Foarte des, atunci când rezolvați probleme geometrice, trebuie să efectuați acțiuni cu figuri auxiliare. De exemplu, găsiți raza unui cerc înscris sau circumscris etc. Acest articol vă va arăta cum să găsiți raza unui cerc care circumscrie un triunghi. Sau, cu alte cuvinte, raza cercului în care este înscris triunghiul.

Cum să găsiți raza unui cerc circumscris unui triunghi - formula generală

Formula generală este următoarea: R = abc/4√p(p - a)(p - b)(p - c), unde R este raza cercului circumscris, p este perimetrul triunghiului împărțit la 2 (jumătate de perimetru). a, b, c sunt laturile triunghiului.

Aflați raza cercului circumferitor al triunghiului dacă a = 3, b = 6, c = 7.

Astfel, pe baza formulei de mai sus, calculăm semiperimetrul:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Înlocuiți valorile din formulă și obțineți:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Răspuns: R = 126/16√5

Cum să găsiți raza unui cerc circumscris unui triunghi echilateral

Pentru a găsi raza unui cerc circumscris unui triunghi echilateral, există o formulă destul de simplă: R = a/√3, unde a este mărimea laturii sale.

Exemplu: Latura unui triunghi echilateral este 5. Aflați raza cercului circumscris.

Deoarece toate laturile unui triunghi echilateral sunt egale, pentru a rezolva problema, trebuie doar să introduceți valoarea acestuia în formulă. Se obține: R = 5/√3.

Răspuns: R = 5/√3.

Cum să găsiți raza unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic

Formula arată astfel: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, unde a și b sunt catete și c este ipotenuza. Dacă adunăm pătratele catetelor dintr-un triunghi dreptunghic, obținem pătratul ipotenuzei. După cum se poate vedea din formulă, această expresie se află sub rădăcină. Calculând rădăcina pătratului ipotenuzei, obținem lungimea în sine. Înmulțirea expresiei rezultate cu 1/2 ne duce în cele din urmă la expresia 1/2 × c = c/2.

Exemplu: Calculați raza cercului circumscris dacă catetele triunghiului sunt 3 și 4. Înlocuiți valorile în formulă. Se obține: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

În această expresie, 5 este lungimea ipotenuzei.

Răspuns: R = 2,5.

Cum să găsiți raza unui cerc circumscris unui triunghi isoscel

Formula arată astfel: R = a² / √ (4a² - b²), unde a este lungimea coapsei triunghiului și b este lungimea bazei.

Exemplu: Calculați raza unui cerc dacă șoldul lui = 7 și baza lui = 8.

Soluție: înlocuim aceste valori în formulă și obținem: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R = 49/√(196 - 64) = 49/√132. Răspunsul poate fi scris direct astfel.

Răspuns: R = 49/√132

Resurse online pentru calcularea razei unui cerc

Este foarte ușor să te încurci în toate aceste formule. Prin urmare, dacă este necesar, puteți folosi calculatoare online care vă vor ajuta în rezolvarea problemelor de a găsi raza. Principiul de funcționare a unor astfel de mini-programe este foarte simplu. Înlocuiți valoarea laturii în câmpul corespunzător și obțineți un răspuns gata făcut. Puteți alege mai multe opțiuni pentru rotunjirea răspunsului: la zecimale, sutimi, miimi etc.

În ingineria mecanică modernă, se folosesc o mulțime de elemente și piese de schimb, care au în structura lor atât cercuri externe, cât și interne. Cel mai izbitor exemplu este carcasa rulmenților, piesele motorului, ansamblurile butucilor și multe altele. În fabricarea lor, se folosesc nu numai dispozitive de înaltă tehnologie, ci și cunoștințe din geometrie, în special informații despre cercurile unui triunghi. Să aruncăm o privire la aceste cunoștințe mai detaliat mai jos.

In contact cu

Care cerc este înscris și care este circumscris

În primul rând, amintiți-vă că infinitul se numește cerc. set de puncte care se află la aceeași distanță de centru. Dacă este permisă construirea unui cerc în interiorul poligonului, care va avea un singur punct comun de intersecție cu fiecare latură, atunci acesta va fi numit înscris. Cercul circumscris (nu un cerc, acestea sunt concepte diferite) este un astfel de loc de puncte în care figura construită cu un poligon dat va avea doar vârfurile poligonului în puncte comune. Să ne familiarizăm cu aceste două concepte pe un exemplu mai ilustrativ (vezi Fig. 1.).

