Imaginați-vă un avion: aripi, fuselaj, coadă, toate acestea împreună - un adevărat avion imens, imens, întreg. Si poti sa faci un model de avion, mic, dar totul este real, aceleasi aripi etc., dar compact. La fel și modelul matematic. Există o problemă de text, greoaie, poți să o privești, să o citești, dar să nu o înțelegi prea bine și, cu atât mai mult, nu este clar cum să o rezolvi. Dar dacă facem un model mic al acestuia, un model matematic, dintr-o sarcină verbală mare? Ce înseamnă matematică? Deci, folosind regulile și legile notației matematice, refaceți textul într-o reprezentare logic corectă folosind numere și semne aritmetice. Asa de, Un model matematic este o reprezentare a unei situații reale folosind un limbaj matematic.
Să începem simplu: numărul este mai mare decât numărul cu. Trebuie să-l notăm fără a folosi cuvinte, doar limbajul matematicii. Dacă mai mult, atunci se dovedește că dacă scădem din, atunci însăși diferența acestor numere va rămâne egală. Acestea. sau. Ai intelesul?
Acum e mai complicat, acum va fi un text pe care ar trebui să încerci să-l prezinți sub forma unui model matematic, până când vei citi cum o să fac, încearcă și tu! Există patru numere: , și. Un produs și mai multe produse și de două ori.
Ce s-a întâmplat?
Sub forma unui model matematic, va arăta astfel:
Acestea. produsul este legat de doi la unu, dar acest lucru poate fi simplificat și mai mult:
Ei bine, cu exemple simple, înțelegi ideea, cred. Să trecem la sarcini cu drepturi depline în care trebuie rezolvate și aceste modele matematice! Aici este sarcina.
Model matematic în practică
Sarcina 1
După ploaie, nivelul apei din fântână poate crește. Băiatul măsoară timpul căderii pietricelelor mici în fântână și calculează distanța până la apă folosind formula, unde este distanța în metri și este timpul căderii în secunde. Înainte de ploaie, timpul pentru căderea pietricelelor era s. Cât de mult trebuie să crească nivelul apei după ploaie pentru ca timpul măsurat să se schimbe în s? Exprimați răspunsul în metri.
Oh Doamne! Ce formule, ce fel de puț, ce se întâmplă, ce să faci? Ți-am citit gândurile? Relaxează-te, în sarcinile de acest tip, condițiile sunt și mai groaznice, principalul lucru de reținut este că în această sarcină te interesează formulele și relațiile dintre variabile, iar ceea ce înseamnă toate acestea în majoritatea cazurilor nu este foarte important. Ce vi se pare util aici? Eu personal văd. Principiul rezolvării acestor probleme este următorul: luați toate cantitățile cunoscute și le înlocuiți.Dar uneori trebuie să te gândești!
Urmând primul meu sfat și înlocuind toate cele cunoscute în ecuație, obținem:
Eu am înlocuit timpul celui de-al doilea și am găsit înălțimea pe care a zburat piatra înaintea ploii. Și acum trebuie să numărăm după ploaie și să găsim diferența!
Ascultă acum al doilea sfat și gândește-te la el, se clarifică întrebarea, „cât trebuie să crească nivelul apei după ploaie pentru ca timpul măsurat să se schimbe cu s”. Trebuie să vă dați seama imediat, așa că, după ploaie, nivelul apei crește, ceea ce înseamnă că timpul pentru ca piatra să cadă la nivelul apei este mai mic, iar aici expresia ornamentată „pentru ca timpul măsurat să se schimbe” ia pe o anumită semnificație: timpul de cădere nu crește, ci se reduce cu secundele specificate. Aceasta înseamnă că, în cazul unei aruncări după ploaie, trebuie doar să scădem c din momentul inițial c și obținem ecuația pentru înălțimea la care piatra va zbura după ploaie:
Și, în sfârșit, pentru a afla cât de mult ar trebui să crească nivelul apei după ploaie, astfel încât timpul măsurat să se schimbe cu s, trebuie doar să scădeți al doilea din prima înălțime a căderii!
Primim răspunsul: pe metru.
După cum puteți vedea, nu este nimic complicat, cel mai important, nu vă deranjați prea mult de unde a venit o astfel de ecuație de neînțeles și uneori complexă în condiții și ce înseamnă totul în ea, credeți-mă pe cuvânt, majoritatea acestor ecuații sunt luate din fizică și acolo jungla este mai rea decât în algebră. Uneori mi se pare că aceste sarcini au fost inventate pentru a intimida elevul la examen cu o abundență de formule și termeni complexi și, în majoritatea cazurilor, nu necesită aproape deloc cunoștințe. Citiți cu atenție condiția și înlocuiți valorile cunoscute în formulă!
Iată o altă problemă, nu mai în fizică, ci din lumea teoriei economice, deși aici nu se impun cunoștințe de alte științe decât matematică.
Sarcina 2
Dependența volumului cererii (unități pe lună) pentru produsele unei întreprinderi cu monopol de preț (mii de ruble) este dată de formula
Venitul lunar al companiei (în mii de ruble) este calculat folosind formula. Determinați cel mai mare preț la care venitul lunar va fi de cel puțin o mie de ruble. Dați răspunsul în mii de ruble.
Ghici ce voi face acum? Da, voi începe să înlocuiesc ceea ce știm, dar, din nou, mai trebuie să te gândești puțin. Să mergem de la final, trebuie să aflăm la care. Deci, există, egal cu unii, găsim cu ce altceva este egal, și este egal, și îl vom scrie. După cum puteți vedea, nu mă deranjez în mod deosebit cu semnificația tuturor acestor cantități, mă uit doar din condiții, ce este egal cu ce, asta este ceea ce trebuie să faceți. Să revenim la sarcină, o ai deja, dar după cum îți amintești, dintr-o ecuație cu două variabile, nu se găsește niciuna dintre ele, ce să faci? Da, mai avem o particulă nefolosită în stare. Aici, există deja două ecuații și două variabile, ceea ce înseamnă că acum pot fi găsite ambele variabile - grozav!
Poți rezolva un astfel de sistem?
Rezolvăm prin substituție, am exprimat-o deja, ceea ce înseamnă că o vom înlocui în prima ecuație și o vom simplifica.
