Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare promovării cu succes a examenului la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 din Profil USE în matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen. Probleme de text și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri viclene pentru rezolvare, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.

Când rezolvi multe probleme de matematică, în special cele care apar înainte de clasa a 10-a, este clar definită ordinea acțiunilor efectuate care vor duce la obiectiv. Astfel de probleme includ, de exemplu, ecuații liniare și pătratice, inegalități liniare și pătratice, ecuații fracționale și ecuații care se reduc la cele pătratice. Principiul soluționării cu succes a fiecăreia dintre sarcinile menționate este următorul: este necesar să se stabilească ce tip de sarcină este rezolvată, să se rețină succesiunea necesară de acțiuni care vor duce la rezultatul dorit, adică. răspundeți și urmați acești pași.

În mod evident, succesul sau eșecul în rezolvarea unei anumite probleme depinde în principal de cât de corect este determinat tipul de ecuație care se rezolvă, cât de corect este reprodusă succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, în acest caz, este necesar să aveți abilitățile de a efectua transformări și calcule identice.

O situație diferită apare cu ecuații trigonometrice. Nu este greu de stabilit faptul că ecuația este trigonometrică. Apar dificultăți la determinarea secvenței de acțiuni care ar duce la răspunsul corect.

Este uneori dificil să-i determine tipul prin apariția unei ecuații. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să o alegeți pe cea potrivită dintre câteva zeci de formule trigonometrice.

Pentru a rezolva ecuația trigonometrică, trebuie să încercăm:

1. aduce toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;
2. aduceți ecuația la „aceleași funcții”;
3. factorizați partea stângă a ecuației etc.

Considera metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

I. Reducerea la cele mai simple ecuații trigonometrice

Schema de rezolvare

Pasul 1. Exprimați funcția trigonometrică în termeni de componente cunoscute.

Pasul 2 Găsiți argumentul funcției folosind formule:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Pasul 3 Găsiți o variabilă necunoscută.

Exemplu.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Soluţie.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Răspuns: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Substituție variabilă

Schema de rezolvare

Pasul 1. Aduceți ecuația într-o formă algebrică în raport cu una dintre funcțiile trigonometrice.

Pasul 2 Notați funcția rezultată prin variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții asupra t).

Pasul 3 Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.

Pasul 4 Faceți o înlocuire inversă.

Pasul 5 Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.

Exemplu.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Soluţie.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Fie sin (x/2) = t, unde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 sau e = -3/2 nu satisface condiția |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Răspuns: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda de reducere a ordinii ecuațiilor

Schema de rezolvare

Pasul 1.Înlocuiți această ecuație cu una liniară folosind formulele de reducere a puterii:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Pasul 2 Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.

Exemplu.

cos2x + cos2x = 5/4.

Soluţie.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Răspuns: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuații omogene

Schema de rezolvare

Pasul 1. Aduceți această ecuație în formă

a) a sin x + b cos x = 0 (ecuația omogenă de gradul I)

sau la vedere

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ecuația omogenă de gradul doi).

Pasul 2Împărțiți ambele părți ale ecuației la

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

și obțineți ecuația pentru tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Pasul 3 Rezolvați ecuația folosind metode cunoscute.

Exemplu.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Soluţie.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Fie tg x = t, atunci

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 sau t = -4, deci

tg x = 1 sau tg x = -4.

Din prima ecuație x = π/4 + πn, n Є Z; din a doua ecuaţie x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda de transformare a unei ecuatii folosind formule trigonometrice

Schema de rezolvare

Pasul 1. Folosind tot felul de formule trigonometrice, aduceți această ecuație la o ecuație care poate fi rezolvată prin metodele I, II, III, IV.

Pasul 2 Rezolvați ecuația rezultată folosind metode cunoscute.

Exemplu.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Soluţie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 sau 2cos x + 1 = 0;

Din prima ecuație 2x = π/2 + πn, n Є Z; din a doua ecuație cos x = -1/2.

Avem x = π/4 + πn/2, n Є Z; din a doua ecuație x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ca rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Răspuns: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Abilitatea și abilitățile de a rezolva ecuații trigonometrice sunt foarte important, dezvoltarea lor necesită un efort considerabil, atât din partea elevului, cât și a profesorului.

Multe probleme de stereometrie, fizică etc. sunt asociate cu rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.Procesul de rezolvare a unor astfel de probleme, așa cum spune, conține multe dintre cunoștințele și abilitățile care sunt dobândite la studierea elementelor de trigonometrie.

