• Sisteme m ecuații liniare cu n necunoscut.
  Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare este un astfel de set de numere ( x 1 , x 2 , …, x n), înlocuind cu care în fiecare dintre ecuațiile sistemului se obține egalitatea corectă.
  Unde a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n sunt coeficienții sistemului;
  b i , i = 1, …, m- membri gratuiti;
  x j , j = 1, …, n- necunoscut.
  Sistemul de mai sus poate fi scris sub formă de matrice: A X = B,
  
  
  
  
  Unde ( A|B) este matricea principală a sistemului;
  A— matrice extinsă a sistemului;
  X— coloana de necunoscute;
  B este o coloană de membri liberi.
  Dacă matricea B nu este o matrice nulă ∅, atunci acest sistem de ecuații liniare se numește neomogen.
  Dacă matricea B= ∅, atunci acest sistem de ecuații liniare se numește omogen. Un sistem omogen are întotdeauna o soluție zero (trivială): x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  Sistem comun de ecuații liniare este un sistem de ecuații liniare care are o soluție.
  Sistem inconsecvent de ecuații liniare este un sistem de ecuații liniare care nu are soluție.
  Anumit sistem de ecuații liniare este un sistem de ecuații liniare care are o soluție unică.
  Sistem nedefinit de ecuații liniare este un sistem de ecuații liniare care are un număr infinit de soluții.
• Sisteme de n ecuații liniare cu n necunoscute
  Dacă numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuații, atunci matricea este pătrată. Determinantul matricei se numește determinantul principal al sistemului de ecuații liniare și este notat cu simbolul Δ.
  Metoda Cramer pentru rezolvarea sistemelor n ecuații liniare cu n necunoscut.
  regula lui Cramer.
  Dacă determinantul principal al unui sistem de ecuații liniare nu este egal cu zero, atunci sistemul este consistent și definit, iar singura soluție este calculată folosind formulele Cramer:
  unde Δ i sunt determinanții obținuți din determinantul principal al sistemului Δ prin înlocuire i a coloana la coloana membrilor liberi. .
• Sisteme de m ecuații liniare cu n necunoscute
  Teorema Kronecker-Cappelli.
  
  
  Pentru ca acest sistem de ecuații liniare să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse a sistemului, rang(Α) = rang(Α|B).
  În cazul în care un song(Α) ≠ song(Α|B), atunci sistemul evident nu are soluții.
  Dacă rang(Α) = rang(Α|B), atunci sunt posibile două cazuri:
  1) sunat(Α) = n(la numarul de necunoscute) - solutia este unica si poate fi obtinuta prin formulele lui Cramer;
  2) rang (Α)< n − există infinit de multe soluții.
• metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
  
  
  Să compunem matricea augmentată ( A|B) a sistemului dat de coeficienți din partea necunoscută și din dreapta.
  Metoda Gaussiană sau metoda eliminării necunoscutelor constă în reducerea matricei augmentate ( A|B) cu ajutorul transformărilor elementare peste rândurile sale la o formă diagonală (la o formă triunghiulară superioară). Revenind la sistemul de ecuații, toate necunoscutele sunt determinate.
  Transformările elementare pe șiruri includ următoarele:
  1) schimbarea a două linii;
  2) înmulțirea unui șir cu un alt număr decât 0;
  3) adăugarea la șir a unui alt șir înmulțit cu un număr arbitrar;
  4) eliminarea unui șir nul.
  O matrice extinsă redusă la o formă diagonală corespunde unui sistem liniar echivalent cu cel dat, a cărui soluție nu provoacă dificultăți. .
• Sistem de ecuații liniare omogene.
  Sistemul omogen are forma:
  
  corespunde ecuației matriceale A X = 0.
  1) Un sistem omogen este întotdeauna consistent, deoarece r(A) = r(A|B), există întotdeauna o soluție zero (0, 0, …, 0).
  2) Pentru ca un sistem omogen să aibă o soluție diferită de zero, este necesar și suficient ca r = r(A)< n , care este echivalent cu Δ = 0.
  3) Dacă r< n , atunci Δ = 0, atunci există necunoscute libere c 1 , c 2 , …, c n-r, sistemul are soluții netriviale și există o infinitate de ele.
  4) Soluție generală X la r< n poate fi scris sub formă de matrice după cum urmează:
  X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
  unde sunt solutiile X 1 , X 2 , …, X n-r formează un sistem fundamental de soluții.
  5) Sistemul fundamental de soluții poate fi obținut din soluția generală a sistemului omogen:
  
  ,
  dacă presupunem succesiv valorile parametrilor să fie (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
  Descompunerea soluției generale în ceea ce privește sistemul fundamental de soluții este o înregistrare a soluției generale ca o combinație liniară de soluții aparținând sistemului fundamental.
  Teorema. Pentru ca un sistem de ecuații liniare omogene să aibă o soluție diferită de zero, este necesar și suficient ca Δ ≠ 0.
  Deci, dacă determinantul este Δ ≠ 0, atunci sistemul are o soluție unică.
  Dacă Δ ≠ 0, atunci sistemul de ecuații liniare omogene are un număr infinit de soluții.
  Teorema. Pentru ca un sistem omogen să aibă o soluție diferită de zero, este necesar și suficient ca r(A)< n .
  Dovada:
  1) r nu poate fi mai mult n(rangul matricei nu depășește numărul de coloane sau rânduri);
  2) r< n , deoarece dacă r=n, atunci determinantul principal al sistemului Δ ≠ 0 și, conform formulelor lui Cramer, există o soluție trivială unică x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, ceea ce contrazice condiția. Mijloace, r(A)< n .
  Consecinţă. Pentru un sistem omogen n ecuații liniare cu n necunoscute are o soluție diferită de zero, este necesar și suficient ca Δ = 0.

Este dat un sistem de N ecuații algebrice liniare (SLAE) cu necunoscute, ai căror coeficienți sunt elementele matricei, iar membrii liberi sunt numerele.

Primul indice de lângă coeficienți indică în ce ecuație se află coeficientul, iar al doilea - la care dintre necunoscute se află.

Dacă determinantul matricei nu este egal cu zero

atunci sistemul de ecuații algebrice liniare are o soluție unică.

Soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare este un astfel de set ordonat de numere, care transformă fiecare dintre ecuațiile sistemului într-o egalitate corectă.

Dacă părțile drepte ale tuturor ecuațiilor sistemului sunt egale cu zero, atunci sistemul de ecuații se numește omogen. În cazul în care unele dintre ele sunt nenule, neuniforme

Dacă un sistem de ecuații algebrice liniare are cel puțin o soluție, atunci se numește compatibil, în caz contrar este incompatibil.

Dacă soluția sistemului este unică, atunci sistemul de ecuații liniare se numește definit. În cazul în care soluția sistemului comun nu este unică, sistemul de ecuații se numește nedefinit.

Două sisteme de ecuații liniare sunt numite echivalente (sau echivalente) dacă toate soluțiile unui sistem sunt soluții ale celui de-al doilea și invers. Sistemele echivalente (sau echivalente) sunt obținute folosind transformări echivalente.

Transformări echivalente ale SLAE

1) rearanjarea ecuațiilor;

2) înmulțirea (sau împărțirea) ecuațiilor cu un număr diferit de zero;

3) adăugarea la o ecuație a unei alte ecuații, înmulțită cu un număr arbitrar diferit de zero.

Soluția SLAE poate fi găsită în diferite moduri.

METODA CRAMER

TEOREMA LUI CRAMER. Dacă determinantul unui sistem de ecuații algebrice liniare cu necunoscute este diferit de zero, atunci acest sistem are o soluție unică, care se găsește prin formulele Cramer:

sunt determinanți formați odată cu înlocuirea coloanei i-a cu o coloană de membri liberi.

Dacă , și cel puțin unul dintre este diferit de zero, atunci SLAE nu are soluții. Dacă , atunci SLAE are multe soluții. Luați în considerare exemple folosind metoda lui Cramer.

—————————————————————

Este dat un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute. Rezolvați sistemul prin metoda lui Cramer

Aflați determinantul matricei de coeficienți pentru necunoscute

Deoarece , atunci sistemul dat de ecuații este consistent și are o soluție unică. Să calculăm determinanții:

Folosind formulele lui Cramer, găsim necunoscutele

Asa de singura soluție pentru sistem.

Este dat un sistem de patru ecuații algebrice liniare. Rezolvați sistemul prin metoda lui Cramer.

Să găsim determinantul matricei de coeficienți pentru necunoscute. Pentru a face acest lucru, îl extindem cu prima linie.

Aflați componentele determinantului:

Înlocuiți valorile găsite în determinant

Determinantul, prin urmare, sistemul de ecuații este consistent și are o soluție unică. Calculăm determinanții folosind formulele lui Cramer:

Să extindem fiecare dintre determinanți cu coloana în care sunt mai multe zerouri.

