pătrangulară (n=4), pentagonală (n=5) și așa mai departe. Nume alternativ pentru piramida triunghiulară - tetraedru. Înălțimea unei piramide este perpendiculara trasă de la vârful ei la planul de bază.

O piramidă se numește corectă dacă un poligon regulat, iar baza înălțimii piramidei (baza perpendicularei) este centrul acesteia.

Comentariul tutorelui:
Nu confundați conceptul de „piramidă obișnuită” și „tetraedru obișnuit”. Într-o piramidă obișnuită, marginile laterale nu sunt neapărat egale cu marginile bazei, dar într-un tetraedru obișnuit, toate cele 6 margini ale marginilor sunt egale. Aceasta este definiția lui. Este ușor de demonstrat că egalitatea implică faptul că centrul P al poligonului cu o bază de înălțime, deci un tetraedru obișnuit este o piramidă obișnuită.

Ce este o apotema?
Apotema unei piramide este înălțimea feței sale laterale. Dacă piramida este regulată, atunci toate apotemele ei sunt egale. Reversul nu este adevărat.

Tutor de matematică despre terminologia lui: lucrul cu piramide este construit în proporție de 80% prin două tipuri de triunghiuri:
1) Conținând apotema SK și înălțimea SP
2) Conținând marginea laterală SA și proiecția ei PA

Pentru a simplifica referințele la aceste triunghiuri, este mai convenabil ca un profesor de matematică să numească primul dintre ele apotemic, și al doilea costal. Din păcate, această terminologie nu o veți găsi în niciunul dintre manuale, iar profesorul trebuie să o introducă unilateral.

Formula de volum piramidală:
1) , unde este aria bazei piramidei și este înălțimea piramidei
2), unde este raza sferei înscrise și este suprafața totală a piramidei.
3) , unde MN este distanța oricăror două muchii care se încrucișează și este aria paralelogramului format din punctele de mijloc ale celor patru muchii rămase.

Proprietatea bazei înălțimii piramidei:

Punctul P (vezi figura) coincide cu centrul cercului înscris la baza piramidei dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
1) Toate apotemele sunt egale
2) Toate fețele laterale sunt înclinate egal spre bază
3) Toate apotemele sunt înclinate în mod egal față de înălțimea piramidei
4) Înălțimea piramidei este înclinată în mod egal față de toate fețele laterale

Comentariul profesorului de matematică: rețineți că toate punctele sunt unite printr-o proprietate comună: într-un fel sau altul, fețele laterale participă peste tot (apotemele sunt elementele lor). Prin urmare, tutorele poate oferi o formulare mai puțin precisă, dar mai convenabilă pentru memorare: punctul P coincide cu centrul cercului înscris, baza piramidei, dacă există informații egale despre fețele sale laterale. Pentru a dovedi, este suficient să arătăm că toate triunghiurile apotemice sunt egale.

Punctul P coincide cu centrul cercului circumscris lângă baza piramidei, dacă una dintre cele trei condiții este adevărată:
1) Toate marginile laterale sunt egale
2) Toate nervurile laterale sunt înclinate egal spre bază
3) Toate nervurile laterale sunt înclinate în mod egal pe înălțime