Foarte des, mulți oameni se întreabă de ce nu se poate folosi împărțirea la zero? În acest articol vom vorbi în detaliu despre de unde provine această regulă, precum și despre ce acțiuni pot fi efectuate cu zero.

In contact cu

Zero poate fi numit unul dintre cele mai interesante numere. Acest număr nu are sens, înseamnă gol în cel mai adevărat sens al cuvântului. Cu toate acestea, dacă un zero este plasat lângă orice număr, atunci valoarea acestui număr va deveni de câteva ori mai mare.

Numărul în sine este foarte misterios. A fost folosit de vechii oameni mayași. Pentru mayași, zero însemna „început”, iar zilele calendaristice începeau, de asemenea, de la zero.

Un fapt foarte interesant este că semnul zero și semnul de incertitudine au fost similare. Prin aceasta, mayașii au vrut să arate că zero este același semn identic cu incertitudinea. În Europa, denumirea zero a apărut relativ recent.

Mulți oameni cunosc și interdicția asociată cu zero. Oricine va spune asta nu poți împărți la zero. Profesorii de la școală spun asta, iar copiii de obicei își cred pe cuvânt. De obicei, copiii fie pur și simplu nu sunt interesați să știe acest lucru, fie știu ce se va întâmpla dacă, după ce au auzit o interdicție importantă, ei întreabă imediat: „De ce nu poți împărți la zero?” Dar când îmbătrânești, interesul tău se trezește și vrei să afli mai multe despre motivele acestei interdicții. Cu toate acestea, există dovezi rezonabile.

Acțiuni cu zero

Mai întâi trebuie să determinați ce acțiuni pot fi efectuate cu zero. Există mai multe tipuri de acțiuni:

• Plus;
• Multiplicare;
• Scădere;
• Împărțirea (zero după număr);
• Exponentiație.

Important! Dacă adăugați zero la orice număr în timpul adunării, atunci acest număr va rămâne același și nu își va modifica valoarea numerică. Același lucru se întâmplă dacă scazi zero din orice număr.

Când înmulțiți și împărțiți lucrurile sunt puțin diferite. Dacă înmulțiți orice număr cu zero, atunci și produsul va deveni zero.

Să ne uităm la un exemplu:

Să scriem asta ca adaos:

Sunt cinci zerouri în total, așa că se dovedește că

Să încercăm să înmulțim unu cu zero. Rezultatul va fi, de asemenea, zero.

Zero poate fi, de asemenea, împărțit la orice alt număr care nu este egal cu acesta. În acest caz, rezultatul va fi , a cărui valoare va fi, de asemenea, zero. Aceeași regulă se aplică numerelor negative. Dacă zero este împărțit la un număr negativ, rezultatul este zero.

De asemenea, puteți construi orice număr la gradul zero. În acest caz, rezultatul va fi 1. Este important să ne amintim că expresia „zero la puterea lui zero” este absolut lipsită de sens. Dacă încerci să ridici zero la orice putere, obții zero. Exemplu:

Folosim regula înmulțirii și obținem 0.

Deci este posibil să împărțim la zero?

Deci, aici ajungem la întrebarea principală. Este posibil să împărțim la zero? deloc? Și de ce nu putem împărți un număr la zero, având în vedere că toate celelalte acțiuni cu zero există și sunt aplicate? Pentru a răspunde la această întrebare este necesar să apelăm la matematica superioară.

Să începem cu definiția conceptului, ce este zero? Profesorii spun că zero este nimic. Goliciunea. Adica cand spui ca ai 0 manere inseamna ca nu ai deloc manere.

În matematica superioară, conceptul de „zero” este mai larg. Nu înseamnă deloc gol. Aici zero se numește incertitudine pentru că dacă facem puțină cercetare, se dovedește că atunci când împărțim zero la zero, putem ajunge la orice alt număr, care poate să nu fie neapărat zero.

Știați că acele operații aritmetice simple pe care le-ați studiat la școală nu sunt atât de egale între ele? Cele mai de bază acțiuni sunt adunare si inmultire.