Figura 1. Cercurile înscrise și circumscrise ale unui triunghi

Imaginea conține două figuri cu diametre mari și mici, ale căror centre sunt G și I. Un cerc mai mare se numește regiunea circumscrisă Δ ABC, iar un cerc mic, dimpotrivă, este înscris în Δ ABC.

Pentru a descrie împrejurimile din jurul triunghiului, este necesar trageți o linie perpendiculară prin mijlocul fiecărei părți(adică la un unghi de 90°) este punctul de intersecție și joacă un rol cheie. Va fi centrul cercului circumscris. Înainte de a găsi un cerc, cu centrul său într-un triunghi, trebuie să construiți pentru fiecare unghi și apoi să selectați punctul de intersecție al liniilor. Acesta, la rândul său, va fi centrul cartierului înscris, iar raza lui în orice condiții va fi perpendiculară pe oricare dintre laturi.

La întrebarea: „Câte cercuri înscrise pot fi pentru un poligon cu trei?” răspundem deodată că în orice triunghi se poate înscrie un cerc și, în plus, doar unul. Pentru că există un singur punct de intersecție al tuturor bisectoarelor și un punct de intersecție al perpendicularelor care emană din punctele mijlocii ale laturilor.

Proprietatea cercului căruia îi aparțin vârfurile unui triunghi

Cercul circumscris, care depinde de lungimile laturilor de la bază, are propriile sale proprietăți. Indicăm proprietățile cercului circumscris:

Pentru a înțelege mai clar principiul cercului circumscris, vom rezolva o problemă simplă. Să presupunem că este dat un triunghi Δ ABC, ale cărui laturi sunt de 10, 15 și 8,5 cm.Raza cercului circumscris din apropierea triunghiului (FB) este de 7,9 cm.Aflați măsura gradului fiecărui unghi și prin ele aria lui triunghiul.

Figura 2. Aflarea razei unui cerc prin raportul dintre laturile și sinusurile unghiurilor

Rezolvare: pe baza teoremei sinusului indicată anterior, găsim separat valoarea sinusului fiecărui unghi. Prin condiție, se știe că latura AB are 10 cm. Calculați valoarea lui C:

Folosind valorile tabelului Bradis, aflăm că măsura gradului unghiului C este de 39 °. În același mod, găsim măsurile rămase ale unghiurilor:

De unde știm că CAB = 33° și ABC = 108°. Acum, cunoscând valorile sinusurilor fiecărui unghi și raza, găsim aria, înlocuind valorile găsite:

Răspuns: Aria unui triunghi este de 40,31 cm², iar unghiurile sunt de 33°, 108° și, respectiv, 39°.

Important! Atunci când rezolvați probleme de acest gen, va fi util să aveți întotdeauna tabele Bradis sau o aplicație adecvată pe smartphone, deoarece manual procesul poate dura mult timp. De asemenea, pentru a economisi mai mult timp, nu este necesar să construiți toate cele trei puncte medii ale perpendicularei sau trei bisectoare. Orice treime dintre ele se va intersecta întotdeauna în punctul de intersecție al primelor două. Iar pentru o construcție ortodoxă o termină de obicei pe a treia. Poate că acest lucru este greșit în întrebarea algoritmului, dar la examen sau alte examene economisește mult timp.

Calcularea razei unui cerc înscris

Toate punctele dintr-un cerc sunt la aceeași distanță de centrul său, la aceeași distanță. Lungimea acestui segment (de la și până la) se numește rază. În funcție de ce fel de mediu avem, se disting două tipuri - intern și extern. Fiecare dintre ele este calculată după propria formulă și este direct legată de calcularea unor parametri precum:

• zonă;
• gradul de măsurare a fiecărui unghi;
• lungimi laterale și perimetru.

Figura 3. Locația cercului înscris în interiorul triunghiului

Puteți calcula lungimea distanței de la centru până la punctul de contact pe fiecare parte în următoarele moduri: h prin laturi, laturi si colturi(pentru un triunghi echilateral).

