Acesta este unghiul format din doi acorduri provenind dintr-un punct al cercului. Se spune că un unghi înscris este se bazează pe un arc închis între laturile sale.
Unghi înscris egal cu jumătate din arcul pe care se sprijină.
Cu alte cuvinte, unghi înscris include tot atâtea grade, minute și secunde cât grade de arc, minutele și secundele sunt incluse în jumătate din arcul pe care se bazează. Pentru justificare, analizăm trei cazuri:
Primul caz:
Centrul O este situat pe lateral unghi înscris ABS. Desenând raza AO, obținem ΔABO, în care OA = OB (ca raze) și, în consecință, ∠ABO = ∠BAO. În legătură cu aceasta triunghi, unghiul AOC este extern. Și astfel, este egal cu suma unghiurilor ABO și BAO, sau egală cu unghiul dublu ABO. Deci ∠ABO este jumătate colțul central AOC. Dar acest unghi este măsurat prin arcul AC. Adică, unghiul înscris ABC este măsurat cu jumătate din arcul AC.
Al doilea caz:
Centrul O este situat între laturi unghi înscris ABC După trasarea diametrului BD, împărțim unghiul ABC în două unghiuri, dintre care, conform celor stabilite în primul caz, unul se măsoară la jumătate. arcuri AD, iar cealaltă jumătate a arcului CD. Și în consecință, unghiul ABC este măsurat cu (AD + DC) / 2, adică. 1/2 AC.
Al treilea caz:
Centrul O este situat în exterior unghi înscris ABS. După ce am tras diametrul BD, vom avea: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Dar unghiurile ABD și CBD sunt măsurate, pe baza jumătăților fundamentate anterior arcuri AD și CD. Și deoarece ∠ABС este măsurat cu (AD-CD)/2, adică jumătate din arcul AC.
Consecința 1. Oricare, bazate pe același arc sunt la fel, adică sunt egale între ele. Deoarece fiecare dintre ele este măsurat cu jumătate din același arcuri .
Consecința 2. Unghi înscris, pe baza diametrului - unghi drept. Deoarece fiecare astfel de unghi este măsurat cu o jumătate de semicerc și, în consecință, conține 90 °.
Unghi înscris, teoria problemei. Prieteni! În acest articol vom vorbi despre sarcini, pentru a căror rezolvare este necesar să cunoaștem proprietățile unui unghi înscris. Acesta este un întreg grup de sarcini, acestea sunt incluse în examen. Cele mai multe dintre ele sunt rezolvate foarte simplu, într-un singur pas.
Există sarcini mai dificile, dar nu vă vor prezenta prea multe dificultăți, trebuie să cunoașteți proprietățile unghiului înscris. Treptat, vom analiza toate prototipurile de sarcini, vă invit pe blog!
Acum teoria necesară. Amintiți-vă ce unghi central și înscris, coardă, arc, pe care se bazează aceste unghiuri:
Unghiul central dintr-un cerc se numește unghi plat cuculmea în centrul său.
Partea unui cerc care se află în interiorul unui colț platnumit arc de cerc.
Măsura gradului unui arc de cerc este măsura graduluiunghiul central corespunzător.
Un unghi se numește înscris într-un cerc dacă vârful unghiului se aflăpe un cerc, iar laturile unghiului intersectează acest cerc.
Se numește un segment de dreaptă care leagă două puncte dintr-un cerccoardă. Coarda cea mai lungă trece prin centrul cercului și se numeștediametru.
Pentru a rezolva probleme pentru unghiuri înscrise într-un cerc,trebuie să cunoașteți următoarele proprietăți:
1. Unghiul înscris este egal cu jumătate din unghiul central bazat pe același arc.
2. Toate unghiurile înscrise bazate pe același arc sunt egale.
3. Toate unghiurile înscrise bazate pe aceeași coardă, ale căror vârfuri se află pe aceeași parte a acestei coarde, sunt egale.
4. Orice pereche de unghiuri bazată pe aceeași coardă, ale căror vârfuri se află pe părți opuse ale coardei, se adună până la 180°.
Corolar: Unghiurile opuse ale unui patrulater înscris într-un cerc se adună până la 180 de grade.
5. Toate unghiurile înscrise în funcție de diametru sunt drepte.
În general, această proprietate este o consecință a proprietății (1), acesta este cazul ei particular. Uite - unghiul central este egal cu 180 de grade (și acest unghi dezvoltat nu este altceva decât un diametru), ceea ce înseamnă că, conform primei proprietăți, unghiul înscris C este egal cu jumătatea sa, adică 90 de grade.
Cunoașterea acestei proprietăți ajută la rezolvarea multor probleme și vă permite adesea să evitați calculele inutile. După ce o stăpânești bine, vei putea rezolva mai mult de jumătate din acest tip de probleme oral. Două consecințe care pot fi făcute:
Corolarul 1: dacă un triunghi este înscris într-un cerc și una dintre laturile acestuia coincide cu diametrul acestui cerc, atunci triunghiul este dreptunghic (vârful unghiului drept se află pe cerc).
Corolarul 2: Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic coincide cu mijlocul ipotenuzei acestuia.
Multe prototipuri de probleme stereometrice sunt de asemenea rezolvate prin utilizarea acestei proprietăți și a acestor corolare. Amintiți-vă faptul în sine: dacă diametrul unui cerc este o latură a unui triunghi înscris, atunci acest triunghi este dreptunghic (unghiul opus diametrului este de 90 de grade). Toate celelalte concluzii și consecințe le poți trage singur, nu trebuie să le înveți.
De regulă, jumătate din problemele pentru un unghi înscris sunt date cu o schiță, dar fără notație. Pentru a înțelege procesul de raționament la rezolvarea problemelor (mai jos în articol), sunt introduse denumirile vârfurilor (colțurilor). La examen, nu poți face asta.Luați în considerare sarcinile:
Ce este un unghi ascuțit înscris care interceptează o coardă egală cu raza cercului? Dați răspunsul în grade.
Să construim un unghi central pentru un unghi înscris dat, notăm vârfurile:
După proprietatea unui unghi înscris într-un cerc:
Unghiul AOB este egal cu 60 0, deoarece triunghiul AOB este echilateral, iar într-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt egale cu 60 0 . Laturile triunghiului sunt egale, deoarece condiția spune că coarda este egală cu raza.
Astfel, unghiul înscris DIA este 30 0 .
Raspuns: 30
Găsiți coarda pe care se sprijină unghiul 30 0, înscrisă într-un cerc cu raza 3.
Aceasta este în esență problema inversă (a celei anterioare). Să construim un colț central.
Este de două ori mai mare decât cel înscris, adică unghiul AOB este 60 0 . Din aceasta putem concluziona că triunghiul AOB este echilateral. Astfel, coarda este egală cu raza, adică trei.
Raspuns: 3
Raza cercului este 1. Aflați valoarea unui unghi obtuz înscris pe baza unei coarde egală cu rădăcina lui doi. Dați răspunsul în grade.
Să construim unghiul central:
Cunoscând raza și coarda, putem găsi unghiul central DIA. Acest lucru se poate face folosind legea cosinusurilor. Cunoscând unghiul central, putem găsi cu ușurință unghiul înscris ACB.
Teorema cosinusului: pătratul oricărei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, fără a dubla produsul acestor laturi cu cosinusul unghiului dintre ele.
Prin urmare, al doilea unghi central este 360 0 – 90 0 = 270 0 .
Conform proprietății unui unghi înscris, unghiul DIA este egal cu jumătatea sa, adică 135 de grade.
Raspuns: 135
Găsiți coarda pe care unghiul de 120 de grade, rădăcina lui trei, este înscris într-un cerc cu rază.