Pentru matematicieni, conceptele de „” și „scădere” nu există. Să zicem: dacă scazi trei din cinci, vei rămâne cu doi. Așa arată scăderea. Cu toate acestea, matematicienii ar scrie acest lucru:

Astfel, se dovedește că diferența necunoscută este un anumit număr care trebuie adăugat la 3 pentru a obține 5. Adică, nu trebuie să scazi nimic, trebuie doar să găsești numărul potrivit. Această regulă se aplică adăugării.

Lucrurile stau puțin diferit cu regulile de înmulțire și împărțire. Se știe că înmulțirea cu zero duce la un rezultat zero. De exemplu, dacă 3:0=x, atunci dacă inversați intrarea, obțineți 3*x=0. Și un număr care a fost înmulțit cu 0 va da zero în produs. Se pare că nu există un număr care să dea o altă valoare decât zero în produsul cu zero. Aceasta înseamnă că împărțirea la zero este lipsită de sens, adică se potrivește cu regula noastră.

Dar ce se întâmplă dacă încercați să împărțiți zero în sine? Să luăm un număr nedefinit ca x. Ecuația rezultată este 0*x=0. Se poate rezolva.

Dacă încercăm să luăm zero în loc de x, vom obține 0:0=0. S-ar părea logic? Dar dacă încercăm să luăm orice alt număr, de exemplu, 1, în loc de x, vom ajunge la 0:0=1. Aceeași situație se va întâmpla dacă luăm orice alt număr și conectați-l în ecuație.

În acest caz, se dovedește că putem lua ca factor orice alt număr. Rezultatul va fi un număr infinit de numere diferite. Uneori, împărțirea cu 0 în matematica superioară mai are sens, dar apoi apare de obicei o anumită condiție, datorită căreia putem alege în continuare un număr potrivit. Această acțiune se numește „dezvăluirea incertitudinii”. În aritmetica obișnuită, împărțirea la zero își va pierde din nou sensul, deoarece nu vom putea alege un număr din mulțime.

Important! Nu poți împărți zero la zero.

Zero și infinit

Infinitul poate fi găsit foarte des în matematica superioară. Deoarece pur și simplu nu este important pentru școlari să știe că există și operații matematice cu infinit, profesorii nu pot explica corect copiilor de ce este imposibil să se împartă la zero.

Elevii încep să învețe secretele matematice de bază abia în primul an de institut. Matematica superioară oferă un complex mare de probleme care nu au nicio soluție. Cele mai cunoscute probleme sunt problemele cu infinitul. Ele pot fi rezolvate folosind analiză matematică.

Poate fi aplicat și la infinit operatii matematice elementare: adunare, înmulțire cu număr. De obicei folosesc și scăderea și împărțirea, dar până la urmă tot se rezumă la două operații simple.

Dar ce se va întâmpla daca incerci:

• Infinitul înmulțit cu zero. În teorie, dacă încercăm să înmulțim orice număr cu zero, vom obține zero. Dar infinitul este un set nedefinit de numere. Deoarece nu putem alege un număr din această mulțime, expresia ∞*0 nu are soluție și este absolut lipsită de sens.
• Zero împărțit la infinit. Aceeași poveste ca mai sus se întâmplă aici. Nu putem alege un număr, ceea ce înseamnă că nu știm cu ce să împărțim. Expresia nu are sens.

Important! Infinitul este puțin diferit de incertitudine! Infinitul este unul dintre tipurile de incertitudine.

Acum să încercăm să împărțim infinitul la zero. S-ar părea că ar trebui să existe incertitudine. Dar dacă încercăm să înlocuim împărțirea cu înmulțirea, obținem un răspuns foarte clar.

De exemplu: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Se dovedește așa paradoxul matematic.

Răspunsul la motivul pentru care nu poți împărți la zero

Experiment de gândire, încercând să împărțim la zero

Concluzie

Deci, acum știm că zero este supus aproape tuturor operațiunilor cu care se efectuează, cu excepția unei singure. Nu poți împărți la zero doar pentru că rezultatul este incertitudinea. Am învățat și cum să efectuăm operații cu zero și infinit. Rezultatul unor astfel de acțiuni va fi incertitudinea.

