Această lecție discută despre înmulțirea și împărțirea numerelor raționale.

Conținutul lecției

Înmulțirea numerelor raționale

Regulile de înmulțire a numerelor întregi sunt valabile și pentru numerele raționale. Cu alte cuvinte, pentru a înmulți numerele raționale, trebuie să fii capabil

De asemenea, trebuie să cunoașteți legile de bază ale înmulțirii, precum: legea comutativă a înmulțirii, legea asociativă a înmulțirii, legea distributivă a înmulțirii și înmulțirii cu zero.

Exemplul 1 Găsiți valoarea unei expresii

Aceasta este înmulțirea numerelor raționale cu semne diferite. Pentru a înmulți numerele raționale cu semne diferite, trebuie să înmulțiți modulele acestora și să puneți un minus înaintea răspunsului.

Pentru a vedea clar că avem de-a face cu numere care au semne diferite, includem fiecare număr rațional între paranteze împreună cu semnele sale.

Modulul unui număr este , iar modulul unui număr este . După ce am înmulțit modulele primite ca fracții pozitive, am primit răspunsul, dar înainte de răspuns am pus un minus, așa cum ne cere regula. Pentru a asigura acest minus înainte de răspuns, s-a efectuat înmulțirea modulelor între paranteze, înaintea cărora se pune minusul.

Soluția scurtă arată astfel:

Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii

Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii

Aceasta este înmulțirea numerelor raționale negative. Pentru a înmulți numerele raționale negative, trebuie să le înmulțiți modulele și să puneți un plus în fața răspunsului.

Soluția pentru acest exemplu poate fi scrisă mai scurt:

Exemplul 4 Găsiți valoarea unei expresii

Soluția pentru acest exemplu poate fi scrisă mai scurt:

Exemplul 5 Găsiți valoarea unei expresii

Aceasta este înmulțirea numerelor raționale cu semne diferite. Înmulțim modulele acestor numere și punem un minus înaintea răspunsului primit

Soluția scurtă va părea mult mai simplă:

Exemplul 6 Găsiți valoarea unei expresii

Convertiți numărul mixt într-o fracție improprie. Rescrieți restul așa cum este

Am obținut înmulțirea numerelor raționale cu semne diferite. Înmulțim modulele acestor numere și punem un minus în fața răspunsului primit. Intrarea cu module poate fi omisă pentru a nu aglomera expresia

Soluția pentru acest exemplu poate fi scrisă mai scurt

Exemplul 7 Găsiți valoarea unei expresii

Aceasta este înmulțirea numerelor raționale cu semne diferite. Înmulțim modulele acestor numere și punem un minus înaintea răspunsului primit

La început, răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, dar am evidențiat întreaga parte din el. Rețineți că partea întreagă a fost separată de modulul fracției. Numărul mixt rezultat a fost inclus între paranteze precedat de un minus. Acest lucru se face pentru a îndeplini cerințele regulii. Iar regula cerea ca răspunsul primit să fie precedat de un semn minus.

Soluția pentru acest exemplu poate fi scrisă mai scurt:

Exemplul 8 Găsiți valoarea unei expresii

În primul rând, înmulțim și și înmulțim numărul rezultat cu numărul rămas 5. Să omitem intrarea cu module pentru a nu aglomera expresia.

Răspuns: valoarea expresiei este egal cu −2.

Exemplul 9 Găsiți valoarea unei expresii:

Convertiți numere mixte în fracții improprii:

Am obținut înmulțirea numerelor raționale negative. Înmulțim modulele acestor numere și punem un plus în fața răspunsului primit. Intrarea cu module poate fi omisă pentru a nu aglomera expresia

Exemplul 10 Găsiți valoarea unei expresii

Expresia constă din mai mulți factori. Conform legii asociative a înmulțirii, dacă o expresie este formată din mai mulți factori, atunci produsul nu va depinde de ordinea operațiilor. Acest lucru ne permite să evaluăm expresia dată în orice ordine.

Nu vom reinventa roata, ci vom calcula această expresie de la stânga la dreapta în ordinea factorilor. Omitem intrarea cu module pentru a nu aglomera expresia

A treia acțiune:

A patra acțiune:

Răspuns: valoarea expresiei este

Exemplul 11. Găsiți valoarea unei expresii

Amintiți-vă legea înmulțirii cu zero. Această lege spune că produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

În exemplul nostru, unul dintre factori este egal cu zero, prin urmare, fără a pierde timpul, răspundem că valoarea expresiei este zero:

Exemplul 12. Găsiți valoarea unei expresii

Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

În exemplul nostru, unul dintre factori este egal cu zero, prin urmare, fără a pierde timpul, răspundem că valoarea expresiei este egal cu zero:

Exemplul 13 Găsiți valoarea unei expresii

Puteți folosi procedura și mai întâi să calculați expresia dintre paranteze și să înmulțiți răspunsul rezultat cu o fracție.

Puteți folosi și legea distributivă a înmulțirii - înmulțiți fiecare termen al sumei cu o fracție și adăugați rezultatele. Vom folosi această metodă.

După ordinea operațiilor, dacă expresia conține adunarea și înmulțirea, atunci primul lucru de făcut este să efectuați înmulțirea. Prin urmare, în noua expresie rezultată, luăm între paranteze acei parametri care trebuie înmulțiți. Astfel, putem vedea clar ce acțiuni trebuie efectuate mai devreme și care mai târziu:

A treia acțiune:

Răspuns: valoarea expresiei egală

Soluția pentru acest exemplu poate fi scrisă mult mai scurt. Va arata asa:

Se vede că acest exemplu ar putea fi rezolvat chiar și în minte. Prin urmare, ar trebui să dezvolte abilitatea de a analiza o expresie înainte de a începe să o rezolvi. Este probabil să se rezolve în minte și să economisească mult timp și nervi. Și la control și examene, după cum știți, timpul este foarte scump.

Exemplul 14 Aflați valoarea expresiei −4,2 × 3,2

Aceasta este înmulțirea numerelor raționale cu semne diferite. Înmulțim modulele acestor numere și punem un minus înaintea răspunsului primit

Observați cum au fost înmulțite modulele numerelor raționale. În acest caz, pentru a înmulți modulele numerelor raționale, a fost nevoie de .

Exemplul 15 Aflați valoarea expresiei −0,15 × 4

Aceasta este înmulțirea numerelor raționale cu semne diferite. Înmulțim modulele acestor numere și punem un minus înaintea răspunsului primit

Observați cum au fost înmulțite modulele numerelor raționale. În acest caz, pentru a înmulți modulele numerelor raționale, a fost nevoie să se poată face.

Exemplul 16 Aflați valoarea expresiei −4,2 × (−7,5)

Aceasta este înmulțirea numerelor raționale negative. Înmulțim modulele acestor numere și punem un plus în fața răspunsului primit

Împărțirea numerelor raționale

Regulile de împărțire a numerelor întregi sunt valabile și pentru numerele raționale. Cu alte cuvinte, pentru a putea împărți numerele raționale, trebuie să poți

În caz contrar, se folosesc aceleași metode de împărțire a fracțiilor ordinare și zecimale. Pentru a împărți o fracție comună la o altă fracție, trebuie să înmulțiți prima fracție cu reciproca celei de-a doua.

Și pentru a împărți o fracție zecimală într-o altă fracție zecimală, trebuie să mutați virgula la dreapta în atâtea cifre în dividend și în divizor câte sunt după punctul zecimal din divizor, apoi efectuați împărțirea ca pentru un număr obișnuit.

Exemplul 1 Găsiți valoarea unei expresii:

Aceasta este împărțirea numerelor raționale cu semne diferite. Pentru a calcula o astfel de expresie, trebuie să înmulțiți prima fracție cu reciproca celei de-a doua.

Deci, să înmulțim prima fracție cu reciproca celei de-a doua.

Am obținut înmulțirea numerelor raționale cu semne diferite. Și știm deja să calculăm astfel de expresii. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți modulele acestor numere raționale și să puneți un minus înaintea răspunsului.

Să completăm acest exemplu. Intrarea cu module poate fi omisă pentru a nu aglomera expresia

Astfel, valoarea expresiei este

Soluția detaliată este următoarea:

O soluție scurtă ar arăta astfel:

Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii

Aceasta este împărțirea numerelor raționale cu semne diferite. Pentru a calcula această expresie, trebuie să înmulțiți prima fracție cu reciproca celei de-a doua.

Reciproca celei de-a doua fracții este fracția . Înmulțim prima fracție cu ea:

O soluție scurtă ar arăta astfel:

Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii

Aceasta este împărțirea numerelor raționale negative. Pentru a calcula această expresie, din nou, trebuie să înmulțiți prima fracție cu reciproca celei de-a doua.

Reciproca celei de-a doua fracții este fracția . Înmulțim prima fracție cu ea:

Am obținut înmulțirea numerelor raționale negative. Știm deja cum se calculează o astfel de expresie. Este necesar să înmulțiți modulele numerelor raționale și să puneți un plus în fața răspunsului.

Să completăm acest exemplu. Puteți sări peste intrarea cu module pentru a evita aglomerarea expresiei:

Exemplul 4 Găsiți valoarea unei expresii

Pentru a calcula această expresie, trebuie să înmulțiți primul număr -3 cu reciproca fracției.

Reciproca unei fracții este o fracție. Prin ea și înmulțiți primul număr −3

Exemplul 6 Găsiți valoarea unei expresii

Pentru a calcula această expresie, trebuie să înmulțiți prima fracție cu reciproca lui 4.

Reciproca lui 4 este o fracție. Înmulțim prima fracție cu ea

Exemplul 5 Găsiți valoarea unei expresii

Pentru a calcula această expresie, trebuie să înmulțiți prima fracție cu reciproca lui -3

Reciproca lui −3 este o fracție. Înmulțim prima fracție cu ea:

Exemplul 6 Aflați valoarea expresiei −14,4: 1,8

Aceasta este împărțirea numerelor raționale cu semne diferite. Pentru a calcula această expresie, trebuie să împărțiți modulul dividendului la modulul divizorului și să puneți un minus înainte de răspunsul primit.

Observați cum modulul dividendului a fost împărțit în modulul divizorului. În acest caz, pentru a o face corect, a fost nevoie să poți.

Dacă nu există dorința de a se încurca cu fracțiile zecimale (și acest lucru se întâmplă des), atunci acestea, apoi convertiți aceste numere mixte în fracții improprii și apoi treceți direct la împărțire.

Să calculăm expresia anterioară -14.4: 1.8 în acest fel. Convertiți zecimale în numere mixte:

Acum să traducem numerele mixte rezultate în fracții improprii:

Acum te poți ocupa direct de împărțirea, și anume împărțirea unei fracții la o fracție. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți prima fracție cu reciproca celei de-a doua:

Exemplul 7 Găsiți valoarea unei expresii

Să convertim zecimala -2,06 într-o fracție improprie și să înmulțim această fracție cu reciproca secundei:

Fracții cu mai multe etaje

Puteți găsi adesea o expresie în care împărțirea fracțiilor este scrisă folosind o bară fracțională. De exemplu, o expresie ar putea fi scrisă astfel:

Care este diferența dintre expresii și? De fapt, nu există nicio diferență. Aceste două expresii au același sens și puteți pune un semn egal între ele:

În primul caz, semnul de diviziune este două puncte și expresia este scrisă pe o singură linie. În al doilea caz, împărțirea fracțiilor se scrie folosind o linie fracțională. Rezultatul este o fracțiune, pe care oamenii au fost de acord să o numească cu mai multe etaje.

Când întâlniți astfel de expresii cu mai multe etaje, trebuie să aplicați aceleași reguli pentru împărțirea fracțiilor obișnuite. Prima fracție trebuie înmulțită cu reciproca celei de-a doua.

Este extrem de incomod să folosiți astfel de fracții într-o soluție, astfel încât să le puteți scrie într-o formă ușor de înțeles, folosind nu o bară fracțională, ci două puncte ca semn de divizare.

De exemplu, să scriem o fracție cu mai multe etaje într-o formă ușor de înțeles. Pentru a face acest lucru, mai întâi trebuie să vă dați seama unde este prima fracție și unde este a doua, deoarece nu este întotdeauna posibil să faceți acest lucru corect. Fracțiile cu mai multe etaje au mai multe caracteristici fracționale care pot fi confuze. Bara fracțională principală, care separă prima fracțiune de a doua, este de obicei mai lungă decât celelalte.

După determinarea liniei fracționale principale, puteți înțelege cu ușurință unde este prima fracție și unde este a doua:

Exemplul 2

Găsim linia fracțională principală (este cea mai lungă) și vedem că numărul întreg −3 este împărțit la o fracție obișnuită

Și dacă am luat greșit a doua linie fracțională pentru cea principală (cea care este mai scurtă), atunci s-ar dovedi că împărțim fracția la un număr întreg 5 În acest caz, chiar dacă această expresie este calculată corect, problema va fi poate fi rezolvată incorect, deoarece divizibilul în acest caz este numărul −3, iar divizorul este o fracție.

Exemplul 3 Scriem într-o formă de înțeles o fracție cu mai multe etaje

Găsim linia fracțională principală (este cea mai lungă) și vedem că fracția este împărțită la un număr întreg 2

Și dacă am luat greșit prima linie fracțională pentru cea principală (cea care este mai scurtă), atunci s-ar dovedi că împărțim întregul −5 la o fracție. În acest caz, chiar dacă această expresie este calculată corect, problema va fi rezolvată incorect, deoarece divizibilul în acest caz este o fracție, iar divizorul este un întreg 2.

În ciuda faptului că fracțiile cu mai multe etaje sunt incomode în muncă, le vom întâlni foarte des, mai ales când studiem matematica superioară.

Desigur, traducerea unei fracții cu mai multe etaje într-o formă ușor de înțeles necesită timp și spațiu suplimentar. Prin urmare, puteți utiliza o metodă mai rapidă. Această metodă este convenabilă și la ieșire vă permite să obțineți o expresie gata făcută în care prima fracție a fost deja înmulțită cu reciproca celei de-a doua.

Această metodă este implementată după cum urmează:

Dacă fracția are patru etaje, de exemplu, ca, atunci figura situată la primul etaj este ridicată la cel mai înalt etaj. Iar numărul situat la etajul doi este ridicat la etajul trei. Numerele rezultate trebuie conectate cu pictograme de înmulțire (×)

Ca urmare, ocolind notația intermediară, obținem o nouă expresie în care prima fracție a fost deja înmulțită cu reciproca celei de-a doua. Comoditate și multe altele!

Pentru a evita greșelile atunci când utilizați această metodă, puteți urma următoarea regulă:

De la primul la al patrulea. De la a doua la a treia.

Regula este despre podele. Cifra de la primul etaj trebuie ridicată la etajul al patrulea. Și figura de la etajul doi trebuie ridicată la etajul trei.

Să încercăm să calculăm o fracție cu mai multe etaje folosind regula de mai sus.

Deci, numărul situat la primul etaj este ridicat la etajul al patrulea, iar numărul situat la etajul al doilea este ridicat la etajul trei.

Ca urmare, ocolind notația intermediară, obținem o nouă expresie în care prima fracție a fost deja înmulțită cu reciproca celei de-a doua. Puteți folosi ceea ce știți deja:

Să încercăm să calculăm o fracție cu mai multe etaje folosind o nouă schemă.

Există doar primul, al doilea și al patrulea etaj. Etajul trei lipsește. Dar nu ne abatem de la schema principală: ridicăm figura de la primul etaj la etajul al patrulea. Și întrucât nu există un al treilea etaj, lăsăm numărul de la etajul doi așa cum este

Ca rezultat, ocolind notația intermediară, am obținut o nouă expresie , în care primul număr −3 a fost deja înmulțit cu fracția care este reciproca celui de-al doilea. Puteți folosi ceea ce știți deja:

Să încercăm să calculăm o fracție cu mai multe etaje folosind o nouă schemă.

Există doar etajele al doilea, al treilea și al patrulea. Lipsește primul etaj. Deoarece primul etaj lipsește, nu este nimic de urcat la etajul al patrulea, dar putem ridica cifra de la etajul doi la al treilea:

Ca urmare, ocolind notația intermediară, am obținut o nouă expresie în care prima fracție a fost deja înmulțită cu reciproca divizorului. Puteți folosi ceea ce știți deja:

Utilizarea variabilelor

Dacă expresia este complexă și vi se pare că vă va deruta în procesul de rezolvare a problemei, atunci o parte a expresiei poate fi introdusă într-o variabilă și apoi lucrați cu această variabilă.

Matematicienii fac adesea acest lucru. O sarcină complexă este împărțită în subsarcini mai ușoare și rezolvată. Apoi colectează subsarcinile rezolvate într-un singur întreg. Acesta este un proces creativ și asta se învață de-a lungul anilor, antrenându-se din greu.

Utilizarea variabilelor este justificată atunci când se lucrează cu fracții cu mai multe etaje. De exemplu:

Găsiți valoarea unei expresii

Deci, există o expresie fracțională în numărător și în numitorul căreia există expresii fracționale. Cu alte cuvinte, avem din nou o fracție cu mai multe etaje, care nu ne place atât de mult.

Expresia din numărător poate fi introdusă într-o variabilă cu orice nume, de exemplu:

Dar în matematică, într-un astfel de caz, se obișnuiește să se dea numele variabilelor din majuscule latine. Să nu încălcăm această tradiție și să notăm prima expresie printr-o literă latină majusculă A

Iar expresia din numitor poate fi notată cu litera B latină majusculă

Acum expresia noastră originală devine . Adică, am făcut înlocuirea unei expresii numerice cu o literă, introducând anterior numărătorul și numitorul în variabilele A și B.

Acum putem calcula separat valorile variabilei A și valoarea variabilei B. Vom insera valorile finite în expresie.

Aflați valoarea unei variabile A

Aflați valoarea unei variabile B

Acum să înlocuim în expresia principală în loc de variabilele A și B valorile acestora:

Avem o fracție cu mai multe etaje în care puteți folosi schema „de la primul la al patrulea, de la al doilea la al treilea”, adică să ridicați numărul situat la primul etaj la etajul al patrulea și să creșteți numărul situat de la etajul doi până la etajul trei. Calculul suplimentar nu va fi dificil:

Astfel, valoarea expresiei este −1.

Desigur, ne-am uitat la cel mai simplu exemplu, dar scopul nostru a fost să aflăm cum puteți folosi variabile pentru a vă ușura sarcina, pentru a minimiza posibilitatea erorilor.

De asemenea, rețineți că soluția pentru acest exemplu poate fi scrisă fără a utiliza variabile. Va arata ca

Această soluție este mai rapidă și mai scurtă și, în acest caz, este mai oportun să o scrieți astfel, dar dacă expresia se dovedește a fi complexă, constând din mai mulți parametri, paranteze, rădăcini și puteri, atunci este recomandabil să o calculați în mai multe etape, punând unele dintre expresiile sale în variabile.

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

În acest articol ne vom ocupa de înmulțirea numerelor cu semne diferite. Aici vom formula mai întâi regula pentru înmulțirea unui număr pozitiv și negativ, o vom justifica și apoi vom lua în considerare aplicarea acestei reguli atunci când rezolvăm exemple.

Navigare în pagină.

Regula pentru înmulțirea numerelor cu semne diferite

Înmulțirea unui număr pozitiv cu unul negativ, precum și a unui număr negativ cu unul pozitiv, se efectuează în conformitate cu următoarele regula pentru înmulțirea numerelor cu semne diferite: pentru a înmulți numere cu semne diferite, trebuie să înmulțiți și să puneți un semn minus în fața produsului rezultat.

Să scriem această regulă în formă literală. Pentru orice număr real pozitiv a și orice număr real negativ −b, egalitatea a(−b)=−(|a|·|b|) , iar pentru numărul negativ −a și numărul pozitiv b, egalitatea (−a)b=−(|a|·|b|) .

Regula de înmulțire a numerelor cu semne diferite este pe deplin în concordanță cu proprietățile acțiunilor cu numere reale. Într-adevăr, pe baza lor, este ușor să arătăm că pentru numerele reale și pozitive a și b, un lanț de egalități de forma a (−b)+a b=a ((−b)+b)=a 0=0, care demonstrează că a (−b) și a b sunt numere opuse, ceea ce implică egalitatea a (−b)=−(a b) . Și din aceasta rezultă valabilitatea regulii înmulțirii luate în considerare.

De remarcat că regula exprimată pentru înmulțirea numerelor cu semne diferite este valabilă atât pentru numere reale, cât și pentru numere raționale și pentru numere întregi. Aceasta rezultă din faptul că operațiile pe raționale și numere întregi au aceleași proprietăți care au fost folosite în demonstrația de mai sus.

Este clar că înmulțirea numerelor cu semne diferite după regula obținută se reduce la înmulțirea numerelor pozitive.

Rămâne doar să luăm în considerare exemple de aplicare a regulii de înmulțire analizată la înmulțirea numerelor cu semne diferite.

Exemple de înmulțire a numerelor cu semne diferite

Să aruncăm o privire la mai multe soluții exemple de înmulțire a numerelor cu semne diferite. Să începem cu un caz simplu pentru a ne concentra mai degrabă pe pașii regulii decât pe complexitatea de calcul.

Exemplu.

Înmulțiți numărul negativ −4 cu numărul pozitiv 5 .

Soluţie.

Conform regulii înmulțirii pentru numere cu semne diferite, trebuie mai întâi să înmulțim modulele factorilor inițiali. Modulul lui -4 este 4, iar modulul lui 5 este 5, iar înmulțirea numerelor naturale 4 și 5 dă 20. În cele din urmă, rămâne să punem un semn minus în fața numărului rezultat, avem -20. Aceasta completează înmulțirea.

Pe scurt, soluția se poate scrie astfel: (−4) 5=−(4 5)=−20 .

Răspuns:

(−4) 5=−20 .

Când înmulțiți numere fracționale cu semne diferite, trebuie să puteți efectua înmulțirea fracțiilor obișnuite, înmulțirea fracțiilor zecimale și combinațiile acestora cu numere naturale și mixte.

Exemplu.

Înmulțiți numere cu semne diferite 0,(2) și .

Soluţie.

După conversia unei fracții zecimale periodice într-o fracție obișnuită, precum și după efectuarea unei tranziții de la un număr mixt la o fracție improprie, din produsul original vom ajunge la produsul fracțiilor obișnuite cu semne diferite ale formei . Acest produs, conform regulii înmulțirii numerelor cu semne diferite, este egal cu . Rămâne doar să înmulțim fracțiile obișnuite dintre paranteze, avem .