Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul în care Ahile parcurge această distanță, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile a alergat o sută de pași, țestoasa se va târa încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu broasca țestoasă.
Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Toți, într-un fel sau altul, au considerat aporii lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă în prezent, comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună cu privire la esența paradoxurilor... în studiul problemei au fost implicate analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice. ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție universal acceptată la problemă...„[Wikipedia,” Aporii lui Zeno „]. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege ce este înșelăciunea.
Din punctul de vedere al matematicii, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la valoare la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constante. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru aplicarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zenon. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, prin inerția gândirii, aplicăm reciprocului unități constante de timp. Din punct de vedere fizic, aceasta pare o încetinire a timpului până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.
Dacă întoarcem logica cu care suntem obișnuiți, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al traseului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel precedent. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va depăși infinit rapid broasca țestoasă”.
Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la valori reciproce. În limbajul lui Zeno, arată astfel:
În timpul necesar lui Ahile pentru a alerga o mie de pași, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.
Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă la problemă. Afirmația lui Einstein despre insurmontabilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Încă trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.
O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:
O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.
În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp săgeata zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, ceea ce, de fapt, este mișcare. Mai este un punct de remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, nici distanța până la ea. Pentru a determina fapta mișcării mașinii, sunt necesare două fotografii realizate din același punct în momente diferite de timp, dar nu pot fi folosite pentru a determina distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte din spațiu în același timp, dar nu puteți determina faptul deplasării din ele (desigur, aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta) . Ceea ce vreau să subliniez în special este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt două lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de explorare.
miercuri, 4 iulie 2018
Foarte bine diferențele dintre set și multiset sunt descrise în Wikipedia. Ne uitam.
După cum puteți vedea, „multimea nu poate avea două elemente identice”, dar dacă există elemente identice în set, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică a absurdității. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, în care mintea este absentă din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.
Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timpul testelor podului. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.
Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „mind-mă, sunt în casă”, sau mai degrabă „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le leagă indisolubil de realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria mulțimilor matematicienilor înșiși.
Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casierie și plătim salarii. Aici vine un matematician la noi pentru banii lui. Numărăm întreaga sumă pentru el și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm câte o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său de salariu matematic”. Explicăm la matematică că va primi restul bancnotelor doar atunci când demonstrează că mulțimea fără elemente identice nu este egală cu mulțimea cu elemente identice. Aici începe distracția.
În primul rând, logica deputaților va funcționa: „puteți aplica și altora, dar mie nu!” În plus, vor începe asigurările că există numere diferite de bancnote pe bancnotele de aceeași valoare nominală, ceea ce înseamnă că acestea nu pot fi considerate elemente identice. Ei bine, numărăm salariul în monede - nu există numere pe monede. Aici, matematicianul își va aminti frenetic de fizică: diferite monede au cantități diferite de murdărie, structura cristalină și aranjarea atomilor pentru fiecare monedă este unică...
Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este granița dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unui set și invers? O astfel de linie nu există - totul este decis de șamani, știința aici nu este nici măcar aproape.
Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Aria câmpurilor este aceeași, ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă luăm în considerare numele acelorași stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set cât și un multiset în același timp. Cât de corect? Și aici matematicianul-șaman-shuller scoate un as de atu din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.
Pentru a înțelege cum operează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.
Duminică, 18 martie 2018
Suma cifrelor unui număr este un dans al șamanilor cu un tamburin, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, la lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar ei sunt șamani pentru asta, pentru a-și învăța descendenții abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii pur și simplu vor muri.
Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina „Suma cifrelor unui număr”. Ea nu există. Nu există o formulă în matematică prin care să poți găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice cu care scriem numere, iar în limbajul matematicii, sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice care reprezintă orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii o pot face în mod elementar.
Să ne dăm seama ce și cum facem pentru a găsi suma cifrelor unui număr dat. Și așa, să presupunem că avem numărul 12345. Ce trebuie făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să luăm în considerare toți pașii în ordine.
1. Notează numărul pe o foaie de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul într-un simbol grafic numeric. Aceasta nu este o operație matematică.
2. Am tăiat o imagine primită în mai multe imagini care conțin numere separate. Decuparea unei imagini nu este o operație matematică.
3. Convertiți caracterele grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.
4. Adunați numerele rezultate. Acum asta e matematica.
Suma cifrelor numărului 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” de la șamani folosite de matematicieni. Dar asta nu este tot.
Din punct de vedere al matematicii, nu contează în ce sistem de numere scriem numărul. Deci, în sisteme de numere diferite, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca indice în dreapta numărului. Cu un număr mare de 12345, nu vreau să-mi păcălesc capul, luați în considerare numărul 26 din articolul despre. Să scriem acest număr în sisteme de numere binar, octal, zecimal și hexazecimal. Nu vom lua în considerare fiecare pas la microscop, am făcut-o deja. Să ne uităm la rezultat.
După cum puteți vedea, în diferite sisteme de numere, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nimic de-a face cu matematica. Este ca și cum găsirea ariei unui dreptunghi în metri și centimetri ți-ar da rezultate complet diferite.
Zero în toate sistemele de numere arată la fel și nu are sumă de cifre. Acesta este un alt argument în favoarea faptului că . O întrebare pentru matematicieni: cum se notează în matematică ceea ce nu este un număr? Ce, pentru matematicieni, nu există decât numere? Pentru șamani, pot permite acest lucru, dar pentru oameni de știință, nu. Realitatea nu este doar despre cifre.