Dacă un număr este împărțit la infinit, coeficientul va tinde spre zero? Am continuat înăuntru și am primit cel mai bun răspuns

Răspuns de la Olenka[newbie]
toate 0
Crab Вark
Oracol
(56636)
Nu. Zero exact. Pe măsură ce divizorul tinde spre infinit, coeficientul va tinde spre zero. Și, dacă împărțim nu la un număr care tinde spre infinit, ci la infinitul însuși (apropo, pentru a fi mai precis, oficial nu este considerat deloc un număr, ci este considerat un simbol special care completează desemnarea numerelor) - exact zero.

Răspuns de la Iugeus Vladimir[guru]
Chiar dacă împărțiți zero, chiar dacă îl înmulțiți cu orice număr, tot va fi zero!

Răspuns de la 1 23 [guru]
dacă o porcărie tinde spre zero, atunci înmulțirea cu ceva finit (un număr sau o funcție limitată) este inutilă, pentru că totul tinde spre zero.
dar dacă îl înmulți cu un fel de lucru care tinde spre infinit, pot exista opțiuni.

Răspuns de la Crab Вark[guru]
Când orice număr este împărțit la infinit, rezultatul este zero. Zero exact, fără „aspirare către zero”. Și apoi, indiferent de numărul cu care îl înmulți, zero. Și rezultatul împărțirii zero la orice număr, altul decât zero, va fi zero, numai când împărțim zero la zero rezultatul nu este definit, deoarece orice număr va fi potrivit ca cât.

Numărul 0 poate fi imaginat ca o anumită limită care separă lumea numerelor reale de cele imaginare sau negative. Din cauza poziției ambigue, multe operații cu această valoare numerică nu se supun logicii matematice. Imposibilitatea împărțirii la zero este un prim exemplu în acest sens. Și operațiile aritmetice permise cu zero pot fi efectuate folosind definiții general acceptate.

Istoria lui zero

Zero este punctul de referință în toate sistemele de numere standard. Europenii au început să folosească acest număr relativ recent, dar înțelepții Indiei antice au folosit zero cu o mie de ani înainte ca numărul gol să fie folosit în mod regulat de matematicienii europeni. Chiar înainte de indieni, zero era o valoare obligatorie în sistemul numeric mayaș. Acești americani au folosit sistemul numeric duozecimal, iar prima zi a fiecărei luni începea cu zero. Este interesant că printre mayași semnul care denotă „zero” a coincis complet cu semnul care denotă „infinitul”. Astfel, vechii mayași au ajuns la concluzia că aceste cantități sunt identice și de necunoscut.

Operații matematice cu zero

Operațiile matematice standard cu zero pot fi reduse la câteva reguli.

Adunare: dacă adăugați zero la un număr arbitrar, acesta nu își va schimba valoarea (0+x=x).

Scădere: Când scădeți zero din orice număr, valoarea scăderii rămâne neschimbată (x-0=x).

Înmulțire: Orice număr înmulțit cu 0 produce 0 (a*0=0).

Diviziunea: zero poate fi împărțit la orice număr diferit de zero. În acest caz, valoarea unei astfel de fracții va fi 0. Și împărțirea la zero este interzisă.

Exponentiație. Această acțiune poate fi efectuată cu orice număr. Un număr arbitrar ridicat la puterea zero va da 1 (x 0 =1).

Zero la orice putere este egal cu 0 (0 a = 0).

În acest caz, apare imediat o contradicție: expresia 0 0 nu are sens.

Paradoxurile matematicii

Mulți oameni știu de la școală că împărțirea la zero este imposibilă. Dar din anumite motive este imposibil de explicat motivul unei astfel de interdicții. De fapt, de ce nu există formula de împărțire la zero, dar alte acțiuni cu acest număr sunt destul de rezonabile și posibile? Răspunsul la această întrebare este dat de matematicieni.

