După cum am menționat mai devreme, exemple de distribuții de probabilitate variabilă aleatoare continuă X sunt:
- distribuția uniformă de probabilitate a unei variabile aleatoare continue;
- distribuția exponențială de probabilitate a unei variabile aleatoare continue;
- distributie normala probabilitățile unei variabile aleatoare continue.
Să dăm conceptul de legi de distribuție uniformă și exponențială, formule de probabilitate și caracteristici numerice ale funcțiilor considerate.
| Index | Legea distribuției aleatorii | Legea exponențială a distribuției |
|---|---|---|
| Definiție | Uniformă se numește distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, a cărei densitate rămâne constantă pe interval și are forma | Se numește un exponențial (exponențial). distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, care este descrisă de o densitate având forma |
 unde λ este o valoare pozitivă constantă |
||
| functie de distributie |  |
 |
| Probabilitate lovind intervalul |  |
 |
| Valorea estimata |  |
|
| Dispersia |  |
|
| Deviație standard |  |
Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Legi uniforme și exponențiale ale distribuției”
Sarcina 1.
Autobuzele circulă strict conform programului. Interval de mișcare 7 min. Găsiți: (a) probabilitatea ca un pasager care se oprește să aștepte următorul autobuz mai puțin de două minute; b) probabilitatea ca un pasager care se apropie de oprire să aștepte următorul autobuz timp de cel puțin trei minute; c) așteptarea matematică și abaterea standard a variabilei aleatoare X - timpul de așteptare al pasagerului.
Soluţie. 1. După starea problemei, o variabilă aleatoare continuă X=(timpul de așteptare al pasagerului) distribuite uniform între sosirea a două autobuze. Lungimea intervalului de distribuție a variabilei aleatoare X este egală cu b-a=7, unde a=0, b=7.
2. Timpul de așteptare va fi mai mic de două minute dacă valoarea aleatoare X se încadrează în intervalul (5;7). Probabilitatea de a cădea într-un interval dat se găsește prin formula: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.
3. Timpul de așteptare va fi de cel puțin trei minute (adică de la trei la șapte minute) dacă valoarea aleatoare X se încadrează în intervalul (0; 4). Probabilitatea de a cădea într-un interval dat se găsește prin formula: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.
4. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X continue, uniform distribuită - timpul de așteptare al pasagerului, găsim prin formula: M(X)=(a+b)/2. M (X) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3,5.
5. Abaterea standard a unei variabile aleatoare continue, uniform distribuite X - timpul de așteptare al pasagerului, găsim prin formula: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.
Sarcina 2.
Distribuția exponențială este dată pentru x ≥ 0 de densitatea f(x) = 5e – 5x. Obligatoriu: a) scrieți o expresie pentru funcția de distribuție; b) aflaţi probabilitatea ca, în urma testului, X să se încadreze în intervalul (1; 4); c) să se afle probabilitatea ca în urma testului X ≥ 2; d) se calculează M(X), D(X), σ(X).
Soluţie. 1. Întrucât, prin condiție, distribuție exponențială , apoi din formula pentru densitatea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare X obținem λ = 5. Atunci funcția de distribuție va arăta astfel:
2. Probabilitatea ca în urma testului X să se încadreze în intervalul (1; 4) se va găsi prin formula:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb
.
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .
3. Probabilitatea ca în urma testului X ≥ 2 să fie găsită prin formula: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ =
e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).
4. Găsim pentru distribuția exponențială:
- așteptarea matematică după formula M(X) =1/λ = 1/5 = 0,2;
- dispersie conform formulei D (X) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0,04;
- abaterea standard conform formulei σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1,2.
Această problemă a fost mult timp studiată în detaliu, iar metoda coordonatelor polare, propusă de George Box, Mervyn Muller și George Marsaglia în 1958, a fost cea mai utilizată. Această metodă vă permite să obțineți o pereche de variabile aleatoare independente, distribuite normal, cu medie 0 și varianță 1, după cum urmează:
Unde Z 0 și Z 1 sunt valorile dorite, s \u003d u 2 + v 2 și u și v sunt variabile aleatoare distribuite uniform pe segmentul (-1, 1), selectate astfel încât condiția 0 să fie îndeplinită< s < 1.
