Un cilindru este un corp geometric delimitat de două plane paralele și o suprafață cilindrică. În articol, vom vorbi despre cum să găsim aria unui cilindru și, folosind formula, vom rezolva mai multe probleme, de exemplu.
Un cilindru are trei suprafețe: o suprafață de sus, una de jos și o suprafață laterală.
Partea de sus și de jos a cilindrului sunt cercuri și sunt ușor de definit.
Se știe că aria unui cerc este egală cu πr 2 . Prin urmare, formula pentru aria a două cercuri (sus și jos a cilindrului) va arăta ca πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .
A treia suprafață laterală a cilindrului este peretele curbat al cilindrului. Pentru a reprezenta mai bine această suprafață, să încercăm să o transformăm pentru a obține o formă recunoscută. Imaginați-vă că un cilindru este o cutie de conserve obișnuită care nu are capac superior și fund. Să facem o incizie verticală pe peretele lateral de sus până jos al borcanului (Pasul 1 din figură) și să încercăm să deschidem (îndreptați) figura rezultată cât mai mult posibil (Pasul 2).
După dezvăluirea completă a borcanului rezultat, vom vedea o figură familiară (Pasul 3), acesta este un dreptunghi. Aria unui dreptunghi este ușor de calculat. Dar înainte de asta, să revenim pentru o clipă la cilindrul original. Vârful cilindrului inițial este un cerc și știm că circumferința unui cerc se calculează prin formula: L = 2πr. Este marcat cu roșu în figură.
Când peretele lateral al cilindrului este complet extins, vedem că circumferința devine lungimea dreptunghiului rezultat. Laturile acestui dreptunghi vor fi circumferința (L = 2πr) și înălțimea cilindrului (h). Aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale - S = lungime x lățime = L x h = 2πr x h = 2πrh. Ca rezultat, am obținut o formulă pentru calcularea suprafeței laterale a unui cilindru.
Formula pentru aria suprafeței laterale a unui cilindru
partea S = 2prh
Suprafața completă a unui cilindru
În cele din urmă, dacă adunăm aria tuturor celor trei suprafețe, obținem formula pentru suprafața totală a unui cilindru. Suprafața cilindrului este egală cu aria vârfului cilindrului + aria bazei cilindrului + aria suprafeței laterale a cilindrului sau S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Uneori această expresie este scrisă cu formula identică 2πr (r + h).
Formula pentru suprafața totală a unui cilindru
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r este raza cilindrului, h este înălțimea cilindrului
Exemple de calcul al suprafeței unui cilindru
Pentru a înțelege formulele de mai sus, să încercăm să calculăm aria suprafeței unui cilindru folosind exemple.
1. Raza bazei cilindrului este 2, înălțimea este 3. Determinați aria suprafeței laterale a cilindrului.
Suprafața totală se calculează cu formula: partea S. = 2prh
partea S = 2 * 3,14 * 2 * 3
partea S = 6,28 * 6
partea S = 37,68
Suprafața laterală a cilindrului este de 37,68.
2. Cum să găsiți suprafața unui cilindru dacă înălțimea este 4 și raza este 6?
Suprafața totală se calculează prin formula: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
Un cilindru (derivat din limba greacă, din cuvintele „patinoar”, „rolă”) este un corp geometric care este delimitat la exterior de o suprafață numită suprafață cilindrică și două plane. Aceste planuri intersectează suprafața figurii și sunt paralele între ele.
O suprafață cilindrică este o suprafață care se obține printr-o linie dreaptă în spațiu. Aceste mișcări sunt astfel încât punctul selectat al acestei linii drepte se deplasează de-a lungul unei curbe de tip plat. O astfel de linie dreaptă se numește generatrix, iar o linie curbă se numește ghid.
Cilindrul este format dintr-o pereche de baze și o suprafață cilindrică laterală. Cilindrii sunt de mai multe tipuri:
1. Cilindru circular, drept. Pentru un astfel de cilindru, baza și ghidajul sunt perpendiculare pe generatoare și există
2. Cilindru înclinat. El are un unghi între linia generatoare și baza nu este dreaptă.
3. Un cilindru de altă formă. Hiperbolice, eliptice, parabolice și altele.
Aria unui cilindru, precum și suprafața totală a oricărui cilindru, se găsesc prin adăugarea zonelor bazelor acestei figuri și a suprafeței laterale.
Formula pentru calcularea ariei totale a unui cilindru pentru un cilindru circular, drept este:
Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).
Aria suprafeței laterale este puțin mai dificil de găsit decât aria întregului cilindr; se calculează prin înmulțirea lungimii generatricei cu perimetrul secțiunii formate de planul care este perpendicular pe generator.
Datele cilindrului pentru un cilindru circular, drept sunt recunoscute prin dezvoltarea acestui obiect.
O dezvoltare este un dreptunghi care are înălțimea h și lungimea P, care este egală cu perimetrul bazei.
Rezultă că aria laterală a cilindrului este egală cu aria măturii și poate fi calculată folosind această formulă:
Dacă luăm un cilindru circular, drept, atunci pentru el:
P = 2p R și Sb = 2p Rh.
Dacă cilindrul este înclinat, atunci aria suprafeței laterale trebuie să fie egală cu produsul dintre lungimea generatricei sale și perimetrul secțiunii, care este perpendicular pe această generatoare.
Din păcate, nu există o formulă simplă pentru a exprima suprafața laterală a unui cilindru înclinat în ceea ce privește înălțimea și parametrii de bază.
Pentru a calcula un cilindru, trebuie să cunoașteți câteva fapte. Dacă o secțiune cu planul său intersectează bazele, atunci o astfel de secțiune este întotdeauna un dreptunghi. Dar aceste dreptunghiuri vor fi diferite, în funcție de poziția secțiunii. Una dintre laturile secțiunii axiale a figurii, care este perpendiculară pe baze, este egală cu înălțimea, iar cealaltă este egală cu diametrul bazei cilindrului. Și aria unei astfel de secțiuni, respectiv, este egală cu produsul unei laturi a dreptunghiului de cealaltă, perpendicular pe prima, sau produsul înălțimii acestei figuri cu diametrul bazei sale.
Dacă secțiunea este perpendiculară pe bazele figurii, dar nu trece prin axa de rotație, atunci aria acestei secțiuni va fi egală cu produsul dintre înălțimea acestui cilindru și o anumită coardă. Pentru a obține o coardă, trebuie să construiți un cerc la baza cilindrului, să desenați o rază și să lăsați deoparte distanța la care se află secțiunea. Și din acest punct trebuie să desenați perpendiculare pe raza de la intersecția cu cercul. Punctele de intersecție sunt legate de centru. Și baza triunghiului este cea dorită, care se caută după sunete astfel: „Suma pătratelor a două catete este egală cu ipotenuza la pătrat”:
C2 = A2 + B2.
Dacă secțiunea nu afectează baza cilindrului, iar cilindrul în sine este circular și drept, atunci aria acestei secțiuni este găsită ca aria cercului.
Aria unui cerc este:
S env. = 2p R2.
Pentru a găsi R, trebuie să împărțiți lungimea sa C la 2p:
R = C \ 2n, unde n este pi, o constantă matematică calculată pentru a funcționa cu datele cercului și egală cu 3,14.
Există un număr mare de probleme asociate cu cilindrul. În ele, trebuie să găsiți raza și înălțimea corpului sau tipul secțiunii sale. În plus, uneori trebuie să calculați aria unui cilindru și volumul acestuia.
Ce corp este un cilindru?
În cursul curriculum-ului școlar, se studiază o circulară, adică un cilindru care este astfel la bază. Dar ele disting și aspectul eliptic al acestei figuri. Din nume este clar că baza sa va fi o elipsă sau ovală.
Cilindrul are două baze. Ele sunt egale între ele și sunt conectate prin segmente care combină punctele corespunzătoare ale bazelor. Se numesc generatoare de cilindri. Toate generatoarele sunt paralele între ele și egale. Ele alcătuiesc suprafața laterală a corpului.
În general, un cilindru este un corp înclinat. Dacă generatoarele fac un unghi drept cu bazele, atunci vorbesc deja despre o figură dreaptă.
Interesant este că un cilindru circular este un corp de revoluție. Se obține prin rotirea unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturile sale.
Elementele principale ale cilindrului
Elementele principale ale cilindrului sunt următoarele.
- Înălţime. Este cea mai scurtă distanță dintre bazele cilindrului. Dacă este dreaptă, atunci înălțimea coincide cu generatoarea.
- Rază. Coincide cu cea care poate fi efectuată în bază.
- Axă. Aceasta este o linie dreaptă care conține centrele ambelor baze. Axa este întotdeauna paralelă cu toate generatoarele. Într-un cilindru drept, este perpendicular pe baze.
- Secțiune axială. Se formează atunci când cilindrul intersectează planul care conține axa.
- Plan tangent. Trece prin unul dintre generatoare și este perpendicular pe secțiunea axială, care este trasă prin această generatoare.
Cum este un cilindru legat de o prismă înscrisă în el sau circumscris în apropierea lui?
Uneori există probleme în care este necesar să se calculeze aria unui cilindru, în timp ce unele elemente ale prismei asociate cu acesta sunt cunoscute. Cum sunt legate aceste cifre?
Dacă o prismă este înscrisă într-un cilindru, atunci bazele sale sunt poligoane egale. Mai mult, ele sunt înscrise în bazele corespunzătoare ale cilindrului. Marginile laterale ale prismei coincid cu generatoarele.
Prisma descrisă are poligoane regulate la bazele sale. Ele sunt descrise lângă cercurile cilindrului, care sunt bazele acestuia. Planurile care conțin fețele prismei ating cilindrul de-a lungul generatoarelor.
Pe zona suprafeței laterale și a bazei pentru un cilindru circular drept
Dacă desfaceți suprafața laterală, obțineți un dreptunghi. Laturile sale vor coincide cu generatria și circumferința bazei. Prin urmare, aria laterală a cilindrului va fi egală cu produsul acestor două cantități. Dacă scrieți formula, obțineți următoarele:
Partea S \u003d l * n,
unde n este generatria, l este circumferința.
Mai mult, ultimul parametru este calculat prin formula:
l = 2 π*r,
aici r este raza cercului, π este numărul „pi”, egal cu 3,14.
Deoarece baza este un cerc, aria sa se calculează folosind următoarea expresie:
S principal \u003d π * r 2.
Pe zona întregii suprafețe a unui cilindru circular drept
Deoarece este format din două baze și o suprafață laterală, trebuie adăugate aceste trei cantități. Adică, aria totală a cilindrului va fi calculată prin formula:
S etaj = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .
Este adesea scris într-o formă diferită:
S etaj = 2 π * r (n + r).
Pe zonele unui cilindru circular înclinat
În ceea ce privește bazele, toate formulele sunt la fel, pentru că sunt încă cercuri. Dar suprafața laterală nu mai dă dreptunghi.
Pentru a calcula suprafața laterală a unui cilindru înclinat, va trebui să înmulțiți valorile generatricei și perimetrul secțiunii, care va fi perpendicular pe generatricea selectată.
Formula arată astfel:
Partea S \u003d x * P,
unde x este lungimea generatricei cilindrului, P este perimetrul secțiunii.
Secțiunea transversală, apropo, este mai bine să alegeți astfel încât să formeze o elipsă. Apoi calculele perimetrului acestuia vor fi simplificate. Lungimea elipsei este calculată folosind o formulă care oferă un răspuns aproximativ. Dar este adesea suficient pentru sarcinile cursului școlar:
l \u003d π * (a + b),
unde „a” și „b” sunt semiaxele elipsei, adică distanțele de la centru până la punctele sale cele mai apropiate și cele mai îndepărtate.
Aria întregii suprafețe trebuie calculată folosind următoarea expresie:
S etaj = 2 π * r 2 + x * R.
Care sunt unele secțiuni ale unui cilindru circular drept?
Când secțiunea trece prin axă, atunci aria sa este determinată ca produs al generatricei și diametrul bazei. Acest lucru se datorează faptului că are forma unui dreptunghi, ale cărui laturi coincid cu elementele desemnate.
