Până acum, am luat în considerare ecuațiile dreptelor de pe plan, care relaționează direct coordonatele curente ale punctelor acestor drepte. Cu toate acestea, este adesea folosit un alt mod de specificare a liniei, în care coordonatele curente sunt considerate ca funcții ale unei a treia variabile.

Să fie date două funcții ale unei variabile

considerat pentru aceleași valori ale lui t. Atunci oricare dintre aceste valori ale lui t corespunde unei anumite valori și unei anumite valori a lui y și, în consecință, la un anumit punct. Când variabila t parcurge toate valorile din zona de definire a funcției (73), punctul descrie o linie С din plan.Ecuațiile (73) se numesc ecuații parametrice ale acestei linii, iar variabila se numește parametru.

Presupunem că funcția are o funcție inversă Substituind această funcție în a doua dintre ecuațiile (73), obținem ecuația

exprimând y ca funcție

Să fim de acord să spunem că această funcție este dată parametric de ecuațiile (73). Trecerea de la aceste ecuații la ecuația (74) se numește eliminarea parametrului. Când luăm în considerare funcțiile definite parametric, excluderea parametrului nu numai că nu este necesară, dar nici nu este întotdeauna posibilă practic.

În multe cazuri, este mult mai convenabil, având în vedere valori diferite ale parametrului, să se calculeze apoi, folosind formulele (73), valorile corespunzătoare ale argumentului și funcției y.

Luați în considerare exemple.

Exemplul 1. Fie un punct arbitrar al unui cerc centrat pe originea și raza R. Coordonatele carteziene x și y ale acestui punct sunt exprimate în termenii razei sale polare și unghiului polar, pe care le notăm aici cu t, după cum urmează ( vezi cap. I, § 3, punctul 3):

Ecuațiile (75) se numesc ecuații parametrice ale cercului. Parametrul din ele este unghiul polar, care variază de la 0 la.

Dacă ecuațiile (75) sunt pătrate și adăugate termen cu termen, atunci, datorită identității, parametrul va fi eliminat și se va obține ecuația cercului din sistemul de coordonate carteziene, care definește două funcții elementare:

Fiecare dintre aceste funcții este specificată parametric prin ecuațiile (75), dar intervalele de variație a parametrilor pentru aceste funcții sunt diferite. Pentru primul; graficul acestei funcții este semicercul superior. Pentru a doua funcție, graficul său este semicercul inferior.

Exemplul 2. Considerăm o elipsă în același timp

şi un cerc centrat la origine şi raza a (Fig. 138).

Fiecărui punct M al elipsei, asociem un punct N al cercului, care are aceeași abscisă cu punctul M și este situat cu acesta de aceeași parte a axei Ox. Poziția punctului N și, prin urmare, a punctului M, este complet determinată de unghiul polar t al punctului. În acest caz, pentru abscisa lor comună, obținem următoarea expresie: x \u003d a. Găsim ordonata în punctul M din ecuația elipsei:

Semnul este ales deoarece ordonata din punctul M și ordonata din punctul N trebuie să aibă aceleași semne.

Astfel, se obțin următoarele ecuații parametrice pentru elipsă:

Aici parametrul t se modifică de la 0 la .

Exemplul 3. Să considerăm un cerc cu un centru în punctul a) și cu raza a, care, evident, atinge axa x la origine (Fig. 139). Să presupunem că acest cerc se rostogolește fără să alunece de-a lungul axei x. Apoi punctul M al cercului, care a coincis în momentul inițial cu originea, descrie o dreaptă, care se numește cicloidă.

Deducem ecuațiile parametrice ale cicloidei, luând ca parametru t unghiul de rotație al cercului MSW la deplasarea punctului său fix din poziția O în poziția M. Atunci pentru coordonatele și y ale punctului M obținem următoarele expresii:

Datorită faptului că cercul se rostogolește de-a lungul axei fără alunecare, lungimea segmentului OB este egală cu lungimea arcului VM. Deoarece lungimea arcului VM este egală cu produsul dintre raza a și unghiul central t, atunci . De aceea . Dar, prin urmare,

Aceste ecuații sunt ecuațiile parametrice ale cicloidei. La schimbarea parametrului t de la 0 la cerc se va face o revoluție completă. Punctul M va descrie un arc al cicloidei.