Se pare că aici este o astfel de ecuație pătratică: , rezolvăm, rădăcinile sunt așa, . În sarcină, este necesar să se găsească cel mai mare preț la care vor fi îndeplinite toate condițiile pe care le-am luat în considerare atunci când am compilat sistemul. Oh, se pare că acesta era prețul. Cool, așa că am găsit prețurile: și. Cel mai mare preț, zici? Bine, cel mai mare dintre ei, evident, îl scriem ca răspuns. Ei bine, este greu? Cred că nu și nu trebuie să te aprofundezi prea mult în asta!
Și iată o fizică înfricoșătoare pentru tine, sau mai degrabă, o altă problemă:
Sarcina 3
Pentru a determina temperatura efectivă a stelelor, se folosește legea Stefan-Boltzmann, conform căreia, unde este puterea radiantă a stelei, este o constantă, este aria suprafeței stelei și este temperatura. Se știe că suprafața unei anumite stele este egală, iar puterea radiației sale este egală cu W. Găsiți temperatura acestei stele în grade Kelvin.
Unde este clar? Da, condiția spune ce este egal cu ce. Anterior, am recomandat ca toate necunoscutele să fie imediat înlocuite, dar aici este mai bine să exprimăm mai întâi necunoscutul căutat. Uite ce simplu este totul: există o formulă și sunt cunoscute în ea, și (aceasta este litera greacă „sigma”. În general, fizicienii iubesc literele grecești, se obișnuiesc cu ea). Temperatura este necunoscută. Să o exprimăm sub forma unei formule. Cum să o faci, sper că știi? Astfel de sarcini pentru GIA în clasa a 9-a oferă de obicei:
Acum rămâne să înlocuiți numerele în loc de litere din partea dreaptă și să simplificați:
Iată răspunsul: grade Kelvin! Și ce sarcină groaznică a fost!
Continuăm să chinuim problemele de fizică.
Sarcina 4
Înălțimea deasupra solului a unei mingi aruncate în sus se modifică conform legii, unde este înălțimea în metri, este timpul în secunde care a trecut de la aruncare. Câte secunde va fi mingea la o înălțime de cel puțin trei metri?
Acestea au fost toate ecuațiile, dar aici este necesar să se determine cât de mult era mingea la o înălțime de cel puțin trei metri, adică la o înălțime. Ce vom face? Inegalitate, da! Avem o funcție care descrie modul în care mingea zboară, unde este exact aceeași înălțime în metri, avem nevoie de înălțime. Mijloace
Și acum doar rezolvați inegalitatea, cel mai important, nu uitați să schimbați semnul inegalității de la mai mult sau egal la mai mic sau egal atunci când înmulțiți cu ambele părți ale inegalității pentru a scăpa de minusul din față.
Iată rădăcinile, construim intervale pentru inegalitate:
Ne interesează intervalul în care semnul este minus, deoarece inegalitatea ia valori negative acolo, acesta este de la la ambele inclusiv. Și acum pornim creierul și gândim cu atenție: pentru inegalitate, am folosit o ecuație care descrie zborul mingii, zboară cumva de-a lungul unei parabole, adică. decolează, atinge un vârf și cade, cum să înțelegi cât de mult va fi la o înălțime de cel puțin metri? Am găsit 2 puncte de cotitură, adică momentul în care se înalță deasupra metrilor și momentul în care atinge același reper în timpul căderii, aceste două puncte sunt exprimate în forma noastră sub forma timpului, adică. știm în ce secundă a zborului a intrat în zona de interes pentru noi (peste metri) și în care a părăsit-o (a căzut sub marcajul metrului). Câte secunde a fost în această zonă? Este logic să luăm timpul de ieșire din zonă și să scădem din el timpul de intrare în această zonă. În consecință: - atât de mult era în zona peste metri, acesta este răspunsul.
Ești atât de norocos că majoritatea exemplelor pe această temă pot fi luate din categoria problemelor din fizică, așa că mai prinde unul, este cel final, așa că împinge-te, a mai rămas foarte puțin!
Sarcina 5
Pentru un element de încălzire al unui anumit dispozitiv, dependența de temperatură de timpul de funcționare a fost obținută experimental:
Unde este timpul în minute. Se știe că la o temperatură a elementului de încălzire de deasupra dispozitivului se poate deteriora, așa că trebuie oprit. Găsiți timpul maxim după începerea lucrului pentru a opri dispozitivul. Exprimați-vă răspunsul în câteva minute.
Acționăm după o schemă bine stabilită, tot ceea ce este dat, mai întâi scriem:
Acum luăm formula și o echivalăm cu valoarea temperaturii la care dispozitivul poate fi încălzit cât mai mult posibil până când se arde, adică:
Acum înlocuim numerele în loc de litere acolo unde sunt cunoscute:
După cum puteți vedea, temperatura în timpul funcționării dispozitivului este descrisă printr-o ecuație pătratică, ceea ce înseamnă că este distribuită de-a lungul unei parabole, adică. dispozitivul se încălzește până la o anumită temperatură și apoi se răcește. Am primit răspunsuri și, prin urmare, în timpul și în timpul minutelor de încălzire, temperatura este critică, dar între și minute este chiar mai mare decât limita!
Deci, trebuie să opriți dispozitivul după un minut.
MODELE MATEMATICE. SCURT DESPRE PRINCIPALA
Cel mai adesea, modelele matematice sunt folosite în fizică: la urma urmei, probabil a trebuit să memorezi zeci de formule fizice. Iar formula este reprezentarea matematică a situației.
În OGE și Unified State Examination există sarcini doar pe acest subiect. În USE (profil) aceasta este sarcina numărul 11 (fostă B12). În OGE - sarcina numărul 20.
Schema soluției este evidentă:
1) Din textul condiției, este necesar să „izolăm” informații utile - ceea ce scriem în probleme de fizică sub cuvântul „Dat”. Aceste informații utile sunt:
- Formulă
- Mărimi fizice cunoscute.
Adică, fiecărei litere din formulă trebuie să i se atribuie un anumit număr.
2) Luați toate cantitățile cunoscute și înlocuiți-le în formulă. Valoarea necunoscută rămâne ca o literă. Acum trebuie doar să rezolvați ecuația (de obicei destul de simplă), iar răspunsul este gata.
Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.
Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!
Acum cel mai important lucru.
Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.
Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...
Pentru ce?
Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.
Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...
Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.
Dar acesta nu este principalul lucru.
Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? Nu stiu...
Dar gandeste-te singur...
Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?
UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.
La examen nu vi se va cere teorie.
Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.
Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.
Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.
Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!
Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.
Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.
Cum? Există două opțiuni:
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol -
- Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - Cumpărați un manual - 899 de ruble
Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.
Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.
In concluzie...
Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.
„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.
Găsiți probleme și rezolvați!
Modele matematice
Model matematic - opi aproximativădescrierea obiectului modelării, exprimată folosindschyu simbolism matematic.
Modelele matematice au apărut împreună cu matematica cu multe secole în urmă. Un impuls uriaș pentru dezvoltarea modelării matematice a fost dat de apariția computerelor. Utilizarea computerelor a făcut posibilă analizarea și punerea în practică a multor modele matematice care anterior nu fuseseră susceptibile de cercetare analitică. Matematică implementată pe calculatormodel de cer numit model matematic pe calculator, dar efectuarea de calcule țintite folosind un model computerizat numit experiment de calcul.
Etape ale calculatorului matematic mostergere prezentată în figură. Primuletapă - definirea obiectivelor de modelare. Aceste obiective pot fi diferite:
- este necesar un model pentru a înțelege cum funcționează un anumit obiect, care este structura lui, proprietățile de bază, legile dezvoltării și interacțiunii
cu lumea exterioară (înțelegerea); - este necesar un model pentru a învăța cum să gestionezi un obiect (sau un proces) și să determine cele mai bune modalități de a gestiona pentru obiectivele și criteriile date (management);
- modelul este necesar pentru a prezice consecințele directe și indirecte ale implementării metodelor și formelor de impact specificate asupra obiectului (prognoza).
Un exemplu dintr-o zonă complet diferită: coexistând pașnic cu populații stabile de două specii de indivizi cu o bază comună de hrană, „brut” încep să-și schimbe dramatic numărul. Și aici modelarea matematică permite (cu un anumit grad de certitudine) să se stabilească cauza (sau cel puțin să infirme o anumită ipoteză).
Dezvoltarea conceptului de management al obiectelor este un alt obiectiv posibil al modelării. Ce mod de zbor ar trebui să fie selectat pentru ca zborul să fie sigur și cel mai rentabil? Cum să programați sute de tipuri de lucrări la construcția unei facilități mari, astfel încât să se termine cât mai curând posibil? Multe astfel de probleme apar sistematic în fața economiștilor, designerilor și oamenilor de știință.
În fine, prezicerea consecințelor anumitor impacturi asupra unui obiect poate fi atât o chestiune relativ simplă în sistemele fizice simple, cât și extrem de complexă - în pragul fezabilității - în sistemele biologice, economice, sociale. Dacă este relativ ușor să răspunzi la întrebarea despre schimbarea modului de propagare a căldurii într-o tijă subțire cu modificări ale aliajului său constitutiv, atunci este incomparabil mai dificil să urmărești (prevăd) consecințele de mediu și climatice ale construcției unui hidrocentrală mare sau consecințele sociale ale modificărilor în legislația fiscală. Poate că și aici metodele de modelare matematică vor oferi o asistență mai semnificativă în viitor.
Faza a doua: definirea parametrilor de intrare și de ieșire ai modelului; împărțirea parametrilor de intrare în funcție de gradul de importanță a impactului modificărilor acestora asupra ieșirii. Acest proces se numește clasare sau împărțire după rang (vezi mai jos). „Formalisație și modelare").
A treia etapă: construirea unui model matematic. În această etapă, are loc o tranziție de la formularea abstractă a modelului la o formulare care are o reprezentare matematică specifică. Un model matematic este ecuații, sisteme de ecuații, sisteme de inegalități, ecuații diferențiale sau sisteme de astfel de ecuații etc.
Etapa a patra: alegerea metodei de studiu a modelului matematic. Cel mai adesea, aici sunt folosite metode numerice, care se pretează bine la programare. De regulă, mai multe metode sunt potrivite pentru rezolvarea aceleiași probleme, care diferă în precizie, stabilitate etc. Succesul întregului proces de modelare depinde adesea de alegerea corectă a metodei.
Etapa a cincea: dezvoltarea unui algoritm, compilarea și depanarea unui program de calculator este un proces greu de formalizat. Dintre limbajele de programare, mulți profesioniști pentru modelarea matematică preferă FORTRAN: atât datorită tradiției, cât și datorită eficienței de neegalat a compilatoarelor (pentru munca de calcul) și prezenței unor biblioteci imense, atent depanate și optimizate de programe standard de metode matematice scrise în aceasta. Limbaje precum PASCAL, BASIC, C sunt de asemenea utilizate, în funcție de natura sarcinii și de înclinațiile programatorului.
A șasea etapă: testarea programului. Funcționarea programului este testată pe o problemă de testare cu un răspuns cunoscut. Acesta este doar începutul unei proceduri de testare care este dificil de descris într-un mod formal exhaustiv. De obicei, testarea se termină atunci când utilizatorul, conform caracteristicilor sale profesionale, consideră că programul este corect.
A șaptea etapă: experiment de calcul real, în timpul căruia devine clar dacă modelul corespunde unui obiect (proces) real. Modelul este suficient de adecvat procesului real dacă unele caracteristici ale procesului obţinute pe calculator coincid cu caracteristicile obţinute experimental cu un anumit grad de acurateţe. Dacă modelul nu corespunde procesului real, revenim la una din etapele anterioare.
Clasificarea modelelor matematice
Clasificarea modelelor matematice se poate baza pe diverse principii. Este posibilă clasificarea modelelor pe ramuri ale științei (modele matematice din fizică, biologie, sociologie etc.). Poate fi clasificat în funcție de aparatul matematic aplicat (modele bazate pe utilizarea ecuațiilor diferențiale obișnuite, ecuațiilor diferențiale parțiale, metode stocastice, transformări algebrice discrete etc.). În sfârșit, dacă pornim de la sarcinile generale de modelare în diferite științe, indiferent de aparatul matematic, următoarea clasificare este cea mai firească:
- modele descriptive (descriptive);
- modele de optimizare;
- modele multicriteriale;
- modele de jocuri.
Să explicăm acest lucru cu exemple.
Modele descriptive (descriptive).. De exemplu, se fac simulări ale mișcării unei comete care invadează sistemul solar pentru a prezice traiectoria zborului acesteia, distanța la care va trece de Pământ și așa mai departe. În acest caz, obiectivele modelării sunt descriptive, deoarece nu există nicio modalitate de a influența mișcarea cometei, de a schimba ceva în ea.