Conectați punctele A și B cu centrul cercului. Să-i spunem O:
Cunoaștem raza și unghiul înscris DIA. Putem găsi unghiul central AOB (mai mare de 180 de grade), apoi găsim unghiul AOB în triunghiul AOB. Și apoi, folosind teorema cosinusului, calculați AB.
Prin proprietatea unui unghi înscris, unghiul central AOB (care este mai mare de 180 de grade) va fi egal cu dublul unghiului înscris, adică 240 de grade. Aceasta înseamnă că unghiul AOB din triunghiul AOB este 360 0 - 240 0 = 120 0 .
Conform legii cosinusului:
Răspuns: 3
Găsiți unghiul înscris pe baza arcului care este 20% din cerc. Dați răspunsul în grade.
Prin proprietatea unui unghi înscris, este jumătate din dimensiunea unghiului central pe baza aceluiași arc, în acest caz vorbim despre arcul AB.
Se spune că arcul AB este de 20 la sută din circumferință. Aceasta înseamnă că unghiul central AOB este, de asemenea, 20 la sută din 360 0 .* Un cerc este un unghi de 360 de grade. Mijloace,
Astfel, unghiul înscris ACB este de 36 de grade.
Raspuns: 36
arc de cerc AC, neconținând puncte B, este de 200 de grade. Și arcul de cerc BC, care nu conține puncte A, este de 80 de grade. Aflați unghiul înscris ACB. Dați răspunsul în grade.
Să notăm pentru claritate arcele ale căror măsuri unghiulare sunt date. Arcul corespunzător la 200 de grade este albastru, arcul corespunzător la 80 de grade este roșu, restul cercului este galben.
Astfel, gradul de măsurare a arcului AB (galben), și deci unghiul central AOB este: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .
Unghiul înscris DAB este jumătate din unghiul central AOB, adică egal cu 40 de grade.
Raspuns: 40
Care este unghiul înscris în funcție de diametrul cercului? Dați răspunsul în grade.
Astăzi ne vom uita la un alt tip de probleme 6 - de data aceasta cu un cerc. Mulți studenți nu le plac și le sunt dificile. Și este complet în zadar, deoarece astfel de sarcini sunt rezolvate elementar daca stii niste teoreme. Sau nu îndrăznesc deloc, dacă nu sunt cunoscuți.
Înainte de a vorbi despre principalele proprietăți, permiteți-mi să vă reamintesc definiția:
Un unghi înscris este unul al cărui vârf se află pe cerc însuși, iar laturile taie o coardă pe acest cerc.
Un unghi central este orice unghi cu un vârf în centrul cercului. Laturile sale intersectează, de asemenea, acest cerc și sculptează o coardă pe el.
Deci, conceptele de unghi înscris și central sunt indisolubil legate de un cerc și acorduri în interiorul acestuia. Acum pentru declarația principală:
Teorema. Unghiul central este întotdeauna de două ori unghiul înscris pe baza aceluiași arc.
În ciuda simplității afirmației, există o întreagă clasă de probleme 6 care sunt rezolvate cu ajutorul acesteia - și nimic altceva.
O sarcină. Găsiți un unghi ascuțit înscris pe baza unei coarde egală cu raza cercului.
Fie AB coarda luată în considerare, O centrul cercului. Construcție suplimentară: OA și OB sunt raze de cerc. Primim:
Luați în considerare triunghiul ABO. În ea AB = OA = OB - toate laturile sunt egale cu raza cercului. Prin urmare, triunghiul ABO este echilateral și toate unghiurile din el sunt de 60°.
Fie M vârful unghiului înscris. Deoarece unghiurile O și M se bazează pe același arc AB , unghiul înscris M este de 2 ori mai mic decât unghiul central O . Avem:
M=0:2=60:2=30
O sarcină. Unghiul central este cu 36° mai mare decât unghiul înscris pe baza aceluiași arc de cerc. Găsiți unghiul înscris.
Să introducem notația:
- AB este coarda cercului;
- Punctul O este centrul cercului, deci unghiul AOB este central;
- Punctul C este vârful unghiului înscris ACB.