Excluderea parametrului t duce aici la expresii greoaie și este practic nepractică.

Definiția parametrică a liniilor este folosită în special în mecanică, iar timpul joacă rolul unui parametru.

Exemplul 4. Să determinăm traiectoria unui proiectil tras dintr-un tun cu o viteză inițială la un unghi a față de orizont. Rezistența aerului și dimensiunile proiectilului, considerându-l ca punct material, sunt neglijate.

Să alegem un sistem de coordonate. Pentru originea coordonatelor, luăm punctul de plecare al proiectilului din bot. Să direcționăm axa Ox pe orizontală, iar axa Oy - pe verticală, așezându-le în același plan cu botul pistolului. Dacă nu ar exista forță gravitațională, proiectilul s-ar deplasa de-a lungul unei linii drepte formând un unghi a cu axa Ox, iar în momentul t proiectilul ar fi parcurs distanța. Datorită gravitației pământului, proiectilul trebuie să coboare în acest moment vertical cu o valoare.De aceea, în realitate, la momentul t, coordonatele proiectilului sunt determinate de formulele:

Aceste ecuații sunt constante. Când t se schimbă, coordonatele punctului traiectoriei proiectilului se vor schimba și ele. Ecuațiile sunt ecuații parametrice ale traiectoriei proiectilului, în care parametrul este timpul

Exprimând din prima ecuație și substituind-o în

a doua ecuație, obținem ecuația traiectoriei proiectilului sub forma Aceasta este ecuația unei parabole.

Să luăm în considerare definiția unei drepte pe plan, în care variabilele x, y sunt funcții ale celei de-a treia variabile t (numită parametru):

Pentru fiecare valoare t dintr-un anumit interval corespund anumite valori Xși y, și, deci un anumit punct M(x, y) al planului. Când t parcurge toate valorile dintr-un interval dat, apoi punctul M (X y) descrie o linie L. Ecuațiile (2.2) se numesc ecuații parametrice ale dreptei L.

Dacă funcția x = φ(t) are un invers t = Ф(x), atunci substituind această expresie în ecuația y = g(t), obținem y = g(Ф(x)), care specifică y ca o funcție a X. În acest caz, se spune că ecuațiile (2.2) definesc funcția y parametric.

Exemplul 1 Lăsa M (x, y) este un punct arbitrar al cercului de rază Rși centrat la origine. Lăsa t- unghiul dintre axe Bou si raza OM(A se vedea figura 2.3). Apoi X y exprimat prin t:

Ecuațiile (2.3) sunt ecuații parametrice ale cercului. Să excludem parametrul t din ecuațiile (2.3). Pentru a face acest lucru, pătram fiecare dintre ecuații și o adunăm, obținem: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) sau x 2 + y 2 \u003d R 2 - ecuația cercului în sistemul de coordonate carteziene. Definește două funcții: Fiecare dintre aceste funcții este dată de ecuații parametrice (2.3), dar pentru prima funcție și pentru a doua.

Exemplul 2. Ecuații parametrice

definiți o elipsă cu semiaxele a, b(Fig. 2.4). Eliminarea parametrului din ecuații t, obținem ecuația canonică a elipsei:

Exemplul 3. Un cicloid este o linie descrisă de un punct situat pe un cerc dacă acest cerc se rostogolește fără să alunece de-a lungul unei linii drepte (Fig. 2.5). Să introducem ecuațiile parametrice ale cicloidei. Fie raza cercului de rulare A, punct M, descriind cicloidul, la începutul mișcării a coincis cu originea.

Să stabilim coordonatele X, y puncte M după ce cercul s-a rotit printr-un unghi t
(Fig. 2.5), t = ÐMCB. Lungimea arcului MB egală cu lungimea segmentului OB, din moment ce cercul se rostogolește fără să alunece, deci

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB - CD = a - acost = a(1 - cost).

Deci, se obțin ecuațiile parametrice ale cicloidei:

La modificarea parametrului t de la 0 la 2π cercul este rotit cu o rotație, în timp ce punctul M descrie un arc al cicloidului. Ecuațiile (2.5) definesc y ca o funcție a X. Deşi funcţia x = a(t - sint) are o funcție inversă, dar nu se exprimă în termeni de funcții elementare, deci funcția y = f(x) nu se exprimă în termeni de funcţii elementare.