Modele de optimizare sunt folosite pentru a descrie procesele care pot fi influențate în încercarea de a atinge un obiectiv dat. În acest caz, modelul include unul sau mai mulți parametri care pot fi influențați. De exemplu, prin schimbarea regimului termic într-un hambar, se poate stabili un obiectiv de a alege un astfel de regim pentru a realiza o conservare maximă a cerealelor, adică. optimizarea procesului de stocare.
Modele multicriteriale. Adesea este necesară optimizarea procesului în mai mulți parametri în același timp, iar obiectivele pot fi foarte contradictorii. De exemplu, cunoscând prețurile la alimente și nevoia de hrană a unei persoane, este necesar să se organizeze mesele pentru grupuri mari de oameni (în armată, tabără de vară pentru copii etc.) corect fiziologic și, în același timp, cât mai ieftin. Este clar că aceste obiective nu coincid deloc; la modelare se vor folosi mai multe criterii intre care trebuie sa se caute un echilibru.
Modele de jocuri poate fi legat nu numai de jocurile pe calculator, ci și de lucruri foarte serioase. De exemplu, înainte de o luptă, în prezența unor informații incomplete despre armata adversă, un comandant trebuie să elaboreze un plan: în ce ordine să aducă anumite unități în luptă etc., ținând cont de posibila reacție a inamicului. Există o secțiune specială a matematicii moderne - teoria jocurilor - care studiază metodele de luare a deciziilor în condițiile unei informații incomplete.
În cursul școlar de informatică, studenții primesc o idee inițială despre modelarea matematică pe computer, ca parte a cursului de bază. În liceu, modelarea matematică poate fi studiată profund într-un curs de educație generală pentru orele de fizică și matematică, precum și în cadrul unui curs opțional de specialitate.
Principalele forme de predare a modelării matematice pe calculator în liceu sunt cursurile, cursurile de laborator și creditele. De obicei, munca de creare și pregătire pentru studiul fiecărui model nou durează 3-4 lecții. În cursul prezentării materialului se stabilesc sarcini, care în viitor trebuie rezolvate de către elevi singuri, în termeni generali se schițează modalități de rezolvare a acestora. Sunt formulate întrebări, răspunsurile la care ar trebui să fie obținute în timpul îndeplinirii sarcinilor. Este indicată literatura suplimentară, care permite obținerea de informații auxiliare pentru îndeplinirea cu succes a sarcinilor.
Forma de organizare a cursurilor atunci când studiați materiale noi este de obicei o prelegere. După finalizarea discuţiei despre următorul model elevi au la dispoziție informațiile teoretice necesare și un set de sarcini pentru lucrări ulterioare. În pregătirea temei, elevii aleg metoda de rezolvare adecvată, folosind o soluție privată cunoscută, testează programul dezvoltat. În cazul unor dificultăți destul de posibile în îndeplinirea sarcinilor, se acordă consultanță, se propune elaborarea mai detaliată a acestor secțiuni în literatura de specialitate.
Cea mai relevantă pentru partea practică a predării modelării computerizate este metoda proiectelor. Sarcina este formulată pentru student sub forma unui proiect educațional și se desfășoară pe parcursul mai multor lecții, iar principala formă organizatorică în acest caz este munca de laborator de calculatoare. Învățarea modelării folosind metoda proiectului de învățare poate fi implementată la diferite niveluri. Prima este o enunțare a problemei procesului de implementare a proiectului, care este condusă de profesor. Al doilea este implementarea proiectului de către elevi sub îndrumarea unui profesor. Al treilea este implementarea independentă de către studenți a unui proiect de cercetare educațională.
Rezultatele lucrării trebuie prezentate sub formă numerică, sub formă de grafice, diagrame. Dacă este posibil, procesul este prezentat pe ecranul computerului în dinamică. După finalizarea calculelor și primirea rezultatelor, acestea sunt analizate, comparate cu faptele cunoscute din teorie, fiabilitatea este confirmată și se efectuează o interpretare semnificativă, care este reflectată ulterior într-un raport scris.
Dacă rezultatele mulțumesc elevul și profesorul, atunci munca conteaza finalizat, iar etapa sa finală este pregătirea unui raport. Raportul include scurte informații teoretice despre tema studiată, o formulare matematică a problemei, un algoritm de soluție și justificarea acestuia, un program de calculator, rezultatele programului, analiza rezultatelor și concluziilor, o listă de referințe.
Când toate referatele au fost întocmite, la sesiunea de teste, elevii întocmesc scurte rapoarte despre munca depusă, își apără proiectul. Aceasta este o formă eficientă de raportare a echipei de proiect către clasă, inclusiv stabilirea problemei, construirea unui model formal, alegerea metodelor de lucru cu modelul, implementarea modelului pe computer, lucrul cu modelul finit, interpretarea rezultatelor, prognoza. Drept urmare, elevii pot primi două note: prima - pentru elaborarea proiectului și succesul apărării acestuia, a doua - pentru program, optimitatea algoritmului acestuia, interfață etc. De asemenea, studenții primesc note în cadrul sondajelor de teorie.
O întrebare esențială este ce fel de instrumente să folosești la cursul de informatică școlară pentru modelare matematică? Implementarea pe computer a modelelor poate fi realizată:
- utilizarea unei foi de calcul (de obicei MS Excel);
- prin crearea de programe în limbaje de programare tradiționale (Pascal, BASIC etc.), precum și în versiunile lor moderne (Delphi, Visual
Basic for Application, etc.); - folosind pachete software speciale pentru rezolvarea problemelor matematice (MathCAD etc.).
La nivelul școlii elementare, primul remediu pare a fi cel preferat. Cu toate acestea, în liceu, când programarea este, alături de modelare, o temă cheie a informaticii, este de dorit să o implicăm ca instrument de modelare. În procesul de programare, detaliile procedurilor matematice devin disponibile elevilor; în plus, pur și simplu sunt forțați să le stăpânească, iar acest lucru contribuie și la educația matematică. În ceea ce privește utilizarea pachetelor software speciale, aceasta este adecvată în cursul de profil al informaticii, ca o completare la alte instrumente.
Sarcina :
- Schițați conceptele cheie.
În articolul adus în atenție, vă oferim exemple de modele matematice. În plus, vom acorda atenție etapelor creării modelelor și vom analiza unele dintre problemele asociate modelării matematice.
O altă problemă a noastră este modelele matematice în economie, exemple ale cărora vom lua în considerare o definiție puțin mai târziu. Ne propunem să începem conversația cu însuși conceptul de „model”, să luăm în considerare pe scurt clasificarea acestora și să trecem la întrebările noastre principale.
Conceptul de „model”
Auzim adesea cuvântul „model”. Ce este? Acest termen are multe definiții, iată doar trei dintre ele:
- un obiect specific care este creat pentru a primi și stoca informații, reflectând unele proprietăți sau caracteristici și așa mai departe, ale originalului acestui obiect (acest obiect specific poate fi exprimat în diferite forme: mental, descriere folosind semne etc.);
- un model înseamnă, de asemenea, o afișare a oricărei situații specifice, viață sau management;
- un model poate fi o copie redusă a unui obiect (sunt create pentru un studiu și o analiză mai detaliată, deoarece modelul reflectă structura și relațiile).
Pe baza a tot ceea ce s-a spus mai devreme, putem trage o mică concluzie: modelul vă permite să studiați în detaliu un sistem sau un obiect complex.
Toate modelele pot fi clasificate după mai multe criterii:
- după domeniul de utilizare (educațional, experimental, științific și tehnic, joc, simulare);
- după dinamică (statică și dinamică);
- pe ramură de cunoaștere (fizică, chimică, geografică, istorică, sociologică, economică, matematică);
- după modalitatea de prezentare (materială şi informaţională).
Modelele informaționale, la rândul lor, sunt împărțite în semne și verbale. Și iconic - pe computer și non-computer. Acum să trecem la o analiză detaliată a exemplelor unui model matematic.
Model matematic
După cum ați putea ghici, un model matematic reflectă unele caracteristici ale unui obiect sau fenomen folosind simboluri matematice speciale. Matematica este necesară pentru a modela legile lumii în limbajul său specific.
Metoda de modelare matematică a apărut cu mult timp în urmă, cu mii de ani în urmă, odată cu apariția acestei științe. Impulsul dezvoltării acestei metode de modelare a fost însă dat de apariția calculatoarelor (calculatoare electronice).
Acum să trecem la clasificare. Poate fi efectuată și după unele semne. Ele sunt prezentate în tabelul de mai jos.
Ne propunem să ne oprim și să aruncăm o privire mai atentă asupra ultimei clasificări, deoarece reflectă tiparele generale de modelare și obiectivele modelelor create.
Modele descriptive
În acest capitol, ne propunem să ne oprim mai în detaliu asupra modelelor matematice descriptive. Pentru a clarifica totul, se va da un exemplu.
Pentru început, această vedere poate fi numită descriptivă. Acest lucru se datorează faptului că pur și simplu facem calcule și prognoze, dar nu putem influența în niciun fel rezultatul evenimentului.
Un exemplu izbitor de model matematic descriptiv este calculul traiectoriei de zbor, vitezei, distanței față de Pământ a unei comete care a invadat întinderile sistemului nostru solar. Acest model este descriptiv, deoarece toate rezultatele obținute nu pot decât să ne avertizeze asupra unui fel de pericol. Din păcate, nu putem influența rezultatul evenimentului. Cu toate acestea, pe baza calculelor obținute, este posibil să se ia orice măsuri pentru a conserva viața pe Pământ.
Modele de optimizare
Acum vom vorbi puțin despre modele economice și matematice, exemple ale cărora pot fi diverse situații. În acest caz, vorbim despre modele care ajută la găsirea răspunsului potrivit în anumite condiții. Trebuie să aibă niște parametri. Pentru a fi foarte clar, luați în considerare un exemplu din partea agrară.
Avem un grânar, dar boabele se strică foarte repede. În acest caz, trebuie să alegem regimul potrivit de temperatură și să optimizăm procesul de depozitare.
Astfel, putem defini conceptul de „model de optimizare”. În sens matematic, acesta este un sistem de ecuații (atât liniare, cât și nu), a cărui soluție ajută la găsirea soluției optime într-o anumită situație economică. Am luat în considerare un exemplu de model matematic (optimizare), dar aș dori să mai adaug un lucru: acest tip aparține clasei problemelor extreme, ele ajută la descrierea funcționării sistemului economic.
Mai remarcăm o nuanță: modelele pot fi de altă natură (vezi tabelul de mai jos).
Modele multicriteriale
Acum vă invităm să vorbiți puțin despre modelul matematic al optimizării multiobiective. Înainte de asta, am dat un exemplu de model matematic pentru optimizarea unui proces în funcție de orice criteriu, dar dacă există o mulțime de ele?
Un exemplu izbitor de sarcină multicriterială este organizarea unei alimentații adecvate, sănătoase și în același timp economice a unor grupuri mari de oameni. Astfel de sarcini sunt adesea întâlnite în armată, cantine școlare, tabere de vară, spitale și așa mai departe.
Ce criterii ne sunt date în această sarcină?
- Mâncarea ar trebui să fie sănătoasă.
- Cheltuielile cu mâncarea ar trebui să fie reduse la minimum.
După cum puteți vedea, aceste obiective nu coincid deloc. Aceasta înseamnă că la rezolvarea unei probleme este necesar să se caute soluția optimă, un echilibru între cele două criterii.
Modele de jocuri
Vorbind despre modelele de joc, este necesar să înțelegem conceptul de „teoria jocurilor”. Mai simplu spus, aceste modele reflectă modele matematice ale conflictelor reale. Merită doar să înțelegem că, spre deosebire de un conflict real, un model matematic de joc are propriile reguli specifice.
Acum voi oferi un minim de informații din teoria jocurilor, care vă vor ajuta să înțelegeți ce este un model de joc. Și așa, în model există neapărat petreceri (două sau mai multe), care se numesc de obicei jucători.
Toate modelele au anumite caracteristici.
Modelul de joc poate fi pereche sau multiplu. Dacă avem două subiecte, atunci conflictul este pereche, dacă mai mult - multiplu. Se poate distinge și un joc antagonist, se mai numește și joc cu sumă zero. Acesta este un model în care câștigul unuia dintre participanți este egal cu pierderea celuilalt.
modele de simulare
În această secțiune, ne vom concentra pe modele matematice de simulare. Exemple de sarcini sunt:
- modelul dinamicii numărului de microorganisme;
- modelul mișcării moleculare și așa mai departe.
În acest caz, vorbim despre modele cât mai apropiate de procesele reale. În mare, ei imită orice manifestare din natură. În primul caz, de exemplu, putem modela dinamica numărului de furnici dintr-o colonie. În acest caz, puteți observa soarta fiecărui individ. În acest caz, descrierea matematică este rar folosită, mai des există condiții scrise:
- după cinci zile, femela depune ouă;
- după douăzeci de zile furnica moare și așa mai departe.
Astfel, sunt folosite pentru a descrie un sistem mare. Concluzia matematică este prelucrarea datelor statistice primite.
Cerințe
Este foarte important de stiut ca exista cateva cerinte pentru acest tip de model, printre care se numara si cele date in tabelul de mai jos.
Versatilitate | Această proprietate vă permite să utilizați același model atunci când descrieți grupuri de obiecte de același tip. Este important de menționat că modelele matematice universale sunt complet independente de natura fizică a obiectului studiat. |
Adecvarea | Aici este important să înțelegem că această proprietate permite reproducerea cât mai corectă a proceselor reale. În problemele de operare, această proprietate a modelării matematice este foarte importantă. Un exemplu de model este procesul de optimizare a utilizării unui sistem de gaz. În acest caz, se compară indicatorii calculați și cei efectivi, ca urmare, se verifică corectitudinea modelului compilat. |
Precizie | Această cerință implică coincidența valorilor pe care le obținem la calcularea modelului matematic și a parametrilor de intrare ai obiectului nostru real. |
economie | Cerința de economie pentru orice model matematic se caracterizează prin costuri de implementare. Dacă lucrarea cu modelul este efectuată manual, atunci este necesar să se calculeze cât timp va dura rezolvarea unei probleme folosind acest model matematic. Dacă vorbim de proiectare asistată de computer, atunci se calculează indicatorii de timp și de memorie a computerului |
Etape de modelare
În total, se obișnuiește să se distingă patru etape în modelarea matematică.
- Formularea legilor care leagă părți ale modelului.
- Studiul problemelor matematice.
- Aflarea coincidentei rezultatelor practice si teoretice.
- Analiza si modernizarea modelului.
Model economic și matematic
În această secțiune, vom evidenția pe scurt problema. Exemple de sarcini pot fi:
- formarea unui program de producție pentru producerea produselor din carne, asigurând profitul maxim al producției;
- maximizarea profitului organizației prin calcularea numărului optim de mese și scaune care urmează să fie produse într-o fabrică de mobilă etc.
Modelul economico-matematic prezintă o abstractizare economică, care este exprimată folosind termeni și semne matematice.
Model matematic pe calculator
Exemple de model matematic pe calculator sunt:
- sarcini hidraulice folosind diagrame, diagrame, tabele și așa mai departe;
- probleme la mecanica solidă și așa mai departe.
Un model de calculator este o imagine a unui obiect sau sistem, prezentată ca:
- Mese;
- diagrame bloc;
- diagrame;
- grafică și așa mai departe.
În același timp, acest model reflectă structura și interconexiunile sistemului.
Construirea unui model economic și matematic
Am vorbit deja despre ce este un model economico-matematic. Un exemplu de rezolvare a problemei va fi luat în considerare chiar acum. Trebuie să analizăm programul de producție pentru a identifica rezerva pentru creșterea profiturilor cu o schimbare a sortimentului.
Nu vom analiza pe deplin problema, ci doar construim un model economic și matematic. Criteriul sarcinii noastre este maximizarea profitului. Atunci funcția are forma: Л=р1*х1+р2*х2… tinzând la maxim. În acest model, p este profitul pe unitate, x este numărul de unități produse. În plus, pe baza modelului construit, este necesar să se facă calcule și să rezumați.
Un exemplu de construire a unui model matematic simplu
O sarcină. Pescarul s-a întors cu următoarea captură:
- 8 pești - locuitori ai mărilor nordice;
- 20% din captură - locuitorii mărilor sudice;
- nu s-a găsit niciun pește din râul local.
Câți pești a cumpărat de la magazin?
Deci, un exemplu de construire a unui model matematic al acestei probleme este următorul. Notăm numărul total de pești cu x. După condiție, 0,2x este numărul de pești care trăiesc în latitudinile sudice. Acum combinăm toate informațiile disponibile și obținem un model matematic al problemei: x=0,2x+8. Rezolvăm ecuația și obținem răspunsul la întrebarea principală: a cumpărat 10 pești din magazin.
Baza pentru rezolvarea problemelor economice sunt modelele matematice.
Elaborarea unui model matematic include:model matematic problema este un set de relații matematice care descriu esența problemei.
- selectarea variabilei sarcinii
- elaborarea unui sistem de restricţii
- alegerea funcției obiective
Variabilele sarcinii se numesc marimi X1, X2, Xn, care caracterizeaza pe deplin procesul economic. De obicei ele sunt scrise ca un vector: X=(X 1 , X 2 ,...,X n).
Sistemul de restricții sarcinile sunt un set de ecuații și inegalități care descriu resursele limitate din problema luată în considerare.
funcția țintă sarcina se numește o funcție a variabilelor sarcinii care caracterizează calitatea sarcinii și al cărui extremum trebuie găsit.
În general, o problemă de programare liniară poate fi scrisă după cum urmează:
Această intrare înseamnă următoarele: găsiți extremul funcției obiectiv (1) și variabilele corespunzătoare X=(X 1 , X 2 ,...,X n) cu condiția ca aceste variabile să satisfacă sistemul de constrângeri (2) și non -conditii de negativitate (3) .
Soluție acceptabilă(planul) unei probleme de programare liniară este orice vector n-dimensional X=(X 1 , X 2 ,...,X n) care satisface sistemul de constrângeri și condiții de non-negativitate.
Se formează setul de soluții (planuri) fezabile ale problemei gama de solutii fezabile(ODR).
Soluția optimă(planul) unei probleme de programare liniară este o astfel de soluție (plan) fezabilă a problemei, în care funcția obiectiv atinge un extremum.
Un exemplu de compilare a unui model matematic
Sarcina utilizării resurselor (materii prime)
Condiție: Pentru fabricarea a n tipuri de produse se folosesc m tipuri de resurse. Realizați un model matematic.
Cunoscut:
- b i (i = 1,2,3,...,m) sunt rezervele fiecărui i-lea tip de resursă;
- a ij (i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) sunt costurile fiecărui i-a tip de resursă pentru producerea unui volum unitar de al j-lea tip de produs;
- c j (j = 1,2,3,...,n) este profitul din vânzarea unui volum unitar din al j-lea tip de produs.
Este necesar să se întocmească un plan de producție de produse care să ofere profit maxim cu restricții date asupra resurselor (materii prime).