Rezultatul obținut trebuie considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură ale numerelor. La urma urmei, nu putem compara numerele cu unități de măsură diferite. Dacă aceleași acțiuni cu diferite unități de măsură ale aceleiași mărimi duc la rezultate diferite după compararea lor, atunci acest lucru nu are nimic de-a face cu matematica.
Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei acțiuni matematice nu depinde de valoarea numărului, de unitatea de măsură folosită și de cine efectuează această acțiune.
Ai! Asta nu este toaleta femeilor?
- Femeie tânără! Acesta este un laborator pentru studierea sfințeniei nedefinite a sufletelor la înălțarea la cer! Nimbus în sus și săgeată în sus. Ce altă toaletă?
Femeie... Un halou deasupra și o săgeată în jos sunt masculin.
Dacă aveți o astfel de operă de artă de design fulgerând în fața ochilor dvs. de mai multe ori pe zi,
Atunci nu este surprinzător că găsiți brusc o pictogramă ciudată în mașina dvs.:
Personal, fac un efort pe mine însumi să văd minus patru grade la o persoană care face caca (o poză) (compunere din mai multe imagini: semnul minus, numărul patru, desemnarea grade). Și nu o consider pe fata asta o proastă care nu știe fizică. Ea are doar un arc stereotip al percepției imaginilor grafice. Și matematicienii ne învață asta tot timpul. Iată un exemplu.
1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „omul care face caca” sau numărul „douăzeci și șase” în sistemul numeric hexazecimal. Acei oameni care lucrează constant în acest sistem numeric percep automat numărul și litera ca un simbol grafic.
Subiectul lecției: "Ordinea de execuție a acțiunilor în expresii fără paranteze și cu paranteze.
Scopul lecției: creați condiții pentru consolidarea deprinderilor de aplicare a cunoștințelor despre ordinea efectuării acțiunilor în expresii fără paranteze și cu paranteze în diverse situații, capacitatea de a rezolva probleme cu o expresie.
Obiectivele lecției.
Educational:
Să consolideze cunoștințele elevilor despre regulile de realizare a acțiunilor în expresii fără paranteze și cu paranteze; să-și formeze capacitatea de a folosi aceste reguli atunci când calculează expresii specifice; îmbunătățirea abilităților de calcul; repetă cazurile tabelare de înmulțire și împărțire;
În curs de dezvoltare:
Dezvoltați abilitățile de calcul, gândirea logică, atenția, memoria, abilitățile cognitive ale elevilor,
abilități de comunicare;
Educational:
Cultivați o atitudine tolerantă unul față de celălalt, cooperare reciprocă,
cultura comportamentului în clasă, acuratețea, independența, pentru a cultiva interesul pentru matematică.
UUD format:
UUD de reglementare:
lucrați conform planului propus, instrucțiuni;
își propun ipotezele pe baza materialului educațional;
exercita autocontrolul.
UUD cognitiv:
cunoașteți ordinea operațiilor:
să poată explica conținutul acestora;
să înțeleagă regula ordinii acțiunilor;
găsiți valorile expresiilor conform regulilor ordinii de execuție;
acțiuni, folosind sarcini text pentru aceasta;
scrieți rezolvarea problemei cu o expresie;
aplica reguli pentru ordinea acțiunilor;
să poată aplica cunoştinţele dobândite în efectuarea muncii de control.
UUD comunicativ:
ascultați și înțelegeți vorbirea altora;
exprimă-și gândurile cu suficientă detaliere și acuratețe;
permiteți posibilitatea unor puncte de vedere diferite, străduiți-vă să înțelegeți poziția interlocutorului;
lucrul în echipă de conținut diferit (pereche, grup mic, întreaga clasă), participarea la discuții, lucrul în perechi;
UUD personal:
stabilirea unei relații între scopul activității și rezultatul acesteia;
să definească reguli de conduită comune tuturor;
să exprime capacitatea de autoevaluare pe baza criteriului succesului în activităţile educaţionale.
Rezultatul planificat:
Subiect:
Cunoașteți regulile de ordonare a acțiunilor.
Să poată explica conținutul lor.
Să fie capabil să rezolve probleme folosind expresii.
Personal:
Să fie capabil să efectueze autoevaluare pe baza criteriului succesului activităților educaționale.
Metasubiect:
Să fie capabil să determine și să formuleze scopul în lecție cu ajutorul unui profesor; pronunta succesiunea actiunilor din lectie; lucrează conform unui plan colectiv; evaluează corectitudinea acțiunii la nivelul unei evaluări retrospective adecvate; planificați-vă acțiunea în conformitate cu sarcina; efectuează ajustările necesare acțiunii după finalizarea acesteia, pe baza evaluării acesteia și ținând cont de natura erorilor comise; să-și ghicească UUD de reglementare ).
Fiți capabil să vă formulați gândurile oral; ascultați și înțelegeți vorbirea altora; să convină împreună asupra regulilor de comportament și comunicare la școală și să le respecte ( UUD comunicativ ).
Să poată naviga în sistemul lor de cunoștințe: să distingă noul de deja cunoscut cu ajutorul unui profesor; dobândiți cunoștințe noi: găsiți răspunsuri la întrebări folosind un manual, experiența dvs. de viață și informațiile primite în lecție (UUD cognitiv ).