Pentru a găsi aria secțiunii transversale a unui cilindru care este paralel cu cel axial, veți avea nevoie și de o formulă pentru un dreptunghi. În această situație, una dintre laturile sale va coincide în continuare cu înălțimea, iar cealaltă va fi egală cu coarda bazei. Acesta din urmă coincide cu linia de secțiune de-a lungul bazei.
Când secțiunea este perpendiculară pe axă, atunci arată ca un cerc. Mai mult, aria sa este aceeași ca la baza figurii.
De asemenea, este posibil să se intersecteze la un anumit unghi cu axa. Apoi, în secțiune se obține un oval sau o parte din acesta.
Exemple de sarcini
Sarcina numărul 1. Este dat un cilindru drept, a cărui suprafață de bază este de 12,56 cm 2 . Este necesar să se calculeze suprafața totală a cilindrului dacă înălțimea acestuia este de 3 cm.
Soluţie. Este necesar să folosiți formula pentru suprafața totală a unui cilindru circular drept. Dar îi lipsesc date și anume raza bazei. Dar aria cercului este cunoscută. Din el este ușor de calculat raza.
Se dovedește a fi egal cu rădăcina pătrată a coeficientului, care se obține prin împărțirea ariei bazei la pi. Împărțirea lui 12,56 la 3,14 este 4. Rădăcina pătrată a lui 4 este 2. Prin urmare, raza va avea această valoare.
Răspuns: S podea \u003d 50,24 cm 2.
Sarcina numărul 2. Un cilindru cu raza de 5 cm este tăiat de un plan paralel cu axa. Distanța de la secțiune la axă este de 3 cm. Înălțimea cilindrului este de 4 cm. Este necesar să găsiți aria secțiunii.
Soluţie. Forma secțiunii este dreptunghiulară. Una dintre laturile sale coincide cu înălțimea cilindrului, iar cealaltă este egală cu coarda. Dacă prima valoare este cunoscută, atunci trebuie găsită a doua.
Pentru a face acest lucru, trebuie să faceți o construcție suplimentară. La bază desenăm două segmente. Ambele vor începe din centrul cercului. Prima se va termina în centrul coardei și egală cu distanța cunoscută până la axă. Al doilea este la sfârșitul acordului.
Obțineți un triunghi dreptunghic. În ea sunt cunoscute ipotenuza și unul dintre catete. Ipotenuza este aceeași cu raza. Al doilea picior este egal cu jumătate din coardă. Piciorul necunoscut, înmulțit cu 2, va da lungimea coardă necesară. Să-i calculăm valoarea.
Pentru a găsi catetul necunoscut, trebuie să pătrați ipotenuza și catetul cunoscut, să scădeți al doilea din primul și să luați rădăcina pătrată. Pătratele sunt 25 și 9. Diferența lor este 16. După extragerea rădăcinii pătrate, rămâne 4. Acesta este piciorul dorit.
Coarda va fi egală cu 4 * 2 = 8 (cm). Acum puteți calcula aria secțiunii transversale: 8 * 4 \u003d 32 (cm 2).
Răspuns: S sec este 32 cm 2.
Sarcina numărul 3. Este necesar să se calculeze aria secțiunii axiale a cilindrului. Se știe că în el este înscris un cub cu marginea de 10 cm.
Soluţie. Secțiunea axială a cilindrului coincide cu un dreptunghi care trece prin cele patru vârfuri ale cubului și conține diagonalele bazelor acestuia. Latura cubului este generatria cilindrului, iar diagonala bazei coincide cu diametrul. Produsul acestor două cantități va da zona pe care trebuie să o aflați în problemă.
Pentru a găsi diametrul, trebuie să cunoașteți că baza cubului este un pătrat, iar diagonala sa formează un triunghi dreptunghic echilateral. Ipotenuza sa este diagonala necesară a figurii.
Pentru a-l calcula, aveți nevoie de formula teoremei lui Pitagora. Trebuie să pătrați latura cubului, să o înmulțiți cu 2 și să luați rădăcina pătrată. Zece la a doua putere este o sută. Înmulțit cu 2 este două sute. Rădăcina pătrată a lui 200 este 10√2.
Secțiunea este din nou un dreptunghi cu laturile 10 și 10√2. Aria sa este ușor de calculat prin înmulțirea acestor valori.
Răspuns. S sec \u003d 100√2 cm 2.
Stereometria este o ramură a geometriei care studiază formele din spațiu. Principalele figuri din spațiu sunt un punct, o dreaptă și un plan. În stereometrie, apare un nou tip de aranjare reciprocă a liniilor: liniile oblice. Aceasta este una dintre puținele diferențe semnificative dintre geometria solidă și planimetrie, deoarece în multe cazuri problemele de stereometrie sunt rezolvate prin luarea în considerare a diferitelor planuri în care sunt îndeplinite legile planimetrice.
În natura din jurul nostru, există multe obiecte care sunt modele fizice ale acestei figuri. De exemplu, multe piese de mașină sunt sub forma unui cilindru sau a unei combinații a acestora, iar coloanele maiestuoase ale templelor și catedralelor, realizate sub formă de cilindri, le subliniază armonia și frumusețea.
greacă − kyulindros. termen antic. În viața de zi cu zi - un sul de papirus, o rolă, un patinoar (verb - răsucire, rostogolire).
În Euclid, un cilindru se obține prin rotirea unui dreptunghi. Pentru Cavalieri - prin mișcarea generatricei (cu un ghid arbitrar - „cilindru”).
Scopul acestui eseu este de a considera un corp geometric - un cilindru.
Pentru a atinge acest obiectiv, trebuie luate în considerare următoarele sarcini:
− dați definiții pentru un cilindru;
- luați în considerare elementele cilindrului;
− să studieze proprietăţile cilindrului;
- luați în considerare tipurile de secțiune a cilindrului;
- deduceți formula pentru aria unui cilindru;
− se deduce formula pentru volumul unui cilindru;
− rezolvarea problemelor cu ajutorul unui cilindru.
1.1. Definiția cilindrului
Luați în considerare o linie (curbă, linie întreruptă sau linie mixtă) situată într-un plan α și o dreaptă S care intersectează acest plan. Prin toate punctele dreptei date l trasăm drepte paralele cu dreapta S; suprafața α formată de aceste drepte se numește suprafață cilindrică. Linia l se numește ghidajul acestei suprafețe, liniile s 1 , s 2 , s 3 ,... sunt generatoarele acesteia.
Dacă ghidajul este o linie întreruptă, atunci o astfel de suprafață cilindrică constă dintr-o serie de benzi plate închise între perechi de linii paralele și se numește suprafață prismatică. Generatricele care trec prin vârfurile poliliniei de ghidare se numesc marginile suprafeței prismatice, benzile plate dintre ele se numesc fețele acesteia.
Dacă tăiem orice suprafață cilindrică cu un plan arbitrar care nu este paralel cu generatoarele sale, atunci obținem o linie care poate fi luată și ca ghid pentru această suprafață. Dintre ghidaje se remarca unul, care se obtine din sectiunea suprafetei printr-un plan perpendicular pe generatoarele suprafetei. O astfel de secțiune se numește o secțiune normală, iar ghidul corespunzător este numit un ghid normal.
Dacă ghidajul este o linie închisă (convexă) (linie întreruptă sau curbă), atunci suprafața corespunzătoare se numește suprafață prismatică sau cilindrică închisă (convexă). Dintre suprafețele cilindrice, cea mai simplă are cercul său de ghidare normal. Să disecăm o suprafață prismatică convexă închisă prin două plane paralele între ele, dar nu paralele cu generatoarele.
În secțiuni obținem poligoane convexe. Acum partea suprafeței prismatice închisă între planurile α și α”, și cele două plăci poligonale formate în aceste planuri, limitează corpul, numit corp prismatic - prismă.
Un corp cilindric - un cilindru este definit în mod similar cu o prismă:
Un cilindru este un corp delimitat lateral de o suprafață cilindrică închisă (convexă) și de la capete de două baze paralele plate. Ambele baze ale cilindrului sunt egale și toți generatorii cilindrului sunt, de asemenea, egali unul cu celălalt, adică. segmente care formează o suprafaţă cilindrică între planurile bazelor.
Un cilindru (mai precis, un cilindru circular) este un corp geometric, care constă din două cercuri care nu se află în același plan și sunt combinate prin transfer paralel și toate segmentele care conectează punctele corespunzătoare ale acestor cercuri (Fig. 1) .
Cercurile se numesc bazele cilindrului, iar segmentele care leagă punctele corespunzătoare ale cercurilor cercurilor se numesc generatoare ale cilindrului.
Deoarece translația paralelă este mișcare, bazele cilindrului sunt egale.
Deoarece în timpul translației paralele planul trece într-un plan paralel (sau în sine), atunci bazele cilindrului se află în planuri paralele.
Deoarece, în timpul translației paralele, punctele sunt deplasate de-a lungul liniilor paralele (sau care coincid) la aceeași distanță, atunci generatoarele cilindrului sunt paralele și egale.
Suprafața unui cilindru este formată din baze și o suprafață laterală. Suprafața laterală este compusă din generatoare.
Un cilindru se numește drept dacă generatoarele lui sunt perpendiculare pe planurile bazelor.
Un cilindru drept poate fi vizualizat ca un corp geometric care descrie un dreptunghi pe măsură ce se rotește în jurul laturii ca o axă (Fig. 2).
Orez. 2 − Cilindru drept
În cele ce urmează, vom lua în considerare doar un cilindru drept, numindu-l pur și simplu cilindru pentru concizie.
Raza unui cilindru este raza bazei acestuia. Înălțimea unui cilindru este distanța dintre planurile bazelor sale. Axa unui cilindru este o linie dreaptă care trece prin centrele bazelor. Este paralel cu generatoarele.
Un cilindru se numește echilateral dacă înălțimea lui este egală cu diametrul bazei.
Dacă bazele cilindrului sunt plate (și, prin urmare, planurile care le conțin sunt paralele), atunci se spune că cilindrul stă pe un plan. Dacă bazele unui cilindru aflat pe un plan sunt perpendiculare pe generatoare, atunci cilindrul se numește drept.
În special, dacă baza unui cilindru aflat pe un plan este un cerc, atunci se vorbește despre un cilindru circular (rotund); dacă este o elipsă, atunci eliptică.
1. 3. Secțiuni ale cilindrului
Secțiunea cilindrului după un plan paralel cu axa acestuia este un dreptunghi (fig. 3, a). Două dintre laturile sale sunt generatrice ale cilindrului, iar celelalte două sunt coarde paralele ale bazelor.
dar) 
b)
în) G)
Orez. 3 - Secțiuni ale cilindrului
În special, dreptunghiul este secțiunea axială. Aceasta este o secțiune a cilindrului printr-un plan care trece prin axa acestuia (Fig. 3, b).
Secțiunea cilindrului după un plan paralel cu baza este un cerc (Fig. 3, c).
Secțiunea transversală a cilindrului cu un plan care nu este paralel cu baza și axa acestuia este ovală (Fig. 3d).
Teorema 1. Un plan paralel cu planul bazei cilindrului își intersectează suprafața laterală de-a lungul unui cerc egal cu circumferința bazei.
Dovada. Fie β un plan paralel cu planul bazei cilindrului. Transferul paralel în direcția axei cilindrului, care combină planul β cu planul bazei cilindrului, combină secțiunea suprafeței laterale de către planul β cu circumferința bazei. Teorema a fost demonstrată.
Zona suprafeței laterale a cilindrului.
Aria suprafeței laterale a cilindrului este considerată limita la care tinde aria suprafeței laterale a unei prisme regulate înscrise în cilindru atunci când numărul de laturi ale bazei acestei prisme crește la nesfârșit.
Teorema 2. Aria suprafeței laterale a cilindrului este egală cu produsul dintre circumferința bazei sale și înălțimea (latura S.c = 2πRH, unde R este raza bazei cilindrului, H este înălțimea cilindrului).
DAR) 
b) 
Orez. 4 - Aria suprafeței laterale a cilindrului
Dovada.
Fie P n și, respectiv, H perimetrul bazei și înălțimea unei prisme regulate n-gonale înscrise într-un cilindru (Fig. 4, a). Atunci aria suprafeței laterale a acestei prisme este latura S.c − P n H. Să presupunem că numărul de laturi ale poligonului înscris în bază crește la nesfârșit (Fig. 4, b). Atunci perimetrul P n tinde spre circumferința C = 2πR, unde R este raza bazei cilindrului, iar înălțimea H nu se modifică. Astfel, aria suprafeței laterale a prismei tinde spre limita 2πRH, adică aria suprafeței laterale a cilindrului este egală cu latura S.c = 2πRH. Teorema a fost demonstrată.
Suprafața totală a cilindrului.
Suprafața totală a unui cilindru este suma suprafețelor laterale și a celor două baze. Aria fiecărei baze a cilindrului este egală cu πR 2, prin urmare, aria întregii suprafețe a cilindrului S plin este calculată prin formula S side.c \u003d 2πRH + 2πR 2.
|
|
|
|
|
|
|
|
Orez. 5 - Suprafața completă a cilindrului
Dacă suprafața laterală a cilindrului este tăiată de-a lungul generatricei FT (Fig. 5, a) și desfășurată astfel încât toate generatricele să fie în același plan, atunci ca rezultat obținem un dreptunghi FTT1F1, care se numește dezvoltarea suprafata laterala a cilindrului. Latura FF1 a dreptunghiului este o dezvoltare a circumferinței bazei cilindrului, prin urmare, FF1=2πR, iar latura sa FT este egală cu generatricea cilindrului, adică FT = H (Fig. 5, b). Astfel, aria FT∙FF1=2πRH a dezvoltării cilindrului este egală cu aria suprafeței sale laterale.
1.5. Volumul cilindrului
Dacă corpul geometric este simplu, adică poate fi împărțit într-un număr finit de piramide triunghiulare, atunci volumul său este egal cu suma volumelor acestor piramide. Pentru un corp arbitrar, volumul este definit după cum urmează.
Un corp dat are volumul V dacă există corpuri simple care îl conțin și corpuri simple conținute în el cu volume cât mai puțin diferite de V după cum se dorește.
Să aplicăm această definiție pentru a găsi volumul unui cilindru cu raza bazei R și înălțimea H.
La derivarea formulei pentru aria unui cerc, două n-gonuri (unul care conține un cerc, celălalt conținut într-un cerc) au fost construite astfel încât zonele lor cu o creștere nelimitată în n se apropie de aria unui cerc pe termen nelimitat. Să construim astfel de poligoane pentru cercul de la baza cilindrului. Fie P un poligon care conține un cerc și P" un poligon conținut într-un cerc (Fig. 6).
Orez. 7 - Cilindru cu o prismă descrisă și înscrisă în el
Să construim două prisme drepte cu bazele P și P și înălțimea H, înălțime egală cilindru. Prima prismă conține cilindrul, iar a doua prismă este conținută în cilindru. Deoarece cu o creștere nelimitată a n, zonele bazelor prismelor se apropie la nesfârșit de aria bazei cilindrului S, volumele lor se apropie la infinit de SH. Conform definiției, volumul unui cilindru
V = SH = πR 2 H.
Deci, volumul unui cilindru este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.
Sarcina 1.
Secțiunea axială a unui cilindru este un pătrat a cărui zonă este Q.
Găsiți aria bazei cilindrului.
Dat: cilindru, pătrat - secțiunea axială a cilindrului, S pătrat = Q.
Găsiți: S cilindru principal.
Latura pătratului este . Este egal cu diametrul bazei. Deci aria bazei este 
.
Răspuns: S cilindru principal. =
Sarcina 2.
Într-un cilindru este înscrisă o prismă hexagonală regulată. Aflați unghiul dintre diagonala feței sale laterale și axa cilindrului dacă raza bazei este egală cu înălțimea cilindrului.
Dat fiind: un cilindru, o prismă hexagonală regulată înscrisă într-un cilindru, raza bazei = înălțimea cilindrului.
Aflați: unghiul dintre diagonala feței sale laterale și axa cilindrului.
Rezolvare: Fețele laterale ale prismei sunt pătrate, deoarece latura unui hexagon regulat înscris într-un cerc este egală cu raza.
Marginile prismei sunt paralele cu axa cilindrului, deci unghiul dintre diagonala feței și axa cilindrului este egal cu unghiul dintre diagonală și marginea laterală. Și acest unghi este de 45 °, deoarece fețele sunt pătrate.
Răspuns: unghiul dintre diagonala feței sale laterale și axa cilindrului = 45°.
Sarcina 3.
Înălțimea cilindrului este de 6 cm, raza bazei este de 5 cm.
Găsiți aria unei secțiuni trasate paralel cu axa cilindrului la o distanță de 4 cm de acesta.
Dat: H = 6cm, R = 5cm, OE = 4cm.
Găsiți: S sec.
S sec. = KM×KS,
OE = 4 cm, KS = 6 cm.
Triunghi OKM - isoscel (OK = OM = R = 5 cm),
triunghiul OEK este un triunghi dreptunghic.
Din triunghiul OEK, conform teoremei lui Pitagora:
KM \u003d 2EK \u003d 2 × 3 \u003d 6,
S sec. \u003d 6 × 6 \u003d 36 cm 2.
Scopul acestui eseu este îndeplinit, se consideră un astfel de corp geometric ca un cilindru.
Au fost luate în considerare următoarele sarcini:
− se dă definiţia unui cilindru;
− sunt luate în considerare elementele cilindrului;
− a studiat proprietăţile cilindrului;
− se iau în considerare tipuri de secțiune cilindrică;
− se derivă formula pentru aria unui cilindru;
− se derivă formula pentru volumul unui cilindru;
− Problemele sunt rezolvate cu utilizarea unui cilindru.
1. Pogorelov A. V. Geometrie: un manual pentru clasele 10-11 ale instituțiilor de învățământ, 1995.
2. Beskin L.N. Stereometrie. Manual pentru profesorii de liceu, 1999.
3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Geometrie: manual pentru clasele 10-11 ale instituțiilor de învățământ, 2000.
4. Aleksandrov A.D., Verner A.L., Ryzhik V.I. Geometrie: manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ, 1998.
5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geometrie: Stereometrie: Clasele 10 - 11: Manual și carte de probleme, 2000.
Este un corp geometric delimitat de două plane paralele și o suprafață cilindrică.
Cilindrul este format dintr-o suprafață laterală și două baze. Formula pentru suprafața unui cilindru include un calcul separat al ariei bazelor și al suprafeței laterale. Deoarece bazele din cilindru sunt egale, atunci aria sa totală va fi calculată prin formula:
Vom lua în considerare un exemplu de calcul al ariei unui cilindru după ce vom cunoaște toate formulele necesare. Mai întâi avem nevoie de formula pentru zona bazei unui cilindru. Deoarece baza cilindrului este un cerc, trebuie să aplicăm: 
Ne amintim că aceste calcule folosesc un număr constant Π = 3,1415926, care este calculat ca raport dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia. Acest număr este o constantă matematică. Vom lua în considerare și un exemplu de calcul al ariei bazei unui cilindru puțin mai târziu.
Suprafața laterală a cilindrului
Formula pentru aria suprafeței laterale a unui cilindru este produsul dintre lungimea bazei și înălțimea acesteia:
Acum luați în considerare o problemă în care trebuie să calculăm aria totală a unui cilindru. Într-o figură dată, înălțimea este h = 4 cm, r = 2 cm. Să aflăm aria totală a cilindrului.
Mai întâi, să calculăm aria bazelor:
Acum luați în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unui cilindru. Când este extins, este un dreptunghi. Aria sa este calculată folosind formula de mai sus. Înlocuiți toate datele în el:
Aria totală a unui cerc este suma de două ori aria bazei și a laturii:
Astfel, folosind formulele pentru aria bazelor și suprafața laterală a figurii, am putut găsi suprafața totală a cilindrului.
Secțiunea axială a cilindrului este un dreptunghi în care laturile sunt egale cu înălțimea și diametrul cilindrului.
Formula pentru aria secțiunii axiale a unui cilindru este derivată din formula de calcul:
