În sarcina B14 din USE în matematică, trebuie să găsiți cea mai mică sau cea mai mare valoare a unei funcții a unei variabile. Aceasta este o problemă destul de banală din analiza matematică și tocmai din acest motiv fiecare absolvent de liceu poate și ar trebui să învețe cum să o rezolve în mod normal. Să analizăm câteva exemple pe care școlari le-au rezolvat la lucrarea de diagnosticare la matematică, care a avut loc la Moscova pe 7 decembrie 2011.

În funcție de intervalul pe care doriți să găsiți valoarea maximă sau minimă a funcției, se folosește unul dintre următorii algoritmi standard pentru a rezolva această problemă.

I. Algoritm pentru găsirea celei mai mari sau mai mici valori a unei funcții pe un segment:

• Aflați derivata unei funcții.
• Selectați din punctele suspectate de un extremum pe cele care aparțin unui segment dat și domeniului funcției.
• Calculați valori funcții(nu un derivat!) în aceste puncte.
• Dintre valorile obținute, alegeți cea mai mare sau cea mai mică, va fi cea dorită.

Exemplul 1 Găsiți cea mai mică valoare a unei funcții
y = X 3 – 18X 2 + 81X+ 23 pe segment .

Decizie: acționăm conform algoritmului de găsire a celei mai mici valori a unei funcții pe un segment:

• Domeniul de aplicare al funcției nu este limitat: D(y) = R.
• Derivata functiei este: tu = 3X 2 – 36X+ 81. De asemenea, domeniul de aplicare al derivatei unei funcții nu este limitat: D(y') = R.
• Zerourile derivatei: tu = 3X 2 – 36X+ 81 = 0, deci X 2 – 12X+ 27 = 0, de unde X= 3 și X= 9, intervalul nostru include numai X= 9 (un punct suspect pentru un extremum).
• Găsim valoarea funcției într-un punct suspect de un extremum și la marginile intervalului. Pentru comoditatea calculelor, reprezentăm funcția sub forma: y = X 3 – 18X 2 + 81X + 23 = X(X-9) 2 +23:
  • y(8) \u003d 8 (8-9) 2 +23 \u003d 31;
  • y(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
  • y(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

Deci, din valorile obținute, cel mai mic este 23. Raspuns: 23.

II. Algoritmul pentru găsirea celei mai mari sau mai mici valori a unei funcții:

• Găsiți domeniul de aplicare al funcției.
• Aflați derivata unei funcții.
• Determinați punctele care sunt suspecte de un extremum (acele puncte în care derivata funcției dispare și punctele în care nu există o derivată finită cu două fețe).
• Marcați aceste puncte și domeniul funcției pe dreapta numerică și determinați semnele derivat(nu funcții!) asupra intervalelor rezultate.
• Definiți valori funcții(nu o derivată!) la punctele minime (acele puncte în care semnul derivatei se schimbă de la minus la plus), cea mai mică dintre aceste valori va fi cea mai mică valoare a funcției. Dacă nu există puncte minime, atunci funcția nu are o valoare minimă.
• Definiți valori funcții(nu o derivată!) în punctele maxime (acele puncte în care semnul derivatei se schimbă de la plus la minus), cea mai mare dintre aceste valori va fi cea mai mare valoare a funcției. Dacă nu există puncte maxime, atunci funcția nu are o valoare maximă.

Exemplul 2 Găsiți cea mai mare valoare a funcției.

În iulie 2020, NASA lansează o expediție pe Marte. Nava spațială va livra pe Marte un transportator electronic cu numele tuturor membrilor înregistrați ai expediției.

Dacă această postare ți-a rezolvat problema sau pur și simplu ți-a plăcut, distribuie linkul către ea prietenilor tăi de pe rețelele sociale.

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și sau imediat după etichetă . Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune urmărește și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, atunci acesta va trebui actualizat periodic. Dacă lipiți al doilea cod, atunci paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de încărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să încorporați formule matematice în paginile dvs. web.