Soluţie:
Introducem un vector de variabile X=(X 1 , X 2 ,...,X n), unde x j (j = 1,2,...,n) este volumul de productie al j-lea tip de produs.
Costurile celui de-al i-lea tip de resursă pentru producerea unui volum dat x j de produse sunt egale cu a ij x j , prin urmare, restricția privind utilizarea resurselor pentru producerea tuturor tipurilor de produse are forma:
Profitul din vânzarea celui de-al-lea tip de produs este egal cu c j x j , deci funcția obiectiv este egală cu:
Răspuns- Modelul matematic arată astfel:
Forma canonică a unei probleme de programare liniară
În cazul general, o problemă de programare liniară este scrisă în așa fel încât atât ecuațiile, cât și inegalitățile să fie constrângeri, iar variabilele pot fi fie nenegative, fie în schimbare arbitrară.
În cazul în care toate constrângerile sunt ecuații și toate variabilele satisfac condiția de non-negativitate, problema de programare liniară se numește canonic.
Poate fi reprezentat în notație de coordonate, vector și matrice.
Problema de programare liniară canonică în notație de coordonate are forma:
Problema de programare liniară canonică în notație matriceală are forma:
- A este matricea coeficienților sistemului de ecuații
- X este o matrice de coloană a variabilelor sarcinii
- Ao este coloana-matrice a părților drepte ale sistemului de constrângeri
Adesea se folosesc probleme de programare liniara, numite simetrice, care in notatie matriceala au forma:
Reducerea unei probleme generale de programare liniară la formă canonică
În majoritatea metodelor de rezolvare a problemelor de programare liniară, se presupune că sistemul de constrângeri este format din ecuații și condiții naturale pentru non-negativitatea variabilelor. Cu toate acestea, la compilarea modelelor de probleme economice, constrângerile se formează în principal sub forma unui sistem de inegalități, deci este necesar să se poată trece de la un sistem de inegalități la un sistem de ecuații.
Acest lucru se poate face astfel:Luați o inegalitate liniară a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+anxn ≤b și adăugați o valoare x n+1 în partea stângă, astfel încât inegalitatea să devină egalitatea a 1 x 1 +a 2 x 2 + ...+anxn +x n+1 =b. Mai mult, această valoare x n+1 este nenegativă.
Să luăm în considerare totul cu un exemplu.
Exemplul 26.1Reduceți problema de programare liniară la forma canonică:
Soluţie:
Să trecem la problema găsirii maximului funcției obiectiv.
Pentru a face acest lucru, schimbăm semnele coeficienților funcției obiectiv.
Pentru a converti a doua și a treia inegalități ale sistemului de constrângeri în ecuații, introducem variabile suplimentare nenegative x 4 x 5 (această operație este marcată cu litera D pe modelul matematic).
Variabila x 4 este introdusă în partea stângă a celei de-a doua inegalități cu semnul „+”, deoarece inegalitatea are forma „≤”.
Variabila x 5 este introdusă în partea stângă a celei de-a treia inegalități cu semnul „-”, deoarece inegalitatea are forma „≥”.
Variabilele x 4 x 5 sunt introduse în funcția obiectiv cu un coeficient. egal cu zero.
Scriem problema în formă canonică.
Exemplul 1.5.1.
Să fie o regiune economică să producă mai multe (n) tipuri de produse exclusiv pe cont propriu și numai pentru populația acestei regiuni. Se presupune că procesul tehnologic a fost elaborat, iar cererea populației pentru aceste bunuri a fost studiată. Este necesar să se determine volumul anual de producție de produse, ținând cont de faptul că acest volum trebuie să asigure atât consumul final, cât și cel industrial.
Să facem un model matematic al acestei probleme. După starea sa, se dau următoarele: tipuri de produse, cererea pentru acestea și procesul tehnologic; găsiți volumul de producție pentru fiecare tip de produs.
Să notăm mărimile cunoscute:
c i- cererea publicului pentru i- al-lea produs ( i=1,...,n); A ij- număr i-al-lea produs necesar pentru a produce o unitate a celui de-al-lea produs folosind această tehnologie ( i=1,...,n ; j=1,...,n);
X i - volumul de ieșire i- al-lea produs ( i=1,...,n); totalitate cu =(c 1 ,..., c n ) se numește vectorul cererii, numerele A ij– coeficienții tehnologici, și mulțimea X =(X 1 ,..., X n ) este vectorul de eliberare.
După starea problemei, vectorul X este împărțit în două părți: pentru consumul final (vector cu ) și reproducere (vector x-s ). Calculați acea parte a vectorului X care merge la reproducere. Conform denumirilor noastre pentru producție X j cantitatea din al-lea produs merge A ij · X j cantitate i-al-lea produs.
Apoi suma A i1 · X 1 +...+ A în · X n arata valoarea i-al-lea produs, care este necesar pentru întreaga ieșire X =(X 1 ,..., X n ).
Prin urmare, egalitatea trebuie să aibă loc:
Extinzând acest raționament la toate tipurile de produse, ajungem la modelul dorit:
Rezolvarea acestui sistem de n ecuații liniare în raport cu X 1 ,...,X nși găsiți vectorul de ieșire necesar.
Pentru a scrie acest model într-o formă mai compactă (vectorală), introducem notația:
pătrat ( 
) -matrice DAR numită matricea tehnologiei. Este ușor de verificat dacă modelul nostru va fi acum scris astfel: x-s=Ah sau
(1.6)
Avem modelul clasic" Intrare ieșire ”, al cărui autor este celebrul economist american V. Leontiev.
Exemplul 1.5.2.
O rafinărie de petrol are două grade de petrol: grad DAR in valoare de 10 unitati, grad LA- 15 unitati. La prelucrarea uleiului se obțin două materiale: benzină (notăm B) și păcură ( M). Există trei opțiuni pentru tehnologia de procesare:
eu: 1 unitate DAR+ 2 unitati LA da 3 unitati. B+ 2 unitati M
II: 2 unități DAR+ 1 unitate LA da 1 unitate. B+ 5 unități M
III: 2 unitati DAR+ 2 unitati LA da 1 unitate. B+ 2 unitati M
Prețul benzinei este de 10 USD pe unitate, păcură este de 1 USD pe unitate.
Este necesară determinarea celei mai avantajoase combinații de procese tehnologice pentru prelucrarea cantității disponibile de ulei.
Înainte de modelare, clarificăm următoarele puncte. Din condițiile problemei rezultă că „rentabilitatea” procesului tehnologic pentru uzină trebuie înțeleasă în sensul obținerii unui venit maxim din vânzarea produselor sale finite (benzină și păcură). În acest sens, este clar că „decizia de alegere (de luare)” a fabricii este să determine ce tehnologie și de câte ori să aplice. Evident, există multe astfel de posibilități.
Să notăm mărimile necunoscute:
X i- cantitatea de utilizare i-al-lea proces tehnologic (i=1,2,3). Alți parametri ai modelului (rezerve de uleiuri, prețuri la benzină și păcură) cunoscut.
Acum o decizie specifică a plantei se reduce la alegerea unui vector X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , pentru care venitul fabricii este egal cu (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) dolari. Aici, 32 de dolari este venitul primit dintr-o aplicație a primului proces tehnologic (10 dolari 3 unități. B+ $1 2 unități M= 32 USD). Coeficienții 15 și 12 au o semnificație similară pentru al doilea și, respectiv, al treilea proces tehnologic. Contabilitatea rezervei de ulei duce la următoarele condiții:
pentru varietate DAR:
pentru varietate LA:,
unde în prima inegalitate coeficienții 1, 2, 2 sunt ratele de consum de ulei de calitate A pentru aplicarea unică a proceselor tehnologice eu,II,III respectiv. Coeficienții celei de-a doua inegalități au o semnificație similară pentru uleiul de grad B.
Modelul matematic în ansamblu are forma:
Găsiți un astfel de vector x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) pentru a maximiza
f(x) = 32x 1 +15x 2 +12x 3
cand sunt indeplinite conditiile:
Forma prescurtată a acestei intrări este următoarea:
sub restricții
(1.7)
Avem așa-numita problemă de programare liniară.
Modelul (1.7.) este un exemplu de model de optimizare de tip determinist (cu elemente bine definite).
Exemplul 1.5.3.
Investitorul trebuie să determine cel mai bun set de acțiuni, obligațiuni și alte titluri de valoare pentru a le cumpăra pentru o anumită sumă pentru a obține un anumit profit cu risc minim pentru el însuși. Rentabilitatea fiecărui dolar investit într-un titlu j-al-lea tip, caracterizat prin doi indicatori: profitul aşteptat şi profitul efectiv. Pentru un investitor, este de dorit ca profitul așteptat pe dolar de investiții pentru întregul set de titluri să nu fie mai mic decât o anumită valoare. b.
Rețineți că pentru modelarea corectă a acestei probleme, un matematician necesită anumite cunoștințe de bază în domeniul teoriei portofoliului de valori mobiliare.
Să notăm parametrii cunoscuți ai problemei:
n- numărul de tipuri de titluri de valoare; dar j– profit real (număr aleatoriu) din al j-lea tip de titlu; 
este profitul aşteptat din j al-lea tip de securitate.
Indicați cantitățile necunoscute :
y j - fonduri alocate pentru achiziționarea de titluri de valoare de acest tip j.
În notația noastră, suma totală investită este exprimată ca 
. Pentru a simplifica modelul, introducem cantități noi
.
În acest fel, X i- aceasta este ponderea tuturor fondurilor alocate pentru achiziționarea de titluri de valoare de acest tip j.
Este clar că 
Din condiția problemei se poate observa că scopul investitorului este atingerea unui anumit nivel de profit cu risc minim. În esență, riscul este o măsură a abaterii profitului real de la cel așteptat. Prin urmare, poate fi identificat cu covarianța profitului pentru titlurile de valoare de tip i și tip j. Aici M este desemnarea așteptării matematice.
Modelul matematic al problemei originale are forma:
sub restricții
,
,
,
. (1.8)
Am obținut binecunoscutul model Markowitz pentru optimizarea structurii unui portofoliu de valori mobiliare.
Modelul (1.8.) este un exemplu de model de optimizare de tip stocastic (cu elemente ale aleatoriei).
Exemplul 1.5.4.
Pe baza unei organizații comerciale, există n tipuri de unul dintre produsele din sortimentul minim. Doar unul dintre tipurile acestui produs trebuie livrat la magazin. Este necesar să alegeți tipul de mărfuri pe care este indicat să îl aduceți în magazin. Dacă tipul de produs j va fi la cerere, apoi magazinul va profita din vânzarea sa R j, dacă nu este în cerere - o pierdere q j .
Înainte de modelare, vom discuta câteva puncte fundamentale. În această problemă, factorul de decizie (DM) este magazinul. Cu toate acestea, rezultatul (obținerea profitului maxim) depinde nu numai de decizia sa, ci și de faptul dacă mărfurile importate vor fi solicitate, adică dacă vor fi cumpărate de către populație (se presupune că dintr-un anumit motiv magazinul nu nu au posibilitatea de a studia cererea populației). Prin urmare, populația poate fi considerată ca al doilea factor de decizie, alegând tipul de bunuri în funcție de preferințele lor. Cea mai proastă „decizie” a populației pentru magazin este: „nu sunt solicitate mărfurile importate”. Așadar, pentru a ține cont de tot felul de situații, magazinul trebuie să considere populația drept „oponent” (condițional), urmărind obiectivul opus - minimizarea profitului magazinului.
Deci, avem o problemă de decizie cu doi participanți care urmăresc obiective opuse. Să lămurim că magazinul alege unul dintre tipurile de mărfuri de vânzare (există n soluții), iar populația alege unul dintre tipurile de mărfuri care are cea mai mare cerere ( n opțiuni de soluție).
Pentru a compila un model matematic, desenăm un tabel cu n linii şi n coloane (total n 2 celule) și sunt de acord că rândurile corespund alegerii magazinului, iar coloanele corespund alegerii populației. Apoi celula (i, j) corespunde situației în care magazinul alege i-al-lea tip de bunuri ( i-a linie), iar populația alege j-al-lea tip de bunuri ( j- a coloana). În fiecare celulă, scriem o evaluare numerică (profit sau pierdere) a situației corespunzătoare din punctul de vedere al magazinului:
Numerele q i scris cu un minus pentru a reflecta pierderea magazinului; în fiecare situație, „rambursarea” populației este (condițional) egală cu „rambursarea” magazinului, luată cu semnul opus.
O vedere prescurtată a acestui model este următoarea:
(1.9)
Avem așa-numitul joc de matrice. Modelul (1.9.) este un exemplu de modele de luare a deciziilor în joc.