În timpul orelor
1. Moment organizatoric.
Pentru a ne face lecția mai strălucitoare,
Vom împărtăși binele.
Întinde-ți palmele
Pune-ți dragostea în ele
Și zâmbiți unul altuia.
Ia-ți locurile de muncă.
Au deschis caiete, au notat data și lucrările de clasă.
2. Actualizarea cunoștințelor.
În lecție, va trebui să luăm în considerare în detaliu ordinea în care se efectuează operațiile aritmetice în expresii fără paranteze și cu paranteze.
Numărarea verbală.
Găsiți jocul de răspuns potrivit.
(Fiecare elev are o foaie cu numere)
Am citit sarcinile, iar tu, după ce ai finalizat acțiunile în mintea ta, trebuie să tai rezultatul, adică răspunsul, cu o cruce.
Am conceput un număr, am scăzut 80 din el, am primit 18. Ce număr am conceput? (98)
Am conceput un număr, i-am adăugat 12, am primit 70. Ce număr am conceput? (58)
Primul termen este 90, al doilea termen este 12. Aflați suma. (102)
Conectați-vă rezultatele.
Ce geometrie ai obtinut? (Triunghi)
Spune-ne ce știi despre această figură geometrică. (Are 3 laturi, 3 vârfuri, 3 colțuri)
Continuăm să lucrăm la card.
Găsiți diferența dintre numerele 100 și 22 . (78)
A redus 99, a scăzut 19. Găsiți diferența. (80).
Luați numărul 25 de 4 ori. (100)
Desenați încă 1 triunghi în interiorul triunghiului, conectând rezultatele.
Câte triunghiuri ai primit? (5)
3. Lucrați pe tema lecției. Observarea modificării valorii unei expresii în funcție de ordinea în care sunt efectuate operațiile aritmetice
În viață, efectuăm constant un fel de acțiune: ne plimbăm, studiem, citim, scriem, numărăm, zâmbim, ne certam și ne împăcăm. Efectuăm acești pași într-o ordine diferită. Uneori pot fi schimbate, alteori nu. De exemplu, mergând dimineața la școală, poți mai întâi să faci exerciții, apoi să faci patul sau invers. Dar nu poți merge mai întâi la școală și apoi te îmbraci.
Și în matematică, este necesar să se efectueze operații aritmetice într-o anumită ordine?
Sa verificam
Să comparăm expresiile:
8-3+4 și 8-3+4
Vedem că ambele expresii sunt exact aceleași.
Să executăm acțiuni într-o expresie de la stânga la dreapta și în alta de la dreapta la stânga. Numerele pot indica ordinea în care sunt efectuate acțiunile (Fig. 1).
Orez. 1. Procedura
În prima expresie, vom efectua mai întâi operația de scădere, apoi vom adăuga numărul 4 la rezultat.
În a doua expresie, găsim mai întâi valoarea sumei, apoi scădem rezultatul 7 din 8.
Vedem că valorile expresiilor sunt diferite.
Să conchidem: Ordinea în care sunt efectuate operațiile aritmetice nu poate fi schimbată..
Ordinea aritmetică în expresii fără paranteze
Să învățăm regula pentru efectuarea operațiilor aritmetice în expresii fără paranteze.
Dacă expresia fără paranteze include doar adunarea și scăderea, sau numai înmulțirea și împărțirea, atunci acțiunile sunt efectuate în ordinea în care sunt scrise.
Sa exersam.
Luați în considerare expresia
Această expresie are doar operații de adunare și scădere. Aceste acțiuni sunt numite acțiuni de prim pas.
Efectuăm acțiuni de la stânga la dreapta în ordine (Fig. 2).
Orez. 2. Procedura
Luați în considerare a doua expresie
În această expresie, există doar operații de înmulțire și împărțire - Acestea sunt acțiunile din al doilea pas.
Efectuăm acțiuni de la stânga la dreapta în ordine (Fig. 3).
Orez. 3. Procedura
În ce ordine se efectuează operațiile aritmetice dacă expresia conține nu numai adunarea și scăderea, ci și înmulțirea și împărțirea?
Dacă expresia fără paranteze include nu numai adunarea și scăderea, ci și înmulțirea și împărțirea, sau ambele operații, atunci mai întâi efectuați înmulțirea și împărțirea în ordine (de la stânga la dreapta), apoi adunarea și scăderea.
Luați în considerare o expresie.
Raționăm așa. Această expresie conține operațiile de adunare și scădere, înmulțire și împărțire. Acționăm conform regulilor. Mai întâi, efectuăm în ordine (de la stânga la dreapta) înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea. Să stabilim procedura.
Să calculăm valoarea expresiei.
18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7
Ordinea de execuție a operațiilor aritmetice în expresii cu paranteze
În ce ordine se efectuează operațiile aritmetice dacă expresia conține paranteze?
Dacă expresia conține paranteze, atunci se calculează mai întâi valoarea expresiilor din paranteze.
Luați în considerare o expresie.
30 + 6 * (13 - 9)
Vedem că în această expresie există o acțiune între paranteze, ceea ce înseamnă că vom efectua mai întâi această acțiune, apoi, în ordine, înmulțirea și adunarea. Să stabilim procedura.
30 + 6 * (13 - 9)
Să calculăm valoarea expresiei.