Prin formulele lui Cramer găsim

Soluție de sistem

Acest exemplu poate fi rezolvat cu un calculator matematic YukhymCALC. Un fragment al programului și rezultatele calculelor sunt prezentate mai jos.

——————————

METODA C R A M E R

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= zece

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70,0000/10,0000=7,0000

x2=Dx2/D=-80,0000/10,0000=-8,0000

x3=Dx3/D=-50,0000/10,0000=-5,0000

x4=Dx4/D=60,0000/10,0000=6,0000

Vezi materiale:

(jcomentează)

În cazul general, regula pentru calcularea determinanților de ordinul al treilea este destul de greoaie. Pentru determinanții de ordinul al doilea și al treilea, există modalități raționale de a le calcula.

Calcule ale determinanților de ordinul doi

Pentru a calcula determinantul matricei de ordinul doi, este necesar să scădem produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale:

Exemplu

Exercițiu. Calculați determinantul de ordinul doi

Decizie.

Răspuns.

Metode de calcul al determinanților de ordinul trei

Există reguli pentru calcularea determinanților de ordinul trei.

regula triunghiului

Schematic, această regulă poate fi reprezentată după cum urmează:

Produsul elementelor din primul determinant care sunt legate prin linii este luat cu semnul plus; în mod similar, pentru al doilea determinant, produsele corespunzătoare sunt luate cu semnul minus, i.e.

Exemplu

Exercițiu. Calculați determinant metoda triunghiului.

Decizie.

Răspuns.

domnia Sarrus

În dreapta determinantului se adaugă primele două coloane și se iau cu semn plus produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe diagonalele paralele cu acesta; și produsele elementelor diagonalei secundare și diagonalele paralele cu aceasta, cu semnul minus:

Exemplu

Exercițiu. Calculați determinant folosind regula Sarrus.

Decizie.

Răspuns.

Extinderea pe rând sau pe coloană a determinantului

Determinantul este egal cu suma produselor elementelor rândului determinantului și a complementelor algebrice ale acestora.

De obicei alegeți rândul/coloana în care/allea sunt zerouri. Rândul sau coloana pe care se efectuează descompunerea va fi indicată printr-o săgeată.

Exemplu

Exercițiu. Extindeți pe primul rând, calculați determinantul

Decizie.

Răspuns.

Această metodă permite ca calculul determinantului să fie redus la calculul unui determinant de ordin inferior.

Exemplu

Exercițiu. Calculați determinant

Decizie. Să efectuăm următoarele transformări pe rândurile determinantului: din al doilea rând scădem primele patru, iar din al treilea rând primul rând înmulțit cu șapte, ca urmare, în funcție de proprietățile determinantului, obținem un determinant egal cu cel dat.

Determinantul este zero deoarece al doilea și al treilea rând sunt proporționale.

Răspuns.

Pentru a calcula determinanții de ordinul al patrulea și de mai sus, se folosește fie extinderea într-un rând/coloană, fie reducerea la o formă triunghiulară, fie folosind teorema lui Laplace.

Descompunerea determinantului în ceea ce privește elementele unui rând sau coloană

Exemplu

Exercițiu. Calculați determinant , descompunându-l prin elementele unui rând sau al unei coloane.

Decizie. Să efectuăm mai întâi transformări elementare pe rândurile determinantului făcând cât mai multe zerouri fie într-un rând, fie într-o coloană. Pentru a face acest lucru, mai întâi scădem nouă treimi din prima linie, cinci treimi din a doua și trei treimi din a patra, obținem:

Extindem determinantul rezultat cu elementele primei coloane:

Determinantul de ordinul trei rezultat este, de asemenea, extins de elementele rândului și coloanei, obținând anterior zerouri, de exemplu, în prima coloană.

Pentru a face acest lucru, scădem două linii secundare din prima linie și a doua din a treia:

Răspuns.

cometariu

Ultimul și penultimul determinant nu au putut fi calculați, dar imediat concluzionam că sunt egali cu zero, deoarece conțin rânduri proporționale.

Aducerea determinantului într-o formă triunghiulară

Cu ajutorul transformărilor elementare peste rânduri sau coloane, determinantul se reduce la o formă triunghiulară, iar apoi valoarea sa, conform proprietăților determinantului, este egală cu produsul elementelor de pe diagonala principală.

Exemplu

Exercițiu. Calculați determinant aducând-o la o formă triunghiulară.

Decizie.În primul rând, facem zerouri în prima coloană de sub diagonala principală.

4. Proprietăţi ale determinanţilor. Determinant al produsului matricelor.

Toate transformările vor fi mai ușor de efectuat dacă elementul este egal cu 1. Pentru a face acest lucru, vom schimba prima și a doua coloană a determinantului, care, în funcție de proprietățile determinantului, îl va determina să schimbe semnul opus. :

În continuare, obținem zerouri în a doua coloană în locul elementelor de sub diagonala principală. Și din nou, dacă elementul diagonal este egal cu , atunci calculele vor fi mai simple. Pentru a face acest lucru, schimbăm a doua și a treia linie (și, în același timp, schimbăm semnul opus al determinantului):

Răspuns.

teorema lui Laplace

Exemplu

Exercițiu. Folosind teorema lui Laplace, calculați determinantul

Decizie. Alegem două rânduri în acest determinant de ordinul al cincilea - al doilea și al treilea, apoi obținem (omitem termenii care sunt egali cu zero):

Răspuns.

ECUATII LINEARE SI INEGUALITATI I

§ 31 Cazul în care determinantul principal al unui sistem de ecuații este egal cu zero și cel puțin unul dintre determinanții auxiliari este diferit de zero

Teorema.Dacă determinantul principal al sistemului de ecuaţii

(1)

este egal cu zero și cel puțin unul dintre determinanții auxiliari este diferit de zero, atunci sistemul este inconsecvent.

Formal, demonstrarea acestei teoreme nu este greu de obținut prin contradicție. Să presupunem că sistemul de ecuații (1) are o soluție ( X 0 , y 0). întrucât, așa cum se arată în paragraful anterior,

Δ X 0 = Δ X , Δ y 0 = Δ y (2)

Dar după condiție Δ = 0 și cel puțin unul dintre determinanți Δ X și Δ y diferit de zero. Astfel, egalitățile (2) nu pot fi valabile simultan. Teorema a fost demonstrată.

Totuși, pare interesant să clarificăm mai detaliat de ce sistemul de ecuații (1) este inconsecvent în cazul luat în considerare.

înseamnă că coeficienții necunoscutelor din sistemul de ecuații (1) sunt proporționali. Să, de exemplu,

A 1 = ka 2 ,b 1 = kb 2 .

înseamnă că coeficienţii la iar termenii liberi ai ecuațiilor sistemului (1) nu sunt proporționali. În măsura în care b 1 = kb 2, atunci c 1 =/= kc 2 .

Prin urmare, sistemul de ecuații (1) poate fi scris sub următoarea formă:

În acest sistem, coeficienții pentru necunoscute sunt, respectiv, proporționali, dar coeficienții pentru la (sau când X ) iar termenii liberi nu sunt proporționali. Un astfel de sistem este, desigur, inconsecvent. Într-adevăr, dacă ar avea o soluție ( X 0 , y 0), apoi egalitățile numerice

k (A 2 X 0 + b 2 y 0) = c 1

A 2 X 0 + b 2 y 0 = c 2 .

Dar una dintre aceste egalități o contrazice pe cealaltă: la urma urmei, c 1 =/= kc 2 .

Am luat în considerare doar cazul când Δ X =/= 0. În mod similar, putem considera cazul când Δ y =/= 0."

Teorema demonstrată poate fi formulată în felul următor.

Dacă coeficienţii pentru necunoscute Xși laîn sistemul de ecuații (1) sunt proporționale, iar coeficienții pentru oricare dintre aceste necunoscute și termenii liberi nu sunt proporționali, atunci acest sistem de ecuații este inconsecvent.

Este ușor, de exemplu, să verificați dacă fiecare dintre aceste sisteme va fi inconsecvent:

Metoda lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

formulele lui Cramer

Metoda lui Cramer se bazează pe utilizarea determinanților în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acest lucru accelerează foarte mult procesul de soluție.

Metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva un sistem de atâtea ecuații liniare câte necunoscute există în fiecare ecuație.

metoda lui Cramer. Aplicație pentru sisteme de ecuații liniare

Dacă determinantul sistemului nu este egal cu zero, atunci metoda lui Cramer poate fi utilizată în soluție; dacă este egal cu zero, atunci nu poate. În plus, metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare care au o soluție unică.

Definiție. Determinantul, compus din coeficienții necunoscutelor, se numește determinant al sistemului și se notează cu (delta).