Ecuațiile trigonometrice ocupă un loc important în procesul de predare a matematicii și de dezvoltare a personalității în general.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau în alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Când rezolvi multe probleme de matematică, în special cele care apar înainte de clasa a 10-a, este clar definită ordinea acțiunilor efectuate care vor duce la obiectiv. Astfel de probleme includ, de exemplu, ecuații liniare și pătratice, inegalități liniare și pătratice, ecuații fracționale și ecuații care se reduc la cele pătratice. Principiul soluționării cu succes a fiecăreia dintre sarcinile menționate este următorul: este necesar să se stabilească ce tip de sarcină este rezolvată, să se rețină succesiunea necesară de acțiuni care vor duce la rezultatul dorit, adică. răspundeți și urmați acești pași.

În mod evident, succesul sau eșecul în rezolvarea unei anumite probleme depinde în principal de cât de corect este determinat tipul de ecuație care se rezolvă, cât de corect este reprodusă succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, în acest caz, este necesar să aveți abilitățile de a efectua transformări și calcule identice.

O situație diferită apare cu ecuații trigonometrice. Nu este greu de stabilit faptul că ecuația este trigonometrică. Apar dificultăți la determinarea secvenței de acțiuni care ar duce la răspunsul corect.

Este uneori dificil să-i determine tipul prin apariția unei ecuații. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să o alegeți pe cea potrivită dintre câteva zeci de formule trigonometrice.

Pentru a rezolva ecuația trigonometrică, trebuie să încercăm:

1. aduce toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;
2. aduceți ecuația la „aceleași funcții”;
3. factorizați partea stângă a ecuației etc.

Considera metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

I. Reducerea la cele mai simple ecuații trigonometrice

Schema de rezolvare

Pasul 1. Exprimați funcția trigonometrică în termeni de componente cunoscute.

Pasul 2 Găsiți argumentul funcției folosind formule:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Pasul 3 Găsiți o variabilă necunoscută.

Exemplu.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Soluţie.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Răspuns: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Substituție variabilă

Schema de rezolvare

Pasul 1. Aduceți ecuația într-o formă algebrică în raport cu una dintre funcțiile trigonometrice.

Pasul 2 Notați funcția rezultată prin variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții asupra t).

Pasul 3 Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.

Pasul 4 Faceți o înlocuire inversă.

Pasul 5 Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.

Exemplu.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Soluţie.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Fie sin (x/2) = t, unde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 sau e = -3/2 nu satisface condiția |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Răspuns: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda de reducere a ordinii ecuațiilor

Schema de rezolvare

Pasul 1.Înlocuiți această ecuație cu una liniară folosind formulele de reducere a puterii:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Pasul 2 Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.

Exemplu.

cos2x + cos2x = 5/4.

Soluţie.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Răspuns: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuații omogene

Schema de rezolvare

Pasul 1. Aduceți această ecuație în formă

a) a sin x + b cos x = 0 (ecuația omogenă de gradul I)

sau la vedere

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ecuația omogenă de gradul doi).

Pasul 2Împărțiți ambele părți ale ecuației la

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

și obțineți ecuația pentru tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Pasul 3 Rezolvați ecuația folosind metode cunoscute.

Exemplu.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Soluţie.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Fie tg x = t, atunci

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 sau t = -4, deci

tg x = 1 sau tg x = -4.

Din prima ecuație x = π/4 + πn, n Є Z; din a doua ecuaţie x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda de transformare a unei ecuatii folosind formule trigonometrice

Schema de rezolvare

Pasul 1. Folosind tot felul de formule trigonometrice, aduceți această ecuație la o ecuație care poate fi rezolvată prin metodele I, II, III, IV.

Pasul 2 Rezolvați ecuația rezultată folosind metode cunoscute.

Exemplu.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Soluţie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 sau 2cos x + 1 = 0;

Din prima ecuație 2x = π/2 + πn, n Є Z; din a doua ecuație cos x = -1/2.

Avem x = π/4 + πn/2, n Є Z; din a doua ecuație x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ca rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Răspuns: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Abilitatea și abilitățile de a rezolva ecuații trigonometrice sunt foarte important, dezvoltarea lor necesită un efort considerabil, atât din partea elevului, cât și a profesorului.

Multe probleme de stereometrie, fizică etc. sunt asociate cu rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.Procesul de rezolvare a unor astfel de probleme, așa cum spune, conține multe dintre cunoștințele și abilitățile care sunt dobândite la studierea elementelor de trigonometrie.

Ecuațiile trigonometrice ocupă un loc important în procesul de predare a matematicii și de dezvoltare a personalității în general.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Ecuații trigonometrice mai complexe

Ecuații

păcat x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

sunt cele mai simple ecuații trigonometrice. În această secțiune, folosind exemple specifice, vom lua în considerare ecuații trigonometrice mai complexe. Soluția lor, de regulă, se reduce la rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice.