Un alt Revelion... vreme geroasă și fulgi de zăpadă pe geamul ferestrei... Toate acestea m-au determinat să scriu din nou despre... fractali și despre ce știe Wolfram Alpha despre asta. Cu această ocazie, există un articol interesant în care există exemple de structuri fractale bidimensionale. Aici vom lua în considerare exemple mai complexe de fractali tridimensionali.

Un fractal poate fi reprezentat vizual (descris) ca o figură geometrică sau un corp (însemnând că ambele sunt o mulțime, în acest caz, un set de puncte), ale căror detalii au aceeași formă ca figura originală în sine. Adică, este o structură auto-similară, având în vedere detaliile căreia, atunci când este mărită, vom vedea aceeași formă ca și fără mărire. În timp ce în cazul unei figuri geometrice obișnuite (nu un fractal), atunci când măriți, vom vedea detalii care au o formă mai simplă decât figura originală în sine. De exemplu, la o mărire suficient de mare, o parte a unei elipse arată ca un segment de linie dreaptă. Acest lucru nu se întâmplă cu fractalii: cu orice creștere a acestora, vom vedea din nou aceeași formă complexă, care cu fiecare creștere se va repeta iar și iar.

Benoit Mandelbrot, fondatorul științei fractalilor, în articolul său Fractals and Art for Science a scris: „Fractalii sunt forme geometrice care sunt la fel de complexe în detalii, precum sunt în forma lor generală. Adică, dacă o parte a fractalului va fi mărită la dimensiunea întregului, va arăta ca întregul, sau exact, sau poate cu o ușoară deformare.

Lasă funcția y=f(X) continuu pe intervalul [ a, b]. După cum se știe, o astfel de funcție își atinge valorile maxime și minime pe acest segment. Funcția poate lua aceste valori fie într-un punct interior al segmentului [ a, b], sau la limita segmentului.

Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe intervalul [ a, b] necesar:

1) găsiți punctele critice ale funcției în intervalul ( a, b);

2) calculați valorile funcției la punctele critice găsite;

3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică pt X=Ași x = b;

4) dintre toate valorile calculate ale funcției, alegeți cea mai mare și cea mai mică.

Exemplu. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții

pe segment.

Găsirea punctelor critice:

Aceste puncte se află în interiorul segmentului; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

la punct X= 3 și la punct X= 0.

Investigarea unei funcții pentru convexitate și un punct de inflexiune.

Funcţie y = f (X) numit convexă intre (A, b) , dacă graficul său se află sub o tangentă desenată în orice punct al acestui interval și se numește convex în jos (concav) dacă graficul său se află deasupra tangentei.

Se numește punctul de tranziție prin care convexitatea este înlocuită cu concavitate sau invers punct de inflexiune.

Algoritm pentru studiul convexității și punctului de inflexiune:

1. Aflați punctele critice de al doilea fel, adică punctele în care derivata a doua este egală cu zero sau nu există.

2. Pune punctele critice pe dreapta numerică, împărțind-o în intervale. Aflați semnul derivatei a doua pe fiecare interval; dacă , atunci funcția este convexă în sus, dacă, atunci funcția este convexă în jos.

3. Dacă, la trecerea printr-un punct critic de al doilea fel, acesta își schimbă semnul și în acest punct derivata a doua este egală cu zero, atunci acest punct este abscisa punctului de inflexiune. Găsiți-i ordonata.

Asimptotele graficului unei funcții. Investigarea unei funcții în asimptote.

Definiție. Asimptota graficului unei funcții se numește Drept, care are proprietatea că distanța de la orice punct al graficului până la această linie tinde spre zero cu o îndepărtare nelimitată a punctului grafic de la origine.

Există trei tipuri de asimptote: vertical, orizontal și înclinat.

Definiție. Apelat direct asimptotă verticală graficul funcției y = f(x), dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției în acest punct este egală cu infinit, adică

unde este punctul de discontinuitate al funcției, adică nu aparține domeniului definiției.

Exemplu.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 - punctul de rupere.

Definiție. Drept y=A numit asimptotă orizontală graficul funcției y = f(x) la , dacă

Exemplu.

X
y

Definiție. Drept y=kx +b (k≠ 0) se numește asimptotă oblică graficul funcției y = f(x) unde

Schemă generală pentru studiul funcțiilor și a graficului.