30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54
Regula pentru efectuarea operațiilor aritmetice în expresii fără paranteze și cu paranteze
Cum ar trebui să motivăm pentru a stabili corect ordinea operațiilor aritmetice într-o expresie numerică?
Înainte de a continua cu calculele, este necesar să luați în considerare expresia (aflați dacă conține paranteze, ce acțiuni are) și numai după aceea efectuați acțiunile în următoarea ordine:
1. acțiuni scrise între paranteze;
2. înmulțirea și împărțirea;
3. adunarea și scăderea.
Diagrama vă va ajuta să vă amintiți această regulă simplă (Fig. 4).
Orez. 4. Procedura
4. Consolidare Îndeplinirea sarcinilor de instruire pentru regula învăţată
Sa exersam.
Luați în considerare expresiile, stabiliți ordinea operațiilor și efectuați calculele.
43 - (20 - 7) +15
32 + 9 * (19 - 16)
Să respectăm regulile. Expresia 43 - (20 - 7) +15 are operații între paranteze, precum și operații de adunare și scădere. Să stabilim cursul acțiunii. Primul pas este să efectuați acțiunea între paranteze, iar apoi în ordine de la stânga la dreapta, scăderea și adunarea.
43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45
Expresia 32 + 9 * (19 - 16) are operații între paranteze, precum și operații de înmulțire și adunare. Conform regulii, mai întâi executăm acțiunea dintre paranteze, apoi înmulțirea (numărul 9 se înmulțește cu rezultatul obținut prin scădere) și adunarea.
32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59
În expresia 2*9-18:3 nu există paranteze, dar există operații de înmulțire, împărțire și scădere. Acționăm conform regulilor. Mai întâi, facem înmulțirea și împărțirea de la stânga la dreapta, iar apoi din rezultatul obținut prin înmulțire, scădem rezultatul obținut prin împărțire. Adică prima acțiune este înmulțirea, a doua este împărțirea, iar a treia este scăderea.
2*9-18:3=18-6=12
Să aflăm dacă ordinea acțiunilor din următoarele expresii este definită corect.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
18: (11 - 5) + 47=
7 * 3 - (16 + 4)=
Raționăm așa.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
Nu există paranteze în această expresie, ceea ce înseamnă că mai întâi efectuăm înmulțirea sau împărțirea de la stânga la dreapta, apoi adunarea sau scăderea. În această expresie, prima acțiune este împărțirea, a doua este înmulțirea. A treia acțiune ar trebui să fie adunarea, a patra - scăderea. Concluzie: ordinea acțiunilor este definită corect.
Găsiți valoarea acestei expresii.
37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37
Continuăm să ne certăm.
A doua expresie conține paranteze, ceea ce înseamnă că mai întâi efectuăm acțiunea între paranteze, apoi de la stânga la dreapta înmulțirea sau împărțirea, adunarea sau scăderea. Verificăm: prima acțiune este între paranteze, a doua este împărțirea, a treia este adunarea. Concluzie: ordinea acțiunilor este definită incorect. Corectați erorile, găsiți valoarea expresiei.
18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50
Această expresie conține și paranteze, ceea ce înseamnă că mai întâi executăm acțiunea dintre paranteze, apoi de la stânga la dreapta înmulțirea sau împărțirea, adunarea sau scăderea. Verificăm: prima acțiune este între paranteze, a doua este înmulțirea, a treia este scăderea. Concluzie: ordinea acțiunilor este definită incorect. Corectați erorile, găsiți valoarea expresiei.
7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1
Să finalizăm sarcina.
Să aranjam ordinea acțiunilor în expresie folosind regula studiată (Fig. 5).
Orez. 5. Procedura
Nu vedem valori numerice, așa că nu vom putea găsi sensul expresiilor, dar vom exersa aplicarea regulii învățate.
Acționăm conform algoritmului.
Prima expresie are paranteze, deci prima acțiune este între paranteze. Apoi de la stânga la dreapta înmulțirea și împărțirea, apoi de la stânga la dreapta scăderea și adunarea.
A doua expresie conține și paranteze, ceea ce înseamnă că efectuam prima acțiune între paranteze. După aceea, de la stânga la dreapta, înmulțirea și împărțirea, după aceea - scăderea.
Să ne verificăm singuri (Fig. 6).
Orez. 6. Procedura
5. Rezumând.
Astăzi, în lecție, ne-am familiarizat cu regula ordinii de execuție a acțiunilor în expresii fără paranteze și cu paranteze. În cursul îndeplinirii sarcinilor, am stabilit dacă sensul expresiilor depinde de ordinea în care sunt efectuate operațiile aritmetice, am aflat dacă ordinea operațiilor aritmetice diferă în expresii fără paranteze și cu paranteze, am exersat aplicarea regulii învățate, am căutat și corectate greșelile comise în stabilirea ordinii acțiunilor.
Și atunci când calculați valorile expresiilor, acțiunile sunt efectuate într-o anumită ordine, cu alte cuvinte, trebuie să observați ordinea acțiunilor.
În acest articol, ne vom da seama ce acțiuni ar trebui efectuate mai întâi și care după ele. Să începem cu cele mai simple cazuri, când expresia conține doar numere sau variabile legate prin plus, minus, înmulțire și împărțire. În continuare, vom explica ce ordine de execuție a acțiunilor trebuie urmată în expresiile cu paranteze. În cele din urmă, luați în considerare succesiunea în care acțiunile sunt efectuate în expresii care conțin puteri, rădăcini și alte funcții.