Determinanți

se obțin prin înlocuirea coeficienților la necunoscutele corespunzătoare cu termeni liberi:

;

.

teorema lui Cramer. Dacă determinantul sistemului este diferit de zero, atunci sistemul de ecuații liniare are o singură soluție, iar necunoscuta este egală cu raportul determinanților. Numitorul conține determinantul sistemului, iar numărătorul conține determinantul obținut din determinantul sistemului prin înlocuirea coeficienților cu necunoscutul prin termeni liberi. Această teoremă este valabilă pentru un sistem de ecuații liniare de orice ordin.

Exemplul 1 Rezolvați sistemul de ecuații liniare:

Conform teorema lui Cramer noi avem:

Deci, soluția sistemului (2):

Trei cazuri în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

După cum reiese din teoremele lui Cramer, la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare pot apărea trei cazuri:

Primul caz: sistemul de ecuații liniare are o soluție unică

(sistemul este consistent și definit)

*

Al doilea caz: sistemul de ecuații liniare are un număr infinit de soluții

(sistemul este consistent și nedeterminat)

**
,

acestea. coeficienţii necunoscutelor şi termenilor liberi sunt proporţionali.

Al treilea caz: sistemul de ecuații liniare nu are soluții

(sistem inconsecvent)

Deci sistemul m ecuații liniare cu n variabile este numită incompatibil dacă nu are soluții, și comun daca are cel putin o solutie. Se numește un sistem comun de ecuații care are o singură soluție anumit, și mai mult de unul incert.

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare prin metoda Cramer

Lasă sistemul

.

Bazat pe teorema lui Cramer

………….
,

Unde
—

identificatorul de sistem. Restul determinanților se obțin prin înlocuirea coloanei cu coeficienții variabilei corespunzătoare (necunoscute) cu membri liberi:

Exemplul 2

.

Prin urmare, sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții

Prin formulele lui Cramer găsim:

Deci, (1; 0; -1) este singura soluție a sistemului.

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți folosi calculatorul online, metoda de rezolvare Cramer.

Dacă în sistemul de ecuații liniare nu există variabile în una sau mai multe ecuații, atunci în determinant elementele corespunzătoare acestora sunt egale cu zero! Acesta este următorul exemplu.

Exemplul 3 Rezolvați sistemul de ecuații liniare prin metoda lui Cramer:

.

Decizie. Găsim determinantul sistemului:

Priviți cu atenție sistemul de ecuații și determinantul sistemului și repetați răspunsul la întrebarea în care cazuri unul sau mai multe elemente ale determinantului sunt egale cu zero. Deci, determinantul nu este egal cu zero, prin urmare, sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții pentru necunoscute

Prin formulele lui Cramer găsim:

Deci, soluția sistemului este (2; -1; 1).

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți folosi calculatorul online, metoda de rezolvare Cramer.

Începutul paginii

Faceți un test despre sistemele de ecuații liniare

După cum sa menționat deja, dacă determinantul sistemului este egal cu zero, iar determinanții pentru necunoscute nu sunt egali cu zero, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții. Să ilustrăm cu următorul exemplu.

Exemplul 4 Rezolvați sistemul de ecuații liniare prin metoda lui Cramer:

Decizie. Găsim determinantul sistemului:

Determinantul sistemului este egal cu zero, prin urmare, sistemul de ecuații liniare este fie inconsecvent și definit, fie inconsecvent, adică nu are soluții. Pentru a clarifica, calculăm determinanții pentru necunoscute

Determinanții pentru necunoscute nu sunt egali cu zero, prin urmare, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții.

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți folosi calculatorul online, metoda de rezolvare Cramer.

În problemele pe sisteme de ecuații liniare, există și acelea în care, pe lângă literele care denotă variabile, există și alte litere. Aceste litere reprezintă un anumit număr, cel mai adesea un număr real. În practică, astfel de ecuații și sisteme de ecuații duc la probleme pentru a găsi proprietățile generale ale oricăror fenomene și obiecte. Adică ați inventat un material sau un dispozitiv nou și pentru a descrie proprietățile sale, care sunt comune indiferent de dimensiunea sau numărul de copii, trebuie să rezolvați un sistem de ecuații liniare, în care în loc de niște coeficienți pentru variabile sunt litere. Nu trebuie să cauți departe pentru exemple.

Următorul exemplu este pentru o problemă similară, doar numărul de ecuații, variabile și litere care denotă un număr real crește.

Exemplul 6 Rezolvați sistemul de ecuații liniare prin metoda lui Cramer:

Decizie. Găsim determinantul sistemului:

Găsirea determinanților pentru necunoscute

Prin formulele lui Cramer găsim:

,

,

.

Și în sfârșit, un sistem de patru ecuații cu patru necunoscute.

Exemplul 7 Rezolvați sistemul de ecuații liniare prin metoda lui Cramer:

.

Atenţie! Metodele de calcul al determinanților de ordinul al patrulea nu vor fi explicate aici. După aceea - în secțiunea corespunzătoare a site-ului. Dar vor fi câteva comentarii. Decizie. Găsim determinantul sistemului:

Un mic comentariu. În determinantul inițial, elementele celui de-al patrulea rând au fost scăzute din elementele celui de-al doilea rând, elementele celui de-al patrulea rând, înmulțite cu 2, din elementele celui de-al treilea rând, elementele din primul rând, înmulțite cu 2. , din elementele rândului al patrulea.Transformările determinanților inițiali cu primele trei necunoscute s-au făcut după aceeași schemă. Găsirea determinanților pentru necunoscute

Pentru transformările determinantului cu a patra necunoscută, elementele celui de-al patrulea rând au fost scăzute din elementele primului rând.

Prin formulele lui Cramer găsim:

Deci, soluția sistemului este (1; 1; -1; -1).

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți folosi calculatorul online, metoda de rezolvare Cramer.

Cei mai atenți au observat probabil că articolul nu conținea exemple de rezolvare a sistemelor nedefinite de ecuații liniare. Și totul pentru că este imposibil să rezolvi astfel de sisteme prin metoda Cramer, putem afirma doar că sistemul este nedefinit. Soluțiile unor astfel de sisteme sunt date prin metoda Gauss.

Nu ai timp să aprofundezi în soluție? Poți comanda un loc de muncă!

Începutul paginii

Faceți un test despre sistemele de ecuații liniare

Altele pe tema „Sisteme de ecuații și inegalități”

Calculator - rezolvă sisteme de ecuații online

Implementarea programatică a metodei lui Cramer în C++

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda substituției și metoda adunării

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda Gauss

Condiția de compatibilitate a sistemului de ecuații liniare.

Teorema Kronecker-Capelli

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda matricei (matrice inversă)

Sisteme de inegalități liniare și mulțimi convexe de puncte

Începutul subiectului „Algebră liniară”

Determinanți

În acest articol, ne vom familiariza cu un concept foarte important din secțiunea algebrei liniare, care se numește determinant.

Aș dori să notez imediat un punct important: conceptul de determinant este valabil doar pentru matrice pătrată (număr de rânduri = număr de coloane), alte matrici nu îl au.

Determinant al unei matrice pătrate(determinant) — caracteristică numerică a matricei.

Desemnarea determinanților: |A|, det A, ∆ A.

determinant Ordinul „n” se numește suma algebrică a tuturor produselor posibile ale elementelor sale care îndeplinesc următoarele cerințe:

1) Fiecare astfel de produs conține exact „n” elemente (adică, determinantul de ordinul doi este de 2 elemente).

2) În fiecare produs, există un reprezentant al fiecărui rând și al fiecărei coloane ca factor.

3) Oricare doi factori din fiecare produs nu pot aparține aceluiași rând sau coloană.

Semnul produsului este determinat de ordinea alternantei numerelor coloanelor, daca elementele din produs sunt dispuse in ordinea crescatoare a numerelor de rand.

Luați în considerare câteva exemple de găsire a determinantului unei matrice:

Pentru o matrice de ordinul întâi (de ex.

Ecuatii lineare. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. metoda lui Cramer.

există doar 1 element), determinantul este egal cu acest element:

2. Luați în considerare o matrice pătrată de ordinul doi:

3. Considerăm o matrice pătrată de ordinul al treilea (3×3):

4. Și acum luați în considerare exemple cu numere reale:

Regula triunghiului.

Regula triunghiului este o modalitate de a calcula determinantul unei matrice, care presupune găsirea acestuia conform următoarei scheme:

După cum ați înțeles deja, metoda a fost numită regula triunghiului datorită faptului că elementele matricei multiplicate formează triunghiuri deosebite.

