Și așa mai departe, este logic să te familiarizezi cu ecuații de alte tipuri. Următorii în rând sunt ecuatii lineare, al cărui studiu intenționat începe în lecțiile de algebră din clasa a VII-a.

Este clar că mai întâi trebuie să explicați ce este o ecuație liniară, să dați o definiție a unei ecuații liniare, coeficienții ei, să arătați forma ei generală. Apoi vă puteți da seama câte soluții are o ecuație liniară în funcție de valorile coeficienților și de cum se găsesc rădăcinile. Acest lucru vă va permite să treceți la rezolvarea exemplelor și, astfel, să consolidați teoria studiată. În acest articol vom face acest lucru: ne vom opri în detaliu asupra tuturor punctelor teoretice și practice privind ecuațiile liniare și soluția acestora.

Să spunem imediat că aici vom lua în considerare doar ecuații liniare cu o variabilă, iar într-un articol separat vom studia principiile rezolvării ecuații liniare în două variabile.

Navigare în pagină.

Ce este o ecuație liniară?

Definiția unei ecuații liniare este dată de forma notației sale. Mai mult, în diferite manuale de matematică și algebră, formulările definițiilor ecuațiilor liniare au unele diferențe care nu afectează esența problemei.

De exemplu, într-un manual de algebră pentru clasa a 7-a de Yu. N. Makarycheva și alții, o ecuație liniară este definită după cum urmează:

Definiție.

Tip ecuație ax=b, unde x este o variabilă, a și b sunt niște numere, se numește ecuație liniară cu o variabilă.

Să dăm exemple de ecuații liniare corespunzătoare definiției vocale. De exemplu, 5 x=10 este o ecuație liniară cu o variabilă x , aici coeficientul a este 5 , iar numărul b este 10 . Un alt exemplu: −2.3 y=0 este de asemenea o ecuație liniară, dar cu variabila y , unde a=−2.3 și b=0 . Și în ecuațiile liniare x=−2 și −x=3,33 a nu sunt prezente în mod explicit și sunt egale cu 1 și, respectiv, −1, în timp ce în prima ecuație b=−2 și în a doua - b=3,33 .

Și cu un an mai devreme, în manualul de matematică al lui N. Ya. Vilenkin, ecuațiile liniare cu o necunoscută, pe lângă ecuațiile de forma a x = b, erau considerate și ecuații care pot fi reduse la această formă prin transferul de termeni dintr-un parte a ecuației la alta cu semnul opus, precum și prin reducerea termenilor similari. Conform acestei definiții, ecuațiile de forma 5 x=2 x+6 , etc. sunt de asemenea liniare.

La rândul său, următoarea definiție este dată în manualul de algebră pentru 7 clase de A. G. Mordkovich:

Definiție.

Ecuație liniară cu o variabilă x este o ecuație de forma a x+b=0 , unde a și b sunt niște numere, numite coeficienți ai ecuației liniare.

De exemplu, ecuațiile liniare de acest fel sunt 2 x−12=0, aici coeficientul a este egal cu 2, iar b este egal cu −12 și 0,2 y+4,6=0 cu coeficienții a=0,2 și b =4,6. Dar, în același timp, există exemple de ecuații liniare care au forma nu a x+b=0 , ci a x=b , de exemplu, 3 x=12 .

Să nu avem discrepanțe în viitor, sub o ecuație liniară cu o variabilă x și coeficienți a și b vom înțelege o ecuație de forma a x+b=0 . Acest tip de ecuație liniară pare a fi cel mai justificat, deoarece ecuațiile liniare sunt ecuații algebrice primul grad. Și toate celelalte ecuații indicate mai sus, precum și ecuațiile care se reduc la forma a x+b=0 cu ajutorul transformărilor echivalente, se vor numi ecuații reducându-se la ecuații liniare. Cu această abordare, ecuația 2 x+6=0 este o ecuație liniară, iar 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12 etc. sunt ecuații liniare.

Cum se rezolvă ecuații liniare?

Acum este timpul să ne dăm seama cum se rezolvă ecuațiile liniare a x+b=0. Cu alte cuvinte, este timpul să aflăm dacă ecuația liniară are rădăcini și, dacă da, câte și cum să le găsim.

Prezența rădăcinilor unei ecuații liniare depinde de valorile coeficienților a și b. În acest caz, ecuația liniară a x+b=0 are

• singura rădăcină la a≠0 ,
• nu are rădăcini pentru a=0 și b≠0 ,
• are infinit de rădăcini pentru a=0 și b=0, caz în care orice număr este o rădăcină a unei ecuații liniare.

Să explicăm cum au fost obținute aceste rezultate.

Știm că pentru a rezolva ecuații se poate trece de la ecuația inițială la ecuații echivalente, adică la ecuații cu aceleași rădăcini sau, ca și cea originală, fără rădăcini. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza următoarele transformări echivalente:

• transferul unui termen dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus,
• și, de asemenea, înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale ecuației cu același număr diferit de zero.