Folosind un semi-perimetru

Semiperimetrul este jumătate din suma lungimilor tuturor laturilor. Această metodă este considerată cea mai populară și universală, deoarece indiferent de tipul de triunghi dat de condiție, este potrivită pentru toată lumea. Ordinea de calcul este următoarea:

Dacă este dat „corect”.

Unul dintre micile avantaje ale unui triunghi „perfect” este că cercurile înscrise și circumscrise se centrează în același punct. Acest lucru este util atunci când construiești forme. Cu toate acestea, în 80% din cazuri răspunsul este „urât”. Aceasta înseamnă că foarte rar raza vecinătății înscrise va fi întreagă, mai degrabă invers. Pentru un calcul simplificat, se folosește formula pentru raza cercului înscris într-un triunghi:

Dacă laturile au aceeași lungime

Unul dintre subtipurile de sarcini pentru stat. examenele vor fi găsirea razei cercului înscris al unui triunghi, ale cărui două laturi sunt egale una cu cealaltă, iar a treia nu este. În acest caz, vă recomandăm să utilizați acest algoritm, care va oferi o economie semnificativă de timp în găsirea diametrului cercului înscris. Raza cercului înscris într-un triunghi cu „lateral” egal se calculează prin formula:

Vom demonstra o aplicare mai vizuală a acestor formule în următoarea problemă. Să avem un triunghi (Δ HJI), în care vecinătatea este înscrisă în punctul K. Lungimea laturii HJ = 16 cm, JI = 9,5 cm și latura HI este de 19 cm (Figura 4). Aflați raza cartierului înscris, cunoscând laturile.

Figura 4. Aflarea valorii razei cercului înscris

Soluție: pentru a găsi raza zonei înscrise, găsim semiperimetrul:

De aici, cunoscând mecanismul de calcul, învățăm următoarea valoare. Pentru a face acest lucru, veți avea nevoie de lungimile fiecăreia dintre laturi (date de condiție), precum și de jumătate din perimetru, se dovedește:

Rezultă că raza dorită este de 3,63 cm. Conform condiției, toate laturile sunt egale, atunci raza dorită va fi egală cu:

Cu condiția ca poligonul să fie echilateral (de exemplu, i \u003d h \u003d 10 cm, j \u003d 8 cm), diametrul cercului interior centrat în punctul K va fi egal cu:

În starea problemei, poate fi dat un triunghi cu un unghi de 90 °, caz în care nu este nevoie să memorați formula. Ipotenuza triunghiului va fi egală cu diametrul. Mai clar arată așa:

Important! Dacă o sarcină este setată pentru a găsi raza interioară, nu vă recomandăm să efectuați calcule folosind valorile sinusurilor și cosinusurilor unghiurilor, a căror valoare tabelară nu este cunoscută exact. Dacă este imposibil să aflați lungimea altfel, nu încercați să „trageți” valoarea de sub rădăcină. În 40% dintre sarcini, valoarea rezultată va fi transcendentală (adică, infinită), iar comisia poate să nu conteze răspunsul (chiar dacă este corect) din cauza inexactității sau a formularului de trimitere incorect. Acordați o atenție deosebită modului în care formula pentru raza cercului circumscris unui triunghi se poate modifica în funcție de datele propuse. Astfel de „spații” vă permit să „vedeți” scenariul pentru rezolvarea problemei în avans și să alegeți cea mai economică soluție.

Raza și aria cercului interior

Pentru a calcula aria unui triunghi înscris într-un cerc, utilizați numai raza și lungimile laturilor poligonului:

Dacă starea problemei nu dă în mod direct valoarea razei, ci doar aria, atunci formula zonei specificate se transformă în următoarea:

Luați în considerare efectul ultimei formule asupra unui exemplu mai specific. Să presupunem că ni se dă un triunghi în care este înscris vecinătatea. Aria vecinătății este de 4π, iar laturile sunt de 4, 5 și, respectiv, 6 cm. Să calculăm aria poligonului dat calculând semiperimetrul.

Folosind algoritmul de mai sus, calculăm aria triunghiului în funcție de raza cercului înscris:

În virtutea faptului că un cerc poate fi înscris în orice triunghi, numărul de variații în găsirea ariei crește semnificativ. Acestea. Găsirea ariei unui triunghi implică cunoașterea obligatorie a lungimii fiecărei laturi, precum și a valorii razei.