Pentru a înțelege mai bine acest lucru, să luăm un exemplu:

Și acum luați în considerare calculul determinantului unei matrice cu numere reale folosind regula triunghiului:

Pentru a consolida materialul acoperit, vom rezolva un alt exemplu practic:

Proprietățile determinanților:

1. Dacă elementele unui rând sau coloanei sunt egale cu zero, atunci determinantul este egal cu zero.

2. Determinantul va schimba semnul dacă sunt schimbate 2 rânduri sau coloane. Să ne uităm la asta cu un mic exemplu:

3. Determinantul matricei transpuse este egal cu determinantul matricei originale.

4. Determinantul este zero dacă elementele unui rând sunt egale cu elementele corespunzătoare ale altui rând (și pentru coloane). Cel mai simplu exemplu al acestei proprietăți a determinanților este:

5. Determinantul este zero dacă cele 2 rânduri ale sale sunt proporționale (și pentru coloane). Exemplu (linia 1 și 2 sunt proporționale):

6. Factorul comun al unui rând (coloană) poate fi scos din semnul determinantului.

7) Determinantul nu se va modifica dacă elementele oricărui rând (coloană) sunt adăugate elementelor corespunzătoare ale altui rând (coloană), înmulțite cu aceeași valoare. Să ne uităm la asta cu un exemplu:

Complement minor și algebric

Adunarea și scăderea matricelor prin exemple

Acțiuni cu matrice

Conceptul de „matrice”

Vizualizari: 57258

Determinantul (aka determinant (determinant)) se găsește numai în matrice pătrată. Determinantul nu este altceva decât o valoare care combină toate elementele unei matrice, care se păstrează la transpunerea rândurilor sau coloanelor. Poate fi notat ca det(A), |A|, Δ(A), Δ, unde A poate fi atât o matrice, cât și o literă care o denotă. Îl puteți găsi în diferite moduri:

Toate metodele propuse mai sus vor fi analizate pe matrice de dimensiunea trei sau mai mult. Determinantul unei matrice bidimensionale se găsește folosind trei operații matematice elementare, prin urmare, găsirea determinantului unei matrice bidimensionale nu se va încadra în niciuna dintre metode. Ei bine, cu excepția unei adăugări, dar mai multe despre asta mai târziu.

Aflați determinantul unei matrice 2x2:

Pentru a găsi determinantul matricei noastre, este necesar să scădem produsul numerelor unei diagonale din cealaltă și anume, adică

Exemple de găsire a determinantului matricelor de ordinul doi

Descompunere rând/coloană

Se selectează orice rând sau coloană din matrice. Fiecare număr din linia selectată se înmulțește cu (-1) i+j unde (i,j este numărul rândului, al coloanei acelui număr) și se înmulțește cu determinantul de ordinul doi format din elementele rămase după ștergerea i - rândul și j - coloană. Să aruncăm o privire la matrice

1. Selectați un rând/coloană

De exemplu, luați a doua linie.

Notă: Dacă nu este indicată în mod explicit cu ce linie să găsiți determinantul, alegeți linia care are zero. Vor fi mai puține calcule.

1. Compune o expresie

Nu este greu de determinat că semnul unui număr se schimbă de fiecare dată. Prin urmare, în loc de unități, vă puteți ghida după următorul tabel:

1. Să schimbăm semnul numerelor noastre

1. Să găsim determinanții matricilor noastre

1. Considerăm totul

Soluția poate fi scrisă astfel:

Exemple de găsire a unui determinant prin extinderea rândului/coloanei:

Metoda de reducere la o formă triunghiulară (folosind transformări elementare)

Determinantul se găsește prin aducerea matricei într-o formă triunghiulară (în trepte) și înmulțirea elementelor de pe diagonala principală

O matrice triunghiulară este o matrice ale cărei elemente de pe o parte a diagonalei sunt egale cu zero.

Când construiți o matrice, amintiți-vă trei reguli simple:

1. De fiecare dată când șirurile sunt schimbate, determinantul își schimbă semnul invers.
2. Când înmulțiți / împărțiți o linie cu un număr diferit de zero, aceasta trebuie împărțită (dacă este înmulțită) / înmulțită (dacă este împărțită) cu aceasta sau efectuați această acțiune cu determinantul rezultat.
3. La adăugarea unui șir înmulțit cu un număr la un alt șir, determinantul nu se modifică (șirul înmulțit își ia valoarea inițială).

Să încercăm să obținem zerouri în prima coloană, apoi în a doua.

Să aruncăm o privire la matricea noastră:

Ta-a-ak. Pentru a face calculele mai plăcute, aș vrea să am cel mai apropiat număr deasupra. Poți să o lași, dar nu trebuie. Bine, avem un doi în a doua linie și patru pe prima.

Să schimbăm aceste două rânduri.

Am schimbat liniile, acum trebuie fie să schimbăm semnul unei linii, fie să schimbăm semnul determinantului de la sfârșit.

Determinanți. Calcularea determinanților (pag. 2)

O vom face mai târziu.

Acum, pentru a obține zero în primul rând, înmulțim primul rând cu 2.

Scădeți primul rând din al doilea.

Conform celei de-a treia reguli, readucem șirul original în poziția inițială.

Acum să facem un zero în a treia linie. Putem înmulți prima linie cu 1,5 și scădem din a treia, dar lucrul cu fracții aduce puțină plăcere. Prin urmare, să găsim un număr la care ambele șiruri pot fi reduse - acesta este 6.

Înmulțiți al treilea rând cu 2.

Acum înmulțim primul rând cu 3 și scadem din al treilea.

Să ne întoarcem primul rând.

Nu uitați că am înmulțit al 3-lea rând cu 2, așa că apoi vom împărți determinantul cu 2.

Există o coloană. Acum, pentru a obține zerouri în a doua - să uităm de prima linie - lucrăm cu a doua linie. Înmulțiți al doilea rând cu -3 și adăugați-l la al treilea.

Nu uitați să returnați a doua linie.

Deci am construit o matrice triunghiulară. Ce ne mai rămâne? Și rămâne să înmulțim numerele de pe diagonala principală, ceea ce vom face.

Ei bine, rămâne să ne amintim că trebuie să ne împărțim determinantul la 2 și să schimbăm semnul.

regula lui Sarrus (regula triunghiurilor)

Regula lui Sarrus se aplică numai matricelor pătrate de ordinul trei.

Determinantul se calculează adunând primele două coloane din dreapta matricei, înmulțind elementele diagonalelor matricei și adunând acestora și scăzând suma diagonalelor opuse. Scădeți violetul din diagonalele portocalii.

Regula triunghiurilor este aceeași, doar imaginea este diferită.

Teorema lui Laplace vezi Descompunerea rând/coloană

Acasă > Document

MATRICE, DETERMINANȚI, SISTEME DE ECUAȚII LINEARE

DEFINIȚIA UNEI MATRICE. TIPURI DE MATRICEDimensiunea matricei m× n se numeste totalitate m n numere dispuse într-un tabel dreptunghiular de m linii şi n coloane. Acest tabel este de obicei inclus între paranteze. De exemplu, matricea ar putea arăta astfel:

Pentru concizie, matricea poate fi notată cu o singură literă majusculă, de exemplu, DAR sau LA.În general, o matrice de mărime m× n scrie asa

.

Se numesc numerele care alcătuiesc o matrice elemente de matrice. Este convenabil să furnizați elemente de matrice cu doi indici A ij: Primul indică numărul rândului, iar al doilea indică numărul coloanei. De exemplu, A 23 - elementul este în al 2-lea rând, a 3-a coloană. Dacă numărul de rânduri din matrice este egal cu numărul de coloane, atunci matricea este numită pătrat, iar numărul rândurilor sau coloanelor sale este numit pentru a matrici. În exemplele de mai sus, a doua matrice este pătrată - ordinea sa este 3, iar a patra matrice - ordinea sa este 1. O matrice în care numărul de rânduri nu este egal cu numărul de coloane se numește dreptunghiular. În exemple, aceasta este prima matrice și a treia.Există și matrice care au un singur rând sau o coloană.O matrice care are un singur rând se numește matrice - rând(sau șir) și o matrice care are o singură coloană, matrice - coloană Se numește .Matrice, ale cărei toate elementele sunt egale cu zero nulși este notat cu (0), sau pur și simplu 0. De exemplu,

.

diagonala principală O matrice pătrată este diagonala care merge din colțul din stânga sus spre colțul din dreapta jos.

Se numește o matrice pătrată în care toate elementele de sub diagonala principală sunt egale cu zero triunghiular matrice.

.

Se numește o matrice pătrată în care toate elementele, cu excepția probabil celor de pe diagonala principală, sunt egale cu zero diagonală matrice. De exemplu, sau .Se numește o matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale cu unul singur matrice și este notat cu litera E. De exemplu, matricea de identitate de ordinul 3 are forma .ACȚIUNI PE MATRICEEgalitatea matricei. Două matrice Ași B se spune că sunt egale dacă au același număr de rânduri și coloane și elementele corespunzătoare sunt egale A ij = b ij. Astfel, dacă și , apoi A=B, dacă A 11 = b 11 , A 12 = b 12 , A 21 = b 21 și A 22 = b 22 .transpunere. Luați în considerare o matrice arbitrară A din m linii şi n coloane. Poate fi asociat cu următoarea matrice B din n linii şi m coloane, unde fiecare rând este o coloană a matricei A cu același număr (deci fiecare coloană este un rând al matricei A cu același număr). Astfel, dacă , apoi .Această matrice B numit transpus matrice A, și trecerea de la A la B transpunere.Astfel, transpunerea este inversarea rolurilor rândurilor și coloanelor matricei. Matrice transpusă în matrice A, de obicei notat A T.Conexiunea dintre matrice A iar transpunerea lui poate fi scrisă ca . De exemplu. Găsiți matricea transpusă în cea dată. Adăugarea matricei. Lasă matrice Ași B constau din același număr de rânduri și același număr de coloane, adică avea aceleasi marimi. Apoi pentru a adăuga matricele Ași B necesitatea de a matriza elementele A adăugați elemente de matrice B stând în aceleași locuri. Astfel, suma a două matrice Ași B numită matrice C, care este determinat de regulă, de exemplu,

Exemple. Aflați suma matricelor: Este ușor de verificat că adunarea matricei respectă următoarele legi: comutativă A+B=B+Ași asociativ ( A+B)+C=A+(B+C).Înmulțirea unei matrice cu un număr. Pentru a înmulți o matrice A pe număr k nevoie de fiecare element al matricei Aînmulțiți cu acel număr. Deci produsul matricei A pe număr k există o nouă matrice, care este determinată de regulă sau .Pentru orice numere Ași bși matrice Ași B egalitățile sunt îndeplinite: Exemple. . Matrice C nu poate fi găsit, pentru că matrici Ași B au dimensiuni diferite. Înmulțirea matricei. Această operațiune se efectuează conform unei legi speciale. În primul rând, observăm că mărimile factorilor matrici trebuie să fie consistente. Puteți înmulți numai acele matrice al căror număr de coloane din prima matrice se potrivește cu numărul de rânduri din a doua matrice (adică lungimea primului rând este egală cu înălțimea celei de-a doua coloane). muncă matrici A nu o matrice B numită noua matrice C=AB, ale căror elemente sunt compuse după cum urmează:

Astfel, de exemplu, pentru a obține produsul (adică, în matrice C) elementul din primul rând și a treia coloană c 13 , trebuie să luați primul rând din prima matrice, a treia coloană în a doua, apoi să înmulțiți elementele rând cu elementele de coloană corespunzătoare și să adăugați produsele rezultate. Iar alte elemente ale matricei produsului se obțin folosind un produs similar al rândurilor primei matrice cu coloanele celei de-a doua matrice.În cazul general, dacă înmulțim matricea A = (a ij ) mărimea m× n la matrice B = (b ij ) mărimea n× p, apoi obținem matricea C mărimea m× p, ale căror elemente se calculează astfel: element c ij se obţine ca rezultat al produsului elementelor i al-lea rând al matricei A asupra elementelor relevante j-a coloană a matricei Bși adunarea lor.Din această regulă rezultă că oricând puteți înmulți două matrice pătrate de același ordin, ca rezultat obținem o matrice pătrată de același ordin. În special, o matrice pătrată poate fi întotdeauna înmulțită cu ea însăși, adică pătrat.Un alt caz important este înmulțirea unui rând-matrice cu o coloană-matrice, iar lățimea primului trebuie să fie egală cu înălțimea celui de-al doilea, ca urmare obținem o matrice de ordinul întâi (adică un element ). Într-adevăr,

.

Exemple. Găsiți elemente c 12 , c 23 și c 21 matrici C.

Aflați produsul matricelor.

.
A găsi ABși VA. A găsi ABși VA. , B A– nu are sens. Astfel, aceste exemple simple arată că matricele, în general, nu fac naveta între ele, i.e. A∙B ≠ B∙A . Prin urmare, la înmulțirea matricelor, trebuie monitorizată cu atenție ordinea factorilor.Se poate verifica că înmulțirea matricelor respectă legile asociative și distributive, i.e. (AB)C=A(BC)și (A+B)C=AC+BC.De asemenea, este ușor de verificat atunci când înmulțiți o matrice pătrată A la matricea identitară E de aceeași ordine, obținem din nou matricea A, în plus AE=EA=A.Putem observa următorul fapt curios. După cum se știe, produsul a 2 numere diferite de zero nu este egal cu 0. Pentru matrici, acesta poate să nu fie cazul, adică. produsul a 2 matrice nenule poate fi egal cu matricea zero. de exemplu, dacă , apoi

.

CONCEPTUL DE DETERMINATORI Să fie dată o matrice de ordinul doi - o matrice pătrată formată din două rânduri și două coloane. Determinant de ordinul doi corespunzător acestei matrice este numărul obținut după cum urmează: A 11 A 22 - A 12 A 21 .Determinantul se notează prin simbol .Deci, pentru a găsi determinantul de ordinul doi, trebuie să scădeți produsul elementelor de-a lungul celei de-a doua diagonale din produsul elementelor diagonalei principale. Exemple. Calculați determinanții de ordinul doi.

În mod similar, putem considera o matrice de ordinul al treilea și determinantul corespunzător. Determinant de ordinul trei, corespunzătoare unei matrice pătrate date de ordinul al treilea, este un număr notat și obținut după cum urmează:

.

Astfel, această formulă oferă expansiunea determinantului de ordinul trei în ceea ce privește elementele primului rând A 11 , A 12 , A 13 și reduce calculul determinantului de ordinul trei la calculul determinanților de ordinul doi. Exemple. Calculați determinantul de ordinul trei.
. (X+3)(4X-4-3X)+4(3X-4X+4)=0. (X+3)(X-4)+4(-X+4)=0. (X-4)(X-1)=0. X 1 = 4, X 2 = 1. În mod similar, putem introduce conceptele de determinanți ai al patrulea, al cincilea etc. ordine, coborându-și ordinea prin expansiune peste elementele din primul rând, în timp ce semnele „+” și „-” alternează pentru termeni.Deci, spre deosebire de matrice, care este un tabel de numere, determinantul este un număr care este într-un anumit fel matrice aliniată.

PROPRIETĂȚILE DETERMINATORILOR

Dovada se efectuează prin verificare, adică prin compararea ambelor părți ale egalității scrise. Calculați determinanții din stânga și din dreapta:

La permutarea a 2 rânduri sau coloane, determinantul va schimba semnul în opus, păstrând valoarea absolută, adică, de exemplu,

Dovada se efectuează în mod similar cu proba proprietății 1 prin compararea ambelor părți. Să o efectuăm pentru determinantul de ordinul doi.

Pentru un determinant de ordinul trei, verificați-vă. Într-adevăr, dacă rearanjam aici al 2-lea și al 3-lea rând, atunci prin proprietatea 2 acest determinant trebuie să-și schimbe semnul, dar determinantul în sine nu se schimbă în acest caz, adică. obține | A| = –|A| sau | A| = 0. Dovada efectuate prin verificare, precum și proprietatea 1. (Independent)

Dacă toate elementele oricărui rând sau coloană a unui determinant sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero. (Dovada – verificare). Dacă toate elementele oricărui rând sau coloană a determinantului sunt prezentate ca sumă a 2 termeni, atunci determinantul poate fi reprezentat ca suma a 2 determinanți conform formulei, de exemplu,

.

Dovada- verificare, similară proprietății 1.

Dacă la orice rând (sau coloană) a determinantului adăugăm elementele corespunzătoare ale altui rând (sau coloană), înmulțite cu același număr, atunci determinantul nu își va modifica valoarea. De exemplu,

. Să demonstrăm această egalitate folosind proprietățile anterioare ale determinantului.
Aceste proprietăți ale determinanților sunt adesea folosite în calculul determinanților și în diverse probleme. ADIȚIUNI ALGEBRICE ȘI MINORI Să avem un determinant de ordinul trei: .Minor corespunzătoare acestui element A ij determinant de ordinul al treilea se numeste determinant de ordinul doi obtinut din cel dat prin stergerea randului si coloanei la intersectia carora se afla elementul dat, i.e. i-a linia și j-a coloană. Minori corespunzătoare unui element dat A ij vom nota M ij .de exemplu, minor M 12 corespunzător elementului A 12 , va fi un determinant , care se obține prin ștergerea rândului 1 și a coloanei a 2-a din determinantul dat.Astfel, formula care determină determinantul de ordinul trei arată că acest determinant este egal cu suma produselor elementelor rândului 1 și a corespunzătoare minori; în timp ce minorul corespunzător elementului A 12 , este luat cu semnul „–”, adică. se poate scrie ca În mod similar, putem introduce definiții ale minorilor pentru determinanții de ordinul doi și de ordinul superior. Să introducem încă un concept. Adunarea algebrică element A ij determinant se numește minorul său M ij, înmulțit cu (–1) i+j .Complement element algebric A ij notat A ij.Din definiție rezultă că relația dintre complementul algebric al unui element și minorul său se exprimă prin egalitate. A ij= (–1) i+j M ij . De exemplu, Exemplu. Dat un determinant. A găsi A 13 , A 21 , A 32 .

Este ușor de observat că folosind complemente algebrice ale elementelor, formula (1) poate fi scrisă ca Conform proprietății 2 a determinantului, avem: Să extindem determinantul obținut prin elementele din primul rând.

.

De aici deoarece determinanții de ordinul doi din formula (2) sunt minorii elementelor A 21 , A 22 , A 23 . Astfel, , i.e. am obţinut descompunerea determinantului prin elementele rândului 2. În mod similar, putem obţine descompunerea determinantului prin elementele rândului al treilea. Folosind proprietatea 1 a determinanților (la transpunere), putem arăta că expansiuni similare sunt valabile și pentru expansiuni în elemente de coloană.Astfel, următoarea teoremă este adevărată. Teoremă (cu privire la extinderea determinantului într-un rând sau coloană dată). Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricăreia dintre rândurile (sau coloanele) sale și complementele lor algebrice.Toate cele de mai sus sunt valabile pentru determinanții de orice ordin superior. Exemple.

Calculați determinantul folosind proprietățile sale. Înainte de a descompune determinantul peste elementele oricărui rând, reducându-l la determinanți de ordinul trei, îl transformăm folosind proprietatea 7, făcând toate elementele din orice rând sau coloană, cu excepția unuia, egale cu zero. În acest caz, este convenabil să luați în considerare a 4-a coloană sau al 4-lea rând:

MATRICE INVERSA

Conceptul de matrice inversă este introdus doar pentru matrici pătrate.În cazul în care un A este o matrice pătrată, atunci verso pentru aceasta, o matrice este o matrice denotată A -1 si satisfacerea conditiei. (Această definiție este introdusă prin analogie cu înmulțirea numerelor) Următoarea teoremă este adevărată: Teorema. Pentru o matrice pătrată A are invers, este necesar și suficient ca determinantul său să fie diferit de zero. Dovada:

Nevoie. Lăsați pentru matrice A există o matrice inversă A -1 . Să arătăm că | A| ≠ 0.

În primul rând, observăm că putem demonstra următoarea proprietate a determinanților . Să presupunem că | A| = 0. Atunci . Dar pe cealaltă parte . Contradicția rezultată demonstrează că | A| ≠ 0. Să arătăm că în acest caz matricea inversă este matricea , Unde A ij complement algebric al unui element A ij. Sa gasim AB=C. Rețineți că toate elementele diagonale ale matricei C va fi egal cu 1. Într-adevăr, de exemplu,

În mod similar, prin teorema expansiunii determinantului în termeni de elemente de rând, se poate demonstra că c 22 = c 33 = 1. În plus, toate elementele off-diagonale ale matricei C sunt egale cu zero. De exemplu,
Prin urmare, AB=E. În mod similar, se poate arăta asta BA=E. Asa de B=A -1 .Astfel, teorema conține o modalitate de a găsi matricea inversă.Dacă sunt îndeplinite condițiile teoremei, atunci matricea inversă matricei se găsește după cum urmează

,

Unde A ij- adunări algebrice de elemente A ij matricea dată A.Deci, pentru a găsi matricea inversă, aveți nevoie de: În mod similar, pentru matricele de ordinul doi, următoarea matrice va fi inversă .Exemple. |A| = 2. Aflați complementele algebrice ale elementelor matricei A. Examinare: . În mod similar A∙A -1 = E. . Să calculăm | A| = 4. Apoi . .

SISTEME DE ECUATII LINEARE

Sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute numit un sistem al formei

Unde A ijși b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sunt câteva numere cunoscute și X 1 ,…,X n- necunoscut. În notarea coeficienţilor A ij primul indice i denotă numărul ecuației, iar al doilea j este numărul necunoscutului la care se află acest coeficient.Coeficienții pentru necunoscute se vor scrie sub forma unei matrice, pe care o vom numi matricea sistemului.Numerele din partea dreaptă a ecuațiilor b 1 ,…,b m numit membri liberi. Agregat n numerele c 1 ,…,c n numit decizie a acestui sistem, dacă fiecare ecuație a sistemului devine o egalitate după înlocuirea numerelor în ea c 1 ,…,c nîn locul necunoscutelor corespunzătoare X 1 ,…,X n.Sarcina noastră va fi să găsim soluții la sistem. În acest caz, pot apărea trei situații: Se numește un sistem de ecuații liniare care are cel puțin o soluție comun. Altfel, i.e. dacă sistemul nu are soluții, atunci se numește incompatibil.Să luăm în considerare modalități de a găsi soluții la sistem. METODĂ MATRIXĂ PENTRU REZOLVARE A SISTEMELOR DE ECUAȚII LINARE Matricele fac posibilă scrierea pe scurt a unui sistem de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:

Luați în considerare matricea sistemului și coloane matrice de membri necunoscuți și liberi Să găsim produsul

acestea. ca rezultat al produsului, obținem părțile din stânga ecuațiilor acestui sistem. Apoi, folosind definiția egalității matriceale, acest sistem poate fi scris ca sau mai scurt A∙X=B.Aici matrice Ași B sunt cunoscute, iar matricea X necunoscut. Ea trebuie găsită, pentru că. elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matriceală.Fie determinantul matricei diferit de zero | A| ≠ 0. Atunci ecuația matriceală se rezolvă după cum urmează. Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A -1 , inversul matricei A: . În măsura în care A -1 A=Eși E∙X=X, apoi obținem soluția ecuației matriceale în forma X=A -1 B .Rețineți că, deoarece matricea inversă poate fi găsită numai pentru matrice pătrată, metoda matricei poate fi utilizată pentru a rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații este același cu numărul de necunoscute. Cu toate acestea, notația matriceală a sistemului este posibilă și în cazul în care numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, atunci matricea A nu este pătrat și, prin urmare, este imposibil să găsiți o soluție la sistem în formă X=A -1 B.Exemple. Rezolvarea sistemelor de ecuații. Să găsim matricea inversă matricei A. , Prin urmare, X = 3, y = – 1.
Asa de, X 1 =4,X 2 =3,X 3 =5. Exprimăm matricea necesară X din ecuația dată. Să găsim matricea DAR -1 . Examinare: Din ecuație obținem . Prin urmare, REGULA LUI CRAMER Să considerăm un sistem de 3 ecuații liniare cu trei necunoscute:

Determinant de ordinul trei corespunzător matricei sistemului, i.e. compus din coeficienți la necunoscute,

numit determinant de sistem.Compuneți încă trei determinanți astfel: înlocuiți în determinantul D succesiv 1, 2 și 3 coloane cu o coloană de membri liberi

Apoi putem demonstra următorul rezultat. Teoremă (regula lui Cramer). Dacă determinantul sistemului este Δ ≠ 0, atunci sistemul luat în considerare are una și o singură soluție și

Dovada. Deci, luați în considerare un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute. Înmulțiți prima ecuație a sistemului cu complementul algebric A 11 element A 11 , a 2-a ecuație - pe A 21 și al treilea - pe A 31 :

Să adăugăm aceste ecuații:

Luați în considerare fiecare dintre paranteze și partea dreaptă a acestei ecuații. Prin teorema expansiunii determinantului în ceea ce privește elementele coloanei I

În mod similar, putem arăta că și... În cele din urmă, este ușor să vedem asta Astfel, se obține egalitatea: .În consecință, .Se derivă în mod similar egalitățile și, din care rezultă enunțul teoremei. Astfel, observăm că dacă determinantul sistemului Δ ≠ 0, atunci sistemul are o soluție unică și viceversa. Dacă determinantul sistemului este egal cu zero, atunci sistemul fie are un set infinit de soluții, fie nu are soluții, adică. incompatibil. Exemple. Rezolvați un sistem de ecuații
Asa de, X=1, la=2, z=3. Sistemul are o soluție unică dacă Δ ≠ 0. . Asa de . METODA GAUSS Metodele considerate anterior pot fi folosite pentru a rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute, iar determinantul sistemului trebuie să fie diferit de zero. Metoda Gaussiană este mai universală și este potrivită pentru sisteme cu orice număr de ecuații. Constă în eliminarea succesivă a necunoscutelor din ecuațiile sistemului Considerăm din nou un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:

.

FILIALA KOSTROMA A UNIVERSITĂȚII MILITARE DE PROTECȚIE RCHB

Departamentul „Automatizarea comenzii și controlului”

Doar pentru profesori

"Sunt de acord"

Șef Departament Nr.9

Colonelul YAKOVLEV A.B.