Chestia este că operațiile aritmetice obișnuite pe care școlarii le învață în școala primară nu sunt, de fapt, atât de egale pe cât credem. Toate operațiile simple cu numere pot fi reduse la două: adunare și înmulțire. Aceste acțiuni constituie esența conceptului însuși de număr, iar alte operațiuni sunt construite pe utilizarea acestor două.

Adunarea și înmulțirea

Să luăm un exemplu de scădere standard: 10-2=8. La școală o consideră simplu: dacă scazi două din zece materii, rămân opt. Dar matematicienii privesc aceasta operatie cu totul diferit. La urma urmei, o astfel de operație precum scăderea nu există pentru ei. Acest exemplu poate fi scris în alt mod: x+2=10. Pentru matematicieni, diferența necunoscută este pur și simplu numărul care trebuie adăugat la doi pentru a face opt. Și nu este necesară nicio scădere aici, trebuie doar să găsiți valoarea numerică adecvată.

Înmulțirea și împărțirea sunt tratate la fel. În exemplul 12:4=3 puteți înțelege că vorbim despre împărțirea a opt obiecte în două grămezi egale. Dar, în realitate, aceasta este doar o formulă inversată pentru a scrie 3x4 = 12. Astfel de exemple de împărțire pot fi date la nesfârșit.

Exemple de împărțire la 0

Aici devine puțin clar de ce nu puteți împărți la zero. Înmulțirea și împărțirea cu zero urmează propriile reguli. Toate exemplele de împărțire a acestei cantități pot fi formulate ca 6:0 = x. Dar aceasta este o notație inversată a expresiei 6 * x=0. Dar, după cum știți, orice număr înmulțit cu 0 dă în produs doar 0. Această proprietate este inerentă însuși conceptului de valoare zero.

Se pare că nu există un astfel de număr care, înmulțit cu 0, să dea vreo valoare tangibilă, adică această problemă nu are soluție. Nu ar trebui să vă fie frică de acest răspuns; este un răspuns firesc pentru probleme de acest tip. Doar că înregistrarea 6:0 nu are niciun sens și nu poate explica nimic. Pe scurt, această expresie poate fi explicată prin nemuritoarea „diviziunea la zero este imposibilă”.

Există o operație 0:0? Într-adevăr, dacă operația de înmulțire cu 0 este legală, poate fi împărțit zero la zero? La urma urmei, o ecuație de forma 0x 5=0 este destul de legală. În loc de numărul 5 poți pune 0, produsul nu se va schimba.

Într-adevăr, 0x0=0. Dar tot nu poți împărți la 0. După cum am spus, împărțirea este pur și simplu inversul înmulțirii. Astfel, dacă în exemplul 0x5=0, trebuie să determinați al doilea factor, obținem 0x0=5. Sau 10. Sau infinit. Împărțirea infinitului la zero - cum vă place?

Dar dacă orice număr se potrivește în expresie, atunci nu are sens; nu putem alege doar unul dintr-un număr infinit de numere. Și dacă da, asta înseamnă că expresia 0:0 nu are sens. Se dovedește că chiar și zero în sine nu poate fi împărțit la zero.

Matematică superioară

Împărțirea cu zero este o bătaie de cap pentru matematica de liceu. Analiza matematică studiată în universitățile tehnice extinde ușor conceptul de probleme care nu au soluție. De exemplu, la expresia deja cunoscută 0:0 se adaugă altele noi, care nu au soluții la cursurile de matematică din școală:

• infinitul împărțit la infinit: ∞:∞;
• infinit minus infinit: ∞−∞;
• unitate ridicată la o putere infinită: 1 ∞ ;
• infinitul înmulțit cu 0: ∞*0;
• unele altele.

Este imposibil să rezolvi astfel de expresii folosind metode elementare. Dar matematica superioară, datorită posibilităților suplimentare pentru un număr de exemple similare, oferă soluții finale. Acest lucru este evident mai ales în considerarea problemelor din teoria limitelor.

