Înmulțirea numerelor negative: regulă, exemple.

Tema lecției deschise: „Înmulțirea numerelor negative și pozitive”

Data de: 17.03.2017

Profesor: Kuts V.V.

Clasă: 6 g

Scopul și obiectivele lecției:

introduceți reguli de înmulțire a două numere negative și numere cu semne diferite;

să promoveze dezvoltarea vorbirii matematice, a memoriei de lucru, a atenției voluntare, a gândirii vizual-eficiente;

formarea proceselor interne de dezvoltare intelectuală, personală, emoțională.

să cultive o cultură a comportamentului în munca frontală, munca individuală și în grup.

Tip de lecție: lecție de prezentare primară a noilor cunoștințe

Forme de studiu: frontal, lucru în perechi, lucru în grup, lucru individual.

Metode de predare: verbal (conversație, dialog); vizual (lucrare cu material didactic); deductiv (analiza, aplicarea cunoștințelor, generalizare, activități de proiect).

Concepte și termeni : modul de număr, numere pozitive și negative, înmulțire.

Rezultate planificate învăţare

- să poată înmulți numere cu semne diferite, să înmulți numere negative;

Aplicați regula de înmulțire a numerelor pozitive și negative la rezolvarea exercițiilor, fixați regulile de înmulțire a fracțiilor zecimale și ordinare.

de reglementare - să fie capabil să determine și să formuleze scopul în lecție cu ajutorul unui profesor; pronunta succesiunea actiunilor din lectie; lucrează conform unui plan colectiv; evalua corectitudinea actiunii. Planificați-vă acțiunea în conformitate cu sarcina; efectuează ajustările necesare acțiunii după finalizarea acesteia pe baza evaluării acesteia și ținând cont de greșelile comise; exprimă-ți presupunerea.comunicativ - să își poată formula gândurile oral; ascultați și înțelegeți vorbirea altora; să convină în comun asupra regulilor de comportament și comunicare la școală și să le respecte.

Cognitiv - să poată naviga în sistemul lor de cunoștințe, să distingă cunoștințele noi de cele deja cunoscute cu ajutorul unui profesor; dobândiți noi cunoștințe; găsiți răspunsuri la întrebări folosind manualul, experiența dvs. de viață și informațiile primite în lecție.

Formarea unei atitudini responsabile față de învățare bazată pe motivația pentru a învăța lucruri noi;

Formarea competenței comunicative în procesul de comunicare și cooperare cu semenii în activități educaționale;

Să poată efectua autoevaluare pe criteriul reușitei activităților educaționale; concentrați-vă pe succesul învățării.

În timpul orelor

Elementele structurale ale lecției

Sarcini didactice

Activitatea profesorului proiectată

Activitatea studentului proiectată

Rezultat

1. Moment organizatoric

Motivația pentru o activitate de succes

Verificați pregătirea pentru lecție.

- Buna ziua prieteni! Ia loc! Verificați dacă aveți totul pregătit pentru lecție: caiet și manual, jurnal și materiale de scris.

Mă bucur să te văd la lecția de azi cu o dispoziție bună.

Uită-te unul în ochii celuilalt, zâmbește, urează-i tovarășului tău o bună dispoziție de lucru cu ochii tăi.

Și eu vă doresc treabă bună astăzi.

Băieți, motto-ul lecției de astăzi va fi un citat din scriitorul francez Anatole France:

„Învățatul nu poate fi decât distractiv. Pentru a digera cunoștințele, trebuie să le absorbi cu plăcere.”

Băieți, cine îmi va spune ce înseamnă să absorb cunoștințele cu poftă de mâncare?

Așa că astăzi vom absorbi cunoștințele cu mare plăcere la lecție, pentru că ne vor fi de folos în viitor.

Prin urmare, mai degrabă deschidem caiete și notăm numărul, treaba grozavă.

Dispoziție emoțională

- Cu interes, cu plăcere.

Gata să înceapă lecția

Motivație pozitivă pentru a învăța un subiect nou

2. Activarea activității cognitive

Pregătiți-i să învețe noi cunoștințe și moduri de a face lucrurile.

Organizați un sondaj față în față cu privire la materialul acoperit.

Băieți, cine îmi va spune care este cea mai importantă abilitate în matematică? ( Verifica). Dreapta.

Așa că te voi testa acum, cât de bine poți număra.

Acum vom face un exercițiu de matematică.

Lucrăm ca de obicei, numărăm oral și notăm răspunsul în scris. iti las 1 min.

5,2-6,7=-1,5

2,9+0,3=-2,6

9+0,3=9,3

6+7,21=13,21

15,22-3,34=-18,56

Să verificăm răspunsurile.

Vom verifica răspunsurile, dacă sunteți de acord cu răspunsul, apoi bateți din palme, dacă nu sunteți de acord, atunci călcați din picioare.

Bravo baieti.

Spune-mi, ce acțiuni am făcut cu numerele?

Ce regulă am folosit când numărăm?

Formulați aceste reguli.

Răspundeți la întrebări rezolvând exemple mici.

Adunare si scadere.

Adunarea numerelor cu semne diferite, adunarea numerelor cu semne negative și scăderea numerelor pozitive și negative.

Pregătirea elevilor de a formula o problemă problematică, de a găsi modalități de rezolvare a problemei.

3. Motivația pentru stabilirea temei și a scopului lecției

Încurajați elevii să stabilească subiectul și scopul lecției.

Organizați munca în perechi.

Ei bine, este timpul să trecem la studiul noului material, dar mai întâi să repetăm materialul din lecțiile anterioare. Un puzzle de cuvinte încrucișate matematic ne va ajuta în acest sens.

Dar acest puzzle de cuvinte încrucișate nu este obișnuit, conține un cuvânt cheie care ne va spune subiectul lecției de astăzi.

Cuvintele încrucișate se află pe mesele tale, vom lucra cu el în perechi. Și odată în perechi, atunci amintește-mi cum este în perechi?

Ne-am amintit de regula de a lucra în perechi, dar acum începem să rezolvăm cuvintele încrucișate, vă las 1,5 minute. Cine face totul, pune-ți pixurile ca să văd.

(Atasamentul 1)

1. Ce numere sunt folosite la numărare?

2. Se numește distanța de la origine până la orice punct?

3. Se numesc numerele care sunt reprezentate printr-o fracție?

4. Sunt numite două numere care diferă între ele doar prin semne?

5. Ce numere se află la dreapta lui zero pe linia de coordonate?

6. Se numesc numerele naturale, numerele lor opuse și zero?

7. Ce număr se numește neutru?

8. Un număr care arată poziția unui punct pe o dreaptă?

9. Ce numere se află la stânga lui zero pe linia de coordonate?

Deci, timpul a trecut. Sa verificam.

Am rezolvat întregul puzzle de cuvinte încrucișate și am repetat astfel materialul lecțiilor anterioare. Ridică mâna, cine a făcut o singură greșeală și cine a făcut două? (Deci, băieți, sunteți grozavi).

Ei bine, acum să revenim la cuvintele încrucișate. La început, am spus că conține un cuvânt care să ne spună subiectul lecției.

Deci, care este subiectul lecției noastre?

Și ce vom înmulți astăzi?

Să ne gândim, pentru asta ne amintim tipurile de numere pe care le cunoaștem deja.

Să ne gândim ce numere știm deja să înmulțim?

Ce numere vom învăța să înmulțim astăzi?

Scrieți în caiet tema lecției: „Înmulțirea numerelor pozitive și negative”.

Deci, băieți, v-ați dat seama despre ce vom vorbi astăzi în lecție.

Spuneți-mi, vă rog, scopul lecției noastre, ce ar trebui să învețe fiecare dintre voi și ce ar trebui să încercați să învățați până la sfârșitul lecției?

Băieți, ei bine, pentru a atinge acest obiectiv, ce sarcini va trebui să rezolvăm împreună cu voi?

Destul de bine. Acestea sunt cele două sarcini pe care va trebui să le rezolvăm cu tine astăzi.

Lucrați în perechi, stabiliți subiectul și scopul lecției.

1. Natural

2.Modul

3. Rațional

4.Opus

5.Pozitiv

6. Întregul

7.Zero

8.Coordonate

9.Negativ

-"Multiplicare"

Numerele pozitive și negative

„Înmulțirea numerelor pozitive și negative”

Scopul lecției:

Învață să înmulți numerele pozitive și negative

În primul rând, pentru a învăța cum să înmulți numerele pozitive și negative, trebuie să obții o regulă.

În al doilea rând, când primim regula, atunci ce ar trebui să facem? (învață să-l aplici atunci când rezolvi exemple).

4. Învățarea de noi cunoștințe și moduri de a acționa

Dobândiți cunoștințe noi pe această temă.

-Organizarea muncii in grupuri (invatarea de materiale noi)

- Acum, pentru a ne atinge scopul, vom începe prima sarcină, vom deriva o regulă pentru înmulțirea numerelor pozitive și negative.

Și munca de cercetare ne va ajuta în acest sens. Și cine îmi va spune de ce se numește cercetare? - În această lucrare, vom explora pentru a descoperi regulile „Înmulțirea numerelor pozitive și negative”.

Lucrările dumneavoastră de cercetare se vor desfășura pe grupe, în total vom avea 5 grupuri de cercetare.

Ne-am repetat în cap cum ar trebui să lucrăm în grup. Dacă cineva a uitat, atunci regulile sunt în fața ta pe ecran.

Scopul muncii dvs. de cercetare: Explorarea sarcinilor, deduceți treptat regula „Înmulțirea numerelor negative și pozitive” în sarcina nr. 2, în sarcina nr. 1 aveți 4 sarcini în total. Iar pentru a rezolva aceste probleme, termometrul nostru te va ajuta, fiecare grup are unul.

Toate înscrierile se fac pe o bucată de hârtie.

Odată ce grupul are o soluție pentru prima problemă, o arăți pe tablă.

Aveți 5-7 minute pentru a lucra.

(Anexa 2 )

Lucrați în grupuri (completați tabelul, efectuați cercetări)

Reguli pentru lucrul în grup.

Lucrul în grup este foarte ușor

Aflați cinci reguli de urmat:

întâi: nu întrerupe,

când spune

prietene, ar trebui să fie liniște în jur;

a doua: nu striga tare,

si da argumente;

iar a treia regulă este pur și simplu:

decide ce este important pentru tine;

în al patrulea rând: nu este suficient să știi oral

trebuie înregistrate;

și în al cincilea rând: rezumă, gândește-te,

ce ai putea face.

Măiestrie

cunoștințele și metodele de acțiune care sunt determinate de obiectivele lecției

5.Fizminutka

Să stabilească corectitudinea asimilării materialelor noi în această etapă, să identifice concepții greșite și să corecteze acestea

Bine, am pus toate răspunsurile dumneavoastră în tabel, acum să ne uităm la fiecare rând din tabelul nostru (vezi prezentarea)

Ce concluzii putem trage din studiul tabelului.

1 linie. Ce numere înmulțim? Ce număr este răspunsul?

2 rând. Ce numere înmulțim? Ce număr este răspunsul?

3 rând. Ce numere înmulțim? Ce număr este răspunsul?

4 linii. Ce numere înmulțim? Ce număr este răspunsul?

Și așa ați analizat exemplele și sunteți gata să formulați regulile, pentru aceasta a trebuit să completați golurile din a doua sarcină.

Cum se înmulțește un număr negativ cu unul pozitiv?

- Cum se înmulțesc două numere negative?

Hai să ne odihnim.

Răspuns pozitiv - stai jos, negativ - ridică-te.

5*6

2*2

7*(-4)

2*(-3)

8*(-8)

7*(-2)

5*3

4*(-9)

5*(-5)

9*(-8)

15*(-3)

7*(-6)

Înmulțirea numerelor pozitive are ca rezultat întotdeauna un număr pozitiv.

Înmulțirea unui număr negativ cu un număr pozitiv are ca rezultat întotdeauna un număr negativ.

Înmulțirea numerelor negative are ca rezultat întotdeauna un număr pozitiv.

Înmulțirea unui număr pozitiv cu un număr negativ are ca rezultat un număr negativ.

Pentru a înmulți două numere cu semne diferite,multiplica modulele acestor numere și puneți semnul „-” în fața numărului rezultat.

- Pentru a înmulți două numere negative, aveți nevoiemultiplica modulele lor și puneți un semn în fața numărului rezultat «+».

Elevii efectuează exerciții fizice, întărind regulile.

Preveniți oboseala

7. Fixarea primară a materialului nou

Să stăpânească capacitatea de a aplica în practică cunoștințele dobândite.

Organizați lucru frontal și independent asupra materialului acoperit.

Vom fixa regulile și ne vom spune unul altuia în perechi aceleași reguli. Îți acord un minut pentru asta.

Spune-mi, putem trece acum la rezolvarea exemplelor? Da putem.

Deschidem pagina 192 nr 1121

Toți împreună vom face primul și al doilea rând a) 5 * (-6) = 30

b) 9*(-3)=-27

g) 0,7*(-8)=-5,6

h) -0,5*6=-3

n) 1,2*(-14)=-16,8

o) -20,5*(-46)=943

trei persoane la tablă

Ai 5 minute pentru a rezolva exemplele.

Și verificăm totul împreună.

Sarcină creativă în perechi (Anexa 3)

Introduceți numerele astfel încât pe fiecare etaj produsul lor să fie egal cu numărul de pe acoperișul casei.

Rezolvați exemple folosind cunoștințele acumulate

Ridicati mainile care nu au gresit, bravo....

Acțiuni active ale elevilor pentru aplicarea cunoștințelor în viață.

9. Reflecție (rezultatul lecției, evaluarea rezultatelor activităților elevilor)

Oferiți elevilor reflecție, de ex. evaluarea activităților lor

Organizați un rezumat al lecției

Lecția noastră s-a încheiat, să rezumam.

Să revedem subiectul lecției noastre, nu? Care a fost scopul nostru? - Am atins acest obiectiv?

Ce dificultăți ți-a cauzat acest subiect?

- Băieți, ei bine, pentru a vă evalua munca la lecție, trebuie să desenați o față zâmbitoare în cercuri care sunt pe mesele voastre.

O emoticon zâmbitoare înseamnă că înțelegi totul. Verde înseamnă că înțelegi, dar trebuie să exersezi, și un zâmbet trist, dacă nu înțelegi absolut nimic. (Acordă-mi o jumătate de minut)

Ei bine, băieți, sunteți gata să arătați cum ați lucrat în clasă astăzi? Deci, ridicăm și, de asemenea, ridic un zâmbet pentru tine.

Sunt foarte mulțumit de tine astăzi la lecție! Văd că toată lumea a înțeles materialul. Băieți, sunteți grozavi!

S-a terminat lecția, mulțumesc pentru citit!

Răspunde la întrebări și evaluează-ți munca

Da, avem.

Deschiderea elevilor către transferul și înțelegerea acțiunilor lor, pentru a identifica aspectele pozitive și negative ale lecției

10 .Informaţii despre teme

Oferiți o înțelegere a scopului, conținutului și metodelor de a face temele

Oferă înțelegerea scopului temelor pentru acasă.

Teme pentru acasă:

1. Învață regulile înmulțirii
2. Nr 1121 (coloana a 3-a).
3. Sarcină de creație: alcătuiește un test de 5 întrebări cu răspunsuri multiple.

Notează temele, încercând să înțelegi și să înțelegi.

Implementarea necesității realizării condițiilor pentru finalizarea cu succes a temelor de către toți elevii, în conformitate cu sarcina și nivelul de dezvoltare al elevilor

În acest articol, vom înțelege procesul înmulțirea numerelor negative. În primul rând, formulăm regula pentru înmulțirea numerelor negative și o justificăm. După aceea, trecem la rezolvarea exemplelor tipice.

Navigare în pagină.

Să-i spunem imediat regula pentru înmulțirea numerelor negative: pentru a multiplica două numere negative, trebuie să le înmulțiți modulul.

Scriem această regulă folosind litere: pentru orice numere reale negative −a și −b (în acest caz, numerele a și b sunt pozitive), egalitatea (−a) (−b)=a b .

Să demonstrăm regula înmulțirii numerelor negative, adică vom demonstra egalitatea (−a)·(−b)=a·b .

În articolul despre înmulțirea numerelor cu semne diferite am justificat egalitatea a (−b)=−a b , în mod similar se arată că (−a) b=−a b . Aceste rezultate și proprietățile numerelor opuse ne permit să scriem următoarele egalități (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b))=a·b . Aceasta dovedește regula pentru înmulțirea numerelor negative.

Din regula de înmulțire de mai sus, este clar că produsul a două numere negative este un număr pozitiv. Într-adevăr, deoarece modulul oricărui număr este pozitiv, produsul modulelor este, de asemenea, un număr pozitiv.

Pentru a încheia această secțiune, observăm că regula considerată poate fi folosită pentru a înmulți numere reale, numere raționale și numere întregi.

Este timpul să dezasamblați exemple de înmulțire a două numere negative, la rezolvare vom folosi regula obtinuta in paragraful anterior.

Înmulțiți două numere negative -3 și -5.

Modulele numerelor înmulțite sunt 3 și, respectiv, 5. Produsul acestor numere este 15 (vezi înmulțirea numerelor naturale dacă este necesar), deci produsul numerelor originale este 15 .

Întregul proces de înmulțire a numerelor negative originale este scris pe scurt astfel: (−3) (−5)= 3 5=15 .

Înmulțirea numerelor raționale negative cu ajutorul regulii analizate poate fi redusă la înmulțirea fracțiilor ordinare, la înmulțirea numerelor mixte sau la înmulțirea fracțiilor zecimale.

Calculați produsul (−0,125)·(−6) .

După regula înmulțirii numerelor negative, avem (−0,125) (−6)=0,125 6 . Rămâne doar să terminați calculele, să înmulțim fracția zecimală cu un număr natural într-o coloană:

În cele din urmă, rețineți că, dacă unul sau ambii factori sunt numere iraționale date ca rădăcini, logaritmi, puteri etc., atunci produsul lor trebuie scris adesea ca o expresie numerică. Valoarea expresiei rezultate este evaluată numai dacă este necesar.

Înmulțiți un număr negativ cu un număr negativ.

Să găsim mai întâi modulele numerelor înmulțite: și (vezi proprietățile logaritmului). Apoi, după regula înmulțirii numerelor negative, avem Produsul rezultat este răspunsul.

Puteți continua să studiați subiectul, referindu-vă la secțiune înmulțirea numerelor reale.

Cu o oarecare întindere, aceeași explicație este potrivită pentru produsul 1-5, dacă presupunem că „suma” unui singur

termenul este egal cu acest termen. Dar produsul 0 5 sau (-3) 5 nu poate fi explicat în acest fel: ce înseamnă suma zero sau minus trei?

Este posibil, totuși, să rearanjați factorii

Dacă dorim ca produsul să nu se schimbe atunci când factorii sunt rearanjați - așa cum a fost pentru numerele pozitive - atunci trebuie să presupunem că

Acum să trecem la produsul (-3) (-5). Cu ce este egal cu: -15 sau +15? Ambele variante au sens. Pe de o parte, un minus într-un singur factor face deja produsul negativ - cu atât mai mult ar trebui să fie negativ dacă ambii factori sunt negativi. Pe de altă parte, în Tabel. 7 are deja două minusuri, dar doar un plus, iar „destul de” (-3)-(-5) ar trebui să fie egal cu +15. Deci ce preferi?

Desigur, nu veți fi derutați de astfel de conversații: de la un curs de matematică școlar, ați învățat ferm că un minus cu un minus dă un plus. Dar imaginează-ți că fratele sau sora ta mai mică te întreabă: de ce? Ce este - un capriciu al profesorului, o indicație a autorităților superioare sau o teoremă care poate fi dovedită?

De obicei, regula de înmulțire a numerelor negative este explicată folosind exemple precum cel prezentat în tabel. 8.

Poate fi explicat în alt mod. Să scriem numere pe rând

Adăugarea numerelor negative Adăugarea numerelor pozitive și negative poate fi analizată folosind o linie numerică. Adăugarea de numere folosind o linie de coordonate Adăugarea de numere care sunt mici în valoare absolută este […]
Semnificația cuvântului Explicați sensul cuvintelor: lege, cămătar, datornic-sclav. explicați sensul cuvintelor: lege, cămătar, sclav datornic. DELICIOSĂ CAPSUNI (Invitat) Întrebări școlare pe tema 1. Care sunt cele 3 tipuri […]
Cota unică de impozitare - 2018 Cota unică de impozitare - 2018 pentru întreprinzătorii persoane fizice din prima și a doua grupă se calculează ca procent din minimul de existență și salariul minim stabilit la 01 ianuarie […]
Ai nevoie de permis pentru un walkie-talkie într-o mașină? unde sa citesc? Oricum trebuie să vă înregistrați postul de radio. Walkie-talkie care funcționează la o frecvență de 462MHz, dacă nu sunteți reprezentant al Ministerului Afacerilor Interne, […]
Bilete de examen pentru regulile de circulație din categoria SD 2018 Biletele și comentariile se bazează pe regulile de circulație din 18 iulie 2018 […]
Cursuri de limbi străine în Kiev „Educație europeană” Engleză Italiană Olandeză Norvegiană Islandă Vietnameză Birmană Bengali Sinhalez Tagalog Nepalez Malagasy Oriunde ai […]

Acum să scriem aceleași numere înmulțite cu 3:

Este ușor de observat că fiecare număr este cu 3 mai mult decât precedentul. Acum să scriem aceleași numere în ordine inversă (începând, de exemplu, cu 5 și 15):

În același timp, numărul -15 s-a dovedit a fi sub numărul -5, deci 3 (-5) \u003d -15: plus cu minus dă minus.

Acum să repetăm aceeași procedură, înmulțind numerele 1,2,3,4,5. cu -3 (știm deja că plus ori minus este egal cu minus):

Fiecare număr următor din rândul de jos este mai mic decât cel anterior cu 3. Să scriem numerele în ordine inversă

Numărul -5 s-a dovedit a fi 15, deci (-3) (-5) = 15.

Poate că aceste explicații ar satisface fratele sau sora ta mai mică. Dar aveți dreptul să întrebați cum sunt lucrurile cu adevărat și este posibil să dovediți că (-3) (-5) = 15?

Răspunsul aici este că se poate dovedi că (-3) (-5) trebuie să fie egal cu 15, doar dacă vrem ca proprietățile obișnuite de adunare, scădere și înmulțire să rămână adevărate pentru toate numerele, inclusiv pentru numerele negative. Conturul acestei dovezi este următorul.

Să demonstrăm mai întâi că 3 (-5) = -15. Ce este -15? Acesta este opusul lui 15, adică numărul care adună 15 la 0. Deci trebuie să demonstrăm că

(Prin parantezele 3, am folosit legea distributivă ab + ac = a(b + c) pentru - la urma urmei, presupunem că rămâne adevărată pentru toate numerele, inclusiv pentru cele negative.) Deci, (Cititorul meticulos ne va întreba de ce. Admitem sincer: dovada acestui fapt - ca și discuția despre ce este zero în general - sărim.)

Să demonstrăm acum că (-3) (-5) = 15. Pentru a face acest lucru, scriem

și înmulțiți ambele părți ale ecuației cu -5:

Să deschidem parantezele din partea stângă:

adică (-3) (-5) + (-15) = 0. Astfel, numărul este opus numărului -15, adică egal cu 15. (Există și lacune în acest raționament: ar fi necesar să se demonstreze că și că există un singur număr opus lui -15.)

Reguli pentru înmulțirea numerelor negative

Înțelegem corect înmulțirea?

„A și B stăteau pe țeavă. A căzut, B a dispărut, ce a mai rămas pe țeavă?
„Scrisoarea ta I rămâne.”

(Din filmul „Youths in the Universe”)

De ce înmulțirea unui număr cu zero duce la zero?

De ce atunci când înmulțiți două numere negative, obțineți un număr pozitiv?

Ceea ce profesorii pur și simplu nu vin să dea răspunsuri la aceste două întrebări.

Dar nimeni nu are curajul să admită că există trei erori semantice în formularea înmulțirii!

Există erori în elementele de bază ale aritmeticii? La urma urmei, matematica se poziționează ca o știință exactă.

Manualele școlare de matematică nu oferă răspunsuri la aceste întrebări, înlocuind explicațiile cu un set de reguli de reținut. Poate că acest subiect le este greu de explicat la gimnaziu? Să încercăm să înțelegem aceste probleme.

7 - multiplicator. 3 este un multiplicator. 21 - munca.

Conform redactării oficiale:

a înmulți un număr cu un alt număr înseamnă a aduna cât mai mulți multiplicanți prescrie multiplicatorul.

Conform formulării acceptate, factorul 3 ne spune că ar trebui să fie trei șapte în partea dreaptă a egalității.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Dar această formulare a înmulțirii nu poate explica întrebările puse mai sus.

Să reparăm formularea înmulțirii

De obicei, în matematică, se înțelege mult, dar nu se spune sau se scrie.

Aceasta se referă la semnul plus din fața primelor șapte din partea dreaptă a egalității. Să scriem asta.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Dar la ce se adaugă primele șapte? Înseamnă că la zero, desigur. Să scriem zero.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Dacă înmulțim cu trei minus șapte?

— 7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = — 21

Scriem adunarea multiplicandului -7, de fapt, facem scăderi multiple de la zero. Să extindem parantezele.

— 7 * 3 = 0 — 7 — 7 — 7 = — 21

Acum putem da o formulare rafinată a înmulțirii.

Înmulțirea este adunarea repetată la zero (sau scăderea de la zero) a multiplicandului (-7) de câte ori indică multiplicatorul. Factorul (3) și semnul său (+ sau -) indică numărul de operații de adăugat la zero sau de scădere de la zero.

Conform acestei formulări rafinate și oarecum modificate a înmulțirii, „regulile semnelor” pentru înmulțire atunci când multiplicatorul este negativ sunt ușor de explicat.

7 * (-3) - trebuie să existe trei semne minus după zero = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

- 7 * (-3) - din nou ar trebui să existe trei semne minus după zero =

0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Înmulțirea cu zero

7 * 0 = 0 + . nu există operații de adăugare la zero.

Dacă înmulțirea se adună la zero, iar multiplicatorul arată numărul de operații de adăugat la zero, atunci multiplicatorul zero arată că nimic nu se adaugă la zero. Prin urmare, rămâne zero.

Deci, în formularea existentă a înmulțirii, am găsit trei erori semantice care blochează înțelegerea celor două „reguli ale semnelor” (când multiplicatorul este negativ) și înmulțirea unui număr cu zero.

Este necesar să nu se adună multiplicandul, ci să-l adunăm la zero.
Înmulțirea nu înseamnă doar adăugarea la zero, ci și scăderea de la zero.
Multiplicatorul și semnul său nu arată numărul de termeni, ci numărul de semne plus sau minus la descompunerea înmulțirii în termeni (sau scăderea).

După ce am clarificat oarecum formularea, am putut explica regulile semnelor în înmulțire și înmulțirea unui număr cu zero fără ajutorul legii comutative a înmulțirii, fără legea distributivă, fără a folosi analogii cu dreapta numerică, fără ecuații. , fără dovezi contrare etc.

Regulile semnelor conform formulării rafinate a înmulțirii sunt derivate foarte simplu.

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (+ — = -)

7 * (-3) = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- — = +)

Multiplicatorul și semnul său (+3 sau -3) indică numărul de semne „+” sau „-” din partea dreaptă a ecuației.

Formularea modificată a înmulțirii corespunde operației de ridicare a unui număr la o putere.

2^0 = 1 (unu nu se înmulțește sau se împarte cu nimic, deci rămâne unul)

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Matematicienii sunt de acord că ridicarea unui număr la o putere pozitivă este o multiplicare multiplă a lui unu. Și ridicarea unui număr la o putere negativă este o împărțire multiplă a unuia.

Operația de înmulțire ar trebui să fie similară cu operația de exponențiere.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*0 = 0 (nimic nu se adaugă la zero și nimic nu se scade de la zero)

2*-3 = 0 — 2 — 2 — 2 = -6

Formularea modificată a înmulțirii nu schimbă nimic în matematică, ci returnează sensul inițial al operației de înmulțire, explică „regulile semnelor”, înmulțind un număr cu zero și împacă înmulțirea cu exponențiația.

Să verificăm dacă formularea noastră de înmulțire este de acord cu operația de împărțire.

15: 5 = 3 (operația inversă a înmulțirii 5 * 3 = 15)

Coeficientul (3) corespunde numărului de operații de adunare la zero (+3) în timpul înmulțirii.

A împărți numărul 15 la 5 înseamnă a afla de câte ori trebuie să scazi 5 din 15. Aceasta se face prin scădere succesivă până când se obține un rezultat zero.

Pentru a găsi rezultatul împărțirii, trebuie să numărați numărul de semne minus. Sunt trei.

15: 5 = 3 operații pentru a scădea cinci din 15 până când se obține zero.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (diviziunea 15: 5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (înmulțire 5 * 3)

Împărțire cu rest.

17 — 5 — 5 — 5 — 2 = 0

17:5 = 3 și 2 rest

Dacă există o împărțire cu un rest, de ce nu o înmulțire cu un apendice?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Ne uităm la diferența de formulare pe calculator

Formularea existentă a înmulțirii (trei termeni).

10 + 10 + 10 = 30

Formularea corectată a înmulțirii (trei operații de adunare la zero).

0 + 10 = = = 30

(Faceți clic pe „egal” de trei ori.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Un factor de 3 indică faptul că multiplicatorul lui 10 trebuie adăugat la zero de trei ori.

Încercați să înmulțiți (-10) * (-3) adunând termenul (-10) minus de trei ori!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 — 10 — 10 = -30 ?

Ce înseamnă semnul minus pentru trei? Probabil așa?

(-10) * (-3) = (-10) — (-10) — (-10) = — 10 + 10 + 10 = 10?

Ops. Nu este posibilă descompunerea produsului în suma (sau diferența) termenilor (-10).

Cu formularea modificată, acest lucru se face corect.

0 — (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 — (-10) — (-10) — (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Multiplicatorul (-3) indică faptul că multiplicandu-ul (-10) trebuie scăzut de la zero de trei ori.

Semnează reguli pentru adunare și scădere

Mai sus a fost prezentată o modalitate simplă de a deriva regulile semnelor pentru înmulțire, prin schimbarea sensului formulării înmulțirii.

Dar pentru ieșire, am folosit regulile semnelor de adunare și scădere. Sunt aproape la fel ca pentru înmulțire. Să creăm o vizualizare a regulilor semnelor pentru adunare și scădere, astfel încât chiar și un elev de clasa întâi să o poată înțelege.

Ce este „minus”, „negativ”?

Nu există nimic negativ în natură. Nu există nicio temperatură negativă, nicio direcție negativă, nicio masă negativă, nicio sarcină negativă. Chiar și sinusul prin natura sa nu poate fi decât pozitiv.

Dar matematicienii au venit cu numere negative. Pentru ce? Ce înseamnă „minus”?

Minus înseamnă direcția opusă. Stanga dreapta. Sus jos. În sensul acelor de ceasornic - în sens invers acelor de ceasornic. Înainte și înapoi. Rece fierbinte. Usor greu. Lent rapid. Dacă te gândești bine, poți da multe alte exemple în care este convenabil să folosești valori negative.

În lumea pe care o știm, infinitul începe de la zero și merge la plus infinit.

„Minus infinitul” nu există în lumea reală. Aceasta este aceeași convenție matematică ca și conceptul de „minus”.

Deci, „minus” înseamnă direcția opusă: mișcare, rotație, proces, înmulțire, adunare. Să analizăm diferite direcții atunci când adunăm și scădem numere pozitive și negative (în creștere în cealaltă direcție).

Complexitatea înțelegerii regulilor semnelor pentru adunare și scădere se datorează faptului că aceste reguli încearcă de obicei să explice pe o linie numerică. Pe linia numerică sunt amestecate trei componente diferite, din care derivă reguli. Și din cauza amestecării, din cauza aruncării diferitelor concepte într-un singur morman, se creează dificultăți de înțelegere.

Pentru a înțelege regulile, trebuie să separăm:

primul termen și suma (vor fi pe axa orizontală);
al doilea termen (va fi pe axa verticală);
direcția operațiilor de adunare și scădere.

Această diviziune este prezentată clar în figură. Imaginează-ți mental că axa verticală se poate roti, suprapusă pe axa orizontală.

Operația de adăugare se realizează întotdeauna prin rotirea axei verticale în sensul acelor de ceasornic (semnul plus). Operația de scădere se realizează întotdeauna prin rotirea axei verticale în sens invers acelor de ceasornic (semnul minus).

Exemplu. Diagrama din colțul din dreapta jos.

Se poate observa că două semne minus alăturate (semnul operației de scădere și semnul numărului 3) au semnificații diferite. Primul minus arată direcția scăderii. Al doilea minus este semnul numărului de pe axa verticală.

Găsiți primul termen (-2) pe axa orizontală. Găsiți al doilea termen (-3) pe axa verticală. Rotiți mental axa verticală în sens invers acelor de ceasornic până când (-3) coincide cu numărul (+1) de pe axa orizontală. Numărul (+1) este rezultatul adunării.

dă același rezultat ca și operația de adunare din diagrama din colțul din dreapta sus.

Prin urmare, două semne minus adiacente pot fi înlocuite cu un semn plus.

Cu toții suntem obișnuiți să folosim reguli gata făcute de aritmetică fără să ne gândim la semnificația lor. Prin urmare, de multe ori nici măcar nu observăm modul în care regulile semnelor în plus (scădere) diferă de regulile semnelor în înmulțire (împărțire). Par să fie la fel? Aproape. O mică diferență poate fi observată în ilustrația următoare.

Acum avem tot ce ne trebuie pentru a deriva regulile semnelor pentru înmulțire. Secvența de ieșire este următoarea.

Arătăm clar cum se obțin regulile semnelor pentru adunare și scădere.
Facem modificări semantice la formularea existentă a înmulțirii.
Pe baza redactării modificate a înmulțirii și a regulilor semnelor pentru adunare, derivăm regulile semnelor pentru înmulțire.

Mai jos sunt scrise regula semnelor pentru adunare și scădere obţinute din vizualizare. Și cu roșu, spre comparație, aceleași reguli de semne dintr-un manual de matematică. Plusul gri dintre paranteze este plusul invizibil, care nu este scris pentru un număr pozitiv.

Între termeni sunt întotdeauna două semne: semnul operației și semnul numărului (nu scriem plusul, dar îl spunem serios). Regulile semnelor prescriu înlocuirea unei perechi de semne cu o altă pereche fără a modifica rezultatul adunării (scăderii). De fapt, există doar două reguli.

Regulile 1 și 3 (pentru vizualizare) - regulile duplicat 4 și 2 .. Regulile 1 și 3 din interpretarea școlii nu coincid cu schema vizuală, prin urmare, nu se aplică regulilor semnelor în plus. Acestea sunt alte reguli.

Regula școlară 1. (roșu) vă permite să înlocuiți două plusuri la rând cu un plus. Regula nu se aplică în cazul înlocuirii semnelor în plus și în scădere.

Regula școlară 3. (culoarea roșie) vă permite să nu scrieți un semn plus pentru un număr pozitiv după o operație de scădere. Regula nu se aplică în cazul înlocuirii semnelor în plus și în scădere.

Semnificația regulilor de semne în plus este înlocuirea unei PERECHI de semne cu o altă PERECHE de semne fără a modifica rezultatul adunării.

Metodologii școlii au amestecat două reguli într-o singură regulă:

- două reguli de semne la adunarea și scăderea numerelor pozitive și negative (înlocuirea unei perechi de semne cu o altă pereche de semne);

- două reguli prin care nu puteți scrie semnul plus pentru un număr pozitiv.

Două reguli diferite, amestecate într-una singură, sunt similare cu regulile semnelor în multiplicare, unde o a treia decurge din două semne. Arată ca unul la unu.

Ei bine confuz! Faceți același lucru din nou, pentru o mai bună descurcare. Să evidențiem semnele operațiilor cu roșu pentru a le deosebi de semnele numerelor.

1. Adunarea și scăderea. Două reguli de semne prin care perechile de semne dintre termeni sunt schimbate. Semnul operațiunii și semnul numărului.

2. Două reguli prin care semnul plus al unui număr pozitiv este permis să nu fie scris. Acestea sunt regulile formularului de înscriere. Nu se aplică adăugării. Pentru un număr pozitiv se scrie doar semnul operației.

3. Patru reguli de semne în înmulțire. Când al treilea semn al produsului decurge din două semne multiplicatoare. În regulile semnelor pentru înmulțire, numai semne de numere.

Acum că am separat regulile de notație, ar trebui să fie clar că regulile semnelor pentru adunare și scădere nu seamănă deloc cu regulile semnelor pentru înmulțire.

„Regula pentru înmulțirea numerelor negative și a numerelor cu semne diferite”. clasa a 6-a

Prezentare pentru lecție

Descărcați prezentarea (622.1 KB)

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiectivele lecției.

Subiect:

formulați o regulă de înmulțire pentru numere negative și numere cu semne diferite,
învăţaţi elevii să aplice această regulă.

Metasubiect:

să formeze capacitatea de a lucra în conformitate cu algoritmul propus, să elaboreze un plan-schemă a acțiunilor lor,
dezvoltarea abilităților de autocontrol.

Personal:

dezvoltarea abilităților de comunicare,
dezvolta curiozitatea elevilor.

Echipament: computer, ecran, proiector multimedia, prezentare PowerPoint, fișă: tabel pentru scrierea regulilor, teste.

(Manual de N.Ya. Vilenkin „Matematică. Clasa a 6-a”, M: „Mnemosyne”, 2013.)

În timpul orelor

I. Moment organizatoric.

Raportarea temei lecției și înregistrarea subiectului în caiete de către elevi.

II. Motivația.

Slide numărul 2. (Scopul lecției. Planul lecției).

Astăzi vom continua să studiem o proprietate aritmetică importantă - înmulțirea.

Știi deja cum să înmulți numerele naturale - verbal și într-o coloană,

Aflați cum să înmulțiți fracții zecimale și comune. Astăzi trebuie să formulezi o regulă de înmulțire pentru numere negative și numere cu semne diferite. Și nu doar să formulezi, ci și să înveți cum să o aplici.

III. Actualizare de cunoștințe.

Rezolvați ecuațiile: a) x: 1,8 = 0,15; b) y: = . (Student la tablă)

Concluzie: pentru a rezolva astfel de ecuații, trebuie să poți înmulți diferite numere.

2) Verificarea muncii independente de acasă. Examinați regulile de înmulțire a zecimalelor, fracțiilor comune și numerelor mixte. (Diapozitivele #4 și #5).

IV. Formularea regulilor.

Luați în considerare sarcina 1 (diapozitivul numărul 6).

Luați în considerare sarcina 2 (diapozitivul numărul 7).

În procesul de rezolvare a problemelor, a trebuit să realizăm înmulțirea numerelor cu semne diferite și a numerelor negative. Să aruncăm o privire mai atentă la această înmulțire și rezultatele ei.

Înmulțind numere cu semne diferite, am obținut un număr negativ.

Să luăm în considerare un alt exemplu. Aflați produsul (-2) * 3, înlocuind înmulțirea cu suma acelorași termeni. Găsiți produsul 3 * (–2) în același mod. (Verifică - slide numărul 8).

Întrebări:

1) Care este semnul rezultatului la înmulțirea numerelor cu semne diferite?

2) Cum se obține modulul rezultat? Formulăm regula pentru înmulțirea numerelor cu semne diferite și scriem regula în coloana din stânga tabelului. (Diapozitivul numărul 9 și Anexa 1).

Regula înmulțirii pentru numere negative și numere cu semne diferite.

Să revenim la a doua problemă, în care am efectuat înmulțirea a două numere negative. Este destul de dificil să explici această înmulțire în alt mod.

Să folosim explicația dată în secolul al XVIII-lea de marele om de știință rus (născut în Elveția), matematicianul și mecanicul Leonhard Euler. (Leonhard Euler a lăsat în urmă nu numai lucrări științifice, ci a scris și o serie de manuale de matematică destinate elevilor gimnaziului academic).

Deci, Euler a explicat rezultatul aproximativ după cum urmează. (Diapozitivul numărul 10).

Este clar că –2 · 3 = – 6. Prin urmare, produsul (–2) · (–3) nu poate fi egal cu –6. Totuși, trebuie să fie legat cumva de numărul 6. Rămâne o posibilitate: (–2) · (–3) = 6. .

Întrebări:

1) Care este semnul produsului?

2) Cum se obține modulul de produs?

Formulăm regula pentru înmulțirea numerelor negative, completăm coloana din dreapta a tabelului. (Diapozitivul numărul 11).

Pentru a fi mai ușor de reținut regula semnelor pentru înmulțire, puteți folosi formularea acesteia în versuri. (Diapozitivul numărul 12).

Plus cu minus, înmulțind,
Punem un minus fără să căscăm.
Înmulțiți minus cu minus
Ca răspuns, vom pune un plus!

V. Formarea deprinderilor.

Să învățăm cum să aplicăm această regulă pentru calcule. Astăzi în lecție vom efectua calcule doar cu numere întregi și cu fracții zecimale.

1) Întocmirea unei scheme de acţiuni.

Se întocmește o schemă de aplicare a regulii. Înregistrările se fac pe tablă. Un exemplu de diagramă este pe diapozitivul 13.

2) Efectuarea acţiunilor conform schemei.

Rezolvăm din manualul nr. 1121 (b, c, i, k, p, p). Realizam solutia in conformitate cu schema intocmita. Fiecare exemplu este explicat de unul dintre elevi. În același timp, soluția este prezentată pe diapozitivul nr. 14.

3) Lucrați în perechi.

Sarcina de pe diapozitivul numărul 15.

Elevii lucrează la opțiuni. În primul rând, elevul de la opțiunea 1 decide și explică soluția la opțiunea 2, elevul de la opțiunea 2 ascultă cu atenție, ajută și corectează dacă este necesar, iar apoi elevii schimbă rolurile.

Sarcină suplimentară pentru acele cupluri care termină munca mai devreme: nr. 1125.

La terminarea lucrării se efectuează verificarea conform soluției finite, plasată pe diapozitivul nr. 15 (se folosește animația).

Dacă mulți au reușit să rezolve numărul 1125, atunci se ajunge la concluzia că semnul numărului s-a schimbat atunci când este înmulțit cu (? 1).

4) Alinare psihologică.

5) Munca independentă.

Lucrare independentă - text pe diapozitivul nr. 17. După finalizarea lucrării - autoverificarea soluției finite (diapozitivul nr. 17 - animație, hyperlink către diapozitivul nr. 18).

VI. Verificarea nivelului de asimilare a materialului studiat. Reflecţie.

Elevii susțin un test. Pe aceeași foaie, ei își evaluează munca din lecție completând tabelul.

Testul „Regula înmulțirii”. Opțiunea 1.

Înmulțirea numerelor negative: regulă, exemple

În acest articol, formulăm regula pentru înmulțirea numerelor negative și îi dăm o explicație. Procesul de înmulțire a numerelor negative va fi luat în considerare în detaliu. Exemplele arată toate cazurile posibile.

Înmulțirea numerelor negative

Regula pentru înmulțirea numerelor negative este că pentru a înmulți două numere negative este necesar să le înmulțim modulul. Această regulă este scrisă după cum urmează: pentru orice numere negative - a, - b, această egalitate este considerată adevărată.

Mai sus este regula pentru înmulțirea a două numere negative. Pe baza acesteia vom demonstra expresia: (- a) · (- b) = a · b. Înmulțirea articolului de numere cu semne diferite spune că sunt valabile egalitățile a · (- b) = - a · b, precum și (- a) · b = - a · b. Aceasta rezultă din proprietatea numerelor opuse, datorită căreia egalitățile se vor scrie după cum urmează:

(- a) (- b) = - (- a (- b)) = - (- (- (a b)) = a b .

Aici puteți vedea clar dovada regulii de înmulțire a numerelor negative. Pe baza exemplelor, este clar că produsul a două numere negative este un număr pozitiv. La înmulțirea modulelor de numere, rezultatul este întotdeauna un număr pozitiv.

Această regulă se aplică înmulțirii numerelor reale, a numerelor raționale, a numerelor întregi.

Exemple de înmulțire a numerelor negative

Acum luați în considerare în detaliu exemple de înmulțire a două numere negative. Când calculezi, trebuie să folosești regula scrisă mai sus.

Înmulțiți numerele - 3 și - 5.

Soluţie.

Modulul înmulțit dat două numere sunt egale cu numerele pozitive 3 și 5. Produsul lor dă 15 drept rezultat. Rezultă că produsul numerelor date este 15

Să scriem pe scurt înmulțirea numerelor negative în sine:

(- 3) (- 5) = 3 5 = 15

Răspuns: (- 3) · (- 5) = 15 .

La înmulțirea numerelor raționale negative, aplicând regula analizată, se poate mobiliza pentru înmulțirea fracțiilor, înmulțirea numerelor mixte, înmulțirea fracțiilor zecimale.

Calculați produsul (- 0 , 125) · (- 6) .

Folosind regula înmulțirii numerelor negative, obținem că (− 0 , 125) · (− 6) = 0 , 125 · 6 . Pentru a obține rezultatul, trebuie să înmulțiți fracția zecimală cu numărul natural de bare. Arata cam asa:

Am obținut că expresia va lua forma (− 0 , 125) (− 6) = 0 , 125 6 = 0 , 75 .

Răspuns: (− 0 , 125) (− 6) = 0 , 75 .

În cazul în care factorii sunt numere iraționale, atunci produsul lor poate fi scris ca o expresie numerică. Valoarea este calculată numai după cum este necesar.

Este necesar să se înmulțească negativul - 2 cu logul nenegativ 5 1 3 .

Găsiți module cu numere date:

- 2 = 2 și log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Urmând regulile de înmulțire a numerelor negative, obținem rezultatul - 2 log 5 1 3 = - 2 log 5 3 = 2 log 5 3 . Această expresie este răspunsul.

Răspuns: — 2 log 5 1 3 = — 2 log 5 3 = 2 log 5 3 .

Pentru a continua studiul subiectului, este necesar să repetați secțiunea privind înmulțirea numerelor reale.

În acest articol ne vom ocupa de înmulțirea numerelor cu semne diferite. Aici vom formula mai întâi regula pentru înmulțirea unui număr pozitiv și negativ, o vom justifica și apoi vom lua în considerare aplicarea acestei reguli atunci când rezolvăm exemple.

Navigare în pagină.

Regula pentru înmulțirea numerelor cu semne diferite

Înmulțirea unui număr pozitiv cu unul negativ, precum și a unui număr negativ cu unul pozitiv, se efectuează în conformitate cu următoarele regula pentru înmulțirea numerelor cu semne diferite: pentru a înmulți numere cu semne diferite, trebuie să înmulțiți și să puneți un semn minus în fața produsului rezultat.

Să scriem această regulă în formă literală. Pentru orice număr real pozitiv a și orice număr real negativ −b, egalitatea a(−b)=−(|a|·|b|) , iar pentru numărul negativ −a și numărul pozitiv b, egalitatea (−a)b=−(|a|·|b|) .

Regula de înmulțire a numerelor cu semne diferite este pe deplin în concordanță cu proprietățile acțiunilor cu numere reale. Într-adevăr, pe baza lor, este ușor să arătăm că pentru numerele reale și pozitive a și b, un lanț de egalități de forma a (−b)+a b=a ((−b)+b)=a 0=0, care demonstrează că a (−b) și a b sunt numere opuse, ceea ce implică egalitatea a (−b)=−(a b) . Și din aceasta rezultă valabilitatea regulii înmulțirii luate în considerare.

De remarcat că regula exprimată pentru înmulțirea numerelor cu semne diferite este valabilă atât pentru numere reale, cât și pentru numere raționale și pentru numere întregi. Aceasta rezultă din faptul că operațiile pe raționale și numere întregi au aceleași proprietăți care au fost folosite în demonstrația de mai sus.

Este clar că înmulțirea numerelor cu semne diferite după regula obținută se reduce la înmulțirea numerelor pozitive.

Rămâne doar să luăm în considerare exemple de aplicare a regulii de înmulțire analizată la înmulțirea numerelor cu semne diferite.

Exemple de înmulțire a numerelor cu semne diferite

Să aruncăm o privire la mai multe soluții exemple de înmulțire a numerelor cu semne diferite. Să începem cu un caz simplu pentru a ne concentra mai degrabă pe pașii regulii decât pe complexitatea de calcul.

Înmulțiți numărul negativ −4 cu numărul pozitiv 5 .

Conform regulii înmulțirii pentru numere cu semne diferite, trebuie mai întâi să înmulțim modulele factorilor inițiali. Modulul lui -4 este 4, iar modulul lui 5 este 5, iar înmulțirea numerelor naturale 4 și 5 dă 20. În cele din urmă, rămâne să punem un semn minus în fața numărului rezultat, avem -20. Aceasta completează înmulțirea.

Pe scurt, soluția se poate scrie astfel: (−4) 5=−(4 5)=−20 .

(−4) 5=−20 .

Când înmulțiți numere fracționale cu semne diferite, trebuie să puteți efectua înmulțirea fracțiilor obișnuite, înmulțirea fracțiilor zecimale și combinațiile acestora cu numere naturale și mixte.

Efectuați înmulțirea numerelor cu diferite semne 0, (2) și.

După finalizarea translației unei fracții zecimale periodice într-o fracție obișnuită, precum și finalizarea tranziției de la un număr mixt la o fracție improprie, vom trece de la produsul original la produsul fracțiilor obișnuite cu diferite semne ale formei. Acest produs este egal cu regula înmulțirii pentru numere cu semne diferite. Rămâne doar să înmulțim fracțiile obișnuite dintre paranteze, avem .

Separat, de menționat înmulțirea numerelor cu semne diferite, atunci când unul sau ambii factori sunt

Acum să ne ocupăm de înmulțirea și împărțirea.

Să presupunem că trebuie să înmulțim +3 cu -4. Cum să o facă?

Să luăm în considerare un astfel de caz. Trei oameni s-au îndatorat și fiecare are 4 dolari în datorii. Care este datoria totală? Pentru a-l găsi, trebuie să adunați toate cele trei datorii: 4 USD + 4 USD + 4 USD = 12 USD. Am decis că adăugarea a trei numere 4 se notează ca 3 × 4. Întrucât în acest caz vorbim de datorii, în fața lui 4 există un semn „-”. Știm că datoria totală este de 12 USD, așa că acum problema noastră este 3x(-4)=-12.

Același rezultat îl vom obține dacă, după starea problemei, fiecare dintre cele patru persoane are o datorie de 3 dolari. Cu alte cuvinte, (+4)x(-3)=-12. Și din moment ce ordinea factorilor nu contează, obținem (-4)x(+3)=-12 și (+4)x(-3)=-12.

Să rezumam rezultatele. Când înmulțiți un număr pozitiv și unul negativ, rezultatul va fi întotdeauna un număr negativ. Valoarea numerică a răspunsului va fi aceeași ca și în cazul numerelor pozitive. Produs (+4)x(+3)=+12. Prezența semnului „-” afectează doar semnul, dar nu afectează valoarea numerică.

Cum se înmulțesc două numere negative?

Din păcate, este foarte dificil să vină cu un exemplu potrivit din viață pe această temă. Este ușor să-ți imaginezi 3 sau 4 dolari cu datorii, dar este complet imposibil să-ți imaginezi -4 sau -3 persoane care se îndatorează.

Poate că vom merge pe altă cale. În înmulțire, schimbarea semnului unuia dintre factori modifică semnul produsului. Dacă schimbăm semnele ambilor factori, trebuie să schimbăm semnele de două ori marca produsului, mai întâi de la pozitiv la negativ, iar apoi invers, de la negativ la pozitiv, adică produsul va avea semnul inițial.

Prin urmare, este destul de logic, deși puțin ciudat, că (-3)x(-4)=+12.

Poziția semnului atunci când este înmulțit, se schimbă astfel:

număr pozitiv x număr pozitiv = număr pozitiv;
număr negativ x număr pozitiv = număr negativ;
număr pozitiv x număr negativ = număr negativ;
număr negativ x număr negativ = număr pozitiv.

Cu alte cuvinte, înmulțind două numere cu același semn, obținem un număr pozitiv. Înmulțind două numere cu semne diferite, obținem un număr negativ.

Aceeași regulă este valabilă pentru opusul înmulțirii - pentru.

Puteți verifica cu ușurință acest lucru rulând operații de înmulțire inversă. Dacă în fiecare dintre exemplele de mai sus, înmulțiți câtul cu divizorul, obțineți dividendul și asigurați-vă că are același semn, cum ar fi (-3)x(-4)=(+12).

De când vine iarna, este timpul să te gândești la ce să-ți schimbi calul de fier, pentru a nu aluneca pe gheață și a te simți încrezător pe drumurile de iarnă. Puteți, de exemplu, să luați anvelope Yokohama pe site-ul: mvo.ru sau altele, principalul lucru este că ar fi de înaltă calitate, puteți găsi mai multe informații și prețuri pe site-ul Mvo.ru.

Acest articol oferă o prezentare detaliată împărțirea numerelor cu semne diferite. În primul rând, este dată regula de împărțire a numerelor cu semne diferite. Mai jos sunt exemple de împărțire a numerelor pozitive la negative și a numerelor negative la pozitive.

Navigare în pagină.

Regula pentru împărțirea numerelor cu semne diferite

La articolul împărțirea numerelor întregi s-a obținut regula împărțirii numerelor întregi cu semne diferite. Poate fi extins atât la numere raționale, cât și la numere reale prin repetarea tuturor argumentelor din articolul specificat.

Asa de, regula pentru împărțirea numerelor cu semne diferite are următoarea formulă: pentru a împărți un număr pozitiv la un negativ sau un număr negativ la unul pozitiv, este necesar să se împartă dividendul la modulul divizorului și să se pună semnul minus în fața numărului rezultat.

Scriem această regulă de împărțire folosind litere. Dacă numerele a și b au semne diferite, atunci formula este valabilă a:b=−|a|:|b| .

Din regula exprimată, este clar că rezultatul împărțirii numerelor cu semne diferite este un număr negativ. Într-adevăr, deoarece modulul dividendului și modulul divizorului sunt mai pozitive decât numărul, atunci câtul lor este un număr pozitiv, iar semnul minus face ca acest număr să fie negativ.

Rețineți că regula luată în considerare reduce împărțirea numerelor cu semne diferite la împărțirea numerelor pozitive.

Puteți da o altă formulare a regulii de împărțire a numerelor cu semne diferite: pentru a împărți numărul a la numărul b, trebuie să înmulțiți numărul a cu numărul b −1, reciproca numărului b. adica a:b=a b −1 .

Această regulă poate fi folosită atunci când este posibil să se depășească mulțimea de numere întregi (din moment ce nu fiecare număr întreg are un invers). Cu alte cuvinte, este aplicabil atât pe mulțimea numerelor raționale cât și pe mulțimea numerelor reale.

Este clar că această regulă de împărțire a numerelor cu semne diferite vă permite să treceți de la împărțire la înmulțire.

Aceeași regulă este folosită la împărțirea numerelor negative.

Rămâne de luat în considerare modul în care se aplică această regulă de împărțire a numerelor cu semne diferite în rezolvarea exemplelor.

Exemple de împărțire a numerelor cu semne diferite

Să luăm în considerare soluții cu mai multe caracteristici exemple de împărțire a numerelor cu semne diferite să înțeleagă principiul aplicării regulilor din paragraful precedent.

Împărțiți numărul negativ −35 la numărul pozitiv 7 .

Regula de împărțire a numerelor cu semne diferite prescrie mai întâi găsirea modulelor dividendului și divizorului. Modulul lui -35 este 35 și modulul lui 7 este 7. Acum trebuie să împărțim modulul dividendului la modulul divizorului, adică trebuie să împărțim 35 la 7. Amintindu-ne cum se face împărțirea numerelor naturale, obținem 35:7=5. Ultimul pas al regulii de împărțire a numerelor cu semne diferite rămâne - pune un minus în fața numărului rezultat, avem -5.

Iata intreaga solutie: .

Se poate proceda dintr-o formulare diferită a regulii de împărțire a numerelor cu semne diferite. În acest caz, găsim mai întâi numărul care este reciproca divizorului 7. Acest număr este fracția comună 1/7. În acest fel, . Rămâne de efectuat înmulțirea numerelor cu semne diferite: . Evident, am ajuns la același rezultat.

(−35):7=−5 .

Calculați câtul 8:(−60) .

După regula împărțirii numerelor cu semne diferite, avem 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Expresia rezultată corespunde unei fracții obișnuite negative (vedeți semnul diviziunii ca o bară de fracție), puteți reduce fracția cu 4, obținem .

Notăm pe scurt întreaga soluție: .

La împărțirea numerelor raționale fracționale cu semne diferite, dividendul și divizorul lor sunt de obicei reprezentate ca fracții obișnuite. Acest lucru se datorează faptului că nu este întotdeauna convenabil să efectuați împărțirea cu numere într-o notație diferită (de exemplu, în zecimală).

Modulul dividendului este, iar modulul divizorului este 0,(23) . Pentru a împărți modulul dividendului la modulul divizorului, să trecem la fracțiile obișnuite.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Înmulțirea numerelor negative

Definiția 1

(- a) (- b) = a b .

Mai sus este regula pentru înmulțirea a două numere negative. Pornind de la acesta, vom demonstra expresia: (- a) · (- b) = a · b. Înmulțirea articolului de numere cu semne diferite spune că egalitățile a · (- b) = - a · b sunt corecte, precum și (- a) · b = - a · b. Aceasta rezultă din proprietatea numerelor opuse, datorită căreia egalitățile se vor scrie după cum urmează:

(- a) (- b) = - (- a (- b)) = - (- (- (a b)) = a b .

Această regulă se aplică înmulțirii numerelor reale, a numerelor raționale, a numerelor întregi.

Acum luați în considerare în detaliu exemple de înmulțire a două numere negative. Când calculezi, trebuie să folosești regula scrisă mai sus.

Exemplul 1

Înmulțiți numerele - 3 și - 5.

Soluţie.

Modulul înmulțit dat două numere sunt egale cu numerele pozitive 3 și 5. Produsul lor dă 15 drept rezultat. Rezultă că produsul numerelor date este 15

Să scriem pe scurt înmulțirea numerelor negative în sine:

(- 3) (- 5) = 3 5 = 15

Răspuns: (- 3) · (- 5) = 15 .

La înmulțirea numerelor raționale negative, aplicând regula analizată, se poate mobiliza pentru înmulțirea fracțiilor, înmulțirea numerelor mixte, înmulțirea fracțiilor zecimale.

Exemplul 2

Calculați produsul (- 0 , 125) · (- 6) .

Soluţie.

Am obținut că expresia va lua forma (− 0 , 125) (− 6) = 0 , 125 6 = 0 , 75 .

Răspuns: (− 0 , 125) (− 6) = 0 , 75 .

În cazul în care factorii sunt numere iraționale, atunci produsul lor poate fi scris ca o expresie numerică. Valoarea este calculată numai după cum este necesar.

Exemplul 3

Este necesar să se înmulțească negativ - 2 cu log nenegativ 5 1 3 .

Soluţie

Găsiți module cu numere date:

2 = 2 și log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Urmând regulile de înmulțire a numerelor negative, obținem rezultatul - 2 log 5 1 3 = - 2 log 5 3 = 2 log 5 3 . Această expresie este răspunsul.

Răspuns: - 2 log 5 1 3 = - 2 log 5 3 = 2 log 5 3 .

Pentru a continua studiul subiectului, este necesar să repetați secțiunea privind înmulțirea numerelor reale.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Acum să ne ocupăm de înmulțirea și împărțirea.

Să presupunem că trebuie să înmulțim +3 cu -4. Cum să o facă?

Cum se înmulțesc două numere negative?

Prin urmare, este destul de logic, deși puțin ciudat, că (-3)x(-4)=+12.

Poziția semnului atunci când este înmulțit, se schimbă astfel:

număr pozitiv x număr pozitiv = număr pozitiv;
număr negativ x număr pozitiv = număr negativ;
număr pozitiv x număr negativ = număr negativ;
număr negativ x număr negativ = număr pozitiv.

Cu alte cuvinte, înmulțind două numere cu același semn, obținem un număr pozitiv. Înmulțind două numere cu semne diferite, obținem un număr negativ.

Aceeași regulă este valabilă pentru acțiunea opusă înmulțirii - pentru.

Portal pentru student. Autoinstruire

Reguli pentru înmulțirea numerelor negative

„Regula pentru înmulțirea numerelor negative și a numerelor cu semne diferite”. clasa a 6-a

Prezentare pentru lecție

Înmulțirea numerelor negative: regulă, exemple

Înmulțirea numerelor negative

Exemple de înmulțire a numerelor negative

Regula pentru înmulțirea numerelor cu semne diferite

Exemple de înmulțire a numerelor cu semne diferite

Regula pentru împărțirea numerelor cu semne diferite

Exemple de împărțire a numerelor cu semne diferite

Înmulțirea numerelor negative

ARTICOLE SIMILARE