„____” ______________ 2004

Conf. univ. A.I. Smirnova

„DETERMINATORI.

SOLUȚIONAREA SISTEMELOR DE ECUAȚII LINARE”

PRELARE № 2 / 1

Discutate în ședința catedrei nr.9

„____” ___________ 2004

Protocol nr. ___________

Kostroma, 2004.

Introducere

1. Determinanți de ordinul doi și al treilea.

2. Proprietăţile determinanţilor. Teorema de descompunere.

3. Teorema lui Cramer.

Concluzie

Literatură

1. V.E. Schneider et al., A Short Course in Higher Mathematics, Volumul I, Cap. 2, punctul 1.

2. V.S. Şchipaciov, Matematică superioară, cap.10, p.2.

INTRODUCERE

Prelegerea tratează determinanții de ordinul doi și trei, proprietățile acestora. La fel și teorema lui Cramer, care permite rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind determinanți. Determinanții sunt utilizați și mai târziu în subiectul „Algebra vectorială” atunci când se calculează produsul încrucișat al vectorilor.

Prima întrebare de studiu CALIFICAREA CELUI AL DOILEA ŞI AL TREILEA

ORDIN

Luați în considerare un tabel cu patru numere de formă

Numerele din tabel sunt notate printr-o literă cu doi indici. Primul index indică numărul rândului, al doilea index indică numărul coloanei.

DEFINIȚIA 1. Determinant de ordinul doi numit expresie drăguț :

(1)

Numerele A 11, …, A 22 se numesc elementele determinantului.

Diagonală formată din elemente A 11 ; A 22 se numește principală, iar diagonala formată din elemente A 12 ; A 21 - pe lateral.

Astfel, determinantul de ordinul doi este egal cu diferența dintre produsele elementelor diagonalei principale și secundare.

Rețineți că răspunsul este un număr.

EXEMPLE. Calculati:

Luați în considerare acum un tabel cu nouă numere scrise pe trei rânduri și trei coloane:

DEFINIȚIA 2. Determinant de ordinul trei se numește expresie a formei :

Elemente A 11; A 22 ; A 33 - formează diagonala principală.

Numerele A 13; A 22 ; A 31 - formați o diagonală laterală.

Să descriem, schematic, cum se formează termenii cu plus și minus:

" + " " – "

Plusul include: produsul elementelor de pe diagonala principală, ceilalți doi termeni sunt produsul elementelor situate la vârfurile triunghiurilor cu bazele paralele cu diagonala principală.

Termenii cu minus sunt formați în același mod față de diagonala secundară.

Această regulă pentru calcularea determinantului de ordinul trei se numește

dreapta

EXEMPLE. Calculați după regula triunghiurilor:

COMETARIU. Determinanții se mai numesc și determinanți.

a 2-a întrebare de studiu PROPRIETĂȚILE DETERMINATORILOR.

TEOREMA DE EXPANSIUNE

Proprietatea 1. Valoarea determinantului nu se va modifica dacă rândurile sale sunt schimbate cu coloanele corespunzătoare.

.

Lărgând ambii determinanți, suntem convinși de validitatea egalității.

Proprietatea 1 stabilește egalitatea rândurilor și coloanelor determinantului. Prin urmare, toate proprietățile suplimentare ale determinantului vor fi formulate atât pentru rânduri, cât și pentru coloane.

Proprietatea 2. Atunci când două rânduri (sau coloane) sunt schimbate, determinantul schimbă semnul opus, păstrând valoarea absolută. .

.

Proprietatea 3. Multiplicator comun al elementelor de rând (sau coloană)poate fi scos din semnul determinantului.

.

Proprietatea 4. Dacă determinantul are două rânduri (sau coloane) identice, atunci este egal cu zero.

Această proprietate poate fi dovedită prin verificare directă sau poate fi utilizată proprietatea 2.

Notați determinantul prin D. Când două rânduri identice primul și al doilea sunt interschimbate, acesta nu se va schimba, iar prin a doua proprietate trebuie să schimbe semnul, adică.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

Proprietatea 5. Dacă toate elementele unui șir (sau coloană)sunt zero, atunci determinantul este zero.

Această proprietate poate fi considerată ca un caz special al proprietății 3 cu

Proprietatea 6. Dacă elementele a două rânduri (sau coloane)determinanții sunt proporționali, atunci determinantul este zero.

.

Se poate dovedi prin verificare directă sau prin utilizarea proprietăților 3 și 4.

Proprietatea 7. Valoarea determinantului nu se modifică dacă elementele oricărui rând (sau coloană) sunt adăugate elementelor corespunzătoare ale altui rând (sau coloane), înmulțite cu același număr.

.

Se dovedeste prin verificare directa.

Utilizarea acestor proprietăți poate facilita în unele cazuri procesul de calcul al determinanților, în special de ordinul trei.

Pentru ceea ce urmează, avem nevoie de conceptele de complement minor și algebric. Luați în considerare aceste concepte pentru a defini al treilea ordin.

DEFINIȚIA 3. Minor a unui element dat al unui determinant de ordinul trei se numește determinant de ordinul doi obținut de la unul dat prin ștergerea rândului și coloanei la intersecția cărora se află elementul dat.

Element minor A i j notat M i j. Deci pentru element A 11 minor

Se obține prin ștergerea primului rând și a primei coloane din determinantul de ordinul trei.

DEFINIȚIA 4. Complement algebric al elementului determinant numiți-o minor înmulțit cu (-1)k , Unde k - suma numerelor de rând și coloane la intersecția cărora se află elementul dat.

Adunarea elementelor algebrice A i j notat DAR i j .

Prin urmare, DAR i j =

.

Să scriem complementele algebrice pentru elemente A 11 și A 12.

. .

Este util să ne amintim regula: complementul algebric al unui element al unui determinant este egal cu minorul său cu semn la care se adauga, dacă suma numerelor rândurilor și coloanelor în care se află elementul, chiar, si cu semn minus dacă această sumă ciudat .

Răspuns: Metoda lui Cramer se bazează pe utilizarea determinanților în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acest lucru accelerează foarte mult procesul de soluție.

Definiție. Determinantul, compus din coeficienții necunoscutelor, se numește determinant al sistemului și se notează cu (delta).

Determinanți

se obțin prin înlocuirea coeficienților la necunoscutele corespunzătoare cu termeni liberi:

;

.

Formulele lui Cramer pentru găsirea necunoscutelor:

.

Găsirea valorilor și este posibilă numai dacă

Această concluzie rezultă din următoarea teoremă.

teorema lui Cramer. Dacă determinantul sistemului este diferit de zero, atunci sistemul de ecuații liniare are o singură soluție, iar necunoscuta este egală cu raportul determinanților. Numitorul conține determinantul sistemului, iar numărătorul conține determinantul obținut din determinantul sistemului prin înlocuirea coeficienților cu necunoscutul prin termeni liberi. Această teoremă este valabilă pentru un sistem de ecuații liniare de orice ordin.

Exemplul 1. Rezolvați un sistem de ecuații liniare:

Conform teoremei lui Cramer, avem:

Deci, soluția sistemului (2):
9.operatii pe platouri. diagrame Vienne.

Diagramele Euler-Venn sunt reprezentări geometrice ale mulțimilor. Construcția diagramei constă în imaginea unui dreptunghi mare reprezentând mulțimea universală U, iar în interiorul acestuia - cercuri (sau alte figuri închise) reprezentând mulțimile. Cifrele trebuie să se intersecteze în cazul cel mai general solicitat în problemă și trebuie să fie etichetate corespunzător. Punctele aflate în interiorul diferitelor zone ale diagramei pot fi considerate elemente ale mulțimilor corespunzătoare. Cu diagrama construită, anumite zone pot fi umbrite pentru a indica seturi nou formate.

Operațiile cu set sunt considerate pentru a obține seturi noi din cele existente.

Definiție. Unirea mulțimilor A și B este o mulțime formată din toate acele elemente care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimile A, B (Fig. 1):

Definiție. Intersecția mulțimilor A și B este o mulțime formată din toate acele și numai acele elemente care aparțin simultan atât mulțimii A cât și mulțimii B (Fig. 2):

Definiție. Diferența mulțimilor A și B este mulțimea tuturor acelor și numai acelor elemente ale lui A care nu sunt conținute în B (Fig. 3):

Definiție. Diferența simetrică a mulțimilor A și B este mulțimea de elemente ale acestor mulțimi care aparțin fie numai mulțimii A, fie numai mulțimii B (Fig. 4):

11. afișare (funcție), domeniu de definiție, imagini ale seturi în timpul afișajului, set de valori ale funcției și graficul acestuia.

