MBOU „Sidorskaya

scoala generala"

Elaborarea unui plan general pentru o lecție deschisă

la algebră în clasa a 11-a pe tema:

Pregătit și condus

profesor de matematica

Iskhakova E.F.

Schița unei lecții deschise de algebră în clasa a 11-a.

Subiect : „Grad cu exponent rațional”.

Tipul de lecție : Învățarea de material nou

Obiectivele lecției:

Pentru a familiariza studenții cu conceptul de diplomă cu un indicator rațional și principalele sale proprietăți, pe baza materialului studiat anterior (o diplomă cu un indicator întreg).

Dezvoltați abilitățile de calcul și capacitatea de a converti și compara numere cu un exponent rațional.

Să cultive alfabetizarea matematică și interesul matematic la elevi.

Echipamente : Fișe de activitate, prezentarea unui student pe o diplomă cu un indicator întreg, prezentarea unui profesor pe o diplomă cu un indicator rațional, un laptop, un proiector multimedia, un ecran.

În timpul orelor:

Organizarea timpului.

Verificarea asimilării temei acoperite de fișele de sarcini individuale.

Sarcina numărul 1.

=2;

B) = x + 5;

Rezolvați sistemul de ecuații iraționale: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Sarcina numărul 2.

Rezolvați ecuația irațională: = - 3;

B) = x - 2;

Rezolvați un sistem de ecuații iraționale: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Prezentarea temei și a obiectivelor lecției.

Tema lecției noastre de astăzi Gradul cu exponent rațional».

Explicarea materialului nou pe exemplul studiat anterior.

Sunteți deja familiarizat cu conceptul de grad cu un exponent întreg. Cine mă poate ajuta să le amintesc?

Repetiție cu prezentare Gradul cu exponent întreg».

Pentru orice numere a , b și orice numere întregi m și n egalitățile sunt adevărate:

a m * a n = a m + n ;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(am) n = a mn ;

(a b) n = a n * b n ;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0) ;

a 1 = a ; a 0 = 1(a ≠ 0)

Astăzi vom generaliza conceptul de grad al unui număr și vom da sens expresiilor care au exponent fracționar. Să vă prezentăm definiție grade cu un indicator rațional (Prezentarea „Grad cu un indicator rațional”):

Gradul de a > 0 cu un exponent rațional r = , Unde m este un număr întreg și n - natural ( n > 1), numit numărul m .

Deci, prin definiție, obținem asta = m .

Să încercăm să aplicăm această definiție atunci când executăm o sarcină.

EXEMPLUL #1

Exprim ca rădăcină a unui număr expresia:

DAR) B) LA) .

Acum să încercăm să aplicăm această definiție în sens invers

II Exprimați expresia ca putere cu exponent rațional:

DAR) 2 B) LA) 5 .

Puterea lui 0 este definită numai pentru exponenții pozitivi.

0 r= 0 pentru orice r> 0.

Folosind această definiție, acasa veți completa #428 și #429.

Să arătăm acum că definiția de mai sus a unui grad cu un exponent rațional păstrează proprietățile de bază ale gradelor care sunt adevărate pentru orice exponent.

Pentru orice numere raționale r și s și orice a și b pozitive, egalitățile sunt adevărate:

1 0 . A r A s =a r+s ;

EXEMPLU: *

douăzeci . a r: a s =a r-s ;

EXEMPLU: :

3 0 . (a r ) s =a rs ;

EXEMPLU: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = A r b r ; 5 0 . ( = .

EXEMPLU: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

EXEMPLU despre utilizarea mai multor proprietăți simultan: * : .

Fizkultminutka.

Am pus pixuri pe birou, am îndreptat spatele, iar acum întindem mâna înainte, vrem să atingem tabla. Și acum ne-am ridicat și ne-am aplecat la dreapta, la stânga, înainte, înapoi. Mi-au arătat pixurile și acum arată-mi cum pot dansa degetele tale.

Lucrați la material

Observăm încă două proprietăți ale puterilor cu exponenți raționali:

60 . Lăsa r este un număr rațional și 0< a < b . Тогда

A r < b r la r> 0,

A r < b r la r< 0.

7 0 . Pentru orice numere raționalerși s din inegalitate r> s urmează că

A r> a r pentru a > 1,

A r < а r la 0< а < 1.

EXEMPLU: Comparați numerele:

Și ; 2 300 și 3 200 .