Deci, într-o ecuație liniară cu o variabilă de forma a x+b=0, putem muta termenul b din partea stângă în partea dreaptă cu semnul opus. În acest caz, ecuația va lua forma a x=−b.

Și apoi împărțirea ambelor părți ale ecuației cu numărul a sugerează ea însăși. Dar există un lucru: numărul a poate fi egal cu zero, caz în care o astfel de împărțire este imposibilă. Pentru a rezolva această problemă, vom presupune mai întâi că numărul a este diferit de zero și vom lua în considerare cazul lui zero a separat puțin mai târziu.

Deci, când a nu este egal cu zero, atunci putem împărți ambele părți ale ecuației a x=−b la a , după care se transformă în forma x=(−b): a , acest rezultat poate fi scris folosind a linie continuă ca .

Astfel, pentru a≠0, ecuația liniară a·x+b=0 este echivalentă cu ecuația , din care este vizibilă rădăcina sa.

Este ușor de arătat că această rădăcină este unică, adică ecuația liniară nu are alte rădăcini. Acest lucru vă permite să faceți metoda opusă.

Să notăm rădăcina ca x 1 . Să presupunem că există o altă rădăcină a ecuației liniare, pe care o notăm x 2 și x 2 ≠ x 1, care, datorită definițiile numerelor egale prin diferență este echivalentă cu condiția x 1 − x 2 ≠0 . Deoarece x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației liniare a x+b=0, atunci au loc egalitățile numerice a x 1 +b=0 și a x 2 +b=0. Putem scădea părțile corespunzătoare acestor egalități, ceea ce ne permit proprietățile egalităților numerice, avem a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , de unde a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 și apoi a (x 1 − x 2)=0 . Și această egalitate este imposibilă, deoarece atât a≠0, cât și x 1 − x 2 ≠0. Deci am ajuns la o contradicție, care demonstrează unicitatea rădăcinii ecuației liniare a·x+b=0 pentru a≠0 .

Deci am rezolvat ecuația liniară a x+b=0 cu a≠0 . Primul rezultat dat la începutul acestei subsecțiuni este justificat. Mai sunt două care îndeplinesc condiția a=0 .

Pentru a=0 ecuația liniară a·x+b=0 devine 0·x+b=0 . Din această ecuație și din proprietatea înmulțirii numerelor cu zero, rezultă că indiferent ce număr luăm ca x, atunci când îl substituim în ecuația 0 x+b=0, obținem egalitatea numerică b=0. Această egalitate este adevărată când b=0, iar în alte cazuri când b≠0 această egalitate este falsă.

Prin urmare, pentru a=0 și b=0, orice număr este rădăcina ecuației liniare a x+b=0, deoarece în aceste condiții, înlocuirea oricărui număr în loc de x dă egalitatea numerică corectă 0=0. Iar pentru a=0 și b≠0, ecuația liniară a x+b=0 nu are rădăcini, deoarece în aceste condiții, înlocuirea oricărui număr în loc de x duce la o egalitate numerică incorectă b=0.

Justificările de mai sus fac posibilă formarea unei secvențe de acțiuni care să permită rezolvarea oricărei ecuații liniare. Asa de, algoritm pentru rezolvarea unei ecuații liniare este:

• În primul rând, prin scrierea unei ecuații liniare, găsim valorile coeficienților a și b.
• Dacă a=0 și b=0 , atunci această ecuație are infinit de rădăcini, și anume, orice număr este o rădăcină a acestei ecuații liniare.
• Dacă a este diferit de zero, atunci
• coeficientul b este transferat în partea dreaptă cu semnul opus, în timp ce ecuația liniară este transformată în forma a x=−b ,
• după care ambele părți ale ecuației rezultate sunt împărțite la un număr diferit de zero a, care dă rădăcina dorită a ecuației liniare inițiale.

Algoritmul scris este un răspuns exhaustiv la întrebarea cum se rezolvă ecuațiile liniare.

În încheierea acestui paragraf, merită spus că un algoritm similar este utilizat pentru a rezolva ecuații de forma a x=b. Diferența sa constă în faptul că, atunci când a≠0, ambele părți ale ecuației sunt imediat împărțite la acest număr, aici b este deja în partea dorită a ecuației și nu trebuie transferat.

Pentru a rezolva ecuații de forma a x=b, se folosește următorul algoritm:

• Dacă a=0 și b=0, atunci ecuația are infinite rădăcini, care sunt orice numere.
• Dacă a=0 și b≠0 , atunci ecuația inițială nu are rădăcini.
• Dacă a este diferit de zero, atunci ambele părți ale ecuației sunt împărțite la un număr diferit de zero a, din care se găsește singura rădăcină a ecuației egală cu b / a.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor liniare

Să trecem la practică. Să analizăm modul în care se aplică algoritmul de rezolvare a ecuațiilor liniare. Să prezentăm soluții de exemple tipice corespunzătoare diferitelor valori ale coeficienților ecuațiilor liniare.