Algoritm de cercetare a funcțieiy = f(x) :

1. Găsiți domeniul funcției D (y).

2. Găsiți (dacă este posibil) punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate (cu X= 0 și la y = 0).

3. Investigați funcțiile pare și impare ( y (‒ X) = y (X) ‒ paritate; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ ciudat).

4. Găsiți asimptotele graficului funcției.

5. Găsiți intervale de monotonitate ale funcției.

6. Aflați extremele funcției.

7. Aflați intervalele de convexitate (concavitate) și punctele de inflexiune ale graficului funcției.

8. Pe baza cercetărilor efectuate, construiți un grafic al funcției.

Exemplu. Investigați funcția și trasați graficul acesteia.

1) D (y) =

X= 4 - punctul de rupere.

2) Când X = 0,

(0; – 5) – punctul de intersecție cu oi.

La y = 0,

3) y(‒ X)= funcţie generală (nici par, nici impar).

4) Investigam pentru asimptote.

a) verticală

b) orizontală

c) găsi asimptote oblice unde

‒ecuația asimptotă oblică

5) În această ecuație, nu este necesară găsirea intervalelor de monotonitate ale funcției.

6)

Aceste puncte critice împart întregul domeniu al funcției pe intervalul (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) și (10; +∞). Este convenabil să prezentați rezultatele obținute sub forma următorului tabel:

				fara in plus.

Din tabel se vede că punctul X= ‒2‒punct maxim, la punct X= 4‒ fără extremă, X= 10 – punct minim.

Înlocuiți valoarea (‒ 3) în ecuație:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

Maximul acestei funcții este

(– 2; – 4) – extremul maxim.

Minimul acestei funcții este

(10; 20) este extremul minim.

7) examinați convexitatea și punctul de inflexiune al graficului funcției

Conceptul celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții.

Conceptul celor mai mari și mai mici valori este strâns legat de conceptul de punct critic al unei funcții.

Definiția 1

$x_0$ se numește punct critic al funcției $f(x)$ dacă:

1) $x_0$ - punct intern al domeniului de definire;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ sau nu există.

Să introducem acum definițiile celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții.

Definiția 2

O functie $y=f(x)$ definita pe intervalul $X$ isi atinge valoarea maxima daca exista un punct $x_0\in X$ astfel incat pentru toti $x\in X$ inegalitatea

Definiția 3

O functie $y=f(x)$ definita pe intervalul $X$ isi atinge valoarea minima daca exista un punct $x_0\in X$ astfel incat pentru toti $x\in X$ inegalitatea

Teorema lui Weierstrass asupra unei funcții continue pe un interval

Să introducem mai întâi conceptul de funcție continuă pe un interval:

Definiția 4

O funcție $f\left(x\right)$ se numește continuă pe un interval $$ dacă este continuă în fiecare punct al intervalului $(a,b)$ și, de asemenea, continuă în dreapta în punctul $x= a$ iar în stânga în punctul $x =b$.

Să formulăm o teoremă pe o funcție continuă pe un interval.

Teorema 1

Teorema Weierstrass

Funcția $f\left(x\right)$, care este continuă pe intervalul $$, își atinge valorile maxime și minime pe acest interval, adică există puncte $\alpha ,\beta \în $ astfel că pentru toată inegalitatea $x\in $ $f(\alpha)\le f(x)\le f(\beta)$.

Interpretarea geometrică a teoremei este prezentată în figura 1.

Aici funcția $f(x)$ își atinge valoarea minimă în punctul $x=\alpha $ atinge valoarea maximă în punctul $x=\beta $.

Schema de găsire a valorilor mai mari și cele mai mici ale funcției $f(x)$ pe intervalul $$

1) Aflați derivata $f"(x)$;

2) Găsiți punctele în care derivata $f"\left(x\right)=0$;

3) Găsiți puncte în care derivata $f"(x)$ nu există;

4) Alegeţi dintre punctele obţinute la paragrafele 2 şi 3 pe cele care aparţin segmentului $$;

5) Calculati valoarea functiei la punctele obtinute la pasul 4, precum si la capetele segmentului $$;

6) Alegeți dintre valorile obținute cea mai mare și cea mai mică valoare.

Probleme pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții pe un segment

Exemplul 1

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții de pe segment: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Decizie.

1) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $2\in \left,\ 3\in $;

5) Valori:

\ \ \ \

6) Cea mai mare dintre valorile găsite este $33$, cea mai mică dintre valorile găsite este $1$. Astfel, obținem:

Răspuns:$max=33,\ min=1$.

Exemplul 2

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții de pe segment : $f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$

Decizie.

Soluția va fi realizată conform schemei de mai sus.

1) $f"\left(x\right)=3x^2-6x-45$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

3) $f"(x)$ există în toate punctele domeniului de definiție;

4) $-3\notin\left,\5\in $;

5) Valori:

\ \ \

6) Cea mai mare dintre valorile găsite este $225$, cea mai mică dintre valorile găsite este $50$. Astfel, obținem:

Răspuns:$max=225,\ min=50$.

Exemplul 3

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții în intervalul [-2,2]: $f\left(x\right)=\frac(x^2-6x+9)(x-1)$

Decizie.

Soluția va fi realizată conform schemei de mai sus.

1) $f"\left(x\right)=\frac(\left(2x-6\right)\left(x-1\right)-(x^2-6x+9))(((x- 1))^2)=\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)$;

2) $f"\left(x\right)=0$;

\[\frac(x^2-2x-3)(((x-1))^2)=0\] \ \

3) $f"(x)$ nu există în punctul $x=1$

4) $3\not\left[-2,2\right],\ -1\in \left[-2,2\right],\ 1\in \left[-2,2\right]$, totuși 1 nu aparține domeniului de aplicare;

5) Valori:

\ \ \

6) Cea mai mare dintre valorile găsite este $1$, cea mai mică dintre valorile găsite este $-8\frac(1)(3)$. Astfel, obținem: \end(enumerate)

Răspuns:$max=1,\ min==-8\frac(1)(3)$.

Cifrele de mai jos arată unde funcția poate atinge cea mai mică și cea mai mare valoare. În figura din stânga, cele mai mici și cele mai mari valori sunt fixate în punctele minimului și maximului local al funcției. În figura din dreapta - la capetele segmentului.

Dacă funcţia y = f(X) continuu pe intervalul [ A, b] , apoi ajunge pe acest segment cel mai puţin și cele mai mari valori . Acest lucru, după cum am menționat deja, se poate întâmpla fie în puncte extremum sau la capetele segmentului. Prin urmare, pentru a găsi cel mai puţin și cele mai mari valori ale funcției , continuu pe intervalul [ A, b] , trebuie să-i calculați valorile în totalitate puncte criticeși la capetele segmentului, apoi alegeți cel mai mic și cel mai mare dintre ele.

Să fie, de exemplu, este necesar să se determine valoarea maximă a funcției f(X) pe segmentul [ A, b] . Pentru a face acest lucru, găsiți toate punctele sale critice situate pe [ A, b] .

punct critic se numeste punctul in care functie definita, si ea derivat fie este zero, fie nu există. Apoi ar trebui să calculați valorile funcției în punctele critice. Și, în sfârșit, ar trebui să comparăm valorile funcției în punctele critice și la capetele segmentului ( f(A) și f(b) ). Cel mai mare dintre aceste numere va fi cea mai mare valoare a funcției de pe segment [A, b] .

Problema găsirii cele mai mici valori ale funcției .

Căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 2] .

Decizie. Găsim derivata acestei funcții. Echivalează derivata cu zero () și obține două puncte critice: și . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, este suficient să calculați valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul , deoarece punctul nu aparține segmentului [-1, 2] . Aceste valori ale funcției sunt următoarele: , , . Rezultă că cea mai mică valoare a funcției(marcat cu roșu pe graficul de mai jos), egal cu -7, este atins la capătul din dreapta al segmentului - în punctul , și cel mai mare(de asemenea roșu pe grafic), este egal cu 9, - în punctul critic .

Dacă funcția este continuă într-un anumit interval și acest interval nu este un segment (ci este, de exemplu, un interval; diferența dintre un interval și un segment: punctele limită ale intervalului nu sunt incluse în interval, ci punctele de limită ale segmentului sunt incluse în segment), apoi printre valorile funcției este posibil să nu fie cel mai mic și cel mai mare. Deci, de exemplu, funcția descrisă în figura de mai jos este continuă pe ]-∞, +∞[ și nu are cea mai mare valoare.

Cu toate acestea, pentru orice interval (închis, deschis sau infinit), este valabilă următoarea proprietate a funcțiilor continue.

Pentru autoverificare în timpul calculelor, puteți utiliza calculator de derivate online .

Exemplul 4. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment [-1, 3] .

Decizie. Găsim derivata acestei funcții ca derivată a coeficientului:

.

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce ne oferă un punct critic: . Aparține intervalului [-1, 3] . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Să comparăm aceste valori. Concluzie: egal cu -5/13, la punctul și cea mai mare valoare egal cu 1 la punctul .

Continuăm să căutăm împreună cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției

Sunt profesori care, pe tema găsirii celor mai mici și mai mari valori ale unei funcții, nu dau elevilor exemple mai complicate decât cele luate în considerare, adică acelea în care funcția este un polinom sau o fracție, numărătorul. iar numitorul cărora sunt polinoame. Dar nu ne vom limita la astfel de exemple, deoarece printre profesori sunt iubitori de a-i face pe elevi să gândească în întregime (tabelul derivatelor). Prin urmare, se vor folosi logaritmul și funcția trigonometrică.

Exemplul 8. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Decizie. Găsim derivata acestei funcții ca derivat al produsului :

Echivalăm derivata cu zero, ceea ce dă un punct critic: . Aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Rezultatul tuturor acțiunilor: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu 0, într-un punct și într-un punct și cea mai mare valoare egal cu e² , la punctul .

Pentru autoverificare în timpul calculelor, puteți utiliza calculator de derivate online .

Exemplul 9. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe segment .

Decizie. Găsim derivata acestei funcții:

Echivalează derivata cu zero:

Singurul punct critic aparține segmentului . Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale unei funcții pe un anumit segment, găsim valorile acesteia la capetele segmentului și în punctul critic găsit:

Concluzie: funcția își atinge valoarea minimă, egal cu , la punctul și cea mai mare valoare, egal cu , la punctul .

În problemele extreme aplicate, găsirea celor mai mici (mai mari) valori ale funcției, de regulă, se reduce la găsirea minimului (maximului). Dar nu minimele sau maximele în sine prezintă un interes practic mai mare, ci valorile argumentului la care sunt atinse. La rezolvarea problemelor aplicate, apare o dificultate suplimentară - compilarea funcțiilor care descriu fenomenul sau procesul luat în considerare.

Exemplul 10 Un rezervor cu o capacitate de 4, avand forma unui paralelipiped cu baza patrata si deschis in varf, trebuie sa fie cositorit. Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului pentru a-l acoperi cu cea mai mică cantitate de material?

Decizie. Lasa X- partea de bază h- inaltimea rezervorului, S- suprafața sa fără acoperire, V- volumul acestuia. Suprafața rezervorului este exprimată prin formula , adică este o funcție a două variabile. A exprima Sîn funcție de o variabilă, folosim faptul că , de unde . Înlocuind expresia găsită hîn formula pentru S:

Să examinăm această funcție pentru un extremum. Este definită și diferențiabilă peste tot în ]0, +∞[ , și

.

Echivalăm derivata cu zero () și găsim punctul critic. În plus, la , derivata nu există, dar această valoare nu este inclusă în domeniul definiției și, prin urmare, nu poate fi un punct extremum. Deci, - singurul punct critic. Să verificăm prezența unui extremum folosind al doilea semn suficient. Să găsim derivata a doua. Când derivata a doua este mai mare decât zero (). Aceasta înseamnă că atunci când funcția atinge un minim . Pentru că asta minim - singurul extrem al acestei funcții, este cea mai mică valoare a acesteia. Deci, partea bazei rezervorului ar trebui să fie egală cu 2 m și înălțimea acestuia.

Pentru autoverificare în timpul calculelor, puteți utiliza