Deoarece căutăm unghiul înscris ACB , să-l notăm ACB = x . Atunci unghiul central AOB este x + 36. Pe de altă parte, unghiul central este de două ori unghiul înscris. Avem:
AOB = 2 ACB;
x + 36 = 2 x;
x=36.
Deci am găsit unghiul înscris AOB - este egal cu 36 °.
Un cerc este un unghi de 360°
După ce au citit subtitrarea, probabil că cititorii cunoscători vor spune acum: „Fu!” Într-adevăr, nu este în întregime corect să compari un cerc cu un unghi. Pentru a înțelege despre ce vorbim, aruncați o privire la cercul trigonometric clasic:
De ce această poză? Și la faptul că o rotație completă este un unghi de 360 de grade. Și dacă îl împărțiți în, să zicem, 20 de părți egale, atunci dimensiunea fiecăreia dintre ele va fi 360: 20 = 18 grade. Acesta este exact ceea ce este necesar pentru a rezolva problema B8.
Punctele A, B și C se află pe un cerc și îl împart în trei arce, ale căror măsuri de grad sunt legate ca 1: 3: 5. Aflați cel mai mare unghi al triunghiului ABC.
Mai întâi, să găsim măsura gradului fiecărui arc. Fie cel mai mic dintre ele egal cu x. Acest arc este etichetat AB în figură. Atunci arcele rămase - BC și AC - pot fi exprimate în termeni de AB: arcul BC = 3x; AC=5x. Aceste arcuri se adună până la 360 de grade:
AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x=360;
x=40.
Acum considerăm un arc mare AC care nu conține punctul B . Acest arc, ca și unghiul central corespunzător AOC , este 5x = 5 40 = 200 de grade.
Unghiul ABC este cel mai mare dintre toate unghiurile dintr-un triunghi. Este un unghi înscris bazat pe același arc ca unghiul central AOC. Deci unghiul ABC este de 2 ori mai mic decât AOC. Avem:
ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100
Aceasta va fi măsura în grade a celui mai mare unghi din triunghiul ABC.
Cerc circumscris unui triunghi dreptunghic
Mulți oameni uită această teoremă. Dar degeaba, pentru că unele sarcini B8 nu pot fi rezolvate deloc fără el. Mai exact, sunt rezolvate, dar cu un asemenea volum de calcule încât ai prefera să adormi decât să ajungi la răspuns.
Teorema. Centrul unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic se află la mijlocul ipotenuzei.
Ce rezultă din această teoremă?
- Punctul de mijloc al ipotenuzei este echidistant de toate vârfurile triunghiului. Aceasta este o consecință directă a teoremei;
- Mediana trasată la ipotenuză împarte triunghiul inițial în două triunghiuri isoscele. Acesta este exact ceea ce este necesar pentru a rezolva problema B8.
Mediana CD este desenată în triunghiul ABC. Unghiul C este de 90° și unghiul B este de 60°. Găsiți unghiul ACD.
Deoarece unghiul C este de 90°, triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic. Se pare că CD este mediana atrasă de ipotenuză. Deci triunghiurile ADC și BDC sunt isoscele.
În special, luați în considerare triunghiul ADC . În el AD = CD . Dar într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale - vezi "Problema B8: segmente și unghiuri în triunghiuri". Prin urmare, unghiul dorit ACD = A.
Deci, rămâne de aflat cu ce este egal unghiul A. Pentru a face acest lucru, ne întoarcem din nou la triunghiul original ABC. Se notează unghiul A = x . Deoarece suma unghiurilor din orice triunghi este 180°, avem:
A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x=30.
Desigur, ultima problemă poate fi rezolvată în alt mod. De exemplu, este ușor de demonstrat că triunghiul BCD nu este doar isoscel, ci echilateral. Deci unghiul BCD este de 60 de grade. Prin urmare, unghiul ACD este 90 − 60 = 30 de grade. După cum puteți vedea, puteți utiliza diferite triunghiuri isoscele, dar răspunsul va fi întotdeauna același.
Nivel mediu
Cercul și unghiul înscris. Ghid vizual (2019)
Termeni de bază.
Cât de bine îți amintești toate numele asociate cercului? Pentru orice eventualitate, ne amintim - uitați-vă la imagini - reîmprospătați-vă cunoștințele.
In primul rand - Centrul unui cerc este un punct de la care toate punctele cercului sunt la aceeași distanță.
in al doilea rand - rază - un segment de dreaptă care leagă centrul și un punct de pe cerc.
Sunt foarte multe raze (atâte câte puncte sunt pe un cerc), dar toate razele au aceeași lungime.
Uneori pe scurt rază ei o numesc lungimea segmentului„centrul este un punct pe cerc”, și nu segmentul în sine.
Și iată ce se întâmplă dacă legați două puncte pe un cerc? De asemenea, o tăietură?
Deci, acest segment se numește "coardă".
La fel ca și în cazul razei, diametrul este adesea numit lungimea unui segment care leagă două puncte dintr-un cerc și care trece prin centru. Apropo, cum sunt legate diametrul și raza? Privește cu atenție. Desigur, raza este jumătate din diametru.
Pe lângă acorduri, există și secantă.
Îți amintești cel mai simplu?
Unghiul central este unghiul dintre două raze.
Și acum unghiul înscris
Un unghi înscris este unghiul dintre două coarde care se intersectează într-un punct al unui cerc.
În acest caz, ei spun că unghiul înscris se bazează pe un arc (sau pe o coardă).
Uitate la imagine:
Măsurarea arcurilor și unghiurilor.
Circumferinţă. Arcurile și unghiurile sunt măsurate în grade și radiani. În primul rând, despre grade. Nu există probleme pentru unghiuri - trebuie să învățați cum să măsurați arcul în grade.
Măsura gradului (valoarea arcului) este valoarea (în grade) a unghiului central corespunzător
Ce înseamnă aici cuvântul „corespunzător”? Să ne uităm cu atenție:
Vedeți cele două arce și cele două unghiuri centrale? Ei bine, un arc mai mare corespunde unui unghi mai mare (și e în regulă că este mai mare), iar un arc mai mic corespunde unui unghi mai mic.
Deci, am fost de acord: arcul conține același număr de grade ca și unghiul central corespunzător.
Și acum despre teribil - despre radiani!
Ce fel de animal este acest „radian”?
Imaginează-ți asta: radianii sunt o modalitate de a măsura un unghi... în raze!
Un unghi radian este un unghi central a cărui lungime a arcului este egală cu raza cercului.
Atunci apare întrebarea - câți radiani sunt într-un unghi îndreptat?
Cu alte cuvinte: câte raze „încap” într-o jumătate de cerc? Sau într-un alt fel: de câte ori lungimea unei jumătate de cerc este mai mare decât raza?
Această întrebare a fost pusă de oamenii de știință din Grecia antică.
Și așa, după o lungă căutare, au descoperit că raportul dintre circumferință și rază nu vrea să fie exprimat în numere „umane”, cum ar fi etc.
Și nici măcar nu se poate exprima această atitudine prin rădăcini. Adică, se dovedește că nu se poate spune că jumătate din cerc este de două ori ori mai mare decât raza! Îți poți imagina cât de uimitor a fost să descoperi oameni pentru prima dată?! Pentru raportul dintre lungimea unui semicerc și rază, numerele „normale” au fost suficiente. A trebuit să introduc o scrisoare.
Deci, este un număr care exprimă raportul dintre lungimea unui semicerc și raza.
Acum putem răspunde la întrebarea: câți radiani sunt într-un unghi drept? Are un radian. Tocmai pentru că jumătate din cerc este de două ori mai mare decât raza.
