Evident, numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor pe rând cu semnele lor.

Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Cote aceleași puteri ale acelorași variabile poate fi adunat sau scazut.

Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este 5a 2 .

De asemenea, este evident că dacă luăm două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.

Dar grade variabile variateși diverse grade variabile identice, trebuie adăugate prin adăugarea lor la semnele lor.

Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3 .

Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este nici de două ori pătratul lui a, ci de două ori cubul lui a.

Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtrahendului trebuie schimbate în consecință.

Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Înmulțirea puterii

Numerele cu puteri pot fi înmulțite ca și alte mărimi scriindu-le una după alta, cu sau fără semnul înmulțirii între ele.

Deci, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.

Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea acelorași variabile.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3 .

Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu sumă grade de termeni.

Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.

Deci, a n .a m = a m+n .

Pentru a n, a este luat ca factor de câte ori este puterea lui n;

Și a m , este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;

Asa de, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților.

Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt - negativ.

1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică

Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.

Dacă suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în Al patrulea grad.

Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Împărțirea puterilor

Numerele de putere pot fi împărțite ca și alte numere prin scăderea din divizor sau prin plasarea lor sub formă de fracție.

Deci a 3 b 2 împărțit la b 2 este a 3 .

Sau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac(a^5)(a^3)$. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferență indicatori ai numerelor divizibile.

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, se scad exponenții acestora..

Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Adică $\frac(yyy)(yy) = y$.

Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Sau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori de grad.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este a -2 .
De asemenea, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.

Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri

1. Reduceți exponenții în $\frac(5a^4)(3a^2)$ Răspuns: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reduceți exponenții în $\frac(6x^6)(3x^5)$. Răspuns: $\frac(2x)(1)$ sau 2x.

3. Reduceți exponenții a 2 / a 3 și a -3 / a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este un prim numărător -2.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .

4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 / 5a 7 și 5a 5 / 5a 7 sau 2a 3 / 5a 2 și 5/5a 2.

5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.

6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).

7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .

8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Răspuns: a/a.

9. Împărțiți (h 3 - 1)/d 4 la (d n + 1)/h.

Cum să înmulțim puterile? Ce puteri pot fi multiplicate și care nu? Cum se înmulțește un număr cu o putere?

În algebră, puteți găsi produsul puterilor în două cazuri:

1) dacă gradele au aceeași bază;

2) dacă gradele au aceiași indicatori.

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, baza trebuie să rămână aceeași, iar exponenții trebuie adăugați:

Când înmulțiți grade cu aceiași indicatori, indicatorul total poate fi scos din paranteze:

Luați în considerare cum să multiplicați puterile, cu exemple specifice.

Unitatea din exponent nu este scrisă, dar la înmulțirea gradelor, acestea iau în considerare:

La înmulțire, numărul de grade poate fi oricare. Trebuie amintit că nu puteți scrie semnul de înmulțire înaintea literei:

În expresii, exponențiarea este efectuată mai întâi.

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu o putere, trebuie mai întâi să efectuați exponențiarea și numai apoi - înmulțirea:

www.algebraclass.ru

Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea puterilor

Adunarea și scăderea puterilor

Evident, numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor pe rând cu semnele lor.

Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4.

Cote aceleași puteri ale acelorași variabile poate fi adunat sau scazut.

Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este 5a 2 .

De asemenea, este evident că dacă luăm două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.

Dar grade variabile variateși diverse grade variabile identice, trebuie adăugate prin adăugarea lor la semnele lor.

Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3 .

Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este nici de două ori pătratul lui a, ci de două ori cubul lui a.

Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtrahendului trebuie schimbate în consecință.

Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Înmulțirea puterii

Numerele cu puteri pot fi înmulțite ca și alte mărimi scriindu-le una după alta, cu sau fără semnul înmulțirii între ele.

Deci, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.

Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea acelorași variabile.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3 .

Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu sumă grade de termeni.

Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.

Deci, a n .a m = a m+n .

Pentru a n, a este luat ca factor de câte ori este puterea lui n;

Și a m , este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;

Asa de, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților.

Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt − negativ.

1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică

Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.

Dacă suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în Al patrulea grad.

Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Împărțirea puterilor

Numerele de putere pot fi împărțite ca și alte numere prin scăderea din divizor sau prin plasarea lor sub formă de fracție.

Deci a 3 b 2 împărțit la b 2 este a 3 .

Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac $. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferență indicatori ai numerelor divizibile.

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, se scad exponenții acestora..

Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Adică $\frac = y$.

Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac = a^n$.

Sau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori de grad.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este a -2 .
De asemenea, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.

Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri

1. Reduceți exponenții în $\frac $ Răspuns: $\frac $.

2. Reduceți exponenții în $\frac$. Răspuns: $\frac $ sau 2x.

3. Reduceți exponenții a 2 / a 3 și a -3 / a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este un prim numărător -2.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .

4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 / 5a 7 și 5a 5 / 5a 7 sau 2a 3 / 5a 2 și 5/5a 2.

5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.

6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).

7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .

8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Răspuns: a/a.

proprietăți de grad

Vă reamintim că în această lecție înțelegem proprietăți de grad cu indicatori naturali și zero. Gradele cu indicatori raționali și proprietățile acestora vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a 8-a.

Un exponent cu un exponent natural are câteva proprietăți importante care vă permit să simplificați calculele în exemple de exponent.

Proprietatea #1
Produsul puterilor

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții.

a m a n \u003d a m + n, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Această proprietate a puterilor afectează și produsul a trei sau mai multe puteri.

Simplificați expresia.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Prezentă ca diplomă.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Prezentă ca diplomă.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Vă rugăm să rețineți că în proprietatea indicată era vorba doar de înmulțirea puterilor cu aceleași baze.. Nu se aplică la adăugarea lor.

Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5 . Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243

Proprietatea #2
Diplome private

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.

Scrieți coeficientul ca putere
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Calculati.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Exemplu. Rezolvați ecuația. Folosim proprietatea gradelor parțiale.
3 8: t = 3 4

Răspuns: t = 3 4 = 81

Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.

Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile gradului.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Vă rugăm să rețineți că proprietatea 2 s-a ocupat doar de împărțirea puterilor pe aceleași baze.

Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1 . Acest lucru este de înțeles dacă calculezi (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4

Proprietatea #3
Exponentiatie

Când ridicați o putere la o putere, baza puterii rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.

(a n) m \u003d a n m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Vă rugăm să rețineți că proprietatea nr. 4, ca și alte proprietăți ale gradelor, se aplică și în ordine inversă.

(a n b n)= (a b) n

Adică, pentru a înmulți grade cu aceiași exponenți, puteți înmulți bazele și lăsați exponentul neschimbat.

Exemplu. Calculati.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Exemplu. Calculati.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

În exemple mai complexe, pot exista cazuri când înmulțirea și împărțirea trebuie efectuate pe puteri cu baze diferite și exponenți diferiți. În acest caz, vă sfătuim să faceți următoarele.

De exemplu, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Exemplu de exponențiere a unei fracții zecimale.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Proprietăți 5
Puterea coeficientului (fracțiilor)

Pentru a crește un coeficient la o putere, puteți crește dividendul și divizorul separat la această putere și puteți împărți primul rezultat la al doilea.

(a: b) n \u003d a n: b n, unde "a", "b" sunt orice numere raționale, b ≠ 0, n este orice număr natural.

Exemplu. Exprimați expresia ca puteri parțiale.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Vă reamintim că un coeficient poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.

Grade și rădăcini

Operații cu puteri și rădăcini. Gradul cu negativ ,

zero și fracțional indicator. Despre expresii care nu au sens.

Operații cu grade.

1. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, indicatorii acestora se adună:

a m · a n = a m + n .

2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii lor scăzut .

3. Gradul produsului a doi sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori.

4. Gradul raportului (fracției) este egal cu raportul dintre gradele dividendului (numărătorul) și divizorului (numitorului):

(a/b) n = un n / b n .

5. Când se ridică un grad la o putere, indicatorii lor sunt înmulțiți:

Toate formulele de mai sus sunt citite și executate în ambele direcții de la stânga la dreapta și invers.

EXEMPLU (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operații cu rădăcini. În toate formulele de mai jos, simbolul înseamnă rădăcină aritmetică(expresia radicală este pozitivă).

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina raportului este egală cu raportul dintre rădăcinile dividendului și divizorului:

3. Când ridici o rădăcină la o putere, este suficient să ridici la această putere numărul rădăcinii:

4. Dacă creșteți gradul rădăcinii de m ori și ridicați simultan numărul rădăcinii la gradul m --lea, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă reduceți gradul rădăcinii de m ori și, în același timp, extrageți rădăcina gradului m-lea din numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica:

Extinderea conceptului de grad. Până acum, am luat în considerare grade doar cu un indicator natural; dar operaţiile cu puteri şi rădăcini pot duce şi la negativ, zeroși fracționat indicatori. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.

Gradul cu exponent negativ. Gradul unui anumit număr cu un exponent negativ (întreg) este definit ca unul împărțit la gradul aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului negativ:

Acum formula a m : un n = un m-n poate fi folosit nu numai pentru m, mai mult decât n, dar și la m, mai puțin decât n .

EXEMPLU A 4: A 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Dacă vrem formula a m : un n = a m — n a fost corect la m = n, avem nevoie de o definiție a gradului zero.

Gradul cu exponent zero. Gradul oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.

EXEMPLE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Un grad cu un exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real a la puterea m / n, trebuie să extrageți rădăcina gradului al n-lea din puterea a m a acestui număr a:

Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii.

Unde A ≠ 0 , nu exista.

Într-adevăr, dacă presupunem că X este un anumit număr, atunci, în conformitate cu definiția operației de împărțire, avem: A = 0· X, adică A= 0, ceea ce contrazice condiția: A ≠ 0

— orice număr.

Într-adevăr, dacă presupunem că această expresie este egală cu un anumit număr X, atunci conform definiției operației de împărțire avem: 0 = 0 X. Dar această egalitate este valabilă pentru orice număr x, ceea ce urma să fie dovedit.

0 0 — orice număr.

Soluție. Luați în considerare trei cazuri principale:

1) X = 0 – această valoare nu satisface această ecuație

2) când X> 0 obținem: x/x= 1, adică 1 = 1, de unde urmează,

ce X- orice număr; dar ținând cont de faptul că

cazul nostru X> 0, răspunsul este X > 0 ;

Reguli pentru înmulțirea puterilor cu baze diferite

GRAD CU INDICATOR RAȚIONAL,

FUNCȚIA DE PUTERE IV

§ 69. Înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceleași baze

Teorema 1. Pentru a înmulți puteri cu aceleași baze, este suficient să adăugați exponenții și să lăsați baza aceeași, adică

Dovada. Prin definiția gradului

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Am considerat produsul a două puteri. De fapt, proprietatea dovedită este adevărată pentru orice număr de puteri cu aceleași baze.

Teorema 2. Pentru a împărți puterile cu aceleași baze, atunci când indicatorul dividendului este mai mare decât indicatorul divizorului, este suficient să scădem indicatorul divizorului din indicatorul dividendului și să lăsați baza aceeași, adică la t > n

(A =/= 0)

Dovada. Amintiți-vă că câtul împărțirii unui număr la altul este numărul care, înmulțit cu un divizor, dă dividendul. Prin urmare, demonstrați formula , unde A =/= 0, este ca și cum ai demonstra formula

În cazul în care un t > n , apoi numărul t - p va fi natural; prin urmare, prin teorema 1

Teorema 2 este demonstrată.

Rețineți că formula

dovedit de noi numai sub presupunerea că t > n . Prin urmare, din ceea ce s-a dovedit, nu este încă posibil să se tragă, de exemplu, următoarele concluzii:

În plus, nu am luat în considerare încă grade cu exponenți negativi și nu știm încă ce semnificație i se poate da expresiei 3 - 2 .

Teorema 3. Pentru a ridica o putere la o putere, este suficient să înmulțiți exponenții, lăsând baza exponentului aceeași, adică

Dovada. Folosind definiția gradului și teorema 1 din această secțiune, obținem:

Q.E.D.

De exemplu, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Oral.) Determinați X din ecuatii:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 X ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 X ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 X ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 X .

519. (Ajustat) Simplificați:

520. (Ajustat) Simplificați:

521. Prezentați aceste expresii ca grade cu aceleași baze:

1) 32 și 64; 3) 85 și 163; 5) 4 100 și 32 50;

2) -1000 și 100; 4) -27 și -243; 6) 81 75 8 200 și 3 600 4 150.

Formule de putere utilizat în procesul de reducere și simplificare a expresiilor complexe, în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

Număr c este o n-a-a putere a unui număr A când:

Operații cu grade.

1. Înmulțind grade cu aceeași bază, indicatorii lor se adună:

a ma n = a m + n .

2. În împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii acestora se scad:

3. Gradul produsului a 2 sau mai mulți factori este egal cu produsul gradelor acestor factori:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Gradul unei fracții este egal cu raportul dintre gradele dividendului și divizorului:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ridicarea unei puteri la o putere, exponenții se înmulțesc:

(am) n = a m n .

Fiecare formulă de mai sus este corectă în direcțiile de la stânga la dreapta și invers.

de exemplu. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operații cu rădăcini.

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina raportului este egală cu raportul dintre dividend și divizorul rădăcinilor:

3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul rădăcinii la această putere:

4. Dacă creștem gradul rădăcinii în n o dată şi în acelaşi timp ridică la n Puterea este un număr de rădăcină, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă scădem gradul rădăcinii în n rădăcină în același timp n gradul de la numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

Gradul cu exponent negativ. Gradul unui număr cu un exponent nepozitiv (întreg) este definit ca unul împărțit la gradul aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului nepozitiv:

Formulă a m:a n = a m - n poate fi folosit nu numai pentru m> n, dar și la m< n.

de exemplu. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Pentru a formula a m:a n = a m - n a devenit corect la m=n, aveți nevoie de prezența gradului zero.

Gradul cu exponent zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este egală cu unu.

de exemplu. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Un grad cu un exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real Aîntr-o măsură m/n, trebuie să extrageți rădăcina n gradul de m puterea acestui număr A.

Fiecare operație aritmetică devine uneori prea greoaie pentru a fi înregistrată și încearcă să o simplifice. Odinioară era la fel cu operația de adăugare. Era necesar ca oamenii să efectueze adăugiri repetate de același tip, de exemplu, pentru a calcula costul a o sută de covoare persane, al căror cost este de 3 monede de aur pentru fiecare. 3+3+3+…+3 = 300. Din cauza greutății, a fost inventat pentru a reduce notația la 3 * 100 = 300. De fapt, notația „de trei ori o sută” înseamnă că trebuie să luați o sută. tripleti si adauga-le impreuna. Înmulțirea a prins rădăcini, a câștigat popularitate generală. Dar lumea nu stă pe loc, iar în Evul Mediu a devenit necesar să se efectueze înmulțiri repetate de același tip. Îmi amintesc de o veche ghicitoare indiană despre un înțelept care a cerut boabe de grâu în următoarea cantitate ca recompensă pentru munca depusă: pentru prima celulă a tablei de șah a cerut un bob, pentru a doua - două, a treia - patru , al cincilea - opt și așa mai departe. Așa a apărut prima înmulțire a puterilor, deoarece numărul de boabe era egal cu două cu puterea numărului celulei. De exemplu, pe ultima celulă ar fi 2*2*2*…*2 = 2^63 de boabe, care este egal cu un număr de 18 caractere, care, de fapt, este sensul ghicitorii.

Operația de ridicare la o putere a luat rădăcini destul de repede și a devenit rapid necesară, de asemenea, să se efectueze adunarea, scăderea, împărțirea și înmulțirea gradelor. Acesta din urmă merită luat în considerare mai detaliat. Formulele de adăugare a puterilor sunt simple și ușor de reținut. În plus, este foarte ușor de înțeles de unde provin ele dacă operația de putere este înlocuită cu înmulțire. Dar mai întâi trebuie să înțelegeți terminologia elementară. Expresia a ^ b (se citește „a la puterea lui b”) înseamnă că numărul a trebuie înmulțit cu el însuși de b ori, iar „a” se numește baza gradului, iar „b” este exponentul. Dacă bazele puterilor sunt aceleași, atunci formulele sunt derivate destul de simplu. Exemplu specific: găsiți valoarea expresiei 2^3 * 2^4. Pentru a ști ce ar trebui să se întâmple, ar trebui să aflați răspunsul pe computer înainte de a începe soluția. Introducând această expresie în orice calculator online, motor de căutare, tastând „înmulțirea puterilor cu baze diferite și la fel” sau într-un pachet matematic, rezultatul va fi 128. Acum să scriem această expresie: 2^3 = 2*2*2, și 2^4 = 2 *2*2*2. Rezultă că 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Rezultă că produsul puterilor cu aceeași bază este egal cu baza ridicată la o putere egală cu suma celor două puteri anterioare.

Ai putea crede că acesta este un accident, dar nu: orice alt exemplu nu poate decât să confirme această regulă. Astfel, în general, formula arată astfel: a^n * a^m = a^(n+m) . Există, de asemenea, o regulă că orice număr la puterea zero este egal cu unu. Aici ar trebui să ne amintim regula puterilor negative: a^(-n) = 1 / a^n. Adică, dacă 2^3 = 8, atunci 2^(-3) = 1/8. Folosind această regulă, putem demonstra egalitatea a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) poate fi redus și rămâne unul. Din aceasta, se deduce regula că câtul puterilor cu aceeași bază este egal cu această bază într-un grad egal cu câtul dintre dividend și divizor: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m) . Exemplu: Simplificați expresia 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Înmulțirea este o operație comutativă, așa că exponenții de înmulțire trebuie mai întâi adăugați: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. În continuare, ar trebui să vă ocupați de împărțirea într-un grad negativ. Este necesar să scădem exponentul divizor din exponentul dividendului: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. rezultă că operația de împărțire cu un grad negativ este identică cu operația de înmulțire cu un exponent pozitiv similar. Deci răspunsul final este 8.

Există exemple în care are loc multiplicarea necanonică a puterilor. Înmulțirea puterilor cu baze diferite este foarte adesea mult mai dificilă și uneori chiar imposibilă. Ar trebui date mai multe exemple de diverse abordări posibile. Exemplu: simplificați expresia 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Evident, există o înmulțire a puterilor cu baze diferite. Dar, trebuie remarcat faptul că toate bazele sunt puteri diferite ale unui triplu. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Folosind regula (a^n) ^m = a^(n*m) , ar trebui să rescrieți expresia într-o formă mai convenabilă: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7) -4+12 -10+6) = 3^(11) . Răspuns: 3^11. În cazurile în care există baze diferite, regula a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n funcționează pentru indicatori egali. De exemplu, 3^3 * 7^3 = 21^3. În caz contrar, atunci când există baze și indicatori diferiți, este imposibil să faci o înmulțire completă. Uneori puteți simplifica parțial sau puteți recurge la ajutorul tehnologiei informatice.

Conceptul de diplomă în matematică este introdus încă din clasa a VII-a într-o lecție de algebră. Și în viitor, pe parcursul studierii matematicii, acest concept este utilizat în mod activ în diferitele sale forme. Gradele sunt un subiect destul de dificil, care necesită memorarea valorilor și capacitatea de a număra corect și rapid. Pentru a lucra mai rapid și mai bine cu diplomele de matematică, au venit cu proprietățile unei diplome. Ele ajută la reducerea calculelor mari, la transformarea unui exemplu uriaș într-un singur număr într-o anumită măsură. Nu există atât de multe proprietăți și toate sunt ușor de reținut și de aplicat în practică. Prin urmare, articolul discută principalele proprietăți ale gradului, precum și unde sunt aplicate.

proprietăți de grad

Vom lua în considerare 12 proprietăți ale unui grad, inclusiv proprietăți ale puterilor cu aceleași baze și vom da un exemplu pentru fiecare proprietate. Fiecare dintre aceste proprietăți vă va ajuta să rezolvați mai rapid problemele cu grade, precum și să vă salvați de numeroase erori de calcul.

Prima proprietate.

Mulți oameni uită foarte des de această proprietate, fac greșeli, reprezentând un număr la gradul zero ca zero.

a 2-a proprietate.

a 3-a proprietate.

Trebuie reținut că această proprietate poate fi folosită doar la înmulțirea numerelor, nu funcționează cu suma! Și nu trebuie să uităm că aceasta și următoarele proprietăți se aplică numai puterilor cu aceeași bază.

a 4-a proprietate.

Dacă numărul din numitor este ridicat la o putere negativă, atunci când se scade, gradul numitorului este luat între paranteze pentru a înlocui corect semnul în calcule ulterioare.

Proprietatea funcționează doar la împărțire, nu la scădere!

a 5-a proprietate.

a 6-a proprietate.

Această proprietate poate fi aplicată și invers. O unitate împărțită la un număr într-o anumită măsură este acel număr la o putere negativă.

a 7-a proprietate.

Această proprietate nu poate fi aplicată la sumă și diferență! Când se ridică o sumă sau o diferență la o putere, se folosesc formule de înmulțire abreviate, nu proprietățile puterii.

a 8-a proprietate.

a 9-a proprietate.

Această proprietate funcționează pentru orice grad fracționar cu numărător egal cu unu, formula va fi aceeași, doar gradul rădăcinii se va schimba în funcție de numitorul gradului.

De asemenea, această proprietate este adesea folosită în ordine inversă. Rădăcina oricărei puteri a unui număr poate fi reprezentată ca acel număr la puterea unuia împărțită la puterea rădăcinii. Această proprietate este foarte utilă în cazurile în care rădăcina numărului nu este extrasă.

a 10-a proprietate.

Această proprietate funcționează nu numai cu rădăcina pătrată și gradul doi. Dacă gradul rădăcinii și gradul în care această rădăcină este ridicată sunt aceleași, atunci răspunsul va fi o expresie radicală.

a 11-a proprietate.

Trebuie să puteți vedea această proprietate la timp atunci când o rezolvați pentru a vă salva de calcule uriașe.

a 12-a proprietate.

Fiecare dintre aceste proprietăți vă va întâlni de mai multe ori în sarcini, poate fi dată în forma sa pură sau poate necesita unele transformări și utilizarea altor formule. Prin urmare, pentru soluția corectă, nu este suficient să cunoașteți numai proprietățile, trebuie să exersați și să conectați restul cunoștințelor matematice.

Aplicarea gradelor și proprietățile acestora

Ele sunt utilizate în mod activ în algebră și geometrie. Gradele în matematică au un loc separat, important. Cu ajutorul lor, ecuațiile exponențiale și inegalitățile sunt rezolvate, precum și puterile complică adesea ecuațiile și exemplele legate de alte secțiuni ale matematicii. Exponenții ajută la evitarea calculelor mari și lungi, este mai ușor să reduceți și să calculați exponenții. Dar pentru a lucra cu puteri mari sau cu puteri de numere mari, trebuie să cunoașteți nu numai proprietățile gradului, ci și să lucrați în mod competent cu bazele, să le puteți descompune pentru a vă ușura sarcina. Pentru comoditate, ar trebui să cunoașteți și semnificația numerelor ridicate la o putere. Acest lucru vă va reduce timpul de rezolvare prin eliminarea necesității unor calcule lungi.

Conceptul de grad joacă un rol special în logaritmi. Deoarece logaritmul, în esență, este puterea unui număr.

Formulele de multiplicare prescurtate sunt un alt exemplu de utilizare a puterilor. Nu pot folosi proprietățile gradelor, sunt descompuse după reguli speciale, dar în fiecare formulă de înmulțire prescurtată există invariabil grade.

De asemenea, diplomele sunt utilizate în mod activ în fizică și informatică. Toate traducerile în sistemul SI se fac folosind grade, iar în viitor, la rezolvarea problemelor, se aplică proprietățile gradului. În informatică, puterile lui doi sunt utilizate în mod activ, pentru comoditatea numărării și simplificarea percepției numerelor. Calcule suplimentare privind conversiile unităților de măsură sau calculele problemelor, la fel ca în fizică, au loc folosind proprietățile gradului.

Gradele sunt, de asemenea, foarte utile în astronomie, unde rar puteți găsi utilizarea proprietăților unui grad, dar gradele în sine sunt utilizate în mod activ pentru a scurta înregistrarea diferitelor cantități și distanțe.

Gradele sunt folosite și în viața de zi cu zi, la calcularea suprafețelor, volumelor, distanțelor.

Cu ajutorul diplomelor, valorile foarte mari și foarte mici sunt scrise în orice domeniu al științei.

ecuații exponențiale și inegalități

Proprietățile gradului ocupă un loc special tocmai în ecuațiile și inegalitățile exponențiale. Aceste sarcini sunt foarte frecvente, atât la cursul școlar, cât și la examene. Toate sunt rezolvate prin aplicarea proprietăților gradului. Necunoscutul este întotdeauna în gradul însuși, prin urmare, cunoscând toate proprietățile, nu va fi dificil să rezolvi o astfel de ecuație sau inegalitate.