Se consideră diferențierea funcției dată parametric prin ecuațiile (2.2). Funcția x = φ(t) pe un anumit interval de schimbare t are funcție inversă t = Ф(x), apoi y = g(Ф(x)). Lăsa x = φ(t), y = g(t) au derivate și x"t≠0. Conform regulii de diferenţiere a unei funcţii complexe y"x=y"t×t"x. Pe baza regulii de diferențiere a funcției inverse, prin urmare:

Formula rezultată (2.6) permite găsirea derivatei pentru o funcție dată parametric.

Exemplul 4. Fie funcția y, în funcție de X, este setat parametric:

Soluţie. .
Exemplul 5 Găsiți panta k tangentă la cicloidă în punctul M 0 corespunzător valorii parametrului .
Soluţie. Din ecuațiile cicloidale: y" t = asint, x" t = a(1 - cost), de aceea

Panta unei tangente într-un punct M0 egal cu valoarea la t 0 \u003d π / 4:

FUNCȚIE DIFERENȚIALĂ

Lăsați funcția într-un punct x0 are un derivat. Prin definitie:
prin urmare, prin proprietățile limitei (Sec. 1.8) , unde A este infinit de mic la ∆x → 0. De aici

Δy = f „(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Ca Δx → 0, al doilea termen din egalitatea (2.7) este de ordin superior infinitezimal, în comparație cu , prin urmare Δy și f "(x 0) × Δx sunt echivalente, infinitezimale (pentru f "(x 0) ≠ 0).

Astfel, incrementul funcției Δy este format din doi termeni, dintre care primul f "(x 0) × Δx este parte principală incremente Δy, liniare în raport cu Δx (pentru f "(x 0) ≠ 0).

Diferenţial funcția f(x) în punctul x 0 se numește partea principală a incrementului funcției și se notează: dy sau df(x0). Prin urmare,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Exemplul 1 Aflați diferența unei funcții dyși incrementul funcției Δy pentru funcția y \u003d x 2 când:
1) arbitrar Xși Δ X; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1.

Soluţie

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx.

2) Dacă x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1, atunci Δy \u003d 40 × 0,1 + (0,1) 2 \u003d 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Scriem egalitatea (2.7) sub forma:

Δy = dy + a×Δx. (2,9)

Incrementul Δy diferă de diferenţial dy la un ordin infinitezimal superior, în comparație cu Δx, prin urmare, în calcule aproximative, egalitatea aproximativă Δy ≈ dy este utilizată dacă Δx este suficient de mic.

Având în vedere că Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0), obținem o formulă aproximativă:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2,10)

Exemplul 2. Calculați aproximativ.

Soluţie. Considera:

Folosind formula (2.10), obținem:

Prin urmare, ≈ 2,025.

Luați în considerare semnificația geometrică a diferenţialului df(x0)(Fig. 2.6).

Desenați o tangentă la graficul funcției y = f (x) în punctul M 0 (x0, f (x 0)), fie φ unghiul dintre tangenta KM0 și axa Ox, apoi f "(x 0) ) = tgφ. Din ΔM0NP:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0). Dar PN este incrementul ordonatei tangentei atunci când x se schimbă de la x 0 la x 0 + Δx.

Prin urmare, diferența funcției f(x) în punctul x 0 este egală cu incrementul ordonatei tangentei.

Să găsim diferența funcției
y=x. Deoarece (x)" = 1, atunci dx = 1 × Δx = Δx. Presupunem că diferența variabilei independente x este egală cu incrementul acesteia, adică dx = Δx.

Dacă x este un număr arbitrar, atunci din egalitatea (2.8) obținem df(x) = f "(x)dx, de unde .
Astfel, derivata pentru funcția y = f(x) este egală cu raportul dintre diferența sa și diferența argumentului.

Luați în considerare proprietățile diferențialei unei funcții.

Dacă u(x), v(x) sunt funcții diferențiabile, atunci următoarele formule sunt adevărate:

Pentru a demonstra aceste formule, se folosesc formule derivate pentru sumă, produs și coeficient. Să demonstrăm, de exemplu, formula (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Se consideră diferența unei funcții complexe: y = f(x), x = φ(t), adică. y = f(φ(t)).

