Matematică 1. De unde provine cuvântul matematică 2. Cine a inventat matematica? 3. Teme principale. 4. Definiție 5. Etimologie Pe ultimul slide.

De unde provine cuvântul (mergi la slide-ul precedent) Matematica din greacă - studiu, știință) este știința structurilor, ordinii și relațiilor, bazată istoric pe operațiile de numărare, măsurare și descriere a formei obiectelor. Obiectele matematice sunt create prin idealizarea proprietăților obiectelor reale sau a altor obiecte matematice și prin scrierea acestor proprietăți într-un limbaj formal.

Cine a inventat matematica (mergi la meniu) Primul matematician se numește de obicei Thales din Milet, care a trăit în secolul VI. î.Hr e. , unul dintre așa-numiții șapte magi ai Greciei. Oricum ar fi, el a fost primul care a structurat întreaga bază de cunoștințe pe acest subiect, care s-a format de mult în lumea cunoscută de el. Totuși, autorul primului tratat de matematică care a ajuns până la noi a fost Euclid (sec. III î.Hr.). El, de asemenea, merită să fie considerat părintele acestei științe.

Subiecte principale (mergi la meniu) Domeniul matematicii include doar acele științe în care se ia în considerare fie ordinea, fie măsura și nu contează deloc dacă acestea sunt numere, cifre, stele, sunete sau orice altceva în care această măsură se gaseste. Astfel, trebuie să existe o știință generală care să explice tot ceea ce ține de ordine și măsură, fără a intra în studiul unor subiecte particulare, iar această știință trebuie numită nu de către străină, ci de numele vechi, deja comun, de Matematică Generală.

Definiție (mergi la meniu) Analiza modernă se bazează pe analiza matematică clasică, care este considerată una dintre cele trei domenii principale ale matematicii (împreună cu algebra și geometria). În același timp, termenul de „analiza matematică” în sensul clasic este folosit mai ales în programele și materialele. În tradiția anglo-americană, analiza matematică clasică corespunde programelor de curs cu denumirea de „calcul”

Etimologie (mergi la meniu) Cuvântul „matematică” provine din altă greacă. , care înseamnă studiu, cunoaștere, știință etc. -Greacă, însemnând inițial receptiv, reușit, mai târziu legat de studiu, mai târziu legat de matematică. Mai exact, în latină înseamnă arta matematicii. Termenul este altul - grecesc. în sensul modern al acestui cuvânt, „matematică” se găsește deja în lucrările lui Aristotel (secolul al IV-lea î.Hr.). în „Cartea pe scurt alese despre cele nouă muze și despre cele șapte arte libere” (1672)

Matematica ca știință a relațiilor cantitative și a formelor spațiale ale realității studiază lumea din jurul nostru, fenomenele naturale și sociale. Dar spre deosebire de alte științe, matematica studiază proprietățile lor speciale, făcând abstracție de la altele. Deci, geometria studiază forma și dimensiunea obiectelor, fără a ține cont de celelalte proprietăți ale acestora: culoare, masă, duritate etc. În general, obiectele matematice (figura geometrică, număr, valoare) sunt create de mintea umană și există doar în gândirea umană, în semne și simboluri care formează limbajul matematic.

Abstractismul matematicii îi permite să fie aplicat într-o varietate de domenii, este un instrument puternic pentru înțelegerea naturii.

Formele de cunoaștere sunt împărțite în două grupe.

primul grup constituie forme de cunoaștere senzorială, desfășurate cu ajutorul diferitelor organe de simț: văzul, auzul, mirosul, atingerea, gustul.

Co. al doilea grup includ forme de gândire abstractă, în primul rând concepte, afirmații și inferențe.

Formele cunoașterii senzoriale sunt Simte, percepţieși reprezentare.

Fiecare obiect are nu una, ci multe proprietăți și le cunoaștem cu ajutorul senzațiilor.

Sentiment- aceasta este o reflectare a proprietăților individuale ale obiectelor sau fenomenelor din lumea materială, care ne afectează direct (adică acum, momentan) simțurile noastre. Acestea sunt senzații de roșu, cald, rotund, verde, dulce, neted și alte proprietăți individuale ale obiectelor [Getmanova, p. 7].

Din senzațiile individuale se formează percepția întregului obiect. De exemplu, percepția unui măr este alcătuită din astfel de senzații: sferice, roșii, dulce-acrișoare, parfumate etc.

Percepţie este o reflectare holistică a unui obiect material exterior care ne afectează direct simțurile [Getmanova, p. opt]. De exemplu, imaginea unei farfurii, a unei cani, a unei linguri, a altor ustensile; imaginea râului, dacă acum navigam de-a lungul lui sau ne aflăm pe malurile lui; imaginea pădurii, dacă am ajuns acum la pădure etc.

Percepțiile, deși sunt o reflectare senzorială a realității în mintea noastră, depind în mare măsură de experiența umană. De exemplu, un biolog va percepe o pajiște într-un fel (va vedea diferite tipuri de plante), dar un turist sau un artist o va percepe într-un mod complet diferit.

Performanţă- aceasta este o imagine senzuală a unui obiect care nu este perceput în prezent de noi, dar care a fost anterior perceput de noi într-o formă sau alta [Getmanova, p. zece]. De exemplu, ne putem imagina vizual chipurile cunoștințelor, camera noastră din casă, un mesteacăn sau o ciupercă. Acestea sunt exemple reproducerea reprezentări, așa cum am văzut aceste obiecte.

Prezentarea poate fi creativ, inclusiv fantastic. Vă prezentăm pe frumoasa Prințesă Lebădă, sau Țarul Saltan, sau Cocoșul de Aur, și multe alte personaje din basmele lui A.S. Pușkin, pe care nu l-am văzut niciodată și nu îl vom vedea niciodată. Acestea sunt exemple de prezentare creativă peste descrierea verbală. Ne imaginăm și Fecioara Zăpezii, Moș Crăciun, o sirenă etc.

Deci, formele cunoașterii senzoriale sunt senzațiile, percepțiile și reprezentările. Cu ajutorul lor, învățăm aspectele externe ale obiectului (trăsăturile sale, inclusiv proprietățile).

Formele de gândire abstractă sunt concepte, afirmații și concluzii.

Concepte. Domeniul de aplicare și conținutul conceptelor

Termenul „concept” este de obicei folosit pentru a se referi la o întreagă clasă de obiecte de natură arbitrară care au o anumită proprietate caracteristică (distinctivă, esențială) sau un întreg set de astfel de proprietăți, de ex. proprietăți care sunt unice pentru membrii acelei clase.

Din punct de vedere al logicii, conceptul este o formă specială de gândire, care se caracterizează prin următoarele: 1) conceptul este un produs al materiei înalt organizate; 2) conceptul reflectă lumea materială; 3) conceptul apare în conștiință ca mijloc de generalizare; 4) conceptul înseamnă activitate specific umană; 5) formarea unui concept în mintea unei persoane este inseparabilă de exprimarea lui prin vorbire, scriere sau simbol.

Cum apare conceptul oricărui obiect al realității în mintea noastră?

Procesul de formare a unui anumit concept este un proces gradual în care pot fi văzute mai multe etape succesive. Luați în considerare acest proces folosind cel mai simplu exemplu - formarea conceptului de număr 3 la copii.

1. În prima etapă a cunoașterii, copiii se familiarizează cu diverse seturi specifice, folosind imagini de subiect și arătând diverse seturi de trei elemente (trei mere, trei cărți, trei creioane etc.). Copiii nu numai că văd fiecare dintre aceste seturi, dar pot și atinge (atinge) obiectele care compun aceste seturi. Acest proces de „vedere” creează în mintea copilului o formă specială de reflectare a realității, care se numește percepție (sentiment).

2. Să înlăturăm obiectele (obiectele) care alcătuiesc fiecare set și să invităm copiii să stabilească dacă a existat ceva în comun care caracterizează fiecare set. Numărul de obiecte din fiecare set urma să fie imprimat în mintea copiilor, că erau „trei” peste tot. Dacă este așa, atunci a fost creată o nouă formă în mintea copiilor - ideea numărului trei.

3. În etapa următoare, pe baza unui experiment de gândire, copiii ar trebui să vadă că proprietatea exprimată în cuvântul „trei” caracterizează orice set de elemente diferite ale formei (a; b; c). Astfel, o caracteristică comună esențială a unor astfel de seturi va fi evidențiată: „a avea trei elemente”. Acum putem spune că în mintea copiilor s-au format conceptul de numărul 3.

concept- aceasta este o formă specială de gândire, care reflectă proprietățile esențiale (distinctive) ale obiectelor sau obiectelor de studiu.

Forma lingvistică a unui concept este un cuvânt sau un grup de cuvinte. De exemplu, „triunghi”, „numărul trei”, „punct”, „linie dreaptă”, „triunghi isoscel”, „plantă”, „conifere”, „râul Yenisei”, „masă”, etc.

Conceptele matematice au o serie de caracteristici. Principalul este că obiectele matematice despre care este necesar să se formeze un concept nu există în realitate. Obiectele matematice sunt create de mintea umană. Acestea sunt obiecte ideale care reflectă obiecte sau fenomene reale. De exemplu, în geometrie se studiază forma și dimensiunea obiectelor, fără a ține cont de celelalte proprietăți ale acestora: culoare, masă, duritate etc. De toate acestea sunt distrași, abstrași. Prin urmare, în geometrie, în locul cuvântului „obiect” se spune „figură geometrică”. Rezultatul abstractizării sunt, de asemenea, concepte matematice precum „număr” și „valoare”.

Caracteristici principale orice conceptele sunt următoarele: 1) volum; 2) conţinut; 3) relaţiile dintre concepte.

Când vorbesc despre un concept matematic, de obicei se referă la întregul set (mulțimea) de obiecte notate printr-un singur termen (cuvânt sau grup de cuvinte). Deci, vorbind de un pătrat, ele înseamnă toate formele geometrice care sunt pătrate. Se crede că setul tuturor pătratelor este domeniul de aplicare al conceptului de „pătrat”.

Sfera de aplicare a conceptului se numeste setul de obiecte sau obiecte carora le este aplicabil acest concept.

De exemplu, 1) domeniul de aplicare al conceptului de „paralelogram” este ansamblul de patrulatere ca paralelograme propriu-zise, ​​romburi, dreptunghiuri și pătrate; 2) domeniul de aplicare al conceptului de „număr natural dintr-o cifră” va fi setul - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Orice obiect matematic are anumite proprietăți. De exemplu, un pătrat are patru laturi, patru unghiuri drepte egale cu diagonalele, diagonalele sunt tăiate în două de punctul de intersecție. Puteți specifica celelalte proprietăți ale acestuia, dar printre proprietățile unui obiect există esențial (distinctiv)și neesenţială.

Proprietatea se numeste esenţial (distinctiv) pentru un obiect dacă este inerent acestui obiect și fără el nu poate exista; proprietatea se numeste nesemnificativ pentru un obiect dacă poate exista fără el.

De exemplu, pentru un pătrat, toate proprietățile enumerate mai sus sunt esențiale. Proprietatea „latura AD este orizontală” va fi irelevantă pentru pătratul ABCD (Fig. 1). Dacă acest pătrat este rotit, atunci latura AD va fi verticală.

Luați în considerare un exemplu pentru preșcolari care folosesc material vizual (Fig. 2):

Descrieți figura.

Mic triunghi negru. Orez. 2

Triunghi alb mare.

Cum se aseamănă cifrele?

Cu ce ​​sunt diferite cifrele?

Culoare, dimensiune.

Ce are un triunghi?

3 laturi, 3 colturi.

Astfel, copiii află proprietățile esențiale și neesențiale ale conceptului de „triunghi”. Proprietăți esențiale - „au trei laturi și trei unghiuri”, proprietăți neesențiale - culoare și dimensiune.

Se numește totalitatea tuturor proprietăților esențiale (distinctive) ale unui obiect sau obiect reflectate în acest concept conţinutul conceptului .

De exemplu, pentru conceptul de „paralelogram”, conținutul este un set de proprietăți: are patru laturi, are patru colțuri, laturile opuse sunt paralele în perechi, laturile opuse sunt egale, unghiurile opuse sunt egale, diagonalele la intersecție punctele sunt împărțite în jumătate.

Există o legătură între volumul unui concept și conținutul său: dacă volumul unui concept crește, atunci conținutul acestuia scade și invers. Deci, de exemplu, domeniul de aplicare al conceptului „triunghi isoscel” face parte din domeniul de aplicare al conceptului „triunghi”, iar conținutul conceptului „triunghi isoscel” include mai multe proprietăți decât conținutul conceptului „triunghi”, deoarece un triunghi isoscel are nu numai toate proprietățile unui triunghi, ci și altele inerente numai triunghiurilor isoscel („două laturi sunt egale”, „două unghiuri sunt egale”, „două mediane sunt egale”, etc.).

Conceptele sunt împărțite în singur, comunși categorii.

Un concept al cărui volum este egal cu 1 se numește concept unic .

De exemplu, conceptele: „Râul Yenisei”, „Republica Tuva”, „orașul Moscovei”.

Se numesc concepte al căror volum este mai mare decât 1 uzual .

De exemplu, conceptele: „oraș”, „râu”, „cvadrilateral”, „număr”, „poligon”, „ecuație”.

În procesul studierii fundamentelor oricărei științe, copiii formează în general concepte generale. De exemplu, în clasele elementare, elevii se familiarizează cu concepte precum „număr”, „număr”, „numere cu o singură cifră”, „numere cu două cifre”, „numere cu mai multe cifre”, „fracție”, „cota ”, „adunare”, „termen”, „suma”, „scădere”, „scădere”, „redus”, „diferență”, „înmulțire”, „multiplicator”, „produs”, „diviziune”, „divizibil”, „divizor”, „cot”, „bilă, cilindru, con, cub, paralelipiped, piramidă, unghi, triunghi, patrulater, pătrat, dreptunghi, poligon, cerc, „cerc”, „curbă”, „polilinie”, „segment” , „lungimea segmentului”, „rază”, „linie dreaptă”, „punct”, „lungime”, „lățime”, „înălțime”, „perimetru”, „zona figurii”, „volum”, „timp”, „ viteză”, „masă”, „preț”, „cost” și multe altele. Toate aceste concepte sunt concepte generale.

Matematica este știința relațiilor cantitative și a formelor spațiale ale lumii reale. În strânsă legătură cu exigențele științei și tehnologiei, stocul de relații cantitative și forme spațiale studiate de matematică este în continuă expansiune, astfel încât definiția de mai sus trebuie înțeleasă în sensul cel mai general.

Scopul studierii matematicii este de a crește perspectiva generală, cultura gândirii, formarea unei viziuni științifice asupra lumii.

Înțelegerea poziției independente a matematicii ca știință specială a devenit posibilă după acumularea unei cantități suficient de mari de material factual și a apărut pentru prima dată în Grecia Antică în secolele VI-V î.Hr. Acesta a fost începutul perioadei de matematică elementară.

În această perioadă, cercetările matematice s-au ocupat doar de un stoc destul de limitat de concepte de bază care au apărut la cele mai simple cerințe ale vieții economice. În același timp, are loc deja o îmbunătățire calitativă a matematicii ca știință.

Matematica modernă este adesea comparată cu un oraș mare. Aceasta este o comparație excelentă, deoarece în matematică, ca și într-un oraș mare, există un proces continuu de creștere și îmbunătățire. Apar noi domenii în matematică, se construiesc noi teorii elegante și profunde, cum ar fi construcția de noi cartiere și clădiri. Dar progresul matematicii nu se limitează la schimbarea faței orașului datorită construcției unuia nou. Trebuie să schimbăm vechiul. Teoriile vechi sunt incluse în altele noi, mai generale; este nevoie de consolidarea fundaţiilor clădirilor vechi. Trebuie amenajate străzi noi pentru a stabili legături între cartierele îndepărtate ale orașului matematic. Dar acest lucru nu este suficient - designul arhitectural necesită un efort considerabil, deoarece diversitatea diferitelor domenii ale matematicii nu numai că strică impresia generală a științei, ci și interferează cu înțelegerea științei în ansamblu, stabilind legături între diferitele sale părți.

O altă comparație este adesea folosită: matematica este asemănată cu un copac mare ramificat, care, sistematic, dă lăstari noi. Fiecare ramură a copacului este una sau alta arie a matematicii. Numărul de ramuri nu rămâne neschimbat, pe măsură ce ramuri noi cresc, cresc împreună la început crescând separat, unele dintre ramuri se usucă, lipsite de sucuri hrănitoare. Ambele comparații sunt de succes și transmit foarte bine starea reală a lucrurilor.

Fără îndoială, cererea de frumusețe joacă un rol important în construirea teoriilor matematice. Este de la sine înțeles că percepția frumuseții este foarte subiectivă și adesea există idei destul de urâte despre asta. Și totuși, trebuie să fim surprinși de unanimitatea pe care matematicienii o pun în conceptul de „frumusețe”: rezultatul este considerat frumos dacă dintr-un număr mic de condiții se poate obține o concluzie generală referitoare la o gamă largă de obiecte. O derivare matematică este considerată frumoasă dacă este posibil să se dovedească un fapt matematic semnificativ în ea printr-un raționament simplu și scurt. Maturitatea unui matematician, talentul lui este ghicit după cât de dezvoltat este simțul său al frumosului. Rezultatele complete din punct de vedere estetic și perfecte din punct de vedere matematic sunt mai ușor de înțeles, reținut și utilizat; este mai uşor de identificat relaţia lor cu alte domenii ale cunoaşterii.

Matematica în vremea noastră a devenit o disciplină științifică cu multe domenii de cercetare, un număr imens de rezultate și metode. Matematica este acum atât de mare încât nu este posibil ca o singură persoană să o acopere în toate părțile ei, nu există posibilitatea de a fi un specialist universal în ea. Pierderea conexiunilor dintre direcțiile sale separate este cu siguranță o consecință negativă a dezvoltării rapide a acestei științe. Cu toate acestea, la baza dezvoltării tuturor ramurilor matematicii există un lucru comun - originile dezvoltării, rădăcinile arborelui matematicii.

Geometria lui Euclid ca prima teorie a stiintelor naturale

• În secolul al III-lea î.Hr., în Alexandria a apărut o carte a lui Euclid cu același nume, în traducerea rusă a „Începuturilor”. De la numele latin „Începuturi” a venit termenul „geometrie elementară”. Deși scrierile predecesorilor lui Euclid nu au ajuns până la noi, ne putem forma o părere despre aceste scrieri din Elementele lui Euclid. În „Începuturi” există secțiuni care sunt logic foarte puțin legate de alte secțiuni. Apariția lor se explică doar prin faptul că au fost introduse conform tradiției și copiază „Începuturile” predecesorilor lui Euclid.

  Elementele lui Euclid constă din 13 cărți. Cărțile 1 - 6 sunt dedicate planimetriei, cărțile 7 - 10 sunt despre cantități aritmetice și incomensurabile care pot fi construite folosind o busolă și o linie dreaptă. Cărțile de la 11 la 13 au fost dedicate stereometriei.

  „Începuturile” încep cu o prezentare a 23 de definiții și 10 axiome. Primele cinci axiome sunt „concepte generale”, restul se numesc „postulate”. Primele două postulate determină acțiuni cu ajutorul unui conducător ideal, al treilea - cu ajutorul unei busole ideale. Al patrulea, „toate unghiurile drepte sunt egale între ele”, este redundant, deoarece poate fi dedus din restul axiomelor. Ultimul, al cincilea postulat spune: „Dacă o dreaptă cade pe două drepte și formează unghiuri interioare unilaterale în suma mai mică de două drepte, atunci, cu o continuare nelimitată a acestor două drepte, ele se vor intersecta pe partea în care unghiurile sunt mai mici de două linii drepte.”

  Cele cinci „concepte generale” ale lui Euclid sunt principiile de măsurare a lungimilor, unghiurilor, ariilor, volumelor: „egale cu aceleași sunt egale între ele”, „dacă se adună egali cu egali, sumele sunt egale între ele”, „dacă se scad egali din egali, resturile sunt egale între ele”, „combinarea între ele este egală între ele”, „întregul este mai mare decât partea”.

  Apoi a venit critica la adresa geometriei lui Euclid. Euclid a fost criticat din trei motive: pentru faptul că a luat în considerare doar astfel de mărimi geometrice care pot fi construite folosind o busolă și o linie dreaptă; pentru a despărți geometria și aritmetica și a dovedit pentru numere întregi ceea ce el deja dovedise pentru mărimile geometrice și, în sfârșit, pentru axiomele lui Euclid. Al cincilea postulat, cel mai dificil postulat al lui Euclid, a fost cel mai puternic criticat. Mulți l-au considerat de prisos și că poate și trebuie dedus din alte axiome. Alții credeau că ar trebui înlocuit cu unul mai simplu și mai ilustrativ, echivalent cu acesta: „Printr-un punct din afara unei drepte, nu se poate trasa în planul lor mai mult de o dreaptă care nu intersectează această dreaptă”.

  Critica decalajului dintre geometrie și aritmetică a dus la extinderea conceptului de număr la un număr real. Disputele despre postulatul al cincilea au dus la faptul că la începutul secolului al XIX-lea N.I. Lobachevsky, J. Bolyai și K.F. Gauss au construit o nouă geometrie în care au fost îndeplinite toate axiomele geometriei lui Euclid, cu excepția celui de-al cincilea postulat. A fost înlocuită cu afirmația opusă: „Într-un plan care trece printr-un punct din afara unei linii, se pot trasa mai multe linii care nu o intersectează pe cea dată”. Această geometrie a fost la fel de consistentă ca geometria lui Euclid.

  Modelul planimetriei Lobachevsky pe plan euclidian a fost construit de matematicianul francez Henri Poincaré în 1882.

  Desenați o linie orizontală pe planul euclidian. Această linie se numește absolut (x). Punctele planului euclidian situate deasupra absolutului sunt punctele planului Lobaciovski. Planul Lobachevsky este un semiplan deschis situat deasupra absolutului. Segmentele non-euclidiene din modelul Poincaré sunt arce de cerc centrate pe absolut sau segmente de linie perpendiculare pe absolut (AB, CD). Figura din planul Lobachevsky este figura unui semiplan deschis situat deasupra absolutului (F). Mișcarea non-euclidiană este o compoziție a unui număr finit de inversiuni centrate pe simetriile absolute și axiale ale căror axe sunt perpendiculare pe absolut. Două segmente non-euclidiene sunt egale dacă unul dintre ele poate fi tradus în celălalt printr-o mișcare non-euclidiană. Acestea sunt conceptele de bază ale axiomaticii planimetriei lui Lobaciovski.

  Toate axiomele planimetriei lui Lobaciovski sunt consistente. „O linie non-euclidiană este un semicerc cu capetele absolutului sau o rază cu originea pe absolut și perpendiculară pe absolut”. Astfel, afirmația axiomei de paralelism a lui Lobaciovski este valabilă nu numai pentru o dreaptă a și un punct A care nu se află pe această dreaptă, ci și pentru orice dreaptă a și orice punct A care nu se află pe ea.

  În spatele geometriei lui Lobachevsky, au apărut alte geometrii consistente: geometria proiectivă separată de euclidiană, geometria euclidiană multidimensională dezvoltată, geometria riemanniană a apărut (o teorie generală a spațiilor cu o lege arbitrară de măsurare a lungimii), etc. Din știința figurilor într-o singură dimensiune tridimensională. Spațiul euclidian, geometria timp de 40 - 50 de ani s-a transformat într-un set de diverse teorii, doar oarecum asemănătoare cu progenitorul său - geometria lui Euclid.

  Principalele etape ale formării matematicii moderne. Structura matematicii moderne

• Academicianul A.N.Kolmogorov identifică patru perioade în dezvoltarea matematicii Kolmogorov A.N. - Matematică, Dicționar Enciclopedic Matematic, Moscova, Enciclopedia Sovietică, 1988: nașterea matematicii, matematica elementară, matematica variabilelor, matematica modernă.

  În timpul dezvoltării matematicii elementare, teoria numerelor crește treptat din aritmetică. Algebra este creată ca un calcul literal. Iar sistemul de prezentare a geometriei elementare creat de grecii antici - geometria lui Euclid - cu două milenii înainte a devenit un model al construcției deductive a teoriei matematice.

  În secolul al XVII-lea, cerințele științelor naturale și ale tehnologiei au condus la crearea unor metode care fac posibilă studierea matematică a mișcării, a proceselor de schimbare a cantităților și a transformării figurilor geometrice. Odată cu utilizarea variabilelor în geometria analitică și crearea calculului diferențial și integral, începe perioada de matematică a variabilelor. Marile descoperiri ale secolului al XVII-lea sunt conceptul de mărime infinitezimală introdus de Newton și Leibniz, crearea bazelor analizei mărimilor infinitezimale (analiza matematică).

  Conceptul de funcție vine în prim-plan. Funcția devine subiectul principal de studiu. Studiul unei funcții conduce la conceptele de bază ale analizei matematice: limită, derivată, diferențială, integrală.

  Apariția ideii geniale a lui R. Descartes asupra metodei coordonatelor aparține și ea acestui timp. Este creată geometria analitică, care permite studierea obiectelor geometrice prin metode de algebră și analiză. Pe de altă parte, metoda coordonatelor a deschis posibilitatea unei interpretări geometrice a faptelor algebrice și analitice.

  Dezvoltarea ulterioară a matematicii a condus la începutul secolului al XIX-lea la formularea problemei studierii unor posibile tipuri de relații cantitative și forme spațiale dintr-un punct de vedere destul de general.

  Legătura dintre matematică și știința naturii devine din ce în ce mai complexă. Apar noi teorii și ele apar nu numai ca urmare a cerințelor științei naturale și tehnologiei, ci și ca urmare a nevoii interioare a matematicii. Un exemplu remarcabil al unei astfel de teorii este geometria imaginară a lui N.I. Lobachevsky. Dezvoltarea matematicii în secolele al XIX-lea și al XX-lea ne permite să o atribuim perioadei matematicii moderne. Dezvoltarea matematicii în sine, matematizarea diferitelor domenii ale științei, pătrunderea metodelor matematice în multe domenii de activitate practică, progresul tehnologiei computerelor au dus la apariția unor noi discipline matematice, de exemplu, cercetarea operațională, teoria jocurilor, economie matematică și altele.

  Principalele metode în cercetarea matematică sunt dovezile matematice – raționament logic riguros. Gândirea matematică nu se limitează la raționamentul logic. Intuiția matematică este necesară pentru formularea corectă a problemei, pentru evaluarea alegerii metodei de rezolvare a acesteia.

  În matematică, sunt studiate modele matematice ale obiectelor. Același model matematic poate descrie proprietățile fenomenelor reale care sunt departe unele de altele. Deci, aceeași ecuație diferențială poate descrie procesele de creștere a populației și dezintegrarea materialului radioactiv. Pentru un matematician, nu natura obiectelor luate în considerare este importantă, ci relațiile existente între ele.

  Există două tipuri de raționament în matematică: deducție și inducție.

  Inducția este o metodă de cercetare în care se construiește o concluzie generală pe baza unor premise particulare.

  Deducția este o metodă de raționament prin care o concluzie de natură particulară decurge din premise generale.

  Matematica joacă un rol important în cercetarea științelor naturale, ingineriei și umaniste. Motivul pătrunderii matematicii în diverse ramuri ale cunoașterii este că oferă modele foarte clare de studiere a realității înconjurătoare, în contrast cu modelele mai puțin generale și mai vagi oferite de alte științe. Fără matematica modernă, cu aparatul său logic și de calcul dezvoltat, progresul în diferite domenii ale activității umane ar fi imposibil.

  Matematica nu este doar un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor aplicate și un limbaj universal al științei, ci și un element al unei culturi comune.

  Caracteristicile de bază ale gândirii matematice

• Pe această problemă, de interes deosebit este caracteristica gândirii matematice dată de A.Ya. Khinchin, sau mai degrabă, forma sa istorică specifică - stilul gândirii matematice. Dezvăluind esența stilului de gândire matematică, el evidențiază patru trăsături comune tuturor epocilor care disting în mod vizibil acest stil de stilurile de gândire din alte științe.

  În primul rând, matematicianul se caracterizează prin dominația schemei logice de raționament adusă la limită. Un matematician care pierde din vedere această schemă, cel puțin temporar, își pierde capacitatea de a gândi științific cu totul. Această trăsătură particulară a stilului de gândire matematică are multă valoare în sine. Evident, în măsura maximă vă permite să monitorizați corectitudinea fluxului de gândire și garanții împotriva erorilor; pe de altă parte, îl obligă pe gânditor să aibă în fața ochilor totalitatea posibilităților disponibile în timpul analizei și îl obligă să țină cont de fiecare dintre ele fără a rata nici una (astfel de omisiuni sunt destul de posibile și, de fapt, se observă des în alte stiluri de gândire).

  În al doilea rând, concizia, adică dorinta constienta de a gasi intotdeauna calea logica cea mai scurta care sa conduca catre un scop dat, respingerea nemiloasa a tot ceea ce este absolut necesar pentru valabilitatea impecabila a argumentului. Un eseu matematic de bun stil, nu tolerează nicio „apă”, nicio înfrumusețare, slăbirea tensiunii logice a răzvrătirii, distragerea atenției în lateral; zgârcenia extremă, strictețea severă a gândirii și prezentarea ei sunt o trăsătură integrală a gândirii matematice. Această caracteristică este de mare valoare nu numai pentru matematică, ci și pentru orice alt raționament serios. Laconismul, dorința de a nu permite nimic de prisos, îl ajută atât pe gânditor, cât și pe cititorul sau ascultătorul său să se concentreze pe deplin asupra unei anumite linii de gândire, fără a fi distras de idei secundare și fără a pierde contactul direct cu linia principală a raționamentului.

  Luminații științei, de regulă, gândesc și se exprimă succint în toate domeniile cunoașterii, chiar și atunci când gândirea lor creează și expune idei fundamental noi. Ce impresie maiestuoasă, de exemplu, nobila zgârcenie a gândirii și vorbirii celor mai mari creatori ai fizicii: Newton, Einstein, Niels Bohr! Poate că este greu de găsit un exemplu mai izbitor al efectului profund pe care stilul de gândire al creatorilor săi poate avea asupra dezvoltării științei.

  Pentru matematică, concizia gândirii este o lege incontestabilă, canonizată de secole. Orice încercare de a împovăra prezentarea cu imagini, distrageri de atenție, oratorie nu neapărat necesare (chiar dacă sunt plăcute și incitante pentru ascultători) este pusă în prealabil sub suspiciune legitimă și provoacă automat vigilență critică.

  În al treilea rând, o disecție clară a cursului raționamentului. Dacă, de exemplu, atunci când demonstrăm o propoziție, trebuie să luăm în considerare patru cazuri posibile, fiecare dintre acestea putând fi împărțit într-unul sau altul număr de subcazuri, atunci în fiecare moment al raționamentului, matematicianul trebuie să-și amintească clar în ce caz și subcaz acum se dobândește gândirea și ce cazuri și subcazuri mai are de luat în considerare. Cu tot felul de enumerări ramificate, matematicianul trebuie să fie în orice moment conștient de conceptul generic pentru care el enumerează conceptele de specie componente ale acestuia. În gândirea obișnuită, neștiințifică, observăm foarte des confuzie și salturi în astfel de cazuri, ducând la confuzie și erori de raționament. Se întâmplă adesea ca o persoană să înceapă să enumere speciile unui gen și apoi, pe nesimțite pentru ascultători (și adesea pentru el însuși), folosind distincția logică insuficientă a raționamentului, să sară într-un alt gen și să încheie cu afirmația că ambele genuri sunt acum clasificate; iar ascultătorii sau cititorii nu știu unde se află granița dintre speciile de primul și al doilea fel.

  Pentru a face astfel de confuzii și sărituri imposibile, matematicienii au folosit de multă vreme metode simple externe de numerotare a conceptelor și judecăților, uneori (dar mult mai rar) folosite în alte științe. Acele cazuri posibile sau acele concepte generice care ar trebui luate în considerare în acest raționament sunt renumerotate în prealabil; în cadrul fiecărui astfel de caz, acele subcazuri care trebuie considerate pe care le conține sunt și renumerotate (uneori, pentru distincție, folosind alt sistem de numerotare). Înainte de fiecare paragraf, unde începe luarea în considerare a unui nou subcaz, se pune denumirea acceptată pentru acest subcaz (de exemplu: II 3 - aceasta înseamnă că aici începe examinarea celui de-al treilea subcaz al celui de-al doilea caz sau descrierea celui de-al treilea caz. tip de al doilea fel, dacă vorbim de clasificare). Și cititorul știe că până când nu dă peste o nouă rubrică numerică, tot ceea ce este prezentat se aplică doar acestui caz și subcaz. Este de la sine înțeles că o astfel de numerotare este doar un dispozitiv extern, foarte util, dar deloc obligatoriu, și că esența problemei nu se află în ea, ci în acea împărțire distinctă a argumentării sau clasificării, pe care o stimulează și o marchează deopotrivă. de la sine.

  În al patrulea rând, acuratețea scrupuloasă a simbolurilor, formulelor, ecuațiilor. Adică, „fiecare simbol matematic are un sens strict definit: înlocuirea acestuia cu un alt simbol sau rearanjarea lui într-un alt loc, de regulă, implică o denaturare și uneori distrugerea completă a sensului acestei afirmații”.

  După ce a evidențiat principalele trăsături ale stilului matematic de gândire, A.Ya. Khinchin observă că matematica (în special matematica variabilelor) are prin natura sa un caracter dialectic și, prin urmare, contribuie la dezvoltarea gândirii dialectice. Într-adevăr, în procesul gândirii matematice există o interacțiune între vizual (concret) și conceptual (abstract). „Nu ne putem gândi la linii”, a scris Kant, „fără să le desenăm mental, nu ne putem gândi la trei dimensiuni pentru noi înșine fără să desenăm trei linii perpendiculare una pe cealaltă dintr-un punct.”

  Interacțiunea dintre concrete și abstracte a „condus” gândirea matematică la dezvoltarea de concepte și categorii filosofice noi și noi. În matematica antică (matematica constantelor), acestea erau „numărul” și „spațiul”, care au fost reflectate inițial în geometria aritmetică și euclidiană, iar mai târziu în algebră și diferite sisteme geometrice. Matematica variabilelor s-a „bazat” pe concepte care reflectau mișcarea materiei - „finit”, „infinit”, „continuitate”, „discret”, „infinit mic”, „derivat”, etc.

  Dacă vorbim despre stadiul istoric actual în dezvoltarea cunoștințelor matematice, atunci ea merge în linie cu dezvoltarea ulterioară a categoriilor filosofice: teoria probabilității „stăpânește” categoriile posibilului și aleatorii; topologie - categorii de relație și continuitate; teoria catastrofei - categoria sarituri; teoria grupurilor – categorii de simetrie și armonie etc.

  În gândirea matematică, sunt exprimate principalele modele de construire a conexiunilor logice similare ca formă. Cu ajutorul lui, se realizează trecerea de la singular (să zicem, de la anumite metode matematice - axiomatice, algoritmice, constructive, teoretice de mulțimi și altele) la cele speciale și generale, la construcții deductive generalizate. Unitatea metodelor și a subiectului matematicii determină specificul gândirii matematice, ne permite să vorbim despre un limbaj matematic special care nu numai că reflectă realitatea, ci și sintetizează, generalizează și prezice cunoștințele științifice. Puterea și frumusețea gândirii matematice constă în cea mai mare claritate a logicii sale, în eleganța construcțiilor și în construcția abil a abstracțiunilor.

  Posibilități fundamentale noi de activitate mentală s-au deschis odată cu inventarea computerului, odată cu crearea matematicii mașinilor. Au avut loc schimbări semnificative în limbajul matematicii. Dacă limbajul matematicii computaționale clasice a constat din formule de algebră, geometrie și analiză, concentrate pe descrierea proceselor continue ale naturii, studiate în primul rând în mecanică, astronomie, fizică, atunci limbajul său modern este limbajul algoritmilor și programelor, inclusiv vechiul limbaj al formulelor ca caz particular.

  Limbajul matematicii computaționale moderne devine din ce în ce mai universal, capabil să descrie sisteme complexe (multi-parametrice). În același timp, aș dori să subliniez că oricât de perfect ar fi limbajul matematic, îmbunătățit de tehnologia electronică de calcul, acesta nu rupe legăturile cu diversul limbaj „viu”, natural. Mai mult, limba vorbită stă la baza unei limbi artificiale. În acest sens, recenta descoperire a oamenilor de știință prezintă interes. Ideea este că limba străveche a indienilor aymara, care este vorbită de aproximativ 2,5 milioane de oameni în Bolivia și Peru, s-a dovedit a fi extrem de convenabilă pentru tehnologia computerelor. Încă din 1610, misionarul iezuit italian Ludovico Bertoni, care a alcătuit primul dicționar aymara, a remarcat geniul creatorilor săi, care au atins o puritate logică ridicată. În Aymara, de exemplu, nu există verbe neregulate și nici excepții de la puținele reguli gramaticale clare. Aceste caracteristici ale limbii Aymara i-au permis matematicianului bolivian Ivan Guzmán de Rojas să creeze un sistem de traducere computerizată simultană din oricare dintre cele cinci limbi europene incluse în program, „punte” între care este limba Aymara. Calculatorul „Aymara”, creat de un om de știință bolivian, a fost foarte apreciat de specialiști. Rezumând această parte a întrebării despre esența stilului matematic de gândire, trebuie remarcat faptul că conținutul său principal este înțelegerea naturii.

  Metoda axiomatică

• Axiomatica este modalitatea principală de construire a unei teorii, din antichitate până în zilele noastre, confirmând universalitatea și toată aplicabilitatea acesteia.

  Construirea unei teorii matematice se bazează pe metoda axiomatică. Teoria științifică se bazează pe niște prevederi inițiale, numite axiome, iar toate celelalte prevederi ale teoriei sunt obținute ca consecințe logice ale axiomelor.

  Metoda axiomatică a apărut în Grecia antică și este utilizată în prezent în aproape toate științele teoretice și, mai ales, în matematică.

  Comparând trei, într-o anumită privință, geometrii complementare: euclidiană (parabolică), Lobachevsky (hiperbolice) și riemanniană (eliptică), trebuie remarcat că, alături de unele asemănări, există o mare diferență între geometria sferică, pe de o parte. mâna, iar geometriile lui Euclid și Lobaciovski - pe de altă parte.

  Diferența fundamentală dintre geometria modernă este că acum îmbrățișează „geometriile” unui număr infinit de spații imaginare diferite. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că toate aceste geometrii sunt interpretări ale geometriei euclidiene și se bazează pe metoda axiomatică folosită pentru prima dată de Euclid.

  Pe baza cercetărilor, metoda axiomatică a fost dezvoltată și utilizată pe scară largă. Ca un caz special de aplicare a acestei metode este metoda urmelor în stereometrie, care permite rezolvarea problemelor de construcție a secțiunilor în poliedre și a altor probleme de poziție.

  Metoda axiomatică, dezvoltată pentru prima dată în geometrie, a devenit acum un instrument important de studiu în alte ramuri ale matematicii, fizicii și mecanicii. În prezent, se lucrează pentru a îmbunătăți și a studia metoda axiomatică de construire a unei teorii în profunzime.

  Metoda axiomatică de construire a unei teorii științifice constă în evidențierea conceptelor de bază, formularea axiomelor teoriilor, iar toate celelalte enunțuri sunt derivate în mod logic, bazându-se pe ele. Se știe că un concept trebuie explicat cu ajutorul altora, care, la rândul lor, sunt definite și cu ajutorul unor concepte cunoscute. Astfel, ajungem la concepte elementare care nu pot fi definite în termenii altora. Aceste concepte sunt numite de bază.

  Când demonstrăm o afirmație, o teoremă, ne bazăm pe premise care sunt considerate deja dovedite. Dar au fost dovedite și aceste premise, trebuiau fundamentate. Până la urmă, ajungem la afirmații de nedemonstrat și le acceptăm fără dovezi. Aceste afirmații se numesc axiome. Setul de axiome trebuie să fie astfel încât, bazându-se pe el, să se poată dovedi afirmații ulterioare.

  După ce am evidențiat principalele concepte și am formulat axiomele, derivăm teoreme și alte concepte într-un mod logic. Aceasta este structura logică a geometriei. Axiomele și conceptele de bază formează bazele planimetriei.

  Deoarece este imposibil să se ofere o singură definiție a conceptelor de bază pentru toate geometriile, conceptele de bază ale geometriei ar trebui definite ca obiecte de orice natură care satisfac axiomele acestei geometrii. Astfel, în construcția axiomatică a unui sistem geometric, pornim de la un anumit sistem de axiome, sau axiomatică. Aceste axiome descriu proprietățile conceptelor de bază ale unui sistem geometric și putem reprezenta conceptele de bază sub formă de obiecte de orice natură care au proprietățile specificate în axiome.

  După formularea și demonstrarea primelor enunțuri geometrice, devine posibilă demonstrarea unor enunțuri (teoreme) cu ajutorul altora. Demonstrațiile multor teoreme sunt atribuite lui Pitagora și Democrit.

  Hipocrate din Chios este creditat cu compilarea primului curs sistematic de geometrie bazat pe definiții și axiome. Acest curs și procesările sale ulterioare au fost numite „Elemente”.

  Metodă axiomatică de construire a unei teorii științifice

• Crearea unei metode deductive sau axiomatice de construire a științei este una dintre cele mai mari realizări ale gândirii matematice. A necesitat munca multor generații de oameni de știință.

  O caracteristică remarcabilă a sistemului deductiv de prezentare este simplitatea acestei construcții, ceea ce face posibilă o descriere în câteva cuvinte.

  Sistemul deductiv de prezentare se reduce la:

  1) la lista conceptelor de bază,

  2) la prezentarea definițiilor,

  3) la prezentarea axiomelor,

  4) la prezentarea teoremelor,

  5) la demonstrarea acestor teoreme.

  O axiomă este o afirmație acceptată fără dovezi.

  O teoremă este o afirmație care decurge din axiome.

  Dovada este o parte integrantă a sistemului deductiv, este raționamentul care arată că adevărul unui enunț decurge logic din adevărul teoremelor sau axiomelor anterioare.

  În cadrul unui sistem deductiv nu pot fi rezolvate două întrebări: 1) despre sensul conceptelor de bază, 2) despre adevărul axiomelor. Dar asta nu înseamnă că aceste întrebări sunt în general de nerezolvat.

  Istoria științelor naturii arată că posibilitatea unei construcții axiomatice a unei anumite științe apare doar la un nivel destul de ridicat de dezvoltare a acestei științe, pe baza unei cantități mari de material faptic, ceea ce face posibilă identificarea clară a principalelor științe. legăturile şi relaţiile care există între obiectele studiate de această ştiinţă.

  Un exemplu de construcție axiomatică a științei matematice este geometria elementară. Sistemul de axiome ale geometriei a fost expus de Euclid (aproximativ 300 î.Hr.) în lucrarea „Începuturi” de neîntrecut în semnificația sa. Acest sistem a supraviețuit în mare măsură până astăzi.

  Concepte de bază: imagini de bază punct, linie, plan; sta între, aparține, mișcă.

  Geometria elementară are 13 axiome, care sunt împărțite în cinci grupuri. În grupa a cincea, există o axiomă despre paralele (postulatul V al lui Euclid): printr-un punct de pe un plan se poate trasa o singură dreaptă care nu intersectează această dreaptă. Aceasta este singura axiomă care a cauzat nevoia de demonstrație. Încercările de a demonstra postulatul al cincilea i-au ocupat pe matematicieni timp de mai bine de 2 milenii, până în prima jumătate a secolului al XIX-lea, i.e. până în momentul în care Nikolai Ivanovici Lobaciovski a dovedit în scrierile sale deznădejdea totală a acestor încercări. În prezent, nedemonstrabilitatea celui de-al cincilea postulat este un fapt matematic strict dovedit.

  Axioma despre paralel N.I. Lobaciovski a înlocuit axioma: Să fie date într-un plan dat o dreaptă și un punct situat în afara dreptei. Prin acest punct, cel puțin două linii paralele pot fi trase pe linia dată.

  Din noul sistem de axiome N.I. Lobaciovski, cu o rigoare logică impecabilă, a dedus un sistem coerent de teoreme care constituie conținutul geometriei non-euclidiene. Ambele geometrii ale lui Euclid și Lobachevsky sunt egale ca sisteme logice.

  Trei mari matematicieni în secolul al XIX-lea aproape simultan, independent unul de celălalt, au ajuns la aceleași rezultate ale nedemonstrării celui de-al cincilea postulat și la crearea geometriei non-euclidiene.

  Nikolai Ivanovici Lobaciovski (1792-1856)

  Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

  Janos Bolyai (1802-1860)

  Dovada matematică

• Principala metodă în cercetarea matematică este demonstrația matematică - raționament logic riguros. În virtutea necesității obiective, subliniază Membru corespondent al Academiei Ruse de Științe L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - Matematica modernă și predarea ei, Moscova, Nauka, 1985, raționamentul logic (care prin natura sa, dacă este corect, este și riguros) este o metodă de matematică, matematica este de neconceput fără ele. Trebuie remarcat faptul că gândirea matematică nu se limitează la raționamentul logic. Pentru formularea corectă a problemei, pentru evaluarea datelor acesteia, pentru selectarea celor semnificative dintre acestea și pentru alegerea unei metode de rezolvare este necesară și intuiția matematică, care să permită prevederea rezultatului dorit înainte se obţine, să se contureze calea cercetării cu ajutorul raţionamentelor plauzibile. Dar validitatea faptului luat în considerare este dovedită nu prin verificarea lui pe o serie de exemple, nu prin efectuarea unui număr de experimente (care în sine joacă un rol important în cercetarea matematică), ci într-un mod pur logic, conform legile logicii formale.

  Se crede că demonstrația matematică este adevărul suprem. O decizie care se bazează pe logică pură nu poate fi greșită. Dar odată cu dezvoltarea științei și sarcinile înaintea matematicienilor sunt puse din ce în ce mai complexe.

  „Am intrat într-o eră în care aparatul matematic a devenit atât de complex și de greoaie încât la prima vedere nu mai este posibil să spunem dacă problema întâlnită este adevărată sau nu”, crede Keith Devlin de la Universitatea Stanford, California, SUA. El citează ca exemplu „clasificarea grupurilor finite simple”, care a fost formulată încă din 1980, dar o dovadă exactă completă nu a fost încă oferită. Cel mai probabil, teorema este adevărată, dar este imposibil de spus cu siguranță despre acest lucru.

  Nici o soluție computerizată nu poate fi numită exactă, deoarece astfel de calcule au întotdeauna o eroare. În 1998, Hales a propus o soluție asistată de computer pentru teorema lui Kepler, formulată încă din 1611. Această teoremă descrie cel mai dens pachet de bile din spațiu. Dovada a fost prezentată pe 300 de pagini și conținea 40.000 de rânduri de cod de mașină. 12 recenzori au verificat soluția timp de un an, dar nu au atins niciodată încredere de 100% în corectitudinea dovezii, iar studiul a fost trimis spre revizuire. Drept urmare, a fost publicat abia după patru ani și fără certificarea completă a recenzenților.

  Toate cele mai recente calcule pentru probleme aplicate sunt făcute pe un computer, dar oamenii de știință cred că pentru o mai mare fiabilitate, calculele matematice ar trebui prezentate fără erori.

  Teoria demonstrației este dezvoltată în logică și include trei componente structurale: teza (ceea ce se presupune a fi demonstrat), argumente (un set de fapte, concepte general acceptate, legi etc. ale științei relevante) și demonstrația (procedura pentru desfășurarea dovezilor în sine; un lanț secvențial de inferențe atunci când A n-a inferență devine una dintre premisele celei de-a n+1-a inferențe). Se disting regulile de probă, sunt indicate eventualele erori logice.

  Dovada matematică are multe în comun cu principiile stabilite de logica formală. Mai mult decât atât, regulile matematice de raționament și operații au servit în mod evident ca unul dintre fundamente în dezvoltarea procedurii de demonstrare în logică. În special, cercetătorii din istoria formării logicii formale cred că la un moment dat, când Aristotel a făcut primii pași pentru a crea legi și reguli ale logicii, s-a îndreptat către matematică și către practica activității juridice. În aceste surse, el a găsit material pentru construcțiile logice ale teoriei concepute.

  În secolul XX, conceptul de probă și-a pierdut sensul strict, ceea ce s-a întâmplat în legătură cu descoperirea paradoxurilor logice pândite în teoria mulțimilor și mai ales în legătură cu rezultatele pe care le-au adus teoremele lui K. Gödel privind incompletitudinea formalizării.

  În primul rând, aceasta a afectat însăși matematica, în legătură cu care se credea că termenul „dovadă” nu are o definiție precisă. Dar dacă o astfel de opinie (care este valabilă și astăzi) afectează însăși matematica, atunci ei ajung la concluzia că demonstrația ar trebui acceptată nu în sens logico-matematic, ci în sens psihologic. Mai mult, o viziune asemănătoare se regăsește la Aristotel însuși, care credea că a dovedi înseamnă a conduce un raționament care să ne convingă în așa măsură încât, folosindu-l, îi convingem pe alții de corectitudinea a ceva. O anumită nuanță a abordării psihologice o găsim la A.E.Yesenin-Volpin. El se opune aspru acceptării adevărului fără dovezi, legându-l de un act de credință și mai departe scrie: „Eu numesc dovada unei judecăți o metodă cinstită care face această judecată de netăgăduit”. Yesenin-Volpin raportează că definiția sa trebuie încă clarificată. În același timp, însăși caracterizarea probei ca „metodă cinstită” nu trădează un apel la o evaluare moral-psihologică?

  În același timp, descoperirea paradoxurilor teoretice de mulțimi și apariția teoremelor lui Godel tocmai au contribuit la dezvoltarea teoriei demonstrației matematice întreprinsă de intuiționiști, în special direcția constructivistă, și D. Hilbert.

  Uneori se crede că demonstrația matematică este universală și reprezintă o versiune ideală a demonstrației științifice. Cu toate acestea, nu este singura metodă; există și alte metode de proceduri și operațiuni bazate pe dovezi. Este adevărat doar că demonstrația matematică are multe în comun cu cea logică formală implementată în știința naturii și că demonstrația matematică are anumite specificități, precum și setul de tehnici-operații. Aici ne vom opri, omitând lucrul general care îl face să fie legat de alte forme de evidență, adică fără a desfășura algoritmul, regulile, erorile etc. în toate etapele (chiar și cele principale). proces de probă.

  O demonstrație matematică este un raționament care are sarcina de a fundamenta adevărul (desigur, în sensul matematic, adică ca deductibilitate, sens) al unui enunț.

  Setul de reguli folosite în demonstrație a fost format odată cu apariția construcțiilor axiomatice ale teoriei matematice. Acest lucru a fost realizat cel mai clar și complet în geometria lui Euclid. „Principiile” sale au devenit un fel de standard model pentru organizarea axiomatică a cunoștințelor matematice și, pentru o lungă perioadă de timp, au rămas astfel pentru matematicieni.

  Enunțurile prezentate sub forma unei anumite secvențe trebuie să garanteze o concluzie, care, sub rezerva regulilor de funcționare logică, este considerată dovedită. Trebuie subliniat că un anumit raționament este o dovadă numai cu privire la un anumit sistem axiomatic.

  Când se caracterizează o demonstrație matematică, se disting două trăsături principale. În primul rând, faptul că demonstrația matematică exclude orice referire la dovezi empirice. Întreaga procedură de fundamentare a adevărului concluziei se realizează în cadrul axiomaticii acceptate. Academicianul A.D. Aleksandrov subliniază în acest sens. Puteți măsura unghiurile unui triunghi de mii de ori și vă asigurați că sunt egale cu 2d. Dar matematica nu dovedește nimic. Îi vei demonstra asta dacă deduci afirmația de mai sus din axiome. Să repetăm. Aici, matematica este aproape de metodele scolasticii, care respinge în mod fundamental și argumentarea prin fapte date experimental.

  De exemplu, atunci când a fost descoperită inconmensurabilitatea segmentelor, la demonstrarea acestei teoreme, a fost exclusă apelul la un experiment fizic, deoarece, în primul rând, însuși conceptul de „incomensurabilitate” este lipsit de sens fizic și, în al doilea rând, matematicienii nu ar putea, când se ocupă de abstractizare, să aducă în ajutor extensii material-beton, măsurabile printr-un dispozitiv senzorio-vizual. Incomensurabilitatea, în special, a laturii și diagonalei unui pătrat, este dovedită pe baza proprietății numerelor întregi folosind teorema lui Pitagora privind egalitatea pătratului ipotenuzei (respectiv, diagonala) cu suma pătratelor lui. catete (două laturi ale unui triunghi dreptunghic). Sau când Lobaciovski căuta o confirmare pentru geometria sa, referindu-se la rezultatele observațiilor astronomice, atunci această confirmare a fost efectuată de el printr-o natură pur speculativă. Interpretările lui Cayley-Klein și Beltrami ale geometriei non-euclidiene au prezentat, de asemenea, obiecte mai degrabă matematice decât fizice.

  A doua trăsătură a demonstrației matematice este cea mai mare abstractizare a acesteia, în care diferă de procedurile de demonstrare din alte științe. Și din nou, ca și în cazul conceptului de obiect matematic, nu este vorba doar de gradul de abstractizare, ci de natura sa. Cert este că dovezile atinge un nivel înalt de abstractizare într-o serie de alte științe, de exemplu, în fizică, cosmologie și, bineînțeles, în filozofie, deoarece problemele finale ale ființei și gândirii devin subiectul acesteia din urmă. Matematica, pe de altă parte, se distinge prin faptul că aici funcționează variabile, al căror sens este în abstractizare de orice proprietăți specifice. Amintiți-vă că, prin definiție, variabilele sunt semne care în sine nu au semnificații și le dobândesc pe acestea din urmă numai atunci când le sunt substituite denumirile anumitor obiecte (variabile individuale) sau când sunt indicate proprietăți și relații specifice (variabile predicate) sau, în sfârșit , în cazurile de înlocuire a unei variabile cu un enunț semnificativ (variabilă propozițională).

  Caracteristica remarcată determină natura abstractității extreme a semnelor utilizate în demonstrația matematică, precum și enunțurile, care, datorită includerii variabilelor în structura lor, se transformă în enunțuri.

  Însuși procedura dovedirii, definită în logică ca demonstrație, se desfășoară pe baza regulilor de inferență, pe baza cărora se realizează trecerea de la o afirmație dovedită la alta, formând un lanț consistent de inferențe. Cele mai comune sunt cele două reguli (substituirea și derivarea concluziilor) și teorema deducției.

  regula de substituție. În matematică, substituția este definită ca înlocuirea fiecăruia dintre elementele a dintr-o mulțime dată cu un alt element F(a) din aceeași mulțime. În logica matematică, regula de substituție este formulată după cum urmează. Dacă o formulă adevărată M în calculul propozițional conține o literă, să spunem A, atunci prin înlocuirea acesteia oriunde apare cu o literă arbitrară D, obținem o formulă care este, de asemenea, adevărată ca și cea originală. Acest lucru este posibil, și admisibil, tocmai pentru că în calculul propozițiilor se face abstracție de la sensul propozițiilor (formulelor)... Sunt luate în considerare doar valorile „adevărat” sau „fals”. De exemplu, în formula M: A--> (BUA) înlocuim expresia (AUB) în locul lui A, ca rezultat obținem o nouă formulă (AUB) -->[(BU(AUB) ].

  Regula de deducere a concluziilor corespunde structurii silogismului condițional categoric modus ponens (mod afirmativ) în logica formală. Arata cam asa:

  A .

  Dată o propoziție (a-> b) și, de asemenea, dată a. Urmează b.

  De exemplu: Dacă plouă, atunci pavajul este ud, plouă (a), prin urmare, pavajul este ud (b). În logica matematică, acest silogism este scris astfel (a-> b) a-> b.

  Inferența este determinată, de regulă, de separarea pentru implicare. Dacă sunt date o implicație (a-> b) și antecedentul ei (a), atunci avem dreptul de a adăuga la raționament (dovada) și consecința acestei implicații (b). Silogismul este coercitiv, constituind un arsenal de mijloace deductive de probă, adică întrunind în mod absolut cerințele raționamentului matematic.

  Un rol important în demonstrația matematică îl joacă teorema deducției - denumirea generală a unui număr de teoreme, a cărei procedură face posibilă stabilirea demonstrabilității implicației: A-> B, când există o derivare logică a formula B din formula A. În versiunea cea mai comună a calculului propozițional (în matematica clasică, intuiționistă și în alte tipuri de matematică), teorema deducției precizează următoarele. Dacă se dă un sistem de premise G și o premisă A din care, conform regulilor, se pot deduce B G, A B (- semnul derivabilității), atunci rezultă că numai din premisele lui G se poate obține propoziția A. --> B.

  Am luat în considerare tipul, care este o dovadă directă. În același timp, așa-numitele dovezi indirecte sunt, de asemenea, folosite în logică; există dovezi non-directe care sunt implementate conform următoarei scheme. Neavând, dintr-o serie de motive (inaccesibilitatea obiectului de studiu, pierderea realității existenței acestuia etc.) posibilitatea de a efectua o probă directă a adevărului oricărei afirmații, teze, ei construiesc o antiteză. Ei sunt convinși că antiteza duce la contradicții și, prin urmare, este falsă. Apoi, din faptul falsității antitezei, se trage - pe baza legii mijlocului exclus (a v) - o concluzie despre adevărul tezei.

  În matematică, una dintre formele demonstrației indirecte este utilizată pe scară largă - demonstrarea prin contradicție. Este deosebit de valoros și, de fapt, indispensabil în acceptarea conceptelor și prevederilor fundamentale ale matematicii, de exemplu, conceptul de infinit real, care nu poate fi introdus în niciun alt mod.

  Operația demonstrației prin contradicție este reprezentată în logica matematică după cum urmează. Având în vedere o succesiune de formule G și negația lui A (G , A). Dacă aceasta implică B și negația lui (G , A B, non-B), atunci putem concluziona că adevărul lui A decurge din succesiunea formulelor G. Cu alte cuvinte, adevărul tezei decurge din falsitatea antitezei. .

  Referinte:

• 1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, Higher Mathematics for Economists, manual, Moscova, 2002;

  2. L.D. Kudryavtsev, Matematica modernă și predarea ei, Moscova, Nauka, 1985;

  3. O. I. Larichev, Modele obiective și decizii subiective, Moscova, Nauka, 1987;

  4. A.Ya.Halamizer, „Matematică? - E amuzant!”, Ediția autorului, 1989;

  5. P.K. Rashevsky, Geometria riemanniană și analiza tensorilor, Moscova, ediția a III-a, 1967;

  6. V.E. Gmurman, Teoria probabilității și statistică matematică, Moscova, Școala Superioară, 1977;

  7. Rețea mondială de internet.

MATEMATICA este știința relațiilor cantitative și a formelor spațiale ale lumii reale; Cuvântul grecesc (matematică) provine din cuvântul grecesc (mathema), care înseamnă „cunoaștere”, „știință”.

Matematica a apărut în cele mai vechi timpuri din nevoile practice ale oamenilor. Conținutul și caracterul său s-au schimbat de-a lungul istoriei și continuă să se schimbe acum. De la ideile subiectului primar despre un număr întreg pozitiv, precum și de la ideea unui segment de linie dreaptă ca distanță cea mai scurtă dintre două puncte, matematica a parcurs un drum lung de dezvoltare înainte de a deveni o știință abstractă cu metode de cercetare specifice.

Înțelegerea modernă a formelor spațiale este foarte largă. Include, alături de obiectele geometrice ale spațiului tridimensional (linie, cerc, triunghi, con, cilindru, bilă etc.), și numeroase generalizări - conceptele de spațiu multidimensional și infinit-dimensional, precum și obiecte geometrice din ele. , și mult mai mult. În același mod, relațiile cantitative sunt acum exprimate nu numai prin numere întregi pozitive sau numere raționale, ci și prin intermediul numere complexe, vectori, funcții etc. Dezvoltarea științei și tehnologiei obligă matematica să-și extindă continuu ideile despre formele spațiale și relațiile cantitative.

Conceptele de matematică sunt abstrase din fenomene și obiecte specifice; ele sunt obţinute ca urmare a abstracţiei din trăsături calitative specifice unei game date de fenomene şi obiecte. Această circumstanță este extrem de importantă pentru aplicațiile matematicii. Numărul 2 nu este indisolubil legat de niciun conținut specific de subiect. Se poate referi la două mere, la două cărți sau la două gânduri. Se aplică la fel de bine tuturor acestor și nenumărate alte obiecte. În același mod, proprietățile geometrice ale unei mingi nu se schimbă deoarece este fabricată din sticlă, oțel sau stearina. Desigur, abstracția de la proprietățile unui obiect sărăcește cunoștințele noastre despre obiectul dat, despre trăsăturile sale materiale caracteristice. În același timp, această abstracție de la proprietățile speciale ale obiectelor individuale este cea care dă comunități conceptelor, face posibilă aplicarea matematicii la cele mai diverse fenomene în natura lor materială. Astfel, aceleași legi ale matematicii, același aparat matematic pot fi aplicate destul de satisfăcător la descrierea fenomenelor naturale, tehnice, precum și a proceselor economice și sociale.

Abstractismul conceptelor nu este o caracteristică exclusivă a matematicii; orice concepte științifice și generale poartă un element de abstractizare din proprietățile unor lucruri specifice. Dar în matematică procesul de abstractizare merge mai departe decât în ​​științele naturii; în matematică, procesul de construire a unei abstractizări a diferitelor niveluri este utilizat pe scară largă. Da, conceptul grupuri a apărut prin abstracția unor proprietăți ale totalității numerelor și a altor concepte abstracte. Matematica se caracterizează și prin metoda de obținere a rezultatelor sale. Dacă naturistul recurge constant la experiență pentru a-și demonstra pozițiile, atunci matematicianul își dovedește rezultatele numai prin raționament logic. În matematică, niciun rezultat nu poate fi considerat dovedit până nu are nevoie de o demonstrație logică, și asta chiar dacă experimente speciale au confirmat acest rezultat. În același timp, adevărul teoriilor matematice este testat și de practică, dar această verificare este de natură specială: conceptele de bază ale matematicii se formează ca urmare a cristalizării lor pe termen lung din cerințele particulare ale practicii; regulile logicii în sine au fost dezvoltate numai după milenii de observare a cursului proceselor din natură; formularea teoremelor și formularea problemelor la matematică decurg și din cerințele practicii. Matematica a apărut din nevoi practice, iar legăturile ei cu practica au devenit din ce în ce mai diverse și mai profunde în timp.

În principiu, matematica poate fi aplicată studiului oricărui tip de mișcare, a unei mari varietăți de fenomene. În realitate, rolul său în diverse domenii de activitate științifică și practică nu este același. Rolul matematicii este deosebit de mare în dezvoltarea fizicii moderne, a chimiei, a multor domenii ale tehnologiei, în general în studiul acelor fenomene în care chiar și o abstracție semnificativă de la caracteristicile lor calitative specifice face posibilă surprinderea destul de exactă a aspectelor cantitative și spațiale. modele inerente acestora. De exemplu, studiul matematic al mișcării corpurilor cerești, bazat pe abstracții semnificative din trăsăturile lor reale (corpurile, de exemplu, sunt considerate puncte materiale), a condus și duce la o potrivire perfectă cu mișcarea lor reală. Pe această bază, este posibil nu numai să se prezică în avans fenomene cerești (eclipse, pozițiile planetelor etc.), dar și să se prezică existența unor planete care nu au fost observate înainte (în acest fel, Pluto a fost descoperit în 1930). , Neptun în 1846). Un loc mai mic, dar încă semnificativ este ocupat de matematică în științe precum economie, biologie și medicină. Originalitatea calitativă a fenomenelor studiate în aceste științe este atât de mare și influențează atât de puternic natura cursului lor, încât analiza matematică poate juca până acum doar un rol subordonat. De o importanță deosebită pentru științele sociale și biologice este statistici matematice. Matematica însăși se dezvoltă și sub influența cerințelor științelor naturale, tehnologiei și economiei. Chiar și în ultimii ani, au apărut o serie de discipline matematice care au apărut pe baza unor solicitări practice: teoria informației, teoria jocurilor si etc.

Este clar că trecerea de la o etapă de cunoaștere a fenomenelor la următoarea, mai precisă, face noi solicitări matematicii și duce la crearea de noi concepte, noi metode de cercetare. Astfel, cerințele astronomiei, trecând de la cunoștințe pur descriptive la cunoștințe exacte, au condus la dezvoltarea conceptelor de bază. trigonometrie: în secolul al II-lea î.Hr omul de știință grec antic Hipparchus a alcătuit tabele de acorduri corespunzătoare tabelelor moderne de sinusuri; oamenii de știință greci antici în secolul I Menelau și în secolul al II-lea Claudius Ptolemeu au creat fundațiile trigonometrie sferică. Un interes sporit pentru studiul mișcării, adus la viață de dezvoltarea industriei, navigației, artileriei etc., a condus în secolul al XVII-lea la crearea conceptelor. analiză matematică, dezvoltarea noilor matematici. Introducerea pe scară largă a metodelor matematice în studiul fenomenelor naturale (în primul rând astronomice și fizice) și dezvoltarea tehnologiei (în special a ingineriei mecanice) a condus în secolele al XVIII-lea și al XIX-lea la dezvoltarea rapidă a mecanicii și teoriei teoretice. ecuatii diferentiale. Dezvoltarea ideilor structurii moleculare a materiei a determinat dezvoltarea rapidă teoria probabilității. În prezent, putem urmări apariția unor noi domenii de cercetare matematică prin multe exemple. Deosebit de remarcabile sunt realizările matematica computationala și tehnologia informatică și transformările pe care le produc în multe ramuri ale matematicii.

eseu istoric. În istoria matematicii se pot contura patru perioade cu diferențe esențial calitative. Este dificil să separăm aceste perioade cu precizie, deoarece fiecare ulterioară s-a dezvoltat în interiorul celei anterioare și, prin urmare, au existat etape de tranziție destul de semnificative, când idei noi abia apăreau și nu deveniseră încă călăuzitoare nici în matematică în sine, nici în aplicațiile ei.

1) Perioada nașterii matematicii ca disciplină științifică independentă; începutul acestei perioade se pierde în adâncul istoriei; A continuat până la aproximativ 6-5 secole î.Hr. e.

2) Perioada matematicii elementare, matematica constantelor; a durat aproximativ până la sfârșitul secolului al XVII-lea, când dezvoltarea unei noi matematici, „superioare”, a mers destul de departe.

3) Perioada de matematică a variabilelor; caracterizat prin crearea și dezvoltarea analizei matematice, studiul proceselor în mișcarea lor, dezvoltarea.

4) Perioada matematicii moderne; caracterizat printr-un studiu conștient și sistematic al posibilelor tipuri de relații cantitative și forme spațiale. În geometrie nu se studiază doar spațiul real tridimensional, ci și forme spațiale asemănătoare acestuia. În analiza matematică se consideră variabile care depind nu numai de un argument numeric, ci și de o linie (funcție), care duce la concepte. funcţionalitateși operator. Algebră transformată într-o teorie a operaţiilor algebrice asupra elementelor de natură arbitrară. De-ar fi posibil să se efectueze aceste operații asupra lor. Începutul acestei perioade poate fi pus în mod firesc în prima jumătate a secolului al XIX-lea.

În lumea antică, informațiile matematice au fost inițial o parte integrantă a cunoștințelor preoților și funcționarilor guvernamentali. Stocul acestor informații, după cum poate fi judecat după tăblițele de lut babiloniene deja descifrate și egiptene. papirusuri matematice, era relativ mare. Există dovezi că cu o mie de ani înainte de savantul grec antic Pitagora din Mesopotamia, nu numai că era cunoscută teoria lui Pitagora, dar a fost rezolvată și problema găsirii tuturor triunghiurilor dreptunghiulare cu laturi întregi. Cu toate acestea, marea majoritate a documentelor din acea vreme sunt culegeri de reguli pentru efectuarea celor mai simple operații aritmetice, precum și pentru calcularea ariilor figurilor și volumelor corpurilor. De asemenea, au fost păstrate diverse tabele pentru a facilita aceste calcule. În toate manualele, regulile nu sunt formulate, ci sunt explicate cu exemple frecvente. Transformarea matematicii într-o știință formalizată cu o metodă deductivă bine formată de construcție a avut loc în Grecia Antică. În același loc, creativitatea matematică a încetat să mai fie fără nume. Practic aritmetică și geometrieîn Grecia antică a avut un nivel ridicat de dezvoltare. Începutul geometriei grecești este asociat cu numele de Thales din Milet (sfârșitul secolului al VII-lea î.Hr. - începutul secolului al VI-lea î.Hr.), care a adus cunoștințele primare din Egipt. În școala lui Pitagora din Samos (sec. VI î.Hr.), s-a studiat divizibilitatea numerelor, s-au însumat progresiile cele mai simple, s-au studiat numerele perfecte, s-au luat în considerare diferite tipuri de medii (aritmetice, geometrice, armonice), numerele pitagoreice. au fost găsite din nou (triplu de numere întregi, care pot fi laturile unui triunghi dreptunghic). În secolele V-VI î.Hr. au apărut celebrele probleme ale antichității - pătrarea unui cerc, trisecția unui unghi, dublarea unui cub, s-au construit primele numere iraționale. Primul manual sistematic de geometrie este atribuit lui Hipocrate din Chios (a doua jumătate a secolului al V-lea î.Hr.). În același timp, succesul semnificativ al școlii platonice, asociat cu încercările de a explica rațional structura materiei Universului, aparține căutării tuturor poliedrelor regulate. La hotarul secolelor al V-lea si al IV-lea i.Hr. Democrit, pe baza ideilor atomiste, a propus o metodă de determinare a volumelor corpurilor. Această metodă poate fi considerată un prototip al metodei infinitezimale. În secolul al IV-lea î.Hr. Eudoxus din Cnidus a dezvoltat teoria proporțiilor. Secolul al III-lea î.Hr. se caracterizează prin cea mai mare intensitate a creativității matematice. (secolul I al așa-zisei epoci alexandrine). În secolul al III-lea î.Hr. au lucrat matematicieni precum Euclid, Arhimede, Apollonius din Perga, Eratostene; mai târziu - Stârc (sec. I d.Hr.) Diofant (sec. III). În „Principiile” sale, Euclid a adunat și a supus procesării logice finale a realizărilor din domeniul geometriei; în același timp, a pus bazele teoriei numerelor. Principalul merit al lui Arhimede în geometrie a fost determinarea diferitelor zone și volume. Diophantus a studiat în principal soluția ecuațiilor în numere pozitive raționale. De la sfârșitul secolului al III-lea a început declinul matematicii grecești.

Matematica a atins o dezvoltare semnificativă în China antică și India. Matematicienii chinezi se caracterizează printr-o tehnică înaltă de realizare a calculelor și un interes pentru dezvoltarea metodelor algebrice generale. În secolele II-I î.Hr. Matematica în nouă cărți a fost scrisă. Conține aceleași tehnici de extragere a rădăcinii pătrate, care sunt prezentate și în școala modernă: metode de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare, o formulare aritmetică a teoremei lui Pitagora.

Matematicii indiene, care au înflorit în secolele V-XII, sunt creditate cu utilizarea numerotării zecimale moderne, precum și cu zero pentru a indica absența unităților dintr-o anumită categorie și meritul unei dezvoltări mult mai largi a algebrei decât cea a Diophantus, operând nu numai cu numere raționale pozitive, ci și cu numere negative și iraționale.

Cuceririle arabe au dus la faptul că din Asia Centrală până în Peninsula Iberică, oamenii de știință au folosit limba arabă în secolele IX-XV. În secolul al IX-lea, omul de știință din Asia Centrală al-Khwarizmi a prezentat pentru prima dată algebra ca știință independentă. În această perioadă, multe probleme geometrice au primit o formulare algebrică. Sirianul al-Battani a introdus funcțiile trigonometrice sinus, tangentă și cotangentă.Omul de știință din Samarkand al-Kashi (secolul al XV-lea) a introdus fracțiile zecimale și a făcut o prezentare sistematică, a formulat formula binomială a lui Newton.

O perioadă esențial nouă în dezvoltarea matematicii a început în secolul al XVII-lea, când ideea de mișcare, schimbare a intrat clar în matematică. Luarea în considerare a variabilelor și a relațiilor dintre acestea a condus la conceptele de funcții, derivate și integrale Calcul diferențial, Calcul integral, la apariția unei noi discipline matematice - analiza matematică.

De la sfârșitul secolului al XVIII-lea până la începutul secolului al XIX-lea, au fost observate o serie de caracteristici esențial noi în dezvoltarea matematicii. Cel mai caracteristic dintre acestea a fost interesul pentru o revizuire critică a unui număr de probleme în fundamentul matematicii. Noțiunile vagi de infinitezimale au fost înlocuite cu formulări precise asociate conceptului de limită.

În algebră în secolul al XIX-lea, a fost clarificată problema posibilității de a rezolva ecuațiile algebrice în radicali (om de știință norvegian N. Abel, om de știință francez E. Galois).

În secolele al XIX-lea și al XX-lea, metodele numerice ale matematicii au crescut într-o ramură independentă - matematica computațională. Aplicații importante pentru noua tehnologie informatică au fost găsite de o ramură a matematicii care s-a dezvoltat în secolele al XIX-lea și al XX-lea - logica matematică.

Materialul a fost pregătit de Leshchenko O.V., profesor de matematică.