Deblocarea incertitudinii

În teoria limitelor, valoarea 0 este înlocuită cu o variabilă infinitezimală condiționată. Iar expresiile în care, la înlocuirea valorii dorite, se obține împărțirea la zero, se transformă. Mai jos este un exemplu standard de extindere a unei limite folosind transformări algebrice obișnuite:

După cum puteți vedea în exemplu, simpla reducere a unei fracții duce valoarea acesteia la un răspuns complet rațional.

Când se iau în considerare limitele funcțiilor trigonometrice, expresiile acestora tind să fie reduse la prima limită remarcabilă. Când se iau în considerare limite în care numitorul devine 0 atunci când o limită este înlocuită, se folosește o a doua limită remarcabilă.

Metoda L'Hopital

În unele cazuri, limitele expresiilor pot fi înlocuite cu limitele derivatelor lor. Guillaume L'Hopital - matematician francez, fondator al școlii franceze de analiză matematică. El a demonstrat că limitele expresiilor sunt egale cu limitele derivatelor acestor expresii. În notație matematică, regula lui arată așa.

Derivata functiei nu cade departe, iar in cazul regulilor lui L'Hopital se incadreaza exact in acelasi loc in care se incadreaza functia initiala. Această circumstanță ajută la dezvăluirea incertitudinilor de forma 0/0 sau ∞/∞ și a altor incertitudini care apar la calcularea limită relația dintre două funcții infinitezimale sau infinit de mari. Calculul este foarte simplificat folosind această regulă (de fapt două reguli și note la acestea):

După cum arată formula de mai sus, atunci când se calculează limita raportului a două funcții infinitezimale sau infinit de mari, limita raportului a două funcții poate fi înlocuită cu limita raportului lor derivateși astfel obține un anumit rezultat.

Să trecem la formulări mai precise ale regulilor lui L'Hopital.

Regula lui L'Hopital pentru cazul limitei a două mărimi infinitezimale. Lasă funcțiile f(X) Și g(X A. Și chiar în acel moment A A derivata unei functii g(X) nu este zero ( g"(X A sunt egale între ele și egale cu zero:

.

Regula lui L'Hopital pentru cazul limitei a două cantități infinit de mari. Lasă funcțiile f(X) Și g(X) au derivate (adică diferențiabile) într-o vecinătate a punctului A. Și chiar în acel moment A este posibil să nu aibă derivate. Mai mult, în vecinătatea punctului A derivata unei functii g(X) nu este zero ( g"(X)≠0) și limitele acestor funcții ca x tinde către valoarea funcției în punctul A sunt egale între ele și egale cu infinit:

.

Atunci limita raportului acestor funcții este egală cu limita raportului derivatelor lor:

Cu alte cuvinte, pentru incertitudinile de forma 0/0 sau ∞/∞, limita raportului a două funcții este egală cu limita raportului derivatelor lor, dacă aceasta din urmă există (finită, adică egală cu un anumit număr, sau infinit, adică egal cu infinitul).

Note.

1. Regulile L'Hopital sunt, de asemenea, aplicabile atunci când funcțiile f(X) Și g(X) nu sunt definite când X = A.

2. Dacă, la calcularea limitei raportului derivatelor funcţiilor f(X) Și g(X) ajungem din nou la o incertitudine de forma 0/0 sau ∞/∞, atunci regulile lui L'Hôpital ar trebui aplicate în mod repetat (de cel puțin două ori).

3. Regulile lui L'Hopital sunt aplicabile și atunci când argumentul funcțiilor (x) nu tinde către un număr finit A, și la infinit ( X → ∞).

Incertitudinile de alte tipuri pot fi, de asemenea, reduse la incertitudini de tipurile 0/0 și ∞/∞.

Dezvăluirea incertitudinilor de tipul „zero împărțit la zero” și „infinit împărțit la infinit”

Exemplul 1.

X=2 duce la incertitudinea formei 0/0. Prin urmare, se obține derivata fiecărei funcții

Derivata polinomului a fost calculată la numărător, iar la numitor - derivată a unei funcții logaritmice complexe. Înainte de ultimul semn egal, obișnuit limită, înlocuind un doi în loc de un X.

Exemplul 2. Calculați limita raportului dintre două funcții folosind regula lui L'Hopital:

Soluţie. Înlocuirea unei valori într-o funcție dată X

Exemplul 3. Calculați limita raportului dintre două funcții folosind regula lui L'Hopital:

Soluţie. Înlocuirea unei valori într-o funcție dată X=0 duce la incertitudinea formei 0/0. Prin urmare, calculăm derivatele funcțiilor din numărător și numitor și obținem:

Exemplul 4. calculati

Soluţie. Înlocuirea valorii x egală cu plus infinitul într-o funcție dată duce la o incertitudine de forma ∞/∞. Prin urmare, aplicăm regula lui L'Hopital:

Cometariu. Să trecem la exemple în care regula lui L'Hopital trebuie aplicată de două ori, adică să ajungem la limita raportului derivatelor a doua, deoarece limita raportului primelor derivate este o incertitudine de forma 0 /0 sau ∞/∞.

Descoperirea incertitudinilor de forma „zero ori infinit”

Exemplul 12. calculati

.

Soluţie. Primim

Acest exemplu folosește identitatea trigonometrică.

Dezvăluirea incertitudinilor de tipul „zero la puterea lui zero”, „infinit la puterea lui zero” și „unu la puterea infinitului”

Incertitudinile formei , sau sunt de obicei reduse la forma 0/0 sau ∞/∞ luând logaritmul unei funcții de forma

Pentru a calcula limita unei expresii, ar trebui să utilizați identitatea logaritmică, un caz special al căruia este proprietatea logaritmului .

Folosind identitatea logaritmică și proprietatea de continuitate a unei funcții (pentru a depăși semnul limitei), limita trebuie calculată după cum urmează:

Separat, ar trebui să găsiți limita expresiei în exponent și să construiți e la gradul găsit.

Exemplul 13.

Soluţie. Primim

.

.

Exemplul 14. Calculați folosind regula lui L'Hopital

Soluţie. Primim

Calculați limita unei expresii în exponent

.

.

Exemplul 15. Calculați folosind regula lui L'Hopital

Metode de rezolvare a limitelor. Incertitudini.
Ordinea de creștere a funcției. Metoda de înlocuire

Exemplul 4

Găsiți limita

Acesta este un exemplu mai simplu de rezolvat pe cont propriu. În exemplul propus există din nou incertitudine (de un ordin de creștere mai mare decât rădăcina).

Dacă „x” tinde spre „minus infinit”

Spectrul „minus infinitului” plutește în acest articol de mult timp. Să luăm în considerare limitele cu polinoame în care . Principiile și metodele de soluție vor fi exact aceleași ca în prima parte a lecției, cu excepția unui număr de nuanțe.

Să ne uităm la 4 trucuri care vor fi necesare pentru a rezolva sarcini practice:

1) Calculați limita

Valoarea limitei depinde doar de termen, deoarece are cel mai mare ordin de creștere. Daca atunci infinit de mare în modul număr negativ la puterea PAR, în acest caz – în al patrulea, este egal cu „plus infinit”: . constantă („două”) pozitiv, De aceea:

2) Calculați limita

Aici este din nou gradul superior chiar, De aceea: . Dar în fața lui există un „minus” ( negativ constanta –1), prin urmare:

3) Calculați limita

Valoarea limită depinde numai de . După cum vă amintiți de la școală, „minus” „sare” de sub gradul impar, deci infinit de mare în modul număr negativ la o putere IMPAR este egal cu „minus infinit”, în acest caz: .
constantă („patru”) pozitiv, Mijloace:

4) Calculați limita

Primul tip din sat are din nou ciudat grad, în plus, în sân negativ constantă, ceea ce înseamnă: Astfel:
.

Exemplul 5

Găsiți limita

Folosind punctele de mai sus, ajungem la concluzia că aici există incertitudine. Numătorul și numitorul sunt de aceeași ordine de creștere, ceea ce înseamnă că în limită rezultatul va fi un număr finit. Să aflăm răspunsul aruncând toți prăjelii:

Solutia este banala:

Exemplul 6

Găsiți limita

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Și acum, poate, cel mai subtil dintre cazuri:

Exemplul 7

Găsiți limita

Luând în considerare termenii conducători, ajungem la concluzia că aici există incertitudine. Numătorul este de un ordin de creștere mai mare decât numitorul, așa că putem spune imediat că limita este egală cu infinitul. Dar ce fel de infinit, „plus” sau „minus”? Tehnica este aceeași - să scăpăm de lucrurile mici din numărător și numitor:

Noi decidem:

Împărțiți numărătorul și numitorul la

Exemplul 15

Găsiți limita

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. O mostră aproximativă a designului final la sfârșitul lecției.

Încă câteva exemple interesante pe tema înlocuirii variabilelor:

Exemplul 16

Găsiți limita

Când se înlocuiește unitatea în limită, se obține incertitudinea. Schimbarea variabilei sugerează deja în sine, dar mai întâi transformăm tangenta folosind formula. Într-adevăr, de ce avem nevoie de o tangentă?

Rețineți că, prin urmare. Dacă nu este complet clar, uitați-vă la valorile sinusului din tabel trigonometric. Astfel, scăpăm imediat de multiplicator, în plus, obținem incertitudinea mai familiară de 0:0. Ar fi bine dacă limita noastră ar tinde spre zero.

Să înlocuim:

Daca atunci

Sub cosinus avem „x”, care trebuie exprimat și prin „te”.
Din înlocuire exprimăm: .

Finalizam solutia:

(1) Efectuăm înlocuirea

(2) Deschideți parantezele de sub cosinus.

(4) A organiza prima limită minunată, înmulțiți artificial numărătorul cu și numărul reciproc.

Sarcina pentru soluție independentă:

Exemplul 17

Găsiți limita

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Acestea au fost sarcini simple în clasa lor, în practică totul poate fi mai rău și, în plus formule de reducere, trebuie să utilizați o varietate de formule trigonometrice, precum și alte trucuri. În articolul Limite complexe m-am uitat la câteva exemple reale =)

În ajunul sărbătorii, vom clarifica în sfârșit situația cu o altă incertitudine comună:

Eliminarea incertitudinii „unu la puterea infinitului”

Această incertitudine este „servită” a doua limită minunată, iar în a doua parte a acelei lecții am analizat în detaliu exemple standard de soluții care se găsesc în practică în majoritatea cazurilor. Acum imaginea cu exponenții va fi finalizată, în plus, sarcinile finale ale lecției vor fi dedicate limitelor „false”, în care PARE că este necesar să se aplice a doua limită minunată, deși aceasta nu este deloc caz.

Dezavantajul celor două formule de lucru pentru a doua limită remarcabilă este că argumentul trebuie să tindă spre „plus infinit” sau spre zero. Dar ce se întâmplă dacă argumentul tinde către un număr diferit?

O formulă universală vine în ajutor (care este de fapt o consecință a celei de-a doua limite remarcabile):

Incertitudinea poate fi eliminată folosind formula:

Undeva cred că am explicat deja ce înseamnă parantezele pătrate. Nimic special, parantezele sunt doar paranteze. Ele sunt de obicei folosite pentru a evidenția mai clar notația matematică.

Să evidențiem punctele esențiale ale formulei:

1) Este vorba despre doar despre incertitudine și nimic altceva.

2) Argumentul „x” poate tinde să valoare arbitrară(și nu doar la zero sau), în special, la „minus infinit” sau la oricine număr finit.

Folosind această formulă puteți rezolva toate exemplele din lecție. Limite minunate, care aparțin celei de-a 2-a limită remarcabilă. De exemplu, să calculăm limita:

În acest caz , iar conform formulei:

Adevărat, nu recomand să faceți acest lucru; tradiția este să folosiți în continuare designul „obișnuit” al soluției, dacă poate fi aplicat. in orice caz folosind formula este foarte comod de verificat exemple „clasice” până la a 2-a limită remarcabilă.