Exemplu 1 . rezolva ecuatia

păcatul 2 X= cos X păcatul 2 X.

Transferând toți termenii acestei ecuații în partea stângă și descompunând expresia rezultată în factori, obținem:

păcatul 2 X(1 - cos X) = 0.

Produsul a două expresii este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero, iar celălalt ia orice valoare numerică, atâta timp cât este definită.

În cazul în care un păcatul 2 X = 0 , apoi 2 X=n π ; X = π / 2n.

Dacă 1 - cos X = 0 , apoi cos X = 1; X = 2kπ .

Deci, avem două grupuri de rădăcini: X = π / 2n; X = 2kπ . Al doilea grup de rădăcini este în mod evident cuprins în primul, deoarece pentru n = 4k expresia X = π / 2n devine
X = 2kπ .

Prin urmare, răspunsul poate fi scris într-o singură formulă: X = π / 2n, Unde n-orice număr întreg.

Rețineți că această ecuație nu a putut fi rezolvată prin reducerea cu sin 2 X. Într-adevăr, după reducere, am obține 1 - cos x = 0, de unde X= 2k π . Astfel, am pierde niște rădăcini, de exemplu π / 2 , π , 3π / 2 .

EXEMPLUL 2. rezolva ecuatia

O fracție este zero numai dacă numărătorul ei este zero.
De aceea păcatul 2 X = 0 , de unde 2 X=n π ; X = π / 2n.

Din aceste valori X ar trebui aruncate ca străine acele valori pentru care păcatX dispare (fracțiile cu numitorul zero sunt lipsite de sens: împărțirea la zero nu este definită). Aceste valori sunt numere care sunt multipli ale π . În formulă
X = π / 2n se obţin pentru chiar n. Prin urmare, rădăcinile acestei ecuații vor fi numerele

X = π / 2 (2k + 1),

unde k este orice număr întreg.

Exemplu 3 . rezolva ecuatia

2 păcatul 2 X+ 7 cos X - 5 = 0.

Expres păcatul 2 X prin cosX : păcatul 2 X = 1 - cos 2X . Apoi această ecuație poate fi rescrisă ca

2 (1 - cos 2 X) + 7 cos X - 5 = 0 , sau

2cos 2 X- 7cos X + 3 = 0.

denotând cosX prin la, ajungem la ecuația pătratică

2y 2 - 7y + 3 = 0,

ale căror rădăcini sunt numerele 1 / 2 și 3. Prin urmare, fie cos X= 1 / 2 sau cos X= 3. Cu toate acestea, acesta din urmă este imposibil, deoarece valoarea absolută a cosinusului oricărui unghi nu depășește 1.

Rămâne de recunoscut că cos X = 1 / 2 , Unde

X = ± 60° + 360° n.

Exemplu 4 . rezolva ecuatia

2 păcat X+ 3cos X = 6.

Pentru că păcatul X si cos X nu depășiți 1 în valoare absolută, apoi expresia
2 păcat X+ 3cos X nu poate lua valori mai mari decât 5 . Prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.

Exemplu 5 . rezolva ecuatia

păcat X+ cos X = 1

Punând la pătrat ambele părți ale acestei ecuații, obținem:

păcatul 2 X+ 2 păcat X cos X+ cos2 X = 1,

dar păcatul 2 X + cos 2 X = 1 . De aceea 2 păcat X cos X = 0 . În cazul în care un păcat X = 0 , apoi X = nπ ; dacă
cos X , apoi X = π / 2 + kπ . Aceste două grupuri de soluții pot fi scrise într-o singură formulă:

X = π / 2n

Deoarece am pătrat ambele părți ale acestei ecuații, este posibil ca printre rădăcinile pe care le-am obținut să existe și altele străine. De aceea, în acest exemplu, spre deosebire de toate precedentele, este necesar să se facă o verificare. Toate valorile

X = π / 2n poate fi împărțit în 4 grupe

	1) X = 2kπ .	(n=4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n=4k+1)
	3) X = π + 2kπ .	(n=4k+2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n=4k+3)

La X = 2kπ păcat X+ cos X= 0 + 1 = 1. Prin urmare, X = 2kπ sunt rădăcinile acestei ecuații.

La X = π / 2 + 2kπ. păcat X+ cos X= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2kπ sunt și rădăcinile acestei ecuații.

La X = π + 2kπ păcat X+ cos X= 0 - 1 = - 1. Prin urmare, valorile X = π + 2kπ nu sunt rădăcini ale acestei ecuații. În mod similar, se arată că X = 3π / 2 + 2kπ. nu sunt rădăcini.

Astfel, această ecuație are următoarele rădăcini: X = 2kπși X = π / 2 + 2mπ., Unde kși m- orice numere întregi.