Navigare în pagină.
Mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea
Școala oferă următoarele o regulă care determină ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii fără paranteze:
- acțiunile sunt efectuate în ordine de la stânga la dreapta,
- unde se fac mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea.
Regula enunțată este percepută destul de firesc. Efectuarea acțiunilor în ordine de la stânga la dreapta se explică prin faptul că se obișnuiește să ținem înregistrări de la stânga la dreapta. Iar faptul că înmulțirea și împărțirea se efectuează înainte de adunare și scădere se explică prin semnificația pe care o poartă aceste acțiuni în sine.
Să ne uităm la câteva exemple de aplicare a acestei reguli. De exemplu, vom lua cele mai simple expresii numerice pentru a nu fi distras de calcule, ci pentru a ne concentra pe ordinea în care sunt efectuate acțiunile.
Exemplu.
Urmați pașii 7−3+6 .
Decizie.
Expresia originală nu conține paranteze și nici înmulțirea și împărțirea. Prin urmare, ar trebui să efectuăm toate acțiunile în ordine de la stânga la dreapta, adică mai întâi scădem 3 din 7, obținem 4, după care adăugăm 6 la diferența rezultată 4, obținem 10.
Pe scurt, soluția se poate scrie astfel: 7−3+6=4+6=10 .
Răspuns:
7−3+6=10 .
Exemplu.
Indicați ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresia 6:2·8:3.
Decizie.
Pentru a răspunde la întrebarea problemei, să ne întoarcem la regula care indică ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii fără paranteze. Expresia originală conține doar operațiile de înmulțire și împărțire, iar conform regulii, acestea trebuie efectuate în ordine de la stânga la dreapta.
Răspuns:
La început 6 împărțit la 2, acest coeficient este înmulțit cu 8, în cele din urmă, rezultatul este împărțit la 3.
Exemplu.
Calculați valoarea expresiei 17−5·6:3−2+4:2 .
Decizie.
Mai întâi, să stabilim în ce ordine ar trebui efectuate acțiunile din expresia originală. Include atât înmulțirea și împărțirea, cât și adunarea și scăderea. În primul rând, de la stânga la dreapta, trebuie să efectuați înmulțirea și împărțirea. Deci înmulțim 5 cu 6, obținem 30, împărțim acest număr la 3, obținem 10. Acum împărțim 4 la 2 și obținem 2. Inlocuim valoarea gasita 10 in loc de 5 6:3 in expresia originala, iar valoarea 2 in loc de 4:2, avem 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.
Nu există înmulțire și împărțire în expresia rezultată, așa că rămâne să efectuați acțiunile rămase în ordine de la stânga la dreapta: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
Răspuns:
17−5 6:3−2+4:2=7 .
La început, pentru a nu confunda ordinea efectuării acțiunilor la calcularea valorii unei expresii, este convenabil să plasați numere deasupra semnelor acțiunilor corespunzătoare ordinii în care sunt efectuate. Pentru exemplul anterior, ar arăta astfel: .
Aceeași ordine a operațiilor - mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea - ar trebui urmată atunci când se lucrează cu expresii literale.
Pașii 1 și 2
În unele manuale de matematică, există o împărțire a operațiilor aritmetice în operații din primul și al doilea pas. Să ne ocupăm de asta.
Definiție.
Acțiuni de prim pas se numesc adunare și scădere, iar înmulțirea și împărțirea acțiuni de pasul al doilea.
În acești termeni, regula din paragraful anterior, care determină ordinea în care se efectuează acțiunile, se va scrie astfel: dacă expresia nu conține paranteze, atunci în ordine de la stânga la dreapta, acțiunile etapei a doua ( înmulțirea și împărțirea) se execută mai întâi, apoi acțiunile primei etape (adunarea și scăderea).
Ordinea de execuție a operațiilor aritmetice în expresii cu paranteze
Expresiile conțin adesea paranteze pentru a indica ordinea în care urmează să fie efectuate acțiunile. În acest caz o regulă care specifică ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii cu paranteze, se formulează astfel: mai întâi se execută acțiunile dintre paranteze, în timp ce înmulțirea și împărțirea se fac tot în ordine de la stânga la dreapta, apoi adunarea și scăderea.
Deci, expresiile dintre paranteze sunt considerate componente ale expresiei originale, iar ordinea acțiunilor deja cunoscută nouă este păstrată în ele. Luați în considerare soluțiile exemplelor pentru o mai mare claritate.
Exemplu.
Efectuați pașii dați 5+(7−2 3) (6−4):2 .
Decizie.
Expresia conține paranteze, așa că mai întâi să efectuăm operațiile din expresiile incluse în aceste paranteze. Să începem cu expresia 7−2 3 . În ea, trebuie mai întâi să efectuați înmulțirea, iar abia apoi scăderea, avem 7−2 3=7−6=1 . Trecem la a doua expresie din paranteze 6−4 . Există o singură acțiune aici - scăderea, o executăm 6−4=2 .
Inlocuim valorile obtinute in expresia originala: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2. În expresia rezultată, mai întâi efectuăm înmulțirea și împărțirea de la stânga la dreapta, apoi scăderea, obținem 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 . Pe aceasta, toate acțiunile sunt finalizate, am respectat următoarea ordine de execuție a acestora: 5+(7−2 3) (6−4):2 .