Oameni străvechi (și nu așa) de-a lungul veacurilor (!) au încercat să calculeze mai precis acest număr misterios, să-l exprime mai bine (cel puțin aproximativ) prin numere „obișnuite”. Și acum suntem incredibil de leneși - două semne după ocupat ne sunt suficiente, suntem obișnuiți
Gândește-te, asta înseamnă, de exemplu, că y al unui cerc cu o rază de unu este aproximativ egală în lungime și este pur și simplu imposibil să notezi această lungime cu un număr „uman” - ai nevoie de o literă. Și atunci această circumferință va fi egală. Și, desigur, circumferința razei este egală.
Să revenim la radiani.
Am aflat deja că un unghi drept conține un radian.
Ce avem:
Atât de bucuros, asta e bucuros. În același mod, se obține o placă cu cele mai populare unghiuri.
Raportul dintre valorile unghiurilor înscrise și centrale.
Există un fapt uimitor:
Valoarea unghiului înscris este jumătate din cea a unghiului central corespunzător.
Vedeți cum arată această afirmație în imagine. Un unghi central „corespondent” este unul în care capetele coincid cu capetele unghiului înscris, iar vârful este în centru. Și, în același timp, unghiul central „corespunzător” trebuie „să se uite” la aceeași coardă () cu unghiul înscris.
De ce asa? Să ne uităm mai întâi la un caz simplu. Lasă unul dintre acorduri să treacă prin centru. La urma urmei, asta se întâmplă uneori, nu?
Ce se intampla aici? Considera. Este isoscel - la urma urmei și sunt raze. Deci, (le-a desemnat).
Acum să ne uităm la. Acesta este colțul exterior! Reamintim că un unghi extern este egal cu suma a două unghiuri interne care nu sunt adiacente lui și scriem:
Acesta este! Un efect neașteptat. Dar există și un unghi central pentru cel înscris.
Deci, pentru acest caz, am demonstrat că unghiul central este de două ori unghiul înscris. Dar este un caz dureros de special: este adevărat că acordul nu trece întotdeauna drept prin centru? Dar nimic, acum acest caz special ne va ajuta foarte mult. Vezi: al doilea caz: lasă centrul să se afle înăuntru.
Să facem asta: desenați un diametru. Și apoi... vedem două poze care au fost deja analizate în primul caz. Prin urmare, avem deja
Deci (pe desen, a)
Ei bine, ultimul caz rămâne: centrul este în afara colțului.
Facem același lucru: trageți un diametru printr-un punct. Totul este la fel, dar în loc de sumă - diferența.
Asta e tot!
Să formăm acum două consecințe principale și foarte importante ale afirmației că unghiul înscris este jumătate din cel central.
Corolarul 1
Toate unghiurile înscrise care intersectează același arc sunt egale.
Ilustram:
Există nenumărate unghiuri înscrise bazate pe același arc (avem acest arc), pot arăta complet diferit, dar toate au același unghi central (), ceea ce înseamnă că toate aceste unghiuri înscrise sunt egale între ele.
Consecința 2
Unghiul bazat pe diametru este un unghi drept.
Uite: care colț este central?
Desigur, . Dar el este egal! Ei bine, de aceea (precum și o mulțime de unghiuri înscrise pe baza) și este egal cu.
Unghiul dintre două acorduri și secante
Dar dacă unghiul care ne interesează NU este înscris și NU central, ci, de exemplu, așa:
sau asa?
Se poate exprima cumva prin niște unghiuri centrale? Se pare că poți. Uite, suntem interesați.
a) (ca colț exterior pentru). Dar - înscris, pe baza arcului - . - înscrisă, pe baza arcului - .
Pentru frumusete se spune:
Unghiul dintre coarde este egal cu jumătate din suma valorilor unghiulare ale arcelor incluse în acest unghi.
Acest lucru este scris pentru concizie, dar, desigur, atunci când utilizați această formulă, trebuie să aveți în vedere unghiurile centrale
b) Și acum - „afară”! Cum să fii? Da, aproape la fel! Abia acum (aplicați din nou proprietatea colțului exterior la). Asta este acum.