Mulți folosesc aceste formule fără nici măcar să se gândească, iar mulți nici măcar nu bănuiesc existența lor, deoarece folosesc implementări gata făcute. Dar sunt oameni care au întrebări: „De unde a venit această formulă? Și de ce obțineți o pereche de valori deodată? În cele ce urmează, voi încerca să dau un răspuns clar la aceste întrebări.
Pentru început, permiteți-mi să vă reamintesc care sunt densitatea de probabilitate, funcția de distribuție a unei variabile aleatoare și funcția inversă. Să presupunem că există o variabilă aleatoare, a cărei distribuție este dată de funcția de densitate f(x), care are următoarea formă:
Aceasta înseamnă că probabilitatea ca valoarea acestei variabile aleatoare să fie în intervalul (A, B) este egală cu aria zonei umbrite. Și, în consecință, aria întregii zone umbrite ar trebui să fie egală cu unitatea, deoarece, în orice caz, valoarea variabilei aleatoare va intra în domeniul funcției f.
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este o integrală a funcției de densitate. Și în acest caz, forma sa aproximativă va fi următoarea:
Aici sensul este că valoarea variabilei aleatoare va fi mai mică decât A cu probabilitatea B. Și, ca urmare, funcția nu scade niciodată, iar valorile sale se află în intervalul .
O funcție inversă este o funcție care returnează argumentul funcției originale dacă treceți valoarea funcției originale în ea. De exemplu, pentru funcția x 2 inversul va fi funcția de extracție a rădăcinii, pentru sin (x) este arcsin (x), etc.
Deoarece majoritatea generatoarelor de numere pseudoaleatoare oferă doar o distribuție uniformă la ieșire, devine adesea necesar să o convertești în alta. În acest caz, la un Gaussian normal:
Baza tuturor metodelor de transformare a unei distribuții uniforme în orice altă distribuție este metoda transformării inverse. Funcționează după cum urmează. Se găsește o funcție care este inversă funcției distribuției cerute și o variabilă aleatoare distribuită uniform pe segmentul (0, 1) îi este transmisă ca argument. La ieșire, obținem o valoare cu distribuția necesară. Pentru claritate, iată următoarea poză.
Astfel, un segment uniform este, parcă, mânjit în conformitate cu noua distribuție, fiind proiectat pe o altă axă printr-o funcție inversă. Dar problema este că integrala densității distribuției gaussiene nu este ușor de calculat, așa că oamenii de știință de mai sus au trebuit să trișeze.
Există o distribuție chi-pătrat (distribuția Pearson), care este distribuția sumei pătratelor a k variabile aleatoare normale independente. Și în cazul în care k = 2, această distribuție este exponențială.
Aceasta înseamnă că, dacă un punct dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular are coordonate aleatoare X și Y distribuite normal, atunci după convertirea acestor coordonate în sistemul polar (r, θ), pătratul razei (distanța de la origine la punct) va fi distribuit exponențial, deoarece pătratul razei este suma pătratelor coordonatelor (conform legii pitagoreice). Densitatea de distribuție a unor astfel de puncte pe plan va arăta astfel:
Deoarece este egal în toate direcțiile, unghiul θ va avea o distribuție uniformă în intervalul de la 0 la 2π. Este adevărat și invers: dacă specificați un punct în sistemul de coordonate polar folosind două variabile aleatoare independente (unghiul distribuit uniform și raza distribuită exponențial), atunci coordonatele dreptunghiulare ale acestui punct vor fi variabile aleatoare normale independente. Și este deja mult mai ușor să obțineți o distribuție exponențială dintr-o distribuție uniformă folosind aceeași metodă de transformare inversă. Aceasta este esența metodei polare Box-Muller.
Acum să luăm formulele.
(1)
Pentru a obține r și θ, este necesar să se genereze două variabile aleatoare distribuite uniform pe segmentul (0, 1) (să le numim u și v), a căror distribuție (să zicem v) trebuie convertită în exponențială în obțineți raza. Funcția de distribuție exponențială arată astfel:
Funcția sa inversă:
Deoarece distribuția uniformă este simetrică, transformarea va funcționa similar cu funcția
Din formula de distribuție chi-pătrat rezultă că λ = 0,5. Inlocuim λ, v in aceasta functie si obtinem patratul razei si apoi raza in sine:
Obținem unghiul prin întinderea segmentului unitar la 2π:
Acum înlocuim r și θ în formulele (1) și obținem:
(2)
Aceste formule sunt gata de utilizare. X și Y vor fi independente și distribuite normal cu o varianță de 1 și o medie de 0. Pentru a obține o distribuție cu alte caracteristici, este suficient să înmulțiți rezultatul funcției cu abaterea standard și să adăugați media.
Dar este posibil să scapi de funcțiile trigonometrice prin specificarea unghiului nu direct, ci indirect prin coordonatele dreptunghiulare ale unui punct aleatoriu dintr-un cerc. Apoi, prin aceste coordonate, va fi posibil să se calculeze lungimea vectorului rază, iar apoi să se găsească cosinusul și sinusul împărțind x și respectiv y la acesta. Cum și de ce funcționează?
Alegem un punct aleatoriu din distribuit uniform în cercul de rază unitară și notăm pătratul lungimii vectorului de rază a acestui punct cu litera s:
Alegerea se face prin atribuirea aleatoare de coordonate dreptunghiulare x și y distribuite uniform în intervalul (-1, 1), și eliminând punctele care nu aparțin cercului, precum și punctul central la care este unghiul vectorului rază. nedefinit. Adică condiția 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
Obținem formulele, ca la începutul articolului. Dezavantajul acestei metode este respingerea punctelor care nu sunt incluse în cerc. Adică, folosind doar 78,5% din variabilele aleatoare generate. Pe computerele mai vechi, lipsa funcțiilor trigonometrice era încă un mare avantaj. Acum, când o instrucțiune de procesor calculează simultan sinus și cosinus într-o clipă, cred că aceste metode pot concura în continuare.
Personal, mai am două întrebări:
- De ce valoarea lui s este distribuită uniform?
- De ce este distribuită exponențial suma pătratelor a două variabile aleatoare normale?
Dacă se face o transformare similară pentru o variabilă aleatorie normală, atunci funcția de densitate a pătratului său se va dovedi a fi similară cu o hiperbolă. Și adăugarea a două pătrate de variabile aleatoare normale este deja un proces mult mai complex asociat cu dubla integrare. Și faptul că rezultatul va fi o distribuție exponențială, personal, îmi rămâne să o verific cu o metodă practică sau să o accept ca pe o axiomă. Și pentru cei interesați, vă sugerez să vă familiarizați cu subiectul mai îndeaproape, extragând cunoștințe din aceste cărți:
- Wentzel E.S. Teoria probabilității
- Knut D.E. Arta programarii Volumul 2
În concluzie, voi da un exemplu de implementare a unui generator de numere aleatoare distribuite normal în JavaScript:
Funcția Gauss() ( var gata = fals; var secundă = 0.0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == nedefinit ? 0.0: mean; dev = dev == nedefinit ? 1.0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1,0; s = u * u + v * v; ) în timp ce (s > 1,0 || s == 0,0); var r = Math.sqrt(-2,0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; return r * v * dev + mean; ) ); ) g = nou Gauss(); // creează un obiect a = g.next(); // generează o pereche de valori și obținem prima b = g.next(); // obținem al doilea c = g.next(); // generează din nou o pereche de valori și obținem prima
Parametrii medie (așteptări matematice) și dev (abatere standard) sunt opționali. Vă atrag atenția că logaritmul este natural.
O distribuție este considerată uniformă dacă toate valorile unei variabile aleatoare (în regiunea existenței sale, de exemplu, în interval) sunt la fel de probabile. Funcția de distribuție pentru o astfel de variabilă aleatoare are forma:
Densitatea de distribuție: 
1
Orez. Grafice ale funcției de distribuție (stânga) și densității de distribuție (dreapta).
Distribuție uniformă - concept și tipuri. Clasificarea și caracteristicile categoriei „Distribuție uniformă” 2017, 2018.
Distribuții discrete de bază ale variabilelor aleatoare Definiție 1. Variabila aleatoare Х, luând valorile 1, 2, …, n, are o distribuție uniformă dacă Pm = P(Х = m) = 1/n, m = 1, …, n . Este evident că. Luați în considerare următoarea problemă: într-o urnă sunt N bile, dintre care M sunt albe... .
Legile distribuției variabilelor aleatoare continue Definiția 5. O variabilă aleatoare continuă X, luând o valoare pe intervalul , are o distribuție uniformă dacă densitatea distribuției are forma. (1) Este ușor de verificat că, . Dacă o variabilă aleatoare... .
O distribuție este considerată uniformă dacă toate valorile unei variabile aleatoare (în regiunea existenței sale, de exemplu, în intervalul ) sunt la fel de probabile. Funcția de distribuție pentru o astfel de variabilă aleatoare are forma: Densitatea distribuției: F(x) f(x) 1 0 a b x 0 a b x ... .
Legile distribuției normale Uniforme, exponențiale și Funcția de densitate de probabilitate a legii uniforme este: (10.17) unde a și b sunt numere date, a< b; a и b – это параметры равномерного закона. Найдем функцию распределения F(x)... .
Distribuția uniformă de probabilitate este cea mai simplă și poate fi fie discretă, fie continuă. O distribuție uniformă discretă este o astfel de distribuție pentru care probabilitatea fiecăreia dintre valorile lui CB este aceeași, adică: unde N este numărul ... .
Definiție 16. O variabilă aleatoare continuă are o distribuție uniformă pe segment, dacă pe acest segment densitatea de distribuție a acestei variabile aleatoare este constantă, iar în afara ei este egală cu zero, adică (45) Graficul densității pentru o distribuție uniformă este arătat ...
Ca exemplu de variabilă aleatoare continuă, luați în considerare o variabilă aleatoare X distribuită uniform pe intervalul (a; b). Spunem că variabila aleatoare X distribuite uniform pe intervalul (a; b), dacă densitatea sa de distribuție nu este constantă pe acest interval:
Din condiția de normalizare, determinăm valoarea constantei c . Aria de sub curba densității distribuției ar trebui să fie egală cu unu, dar în cazul nostru este aria unui dreptunghi cu o bază (b - α) și o înălțime c (Fig. 1). 
Orez. 1 Densitate uniformă de distribuție
De aici găsim valoarea constantei c: 
Deci, densitatea unei variabile aleatoare distribuite uniform este egală cu 
Să găsim acum funcția de distribuție prin formula:
1) pentru 
2) pentru
3) pentru 0+1+0=1.
În acest fel, 
Funcția de distribuție este continuă și nu scade (Fig. 2). 
Orez. 2 Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare distribuite uniform
Sa gasim așteptarea matematică a unei variabile aleatoare distribuite uniform dupa formula:
Varianta uniformă de distribuție se calculează prin formula și este egal cu
Exemplul #1. Valoarea diviziunii la scară a instrumentului de măsură este 0,2. Citirile instrumentului sunt rotunjite la cea mai apropiată diviziune întreagă. Aflați probabilitatea ca în timpul citirii să se facă o eroare: a) mai mică de 0,04; b) mare 0,02
Soluţie. Eroarea de rotunjire este o variabilă aleatoare distribuită uniform pe intervalul dintre diviziunile întregi adiacente. Considerați intervalul (0; 0,2) ca o astfel de împărțire (Fig. a). Rotunjirea poate fi efectuată atât spre marginea stângă - 0, cât și spre dreapta - 0,2, ceea ce înseamnă că o eroare mai mică sau egală cu 0,04 poate fi făcută de două ori, ceea ce trebuie luat în considerare la calcularea probabilității: 
P = 0,2 + 0,2 = 0,4
Pentru al doilea caz, valoarea erorii poate depăși, de asemenea, 0,02 pe ambele granițe de diviziune, adică poate fi fie mai mare decât 0,02, fie mai mică de 0,18. 
Atunci probabilitatea unei erori ca aceasta:
Exemplul #2. S-a presupus că stabilitatea situației economice din țară (absența războaielor, dezastrelor naturale etc.) în ultimii 50 de ani poate fi judecată după natura distribuției populației pe vârstă: într-o situație calmă, ar trebui să fie uniformă. În urma studiului, s-au obținut următoarele date pentru una dintre țări.
Există vreun motiv să credem că a existat o situație instabilă în țară?Efectuăm decizia folosind calculatorul Testarea ipotezei. Tabel pentru calcularea indicatorilor.
| Grupuri | Interval mijloc, x i | Cantitate, fi | x i * f i | Frecvența cumulativă, S | |x - x cf |*f | (x - x sr) 2 *f | Frecvența, f i /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
medie ponderată
Indicatori de variație.
Rate absolute de variație.
Gama de variație este diferența dintre valorile maxime și minime ale atributului seriei primare.
R = X max - X min
R=70 - 0=70
Dispersia- caracterizează măsura răspândirii în jurul valorii sale medii (măsura dispersiei, adică abaterea de la medie).
Deviație standard.
Fiecare valoare a seriei diferă de valoarea medie de 43 cu cel mult 23,92
Testarea ipotezelor despre tipul de distribuție.
4. Testarea ipotezei despre distributie uniforma populatia generala.
Pentru a testa ipoteza unei distribuții uniforme a lui X, i.e. conform legii: f(x) = 1/(b-a) în intervalul (a,b)
necesar:
1. Estimați parametrii a și b - capetele intervalului în care au fost observate posibilele valori ale lui X, conform formulelor (semnul * indică estimările parametrilor):
2. Aflați densitatea de probabilitate a distribuției estimate f(x) = 1/(b * - a *)
3. Găsiți frecvențe teoretice:
n 1 \u003d nP 1 \u003d n \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x 1 - a *)
n 2 \u003d n 3 \u003d ... \u003d n s-1 \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Comparați frecvențele empirice și teoretice folosind testul Pearson, presupunând numărul de grade de libertate k = s-3, unde s este numărul de intervale inițiale de eșantionare; dacă totuși s-a făcut o combinație de frecvențe mici și, prin urmare, intervalele în sine, atunci s este numărul de intervale rămase după combinație.
Soluţie:
1. Găsiți estimările parametrilor a * și b * ai distribuției uniforme folosind formulele:
2. Aflați densitatea distribuției uniforme presupuse:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84,42 - 1,58) = 0,0121
3. Găsiți frecvențele teoretice:
n 1 \u003d n * f (x) (x 1 - a *) \u003d 1 * 0,0121 (10-1,58) \u003d 0,1
n 8 \u003d n * f (x) (b * - x 7) \u003d 1 * 0,0121 (84,42-70) \u003d 0,17
Restul n s vor fi egali:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| i | n i | n*i | n i - n * i | (n i - n* i) 2 | (n i - n * i) 2 /n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| Total | 1 | 0.0532 |
Prin urmare, regiunea critică pentru această statistică este întotdeauna dreptaci: , dacă pe acest segment densitatea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare este constantă, adică dacă funcția de distribuție diferențială f(x) are următoarea formă:
Această distribuție este uneori numită legea densității uniforme. Despre o cantitate care are o distribuție uniformă pe un anumit segment, vom spune că este distribuită uniform pe acest segment.
Aflați valoarea constantei c. Deoarece aria mărginită de curba de distribuţie şi de axă Oh, este egal cu 1, atunci
Unde Cu=1/(b-A).
Acum funcția f(x)poate fi reprezentat ca
Să construim funcția de distribuție
F(x ), pentru care găsim expresia F (x ) pe intervalul [ a, b]:
Graficele funcțiilor f (x) și F (x) arată astfel:
Să găsim caracteristicile numerice.
Folosind formula de calcul a așteptărilor matematice ale NSW, avem:
Astfel, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare distribuită uniform pe intervalul [a, b] coincide cu mijlocul acestui segment.
Găsiți varianța unei variabile aleatoare distribuite uniform:
din care rezultă imediat că abaterea standard:
Să găsim acum probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare cu o distribuție uniformă să cadă pe interval(a, b), aparținând în întregime segmentului [A,b
]:
|
|
Din punct de vedere geometric, această probabilitate este aria dreptunghiului umbrit. Numerele Ași
bnumit parametrii de distribuțieși definiți în mod unic o distribuție uniformă.Exemplul 1. Autobuzele de pe o anumită rută circulă strict conform programului. Interval de mișcare 5 minute. Găsiți probabilitatea ca pasagerul să se apropie de stația de autobuz. Va aștepta următorul autobuz în mai puțin de 3 minute.
Soluţie:
ST - timpul de așteptare al autobuzului are o distribuție uniformă. Atunci probabilitatea dorită va fi egală cu:
Exemplul2. Latura cubului x se măsoară aproximativ. Și
Considerând muchia cubului ca o variabilă aleatoare distribuită uniform în intervalul (
A,b), aflați așteptările matematice și varianța volumului cubului.Soluţie:
Volumul cubului este o variabilă aleatorie determinată de expresia Y \u003d X 3. Atunci așteptarea matematică este:
Dispersie:
Serviciu online:
