O funcție pătratică este o funcție de forma:
y=a*(x^2)+b*x+c,
unde a este coeficientul la cel mai înalt grad al necunoscutului x,
b - coeficient la x necunoscut,
iar c este membru liber.
Graficul unei funcții pătratice este o curbă numită parabolă. Vederea generală a parabolei este prezentată în figura de mai jos.
Fig.1 Vedere generală a parabolei.
Există mai multe moduri diferite de a reprezenta grafic o funcție pătratică. Vom lua în considerare principalele și cele mai generale dintre ele.
Algoritm pentru trasarea graficului unei funcții pătratice y=a*(x^2)+b*x+c
1. Construiți un sistem de coordonate, marcați un singur segment și etichetați axele de coordonate.
2. Determinați direcția ramurilor parabolei (în sus sau în jos).
Pentru a face acest lucru, trebuie să vă uitați la semnul coeficientului a. Dacă plus - atunci ramurile sunt îndreptate în sus, dacă minus - atunci ramurile sunt îndreptate în jos.
3. Determinați coordonata x a vârfului parabolei.
Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați formula Tops = -b / 2 * a.
4. Determinați coordonatele din vârful parabolei.
Pentru a face acest lucru, înlocuiți în ecuația Topului = a * (x ^ 2) + b * x + c în loc de x, valoarea Topului găsită în pasul anterior.
5. Puneți punctul obținut pe grafic și trasați prin el o axă de simetrie, paralelă cu axa de coordonate Oy.
6. Aflați punctele de intersecție ale graficului cu axa x.
Acest lucru necesită rezolvarea ecuației pătratice a*(x^2)+b*x+c = 0 folosind una dintre metodele cunoscute. Dacă ecuația nu are rădăcini reale, atunci graficul funcției nu intersectează axa x.
7. Aflați coordonatele punctului de intersecție al graficului cu axa Oy.
Pentru a face acest lucru, înlocuim valoarea x = 0 în ecuație și calculăm valoarea lui y. Marcam acest lucru și punctul simetric față de acesta pe grafic.
8. Aflați coordonatele unui punct arbitrar A (x, y)
Pentru a face acest lucru, alegem o valoare arbitrară a coordonatei x și o înlocuim în ecuația noastră. Obținem valoarea lui y în acest moment. Puneți un punct pe grafic. Și, de asemenea, marcați un punct pe grafic care este simetric cu punctul A (x, y).
9. Conectați punctele obținute pe grafic cu o linie netedă și continuați graficul dincolo de punctele extreme, până la capătul axei de coordonate. Semnează graficul fie pe înștiințare, fie, dacă spațiul permite, de-a lungul graficului în sine.
Un exemplu de trasare a unui grafic
Ca exemplu, să reprezentăm o funcție pătratică dată de ecuația y=x^2+4*x-1
1. Desenați axele de coordonate, semnați-le și marcați un singur segment.
2. Valorile coeficienților a=1, b=4, c= -1. Deoarece un \u003d 1, care este mai mare decât zero, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.
3. Determinați coordonata X a vârfului parabolei Vârfurile = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Determinați coordonata În vârful parabolei
Vârfurile = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Marcați vârful și desenați o axă de simetrie.
6. Găsim punctele de intersecție ale graficului unei funcții pătratice cu axa Ox. Rezolvăm ecuația pătratică x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Marcam valorile obtinute pe grafic.
7. Aflați punctele de intersecție ale graficului cu axa Oy.
x=0; y=-1
8. Alegeți un punct arbitrar B. Fie ca acesta să aibă coordonata x=1.
Atunci y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Conectăm punctele primite și semnăm graficul.
Funcția formei , unde este numită funcţie pătratică.
Graficul funcției pătratice − parabolă.
Luați în considerare cazurile:
CAZ I, PARABOLA CLASICĂ
Acesta este , ,
Pentru a construi, completați tabelul înlocuind valorile x în formula:
Marcați puncte (0;0); (1;1); (-1;1) etc. pe planul de coordonate (cu cât pasul luăm valorile x mai mici (în acest caz, pasul 1) și cu cât luăm mai multe valori x, cu atât curba este mai netedă), obținem o parabolă:
Este ușor de observat că dacă luăm cazul , , , adică, atunci obținem o parabolă simetrică față de axa (ox). Este ușor să verificați acest lucru completând un tabel similar:
II CAZ, „a” DIFERIT DE UNU
Ce se va întâmpla dacă luăm , , ? Cum se va schimba comportamentul parabolei? Cu title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Prima imagine (vezi mai sus) arată clar că punctele din tabel pentru parabolă (1;1), (-1;1) au fost transformate în puncte (1;4), (1;-4), adică cu aceleași valori, ordonata fiecărui punct este înmulțită cu 4. Acest lucru se va întâmpla cu toate punctele cheie ale tabelului original. Argumentăm în mod similar în cazurile imaginilor 2 și 3.
Și când parabola „devine mai largă” parabola:
Să recapitulăm:
1)Semnul coeficientului este responsabil pentru direcția ramurilor. Cu title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Valoare absolută coeficientul (modulul) este responsabil pentru „expansiunea”, „comprimarea” parabolei. Cu cât este mai mare, cu atât parabola este mai îngustă, cu atât |a| mai mic, cu atât parabola este mai largă.
CAZUL III, „C” APARE
Acum să punem în joc (adică luăm în considerare cazul când ), vom lua în considerare parabole de forma . Este ușor să ghiciți (vă puteți referi oricând la tabel) că parabola se va deplasa în sus sau în jos de-a lungul axei, în funcție de semn:
CAZUL IV, Apare „b”.
Când se va „smulge” parabola din axă și, în cele din urmă, va „mergi” de-a lungul întregului plan de coordonate? Când încetează să mai fie egal.
Aici, pentru a construi o parabolă, avem nevoie formula pentru calcularea vârfului: , .
Deci, în acest punct (ca și în punctul (0; 0) al noului sistem de coordonate) vom construi o parabolă, care este deja în puterea noastră. Dacă avem de-a face cu cazul, atunci de sus punem deoparte un singur segment la dreapta, unul în sus, - punctul rezultat este al nostru (în mod similar, un pas la stânga, un pas în sus este punctul nostru); dacă avem de-a face, de exemplu, atunci de sus punem deoparte un singur segment la dreapta, două în sus etc.
De exemplu, vârful unei parabole:
Acum, principalul lucru de înțeles este că la acest vârf vom construi o parabolă conform șablonului de parabolă, deoarece în cazul nostru.
La construirea unei parabole după găsirea coordonatelor vârfului este foarteEste convenabil să luați în considerare următoarele puncte:
1) parabolă trebuie să treacă prin punct . Într-adevăr, înlocuind x=0 în formulă, obținem că . Adică, ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa (oy), aceasta este. În exemplul nostru (mai sus), parabola intersectează axa y la , deoarece .
2) axa de simetrie parabole este o linie dreaptă, deci toate punctele parabolei vor fi simetrice față de ea. În exemplul nostru, luăm imediat punctul (0; -2) și construim o parabolă simetrică față de axa de simetrie, obținem punctul (4; -2), prin care va trece parabola.
3) Echivalând cu , aflăm punctele de intersecție ale parabolei cu axa (ox). Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația. În funcție de discriminant, vom obține unul (, ), doi ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . În exemplul anterior, avem o rădăcină de la discriminant - nu un număr întreg, atunci când îl construim, nu are sens să găsim rădăcinile, dar putem vedea clar că vom avea două puncte de intersecție cu (oh) axa (deoarece titlu = "(!LANG: Redat de QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Deci haideți să ne descurcăm
Algoritm pentru construirea unei parabole dacă aceasta este dată sub forma
1) determinați direcția ramurilor (a>0 - în sus, a<0 – вниз)
2) găsiți coordonatele vârfului parabolei cu formula , .
3) găsim punctul de intersecție al parabolei cu axa (oy) prin termenul liber, construim un punct simetric celui dat față de axa de simetrie a parabolei (de remarcat că se întâmplă să fie neprofitabil să marchezi acest punct, de exemplu, pentru că valoarea este mare... sărim peste acest punct...)
4) În punctul găsit - vârful parabolei (ca și în punctul (0; 0) al noului sistem de coordonate), construim o parabolă. Dacă title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa (oy) (dacă ele înșiși nu au „ieșit la suprafață”), rezolvând ecuația
Exemplul 1
Exemplul 2
Observație 1. Dacă parabola ne este dată inițial sub forma , unde sunt unele numere (de exemplu, ), atunci va fi și mai ușor să o construim, deoarece ni s-au dat deja coordonatele vârfului . De ce?
Să luăm un trinom pătrat și să selectăm un pătrat complet în el: Uite, aici avem că , . Am numit anterior vârful parabolei, adică acum,.
De exemplu, . Marcăm vârful parabolei pe plan, înțelegem că ramurile sunt îndreptate în jos, parabola este extinsă (relativ). Adică efectuam pașii 1; 3; patru; 5 din algoritmul pentru construirea unei parabole (vezi mai sus).
Observația 2. Dacă parabola este dată într-o formă similară cu aceasta (adică reprezentată ca un produs al doi factori liniari), atunci vedem imediat punctele de intersecție ale parabolei cu axa (x). În acest caz - (0;0) și (4;0). În rest, acționăm conform algoritmului, deschizând parantezele.
Această lecție de algebră este condusă ca o recapitulare-generalizare în pregătirea pentru GIA în clasa a 9-a. Aceasta este o lecție în aplicarea complexă a cunoștințelor. Lecția ar trebui să formeze conceptele de bază ale unei funcții pătratice, proprietățile acesteia, grafic. Elevii ar trebui să cunoască definiția unei funcții pătratice, să fie capabili să traseze o funcție pătratică, să o transforme și să aplice aceste cunoștințe atunci când rezolvă inegalitățile pătratice
Descarca:
Previzualizare:
MOU „Școala Gimnazială nr. 3 din Ershov, Regiunea Saratov”
Clasa a 9-a
Subiect: „Funcția cadranică, graficul și proprietățile acesteia”
Motto-ul lecției: „Dificil de făcut ușor, ușor obișnuit, obișnuit plăcut”
Profesor: E.I.Kormilina
Anul universitar 2010 - 2011.
Funcția pătratică, proprietățile și graficul acesteia.
Tip de lecție: Lecție de aplicare complexă a cunoștințelor.
Obiectivele lecției:
- Să dezvăluie gradul de formare a conceptului de funcție pătratică în rândul elevilor, proprietățile sale pentru rezolvarea inegalităților, caracteristicile graficului său.
- Creați condiții pentru formarea capacității de a analiza, compara, clasifica grafice ale funcțiilor pătratice.
- Continuați să dezvoltați cultura de a reprezenta o funcție pătratică.
- Cultivați un sentiment de camaraderie, delicatețe și disciplină.
Logica lecției:
- Actualizare de cunoștințe
- Repetiţie
- Afișarea unui exemplu de aplicare a unui set de cunoștințe
- Aplicarea independentă a cunoștințelor
- Control, autocontrol
- Corecţie
Structura lecției:
- organizatoric
- Actualizați
- Aplicarea cunoștințelor, aptitudinilor și abilităților
4. Control, autocontrol
5. Corectare
6. Informații despre teme
7. Rezumând
8. Reflecție
Subtitrările diapozitivelor:
Funcția pătratică, graficul și proprietățile sale Motto-ul nostru este: „Fă dificilul ușor, ușor familiar, familiarul plăcut!”
y x 0 Graficul funcției y = a x , 2 pentru a=1 pentru a= -1 1 2 3 4 5 6 Х -3 -2 -1 0 1 2 3 y - 9 - 4 - 1 0 - 1 - 4 - 9 - 6 -5-4-3-2-1 1 4 9 -9 -4
Transformarea unui grafic al unei funcții pătratice
Construcția graficelor funcțiilor y \u003d x 2 și y \u003d x 2 + m.
0 m X Y m 1 1 y \u003d x 2 + m, m>0
0 X Y m 1 1 m y \u003d x 2 + m, m
Trasarea funcțiilor y \u003d x 2 și y \u003d (x + l) 2.
0 l l X Y 1 1 y \u003d (x + l) 2, l\u003e 0
0 l l X Y 1 1 y \u003d (x + l) 2, l
Reprezentați graficele funcției într-un singur plan de coordonate:
Aflați coordonatele vârfului parabolei: Y=2(x-4)² +5 Y=-6(x-1)² Y=-x²+12 Y= x²+4 Y= (x+7)² - 9 Y=6 x² (4;5) (1;0) (0;12) (0;4) (-7;-9) (0;0)
Graficul unei funcții pătratice, proprietățile acesteia
O funcție pătratică este o funcție care poate fi specificată printr-o formulă de forma y=ax² + bx+c, unde x este o variabilă independentă, a, b și c sunt unele numere (mai mult, a ≠ 0). De exemplu: y \u003d 5x ² + 6x + 3, y \u003d -7x ² + 8x-2, y \u003d 0,8x ² +5, y \u003d ¾ x ² -8x, y \u003d -12x ² funcții patratice
Graficul unei funcții pătratice este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus (dacă a > 0) sau în jos (dacă a 0). y \u003d -7 x ² -x + 3 - graficul este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos (deoarece un \u003d -7 și
Determinați coordonatele vârfului parabolei folosind formulele: Marcați acest punct pe planul de coordonate. Prin vârful parabolei, trageți axa de simetrie a parabolei Aflați zerourile funcției și marcați-le pe dreapta numerică Aflați coordonatele a două puncte suplimentare și simetrice față de acestea Desenați o curbă a parabolei. Algoritm de rezolvare
Construiți un grafic al funcției y \u003d 2x ² + 4x-6, descrieți proprietățile acesteia
X Y 1 1 -2 2 3 -1 1. D(y) = R 2. y=0 dacă x= 1; -3 3. y > 0 dacă x 4. y ↓ dacă x y dacă x 5. y naim = -8 dacă x= -1 y naib nu există. 6. E (y): Verificați-vă: y
Rezolvarea unei inegalități cuadratice folosind un grafic al unei funcții cuadratice
Definiție: O inegalitate, a cărei parte stângă este un polinom de gradul doi, iar partea dreaptă este zero, se numește inegalitate de gradul doi. Toate inegalitățile pătratice pot fi reduse la una din următoarele forme: 1) ax 2 + bx + c >0; 2) ax 2 + bx + c
Pe care dintre inegalități ați numi inegalități de gradul doi: 1) 6x 2 -13x>0; 2) x 2 -3 x -14>0; 3) (5+ x)(x -4)>7; patru); 5) 6) 8 x 2 >0; 7) (x -5) 2 -25>0;
Care numere sunt soluții ale inegalității? 1 -3 0 -1 5 -4 -2 0,5 ? ? ? ? ? ? ? ?
Care este numărul de rădăcini ale ecuației a x 2 + b x + c \u003d 0 și semnul coeficientului a dacă graficul funcției patratice corespunzătoare este situat după cum urmează: f a b c d e
Numiți intervalele de constanță de semn ale unei funcții dacă graficul acesteia este situat în modul indicat: Ι varianta. Eu opțiunea. c b a a c b
Numiți intervalele de constanță ale funcției dacă graficul acesteia este situat în modul indicat: Ι varianta f(x)>0 pentru x Є R f(x) 0 pentru x Є (-∞ ;1) U (2.5;+∞ ); f(x)
Numiți intervalele de constanță ale funcției dacă graficul acesteia este situat în modul indicat: Ι opțiunea f(x)>0 pentru x Є (-∞ ;-3) U (-3;+∞) f(x) 0 pentru x Є (-∞ ; 0,5) U (0,5;+∞) f(x)
Numiți intervalele de constanță ale funcției dacă graficul acesteia este situat în modul indicat Ι opțiunea f (x)> 0 pentru x Є (-∞ ;-4) U (3; + ∞); f(x) 0 __________ ; f(x)
Algoritm de rezolvare a inegalităților de gradul doi cu o variabilă 5x 2 +9x-2 0 (a x 2 + b x+ c 0 (y
Algoritm pentru rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă 5x 2 +9x-2 0 (a x 2 + b x+ c 0 (y 0 (y
În tabelul 1, găsiți soluția corectă a inegalității 1, în tabelul 2 - soluția inegalității 2: 1. 2. Tabelul 1 a c c d a b c d Tabelul 2
În tabelul 1, găsiți soluția corectă a inegalității 1, în tabelul 2, soluția inegalității 2: 1. 2. Tabelul 1 a c c d a b c d Tabelul 2
În tabelul 1, găsiți soluția corectă a inegalității 1, în tabelul 2, soluția inegalității 2: 1. 2. Tabelul 1 a c c d a b c d Tabelul 2
Rezumatul lecției La rezolvarea acestor sarcini, am reușit să sistematizăm cunoștințele despre utilizarea unei funcții pătratice. Matematica este un domeniu de activitate semnificativ, interesant și accesibil, care oferă elevului o bogată hrană de gândire. Proprietățile unei funcții pătratice stau la baza soluției inegalităților pătratice. Multe relații fizice sunt exprimate printr-o funcție pătratică; de exemplu, o piatră aruncată în sus cu viteza v 0 se află în momentul t la o distanţă s (t)=- q \2 t 2+ v 0 t de suprafaţa pământului (aici q este acceleraţia gravitaţiei); cantitatea de căldură Q eliberată în timpul trecerii curentului într-un conductor cu rezistență R este exprimată în termeni de putere a curentului I prin formula Q \u003d RI 2. Cunoașterea proprietăților unei funcții pătratice vă permite să calculați intervalul de zbor al un corp aruncat vertical în sus sau într-un anumit unghi. Acesta este folosit în industria de apărare.
Sarcină de propoziție neterminată: Completează una dintre cele trei propoziții care se potrivește cel mai bine condiției tale. „Îmi este greu să duc la îndeplinire sarcini și să rezolv probleme, pentru că...” „Îmi este ușor să duc la îndeplinire sarcini și să rezolv probleme, pentru că...” „Este plăcut și interesant pentru mine să duc la bun sfârșit sarcini și să rezolv probleme , deoarece ..."
Manual de teme nr. 142; №190