Exemplu.

Rezolvați ecuația liniară 0 x−0=0 .

Soluţie.

În această ecuație liniară, a=0 și b=−0 , care este același cu b=0 . Prin urmare, această ecuație are infinit de rădăcini, orice număr este rădăcina acestei ecuații.

Răspuns:

x este orice număr.

Exemplu.

Ecuația liniară 0 x+2.7=0 are soluții?

Soluţie.

În acest caz, coeficientul a este egal cu zero, iar coeficientul b al acestei ecuații liniare este egal cu 2,7, adică este diferit de zero. Prin urmare, ecuația liniară nu are rădăcini.

Ecuatii lineare. Soluție, exemple.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ecuatii lineare.

Ecuațiile liniare nu sunt subiectul cel mai dificil în matematica școlară. Dar există câteva trucuri acolo care pot deruta chiar și un student instruit. Să ne dăm seama?)

O ecuație liniară este de obicei definită ca o ecuație de forma:

topor + b = 0 Unde a și b- orice numere.

2x + 7 = 0. Aici a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Aici a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Aici a=12, b=1/2

Nimic complicat, nu? Mai ales dacă nu observi cuvintele: „unde a și b sunt numere”... Și dacă observi, dar gândește-te neglijent?) La urma urmei, dacă a=0, b=0(este posibile numere?), atunci obținem o expresie amuzantă:

Dar asta nu este tot! Dacă, să zicem, a=0, A b=5, se dovedește ceva destul de absurd:

Ce stresează și subminează încrederea în matematică, da...) Mai ales la examene. Dar dintre aceste expresii ciudate, trebuie să găsiți și X! Care nu există deloc. Și, surprinzător, acest X este foarte ușor de găsit. Vom învăța cum să o facem. În această lecție.

Cum să recunoaștem o ecuație liniară în aparență? Depinde de ce aspect.) Trucul este că ecuațiile liniare se numesc nu numai ecuații de forma topor + b = 0 , dar și orice ecuații care se reduc la această formă prin transformări și simplificări. Și cine știe dacă este redus sau nu?)

O ecuație liniară poate fi recunoscută clar în unele cazuri. Să spunem, dacă avem o ecuație în care există doar necunoscute de gradul întâi, da numere. Și ecuația nu fracții împărțite la necunoscut , este important! Și împărțirea după număr, sau o fracție numerică - asta este! De exemplu:

Aceasta este o ecuație liniară. Există fracții aici, dar nu există x-uri în pătrat, în cub etc. și nu există x-uri în numitori, i.e. Nu împărțirea cu x. Și aici este ecuația

nu poate fi numit liniar. Aici x-urile sunt toate în primul grad, dar există împărțirea prin expresie cu x. După simplificări și transformări, puteți obține o ecuație liniară și una pătratică și orice doriți.

Se pare că este imposibil să afli o ecuație liniară într-un exemplu complicat până când aproape că o rezolvi. Este supărător. Dar în teme, de regulă, ei nu întreabă despre forma ecuației, nu? În sarcini, ecuațiile sunt ordonate decide. Asta ma face fericit.)

Rezolvarea ecuațiilor liniare. Exemple.

Întreaga soluție a ecuațiilor liniare constă din transformări identice ale ecuațiilor. Apropo, aceste transformări (până la două!) stau la baza soluțiilor toate ecuațiile matematicii. Cu alte cuvinte, decizia orice Ecuația începe cu aceleași transformări. În cazul ecuațiilor liniare, ea (soluția) asupra acestor transformări se termină cu un răspuns cu drepturi depline. Are sens să urmezi linkul, nu?) Mai mult, există și exemple de rezolvare a ecuațiilor liniare.

Să începem cu cel mai simplu exemplu. Fara capcane. Să presupunem că trebuie să rezolvăm următoarea ecuație.

x - 3 = 2 - 4x

Aceasta este o ecuație liniară. X-urile sunt toate la prima putere, nu există nicio împărțire cu X. Dar, de fapt, nu ne interesează care este ecuația. Trebuie să o rezolvăm. Schema de aici este simplă. Strângeți totul cu x în partea stângă a ecuației, totul fără x (numerele) în dreapta.

Pentru a face acest lucru, trebuie să transferați - 4x în partea stângă, cu schimbare de semn, desigur, dar - 3 - La dreapta. Apropo, asta este prima transformare identică a ecuațiilor. Uimit? Deci, nu au urmat linkul, dar în zadar ...) Primim:

x + 4x = 2 + 3

Dam similare, consideram:

De ce avem nevoie pentru a fi complet fericiți? Da, ca să fie un X curat în stânga! Cinci iese în cale. Scapă de cei cinci cu a doua transformare identică a ecuațiilor.Și anume, împărțim ambele părți ale ecuației la 5. Obținem un răspuns gata făcut:

Un exemplu elementar, desigur. Aceasta este pentru o încălzire.) Nu este foarte clar de ce mi-am amintit aici transformări identice? O.K. Luăm taurul de coarne.) Să decidem ceva mai impresionant.

De exemplu, iată această ecuație:

De unde începem? Cu X - la stânga, fără X - la dreapta? Ar putea fi așa. Pași mici de-a lungul drumului lung. Și poți imediat, într-un mod universal și puternic. Cu excepția cazului în care, desigur, în arsenalul tău există transformări identice ale ecuațiilor.

Vă pun o întrebare cheie: Ce îți displace cel mai mult la această ecuație?

95 de persoane din 100 vor răspunde: fractii ! Răspunsul este corect. Deci hai să scăpăm de ei. Așa că începem imediat cu a doua transformare identică. Cu ce ​​aveți nevoie pentru a înmulți fracția din stânga, astfel încât numitorul să fie complet redus? Așa e, 3. Și în dreapta? Cu 4. Dar matematica ne permite să înmulțim ambele părți cu acelasi numar. Cum ieșim? Să înmulțim ambele părți cu 12! Acestea. la un numitor comun. Atunci cei trei vor fi redusi, iar cei patru. Nu uitați că trebuie să înmulțiți fiecare parte în întregime. Iată cum arată primul pas:

Extinderea parantezelor:

Notă! Numărător (x+2) Am luat intre paranteze! Acest lucru se datorează faptului că la înmulțirea fracțiilor, numărătorul este înmulțit cu întreg, în întregime! Și acum puteți reduce fracțiile și reduceți:

Deschiderea parantezelor rămase:

Nu un exemplu, ci pură plăcere!) Acum ne amintim vraja de la clasele inferioare: cu x - la stânga, fără x - la dreapta!Și aplicați această transformare:

Iată câteva de genul:

Și împărțim ambele părți la 25, adică. aplica din nou a doua transformare:

Asta e tot. Răspuns: X=0,16

Rețineți: pentru a aduce ecuația originală confuză într-o formă plăcută, am folosit două (doar două!) transformări identice- translație stânga-dreapta cu schimbare de semn și înmulțire-împărțire a ecuației cu același număr. Aceasta este calea universală! Vom lucra în acest fel orice ecuatii! Absolut orice. De aceea, repet mereu aceste transformări identice.)

După cum puteți vedea, principiul rezolvării ecuațiilor liniare este simplu. Luăm ecuația și o simplificăm cu ajutorul transformărilor identice până obținem răspunsul. Principalele probleme aici sunt în calcule, și nu în principiul soluției.

Dar ... Există astfel de surprize în procesul de rezolvare a celor mai elementare ecuații liniare pe care le pot duce într-o puternică stupoare ...) Din fericire, pot exista doar două astfel de surprize. Să le numim cazuri speciale.

Cazuri speciale în rezolvarea ecuațiilor liniare.

Surpriza mai intai.

Să presupunem că întâlniți o ecuație elementară, ceva de genul:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Puțin plictisit, ne transferăm cu X la stânga, fără X - la dreapta ... Cu o schimbare de semn, totul este chin-chinar ... Primim:

2x-5x+3x=5-2-3

Noi credem, și... oh! Primim:

În sine, această egalitate nu este inacceptabilă. Zero este într-adevăr zero. Dar X a dispărut! Și trebuie să scriem în răspuns, cu ce este x egal. Altfel, soluția nu contează, da...) O fundătură?

Calm! În astfel de cazuri îndoielnice, regulile cele mai generale salvează. Cum se rezolvă ecuațiile? Ce înseamnă să rezolvi o ecuație? Acest lucru înseamnă, găsiți toate valorile lui x care, atunci când sunt înlocuite în ecuația originală, ne vor oferi egalitatea corectă.

Dar avem egalitatea corectă deja s-a întâmplat! 0=0, unde de fapt?! Rămâne să ne dăm seama la ce x se obține acest lucru. În ce valori ale lui x pot fi înlocuite iniţială ecuația dacă aceste x-uri încă se micșorează la zero? Haide?)

Da!!! X-urile pot fi înlocuite orice! Ce vrei. Cel puțin 5, cel puțin 0,05, cel puțin -220. Se vor micșora în continuare. Dacă nu mă credeți, puteți verifica.) Înlocuiți orice valori x în iniţială ecuație și calculează. Tot timpul se va obține adevărul pur: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 și așa mai departe.

Iată răspunsul tău: x este orice număr.

Răspunsul poate fi scris în diferite simboluri matematice, esența nu se schimbă. Acesta este un răspuns complet corect și complet.

Surpriza a doua.

Să luăm aceeași ecuație liniară elementară și să schimbăm doar un număr din ea. Iată ce vom decide:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

După aceleași transformări identice, obținem ceva intrigant:

Ca aceasta. Am rezolvat o ecuație liniară, am obținut o egalitate ciudată. Matematic vorbind, avem egalitate greșită.Și în termeni simpli, acest lucru nu este adevărat. Rave. Dar, cu toate acestea, acest nonsens este un motiv destul de bun pentru rezolvarea corectă a ecuației.)

Din nou, gândim pe baza unor reguli generale. Ce ne va da x, atunci când este înlocuit în ecuația originală corect egalitate? Da, niciunul! Nu există astfel de exe. Orice ai înlocui, totul va fi redus, prostiile vor rămâne.)

Iată răspunsul tău: nu exista solutii.

Acesta este, de asemenea, un răspuns perfect valid. În matematică, astfel de răspunsuri apar adesea.

Ca aceasta. Acum, sper că pierderea lui X în procesul de rezolvare a oricărei ecuații (nu doar liniare) nu vă va deranja deloc. Treaba este familiară.)

Acum că ne-am ocupat de toate capcanele din ecuațiile liniare, este logic să le rezolvăm.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Ministerul Învățământului General și Profesional al Federației Ruse

Instituție de învățământ municipală

Gimnaziul nr 12

eseu

pe tema: Ecuații și modalități de rezolvare a acestora

Finalizat: elevul 10 clasa „A”.

Krutko Evgheni

Verificat: profesor de matematică Iskhakova Gulsum Akramovna

Tyumen 2001

Plan................................................. ................................................. . ............................... unu

Introducere ................................................ . ................................................ .. ....................... 2

Parte principală................................................ ................................................. . .............. 3

Concluzie................................................. ................................................. . ................ 25

Aplicație................................................................ ................................................. . ............... 26

Lista de referinte ............................................... ............................... ................... ... 29

Plan.

Introducere.

Referință istorică.

Ecuații. Ecuații algebrice.

a) Definiții de bază.

b) Ecuația liniară și cum se rezolvă.

c) Ecuaţii pătratice şi metode de rezolvare a acesteia.

d) Ecuații cu doi termeni, o modalitate de a le rezolva.

e) Ecuații cubice și metode de rezolvare a acestuia.

f) O ecuație biquadratică și o metodă de rezolvare a acesteia.

g) Ecuații de gradul IV și metode de rezolvare a acestuia.

g) Ecuaţii de grade înalte şi metode din soluţie.

h) Ecuația algebrică rațională și metoda acesteia

i) Ecuații iraționale și metode de rezolvare a acesteia.

j) Ecuații care conțin necunoscutul sub semn.

valoarea absolută și cum să o rezolvi.

Ecuații transcendentale.

a) Ecuații exponențiale și modul de rezolvare a acestora.

b) Ecuații logaritmice și modul de rezolvare a acestora.

Introducere

Educația matematică primită într-o școală de învățământ general este o componentă esențială a educației generale și a culturii generale a unei persoane moderne. Aproape tot ceea ce înconjoară o persoană modernă este legat într-un fel sau altul de matematică. Iar ultimele progrese în fizică, inginerie și tehnologia informației nu lasă nicio îndoială că în viitor starea de lucruri va rămâne aceeași. Prin urmare, rezolvarea multor probleme practice se reduce la rezolvarea diferitelor tipuri de ecuații care trebuie învățate să le rezolve.

Această lucrare este o încercare de generalizare și sistematizare a materialului studiat pe tema de mai sus. Am aranjat materialul după gradul de complexitate, începând cu cel mai simplu. Include atât tipurile de ecuații cunoscute nouă de la cursul școlar de algebră, cât și material suplimentar. Totodată, am încercat să arăt tipurile de ecuații care nu sunt studiate la cursul școlar, dar a căror cunoaștere poate fi necesară la intrarea într-o instituție de învățământ superior. În munca mea, la rezolvarea ecuațiilor, nu m-am limitat doar la o soluție reală, ci am indicat și una complexă, deoarece cred că altfel ecuația pur și simplu nu este rezolvată. La urma urmei, dacă nu există rădăcini reale în ecuație, atunci asta nu înseamnă că nu are soluții. Din păcate, din lipsă de timp, nu am putut să prezint tot materialul pe care îl am, dar chiar și cu materialul care este prezentat aici pot apărea multe întrebări. Sper că cunoștințele mele sunt suficiente pentru a răspunde la majoritatea întrebărilor. Deci, voi prezenta materialul.

Matematica... dezvăluie ordinea

simetrie și certitudine,

iar acestea sunt cele mai importante tipuri de frumusețe.

Aristotel.

Referință istorică

În acele vremuri îndepărtate, când înțelepții au început să se gândească la egalități care conțineau cantități necunoscute, probabil că nu existau încă monede sau portofele. Dar, pe de altă parte, erau grămezi, precum și oale, coșuri, care erau perfecte pentru rolul de depozite-magazine care conțineau un număr necunoscut de articole. „Căutăm o grămadă, care, împreună cu două treimi din ea, o jumătate și o șapte, este de 37...”, a predat scribul egiptean Ahmes în mileniul II î.Hr. În vechile probleme de matematică din Mesopotamia, India, China, Grecia, cantitățile necunoscute exprimau numărul de păuni din grădină, numărul de tauri din turmă, totalitatea lucrurilor luate în considerare la împărțirea proprietății. Cărturarii, funcționarii și preoții inițiați în cunoștințele secrete, bine pregătiți în știința numărării, au făcut față unor astfel de sarcini cu succes.

Surse care au ajuns la noi indică faptul că oamenii de știință antici posedau câteva metode generale de rezolvare a problemelor cu cantități necunoscute. Cu toate acestea, nici un papirus, nici o tabletă de lut nu oferă o descriere a acestor tehnici. Autorii au furnizat doar ocazional calculele lor numerice cu comentarii medii precum: „Uite!”, „Fă-o!”, „Ai găsit corect”. În acest sens, excepția este „Aritmetica” a matematicianului grec Diophantus din Alexandria (sec. III) - o colecție de probleme pentru compilarea ecuațiilor cu o prezentare sistematică a soluțiilor acestora.

Cu toate acestea, lucrarea savantului de la Bagdad din secolul al IX-lea a devenit primul manual de rezolvare a problemelor care a devenit cunoscut pe scară largă. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Cuvântul „al-jabr” din titlul arab al acestui tratat – „Kitab al-jaber wal-muqabala” („Cartea restaurării și a contrastului”) – s-a transformat de-a lungul timpului în cuvântul „algebră”, binecunoscut tuturor, iar munca lui al-Khwarizmi în sine a servit ca punct de plecare în dezvoltarea științei rezolvării ecuațiilor.

ecuații. Ecuații algebrice

Definiții de bază

În algebră, sunt luate în considerare două tipuri de egalități - identități și ecuații.

Identitate este o egalitate care este valabilă pentru toate valorile (admisibile) ale literelor). Pentru a scrie identitatea împreună cu semnul

se foloseste si semnul.

Ecuația- aceasta este o egalitate care este satisfăcută numai pentru unele valori ale literelor incluse în ea. Literele incluse în ecuație, în funcție de starea problemei, pot fi inegale: unele își pot lua toate valorile permise (se numesc parametrii sau coeficienți ecuații și sunt de obicei notate cu primele litere ale alfabetului latin:

, , ... – sau aceleași litere, prevăzute cu indici: , , ... sau , , ...); se numesc altele ale căror valori se găsesc necunoscut(se notează de obicei prin ultimele litere ale alfabetului latin: , , , ... - sau prin aceleași litere, prevăzute cu indici: , , ... sau , , ...).

În general, ecuația poate fi scrisă după cum urmează:

(, , ..., ).

În funcție de numărul de necunoscute, ecuația se numește ecuație cu una, două necunoscute etc.

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiectivele lecției:

Tutoriale:

• Generalizați cunoștințele despre toate tipurile de ecuații, subliniați importanța tuturor metodelor utilizate în rezolvarea ecuațiilor.
• Activarea muncii elevilor printr-o varietate de tehnici în clasă.
• Testează abilitățile teoretice și practice în rezolvarea ecuațiilor.
• Subliniați că o ecuație poate fi rezolvată în mai multe moduri

În curs de dezvoltare:

• Creșterea interesului elevilor față de subiect prin utilizarea TIC.
• Familiarizarea elevilor cu material istoric pe tema.
• Dezvoltarea activității mentale în determinarea tipului de ecuație și a modalităților de rezolvare a acesteia.

Educational:

• Cultivați disciplina în sala de clasă.
• Dezvoltarea capacității de a percepe frumosul, în sine, în altă persoană și în lumea din jur.

Tip de lecție:

• Lecție de generalizare și sistematizare a cunoștințelor.

Tip de lecție:

• Combinate.

Material si echipament tehnic:

• Un calculator
• Ecran
• Proiector
• Disc cu prezentare tematică

Metode și tehnici:

• Folosind o prezentare
• Conversație frontală
• munca orală
• Momente de joc
• Lucrați în perechi
• Lucru cu tabla albă
• Lucrați în caiete

Planul lecției:

1. Moment organizatoric (1 minut)
2. Descifrarea subiectului lecției (3 minute)
3. Prezentarea temei și a scopului lecției (1 minut)
4. Încălzire teoretică (3 minute)
5. Excursie istorică (3 minute)
6. Jocul „Eliminați excesul” (2 minute)
7. Muncă creativă (2 minute)
8. Sarcina „Găsiți greșeala” (2 minute)
9. Rezolvarea unei ecuații în mai multe moduri (pe un diapozitiv) (3 minute)
10. Rezolvarea unei ecuații în mai multe moduri (la tablă) (24 minute)
11. Lucru independent în perechi cu explicații suplimentare (5 minute)
12. Temă individuală (1 minut)
13. Rezultatul lecției de reflecție (1 minut)

Epigraful lecției:

„Învățarea nu poate fi decât distractivă, pentru a digera cunoștințele, trebuie să le absorbi cu apetit.”
A. Franţa

Rezumatul lecției

Partea organizatorica

Verific pregătirea elevilor pentru lecție, notez pe cei absenți de la lecție. Băieți, scriitorul francez din secolul al XIX-lea A. Franța a remarcat odată: „Învățatul nu poate fi decât distractiv, pentru a digera cunoștințele, trebuie să le absorbi cu apetit.” Asa ca sa urmam sfaturile scriitorului in lectia noastra si sa digeram cunostintele cu mare pofta, pentru ca acestea ne vor fi de folos in viata.

Descifrarea subiectului lecției

Pentru a trece la o sarcină mai dificilă, să ne întindem creierul cu sarcini simple. Tema lecției noastre este criptată, prin rezolvarea sarcinilor orale și găsirea unui răspuns la acestea, știind că fiecare răspuns are propria sa literă, vom dezvălui tema lecției. Slide de prezentare 3

Mesaj despre subiectul și scopul lecției

Tu însuți ai numit subiectul lecției de astăzi

„Tipuri de ecuații și modalități de a le rezolva”. Slide de prezentare 4

Scop: Reamintiți și generalizați toate tipurile de ecuații și cum să le rezolvați. Rezolvați o ecuație în toate modurile. Diapozitivul de prezentare 5 Citiți declarația lui Einstein Diapozitivul de prezentare 5

Încălzire teoretică

Întrebări Diapositiva de prezentare 7

Răspunsuri

1. O egalitate care conține o variabilă notă cu o literă.
2. Aceasta înseamnă să-i găsești toate rădăcinile sau să dovedești că nu există rădăcini.
3. Valoarea variabilei la care ecuația devine o egalitate adevărată.
4. După această definiție, citiți o poezie despre ecuația Prezentare slide 12,13,14

Răspunsuri la ultimele 2 întrebări Diapositiva de prezentare 9,10,11

Digresiune istorică

Notă istorică despre „Cine și când a inventat ecuația” Diapozitiv de prezentare 15

Imaginați-vă că o mamă primitivă pe nume... cu toate acestea, probabil că nici măcar nu avea un nume, a cules 12 mere dintr-un copac pentru a le oferi fiecăruia dintre cei 4 copii ai săi. Probabil că nu știa să numere nu doar până la 12, ci și până la patru și cu siguranță nu știa să împartă 12 la 4. Și a împărțit merele, probabil așa: mai întâi i-a dat fiecărui copil câte un măr, apoi încă un măr, apoi altul singur și apoi am văzut că nu mai sunt mere și copiii erau fericiți. Dacă scriem aceste acțiuni în limbajul matematic modern, obținem x4 = 12, adică mama a rezolvat problema compilării unei ecuații. Pare imposibil să răspunzi la întrebarea de mai sus. Problemele care duc la rezolvarea ecuațiilor au fost rezolvate de oameni pe baza bunului simț încă de când au devenit oameni. Chiar și cu 3-4 mii de ani înaintea erei noastre, egiptenii și babilonienii au fost capabili să rezolve cele mai simple ecuații, a căror formă și metode de rezolvare nu erau asemănătoare cu cele moderne. Grecii au moștenit cunoștințele egiptenilor și au mers mai departe. Cel mai mare succes în dezvoltarea doctrinei ecuațiilor a fost obținut de omul de știință grec Diophantus (secolul al III-lea), despre care au scris:

A rezolvat multe probleme.
Și a prezis mirosuri și averse.
Cu adevărat, cunoștințele lui sunt minunate.

O mare contribuție la rezolvarea ecuațiilor a avut-o matematicianul din Asia Centrală Muhammad al Khorezmi (secolul al IX-lea). Celebra sa carte al-Khwarizmi este dedicată rezolvării ecuațiilor. Se numește „Kitab al-jabr wal-muqabala”, adică „Cartea completării și contrastului”. Această carte a devenit cunoscută de europeni, iar din cuvântul „al-jabr” din titlu a venit cuvântul „algebră” - numele uneia dintre principalele părți ale matematicii. În viitor, mulți matematicieni s-au ocupat de probleme de ecuații. Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la forma x2+in=0 a fost formulată de matematicianul german Stiefel, care a trăit în secolul al XV-lea. După lucrările matematicianului olandez Girard (secolul al XVI-lea), precum și ale lui Descartes și Newton, metoda soluției a căpătat un aspect modern. Formulele care exprimă dependența rădăcinilor ecuației de coeficienții ei au fost introduse de Vieta. François Viet a trăit în secolul al XVI-lea. A avut o mare contribuție la studiul diferitelor probleme din matematică și astronomie; în special, a introdus denumiri de litere pentru coeficienții unei ecuații. Și acum ne vom familiariza cu un episod interesant din viața lui. Viet a primit mare faimă sub regele Henric al III-lea, în timpul războiului franco-spaniol. Inchizitorii spanioli au inventat un scenariu secret foarte complex, datorită căruia spaniolii au corespondat cu dușmanii lui Henric al III-lea chiar și în Franța.

Degeaba au încercat francezii să găsească cheia cifrului, iar apoi regele s-a întors către Vieta. Ei spun că Viet a găsit cheia cifrului în două săptămâni de muncă continuă, după care, în mod neașteptat pentru Spania, Franța a început să câștige bătălie după alta. Fiind siguri că este imposibil de descifrat cifrul, spaniolii l-au acuzat pe Vieta că are o legătură cu diavolul și l-au condamnat să fie ars pe rug. Din fericire, nu a fost extrădat la Inchiziție și a intrat în istorie ca un mare matematician.

Jocul „Eliminați excesul”

Scopul jocului orientare sub formă de ecuaţii.

Ni se oferă trei coloane de ecuații, în fiecare dintre ele, ecuațiile sunt determinate de o trăsătură, dar una dintre ele este de prisos, sarcina ta este să o găsești și să o caracterizezi. Slide de prezentare 16

munca creativa

Scopul acestei sarcini: Înțelegerea auditivă a vorbirii matematice orientând copiii sub formă de ecuații.

Pe ecran vedeți 9 ecuații. Fiecare ecuație are propriul său număr, voi denumi tipul acestei ecuații și trebuie să găsiți o ecuație de acest tip și să puneți doar numărul sub care se află, ca urmare veți obține un număr din 9 cifre Diapozitiv de prezentare 17

1. Ecuația pătratică redusă.
2. Ecuație rațională fracțională
3. ecuația cubică
4. ecuație logaritmică
5. Ecuație liniară
6. Ecuație pătratică incompletă
7. ecuație exponențială
8. ecuație irațională
9. ecuație trigonometrică

Sarcina „Găsiți greșeala”

Un elev a rezolvat ecuații, dar toată clasa a râs, a făcut o greșeală în fiecare ecuație, sarcina ta este să o găsești și să o corectezi. Slide de prezentare 18

Rezolvarea unei ecuații în mai multe moduri

Și acum vom rezolva o ecuație în toate modurile posibile, pentru a economisi timp în lecție, o ecuație pe ecran. Acum veți denumi tipul acestei ecuații și veți explica ce metodă este folosită pentru a rezolva această ecuație Prezentarea diapozitive 19-27

Rezolvarea unei ecuații în mai multe moduri (la tablă)

Ne-am uitat la exemplu, acum haideți să rezolvăm ecuația de la tablă în tot felul de moduri.

X-2 - ecuație irațională

Să punem la pătrat ambele părți ale ecuației.

X 2 +2x+4x-1-4=0

Rezolvăm această ecuație la tablă în 9 moduri.

Lucru independent în perechi, urmat de o explicație la tablă

Și acum veți lucra în perechi, dau o ecuație biroului, sarcina dvs. este să determinați tipul de ecuație, să enumerați toate modalitățile de a rezolva această ecuație, să rezolvați 1-2 în cele mai raționale moduri pentru dvs. (2 minute)

Sarcini pentru lucrul în perechi

Rezolvați ecuația

După munca independentă în perechi, un reprezentant merge la tablă, își prezintă ecuația, o rezolvă într-un fel

Teme individuale(diferențiabil)

Rezolvați ecuația

(determinați tipul de ecuație, rezolvați prin toate mijloacele pe o foaie separată)

Rezumatul lecției de reflecție.

Rezum lecția, atrag atenția asupra faptului că o ecuație poate fi rezolvată în multe feluri, dau note, concluzionez cine a fost activ și cine trebuie să fie mai activ. Am citit declarația lui Kalinin Diapozitivul de prezentare 28

Priviți cu atenție obiectivele pe care ni le-am stabilit pentru lecția de astăzi:

• Ce crezi că am reușit să facem?
• Ce nu a mers bine?
• Ce ți-a plăcut în mod deosebit și ți-ai amintit?
• Astăzi am învățat ceva nou...
• Lecția m-a ajutat...
• Mi-a fost greu...
• Mi-a plăcut lecția...

Literatură.

1. Dorofeev G.V. „Culegere de sarcini pentru desfășurarea unui examen scris de matematică pentru un curs de liceu” - M .: Drofa, 2006.
2. Garner Martin. Puzzle-uri matematice și distracție.
3. Ivlev B.M., Sahakyan S.M. Materiale didactice despre algebră și începuturi de analiză pentru clasa a X-a, clasa a XI-a. M.: Iluminismul. 2002.