Rezumatul lecției:

Astăzi, în lecție, ne-am amintit proprietățile unui grad cu un exponent întreg, am învățat definiția și proprietățile de bază ale unui grad cu un exponent rațional, am luat în considerare aplicarea acestui material teoretic în practică la efectuarea exercițiilor. Vreau să vă atrag atenția asupra faptului că subiectul „Grad cu un indicator rațional” este obligatoriu în sarcinile examenului. La pregătirea temelor Nr. 428 și Nr. 429

Din exponenții întregi ai numărului a, se sugerează trecerea la un exponent rațional. Mai jos definim un grad cu exponent rațional și o vom face în așa fel încât să fie păstrate toate proprietățile unui grad cu exponent întreg. Acest lucru este necesar deoarece numerele întregi fac parte din numerele raționale.

Se știe că mulțimea numerelor raționale este formată din numere întregi și numere fracționale, iar fiecare număr fracționar poate fi reprezentat ca o fracție ordinară pozitivă sau negativă. Am definit gradul cu un exponent întreg în paragraful anterior, prin urmare, pentru a completa definiția gradului cu un exponent rațional, trebuie să dăm un sens gradului numărului. A cu o fracție m/n, Unde m este un număr întreg și n- naturală. Hai să o facem.

Să considerăm un grad cu un exponent fracționar de forma . Pentru ca proprietatea de grad într-un grad să rămână valabilă, egalitatea trebuie să fie valabilă . Dacă luăm în considerare egalitatea rezultată și modul în care am determinat rădăcina gradului al n-lea, atunci este logic să acceptăm, cu condiția ca cu datele m, nși A expresia are sens.

Este ușor de verificat că toate proprietățile unui grad cu un exponent întreg sunt valabile pentru ca (acest lucru se face în secțiunea despre proprietățile unui grad cu un exponent rațional).

Raționamentul de mai sus ne permite să facem următoarele concluzie: dacă este dat m, nși A expresia are sens, apoi puterea numărului A cu o fracție m/n numită rădăcină n gradul de A in masura m.

Această afirmație ne aduce aproape de definiția unui grad cu exponent fracționar. Rămâne doar să descriem sub ce m, nși A expresia are sens. În funcție de restricțiile impuse m, nși A există două abordări principale.

1. Cel mai simplu mod este de a impune o restricție asupra A, acceptând a≥0 pentru pozitiv mși a>0 pentru negativ m(deoarece la m≤0 grad 0 m nedeterminat). Apoi obținem următoarea definiție a gradului cu un exponent fracționar.

Definiție.

Gradul unui număr pozitiv A cu o fracție m/n , Unde m este un întreg, și n este un număr natural, numit rădăcină n-a dintre ele A in masura m, acesta este, .

Gradul fracționar de zero este, de asemenea, definit cu singura avertizare că exponentul trebuie să fie pozitiv.

Definiție.

Puterea lui zero cu exponent pozitiv fracționar m/n , Unde m este un număr întreg pozitiv și n este un număr natural, definit ca .
Când gradul nu este definit, adică gradul numărului zero cu un exponent negativ fracționar nu are sens.

Trebuie remarcat faptul că, cu o astfel de definiție a gradului cu un exponent fracțional, există o nuanță: pentru unele negative A si ceva mși n expresia are sens și am înlăturat aceste cazuri introducând condiția a≥0. De exemplu, are sens să scrii sau , iar definiția de mai sus ne obligă să spunem că grade cu un exponent fracționar al formei sunt lipsite de sens, deoarece baza nu trebuie să fie negativă.

2. O altă abordare pentru determinarea gradului cu un exponent fracționar m/n constă în luarea în considerare separată a exponenților pari și impari ai rădăcinii. Această abordare necesită o condiție suplimentară: puterea unui număr A, al cărui indicator este o fracție ordinară redusă, este considerată o putere a unui număr A, al cărui indicator este fracția ireductibilă corespunzătoare (importanța acestei condiții va fi explicată mai jos). Adică dacă m/n este o fracție ireductibilă, atunci pentru orice număr natural k gradul este înlocuit preliminar cu .

Pentru chiar n si pozitive m expresia are sens pentru orice non-negativ A(rădăcina unui grad par a unui număr negativ nu are sens), cu negativ m număr A trebuie să fie în continuare diferit de zero (altfel va fi o împărțire cu zero). Și pentru ciudat n si pozitive m număr A poate fi orice (rădăcina unui grad impar este definită pentru orice număr real) și pentru negativ m număr A trebuie să fie diferit de zero (astfel încât să nu existe împărțire cu zero).

Raționamentul de mai sus ne conduce la o astfel de definiție a gradului cu exponent fracționar.

Definiție.

Lăsa m/n- fractie ireductibila m este un întreg, și n- numar natural. Pentru orice fracție ordinară reductibilă, gradul este înlocuit cu . Gradul de A cu exponent fracționar ireductibil m/n- este pentru

o orice număr real A, un număr întreg pozitiv mși ciudat natural n, de exemplu, ;

o orice număr real diferit de zero A, un întreg negativ mși ciudat n, de exemplu, ;

o orice număr nenegativ A, un număr întreg pozitiv mși chiar n, de exemplu, ;

o orice pozitiv A, un întreg negativ mși chiar n, de exemplu, ;

o în alte cazuri, gradul cu exponent fracționar nu este definit, deoarece, de exemplu, grade nu sunt definite .a intrărilor nu atașăm nicio semnificație, definim gradul de zero pentru exponenții fracționali pozitivi m/n Cum , pentru exponenții fracționali negativi, gradul numărului zero nu este definit.

În încheierea acestui paragraf, să acordăm atenție faptului că un exponent fracționar poate fi scris ca o fracție zecimală sau un număr mixt, de exemplu, . Pentru a calcula valorile expresiilor de acest fel, trebuie să scrieți exponentul ca o fracție obișnuită și apoi să utilizați definiția gradului cu un exponent fracționar. Pentru aceste exemple, avem și

În acest articol, vom înțelege ce este gradul de. Aici vom da definiții ale gradului unui număr, luând în considerare în detaliu toți exponenții posibili ai gradului, începând cu un exponent natural, terminând cu unul irațional. În material veți găsi o mulțime de exemple de grade care acoperă toate subtilitățile care apar.

Navigare în pagină.

Gradul cu exponent natural, pătratul unui număr, cubul unui număr

Sa incepem cu . Privind în viitor, să presupunem că definiția gradului a cu exponent natural n este dată pentru a , pe care o vom numi baza gradului, și n , pe care le vom numi exponent. De asemenea, rețineți că gradul cu un indicator natural este determinat prin produs, așa că pentru a înțelege materialul de mai jos, trebuie să aveți o idee despre înmulțirea numerelor.

Definiție.

Puterea numărului a cu exponent natural n este o expresie de forma a n , a cărei valoare este egală cu produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a , adică .
În special, gradul unui număr a cu exponentul 1 este numărul a însuși, adică a 1 =a.

Imediat merită menționat regulile de citire a gradelor. Modul universal de a citi intrarea a n este: „a la puterea lui n”. În unele cazuri, sunt acceptabile și astfel de opțiuni: „a la a n-a putere” și „a n-a putere a numărului a”. De exemplu, să luăm puterea lui 8 12, aceasta este „opt la puterea a doisprezece”, sau „opt la puterea a douăsprezecea”, sau „puterea a douăsprezecea a opt”.

A doua putere a unui număr, precum și a treia putere a unui număr, au propriile nume. Se numește a doua putere a unui număr pătratul unui număr, de exemplu, 7 2 se citește ca „șapte pătrat” sau „pătrat al numărului șapte”. Se numește a treia putere a unui număr numărul cubului, de exemplu, 5 3 poate fi citit ca „cinci cuburi” sau spune „cubul numărului 5”.

E timpul să aduci exemple de grade cu indicatori fizici. Să începem cu puterea lui 5 7 , unde 5 este baza puterii și 7 este exponentul. Să dăm un alt exemplu: 4,32 este baza, iar numărul natural 9 este exponentul (4,32) 9 .

Vă rugăm să rețineți că în ultimul exemplu, baza gradului 4,32 este scrisă între paranteze: pentru a evita discrepanțe, vom lua între paranteze toate bazele gradului care sunt diferite de numerele naturale. Ca exemplu, oferim următoarele grade cu indicatori naturali , bazele lor nu sunt numere naturale, deci sunt scrise între paranteze. Ei bine, pentru o claritate completă în acest punct, vom arăta diferența conținută în înregistrările de forma (−2) 3 și −2 3 . Expresia (−2) 3 este puterea lui −2 cu exponent natural 3, iar expresia −2 3 (se poate scrie ca −(2 3) ) corespunde numărului, valoarea puterii 2 3 .

Rețineți că există o notație pentru gradul lui a cu un exponent n de forma a^n . Mai mult, dacă n este un număr natural cu mai multe valori, atunci exponentul este luat între paranteze. De exemplu, 4^9 este o altă notație pentru puterea lui 4 9 . Și aici sunt mai multe exemple de scriere a grade folosind simbolul „^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . În cele ce urmează, vom folosi în principal notația gradului formei a n .

Una dintre probleme, inversul exponențiației cu un exponent natural, este problema găsirii bazei gradului dintr-o valoare cunoscută a gradului și un exponent cunoscut. Această sarcină duce la .

Se știe că mulțimea numerelor raționale este formată din numere întregi și numere fracționale, iar fiecare număr fracționar poate fi reprezentat ca o fracție ordinară pozitivă sau negativă. Am definit gradul cu un exponent întreg în paragraful anterior, prin urmare, pentru a completa definiția gradului cu un exponent rațional, trebuie să dăm semnificația gradului numărului a cu un exponent fracționar m / n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Hai să o facem.

Să considerăm un grad cu un exponent fracționar de forma . Pentru ca proprietatea de grad într-un grad să rămână valabilă, egalitatea trebuie să fie valabilă . Dacă luăm în considerare egalitatea rezultată și modul în care am definit , atunci este logic să acceptăm, cu condiția ca pentru m, n și a dat expresia să aibă sens.

Este ușor de verificat că toate proprietățile unui grad cu un exponent întreg sunt valabile pentru ca (acest lucru se face în secțiunea despre proprietățile unui grad cu un exponent rațional).

Raționamentul de mai sus ne permite să facem următoarele concluzie: dacă pentru m, n și a dat expresia are sens, atunci puterea numărului a cu exponent fracționar m / n este rădăcina gradului al n-lea al lui a la puterea m.

Această afirmație ne aduce aproape de definiția unui grad cu exponent fracționar. Rămâne doar să descriem pentru care m, n și a expresia are sens. În funcție de restricțiile impuse asupra m , n și a, există două abordări principale.

Cel mai simplu mod de a constrânge a este să presupunem a≥0 pentru m pozitiv și a>0 pentru m negativ (deoarece m≤0 nu are o putere de 0 m). Apoi obținem următoarea definiție a gradului cu un exponent fracționar.

Definiție.

Puterea unui număr pozitiv a cu exponent fracționar m/n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural, se numește rădăcină a n-a a numărului a la puterea lui m, adică .

Gradul fracționar de zero este, de asemenea, definit cu singura avertizare că exponentul trebuie să fie pozitiv.

Definiție.

Puterea lui zero cu exponent pozitiv fracționar m/n, unde m este un întreg pozitiv și n este un număr natural, este definit ca .
Când gradul nu este definit, adică gradul numărului zero cu un exponent negativ fracționar nu are sens.

De remarcat că, cu o astfel de definiție a gradului cu exponent fracționar, există o nuanță: pentru unele negative a și unele m și n, expresia are sens și am înlăturat aceste cazuri introducând condiția a≥0 . De exemplu, are sens să scrii sau , iar definiția de mai sus ne obligă să spunem că grade cu un exponent fracționar al formei sunt lipsite de sens, deoarece baza nu trebuie să fie negativă.

O altă abordare pentru determinarea gradului cu un exponent fracționar m / n este de a lua în considerare separat exponenții pari și impari ai rădăcinii. Această abordare necesită o condiție suplimentară: gradul numărului a, al cărui exponent este , este considerat gradul numărului a, al cărui exponent este fracția ireductibilă corespunzătoare (importanța acestei condiții va fi explicată mai jos). Adică, dacă m/n este o fracție ireductibilă, atunci pentru orice număr natural k gradul este mai întâi înlocuit cu .

Pentru n par și m pozitiv, expresia are sens pentru orice a nenegativ (rădăcina unui grad par dintr-un număr negativ nu are sens), pentru m negativ, numărul a trebuie să fie în continuare diferit de zero (altfel există va fi o împărțire cu zero). Și pentru n impar și m pozitiv, numărul a poate fi orice (rădăcina unui grad impar este definită pentru orice număr real), iar pentru m negativ, numărul a trebuie să fie diferit de zero (astfel încât să nu existe o împărțire cu zero).

Raționamentul de mai sus ne conduce la o astfel de definiție a gradului cu exponent fracționar.

Definiție.

Fie m/n o fracție ireductibilă, m un număr întreg și n un număr natural. Pentru orice fracție ordinară reductibilă, gradul este înlocuit cu . Puterea lui a cu un exponent fracționar ireductibil m / n este pentru



Să explicăm de ce un grad cu un exponent fracționar reductibil este mai întâi înlocuit cu un grad cu un exponent ireductibil. Dacă am defini pur și simplu gradul ca , și nu am face o rezervă cu privire la ireductibilitatea fracției m / n , atunci am întâlni situații similare cu următoarele: deoarece 6/10=3/5 , atunci egalitatea , dar , A .

Lecția video „Grad cu un indicator rațional” conține material educațional vizual pentru desfășurarea unei lecții pe această temă. Lecția video conține informații despre conceptul de diplomă cu un exponent rațional, proprietățile unor astfel de grade, precum și exemple care descriu utilizarea materialului educațional pentru rezolvarea problemelor practice. Sarcina acestei lecții video este de a prezenta clar și clar materialul educațional, de a facilita dezvoltarea și memorarea acestuia de către elevi, de a forma capacitatea de a rezolva probleme folosind conceptele învățate.

Principalele avantaje ale lecției video sunt capacitatea de a face transformări și calcule vizuale, capacitatea de a folosi efecte de animație pentru a îmbunătăți eficiența învățării. Acompaniamentul vocal ajută la dezvoltarea vorbirii matematice corecte și, de asemenea, face posibilă înlocuirea explicației profesorului, eliberându-l pentru munca individuală.

Tutorialul video începe prin introducerea subiectului. Legând studiul unui subiect nou cu materialul studiat anterior, se sugerează să reamintim că n √a este altfel notat cu 1/n pentru n natural și a pozitiv. Această reprezentare a rădăcinii n este afișată pe ecran. În plus, se propune să se ia în considerare ceea ce înseamnă expresia a m / n, în care a este un număr pozitiv, iar m / n este o fracție. Definiția gradului evidențiat în casetă este dată cu un exponent rațional ca m/n = n √ a m . Se observă că n poate fi un număr natural, iar m - un număr întreg.

După determinarea gradului cu un exponent rațional, semnificația acestuia este relevată prin exemple: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . De asemenea, este prezentat un exemplu în care o putere reprezentată printr-o zecimală este convertită într-o fracție comună pentru a fi reprezentată ca rădăcină: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 și un exemplu cu exponent negativ: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .

Separat, o caracteristică a unui anumit caz este indicată atunci când baza gradului este zero. Se observă că acest grad are sens numai cu un exponent fracționar pozitiv. În acest caz, valoarea sa este egală cu zero: 0 m/n =0.

Se remarcă o altă caracteristică a gradului cu exponent rațional - că gradul cu exponent fracționar nu poate fi considerat cu un exponent fracționar. Sunt date exemple de notare incorectă a gradului: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

În continuare, în lecția video, sunt luate în considerare proprietățile unui grad cu un exponent rațional. Se observă că proprietățile unui grad cu exponent întreg vor fi valabile și pentru un grad cu exponent rațional. Se propune reamintirea listei de proprietăți care sunt valabile și în acest caz:

1. La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, indicatorii lor se adună: a p a q \u003d a p + q.
2. Împărțirea gradelor cu aceleași baze se reduce la un grad cu o bază dată și diferența de exponenți: a p:a q =a p-q .
3. Dacă ridicăm puterea la o anumită putere, atunci ca rezultat obținem puterea cu baza dată și produsul exponenților: (a p) q =a pq .

Toate aceste proprietăți sunt valabile pentru puteri cu exponenți raționali p, q și bază pozitivă a>0. De asemenea, transformările de grade rămân adevărate la deschiderea parantezelor:

1. (ab) p =a p b p - ridicarea unui produs de două numere la o anumită putere cu un exponent rațional se reduce la un produs de numere, fiecare dintre acestea fiind ridicat la o putere dată.
2. (a/b) p =a p /b p - exponentiația cu un exponent rațional al unei fracții se reduce la o fracție al cărei numărător și numitor sunt ridicate la puterea dată.

Tutorialul video discută soluția exemplelor care folosesc proprietățile considerate ale gradelor cu exponent rațional. În primul exemplu, se propune găsirea valorii unei expresii care conține variabilele x la o putere fracționară: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). În ciuda complexității expresiei, folosind proprietățile gradelor, se rezolvă destul de simplu. Rezolvarea sarcinii începe cu o simplificare a expresiei, care folosește regula ridicării unei puteri cu un exponent rațional la o putere, precum și înmulțirea puterilor cu aceeași bază. După înlocuirea valorii date x=8 în expresia simplificată x 1/3 +48, ​​este ușor să obțineți valoarea - 50.

În al doilea exemplu, este necesară reducerea unei fracții al cărei numărător și numitor conțin puteri cu un exponent rațional. Folosind proprietățile gradului, selectăm factorul x 1/3 din diferență, care este apoi redus în numărător și numitor, iar folosind formula diferenței de pătrate, numărătorul este descompus în factori, ceea ce dă mai multe reduceri ale aceiași factori în numărător și numitor. Rezultatul unor astfel de transformări este o fracție scurtă x 1/4 +3.

Lecția video „Grad cu un indicator rațional” poate fi folosită în locul ca profesorul să explice noua temă a lecției. De asemenea, acest manual conține suficiente informații pentru auto-studiul de către student. Materialul poate fi util în învățământul la distanță.