Atunci dy = y" t dt, dar y" t = y" x ×x" t , deci dy =y" x x" t dt. Luand in considerare,

că x" t = dx, obținem dy = y" x dx =f "(x)dx.

Astfel, diferența unei funcții complexe y \u003d f (x), unde x \u003d φ (t), are forma dy \u003d f "(x) dx, la fel ca atunci când x este o variabilă independentă. Această proprietate se numește diferenţial invariant de formă A.

Diferențierea logaritmică

Derivate ale funcţiilor elementare

Reguli de bază de diferențiere

Diferenţial de funcţie

Partea liniară principală a incrementului funcției A D Xîn definiţia diferenţiabilităţii unei funcţii

D f=f(X)-f(X 0)=A(x-x 0)+o(x-x 0), x®x 0

se numește diferența funcției f(X) la punct X 0 și notat

df(X 0)=f¢(X 0)D x= A D X.

Diferența depinde de punct X 0 și din incrementul D X. Pe D Xîn timp ce o privim ca pe o variabilă independentă, astfel încât în fiecare punct diferența este o funcție liniară a incrementului D X.

Dacă considerăm ca o funcție f(X)=x, apoi primim dx= D x, dy=Adx. Acest lucru este în concordanță cu notația Leibniz

Interpretarea geometrică a diferenţialului ca un increment al ordonatei tangentei.

Orez. 4.3

1) f= const , f¢= 0, df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Consecinţă. (cf(X))¢=cf¢(X), (c 1 f 1 (X)+…+c n f n(X))¢= c 1 f¢ 1 (X)+…+ c n f¢ n(X)

4) f=u/v, v(X 0)¹0 și derivata există, atunci f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .

Pentru concizie, vom desemna u=u(X), u 0 =u(X 0), atunci

Trecerea la limita la D x® 0 obţinem egalitatea cerută.

5) Derivată a unei funcții complexe.

Teorema. Dacă există f¢(X 0), g¢(X 0)și x 0 =g(t 0), apoi în vreun cartier t 0 o funcție complexă f(g(t)), este diferențiabilă în punctul t 0 și

Dovada.

f(X)-f(X 0)=f¢(X 0)(x-x 0)+ A( X)(x-x 0), XÎ U(X 0).

f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(X 0)(g(t)-g(t 0))+ A( g(t))(g(t)-g(t 0)).

Împărțiți ambele părți ale acestei egalități la ( t - t 0) si trece la limita la t®t 0 .

6) Calculul derivatei funcției inverse.

Teorema. Fie f continuu și strict monoton pe[a,b]. Fie în punctul x 0 Î( a,b)există f¢(X 0)¹ 0 , atunci funcția inversă x=f -1 (y)are în punctul y 0 derivată egală cu

Dovada. Noi credem f crescând strict monoton, deci f -1 (y) este continuă, crescând monoton pe [ f(A),f(b)]. Sa punem y 0 =f(X 0), y=f(X), x - x 0=D X,

a-a 0=D y. Datorită continuității funcției inverse D y®0 Þ D X®0, avem

Trecând la limită, obținem egalitatea necesară.

7) Derivata unei funcții pare este impară, derivata unei funcții impare este pară.

Într-adevăr, dacă x®-x 0 , apoi - x® x 0 , de aceea

Pentru o funcție pară pentru o funcție impară

1) f= const, f¢(X)=0.

2) f(X)=x, f¢(X)=1.

3) f(X)=e x, f¢(X)= e x ,

4) f(X)=a x,(un x)¢ = x ln A.

5) ln A.

6) f(X)=ln X ,

Consecinţă. (derivata unei funcții pare este impară)

7) (X m )¢= m X m-1 , X>0, X m =e m ln X .

8) (păcat X)¢= cos X,

9) (cos X)¢=- păcat X,(cos X)¢= (păcat( x+ p/2)) ¢= cos( x+ p/2)=-sin X.

10) (tg X)¢= 1/cos 2 X.

11) (ctg X)¢= -1/sin2 X.

16) sh X, cap X.

f(x),, de unde rezultă că f¢(X)=f(X)(ln f(X))¢ .

Aceeași formulă poate fi obținută diferit f(X)=e ln f(X) , f¢=e ln f(X) (ln f(X))¢.

Exemplu. Calculați derivata unei funcții f=x x .

=x x = x x = x x = x x(ln x + 1).

Locusul punctelor dintr-un avion

va fi numit graficul funcției, dat parametric. Ei vorbesc și despre definiția parametrică a unei funcții.

Observație 1.În cazul în care un X y continuu pe [a,b] și X(t) strict monoton pe segment (de exemplu, crescând strict monoton), apoi pe [ a,b], a=x(A) ,b=x(b) functie definita f(X)=y(t(X)), unde t(X) – funcție inversă cu x(t). Graficul acestei funcții este același cu graficul funcției

Dacă domeniul de aplicare funcția definită parametric poate fi împărțită într-un număr finit de segmente ,k= 1,2,…,n, pe fiecare dintre care funcţia X(t) este strict monotonă, atunci funcția definită parametric se descompune într-un număr finit de funcții obișnuite f k(X)=y(t -1 (X)) cu lunete [ X(A k), X(b k)] pentru zone ascendente X(t) și cu domenii [ X(b k), X(A k)] pentru secțiuni descrescătoare ale funcției X(t). Funcțiile obținute în acest fel se numesc ramuri cu o singură valoare ale unei funcții definite parametric.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite parametric

Cu parametrizarea aleasă, domeniul de definire este împărțit în cinci secțiuni de monotonitate strictă a funcției sin(2 t), exact: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , și, în consecință, graficul se va împărți în cinci ramuri cu o singură valoare corespunzătoare acestor secțiuni.

Orez. 4.4

Orez. 4.5

Puteți alege o altă parametrizare a aceluiași loc de puncte

În acest caz, vor exista doar patru astfel de ramuri. Ele vor corespunde zonelor de monotonitate strictă tÎ ,tÎ , tÎ ,tÎ funcții păcatul (2 t).

Orez. 4.6

Patru secțiuni de monotonitate ale funcției sin(2 t) pe un segment lung.

Orez. 4.7

Imaginea ambelor grafice într-o singură figură vă permite să reprezentați aproximativ graficul unei funcții date parametric, folosind zonele de monotonitate ale ambelor funcții.

Luați în considerare, de exemplu, prima ramură corespunzătoare segmentului tÎ . La sfârșitul acestei secțiuni, funcția x= păcatul (2 t) ia valorile -1 și 1 , deci această ramură va fi definită pe [-1,1] . După aceea, trebuie să vă uitați la zonele de monotonitate ale celei de-a doua funcții y= cos( t), ea are două zone de monotonitate . Acest lucru ne permite să spunem că prima ramură are două segmente de monotonitate. După ce au găsit punctele finale ale graficului, le puteți conecta cu linii drepte pentru a indica natura monotoniei graficului. După ce am făcut acest lucru cu fiecare ramură, obținem zone de monotonitate ale ramurilor cu o singură valoare ale graficului (în figură sunt evidențiate cu roșu)

Orez. 4.8

Prima ramură unică f 1 (X)=y(t(X)) , corespunzător secțiunii va fi determinat pentru Xн[-1,1] . Prima ramură unică tÎ , XО[-1,1].

Toate celelalte trei ramuri vor avea, de asemenea, setul [-1,1] ca domeniu .

Orez. 4.9

A doua ramură tÎ XО[-1,1].

Orez. 4.10

A treia ramură tÎ Xн[-1,1]

Orez. 4.11

A patra ramură tÎ Xн[-1,1]

Orez. 4.12

cometariu 2. Aceeași funcție poate avea diferite atribuiri parametrice. Diferențele pot viza atât funcțiile în sine X(t),y(t) , și domenii de definiție aceste funcții.

Exemplu de atribuiri parametrice diferite ale aceleiași funcții

și tн[-1, 1] .

Observația 3. Dacă x,y sunt continui pe , X(t)- strict monoton pe segment și există derivate y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, atunci există f¢(X 0)= .

Într-adevăr, .

Ultima declarație se extinde și la ramurile cu o singură valoare ale unei funcții definite parametric.

4.2 Derivate și diferențiale de ordin superior

Derivate și diferențiale superioare. Diferențierea funcțiilor date parametric. formula Leibniz.

Fie dată funcția într-un mod parametric:
(1)
unde este o variabilă numită parametru. Și să fie funcțiile și să aibă derivate la o anumită valoare a variabilei. Mai mult, funcția are și o funcție inversă într-o vecinătate a punctului . Atunci funcția (1) are o derivată în punct, care, într-o formă parametrică, este determinată de formulele:
(2)

Aici și sunt derivate ale funcțiilor și în raport cu variabila (parametrul) . Ele sunt adesea scrise în următoarea formă:
;
.

Atunci sistemul (2) poate fi scris după cum urmează:

Dovada

Prin condiție, funcția are o funcție inversă. Să-l notăm ca
.
Atunci funcția originală poate fi reprezentată ca o funcție complexă:
.
Să-i găsim derivata aplicând regulile de diferențiere a funcțiilor complexe și inverse:
.

Regula a fost dovedită.

Dovada în al doilea mod

Să găsim derivata în al doilea mod, pe baza definiției derivatei funcției în punctul:
.
Să introducem notația:
.
Apoi formula anterioară ia forma:
.

Să folosim faptul că funcția are o funcție inversă, în vecinătatea punctului.
Să introducem notația:
; ;
; .
Împărțiți numărătorul și numitorul fracției la:
.
La , . Apoi
.

Regula a fost dovedită.

Derivate de ordin superior

Pentru a găsi derivate de ordin superior, este necesar să se efectueze diferențierea de mai multe ori. Să presupunem că trebuie să găsim derivata a doua a unei funcții dată în mod parametric, de următoarea formă:
(1)

Conform formulei (2), găsim prima derivată, care este, de asemenea, determinată parametric:
(2)

Se notează prima derivată prin intermediul unei variabile:
.
Apoi, pentru a găsi derivata a doua a funcției în raport cu variabila , trebuie să găsiți derivata întâi a funcției în raport cu variabila . Dependența unei variabile de o variabilă este de asemenea specificată într-un mod parametric:
(3)
Comparând (3) cu formulele (1) și (2), găsim:

Acum să exprimăm rezultatul în termeni de funcții și . Pentru a face acest lucru, înlocuim și aplicăm formula pentru derivata unei fracții:
.
Apoi
.

De aici obținem derivata a doua a funcției în raport cu variabila:

Este dat și sub formă parametrică. Rețineți că prima linie poate fi scrisă și după cum urmează:
.

Continuând procesul, este posibil să se obțină derivate de funcții dintr-o variabilă de ordinul trei și superior.

Rețineți că este posibil să nu introduceți notația pentru derivată. Se poate scrie asa:
;
.

Exemplul 1

Găsiți derivata unei funcții dată în mod parametric:

Soluţie

Găsim derivate ale și cu privire la .
Din tabelul derivatelor găsim:
;
.
Aplicam:

.
Aici .

.
Aici .

Derivat dorit:
.

Răspuns

Exemplul 2

Aflați derivata funcției exprimată prin parametrul:

Soluţie

Să deschidem parantezele folosind formule pentru funcțiile de putere și rădăcini:
.

Găsim derivata:

.

Găsim derivata. Pentru a face acest lucru, introducem o variabilă și aplicăm formula pentru derivata unei funcții complexe.

.

Găsim derivata dorită:
.

Răspuns

Exemplul 3

Găsiți derivatele a doua și a treia ale funcției date parametric în exemplul 1:

Soluţie

În exemplul 1, am găsit derivata de ordinul întâi:

Să introducem notația . Atunci funcția este derivata față de . Este setat parametric:

Pentru a găsi derivata a doua în raport cu , trebuie să găsim derivata întâi în raport cu .

Ne deosebim cu privire la .
.
Am găsit derivata din exemplul 1:
.
Derivata de ordinul doi în raport cu este egală cu derivata de ordinul întâi în raport cu:
.

Deci, am găsit derivata de ordinul doi în raport cu forma parametrică:

Acum găsim derivata de ordinul trei. Să introducem notația . Apoi trebuie să găsim prima derivată a funcției , care este dată într-un mod parametric:

Găsim derivata cu privire la . Pentru a face acest lucru, rescriem într-o formă echivalentă:
.
Din
.

Derivată de ordinul al treilea în raport cu este egală cu derivata de ordinul întâi în ceea ce privește:
.

cometariu

Este posibil să nu se introducă variabile și , care sunt derivate ale și, respectiv. Apoi o poți scrie așa:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Răspuns

În reprezentarea parametrică, derivata de ordinul doi are următoarea formă:

Derivată de ordinul al treilea.

Funcția poate fi definită în mai multe moduri. Depinde de regula folosită atunci când o setați. Forma explicită a definiției funcției este y = f (x) . Există cazuri când descrierea sa este imposibilă sau incomodă. Dacă există un set de perechi (x; y) care trebuie calculate pentru parametrul t pe intervalul (a; b). Pentru a rezolva sistemul x = 3 cos t y = 3 sin t cu 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Definirea funcției parametrice

Prin urmare avem că x = φ (t) , y = ψ (t) sunt definite pe pentru valoarea t ∈ (a ; b) și au o funcție inversă t = Θ (x) pentru x = φ (t) , atunci vorbim despre setarea unei ecuații parametrice a unei funcții de forma y = ψ (Θ (x)) .

Există cazuri când, pentru a studia o funcție, este necesară căutarea derivatei față de x. Luați în considerare formula pentru derivata unei funcții date parametric de forma y x " = ψ " (t) φ " (t) , să vorbim despre derivata de ordinul 2 și al n-lea.

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții date parametric

Avem că x = φ (t) , y = ψ (t) , definit și derivabil pentru t ∈ a ; b , unde x t " = φ " (t) ≠ 0 și x = φ (t) , atunci există o funcție inversă de forma t = Θ (x) .

Pentru început, ar trebui să treceți de la o sarcină parametrică la una explicită. Pentru a face acest lucru, trebuie să obțineți o funcție complexă de forma y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) , unde există un argument x .

Pe baza regulii de găsire a derivatei unei funcții complexe, obținem că y "x \u003d ψ Θ (x) \u003d ψ " Θ x Θ" x.

Aceasta arată că t = Θ (x) și x = φ (t) sunt funcții inverse din formula funcției inverse Θ "(x) = 1 φ" (t) , apoi y "x = ψ" Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Să trecem la rezolvarea mai multor exemple folosind un tabel de derivate conform regulii de diferențiere.

Exemplul 1

Aflați derivata pentru funcția x = t 2 + 1 y = t .

Soluţie

Prin condiție, avem că φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, deci obținem că φ "(t) = t 2 + 1" , ψ "(t) = t" = 1. Este necesar să folosiți formula derivată și să scrieți răspunsul sub forma:

y "x = ψ" (t) φ "(t) = 1 2 t

Răspuns: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Când se lucrează cu derivata unei funcții, parametrul t specifică expresia argumentului x prin același parametru t pentru a nu pierde legătura dintre valorile derivatei și funcția definită parametric cu argumentul la care acestea valorile corespund.

Pentru a determina derivata de ordinul doi a unei funcții date parametric, trebuie să utilizați formula pentru derivata de ordinul întâi pe funcția rezultată, apoi obținem că

y""x = ψ"(t)φ"(t)"φ"(t) = ψ""(t) φ"(t) - ψ"(t) φ""(t)φ"(t) 2 φ "(t) = ψ "" (t) φ "(t) - ψ "(t) φ "" (t) φ "(t) 3 .

Exemplul 2

Aflați derivatele de ordinul 2 și 2 ale funcției date x = cos (2 t) y = t 2 .

Soluţie

Prin condiție, obținem că φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Apoi, după transformare

φ "(t) \u003d cos (2 t)" \u003d - sin (2 t) 2 t " \u003d - 2 sin (2 t) ψ (t) \u003d t 2 " \u003d 2 t

Rezultă că y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Obținem că forma derivatei de ordinul I este x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Pentru a o rezolva, trebuie să aplicați formula derivată de ordinul doi. Primim o expresie ca

y x "" \u003d - t sin (2 t) φ "t \u003d - t " sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Apoi setați derivata de ordinul 2 folosind funcția parametrică

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

O soluție similară poate fi rezolvată printr-o altă metodă. Apoi

φ "t \u003d (cos (2 t)) " \u003d - sin (2 t) 2 t " \u003d - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t \u003d - 2 sin (2 t) " \u003d - 2 sin (2 t) "= - 2 cos (2 t) (2 t)" = - 4 cos (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Prin urmare, obținem asta

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 \u003d \u003d sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Răspuns: y "" x \u003d sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

În mod similar, se găsesc derivate de ordin superior cu funcții specificate parametric.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter