Planul lecției.
1. Moment organizatoric.
2. Prezentarea materialului.
3. Tema pentru acasă.
4. Rezumând lecția.
În timpul orelor
I. Moment organizatoric.
II. Prezentarea materialului.
Motivația.
Extinderea multimii numerelor reale consta in faptul ca numerelor reale se adauga numere noi (imaginare). Introducerea acestor numere este legată de imposibilitatea extragerii rădăcinii dintr-un număr negativ din mulțimea numerelor reale.
Introducerea conceptului de număr complex.
Numerele imaginare cu care suplimentăm numerele reale se scriu ca bi, Unde i este unitatea imaginară și i 2 = - 1.
Pe baza acesteia, obținem următoarea definiție a unui număr complex.
Definiție. Un număr complex este o expresie a formei a+bi, Unde Ași b sunt numere reale. În acest caz, sunt îndeplinite următoarele condiții:
a) Două numere complexe a 1 + b 1 iși a 2 + b 2 i egal dacă și numai dacă a 1 = a 2, b1=b2.
b) Adunarea numerelor complexe este determinată de regula:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) Înmulțirea numerelor complexe este determinată de regula:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Forma algebrică a unui număr complex.
Scrierea unui număr complex în formă a+bi se numește forma algebrică a unui număr complex, unde A- parte reală bi este partea imaginară și b este un număr real.
Număr complex a+bi este considerat egal cu zero dacă părțile sale reale și imaginare sunt egale cu zero: a=b=0
Număr complex a+bi la b = 0 considerat a fi un număr real A: a + 0i = a.
Număr complex a+bi la a = 0 se numește pur imaginar și se notează bi: 0 + bi = bi.
Două numere complexe z = a + biși = a – bi, care diferă doar prin semnul părții imaginare, se numesc conjugate.
Acțiuni asupra numerelor complexe în formă algebrică.
Următoarele operații pot fi efectuate pe numere complexe în formă algebrică.
1) Adăugarea.
Definiție. Suma numerelor complexe z 1 = a 1 + b 1 iși z 2 = a 2 + b 2 i numit număr complex z, a cărui parte reală este egală cu suma părților reale z1și z2, iar partea imaginară este suma părților imaginare ale numerelor z1și z2, adică z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
Numerele z1și z2 se numesc termeni.
Adunarea numerelor complexe are următoarele proprietăți:
1º. Comutativitate: z1 + z2 = z2 + z1.
2º. Asociativitate: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Număr complex -a -bi se numește opusul unui număr complex z = a + bi. Număr complex opus numărului complex z, notat -z. Suma numerelor complexe zși -z este egal cu zero: z + (-z) = 0
Exemplul 1: Adăugați (3 - i) + (-1 + 2i).
(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Scăderea.
Definiție. Scăderea din numărul complex z1 număr complex z2 z, ce z + z 2 = z 1.
Teorema. Diferența numerelor complexe există și, în plus, este unică.
Exemplul 2: Scăderea (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.
3) Înmulțirea.
Definiție. Produsul numerelor complexe z 1 =a 1 +b 1 iși z 2 \u003d a 2 + b 2 i numit număr complex z, definit prin egalitate: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Numerele z1și z2 se numesc factori.
Înmulțirea numerelor complexe are următoarele proprietăți:
1º. Comutativitate: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Asociativitate: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea:
(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2 este un număr real.
În practică, înmulțirea numerelor complexe se realizează după regula înmulțirii sumei cu suma și separării părților reale și imaginare.
În exemplul următor, luați în considerare înmulțirea numerelor complexe în două moduri: prin regulă și prin înmulțirea sumei cu suma.
Exemplul 3: Înmulțiți (2 + 3i) (5 – 7i).
1 cale. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
2 sensuri. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Diviziune.
Definiție. Împărțiți un număr complex z1 la un număr complex z2, înseamnă a găsi un număr atât de complex z, ce z z 2 = z 1.
Teorema. Coeficientul numerelor complexe există și este unic dacă z2 ≠ 0 + 0i.
În practică, câtul numerelor complexe se găsește prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu conjugatul numitorului.
Lasa z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, apoi
.
În exemplul următor, efectuăm împărțirea după formula și regula înmulțirii cu conjugatul numitorului.
Exemplul 4. Găsiți un coeficient 
.
5) Ridicarea la o putere întreagă pozitivă.
a) Puterile unitatii imaginare.
Profitând de egalitate i 2 \u003d -1, este ușor de definit orice putere întreagă pozitivă a unității imaginare. Noi avem:
i 3 \u003d i 2 i \u003d -i,
i 4 \u003d i 2 i 2 \u003d 1,
i 5 \u003d i 4 i \u003d i,
i 6 \u003d i 4 i 2 \u003d -1,
i 7 \u003d i 5 i 2 \u003d -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 etc.
Aceasta arată că gradul valorează eu n, Unde n- un număr întreg pozitiv, repetat periodic când indicatorul crește cu 4 .
Prin urmare, pentru a crește numărul i la o putere întreagă pozitivă, împărțiți exponentul la 4 și erec i la puterea al cărei exponent este restul diviziunii.
Exemplul 5 Calculați: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.
(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - i.
b) Ridicarea unui număr complex la o putere întreagă pozitivă se realizează conform regulii ridicării unui binom la puterea corespunzătoare, deoarece este un caz special de înmulțire a factorilor complecși identici.
Exemplul 6 Calculați: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Pagina 2 din 3
Forma algebrică a unui număr complex.
Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor complexe.
Ne-am întâlnit deja cu forma algebrică a unui număr complex - aceasta este forma algebrică a unui număr complex. De ce vorbim despre formă? Cert este că există și forme trigonometrice și exponențiale ale numerelor complexe, care vor fi discutate în paragraful următor.
Operațiile cu numere complexe nu sunt deosebit de dificile și diferă puțin de algebra obișnuită.
Adunarea numerelor complexe
Exemplul 1
Adăugați două numere complexe,
Pentru a adăuga două numere complexe, adăugați părțile lor reale și imaginare:
Simplu, nu-i așa? Acțiunea este atât de evidentă încât nu are nevoie de comentarii suplimentare.
Într-un mod atât de simplu, puteți găsi suma oricărui număr de termeni: însumați părțile reale și însumați părțile imaginare.
Pentru numerele complexe, regula de primă clasă este adevărată: 
- din rearanjarea termenilor, suma nu se modifica.
Scăderea numerelor complexe
Exemplul 2
Găsiți diferențele numerelor complexe și dacă ,
Acțiunea este similară cu adăugarea, singura caracteristică este că subtrahendul trebuie luat între paranteze și apoi, ca standard, deschideți aceste paranteze cu o schimbare de semn:
Rezultatul nu trebuie să confunde, numărul rezultat are două, nu trei părți. Doar partea reală este o componentă: . Pentru claritate, răspunsul poate fi rescris astfel: .
Să calculăm a doua diferență:
Aici partea reală este, de asemenea, o componentă:
Pentru a evita orice subestimare, voi da un scurt exemplu cu o parte imaginară „rea”: . Aici nu te poți descurca fără paranteze.
Înmulțirea numerelor complexe
A venit momentul să vă prezentăm celebra egalitate:
Exemplul 3
Aflați produsul numerelor complexe,
Evident, lucrarea ar trebui scrisă astfel:
Ce se întreabă? Își propune să deschidă parantezele după regula înmulțirii polinoamelor. Așa ar trebui făcut! Toate operațiile algebrice vă sunt familiare, principalul lucru de reținut este că si fii atent.
Să repetăm, omg, regula școlii pentru înmulțirea polinoamelor: Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt polinom.
O sa scriu in detaliu:
Sper că a fost clar pentru toată lumea asta
Atenție și din nou atenție, cel mai adesea se comite o greșeală în semne.
La fel ca suma, produsul numerelor complexe este permuabil, adică egalitatea este adevărată: .
În literatura educațională și pe web, este ușor să găsești o formulă specială pentru calcularea produsului numerelor complexe. Folosește-l dacă vrei, dar mi se pare că abordarea cu înmulțirea polinoamelor este mai universală și mai clară. Nu o sa dau formula, cred ca in acest caz se infunda capul cu rumegus.
Împărțirea numerelor complexe
Exemplul 4
Datele numere complexe, . Găsiți privat.
Să facem un coeficient:
Se efectuează împărțirea numerelor prin înmulțirea numitorului și numărătorului cu expresia conjugată a numitorului.
Reamintim formula cu barbă și ne uităm la numitorul nostru: . Numitorul are deja , deci expresia conjugată în acest caz este , adică
Conform regulii, numitorul trebuie înmulțit cu , iar pentru ca nimic să nu se schimbe, înmulțiți numărătorul cu același număr:
O sa scriu in detaliu:
Am luat un exemplu „bun”, dacă luați două numere „din buldozer”, atunci, ca urmare a împărțirii, veți obține aproape întotdeauna fracții, ceva de genul.
În unele cazuri, înainte de împărțire, este recomandabil să simplificați fracția, de exemplu, luați în considerare câtul de numere:. Înainte de a împărți, scăpăm de minusurile inutile: la numărător și la numitor, scoatem minusurile din paranteze și reducem aceste minusuri: 
. Pentru cei cărora le place să rezolve, voi da răspunsul corect:
Rareori, dar există o astfel de sarcină:
Exemplul 5
Vi se dă un număr complex. Scrieți numărul dat în formă algebrică (adică în formă).
Recepția este aceeași - înmulțim numitorul și numărătorul cu expresia conjugată la numitor. Să ne uităm din nou la formulă. Numitorul are deja , deci numitorul și numărătorul trebuie înmulțiți cu expresia conjugată, adică cu:
În practică, ele pot oferi cu ușurință un exemplu elegant în care trebuie să efectuați o mulțime de operații cu numere complexe. Fara panica: ai grija, urmați regulile algebrei, ordinea algebrică obișnuită a operațiilor și amintiți-vă că .
Forma trigonometrică și exponențială a unui număr complex
În această secțiune, ne vom concentra mai mult pe forma trigonometrică a unui număr complex. Forma exponențială în sarcinile practice este mult mai puțin comună. Recomand descărcarea și, dacă este posibil, tipărirea tabelelor trigonometrice, material metodologic se găsește pe pagină Formule și tabele matematice. Nu poți merge departe fără mese.
Orice număr complex (cu excepția zero) poate fi scris sub formă trigonometrică: 
, unde este modulul numerelor complexe, A - argument de număr complex. Nu fugi, e mai ușor decât crezi.
Desenați un număr pe planul complex. Pentru certitudinea și simplitatea explicațiilor, o vom plasa în primul trimestru de coordonate, i.e. credem ca:
Modulul unui număr complex este distanța de la originea coordonatelor până la punctul corespunzător al planului complex. Pur și simplu pune, modulul este lungimea vector rază, care este marcat cu roșu în desen.
Modulul unui număr complex este de obicei notat cu: sau
Folosind teorema lui Pitagora, este ușor să se obțină o formulă pentru a afla modulul unui număr complex: . Această formulă este valabilă pentru orice semnificații „a” și „fi”.
Notă: modulul unui număr complex este o generalizare a conceptului modulul numărului real, ca distanța de la punct la origine.
Argumentul unui număr complex numit injecţieîntre axa pozitivă axa reală și vectorul rază trasate de la origine până la punctul corespunzător. Argumentul nu este definit la singular: .
Principiul luat în considerare este de fapt similar cu coordonate polare, unde raza polară și unghiul polar definesc unic un punct.
Argumentul unui număr complex este de obicei notat cu: sau
Din considerente geometrice, se obține următoarea formulă pentru găsirea argumentului:
. Atenţie! Această formulă funcționează numai în semiplanul drept! Dacă numărul complex nu este situat în cadranul de coordonate 1 sau 4, atunci formula va fi ușor diferită. Vom lua în considerare și aceste cazuri.
Dar mai întâi, luați în considerare cele mai simple exemple, când numerele complexe sunt situate pe axele de coordonate.
Exemplul 7
Să executăm desenul:
De fapt, sarcina este orală. Pentru claritate, voi rescrie forma trigonometrică a unui număr complex: 
Să ne amintim bine, modulul - lungime(care este întotdeauna non-negativ), argumentul este injecţie.
1) Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică. Găsiți modulul și argumentul acestuia. Este evident că. Calcul formal după formula: .
Este evident că (numărul se află direct pe semiaxa pozitivă reală). Deci numărul în formă trigonometrică este: 
.
Limpede ca ziua, acțiune de verificare inversă:
2) Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică. Găsiți modulul și argumentul acestuia. Este evident că. Calcul formal după formula: .
Evident (sau 90 de grade). În desen, colțul este marcat cu roșu. Deci numărul în formă trigonometrică este: 
.
Folosind tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice, este ușor să obțineți înapoi forma algebrică a unui număr (în același timp, verificând):
3) Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică. Găsiți modulul și argumentul acestuia. Este evident că. Calcul formal după formula: .
Evident (sau 180 de grade). În desen, unghiul este indicat cu albastru. Deci numărul în formă trigonometrică este: 
.
Examinare:
4) Și al patrulea caz interesant. Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică. Găsiți modulul și argumentul acestuia. Este evident că. Calcul formal după formula: .
Argumentul poate fi scris în două moduri: Primul mod: (270 de grade) și, în consecință: 
. Examinare:
Cu toate acestea, următoarea regulă este mai standard: Dacă unghiul este mai mare de 180 de grade, apoi se scrie cu semnul minus și orientarea opusă („defilare”) unghiului: (minus 90 de grade), în desen unghiul este marcat cu verde. Este ușor de văzut că și sunt în același unghi.
Astfel, intrarea devine: 
Atenţie!În nici un caz nu trebuie să utilizați uniformitatea cosinusului, ciudatul sinusului și să efectuați o „simplificare” suplimentară a înregistrării:
Apropo, este util să amintim aspectul și proprietățile funcțiilor trigonometrice și trigonometrice inverse, materialele de referință sunt în ultimele paragrafe ale paginii Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare de bază. Și numerele complexe sunt mult mai ușor de învățat!
În proiectarea celor mai simple exemple, ar trebui scris astfel: „este evident că modulul este ... este evident că argumentul este ...”. Acest lucru este cu adevărat evident și ușor de rezolvat verbal.
Să trecem la cazuri mai frecvente. După cum am menționat deja, nu există probleme cu modulul, ar trebui să utilizați întotdeauna formula. Dar formulele pentru găsirea argumentului vor fi diferite, depinde de sfertul de coordonate în care se află numărul. În acest caz, sunt posibile trei opțiuni (este util să le rescrieți în caiet):
1) Dacă (1 și 4 sferturi de coordonate, sau semiplanul drept), atunci argumentul trebuie găsit folosind formula.
2) Dacă (al doilea trimestru de coordonate), atunci argumentul trebuie găsit prin formulă 
.
3) Dacă (al treilea trimestru de coordonate), atunci argumentul trebuie găsit prin formulă 
.
Exemplul 8
Exprimați numerele complexe în formă trigonometrică: , , , .
De îndată ce există formule gata făcute, desenul nu este necesar. Dar există un punct: atunci când vi se cere să prezentați un număr în formă trigonometrică desenul este mai bine să faci oricum. Faptul este că profesorii resping adesea o soluție fără desen, absența unui desen este un motiv serios pentru un minus și un eșec.
Eh, n-am desenat nimic de mână de o sută de ani, stai:
Ca întotdeauna, s-a dovedit dezordonat =)
Voi prezenta numerele și în formă complexă, primul și al treilea număr vor fi pentru decizie independentă.
Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică. Găsiți modulul și argumentul acestuia.
Forma algebrică de scriere a unui număr complex ................................................ ... ................... | |||
Planul numerelor complexe ............................................................. ............................. ................................. ................... ... | |||
Numere conjugate complexe ............................................................. .................................................. ............... | |||
Operații cu numere complexe în formă algebrică ................................................ ................... .... | |||
Adunarea numerelor complexe ............................................................. ............................. ................................. ................... | |||
Scăderea numerelor complexe ............................................................. ............ ................................................ .......... | |||
Înmulțirea numerelor complexe ............................................................. ............ ................................................ ......... | |||
Împărțirea numerelor complexe ............................................................. .................................................. ............... ... | |||
Forma trigonometrică a unui număr complex ............................................. .............. .......... | |||
Operații cu numere complexe în formă trigonometrică ................................................ ............ | |||
Înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică.................................................. ......................... | |||
Împărțirea numerelor complexe în formă trigonometrică ............................................. ................... ... | |||
Ridicarea unui număr complex la o putere întreagă pozitivă | |||
Extragerea rădăcinii unei puteri întregi pozitive dintr-un număr complex | |||
Ridicarea unui număr complex la o putere rațională .......................................... .................... ..... | |||
Serii complexe ............................................................. ................. ................................ ................. .................... | |||
Serii de numere complexe ............................................................. .................................................. ............... | |||
Seria de puteri în plan complex ............................................. ............................................................. | |||
Serii de puteri cu două fețe în plan complex ................................................ ..................... ... | |||
Funcțiile unei variabile complexe .................................................. ..................... ................................ ................... | |||
Funcții elementare de bază ............................................................. ................................................... .......... | |||
Formule lui Euler ................................................. .. ................................................ .................... | |||
Forma exponențială a reprezentării unui număr complex ........................................ ...... . | |||
Relația dintre funcțiile trigonometrice și hiperbolice ................................................ | |||
Funcția logaritmică ................................................. ................. ................................ ................. ... | |||
Funcții generale exponențiale și puteri generale ................................................ ...................................... | |||
Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe............................................. .................... ... | |||
Condiții Cauchy-Riemann ................................................. .......................................................... ......... ............ | |||
Formule de calcul a derivatei ................................................. ............. ................................. | |||
Proprietăți ale operației de diferențiere ................................................ ............................................................. | |||
Proprietăți ale părților reale și imaginare ale unei funcții analitice ....................................... ....... | |||
Recuperarea unei funcții a unei variabile complexe din real sau imaginar al acesteia |
|||
Metoda numărul 1. Utilizarea integralei curbilinii ................................................. ......... ....... | |||
Metoda numărul 2. Aplicarea directă a condițiilor Cauchy-Riemann.................................................. | |||
Metoda numărul 3. Prin derivata funcției dorite .................................................. ................... ......... | |||
Integrarea funcțiilor unei variabile complexe.................................................. ................... ........... | |||
Formula integrală a lui Cauchy ................................................. ................................................. . .. | |||
Extinderea funcțiilor în seriile Taylor și Laurent ................................................ .... ......................... | |||
Zerouri și puncte singulare ale unei funcții a unei variabile complexe ................................ ....... ...... | |||
Zerurile unei funcții a unei variabile complexe ................................................ ............................................. | |||
Puncte singulare izolate ale unei funcții ale unei variabile complexe .................................. ...... | |||
14.3 Punct la infinit ca punct singular al unei funcții a unei variabile complexe
Retrageri ................................................................. ................................................. . ............................................... | |||
Deducerea la punctul final ................................................. ............................................................. ............ ...... | |||
Reziduul unei funcții într-un punct la infinit ............................................... ..................... ................. | |||
Calculul integralelor folosind reziduuri ............................................. ............................................. | |||
Întrebări pentru autoexaminare ............................................. ................. ................................ ................. ....... | |||
Literatură................................................. ................................................. . ................................ | |||
Index de subiecte................................................... ................................................. . ............. | |||
cuvânt înainte
Este destul de dificil să aloci corect timp și efort în pregătirea pentru părțile teoretice și practice ale unui examen sau certificare de modul, mai ales că întotdeauna nu este suficient timp în timpul sesiunii. Și așa cum arată practica, nu toată lumea poate face față acestui lucru. Ca urmare, în timpul examenului, unii studenți rezolvă corect probleme, dar le este greu să răspundă la cele mai simple întrebări teoretice, în timp ce alții pot formula o teoremă, dar nu o pot aplica.
Prezentele recomandări metodologice de pregătire pentru examenul la cursul de Teoria funcțiilor unei variabile complexe (TFV) reprezintă o încercare de a rezolva această contradicție și de a asigura repetarea simultană a materialului teoretic și practic al cursului. Ghidate de principiul „Teoria fără practică este moartă, practica fără teorie este oarbă”, ele conțin atât pozițiile teoretice ale cursului la nivelul definițiilor și formulărilor, cât și exemple care ilustrează aplicarea fiecărei poziții teoretice date și, prin urmare, facilitând memorarea și înțelegerea acestuia.
Scopul recomandărilor metodologice propuse este de a ajuta studentul să se pregătească pentru examen la un nivel de bază. Cu alte cuvinte, a fost alcătuit un ghid de lucru extins care conține punctele principale folosite în cursurile TFKT și necesare atunci când faceți temele și pregătiți pentru activitățile de control. Pe lângă munca independentă a studenților, această publicație educațională electronică poate fi utilizată atunci când desfășoară cursuri într-o formă interactivă folosind o tablă electronică sau pentru plasarea într-un sistem de învățământ la distanță.
Vă rugăm să rețineți că această lucrare nu înlocuiește manualele sau notele de curs. Pentru un studiu aprofundat al materialului, se recomandă să consultați secțiunile relevante ale publicației publicate la Universitatea Tehnică de Stat din Moscova. N.E. Manual de bază Bauman.
La sfârșitul manualului există o listă de literatură recomandată și un index de subiecte, care include toate cele evidențiate în text. cursiv aldine termeni. Indexul constă din hyperlinkuri către secțiuni în care acești termeni sunt strict definiți sau descriși și în care sunt date exemple pentru a ilustra utilizarea lor.
Manualul este destinat studenților din anul II ai tuturor facultăților din MSTU. N.E. Bauman.
1. Forma algebrică de scriere a unui număr complex
Înregistrarea formei z \u003d x + iy, unde x, y sunt numere reale, i este o unitate imaginară (adică i 2 = − 1)
se numește forma algebrică a numărului complex z. În acest caz, x se numește partea reală a numărului complex și se notează cu Re z (x = Re z ), y se numește partea imaginară a numărului complex și se notează cu Im z (y = Im z ).
Exemplu. Numărul complex z = 4− 3i are partea reală Rez = 4 , iar partea imaginară Imz = − 3 .
2. Planul numerelor complexe
LA teoriile funcţiilor unei variabile complexe considerăplan numeric complex, care se notează fie, fie se folosesc literele care denotă numere complexe z, w etc.
Axa orizontală a planului complex se numește axa reală, numerele reale sunt situate pe el z \u003d x + 0i \u003d x.
Axa verticală a planului complex se numește axa imaginară, are
3. Numere complexe conjugate
Se numesc numerele z = x + iy și z = x − iy conjugare complexa. Pe planul complex, ele corespund punctelor care sunt simetrice față de axa reală.
4. Operații cu numere complexe în formă algebrică
4.1 Adunarea numerelor complexe
Suma a două numere complexe | z 1= x 1+ iy 1 | iar z 2 = x 2 + iy 2 se numește număr complex |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | Operațiune | adaosuri |
||||||||||
numerele complexe este similară cu operația de adunare a binoamelor algebrice. | |||||||||||||
Exemplu. Suma a două numere complexe z 1 = 3+ 7i și z 2 | = −1 +2 i | va fi un număr complex |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i . | |||||||||||||
Evident, | suma intr-un complex | conjugat | este o | valabil | |||||||||
z + z = (x + iy) + (x − iy) = 2 x= 2 Rez. | |||||||||||||
4.2 Scăderea numerelor complexe | |||||||||||||
Diferența a două numere complexe z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 + iy 2 | numit | cuprinzător |
||||||||||
numărul z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Exemplu. Diferența dintre două numere complexe | z 1 =3 −4 i | și z2 | = −1 +2 i | va exista o cuprinzătoare |
|||||||||
numărul z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
diferență | conjugare complexa | este o | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x − iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Înmulțirea numerelor complexe | |||||||||||||
Produsul a două numere complexe | z 1= x 1+ iy 1 | și z 2= x 2+ iy 2 | se numeste complex |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x ) . | ||||||||||||
Astfel, operația de înmulțire a numerelor complexe este similară cu operația de înmulțire a binoamelor algebrice, ținând cont de faptul că i 2 = − 1.
