Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC R- mijlocul coastei AB, S- de sus.
Se știe că SR = 6, iar aria suprafeței laterale este 36 .
Aflați lungimea segmentului î.Hr.

Să facem o farsă. Într-o piramidă obișnuită, fețele laterale sunt triunghiuri isoscele.

Secțiune SR- mediana coborâtă până la bază, și de aici și înălțimea feței laterale.

Suprafața laterală a unei piramide triunghiulare regulate este egală cu suma ariilor
trei laturi egale partea S = 3 S ABS. De aici S ABS = 36: 3 = 12- zona feței.

Aria unui triunghi este jumătate din produsul bazei sale cu înălțimea sa.
S ABS = 0,5 AB SR. Cunoscând suprafața și înălțimea, găsim latura bazei AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4

Răspuns: 4

Puteți aborda problema de la celălalt capăt. Lasă partea bazei AB = BC = a.
Apoi zona feței S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.

Aria fiecăreia dintre cele trei fețe este 3a, aria a trei fețe este 9a.
În funcție de starea problemei, aria suprafeței laterale a piramidei este de 36.
partea S = 9a = 36.
De aici a = 4.

În cursul școlar de stereometrie, sunt studiate proprietățile diferitelor figuri spațiale. Una dintre ele este piramida. Acest articol este dedicat întrebării cum să găsiți suprafața laterală a unei piramide. Problema determinării acestei zone pentru o piramidă trunchiată este de asemenea dezvăluită.

Ce este o piramidă?

Mulți, după ce au auzit cuvântul „piramidă”, își imaginează imediat structurile grandioase ale Egiptului Antic. Într-adevăr, mormintele lui Keops și Khafre sunt piramide patruunghiulare obișnuite. Cu toate acestea, o piramidă este și un tetraedru, figuri cu o bază de cinci, șase, n-unghiuri.

Te va interesa:

În geometrie, conceptul de piramidă este clar definit. Această figură este înțeleasă ca un obiect în spațiu, care se formează ca urmare a conectării unui anumit punct cu colțurile unui n-gon plat, unde n este un număr întreg. Figura de mai jos prezintă patru piramide cu un număr diferit de colțuri la bază.

Punctul la care sunt conectate toate vârfurile colțurilor bazei nu se află în planul său. Se numește vârful piramidei. Dacă desenăm o perpendiculară de la ea la bază, atunci obținem înălțimea. Figura în care înălțimea intersectează baza la centrul geometric se numește linie dreaptă. Uneori, o piramidă dreaptă are o bază regulată, cum ar fi un pătrat, un triunghi echilateral și așa mai departe. În acest caz, se numește corect.

Când se calculează suprafața laterală a piramidei, este convenabil să se lucreze cu cifre obișnuite.

Suprafața figurii laterale

Cum să găsiți suprafața laterală a unei piramide? Acest lucru poate fi înțeles dacă introducem definiția adecvată și luăm în considerare desfășurarea pe un plan pentru această figură.

Orice piramidă este formată din fețe, care sunt separate între ele prin muchii. Baza este fata formata de n-gon. Toate celelalte fețe sunt triunghiuri. Sunt n dintre ele și împreună formează suprafața laterală a figurii.

Dacă tăiem suprafața de-a lungul marginii laterale și o desfacem pe un plan, obținem o dezvoltare piramidală. De exemplu, o piramidă hexagonală este prezentată mai jos.

Se poate observa că suprafața laterală este formată din șase triunghiuri identice.

Acum nu este dificil să ghicim cum să găsiți suprafața laterală a piramidei. Pentru a face acest lucru, adăugați zonele tuturor triunghiurilor. În cazul unei piramide regulate n-gonale, a cărei latură de bază este egală cu a, pentru suprafața luată în considerare, putem scrie formula:

Aici hb este apotema piramidei. Adică, înălțimea triunghiului, coborâtă din partea de sus a figurii spre partea bazei. Dacă apotema este necunoscută, atunci poate fi calculată, cunoscând parametrii n-gonului și valoarea înălțimii h a figurii.

Piramida trunchiată și suprafața acesteia

După cum ați putea ghici din nume, o piramidă trunchiată poate fi obținută dintr-o figură obișnuită. Pentru a face acest lucru, tăiați partea superioară cu un plan paralel cu baza. Figura de mai jos demonstrează acest proces pentru o formă hexagonală.

Suprafața sa laterală este suma ariilor trapezelor identice isoscele. Formula pentru suprafața laterală a unei piramide trunchiate (corectă) este:

Sb = hb*n*(a1 + a2)/2

Aici hb este apotema figurii, care este înălțimea trapezului. Valorile a1 și a2 sunt lungimile bazelor laturilor.

Calculul suprafeței laterale pentru o piramidă triunghiulară

Să arătăm cum să găsim suprafața laterală a unei piramide. Să presupunem că avem unul triunghiular obișnuit, să ne uităm la exemplul unei probleme specifice. Se știe că latura bazei, care este un triunghi echilateral, are 10 cm. Înălțimea figurii este de 15 cm.

Dezvoltarea acestei piramide este prezentată în figură. Pentru a utiliza formula pentru Sb, trebuie mai întâi să găsiți apotema hb. Considerând un triunghi dreptunghic în interiorul piramidei, construit pe laturile hb și h, egalitatea se poate scrie astfel:

hb = √(h2+a2/12)

Înlocuim datele și obținem acel hb≈15,275 cm.

Acum puteți folosi formula pentru Sb:

Sb \u003d n * a * hb / 2 \u003d 3 * 10 * 15.275 / 2 \u003d 229.125 cm2

Rețineți că baza unei piramide triunghiulare, ca și fața sa laterală, este formată dintr-un triunghi. Cu toate acestea, acest triunghi nu este luat în considerare la calcularea ariei Sb.

Piramidă- una dintre varietățile de poliedru format din poligoane și triunghiuri care se află la bază și sunt fețele acestuia.

În plus, în vârful piramidei (adică la un moment dat), toate fețele sunt combinate.

Pentru a calcula aria piramidei, merită să determinați că suprafața sa laterală este formată din mai multe triunghiuri. Și putem găsi cu ușurință zonele lor folosind

diverse formule. În funcție de ce date despre triunghiuri cunoaștem, căutăm aria lor.

Enumerăm câteva formule cu care puteți găsi aria triunghiurilor:

1. S = (a*h)/2 . În acest caz, știm înălțimea triunghiului h , care este coborât în ​​lateral A .
2. S = a*b*sinβ . Aici laturile triunghiului A , b , iar unghiul dintre ele este β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Aici laturile triunghiului a, b, c . Raza unui cerc care este înscris într-un triunghi este r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Raza cercului circumscris în jurul triunghiului este R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Această formulă ar trebui aplicată numai dacă triunghiul este un triunghi dreptunghic.
6. S = (a²*√3)/4 . Aplicam aceasta formula unui triunghi echilateral.

Numai după ce calculăm ariile tuturor triunghiurilor care sunt fețele piramidei noastre, putem calcula aria suprafeței laterale a biților. Pentru a face acest lucru, vom folosi formulele de mai sus.

Pentru a calcula aria suprafeței laterale a piramidei, nu apar dificultăți: trebuie să aflați suma ariilor tuturor triunghiurilor. Să exprimăm asta cu formula:

Sp = ΣSi

Aici Si este aria primului triunghi și S P este aria suprafeței laterale a piramidei.

Să ne uităm la un exemplu. Având în vedere o piramidă regulată, fețele sale laterale sunt formate din mai multe triunghiuri echilaterale,

« Geometria este cel mai puternic instrument de rafinare a facultăților noastre mentale.».

Galileo Galilei.

iar pătratul este baza piramidei. În plus, marginea piramidei are o lungime de 17 cm. Să găsim aria suprafeței laterale a acestei piramide.

Raționăm astfel: știm că fețele piramidei sunt triunghiuri, sunt echilaterale. De asemenea, știm care este lungimea marginii acestei piramide. Rezultă că toate triunghiurile au laturile egale, lungimea lor este de 17 cm.

Pentru a calcula aria fiecăruia dintre aceste triunghiuri, puteți utiliza următoarea formulă:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Din moment ce știm că pătratul se află la baza piramidei, se dovedește că avem patru triunghiuri echilaterale. Aceasta înseamnă că aria suprafeței laterale a piramidei poate fi calculată cu ușurință folosind următoarea formulă: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Răspunsul nostru este următorul: 500,548 cm² - aceasta este aria suprafeței laterale a acestei piramide.

Înainte de a studia întrebările despre această figură geometrică și proprietățile ei, este necesar să înțelegeți câțiva termeni. Când o persoană aude despre piramidă, își imaginează clădiri uriașe în Egipt. Așa arată cele mai simple. Dar vin în diferite tipuri și forme, ceea ce înseamnă că formula de calcul pentru formele geometrice va fi diferită.

Tipuri de figuri

Piramida - figură geometrică, denotând și reprezentând mai multe fețe. De fapt, acesta este același poliedru, la baza căruia se află un poligon, iar pe laturi sunt triunghiuri care se conectează într-un punct - vârful. Figura este de două tipuri principale:

• corect;
• trunchiată.

În primul caz, baza este un poligon regulat. Aici toate suprafețele laterale sunt egaleîntre ei și figura în sine vor mulțumi ochiul unui perfecționist.

În al doilea caz, există două baze - una mare în partea de jos și una mică între partea de sus, repetând forma celei principale. Cu alte cuvinte, o piramidă trunchiată este un poliedru cu o secțiune formată paralel cu baza.

Termeni și notații

Termeni de bază:

• Triunghi regulat (echilateral). O figură cu trei unghiuri identice și laturi egale. În acest caz, toate unghiurile sunt de 60 de grade. Figura este cea mai simplă dintre poliedrele regulate. Dacă această cifră se află la bază, atunci un astfel de poliedru va fi numit unul triunghiular regulat. Dacă baza este un pătrat, piramida va fi numită o piramidă patruunghiulară obișnuită.
• Vertex- cel mai înalt punct în care marginile se întâlnesc. Înălțimea vârfului este formată dintr-o linie dreaptă care emană de la vârf la baza piramidei.
• margine este unul dintre planurile poligonului. Poate fi sub formă de triunghi în cazul unei piramide triunghiulare, sau sub formă de trapez pentru o piramidă trunchiată.
• secțiune transversală- o figură plată formată în urma disecției. A nu se confunda cu o secțiune, deoarece o secțiune arată și ce se află în spatele secțiunii.
• Apotema- un segment trasat de la vârful piramidei până la baza acesteia. Este, de asemenea, înălțimea feței unde se află al doilea punct de înălțime. Această definiție este valabilă numai în raport cu un poliedru regulat. De exemplu - dacă nu este o piramidă trunchiată, atunci fața va fi un triunghi. În acest caz, înălțimea acestui triunghi va deveni o apotema.

Formule de arie

Găsiți aria suprafeței laterale a piramidei orice tip se poate face în mai multe moduri. Dacă figura nu este simetrică și este un poligon cu laturi diferite, atunci în acest caz este mai ușor să calculați suprafața totală prin totalitatea tuturor suprafețelor. Cu alte cuvinte, trebuie să calculați aria feței de pe plajă și să le adăugați.

În funcție de parametrii cunoscuți, pot fi necesare formule pentru calcularea unui pătrat, a unui trapez, a unui patrulater arbitrar etc. Formulele în sine în diferite cazuri va fi de asemenea diferit.

În cazul unei figuri obișnuite, găsirea zonei este mult mai ușoară. Este suficient să cunoașteți doar câțiva parametri cheie. În majoritatea cazurilor, calculele sunt necesare tocmai pentru astfel de cifre. Prin urmare, formulele corespunzătoare vor fi date mai jos. În caz contrar, ar trebui să pictezi totul pe mai multe pagini, ceea ce nu va face decât să încurce și să încurce.

Formula de bază pentru calcul suprafața laterală a unei piramide obișnuite va arăta astfel:

S \u003d ½ Pa (P este perimetrul bazei și este apotema)

Să luăm în considerare unul dintre exemple. Poliedrul are o bază cu segmente A1, A2, A3, A4, A5 și toate sunt egale cu 10 cm. Lăsați apotema să fie egală cu 5 cm. Mai întâi trebuie să găsiți perimetrul. Deoarece toate cele cinci fețe ale bazei sunt aceleași, aceasta poate fi găsită după cum urmează: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm. Apoi, aplicăm formula de bază: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm pătrat .

Suprafața laterală a unei piramide triunghiulare regulate cel mai usor de calculat. Formula arată astfel:

S =½* ab *3, unde a este apotema, b este fața bazei. Factorul de trei aici înseamnă numărul de fețe ale bazei, iar prima parte este aria suprafeței laterale. Luați în considerare un exemplu. Având în vedere o figură cu o apotema de 5 cm și o față de bază de 8 cm Calculăm: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm pătrat.

Suprafața laterală a unei piramide trunchiate este putin mai greu de calculat. Formula arată astfel: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, unde p_01 și p_02 sunt perimetrele bazelor și este apotema. Luați în considerare un exemplu. Să presupunem că, pentru o figură patruunghiulară, dimensiunile laturilor bazelor sunt de 3 și 6 cm, apotema este de 4 cm.

Aici, pentru început, ar trebui să găsiți perimetrele bazelor: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm Rămâne să înlocuiți valorile în formula principală și să obțineți: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm pătrat.

Astfel, este posibil să găsiți suprafața laterală a unei piramide obișnuite de orice complexitate. Aveți grijă să nu confundați aceste calcule cu aria totală a întregului poliedr. Și dacă tot trebuie să faceți acest lucru, este suficient să calculați aria celei mai mari baze a poliedrului și să o adăugați la aria suprafeței laterale a poliedrului.

Video

Pentru a consolida informații despre cum să găsiți suprafața laterală a diferitelor piramide, acest videoclip vă va ajuta.

Când se pregătesc pentru examenul de matematică, studenții trebuie să-și sistematizeze cunoștințele de algebră și geometrie. Aș dori să combin toate informațiile cunoscute, de exemplu, cum să calculez aria unei piramide. Mai mult, începând de la bază și fețele laterale până la întreaga suprafață. Dacă situația este clară cu fețele laterale, deoarece acestea sunt triunghiuri, atunci baza este întotdeauna diferită.

Ce să faceți când găsiți zona bazei piramidei?

Poate fi absolut orice cifră: de la un triunghi arbitrar la un n-gon. Și această bază, pe lângă diferența dintre numărul de unghiuri, poate fi o cifră obișnuită sau una incorectă. În sarcinile USE de interes pentru școlari, există doar sarcini cu cifrele corecte la bază. Prin urmare, vom vorbi doar despre ele.

triunghi dreptunghic

Asta este echilateral. Una în care toate laturile sunt egale și notate cu litera „a”. În acest caz, aria bazei piramidei este calculată prin formula:

S = (a 2 * √3) / 4.

Pătrat

Formula pentru calcularea ariei sale este cea mai simplă, aici „a” este din nou partea:

N-gon regulat arbitrar

Latura unui poligon are aceeași denumire. Pentru numărul de colțuri se folosește litera latină n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Cum se procedează la calcularea suprafeței laterale și totale?

Deoarece baza este o figură obișnuită, toate fețele piramidei sunt egale. În plus, fiecare dintre ele este un triunghi isoscel, deoarece marginile laterale sunt egale. Apoi, pentru a calcula aria laterală a piramidei, aveți nevoie de o formulă constând din suma monomiilor identice. Numărul de termeni este determinat de numărul de laturi ale bazei.

Aria unui triunghi isoscel se calculează prin formula în care jumătate din produsul bazei este înmulțit cu înălțimea. Această înălțime în piramidă se numește apotema. Denumirea sa este „A”. Formula generală pentru suprafața laterală este:

S \u003d ½ P * A, unde P este perimetrul bazei piramidei.

Există situații în care laturile bazei nu sunt cunoscute, dar sunt date marginile laterale (c) și unghiul plat la vârful acesteia (α). Apoi ar trebui să se folosească o astfel de formulă pentru a calcula aria laterală a piramidei:

S = n/2 * în 2 sin α .

Sarcina 1

Condiție. Aflați aria totală a piramidei dacă baza acesteia are o latură de 4 cm, iar apotema are o valoare de √3 cm.

Soluţie. Trebuie să începeți prin a calcula perimetrul bazei. Deoarece acesta este un triunghi regulat, atunci P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Deoarece apotema este cunoscută, puteți calcula imediat aria întregii suprafețe laterale: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.

Pentru un triunghi la bază, se va obține următoarea valoare a ariei: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Pentru a determina întreaga zonă, va trebui să adăugați cele două valori rezultate: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Răspuns. 10√3 cm2.

Sarcina #2

Condiție. Există o piramidă patruunghiulară obișnuită. Lungimea laturii bazei este de 7 mm, marginea laterală este de 16 mm. Trebuie să-i cunoști suprafața.

Soluţie. Deoarece poliedrul este patruunghiular și regulat, atunci baza lui este un pătrat. După ce ați învățat zonele fețelor de bază și laterale, va fi posibil să se calculeze aria piramidei. Formula pătratului este dată mai sus. Și la fețele laterale, toate laturile triunghiului sunt cunoscute. Prin urmare, puteți folosi formula lui Heron pentru a calcula suprafețele lor.

Primele calcule sunt simple și duc la acest număr: 49 mm 2. Pentru a doua valoare, va trebui să calculați semiperimetrul: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Acum puteți calcula aria unui triunghi isoscel: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Există doar patru astfel de triunghiuri, așa că atunci când calculați numărul final, va trebui să-l înmulțiți cu 4.

Rezultă: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.

Răspuns. Valoarea dorită este 267,576 mm 2.

Sarcina #3

Condiție. Pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită, trebuie să calculați aria. În el, latura pătratului este de 6 cm și înălțimea este de 4 cm.

Soluţie. Cel mai simplu mod este de a folosi formula cu produsul perimetrului și apotema. Prima valoare este ușor de găsit. Al doilea este puțin mai dificil.

Va trebui să ne amintim teorema lui Pitagora și să considerăm că este format din înălțimea piramidei și apotema, care este ipotenuza. Al doilea picior este egal cu jumătate din latura pătratului, deoarece înălțimea poliedrului cade în mijlocul său.

Apotema dorită (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) este √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Acum puteți calcula valoarea dorită: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Răspuns. 96 cm2.

Sarcina #4

Condiție. Partea corectă a bazei sale este de 22 mm, nervurile laterale sunt de 61 mm. Care este aria suprafeței laterale a acestui poliedru?

Soluţie. Raționamentul din acesta este același cu cel descris în problema nr. 2. Numai acolo a fost dată o piramidă cu un pătrat la bază, iar acum este un hexagon.

În primul rând, aria bazei este calculată folosind formula de mai sus: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.

Acum trebuie să aflați semiperimetrul unui triunghi isoscel, care este o față laterală. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Rămâne să calculăm aria unui astfel de triunghi folosind formula Heron, apoi înmulțiți-o cu șase și adăugați-o la cea care a rezultat pentru baza.

Calcule folosind formula Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Calcule care vor da suprafața laterală: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Rămâne să le adunăm pentru a afla întreaga suprafață: 5217,47≈5217 cm 2.

Răspuns. Baza - 726√3 cm 2, suprafata laterala - 3960 cm 2, intreaga suprafata - 5217 cm 2.