Se știe că semnul rădăcinii este rădăcina pătrată a unui număr. Cu toate acestea, semnul rădăcinii înseamnă nu numai o operație algebrică, ci este folosit și în prelucrarea lemnului - în calculul dimensiunilor relative.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Dacă vrei să înveți cum să înmulți rădăcinile „cu” sau „fără” factori, atunci acest articol este pentru tine. În ea, vom lua în considerare metode de înmulțire a rădăcinilor:

• fără multiplicatori;
• cu multiplicatori;
• cu indicatori diferiți.

Metoda de multiplicare a rădăcinilor fără multiplicatori

Algoritm de acțiune:

Asigurați-vă că rădăcina are aceleași exponenți (grade). Amintiți-vă că gradul este scris în stânga deasupra semnului rădăcinii. Dacă nu există o desemnare a gradului, aceasta înseamnă că rădăcina este pătrată, adică. cu gradul 2 și poate fi înmulțit cu alte rădăcini cu gradul 2.

Exemplu

Exemplul 1: 18 × 2 = ?

Exemplul 2: 10 × 5 = ?

Exemplu

Exemplul 1: 18 × 2 = 36

Exemplul 2: 10 × 5 = 50

Exemplul 3: 3 3 × 9 3 = 27 3

Simplificați expresiile rădăcină. Când înmulțim rădăcinile între ele, putem simplifica expresia radicală rezultată la produsul unui număr (sau expresie) cu un pătrat sau cub complet:

Exemplu

Exemplul 1: 36 = 6 . 36 este rădăcina pătrată a lui șase (6 × 6 = 36).

Exemplul 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2 . Descompunem numărul 50 în produsul lui 25 și 2. Rădăcina lui 25 este 5, așa că scoatem 5 de sub semnul rădăcinii și simplificăm expresia.

Exemplul 3: 27 3 = 3 . Rădăcina cubă a lui 27 este 3: 3 × 3 × 3 = 27.

Metoda de multiplicare a indicatorilor cu multiplicatori

Algoritm de acțiune:

Înmulțiți multiplicatorii. Multiplicatorul este numărul care vine înaintea semnului rădăcină. În absența unui multiplicator, acesta este, implicit, considerat unul. În continuare, trebuie să înmulțiți factorii:

Exemplu

Exemplul 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 x 1 = 3

Exemplul 2: 4 3 × 3 6 = 12 ? 4 x 3 = 12

Înmulțiți numerele de sub semnul rădăcinii. După ce ați înmulțit factorii, nu ezitați să înmulțiți numerele de sub semnul rădăcinii:

Exemplu

Exemplul 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20

Exemplul 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18

Simplificați expresia rădăcină.În continuare, ar trebui să simplificați valorile care se află sub semnul rădăcinii - trebuie să scoateți numerele corespunzătoare din semnul rădăcinii. După aceea, trebuie să înmulțiți numerele și factorii care vin înaintea semnului rădăcină:

Exemplu

Exemplul 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5

Exemplul 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2

Metoda înmulțirii rădăcinilor cu exponenți diferiți

Algoritm de acțiune:

Găsiți cel mai mic multiplu comun (LCM) al exponenților. Cel mai mic multiplu comun este cel mai mic număr divizibil cu ambii exponenți.

Exemplu

Este necesar să se găsească LCM al indicatorilor pentru următoarea expresie:

Exponenții sunt 3 și 2. Pentru aceste două numere, cel mai mic multiplu comun este numărul 6 (este divizibil fără rest cu 3 și 2). Pentru a înmulți rădăcinile, este nevoie de un exponent de 6.

Scrieți fiecare expresie cu un nou exponent:

Găsiți numerele cu care trebuie să înmulțiți indicatorii pentru a obține LCM.

În expresia 5 3 trebuie să înmulțiți 3 cu 2 pentru a obține 6 . Și în expresia 2 2 - dimpotrivă, este necesar să se înmulțească cu 3 pentru a obține 6.

Ridicați numărul de sub semnul rădăcinii la puterea egală cu numărul găsit în pasul anterior. Pentru prima expresie, 5 trebuie ridicat la puterea lui 2, iar a doua - 2 la puterea lui 3:

2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6

Ridicați puterea de exprimare și scrieți rezultatul sub semnul rădăcinii:

5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6

Înmulțiți numerele de sub rădăcină:

(8×25) 6

Scrie rezultatul:

(8 × 25) 6 = 200 6

Dacă este posibil, simplificați expresia, dar în acest caz nu este simplificată.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Bună pisicuțe! Ultima dată am analizat în detaliu ce sunt rădăcinile (dacă nu vă amintiți, vă recomand să citiți). Concluzia principală a acelei lecții: există o singură definiție universală a rădăcinilor, pe care trebuie să o cunoașteți. Restul este o prostie și o pierdere de timp.

Astăzi mergem mai departe. Vom învăța să înmulțim rădăcini, vom studia câteva probleme asociate cu înmulțirea (dacă aceste probleme nu sunt rezolvate, atunci pot deveni fatale la examen) și vom exersa corespunzător. Așa că aprovizionați-vă cu floricele de porumb, faceți-vă confortabil - și vom începe. :)

Încă nu ai fumat, nu-i așa?

Lecția s-a dovedit a fi destul de mare, așa că am împărțit-o în două părți:

1. În primul rând, ne vom uita la regulile de înmulțire. Capul pare să sugereze: atunci când există două rădăcini, există un semn „multiplicare” între ele - și vrem să facem ceva cu el.
2. Apoi vom analiza situația inversă: există o rădăcină mare și am fost nerăbdători să o prezentăm ca un produs a două rădăcini într-un mod mai simplu. Cu ce ​​frică este necesară este o întrebare separată. Vom analiza doar algoritmul.

Pentru cei care abia așteaptă să intre direct în partea 2, sunteți bineveniți. Să începem cu restul în ordine.

Regula de bază a înmulțirii

Să începem cu cele mai simple - rădăcini pătrate clasice. Cele care sunt notate cu $\sqrt(a)$ și $\sqrt(b)$. Pentru ei, totul este în general clar:

regula înmulțirii. Pentru a înmulți o rădăcină pătrată cu alta, trebuie doar să înmulțiți expresiile radicale ale acestora și să scrieți rezultatul sub radicalul comun:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Nu se impun restricții suplimentare pentru numerele din dreapta sau din stânga: dacă există rădăcini multiplicatoare, atunci există și produsul.

Exemple. Luați în considerare patru exemple cu numere simultan:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

După cum puteți vedea, sensul principal al acestei reguli este de a simplifica expresiile iraționale. Și dacă în primul exemplu am fi extras rădăcinile din 25 și 4 fără reguli noi, atunci staniul începe: $\sqrt(32)$ și $\sqrt(2)$ nu se numără de la sine, ci produsul lor se dovedește a fi un pătrat exact, deci rădăcina lui este egală cu un număr rațional.

Separat, aș dori să notez ultimul rând. Acolo, ambele expresii radicale sunt fracții. Datorită produsului, mulți factori se anulează, iar întreaga expresie se transformă într-un număr adecvat.

Desigur, nu totul va fi întotdeauna atât de frumos. Uneori, sub rădăcini vor fi prostii complete - nu este clar ce să faci cu ea și cum să se transforme după înmulțire. Puțin mai târziu, când începi să studiezi ecuațiile și inegalitățile iraționale, vor exista tot felul de variabile și funcții în general. Și de foarte multe ori, compilatorii problemelor contează doar pe faptul că veți găsi niște termeni sau factori de contractare, după care sarcina va fi mult simplificată.

În plus, nu este necesar să se înmulțească exact două rădăcini. Puteți înmulți trei deodată, patru - da chiar și zece! Acest lucru nu va schimba regula. Aruncă o privire:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

Și din nou o mică remarcă asupra celui de-al doilea exemplu. După cum puteți vedea, în al treilea multiplicator, există o fracție zecimală sub rădăcină - în procesul de calcule, o înlocuim cu una obișnuită, după care totul este ușor de redus. Deci: vă recomand cu căldură să scăpați de fracțiile zecimale din orice expresii iraționale (adică care conțin cel puțin o pictogramă radicală). Acest lucru vă va economisi mult timp și nervi în viitor.

Dar a fost o digresiune lirică. Acum să luăm în considerare un caz mai general - când exponentul rădăcină conține un număr arbitrar $n$, și nu doar cei doi „clasici”.

Cazul unui indicator arbitrar

Deci, ne-am dat seama de rădăcinile pătrate. Și ce să faci cu cuburile? Sau, în general, cu rădăcini de grad arbitrar $n$? Da, totul este la fel. Regula rămâne aceeași:

Pentru a înmulți două rădăcini de grad $n$, este suficient să înmulțim expresiile lor radicale, după care rezultatul se scrie sub un radical.

In general, nimic complicat. Cu excepția cazului în care volumul calculelor poate fi mai mare. Să ne uităm la câteva exemple:

Exemple. Calculați produse:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

Și din nou atenție la a doua expresie. Înmulțim rădăcinile cubice, scăpăm de fracția zecimală și, ca rezultat, obținem produsul numerelor 625 și 25 la numitor. Acesta este un număr destul de mare - personal, nu voi calcula imediat ce este egal. la.

Prin urmare, am selectat pur și simplu cubul exact în numărător și numitor și apoi am folosit una dintre proprietățile cheie (sau, dacă doriți, definiția) rădăcinii gradului $n$:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\dreapta|. \\ \end(align)\]

Astfel de „escrocherii” vă pot economisi mult timp la un examen sau test, așa că rețineți:

Nu vă grăbiți să înmulțiți numerele din expresia radicală. În primul rând, verificați: ce se întâmplă dacă gradul exact al oricărei expresii este „criptat” acolo?

Cu toată evidența acestei remarci, trebuie să recunosc că majoritatea studenților nepregătiți nu văd exact gradele. În schimb, înmulțesc totul înainte și apoi se întreabă: de ce au obținut numere atât de brutale? :)

Totuși, toate acestea sunt o joacă de copii în comparație cu ceea ce vom studia acum.

Înmulțirea rădăcinilor cu exponenți diferiți

Ei bine, acum putem înmulți rădăcini cu aceiași exponenți. Ce se întâmplă dacă scorurile sunt diferite? Spune, cum înmulți un $\sqrt(2)$ obișnuit cu niște prostii ca $\sqrt(23)$? Este chiar posibil să faci asta?

Da, sigur că poți. Totul se face după această formulă:

Regula înmulțirii rădăcinilor. Pentru a înmulți $\sqrt[n](a)$ cu $\sqrt[p](b)$, faceți următoarea transformare:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Cu toate acestea, această formulă funcționează numai dacă expresiile radicale sunt nenegative. Aceasta este o remarcă foarte importantă, la care vom reveni puțin mai târziu.

Deocamdată, să ne uităm la câteva exemple:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

După cum puteți vedea, nimic complicat. Acum să ne dăm seama de unde provine cerința de non-negativitate și ce se va întâmpla dacă o încălcăm. :)

Este ușor să înmulți rădăcinile.

De ce expresiile radicale trebuie să fie nenegative?

Desigur, puteți deveni ca profesorii de școală și puteți cita un manual cu un aspect inteligent:

Cerința de non-negativitate este asociată cu diferite definiții ale rădăcinilor de grade pare și impare (respectiv, domeniile lor de definiție sunt și ele diferite).

Ei bine, a devenit mai clar? Personal, când am citit această prostie în clasa a VIII-a, am înțeles pentru mine ceva de genul: „Cerința de non-negativitate este legată de *#&^@(*#@^#)~%” - pe scurt, eu nu am inteles nimic la vremea aia. :)

Așa că acum voi explica totul într-un mod normal.

Mai întâi, să aflăm de unde vine formula de înmulțire de mai sus. Pentru a face acest lucru, permiteți-mi să vă reamintesc o proprietate importantă a rădăcinii:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Cu alte cuvinte, putem ridica în siguranță expresia rădăcinii la orice putere naturală $k$ - în acest caz, indicele rădăcinii va trebui înmulțit cu aceeași putere. Prin urmare, putem reduce cu ușurință orice rădăcină la un indicator comun, după care ne înmulțim. De aici provine formula de înmulțire:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Dar există o problemă care limitează sever aplicarea tuturor acestor formule. Luați în considerare acest număr:

Conform formulei tocmai oferite, putem adăuga orice grad. Să încercăm să adăugăm $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Am scos minusul tocmai pentru ca patratul arde minusul (ca orice alt grad par). Și acum să facem transformarea inversă: „reducem” cele două în exponent și grad. La urma urmei, orice egalitate poate fi citită atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](A); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt((((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Dar apoi se întâmplă ceva nebunesc:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Acest lucru nu se poate datora faptului că $\sqrt(-5) \lt 0$ și $\sqrt(5) \gt 0$. Aceasta înseamnă că pentru puteri par și numere negative, formula noastră nu mai funcționează. După care avem două opțiuni:

1. A lupta împotriva zidului pentru a afirma că matematica este o știință stupidă, unde „există niște reguli, dar acest lucru este inexact”;
2. Introduceți restricții suplimentare în baza cărora formula va deveni 100% funcțională.

În prima opțiune, va trebui să prindem în mod constant cazuri „nefuncționale” - acest lucru este dificil, lung și, în general, fu. Prin urmare, matematicienii au preferat a doua opțiune. :)

Dar nu-ți face griji! În practică, această restricție nu afectează în niciun fel calculele, deoarece toate problemele descrise se referă doar la rădăcinile unui grad impar, iar minusurile pot fi scoase din ele.

Prin urmare, formulăm o altă regulă care se aplică în general tuturor acțiunilor cu rădăcini:

Înainte de a multiplica rădăcinile, asigurați-vă că expresiile radicale nu sunt negative.

Exemplu. În numărul $\sqrt(-5)$, puteți scoate minusul de sub semnul rădăcină - atunci totul va fi bine:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt((((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Simte diferenta? Dacă lăsați un minus sub rădăcină, atunci când expresia radicală este pătrată, va dispărea și va începe prostiile. Și dacă scoți mai întâi un minus, atunci poți chiar să ridici/elimini un pătrat până când vei fi albastru în față - numărul va rămâne negativ. :)

Astfel, cel mai corect și mai fiabil mod de a înmulți rădăcinile este următorul:

1. Eliminați toate minusurile de sub radicali. Minusurile sunt doar în rădăcinile multiplicității impare - pot fi plasate în fața rădăcinii și, dacă este necesar, reduse (de exemplu, dacă există două dintre aceste minusuri).
2. Efectuați înmulțirea conform regulilor discutate mai sus în lecția de astăzi. Dacă indicii rădăcinilor sunt aceiași, pur și simplu înmulțiți expresiile rădăcinilor. Și dacă sunt diferite, folosim formula rea ​​\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Ne bucurăm de rezultat și de notele bune. :)

Bine? Să exersăm?

Exemplul 1. Simplificați expresia:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Aceasta este cea mai simplă opțiune: indicatorii rădăcinilor sunt aceiași și ciudați, problema este doar în minusul celui de-al doilea multiplicator. Îndurăm acest minus nafig, după care totul este ușor de luat în considerare.

Exemplul 2. Simplificați expresia:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( alinia)\]

Aici, mulți ar fi confuzi de faptul că rezultatul s-a dovedit a fi un număr irațional. Da, se întâmplă: nu am putut scăpa complet de rădăcină, dar cel puțin am simplificat semnificativ expresia.

Exemplul 3. Simplificați expresia:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Acesta este ceea ce aș dori să vă atrag atenția. Există două puncte aici:

1. Sub rădăcină nu se află un anumit număr sau grad, ci variabila $a$. La prima vedere, acest lucru este puțin neobișnuit, dar în realitate, atunci când rezolvați probleme matematice, cel mai adesea va trebui să vă ocupați de variabile.
2. În final, am reușit să „reducem” exponentul rădăcină și gradul în expresia radicală. Acest lucru se întâmplă destul de des. Și asta înseamnă că a fost posibil să simplificați semnificativ calculele dacă nu utilizați formula principală.

De exemplu, puteți face acest lucru:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(align)\]

De fapt, toate transformările au fost efectuate numai cu al doilea radical. Și dacă nu pictați în detaliu toți pașii intermediari, atunci în cele din urmă cantitatea de calcule va scădea semnificativ.

De fapt, am întâlnit deja o sarcină similară mai sus când am rezolvat exemplul $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Acum se poate scrie mult mai ușor:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left((((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Ei bine, ne-am dat seama de înmulțirea rădăcinilor. Acum luați în considerare operația inversă: ce să faceți când există o lucrare sub rădăcină?

Formule de putere utilizat în procesul de reducere și simplificare a expresiilor complexe, în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

Număr c este o n-a-a putere a unui număr A când:

Operații cu grade.

1. Înmulțind grade cu aceeași bază, indicatorii lor se adună:

a ma n = a m + n .

2. În împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii acestora se scad:

3. Gradul produsului a 2 sau mai mulți factori este egal cu produsul gradelor acestor factori:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Gradul unei fracții este egal cu raportul dintre gradele dividendului și divizorului:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ridicarea unei puteri la o putere, exponenții se înmulțesc:

(am) n = a m n .

Fiecare formulă de mai sus este corectă în direcțiile de la stânga la dreapta și invers.

de exemplu. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operații cu rădăcini.

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina raportului este egală cu raportul dintre dividend și divizorul rădăcinilor:

3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul rădăcinii la această putere:

4. Dacă creștem gradul rădăcinii în n o dată şi în acelaşi timp ridică la n Puterea este un număr de rădăcină, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă scădem gradul rădăcinii în n rădăcină în același timp n gradul de la numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

Gradul cu exponent negativ. Gradul unui anumit număr cu un exponent nepozitiv (întreg) este definit ca unul împărțit la gradul aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului nepozitiv:

Formulă a m:a n = a m - n poate fi folosit nu numai pentru m> n, dar și la m< n.

de exemplu. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Pentru a formula a m:a n = a m - n a devenit corect la m=n, aveți nevoie de prezența gradului zero.

Gradul cu exponent zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este egală cu unu.

de exemplu. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real Aîntr-o măsură m/n, trebuie să extrageți rădăcina n gradul de m puterea acestui număr A.