Când se adună și se scad fracții algebrice cu numitori diferiți, fracțiile duc mai întâi la numitor comun. Aceasta înseamnă că ei găsesc un astfel de numitor unic, care este împărțit la numitorul original al fiecărei fracții algebrice care face parte din această expresie.

După cum știți, dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite (sau împărțite) cu același număr, altul decât zero, atunci valoarea fracției nu se va modifica. Aceasta este proprietatea principală a unei fracții. Prin urmare, atunci când fracțiile duc la un numitor comun, de fapt, numitorul inițial al fiecărei fracții este înmulțit cu factorul lipsă la un numitor comun. În acest caz, este necesar să se înmulțească cu acest factor și cu numărătorul fracției (este diferit pentru fiecare fracție).

De exemplu, având în vedere următoarea sumă de fracții algebrice:

Este necesar să simplificați expresia, adică să adăugați două fracții algebrice. Pentru a face acest lucru, în primul rând, este necesar să reduceți termenii-fracții la un numitor comun. Primul pas este să găsiți un monom care este divizibil cu 3x și 2y. În acest caz, este de dorit ca acesta să fie cel mai mic, adică să găsiți cel mai mic multiplu comun (LCM) pentru 3x și 2y.

Pentru coeficienți numerici și variabile, LCM este căutat separat. LCM(3, 2) = 6 și LCM(x, y) = xy. În plus, valorile găsite sunt înmulțite: 6xy.

Acum trebuie să determinăm cu ce factor trebuie să înmulțim 3x pentru a obține 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Aceasta înseamnă că atunci când se reduce prima fracție algebrică la un numitor comun, numărătorul ei trebuie înmulțit cu 2y (numitorul a fost deja înmulțit când a fost redus la un numitor comun). Factorul pentru numărătorul celei de-a doua fracții este căutat în mod similar. Va fi egal cu 3x.

Astfel, obținem:

În plus, este deja posibil să acționați ca și cu fracții cu aceiași numitori: numărătorii se adună și unul comun este scris în numitor:

După transformări, se obține o expresie simplificată, care este o fracție algebrică, care este suma a două fracțiuni originale:

Fracțiile algebrice din expresia originală pot conține numitori care sunt mai degrabă polinoame decât monomii (ca în exemplul de mai sus). În acest caz, înainte de a găsi un numitor comun, factorizați numitorii (dacă este posibil). În plus, numitorul comun este colectat din diferiți factori. Dacă factorul este în mai mulți numitori inițiali, atunci este luat o dată. Dacă factorul are grade diferite în numitorii originali, atunci este luat cu unul mai mare. De exemplu:

Aici polinomul a 2 - b 2 poate fi reprezentat ca produs (a - b)(a + b). Factorul 2a – 2b este extins ca 2(a – b). Astfel, numitorul comun va fi egal cu 2(a - b)(a + b).

Inițial am vrut să includ metodele numitorului comun în paragraful „Adunarea și scăderea fracțiilor”. Dar au existat atât de multe informații, iar importanța ei este atât de mare (la urma urmei, nu numai fracțiile numerice au numitori comuni), încât este mai bine să studiem această problemă separat.

Deci, să presupunem că avem două fracții cu numitori diferiți. Și vrem să ne asigurăm că numitorii devin aceiași. Proprietatea principală a unei fracții vine în ajutor, care, permiteți-mi să vă reamintesc, sună astfel:

O fracție nu se schimbă dacă numărătorul și numitorul ei sunt înmulțiți cu același număr diferit de zero.

Astfel, dacă alegeți corect factorii, numitorii fracțiilor vor fi egali - acest proces se numește reducere la un numitor comun. Iar numerele dorite, „nivelând” numitorii, se numesc factori suplimentari.

De ce trebuie să aduceți fracțiile la un numitor comun? Iată doar câteva motive:

1. Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți. Nu există altă modalitate de a efectua această operație;
2. Comparația fracțiunilor. Uneori, reducerea la un numitor comun simplifică foarte mult această sarcină;
3. Rezolvarea problemelor pe acțiuni și procente. Procentele sunt, de fapt, expresii obișnuite care conțin fracții.

Există multe modalități de a găsi numere care fac numitorii egali atunci când sunt înmulțite. Vom lua în considerare doar trei dintre ele - în ordinea complexității crescânde și, într-un sens, a eficienței.

Înmulțirea „încrucișată”

Cel mai simplu și mai fiabil mod, care garantează egalizarea numitorilor. Vom acționa „în față”: înmulțim prima fracție cu numitorul celei de-a doua fracții, iar pe a doua cu numitorul primei. Ca urmare, numitorii ambelor fracții vor deveni egali cu produsul numitorilor inițiali. Aruncă o privire:

Ca factori suplimentari, luați în considerare numitorii fracțiilor învecinate. Primim:

Da, atât de simplu. Dacă abia începeți să învățați fracții, este mai bine să lucrați cu această metodă - astfel vă veți asigura de multe greșeli și veți avea garantat rezultatul.

Singurul dezavantaj al acestei metode este că trebuie să numărați mult, pentru că numitorii sunt înmulțiți „în față”, și ca urmare, se pot obține numere foarte mari. Acesta este prețul fiabilității.

Metoda divizorului comun

Această tehnică ajută la reducerea considerabil a calculelor, dar, din păcate, este rar folosită. Metoda este următoarea:

1. Uită-te la numitori înainte de a trece „prin” (adică, „încrucișat”). Poate că unul dintre ele (cel mai mare) este divizibil de celălalt.
2. Numărul rezultat dintr-o astfel de împărțire va fi un factor suplimentar pentru o fracție cu un numitor mai mic.
3. În același timp, o fracție cu un numitor mare nu trebuie să fie înmulțită cu nimic - aceasta este economiile. În același timp, probabilitatea de eroare este redusă drastic.

Sarcină. Găsiți valorile expresiei:

Rețineți că 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Deoarece în ambele cazuri un numitor este divizibil fără rest cu celălalt, folosim metoda factorilor comuni. Noi avem:

Rețineți că a doua fracție nu a fost înmulțită cu nimic. De fapt, am redus numărul de calcule la jumătate!

Apropo, am luat fracțiile din acest exemplu pentru un motiv. Dacă sunteți interesat, încercați să le numărați folosind metoda încrucișată. După reducere, răspunsurile vor fi aceleași, dar va fi mult mai mult de lucru.

Aceasta este puterea metodei divizorilor comuni, dar, din nou, poate fi aplicată numai atunci când unul dintre numitori este împărțit la celălalt fără rest. Ceea ce se întâmplă destul de rar.

Metoda multiplă cel mai puțin comună

Când reducem fracțiile la un numitor comun, încercăm în esență să găsim un număr care este divizibil cu fiecare dintre numitori. Apoi aducem numitorii ambelor fracții la acest număr.

Există o mulțime de astfel de numere, iar cel mai mic dintre ele nu va fi neapărat egal cu produsul direct al numitorilor fracțiilor originale, așa cum se presupune în metoda „încrucișată”.

De exemplu, pentru numitorii 8 și 12, numărul 24 este destul de potrivit, deoarece 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Acest număr este mult mai mic decât produsul 8 12 = 96 .

Cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare dintre numitori se numește cel mai mic multiplu comun al acestora (MCM).

Notație: Cel mai mic multiplu comun al lui a și b este notat cu LCM(a ; b ) . De exemplu, LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .

Dacă reușiți să găsiți un astfel de număr, suma totală a calculelor va fi minimă. Uită-te la exemple:

Sarcină. Găsiți valorile expresiei:

Rețineți că 234 = 117 2; 351 = 117 3 . Factorii 2 și 3 sunt coprimi (nu au divizori comuni cu excepția lui 1), iar factorul 117 este comun. Prin urmare, LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

În mod similar, 15 = 5 3; 20 = 5 4 . Factorii 3 și 4 sunt relativ primi, iar factorul 5 este comun. Prin urmare, LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Acum să aducem fracțiile la numitori comuni:

Observați cât de utilă s-a dovedit a fi factorizarea numitorilor inițiali:

1. După ce am găsit aceiași factori, am ajuns imediat la cel mai mic multiplu comun, care, în general, este o problemă nebanală;
2. Din expansiunea rezultată, puteți afla ce factori „lipsesc” pentru fiecare dintre fracții. De exemplu, 234 3 \u003d 702, prin urmare, pentru prima fracție, factorul suplimentar este 3.

Pentru a aprecia cât de mult de câștig oferă metoda multiplă cel mai puțin comun, încercați să calculați aceleași exemple folosind metoda încrucișată. Desigur, fără calculator. Cred că după aceea comentariile vor fi redundante.

Să nu credeți că fracții atât de complexe nu vor fi în exemple reale. Se întâlnesc tot timpul, iar sarcinile de mai sus nu sunt limita!

Singura problemă este cum să găsiți acest NOC. Uneori, totul se găsește în câteva secunde, literalmente „cu ochi”, dar, în general, aceasta este o problemă complexă de calcul care necesită o analiză separată. Aici nu ne vom referi la asta.

Pentru a rezolva exemple cu fracții, trebuie să puteți găsi cel mai mic numitor comun. Mai jos este o instrucțiune detaliată.

Cum să găsiți cel mai mic numitor comun - concept

Cel mai mic numitor comun (LCD) în cuvinte simple este numărul minim care este divizibil cu numitorii tuturor fracțiilor dintr-un exemplu dat. Cu alte cuvinte, se numește cel mai mic multiplu comun (LCM). NOZ este folosit numai dacă numitorii fracțiilor sunt diferiți.

Cum să găsiți cel mai mic numitor comun - exemple

Să luăm în considerare exemple de găsire a NOZ.

Calculați: 3/5 + 2/15.

Soluție (secvență de acțiuni):

• Ne uităm la numitorii fracțiilor, ne asigurăm că sunt diferiți și expresiile sunt reduse cât mai mult posibil.
• Găsim cel mai mic număr care este divizibil atât cu 5, cât și cu 15. Acest număr va fi 15. Astfel, 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Ne-am dat seama de numitorul. Ce va fi la numărător? Un multiplicator suplimentar ne va ajuta să înțelegem acest lucru. Un factor suplimentar este numărul obținut prin împărțirea NOZ la numitorul unei anumite fracții. Pentru 3/5, factorul suplimentar este 3, deoarece 15/5 = 3. Pentru a doua fracție, factorul suplimentar este 1, deoarece 15/15 = 1.
• După ce am aflat factorul suplimentar, îl înmulțim cu numărătorii fracțiilor și adunăm valorile rezultate. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Răspuns: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Dacă în exemplu se adună sau se scad nu 2, ci 3 sau mai multe fracții, atunci NOZ trebuie căutat atâtea fracții câte sunt date.

Calculați: 1/2 - 5/12 + 3/6

Soluție (secvență de acțiuni):

• Găsirea celui mai mic numitor comun. Numărul minim divizibil cu 2, 12 și 6 este 12.
• Se obține: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Căutăm multiplicatori suplimentari. Pentru 1/2 - 6; pentru 5/12 - 1; pentru 3/6 - 2.
• Înmulțim cu numărători și atribuim semnele corespunzătoare: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Raspuns: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.