Triunghi înscris într-un cerc de geometrie Gradul 7

Triunghiuri dreptunghiulare înscrise într-un cerc

Ieșire

Din aceste formule, se poate convinge că complexitatea oricărei sarcini folosind cercurile înscrise și circumscrise constă doar în pași suplimentari pentru a găsi valorile necesare. Sarcinile de acest tip necesită doar o înțelegere aprofundată a esenței formulelor, precum și a raționalității aplicării lor. Din practica rezolvării, observăm că în viitor centrul cercului circumscris va apărea în alte subiecte de geometrie, deci nu ar trebui lansat. În caz contrar, decizia poate fi amânată folosind mișcări inutile și concluzii logice.

MKOU „Școala secundară Volchikhinsky nr. 2”

Profesor Bakuta E.P.

Clasa a 9-a

Lecție pe tema „Formulele pentru razele cercurilor înscrise și circumscrise ale poligoanelor regulate”

Obiectivele lecției:

Educativ: studiul formulelor pentru razele cercurilor înscrise și circumscrise ale poligoanelor regulate;

Dezvoltarea: activarea activității cognitive a elevilor prin rezolvarea problemelor practice, capacitatea de a alege soluția potrivită, de a-și exprima concis gândurile, de a analiza și de a trage concluzii.

Educativ: organizarea de activități comune, educarea interesului elevilor pentru subiect, bunăvoință, capacitatea de a asculta răspunsurile camarazilor.

Dotare: Calculator multimedia, proiector multimedia, ecran de expunere

Cursul lecției:

1. Moment organizatoric

Pentru a argumenta ceea ce trebuie,

Și motto-ul lecției noastre va fi aceste cuvinte:

Gandeste colectiv!

Decide repede!

Raspuns - dovada!

Luptă din greu!

2. Motivația lecției.

3. Actualizarea cunoștințelor de bază. Verificarea d/z.

Sondaj frontal:

Ce formă se numește poligon?

Ce este un poligon regulat?

Care este alt nume pentru un triunghi dreptunghic?

Care este alt nume pentru un patrulater obișnuit?

Formula pentru suma unghiurilor unui poligon convex.

Formula unghiului pentru un poligon obișnuit.

4. Învățarea de noi materiale. (diapozitive)

Se spune că un cerc este înscris într-un poligon dacă toate laturile poligonului ating cercul.

Se spune că un cerc este circumscris unui poligon dacă toate vârfurile poligonului se află pe cerc.

Un cerc poate fi înscris sau circumscris în jurul oricărui triunghi, iar centrul cercului înscris în triunghi se află la intersecția bisectoarelor triunghiului, iar centrul cercului circumscris triunghiului se află la intersecția bisectoarelor perpendiculare. .

Un cerc poate fi circumscris oricărui poligon regulat, iar un cerc poate fi înscris în orice poligon regulat, iar centrul cercului circumscris poligonului regulat coincide cu centrul cercului înscris în același poligon.

Formule pentru razele cercurilor înscrise și circumscrise ale unui triunghi regulat, patrulater regulat, hexagon regulat.

Raza unui cerc înscris într-un poligon regulat (r):

a - latura poligonului, N - numărul de laturi ale poligonului

Raza cercului circumscris unui poligon regulat (R):

a este latura poligonului, N este numărul de laturi ale poligonului.

Să completăm tabelul pentru un triunghi obișnuit, un patrulater obișnuit, un hexagon obișnuit.

5. Consolidarea materialului nou.

Rezolvați #1088, 1090, 1092, 1099.

6. Minutul fizic . Unu - întindere Două - îndoiți-vă

Trei - uită-te în jur Patru - stai jos

Cinci - mâinile sus. Şase - înainte

Șapte - coborât Opt - s-a așezat

Nouă - se ridică Zece - se aşeză din nou

7. Munca independentă a elevilor (lucrare în grup)

Rezolvați #1093.

8. Rezultatele lecției. Reflecţie. D/s.

Care este impresia ta? (a plăcut - nu a plăcut)

Care este starea ta după oră? (vesel - trist)

- Cum te simti? (obosit - nu obosit)

- Care este relația cu materialul acoperit? (a inteles - nu a inteles)

- Care este stima ta de sine după lecție? (Satiscut - nemultumit)

- Evaluează-ți activitatea în lecție. (Am încercat - nu am încercat).

p.105-108 repeta;

învață formule;

№ 1090, 1091, 1087(3)

Matematica are un zvon

Că își pune mintea în ordine,

Pentru că vorbe bune

Oamenii vorbesc des despre ea.