Răspuns: O mapare a mulțimii E la mulțimea F, sau o funcție definită pe E cu valori în F, este o regulă, sau legea f, care atribuie un anumit element fiecărui element.

Elementul se numește element independent, sau argumentul funcției f, elementul se numește valoarea funcției f, sau imagine; elementul se numește preimagine a elementului .

Maparea (funcția) este de obicei notă cu litera f sau simbolul , indicând faptul că f mapează mulțimea E la F. Se folosește și notația, indicând faptul că elementul x corespunde elementului f(x). Uneori este convenabil să definiți o funcție prin intermediul egalității, care conține legea corespondenței. De exemplu, puteți spune că „funcția f este definită de egalitate”. Dacă „y” este denumirea generală a elementelor mulțimii F, adică F = (y), atunci maparea se scrie ca o egalitate y = f(x) și se spune că această mapare este dată explicit.

2. Imaginea și imaginea inversă a unui set sub o mapare dată

Să fie date o mapare și un set.

Mulțimea elementelor din F, fiecare dintre acestea fiind imaginea a cel puțin unui element din D sub maparea f, se numește imaginea mulțimii D și se notează cu f(D).

Evident, .

Acum lăsați setul să fie dat.

Mulțimea elementelor astfel încât se numește imaginea inversă a mulțimii Y sub maparea f și se notează cu f -1 (Y).

Daca atunci . Dacă pentru fiecare mulțime f -1 (y) constă din cel mult un element, atunci f se numește o mapare unu-la-unu de la E la F. Cu toate acestea, se poate defini o mapare unu-la-unu f a unei mulțimi E la F.

Afișajul se numește:

Injectiv (sau injecție, sau mapare unu-la-unu a mulțimii E în F), dacă , sau dacă ecuația f(x) = y are cel mult o soluție;

Surjectiv (sau o suprajecție, sau o mapare a mulțimii E pe F) dacă f(E) = F și dacă ecuația f(x) = y are cel puțin o soluție;

O bijectivă (sau o bijecție, sau o mapare unu-la-unu a unei mulțimi E pe F) dacă este injectivă și surjectivă, sau dacă ecuația f(x) = y are una și o singură soluție.

3. Suprapunerea cartografiilor. Mapări inverse, parametrice și implicite

1) Fie și . Deoarece , maparea g atribuie un anumit element fiecărui element.

Astfel, prin intermediul regulii, fiecăruia i se atribuie un element

Astfel, este definită o nouă mapare (sau o nouă funcție), pe care o vom numi o compoziție de mapări, sau o suprapunere de mapări, sau o mapare complexă.

2) Fie o mapare bijectivă și F = (y). Deoarece f este bijectivă, fiecare corespunde unei imagini unitare x, pe care o notăm cu f -1 (y) și astfel încât f(x) = y. Astfel, este definită maparea, care se numește inversul mapării f, sau funcția inversă a funcției f.

În mod evident, maparea f este inversă mapării f -1. Prin urmare, mapările f și f -1 sunt numite reciproc inverse. Pentru ei, relațiile

și cel puțin una dintre aceste mapări, de exemplu, este bijectivă. Apoi există o mapare inversă și, prin urmare,.

Se spune că o mapare definită în acest fel este dată parametric cu ajutorul mapărilor; unde variabila de la care se numește parametru.

4) Lăsați maparea să fie definită pe mulțime, unde mulțimea conține un element zero. Să presupunem că există mulțimi astfel încât pentru fiecare ecuație fixă ​​să aibă o soluție unică. Apoi pe mulțimea E se poate defini o mapare care să atribuie fiecăruia valoarea care, pentru x dat, este o soluție a ecuației.

Referitor la cartografierea așa definită

ei spun ca este dat implicit prin intermediul ecuatiei .

5) Maparea se numește o extensie a mapării , iar g este o contracție a mapării f dacă și .

Restricția unei mapări la o mulțime este uneori indicată prin simbolul .

6) Un grafic de afișare este un set

Este clar că.

12. funcţii monotone. Funcția inversă, teorema existenței. Funcții y=arcsinx y=arcos x x proprietăți și grafică.

Răspuns: O funcție monotonă este o funcție a cărei increment nu își schimbă semnul, adică este fie întotdeauna nenegativă, fie întotdeauna nepozitivă. Dacă, în plus, incrementul nu este egal cu zero, atunci funcția se numește strict monotonă.

Să fie o funcție f(x) definită pe segment , ale căror valori aparțin unui anumit segment . În cazul în care un

apoi spun că pe segment funcţia inversă funcţiei f(x) se defineşte şi se notează astfel: x=f (-1) (y).

Fiți atenți la diferența dintre această definiție și definiția segmentului de completat. peste tot. În definiția lui f (-1) (...) există un cuantificator, i.e. valoarea lui x, care asigură egalitatea y=f(x), trebuie să fie unică, în timp ce în definiția segmentului se umple cuantificatorul este solid, ceea ce înseamnă că pot exista mai multe valori ale lui x care satisfac egalitatea y=f(x).

De obicei, vorbind despre funcția inversă, înlocuiți x cu y și y cu x (x "y) și scrieți y \u003d f (-1) (x). Evident, funcția originală f(x) și funcția inversă f (-1) (x) satisfac relația

f (-1) (f(x))=f(f (-1) (x))=x.

Graficele funcțiilor originale și inversă sunt obținute una de la cealaltă prin oglindire față de bisectoarea primului cadran.

Teorema. Fie definită funcția f(x), continuă și strict monoton crescătoare (descrescătoare) pe intervalul . Apoi funcția inversă f (-1) (x) este definită pe interval, care este tot continuu și strict monoton crescător (descrescător).

Dovada.

Să demonstrăm teorema pentru cazul în care f(x) este strict crescător monoton.

1. Existenta unei functii inverse.

Deoarece, prin ipoteza teoremei, f(x) este continuu, atunci, conform teoremei anterioare, segmentul este complet umplut. Înseamnă că.

Să demonstrăm că x este unic. Într-adevăr, dacă luăm x'>x, atunci va fi f(x')>f(x)=y și deci f(x')>y. daca iei x''

2. Monotonitatea funcției inverse.

Să facem înlocuirea obișnuită x "y și să scriem y = f (-1) (x). Aceasta înseamnă că x=f(y).

Fie x 1 >x 2 . Apoi:

y 1 \u003d f (-1) (x 1); x 1 =f(y 1)

y 2 \u003d f (-1) (x 2); x 2 \u003d f (y 2)

Care este relația dintre y 1 și y 2? Să verificăm opțiunile.

a) y 1 x 2 .

b) y 1 \u003d y 2? Dar atunci f(y 1)=f(y 2) și x 1 =x 2 , și am avut x 1 >x 2 .

c) Singura opțiune rămasă este y 1 >y 2 , adică. Dar atunci f (-1) (x 1)>f (-1) (x 2), iar asta înseamnă că f (-1) (...) este strict crescător monoton.

3. Continuitatea funcției inverse.

pentru că valorile funcției inverse umplu complet segmentul, apoi, conform teoremei anterioare, f (-1) (…) este continuă.<

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0);">

y = arcsin x	y = arccos x
funcția inversă a funcției y = sin x, - / 2 x / 2	funcția inversă a funcției y = cos x, 0 x

<="" a="" style="color: rgb(0, 0, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

y = arctan x	y = arcctg x
funcția inversă a funcției y = tg x, - / 2< x < / 2	funcția inversă a funcției y = ctg x, 0< x <

13.Compunerea funcției. functii elementare. Funcțiile y=arctg x , y = arcctg x, proprietățile și graficele lor.

Răspuns: În matematică, alcătuirea funcțiilor (suprapunerea funcțiilor) este aplicarea unei funcții la rezultatul alteia.

Compoziția funcțiilor G și F se notează de obicei G∘F, ceea ce înseamnă aplicarea funcției G la rezultatul funcției F.

Fie F:X→Y și G:F(X)⊂Y→Z două funcții. Atunci compoziția lor este funcția G∘F:X→Z definită de egalitatea:

(G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X.

Funcții elementare - funcții care pot fi obținute folosind un număr finit de operații aritmetice și compoziții din următoarele funcții elementare de bază:

• algebric:
• putere;
• raţional.
• transcendent:
• exponențial și logaritmic;
• trigonometric și trigonometric invers.

Fiecare funcție elementară poate fi definită printr-o formulă, adică un set de un număr finit de simboluri corespunzător operațiilor utilizate. Toate funcțiile elementare sunt continue pe domeniul lor de definire.

Uneori, funcțiile elementare de bază includ și funcții hiperbolice și hiperbolice inverse, deși ele pot fi exprimate în termenii funcțiilor elementare de bază enumerate mai sus.

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

y > 0 pentru x R EXTREMA: Nu Nu GAPELE DE MONOTONITATE: crește la x R scade la x R