Si asta inseamnă . Să aducem frumusețe și concizie în înregistrări și formulări:
Unghiul dintre secante este egal cu jumătate din diferența dintre valorile unghiulare ale arcelor incluse în acest unghi.
Ei bine, acum sunteți înarmat cu toate cunoștințele de bază despre unghiurile asociate unui cerc. Înainte, la asaltul sarcinilor!
CERCUL ȘI UNGHIUL INCORDAT. NIVEL MEDIU
Ce este un cerc, chiar și un copil de cinci ani știe, nu? Matematicienii, ca întotdeauna, au o definiție abstrusă asupra acestui subiect, dar nu o vom da (vezi), ci mai degrabă ne amintim cum se numesc punctele, liniile și unghiurile asociate unui cerc.
Condiții importante
In primul rand:
| centrul cercului- un punct de la care distanțele de la care până la toate punctele cercului sunt aceleași. |
În al doilea rând:
Există o altă expresie acceptată aici: „coarda contractă arcul”. Aici, aici în figură, de exemplu, o coardă contractează un arc. Și dacă coarda trece brusc prin centru, atunci are o denumire specială: „diametru”.
Apropo, cum sunt legate diametrul și raza? Privește cu atenție. Desigur,
Și acum - numele pentru colțuri.
Desigur, nu-i așa? Laturile colțului ies din centru, ceea ce înseamnă că colțul este central.
Aici apar uneori dificultăți. Fiţi atenți - NU NICIUN unghi în interiorul unui cerc este înscris, ci doar unul al cărui vârf „se așează” pe cerc însuși.
Sa vedem diferenta in poze:
De asemenea, ei spun diferit:
Există un punct dificil aici. Ce este un unghi central „corespondent” sau „propriu”? Doar un unghi cu vârf în centrul cercului și se termină la capetele arcului? Nu cu siguranță în acest fel. Uitate la imagine.
Unul dintre ele, însă, nici nu arată ca un colț - este mai mare. Dar într-un triunghi nu pot exista mai multe unghiuri, ci într-un cerc - se poate! Deci: unui arc mai mic AB corespunde unui unghi mai mic (portocaliu), iar unul mai mare unuia mai mare. La fel, nu-i așa?
Relația dintre unghiurile înscrise și centrale
Amintiți-vă o afirmație foarte importantă:
În manuale, le place să scrie același fapt astfel:
Adevărat, cu un unghi central, formularea este mai simplă?
Dar totuși, să găsim o corespondență între cele două formulări și, în același timp, să învățăm să găsim în figuri unghiul central „corespondent” și arcul pe care „se sprijină” unghiul înscris.
Uite, iată un cerc și un unghi înscris:
Unde este unghiul său central „corespondent”?
Să ne uităm din nou:
Care este regula?
Dar! În acest caz, este important ca unghiurile înscrise și centrale „să arate” pe aceeași parte a arcului. De exemplu:
Destul de ciudat, albastru! Pentru că arcul este lung, mai lung decât jumătate de cerc! Așa că nu vă confundați niciodată!
Ce consecință se poate deduce din „jumătatea” unghiului înscris?
Și aici, de exemplu:
Unghi bazat pe diametru
Ați observat deja că matematicienilor le place foarte mult să vorbească despre același lucru în cuvinte diferite? De ce este pentru ei? Vedeți, deși limbajul matematicii este formal, este viu și, prin urmare, ca în limbajul obișnuit, de fiecare dată când doriți să o spuneți într-un mod mai convenabil. Ei bine, am văzut deja ce este „unghiul se sprijină pe arc”. Și imaginați-vă, aceeași imagine se numește „unghiul se sprijină pe coardă”. Pe ce? Da, desigur, pe cel care trage acest arc!
Când este mai convenabil să te bazezi pe o coardă decât pe un arc?
Ei bine, în special, când această coardă este un diametru.
Există o declarație uimitor de simplă, frumoasă și utilă pentru o astfel de situație!
Uite: aici este un cerc, un diametru și un unghi care se sprijină pe el.
CERCUL ȘI UNGHIUL INCORDAT. SCURT DESPRE PRINCIPALA
1. Concepte de bază.
3. Măsurătorile arcurilor și unghiurilor.
Un unghi radian este un unghi central a cărui lungime a arcului este egală cu raza cercului.
Acesta este un număr care exprimă raportul dintre lungimea unui semicerc și raza.
Circumferința razei este egală cu.
4. Raportul dintre valorile unghiurilor înscrise și centrale.
Unghiul ABC este un unghi înscris. Se sprijină pe arcul AC, închis între laturile sale (Fig. 330).
Teorema. Un unghi înscris este măsurat cu jumătate din arcul pe care îl interceptează.
Acest lucru trebuie înțeles după cum urmează: un unghi înscris conține tot atâtea grade unghiulare, minute și secunde câte grade de arc, minute și secunde sunt conținute în jumătatea arcului pe care se sprijină.
Pentru a demonstra această teoremă, trebuie să luăm în considerare trei cazuri.
Primul caz. Centrul cercului se află pe partea unghiului înscris (Fig. 331).
Fie ∠ABC un unghi înscris și centrul cercului O se află pe latura BC. Este necesar să se demonstreze că se măsoară cu jumătate din arcul AC.
Conectați punctul A la centrul cercului. Obținem isoscelul \(\Delta\)AOB, în care AO = OB, ca razele aceluiași cerc. Prin urmare, ∠A = ∠B.
∠AOC este extern triunghiului AOB, deci ∠AOC = ∠A + ∠B, iar din moment ce unghiurile A și B sunt egale, ∠B este 1/2 ∠AOC.
Dar ∠AOC este măsurat cu arcul AC, prin urmare ∠B este măsurat cu jumătate din arcul AC.
De exemplu, dacă \(\breve(AC)\) conține 60°18', atunci ∠B conține 30°9'.
Al doilea caz. Centrul cercului se află între laturile unghiului înscris (Fig. 332).
Fie ∠ABD un unghi înscris. Centrul cercului O se află între laturile sale. Este necesar să se demonstreze că ∠ABD se măsoară cu jumătate din arcul AD.
Pentru a demonstra acest lucru, să desenăm diametrul BC. Unghiul ABD împărțit în două unghiuri: ∠1 și ∠2.
∠1 este măsurat cu jumătate din arcul AC și ∠2 este măsurat cu jumătate din arcul CD, prin urmare, întregul ∠ABD este măsurat cu 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), adică jumătate din arcul AD.
De exemplu, dacă \(\breve(AD)\) conține 124°, atunci ∠B conține 62°.
Al treilea caz. Centrul cercului se află în afara unghiului înscris (Fig. 333).
Fie ∠MAD un unghi înscris. Centrul cercului O este în afara colțului. Este necesar să se demonstreze că ∠MAD se măsoară cu jumătate din arcul MD.
Pentru a demonstra acest lucru, să desenăm diametrul AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Dar ∠MAB măsoară 1/2 \(\breve(MB)\) și ∠DAB măsoară 1/2 \(\breve(DB)\).
Prin urmare, ∠MAD măsoară 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), adică 1 / 2 \(\breve(MD)\).
De exemplu, dacă \(\breve(MD)\) conține 48° 38", atunci ∠MAD conține 24° 19' 8".
Consecințe
1.
Toate unghiurile înscrise bazate pe același arc sunt egale între ele, deoarece sunt măsurate cu jumătate din același arc
(Fig. 334, a).
2. Un unghi înscris bazat pe un diametru este un unghi drept deoarece se bazează pe o jumătate de cerc. Jumătatea cercului conține 180 de grade de arc, ceea ce înseamnă că unghiul bazat pe diametru conține 90 de grade unghiulare (Fig. 334, b).