Tu ne dai geometria

Pentru a câștiga o întărire importantă.

Tineretul învață cu tine

Dezvoltați atât voința, cât și ingeniozitatea.

Notă Prezentarea conține secțiuni:

Repetarea materialului teoretic

Verificarea temelor

Derivarea formulelor de bază, i.e. material nou

Consolidare: rezolvarea problemelor în grup și independent

Vizualizați conținutul prezentării
„9_klass_pravilnye_mnogougolniki_urok_2”

• Pentru a argumenta ceea ce trebuie,
• Pentru a nu cunoaște eșecurile în viață,
• Să intrăm cu îndrăzneală în lumea matematicii,
• În lumea exemplelor și a diferitelor sarcini.

MOTTO-UL LECȚIEI

Gandeste colectiv!

Decide repede!

Raspuns - dovada!

Luptă din greu!

Și descoperiri ne așteaptă!

Repetiţie.

• Ce figură geometrică

arata in poza?

D

E

2. Ce poligon se numește

dreapta?

DESPRE

3. Ce cerc se numește

înscris într-un poligon?

F

DIN

4. Ce cerc se numește

circumscris unui poligon?

5. Numiți raza cercului înscris.

DAR

ÎN

H

6. Numiți raza cercului circumscris.

7. Cum să găsiți centrul înscris în corect

poligon cerc?

8. Cum să găsiți centrul unui cerc circumscris cca

poligon regulat?

Verificarea executiei

teme pentru acasă ..

№ 1084.

β este unghiul corespunzător

arc care trage

latura poligonului .

DESPRE

DAR P

DAR 2

β

Raspunsuri:

a) 6;

b) 12;

DAR

DAR 1

la 4;

d) 8;

d) 10

e) 20;

e) 7.

e) 5.

POLIGON REGULAT

Un poligon regulat este un poligon convex în care toate unghiurile sunt egale și toate laturile sunt egale.

Suma unghiurilor drepte n -gon

Unghiul corect n - pătrat

Se spune că un cerc este înscris într-un poligon,

dacă toate laturile poligonului ating cercul.

Se spune că un cerc este circumscris unui poligon dacă toate vârfurile sale se află pe acesta

cercuri.

Cerc înscris și circumscris

Un cerc înscris într-un poligon obișnuit atinge laturile poligonului în punctele lor medii.

Centrul unui cerc circumscris unui poligon regulat coincide cu centrul unui cerc înscris în același poligon.

Obținem formula pentru raza cercului înscris și raza cercului circumscris unui poligon regulat.

Fie r raza cercului înscris,

R este raza cercului circumscris,

n este numărul de laturi și unghiuri ale poligonului.

Luați în considerare un n-gon obișnuit.

Fie a latura lui n-gon,

α este unghiul.

Să construim un punct O - centrul cercului înscris și circumscris.

OS este înălțimea ∆AOB.

∟ C \u003d 90 º - (prin construcție),

Luați în considerare ∆AOC:

∟ ОАС = α / 2 - (ОА este bisectoarea unghiului n-gonului),

AC \u003d a / 2 - (OS - mediana la baza unui triunghi isoscel),

∟ AOB = 360 º: p,

fie ∟AOC = β .

atunci β = 0,5 ∙ ∟AOB

0,5∙(360º:p)

2 sin(180º:n)

2tg (180º: p)

Aria unui poligon regulat

Latura unui poligon regulat

Raza cercului înscris

Grupa 1 Dat: R , n =3 Găsiți: a

Grupa 2 Dat: R , n =4 Găsiți: a

Grupa 3 Dat: R , n =6 Găsiți: a

Grupa 4 Dat: r , n =3 Găsiți: a

Grupa 5 Dat: r , n = 4 Gaseste un

Grupa 6 Dat: r , n = 6 Gaseste un

Grupa 1 Dat: R , n =3 Găsiți: a

Grupa 2 Dat: R , n =4 Găsiți: a

Grupa 3 Dat: R , n =6 Găsiți: a

Grupa 4 Dat: r , n =3 Găsiți: a

Grupa 5 Dat: r , n = 4 Gaseste un

Grupa 6 Dat: r , n = 6 Gaseste un

n = 3

n = 4

n = 6

2tg (180º: p)

2 sin(180º:n)

apoi 180º :p

Un triunghi regulat are n = 3,

de unde 2 sin 60 º =

apoi 180º :p

Un patrulater regulat are n = 4,

de unde 2 sin 45 º =

Un hexagon regulat are n = 6,

apoi 180º :p

de unde 2 sin 30 º =

Folosind formulele pentru razele cercurilor înscrise și circumscrise ale unor poligoane regulate, obțineți formule pentru a afla dependența laturilor poligoanelor regulate de razele cercurilor înscrise și circumscrise și completați tabelul:

2 R ∙ sin (180 º: p)

2 r ∙ tg (180 º: p)

triunghi

hexagon

pp. 105 - 108;

№ 1087;

№ 1088 - pregătiți o masă.

n=4

R

r

A 4

P

2

6

4

S

28

16

3

3√2

24

32

2√2

4

16

16

16√2

32

4√2

2√2

7

3,5√2

3,5

49

4

2√2

16

2

№ 1087(5)

Dat: S=16 , n =4

A găsi: a, r, R, P

Cunoaștem formule:

№ 1088( 5 )

Dat: P=6 , n = 3

A găsi: R, a, r, S

Cunoaștem formule:

№ 108 9

Dat:

A găsi:

Rezuma

Cunoaștem formule:

• p.105-108 repeta;
• învață formule;
• № 1090, 1091, 1087(3)

Cerc înscris într-un triunghi

Existența unui cerc înscris într-un triunghi

Amintiți-vă definiția bisectoare a unghiului .

Definiția 1 .Bisectoarea unghiului numită rază care împarte un unghi în două părți egale.

Teorema 1 (proprietatea de bază a bisectoarei unghiului) . Fiecare punct al bisectoarei unghiului se află la aceeași distanță de laturile unghiului (Fig. 1).

Orez. unu

Dovada D culcat pe bisectoarea unghiuluiBAC , Și DE Și D.F. pe părțile laterale ale colțului (Fig. 1).triunghiuri dreptunghiulare ADF Și ADE egal deoarece au aceleași unghiuri ascuțiteDAF Și DAE , și ipotenuza ANUNȚ - general. Prin urmare,

D.F. = D.E.

Q.E.D.

Teorema 2 (teorema inversă teoremei 1) . Dacă unele , atunci se află pe bisectoarea unghiului (Fig. 2).

Orez. 2

Dovada . Luați în considerare un punct arbitrarD întins în interiorul colțuluiBAC si situat la aceeasi distanta de laturile coltului. Aruncă din punctD perpendiculare DE Și D.F. pe părţile laterale ale colţului (Fig. 2).triunghiuri dreptunghiulare ADF Și ADE egal , deoarece au picioare egaleD.F. Și DE , și ipotenuza ANUNȚ - general. Prin urmare,

Q.E.D.

Definiția 2 . Cercul este numit cerc înscris într-un unghi dacă este vorba de laturile acestui unghi.

Teorema 3 . Dacă un cerc este înscris într-un unghi, atunci distanțele de la vârful unghiului până la punctele de contact ale cercului cu laturile unghiului sunt egale.

Dovada . Lasă punctul D este centrul unui cerc înscris într-un unghiBAC , și punctele E Și F - punctele de contact ale cercului cu laturile colțului (Fig. 3).

Fig.3

A , b , c - laturile unui triunghi
 S -zonă,

r – raza cercului înscris,
 p - semiperimetrul

.

Vizualizați rezultatul formulei

A – latura laterală a unui triunghi isoscel , 
 b - baza, r – raza cercului înscris

A r – raza cercului înscris

Vizualizați rezultatul formulei

,

Unde

,

apoi, în cazul unui triunghi isoscel, când

primim

care este ceea ce s-a cerut.

Teorema 7 . Pentru egalitate

Unde A - latura unui triunghi echilateralr – raza cercului înscris (fig. 8).

Orez. 8

Dovada .

,

apoi, în cazul unui triunghi echilateral, când

b=a,

primim

care este ceea ce s-a cerut.

cometariu . Recomand să derivăm ca exercițiu formula pentru raza unui cerc înscris direct într-un triunghi echilateral, adică. fără a folosi formule generale pentru razele cercurilor înscrise într-un triunghi arbitrar sau într-un triunghi isoscel.

Teorema 8 . Pentru un triunghi dreptunghic, egalitatea

Unde A , b - catetele unui triunghi dreptunghic, c – ipotenuză , r – raza cercului înscris.

Dovada . Luați în considerare figura 9.

Orez. nouă

De la patrulaterCDOF este o , care are laturile adiacenteDO Și DE sunt egale, atunci acest dreptunghi este . Prin urmare,

CB \u003d CF \u003d r,

În virtutea teoremei 3, egalitățile

Prin urmare, ținând cont și de , obținem

care este ceea ce s-a cerut.

O selecție de sarcini pe tema „Un cerc înscris într-un triunghi”.

1.

Un cerc înscris într-un triunghi isoscel împarte una dintre laturi în două segmente în punctul de contact, ale căror lungimi sunt egale cu 5 și 3, numărând de la vârful opus bazei. Aflați perimetrul triunghiului.

2.

3

În triunghiul ABC AC=4, BC=3, unghiul C este de 90º. Aflați raza cercului înscris.

4.

Lamele unui triunghi dreptunghic isoscel sunt 2+. Aflați raza cercului înscris în acest triunghi.

5.

Raza unui cerc înscris într-un triunghi dreptunghic isoscel este 2. Aflați ipotenuza c a acestui triunghi. Scrie c(-1) în răspunsul tău.

Iată o serie de sarcini de la examen cu soluții.

Raza unui cerc înscris într-un triunghi dreptunghic isoscel este . Aflați ipotenuza c a acestui triunghi. Vă rugăm să indicați în răspunsul dvs.

Triunghiul este drept și isoscel. Deci picioarele lui sunt la fel. Fiecare picior să fie egal. Atunci ipotenuza este.

Scriem aria triunghiului ABC în două moduri:

Echivalând aceste expresii, obținem asta. În măsura în care, înțelegem asta. Apoi.

Ca răspuns, scrie.

Răspuns:.

Sarcina 2.

1. În oricare două laturi 10cm și 6cm (AB și BC). Aflați razele cercurilor circumscrise și înscrise
Problema se rezolvă independent cu comentarii.

Soluţie:

ÎN.

1) Găsiți:
2) Demonstrați:și găsiți CK
3) Aflați: razele cercurilor circumscrise și înscrise

Soluţie:

Sarcina 6.

R raza unui cerc înscris într-un pătrat este. Aflați raza cercului circumscris acestui pătrat.Dat :

A găsi: OS=?
Soluţie: în acest caz, problema poate fi rezolvată folosind fie teorema lui Pitagora, fie formula pentru R. Al doilea caz va fi mai simplu, deoarece formula pentru R este derivată din teoremă.

Sarcina 7.

Raza unui cerc înscris într-un triunghi dreptunghic isoscel este 2. Aflați ipotenuzadin acest triunghi. Vă rugăm să indicați în răspunsul dvs.

S este aria triunghiului

Nu știm nici laturile triunghiului, nici aria lui. Să notăm catetele ca x, atunci ipotenuza va fi egală cu:

Aria triunghiului va fi de 0,5x 2 .

Mijloace

Deci ipotenuza va fi:

Raspunsul trebuie scris:

Raspuns: 4

Sarcina 8.

În triunghiul ABC, AC = 4, BC = 3, unghi C este egal cu 90 0 . Aflați raza cercului înscris.

Să folosim formula pentru raza unui cerc înscris într-un triunghi:

unde a, b, c sunt laturile triunghiului

S este aria triunghiului

Se cunosc două laturi (acestea sunt catete), putem calcula a treia (ipotenuza), putem calcula și aria.

Conform teoremei lui Pitagora:

Să găsim zona:

În acest fel:

Raspunsul 1

Sarcina 9.

Laturile unui triunghi isoscel sunt 5, baza este 6. Aflați raza cercului înscris.

Să folosim formula pentru raza unui cerc înscris într-un triunghi:

unde a, b, c sunt laturile triunghiului

S este aria triunghiului

Toate laturile sunt cunoscute, iar aria este calculată. Îl putem găsi folosind formula lui Heron:

Apoi

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.