Să scriem o scurtă soluție: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.
Răspuns:
5+(7−2 3)(6−4):2=6 .
Se întâmplă ca o expresie să conțină paranteze între paranteze. Nu ar trebui să vă fie frică de acest lucru, trebuie doar să aplicați în mod consecvent regula vocală pentru a efectua acțiuni în expresii cu paranteze. Să arătăm un exemplu de soluție.
Exemplu.
Efectuați acțiunile din expresia 4+(3+1+4·(2+3)) .
Decizie.
Aceasta este o expresie cu paranteze, ceea ce înseamnă că execuția acțiunilor trebuie să înceapă cu expresia dintre paranteze, adică cu 3+1+4 (2+3) . Această expresie conține și paranteze, așa că mai întâi trebuie să efectuați acțiuni în ele. Să facem asta: 2+3=5 . Înlocuind valoarea găsită, obținem 3+1+4 5 . În această expresie, facem mai întâi înmulțirea, apoi adunarea, avem 3+1+4 5=3+1+20=24 . Valoarea inițială, după înlocuirea acestei valori, ia forma 4+24 , și rămâne doar de finalizat acțiunile: 4+24=28 .
Răspuns:
4+(3+1+4 (2+3))=28.
În general, când parantezele dintre paranteze sunt prezente într-o expresie, este adesea convenabil să începeți cu parantezele interioare și să vă îndreptați spre cele exterioare.
De exemplu, să presupunem că trebuie să efectuăm operații în expresia (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Mai întâi, efectuăm acțiuni între paranteze interne, deoarece 4−6:2=4−3=1 , apoi expresia originală va lua forma (4+(4+1)−1)−1 . Din nou, efectuăm acțiunea din parantezele interioare, deoarece 4+1=5 , apoi ajungem la următoarea expresie (4+5−1)−1 . Din nou, efectuăm acțiunile dintre paranteze: 4+5−1=8 , în timp ce ajungem la diferența 8−1 , care este egală cu 7 .
În această lecție, se analizează în detaliu procedura de efectuare a operațiilor aritmetice în expresii fără paranteze și cu paranteze. Elevii au posibilitatea în cursul finalizării temelor să determine dacă semnificația expresiilor depinde de ordinea în care sunt efectuate operațiile aritmetice, să afle dacă ordinea operațiilor aritmetice diferă în expresiile fără paranteze și cu paranteze, să exerseze aplicarea regula învăţată, pentru a găsi şi corecta erorile făcute în determinarea ordinii acţiunilor.
În viață, efectuăm constant un fel de acțiune: ne plimbăm, studiem, citim, scriem, numărăm, zâmbim, ne certam și ne împăcăm. Efectuăm acești pași într-o ordine diferită. Uneori pot fi schimbate, alteori nu. De exemplu, mergând dimineața la școală, poți mai întâi să faci exerciții, apoi să faci patul sau invers. Dar nu poți merge mai întâi la școală și apoi te îmbraci.
Și în matematică, este necesar să se efectueze operații aritmetice într-o anumită ordine?
Sa verificam
Să comparăm expresiile:
8-3+4 și 8-3+4
Vedem că ambele expresii sunt exact aceleași.
Să executăm acțiuni într-o expresie de la stânga la dreapta și în alta de la dreapta la stânga. Numerele pot indica ordinea în care sunt efectuate acțiunile (Fig. 1).
Orez. 1. Procedura
În prima expresie, vom efectua mai întâi operația de scădere, apoi vom adăuga numărul 4 la rezultat.
În a doua expresie, găsim mai întâi valoarea sumei, apoi scădem rezultatul 7 din 8.
Vedem că valorile expresiilor sunt diferite.
Să conchidem: Ordinea în care sunt efectuate operațiile aritmetice nu poate fi schimbată..
Să învățăm regula pentru efectuarea operațiilor aritmetice în expresii fără paranteze.
Dacă expresia fără paranteze include doar adunarea și scăderea, sau numai înmulțirea și împărțirea, atunci acțiunile sunt efectuate în ordinea în care sunt scrise.
Sa exersam.
Luați în considerare expresia
Această expresie are doar operații de adunare și scădere. Aceste acțiuni sunt numite acțiuni de prim pas.
Efectuăm acțiuni de la stânga la dreapta în ordine (Fig. 2).
Orez. 2. Procedura
Luați în considerare a doua expresie
În această expresie, există doar operații de înmulțire și împărțire - Acestea sunt acțiunile din al doilea pas.
Efectuăm acțiuni de la stânga la dreapta în ordine (Fig. 3).
Orez. 3. Procedura
În ce ordine se efectuează operațiile aritmetice dacă expresia conține nu numai adunarea și scăderea, ci și înmulțirea și împărțirea?
Dacă expresia fără paranteze include nu numai adunarea și scăderea, ci și înmulțirea și împărțirea, sau ambele operații, atunci mai întâi efectuați înmulțirea și împărțirea în ordine (de la stânga la dreapta), apoi adunarea și scăderea.
Luați în considerare o expresie.
Raționăm așa. Această expresie conține operațiile de adunare și scădere, înmulțire și împărțire. Acționăm conform regulilor. Mai întâi, efectuăm în ordine (de la stânga la dreapta) înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea. Să stabilim procedura.
Să calculăm valoarea expresiei.
18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7
În ce ordine se efectuează operațiile aritmetice dacă expresia conține paranteze?
Dacă expresia conține paranteze, atunci se calculează mai întâi valoarea expresiilor din paranteze.
Luați în considerare o expresie.
30 + 6 * (13 - 9)
Vedem că în această expresie există o acțiune între paranteze, ceea ce înseamnă că vom efectua mai întâi această acțiune, apoi, în ordine, înmulțirea și adunarea. Să stabilim procedura.
30 + 6 * (13 - 9)
Să calculăm valoarea expresiei.
30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54
Cum ar trebui să motivăm pentru a stabili corect ordinea operațiilor aritmetice într-o expresie numerică?
Înainte de a continua cu calculele, este necesar să luați în considerare expresia (aflați dacă conține paranteze, ce acțiuni are) și numai după aceea efectuați acțiunile în următoarea ordine:
1. acțiuni scrise între paranteze;
2. înmulțirea și împărțirea;
3. adunarea și scăderea.
Diagrama vă va ajuta să vă amintiți această regulă simplă (Fig. 4).
Orez. 4. Procedura
Sa exersam.
Luați în considerare expresiile, stabiliți ordinea operațiilor și efectuați calculele.
43 - (20 - 7) +15
32 + 9 * (19 - 16)
Să respectăm regulile. Expresia 43 - (20 - 7) +15 are operații între paranteze, precum și operații de adunare și scădere. Să stabilim cursul acțiunii. Primul pas este să efectuați acțiunea între paranteze, iar apoi în ordine de la stânga la dreapta, scăderea și adunarea.
43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45
Expresia 32 + 9 * (19 - 16) are operații între paranteze, precum și operații de înmulțire și adunare. Conform regulii, mai întâi executăm acțiunea dintre paranteze, apoi înmulțirea (numărul 9 se înmulțește cu rezultatul obținut prin scădere) și adunarea.
32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59
În expresia 2*9-18:3 nu există paranteze, dar există operații de înmulțire, împărțire și scădere. Acționăm conform regulilor. Mai întâi, facem înmulțirea și împărțirea de la stânga la dreapta, iar apoi din rezultatul obținut prin înmulțire, scădem rezultatul obținut prin împărțire. Adică prima acțiune este înmulțirea, a doua este împărțirea, iar a treia este scăderea.
2*9-18:3=18-6=12
Să aflăm dacă ordinea acțiunilor din următoarele expresii este definită corect.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
18: (11 - 5) + 47=
7 * 3 - (16 + 4)=
Raționăm așa.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
Nu există paranteze în această expresie, ceea ce înseamnă că mai întâi efectuăm înmulțirea sau împărțirea de la stânga la dreapta, apoi adunarea sau scăderea. În această expresie, prima acțiune este împărțirea, a doua este înmulțirea. A treia acțiune ar trebui să fie adunarea, a patra - scăderea. Concluzie: ordinea acțiunilor este definită corect.
Găsiți valoarea acestei expresii.
37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37
Continuăm să ne certăm.
A doua expresie conține paranteze, ceea ce înseamnă că mai întâi efectuăm acțiunea între paranteze, apoi de la stânga la dreapta înmulțirea sau împărțirea, adunarea sau scăderea. Verificăm: prima acțiune este între paranteze, a doua este împărțirea, a treia este adunarea. Concluzie: ordinea acțiunilor este definită incorect. Corectați erorile, găsiți valoarea expresiei.
18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50
Această expresie conține și paranteze, ceea ce înseamnă că mai întâi executăm acțiunea dintre paranteze, apoi de la stânga la dreapta înmulțirea sau împărțirea, adunarea sau scăderea. Verificăm: prima acțiune este între paranteze, a doua este înmulțirea, a treia este scăderea. Concluzie: ordinea acțiunilor este definită incorect. Corectați erorile, găsiți valoarea expresiei.
7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1
Să finalizăm sarcina.
Să aranjam ordinea acțiunilor în expresie folosind regula studiată (Fig. 5).
Orez. 5. Procedura
Nu vedem valori numerice, așa că nu vom putea găsi sensul expresiilor, dar vom exersa aplicarea regulii învățate.
Acționăm conform algoritmului.
Prima expresie are paranteze, deci prima acțiune este între paranteze. Apoi de la stânga la dreapta înmulțirea și împărțirea, apoi de la stânga la dreapta scăderea și adunarea.
A doua expresie conține și paranteze, ceea ce înseamnă că efectuam prima acțiune între paranteze. După aceea, de la stânga la dreapta, înmulțirea și împărțirea, după aceea - scăderea.
Să ne verificăm singuri (Fig. 6).
Orez. 6. Procedura
Astăzi, în lecție, ne-am familiarizat cu regula ordinii de execuție a acțiunilor în expresii fără paranteze și cu paranteze.
Bibliografie
- M.I. Moro, M.A. Bantova şi alţii.Matematică: Manual. Clasa a 3-a: în 2 părți, partea 1. - M .: „Iluminarea”, 2012.
- M.I. Moro, M.A. Bantova şi alţii.Matematică: Manual. Clasa 3: în 2 părți, partea a 2-a. - M .: „Iluminări”, 2012.
- M.I. Moreau. Lecții de matematică: Orientări pentru profesori. Clasa 3 - M.: Educație, 2012.
- Document de reglementare. Monitorizarea și evaluarea rezultatelor învățării. - M.: „Iluminismul”, 2011.
- „Școala Rusiei”: programe pentru școala elementară. - M.: „Iluminismul”, 2011.
- SI. Volkov. Matematică: lucru de testare. Clasa 3 - M.: Educație, 2012.
- V.N. Rudnitskaia. Teste. - M.: „Examen”, 2012.
- Festival.1september.ru ().
- Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
- Openclass.ru ().
Teme pentru acasă
1. Determinați ordinea acțiunilor în aceste expresii. Găsiți sensul expresiilor.
2. Stabiliți în ce expresie se realizează această ordine de acțiuni:
1. înmulțire; 2. diviziune;. 3. adaos; 4. scădere; 5. adaos. Găsiți valoarea acestei expresii.
3. Compune trei expresii în care se execută următoarea ordine de acțiuni:
1. înmulțire; 2. adaos; 3. scădere
1. adaos; 2. scădere; 3. adaos
1. înmulțire; 2. diviziune; 3. adaos
Găsiți semnificația acestor expresii.
Școala primară se apropie de sfârșit, în curând copilul va păși în lumea aprofundată a matematicii. Dar deja în această perioadă, studentul se confruntă cu dificultățile științei. Efectuând o sarcină simplă, copilul devine confuz, se pierde, ceea ce, ca urmare, duce la o notă negativă pentru munca prestată. Pentru a evita astfel de probleme, atunci când rezolvați exemple, trebuie să puteți naviga în ordinea în care trebuie să rezolvați exemplul. Distribuind incorect acțiunile, copilul nu îndeplinește corect sarcina. Articolul dezvăluie regulile de bază pentru rezolvarea exemplelor care conțin întreaga gamă de calcule matematice, inclusiv paranteze. Ordinea acțiunilor la matematică clasa a 4-a reguli și exemple.
Înainte de a finaliza sarcina, rugați copilul să numere acțiunile pe care urmează să le efectueze. Dacă aveți dificultăți, vă rugăm să ajutați.
Câteva reguli de urmat atunci când rezolvați exemple fără paranteze:
Dacă o sarcină trebuie să efectueze o serie de acțiuni, mai întâi trebuie să efectuați împărțirea sau înmulțirea, apoi. Toate acțiunile sunt efectuate în timpul scrierii. În caz contrar, rezultatul soluției nu va fi corect.
Dacă în exemplu se cere să se execute, executăm în ordine, de la stânga la dreapta.
27-5+15=37 (la rezolvarea exemplului ne ghidam dupa regula. Mai intai facem scadere, apoi adunare).
Învață-ți copilul să planifice și să numere întotdeauna acțiunile care trebuie efectuate.
Răspunsurile la fiecare acțiune rezolvată sunt scrise deasupra exemplului. Așa că îi va fi mult mai ușor pentru copil să navigheze prin acțiuni.
Luați în considerare o altă opțiune în care este necesar să distribuiți acțiunile în ordine:
După cum puteți vedea, la rezolvare, se respectă regula, mai întâi căutăm produsul, după aceea - diferența.
Acestea sunt exemple simple care necesită atenție pentru a le rezolva. Mulți copii cad în stupoare la vederea unei sarcini în care nu există doar înmulțirea și împărțirea, ci și paranteze. Un elev care nu cunoaște ordinea efectuării acțiunilor are întrebări care îl împiedică să îndeplinească sarcina.
După cum se precizează în regulă, mai întâi găsim o lucrare sau un anume, și apoi totul. Dar apoi sunt paranteze! Cum se procedează în acest caz?
Rezolvarea exemplelor cu paranteze
Să luăm un exemplu concret:
- Când efectuați această sarcină, găsiți mai întâi valoarea expresiei cuprinse între paranteze.
- Începeți cu înmulțirea, apoi adăugați.
- După ce expresia dintre paranteze este rezolvată, trecem la acțiunile din afara acestora.
- După ordinea operațiilor, următorul pas este înmulțirea.
- Pasul final va fi.
După cum puteți vedea în exemplul ilustrativ, toate acțiunile sunt numerotate. Pentru a consolida subiectul, invitați copilul să rezolve singur câteva exemple:
Ordinea în care trebuie evaluată valoarea expresiei este deja setată. Copilul va trebui doar să execute direct decizia.
Să complicăm sarcina. Lăsați copilul să găsească singur sensul expresiilor.
7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)
Învață-ți copilul să rezolve toate sarcinile într-o versiune nefinalizată. În acest caz, elevul va avea posibilitatea de a corecta decizia greșită sau blots. Nu sunt permise corecții în registrul de lucru. Când fac sarcini pe cont propriu, copiii își văd greșelile.
Părinții, la rândul lor, ar trebui să fie atenți la greșeli, să ajute copilul să le înțeleagă și să le corecteze. Nu încărcați creierul elevului cu volume mari de sarcini. Prin astfel de acțiuni, veți învinge dorința de cunoaștere a copilului. Trebuie să existe un simț al proporției în toate.
Ia o pauză. Copilul ar trebui să fie distras și să se odihnească de la cursuri. Principalul lucru de reținut este că nu toată lumea are o mentalitate matematică. Poate copilul tău va crește și va deveni un filosof celebru.
