Dacă mai multe unde se propagă simultan într-un mediu, atunci oscilațiile particulelor mediului se dovedesc a fi suma geometrică a oscilațiilor pe care particulele le-ar face în timpul propagării fiecăreia dintre unde separat. În consecință, undele pur și simplu se suprapun unele pe altele fără a se deranja. Această afirmație se numește principiul suprapunerii undelor. Principiul suprapunerii afirmă că mișcarea cauzată de propagarea mai multor unde simultan este din nou un anumit proces de undă. Un astfel de proces, de exemplu, este sunetul unei orchestre. Ea apare din excitarea simultană a vibrațiilor sonore ale aerului de către instrumentele muzicale individuale. Este remarcabil că atunci când undele sunt suprapuse, pot apărea fenomene speciale. Ele sunt numite efecte de adunare sau, după cum se spune, suprapunerea undelor. Dintre aceste efecte, cele mai importante sunt interferența și difracția.
Interferența este un fenomen de redistribuire susținută în timp a energiei vibrațiilor în spațiu, în urma căruia vibrațiile sunt amplificate în unele locuri și slăbite în altele. Acest fenomen apare la adăugarea undelor cu o diferență de fază care persistă în timp, așa-numitele unde coerente. Interferența unui număr mare de unde se numește în mod obișnuit difracție. Nu există nicio diferență fundamentală între interferență și difracție. Natura acestor fenomene este aceeași. Ne limităm la a discuta doar un efect de interferență foarte important, care este formarea undelor staționare.
O condiție necesară pentru formarea undelor stătătoare este prezența limitelor care reflectă undele incidente asupra lor. Undele stătătoare se formează ca urmare a adunării undelor incidente și reflectate. Fenomenele de acest fel sunt destul de frecvente. Deci, fiecare ton al sunetului oricărui instrument muzical este excitat de un val staționar. Această undă se formează fie într-o coarde (instrumente cu coarde), fie într-o coloană de aer (instrumente de suflat). Limitele reflectorizante în aceste cazuri sunt punctele de atașare ale coardei și suprafețele cavităților interne ale instrumentelor de suflat.
Fiecare undă staționară are următoarele proprietăți. Întreaga regiune a spațiului în care este excitată unda poate fi împărțită în celule în așa fel încât oscilațiile să fie complet absente la limitele celulelor. Punctele situate pe aceste limite se numesc nodurile undei staţionare. Fazele oscilațiilor în punctele interne ale fiecărei celule sunt aceleași. Oscilațiile în celulele vecine se fac unele față de altele, adică în antifază. În interiorul unei celule, amplitudinea oscilațiilor variază în spațiu și atinge valoarea maximă într-un loc. Punctele în care se observă acest lucru se numesc antinoduri ale undei staţionare. În cele din urmă, o proprietate caracteristică a undelor staţionare este caracterul discret al spectrului lor de frecvenţă. Într-o undă staționară, oscilațiile pot apărea numai cu frecvențe strict definite, iar trecerea de la una dintre ele la alta are loc într-un salt.
Luați în considerare un exemplu simplu de undă staționară. Să presupunem că un șir de lungime limitată este întins de-a lungul axei; capetele sale sunt fixate rigid, iar capătul din stânga se află la originea coordonatelor. Atunci coordonata capătului drept va fi . Să excităm un val într-un șir
,
răspândindu-se de la stânga la dreapta. Valul va fi reflectat de la capătul drept al șirului. Să presupunem că acest lucru se întâmplă fără pierderi de energie. În acest caz, unda reflectată va avea aceeași amplitudine și aceeași frecvență ca și unda incidentă. Prin urmare, unda reflectată ar trebui să aibă forma:
Faza sa conține o constantă care determină schimbarea de fază la reflexie. Deoarece reflexia are loc la ambele capete ale șirului și fără pierderi de energie, undele de aceeași frecvență se vor propaga simultan în șir. Prin urmare, atunci când adăugați, ar trebui să apară interferențe. Să găsim valul rezultat.
Aceasta este ecuația undei staționare. Din aceasta rezultă că în fiecare punct al coardei se produc vibrații cu o frecvență. În acest caz, amplitudinea oscilațiilor într-un punct este egală cu
.
Deoarece capetele șirului sunt fixe, nu există vibrații acolo. Din condiția ca . Așa că ajungem cu:
.
Acum este clar că în punctele în care , nu există deloc oscilații. Aceste puncte sunt nodurile undei staţionare. În același loc, unde , amplitudinea oscilației este maximă, este egală cu dublul valorii amplitudinii oscilațiilor adăugate. Aceste puncte sunt antinodurile undei staţionare. Apariția antinodurilor și a nodurilor este tocmai interferența: în unele locuri oscilațiile sunt amplificate, în timp ce în altele dispar. Distanţa dintre un nod vecin şi un antinod se găseşte din condiţia evidentă: . Pentru că atunci . Prin urmare, distanța dintre nodurile adiacente este .
Din ecuația undei staționare se poate observa că factorul 
la trecerea prin zero, își schimbă semnul. În conformitate cu aceasta, faza oscilațiilor pe diferite părți ale nodului diferă cu . Aceasta înseamnă că punctele situate pe părțile opuse ale nodului oscilează în antifază. Toate punctele închise între două noduri vecine oscilează în aceeași fază.
Astfel, la adăugarea undelor incidente și reflectate, este într-adevăr posibil să se obțină modelul de mișcare a undei care a fost caracterizat mai devreme. În acest caz, celulele care au fost discutate în cazul unidimensional sunt segmente închise între noduri învecinate și având lungimea .
În cele din urmă, să ne asigurăm că unda pe care am considerat-o poate exista doar la frecvențe de oscilație strict definite. Să folosim faptul că nu există vibrații la capătul drept al coardei, adică . Prin urmare, se dovedește că. Această egalitate este posibilă dacă , unde este un număr întreg pozitiv arbitrar.
6.1 Unde stătătoare într-un mediu elastic
Conform principiului suprapunerii, atunci când mai multe unde se propagă simultan într-un mediu elastic, are loc suprapunerea lor, iar undele nu se perturbă între ele: vibrațiile particulelor mediului sunt suma vectorială a vibrațiilor pe care le-ar produce particulele. în timpul propagării fiecăreia dintre unde separat .
Se numesc undele care creează oscilații ale mediului, diferențele de fază între care sunt constante în fiecare punct al spațiului coerent.
Când se adaugă unde coerente, apare fenomenul interferență, care constă în faptul că în unele puncte din spațiu undele se întăresc reciproc, iar în alte puncte se slăbesc. Un caz important de interferență se observă atunci când se suprapun două unde plane opuse cu aceeași frecvență și amplitudine. Oscilațiile rezultate se numesc val în picioare. Cel mai adesea, undele staționare apar atunci când o undă care călătorește este reflectată de un obstacol. În acest caz, unda incidentă și unda reflectată spre ea, când sunt adunate împreună, dau o undă staționară.
Obținem ecuația undei staționare. Să luăm două unde armonice plane care se propagă una spre alta de-a lungul axei Xși având aceeași frecvență și amplitudine:
Unde 
- faza de oscilaţii a punctelor mediului în timpul trecerii primului val;
- faza de oscilaţii a punctelor mediului în timpul trecerii celei de-a doua undă.
Diferența de fază în fiecare punct al axei X rețeaua nu va depinde de timp, adică va fi constant:
Prin urmare, ambele valuri vor fi coerente.
Oscilația particulelor de mediu rezultată din adăugarea undelor considerate va fi următoarea:
Transformăm suma cosinusurilor unghiurilor conform regulii (4.4) și obținem:
Rearanjand factorii, obtinem:
Pentru a simplifica expresia, alegem originea astfel încât diferența de fază 
și originea timpului, astfel încât suma fazelor să fie egală cu zero: 
.
Atunci ecuația pentru suma undelor va lua forma:
Ecuația (6.6) se numește ecuaţia undei staţionare. Din aceasta se poate observa că frecvența undei staționare este egală cu frecvența undei de călătorie, iar amplitudinea, spre deosebire de unda de călătorie, depinde de distanța de la origine:
. (6.7)
Luând în considerare (6.7), ecuația undei staționare ia forma:
. (6.8)
Astfel, punctele mediului oscilează cu o frecvență care coincide cu frecvența undei de călătorie și cu o amplitudine. A, in functie de pozitia punctului pe axa X. În consecință, amplitudinea se modifică conform legii cosinusului și are propriile maxime și minime (Fig. 6.1).
 |
Pentru a vizualiza locația minimelor și maximelor amplitudinii înlocuim, conform (5.29), numărul de undă cu valoarea sa:
Atunci expresia (6.7) pentru amplitudine ia forma
(6.10)
Din aceasta devine clar că amplitudinea deplasării este maximă la 
, adică în punctele a căror coordonată îndeplinește condiția:
, (6.11)
Unde 
De aici obținem coordonatele punctelor în care amplitudinea deplasării este maximă:
; (6.12)
Se numesc punctele în care amplitudinea oscilațiilor mediului este maximă antinoduri de undă.
Amplitudinea undei este zero în punctele în care 
. Coordonatele unor astfel de puncte, numite noduri ondulate, îndeplinește condiția:
, (6.13)
Unde
Din (6.13) se poate observa că coordonatele nodurilor au valorile:
, (6.14)
Pe fig. 6.2 prezintă o vedere aproximativă a unui val staționar, locația nodurilor și a antinodurilor este marcată. Se poate observa că nodurile și antinodurile vecine ale deplasării sunt distanțate unul de celălalt la aceeași distanță.
 |
Găsiți distanța dintre antinoduri și noduri adiacente. Din (6.12) obținem distanța dintre antinoduri:
(6.15)
Distanța dintre noduri se obține din (6.14):
(6.16)
Din relațiile (6.15) și (6.16) obținute se poate observa că distanța dintre nodurile vecine, precum și între antinodurile vecine, este constantă și egală cu; nodurile și antinodurile sunt deplasate unul față de celălalt de (Fig. 6.3).
Din definiția lungimii de undă, putem scrie o expresie pentru lungimea undei staționare: este egală cu jumătate din lungimea undei de călătorie:
Să scriem, ținând cont de (6.17), expresii pentru coordonatele nodurilor și antinodurilor:
, (6.18)
, 
(6.19)
Multiplicatorul , care determină amplitudinea undei staționare, își schimbă semnul la trecerea prin valoarea zero, drept urmare faza oscilațiilor pe părțile opuse ale nodului diferă cu . În consecință, toate punctele situate pe diferite părți ale nodului oscilează în antifază. Toate punctele dintre nodurile vecine oscilează în fază.
 |
Nodurile împart în mod condiționat mediul în regiuni autonome în care oscilațiile armonice apar independent. Nu există transfer de mișcare între regiuni și, prin urmare, nu există nici un flux de energie între regiuni. Adică, nu există nicio transmitere a perturbației de-a lungul axei. Prin urmare, valul se numește în picioare.
Deci, o undă staționară este formată din două unde de călătorie direcționate opus, cu frecvențe și amplitudini egale. Vectorii Umov ai fiecăreia dintre aceste unde sunt egali ca modul și opuși ca direcție, iar atunci când sunt adăugați, dau zero. Prin urmare, o undă staționară nu transferă energie.
6.2 Exemple de unde staționare
6.2.1 Undă staționară într-o șiră
Luați în considerare un șir de lungime L, fixat la ambele capete (Fig. 6.4).
Să plasăm axa de-a lungul șirului X astfel încât capătul stâng al șirului să aibă coordonatele x=0, și dreapta x=L. Vibrațiile apar în șir, descrise de ecuația:
Să notăm condițiile la limită pentru șirul considerat. Deoarece capetele sale sunt fixe, atunci în puncte cu coordonate x=0și x=L fără ezitare:
(6.22)
Să găsim ecuația vibrațiilor corzilor pe baza condițiilor la limită scrise. Scriem ecuația (6.20) pentru capătul din stânga șirului, ținând cont de (6.21):
Relația (6.23) este valabilă pentru orice moment t in doua cazuri:
1. 
. Acest lucru este posibil dacă nu există vibrații în șir (). Acest caz nu prezintă interes și nu îl vom lua în considerare.
2. . Aici este faza. Acest caz ne va permite să obținem ecuația pentru vibrațiile corzilor.
Să substituim valoarea fazei obținute în condiția la limită (6.22) pentru capătul drept al șirului:
. (6.25)
Dat fiind
, (6.26)
din (6.25) obținem:
Din nou, apar două cazuri în care relația (6.27) este satisfăcută. Cazul în care nu există vibrații în șir (), nu vom lua în considerare.
În al doilea caz, egalitatea trebuie să aibă loc:
și acest lucru este posibil numai atunci când argumentul sinus este un multiplu al unui întreg:
Renunțăm la valoarea, pentru că în acest caz, ceea ce ar însemna fie lungimea șirului zero ( L=0) sau wave-new number k=0. Având în vedere relația (6.9) dintre numărul de undă și lungimea de undă, este clar că pentru ca numărul de undă să fie egal cu zero, lungimea de undă ar trebui să fie infinită, iar aceasta ar însemna absența oscilațiilor.
Din (6.28) se poate observa că numărul de undă în timpul vibrațiilor unui șir fixat la ambele capete poate lua doar anumite valori discrete:
Ținând cont de (6.9), scriem (6.30) ca:
de unde derivăm expresia pentru posibilele lungimi de undă din șir:
Cu alte cuvinte, pe lungimea șirului L trebuie să fie un număr întreg n jumatate de val:
Frecvențele de oscilație corespunzătoare pot fi determinate din (5.7):
Iată viteza de fază a undei, care, conform (5.102), depinde de densitatea liniară a șirului și de forța de tensiune a corzii:
Înlocuind (6.34) în (6.33), obținem o expresie care descrie posibilele frecvențe de vibrație ale coardei:
, (6.36)
Se numesc frecvențe frecvențe naturale siruri de caractere. frecvență (când n = 1):
(6.37)
numit frecventa fundamentala(sau tonul principal) siruri de caractere. Frecvente determinate la n>1 numit acorduri sau armonici. Numărul armonic este n-1. De exemplu, frecvența:
corespunde primei armonice, iar frecvența:
corespunde celei de-a doua armonice și așa mai departe. Deoarece un șir poate fi reprezentat ca un sistem discret cu un număr infinit de grade de libertate, fiecare armonică este Modă vibrații ale corzilor. În cazul general, vibrațiile corzilor sunt o suprapunere de moduri.
 |
Fiecare armonică are propria lungime de undă. Pentru tonul principal (cu n= 1) lungime de undă:
pentru prima și, respectiv, a doua armonică (at n= 2 și n= 3) lungimile de undă vor fi:
Figura 6.5 prezintă o vedere a mai multor moduri de vibrație efectuate de o sfoară.
Astfel, un șir cu capete fixe realizează un caz excepțional în cadrul fizicii clasice - un spectru discret de frecvență de oscilație (sau lungimi de undă). O tijă elastică cu unul sau ambele capete prinse se comportă în același mod, ca și fluctuațiile coloanei de aer din țevi, care vor fi discutate în secțiunile ulterioare.
6.2.2 Influența condițiilor inițiale asupra mișcării
sfoară continuă. Analiza Fourier
Vibrațiile unei corzi cu capete prinse, pe lângă un spectru discret de frecvențe de vibrație, au încă o proprietate importantă: forma specifică a vibrațiilor unei corzi depinde de metoda de excitare a vibrațiilor, adică. din conditiile initiale. Să luăm în considerare mai detaliat.
Ecuația (6.20), care descrie un mod de undă staționară într-un șir, este o soluție particulară a ecuației de undă diferențială (5.61). Deoarece vibrația unei coarde constă din toate modurile posibile (pentru o coardă - un număr infinit), atunci soluția generală a ecuației de undă (5.61) constă dintr-un număr infinit de soluții particulare:
, (6.43)
Unde i este numărul modului de oscilație. Expresia (6.43) se scrie ținând cont de faptul că capetele șirului sunt fixe:
și ținând cont și de conexiunea de frecvență i al-lea mod și numărul său de undă:
(6.46)
Aici 
– numărul de undă i moda;
este numărul de undă al primului mod;
Să găsim valoarea fazei inițiale pentru fiecare mod de oscilație. Pentru asta, la momentul respectiv t=0 să dăm șirului o formă descrisă de funcție f 0 (X), expresia pentru care obținem din (6.43):
. (6.47)
Pe fig. 6.6 arată un exemplu de formă a unui șir descris de funcția mea f 0 (X).
 |
La un moment dat t=0 sfoara este inca in repaus, i.e. viteza tuturor punctelor sale este egală cu zero. Din (6.43) găsim o expresie pentru viteza punctelor șirului:
şi prin substituirea în ea t=0, obținem o expresie pentru viteza punctelor șirului în momentul inițial de timp:
. (6.49)
Deoarece în momentul inițial de timp viteza este egală cu zero, atunci expresia (6.49) va fi egală cu zero pentru toate punctele șirului, dacă . De aici rezultă că faza inițială pentru toate modurile este, de asemenea, zero (). Având în vedere acest lucru, expresia (6.43), care descrie mișcarea șirului, ia forma:
, (6.50)
iar expresia (6.47), care descrie forma inițială a șirului, arată astfel:
. (6.51)
O undă staționară într-un șir este descrisă de o funcție care este periodică pe intervalul , unde este egală cu două lungimi de șir (Fig. 6.7):
Acest lucru se poate observa din faptul că periodicitatea pe interval înseamnă:
Prin urmare,
ceea ce ne aduce la exprimare (6.52).
Din analiza matematică se știe că orice funcție periodică poate fi extinsă cu mare precizie într-o serie Fourier:
, (6.57)
unde , , sunt coeficienții Fourier.
Luați în considerare rezultatul interferenței a două unde plane sinusoidale de aceeași amplitudine și frecvență care se propagă în direcții opuse. Pentru simplitatea raționamentului, presupunem că ecuațiile acestor unde au forma:
Aceasta înseamnă că la origine ambele unde provoacă oscilații în aceeași fază. În punctul A cu coordonata x, valoarea totală a mărimii oscilante, conform principiului suprapunerii (vezi § 19), este
Această ecuație arată că, ca urmare a interferenței undelor înainte și înapoi în fiecare punct al mediului (cu o coordonată fixă) are loc o oscilație armonică cu aceeași frecvență, dar cu o amplitudine.
dependent de valoarea coordonatei x. În punctele din mediu unde nu există deloc vibrații: aceste puncte sunt numite noduri de vibrații.
În punctele în care amplitudinea oscilațiilor are cea mai mare valoare, aceste puncte se numesc antinoduri ale oscilațiilor. Este ușor de arătat că distanța dintre nodurile învecinate sau antinodurile învecinate este egală cu distanța dintre antinod și cel mai apropiat nod este egală cu Când x se schimbă cu cosinus în formula (5.16), acesta își inversează semnul (argumentul său se schimbă astfel încât dacă într-o jumătate de undă - de la un nod la altul - particulele mediului au deviat într-o direcție, atunci în semiundă vecină, particulele mediului vor fi deviate în direcția opusă.
Procesul undelor într-un mediu descris prin formula (5.16) se numește undă staționară. Grafic, o undă staționară poate fi reprezentată așa cum se arată în Fig. 1,61. Să presupunem că y are o deplasare a punctelor mediului din starea de echilibru; atunci formula (5.16) descrie o „undă de deplasare staționară”. La un moment dat, când toate punctele mediului au deplasări maxime, a căror direcție, în funcție de valoarea coordonatei x, este determinată de semn.Aceste deplasări sunt prezentate în Fig. 1.61 cu săgeți solide. După un sfert din perioadă, când deplasările tuturor punctelor mediului sunt egale cu zero; particulele de mediu trec prin linie cu viteze diferite. După încă un sfert de perioadă, când particulele mediului vor avea din nou deplasări maxime, dar în sens invers; aceste decalaje sunt afișate în
orez. 1,61 săgeți întrerupte. Punctele sunt antinodurile undei de deplasare staționară; punctele nodurilor acestui val.
Trăsăturile caracteristice ale unei unde staționare, spre deosebire de o undă convențională de propagare sau de călătorie, sunt următoarele (adică unde plane în absența atenuării):
1) într-o undă staționară, amplitudinile oscilației sunt diferite în diferite părți ale sistemului; sistemul are noduri și antinoduri de oscilații. Într-o undă „călătoare”, aceste amplitudini sunt aceleași peste tot;
2) în aria sistemului de la un nod la cel vecin, toate punctele mediului oscilează în aceeași fază; la trecerea la o secţiune învecinată fazele oscilaţiilor sunt inversate. Într-o undă călătoare, fazele oscilațiilor, conform formulei (5.2), depind de coordonatele punctelor;
3) într-o undă staționară nu există un transfer unidirecțional de energie, așa cum este cazul într-o undă care călătorește.
Când descriem procesele oscilatorii în sisteme elastice, valoarea oscilante y poate fi luată nu numai ca deplasarea sau viteza particulelor sistemului, ci și ca valoare a deformației relative sau valoarea tensiunii în compresie, tensiune sau forfecare etc. În același timp, într-o undă staționară, în locurile în care se formează antinoduri de viteze ale particulelor, sunt localizate nodurile de deformare și invers, nodurile de viteză coincid cu antinoduri de deformare. Transformarea energiei din cinetică în potențial și invers are loc în secțiunea sistemului de la antinod la nodul vecin. Putem presupune că fiecare astfel de secțiune nu face schimb de energie cu secțiunile învecinate. Rețineți că transformarea energiei cinetice a particulelor în mișcare în energia potențială a secțiunilor deformate ale mediului are loc de două ori într-o perioadă.
Mai sus, având în vedere interferența undelor directe și înapoi (vezi expresiile (5.16)), nu ne-a interesat originea acestor unde. Să presupunem acum că mediul în care se propagă vibrațiile are dimensiuni limitate, de exemplu, vibrațiile sunt cauzate într-un corp solid - într-o tijă sau sfoară, într-o coloană de lichid sau gaz etc. O undă care se propagă într-un astfel de mediu ( corp) , se reflectă din limite, prin urmare, în volumul acestui corp, interferența undelor cauzată de o sursă externă și reflectată de granițe are loc continuu.
Luați în considerare cel mai simplu exemplu; să presupunem că, într-un punct (Fig. 1.62) al unei tije sau al unei sfori, o mișcare oscilativă cu o frecvență este excitată cu ajutorul unei surse sinusoidale exterioare; alegem originea referinței de timp astfel încât în acest moment deplasarea să fie exprimată prin formula
unde amplitudinea oscilației în punctul Unda indusă în tijă va fi reflectată de la al doilea capăt al tijei 0% și va merge în direcția opusă
direcţie. Să găsim rezultatul interferenței undelor directe și reflectate într-un anumit punct al tijei având coordonata x. Pentru simplitatea raționamentului, presupunem că nu există o absorbție a energiei vibraționale în tijă și, prin urmare, amplitudinile undelor directe și reflectate sunt egale.
La un moment dat în timp, când deplasarea particulelor oscilante într-un punct este egală cu y, într-un alt punct al tijei, deplasarea cauzată de o undă directă va fi, conform formulei de undă, egală cu
Unda reflectată trece de asemenea prin același punct A. Pentru a găsi deplasarea cauzată în punctul A de unda reflectată (în același timp este necesar să se calculeze timpul în care unda va călători de la și înapoi la punct Deoarece deplasarea cauzată în punctul de unda reflectată va fi egal cu
În acest caz, se presupune că la capătul reflector al tijei în procesul de reflexie nu are loc o schimbare bruscă a fazei de oscilație; în unele cazuri apare o astfel de schimbare de fază (numită pierdere de fază) și trebuie luată în considerare.
Adăugarea vibrațiilor cauzate în diferite puncte ale tijei de undele directe și reflectate dă o undă staționară; într-adevăr,
unde este o fază constantă, independentă de coordonata x și de cantitate
este amplitudinea oscilației în punct; depinde de coordonata x, adică este diferită în diferite locuri ale tijei.
Să găsim coordonatele acelor puncte ale tijei în care se formează nodurile și antinodurile undei staţionare. Cosinusul se transformă în zero sau unu apare la valorile argumentului care sunt multipli de
unde este un număr întreg. Pentru o valoare impară a acestui număr, cosinusul dispare și formula (5.19) dă coordonatele nodurilor undei staționare; căci chiar și noi obținem coordonatele antinodurilor.
Mai sus s-au adăugat doar două unde: una directă care vine de la și una reflectată care se propagă, dar trebuie avut în vedere că unda reflectată la limita tijei se va reflecta din nou și va merge în direcția undei directe. Asemenea reflecții
va fi mult de la capetele tijei și, prin urmare, este necesar să găsim rezultatul interferenței nu a două, ci a tuturor undelor existente simultan în tijă.
Să presupunem că o sursă externă de vibrații a provocat valuri în tijă pentru o perioadă de timp, după care fluxul de energie vibrațională din exterior s-a oprit. În acest timp, în tijă au avut loc reflexii, unde este timpul în care valul a trecut de la un capăt la celălalt al tijei. În consecință, în tijă vor exista simultan unde care se deplasează în direcția înainte și unde se deplasează în direcția opusă.
Să presupunem că, ca urmare a interferenței unei perechi de unde (directe și reflectate), deplasarea în punctul A s-a dovedit a fi egală cu y. Să găsim condiția în care toate deplasările y cauzate de fiecare pereche de unde au aceleași direcții în punctul A al tijei și, prin urmare, se adună. Pentru aceasta, fazele oscilațiilor cauzate de fiecare pereche de unde într-un punct trebuie să difere de faza oscilațiilor cauzate de următoarea pereche de unde. Dar fiecare undă revine din nou în punctul A cu aceeași direcție de propagare numai după un timp, adică rămâne în urmă în fază egalând acest întârziere unde este un număr întreg, obținem
adică, un număr întreg de semi-unde trebuie să se potrivească de-a lungul lungimii tijei. Rețineți că în această condiție, fazele tuturor undelor care călătoresc din direcția înainte diferă unele de altele prin unde este un număr întreg; exact în același mod, fazele tuturor undelor care se deplasează din direcția opusă diferă unele de altele prin .se vor schimba; va crește doar amplitudinea oscilațiilor. Dacă amplitudinea maximă a oscilațiilor în timpul interferenței a două unde, conform formulei (5.18), este egală, atunci cu interferența multor unde va fi mai mare. Să o notăm că atunci distribuția amplitudinii oscilației de-a lungul tijei în loc de expresia (5.18) va fi determinată de formula
Expresiile (5.19) și (5.20) determină punctele în care cosinusul are valorile sau 1:
unde este un număr întreg Coordonatele nodurilor undei staţionare vor fi obţinute din această formulă pentru valori impare, apoi, în funcţie de lungimea tijei, adică de valoarea
coordonatele antinodurilor vor fi obţinute cu valori pare
Pe fig. 1.63 prezintă schematic o undă staționară într-o tijă, a cărei lungime; punctele sunt antinoduri, punctele sunt nodurile acestei unde staţionare.
În cap. s-a demonstrat că, în absența unor influențe externe periodice, natura mișcărilor de codificare în sistem și, mai ales, mărimea principală - frecvența de oscilație - sunt determinate de dimensiunile și proprietățile fizice ale sistemului. Fiecare sistem oscilator are propria sa mișcare oscilativă inerentă; această fluctuație poate fi observată dacă sistemul este scos din echilibru și apoi influențele externe sunt eliminate.
În cap. 4 ore Am considerat sisteme predominant oscilatorii cu parametrii concentrați, în care unele corpuri (punctul) posedau masă inerțială, iar alte corpuri (arcuri) posedau proprietăți elastice. În schimb, sistemele oscilatoare în care masa și elasticitatea sunt inerente fiecărui volum elementar se numesc sisteme cu parametri distribuiți. Acestea includ tijele discutate mai sus, corzi, precum și coloane de lichid sau gaz (în instrumentele muzicale de suflat), etc. Pentru astfel de sisteme, undele staționare sunt vibrații naturale; principala caracteristică a acestor unde - lungimea de undă sau distribuția nodurilor și antinodurilor, precum și frecvența oscilațiilor - este determinată numai de dimensiunile și proprietățile sistemului. Undele staţionare pot exista şi în absenţa unei acţiuni externe (periodice) asupra sistemului; această acţiune este necesară doar pentru a provoca sau menţine unde staţionare în sistem sau pentru a modifica amplitudinile oscilaţiilor. În special, dacă o acțiune externă asupra unui sistem cu parametri distribuiți are loc la o frecvență egală cu frecvența oscilațiilor sale naturale, adică frecvența unei unde staționare, atunci are loc fenomenul de rezonanță, care a fost considerat în cap. 5. pentru diferite frecvențe este același.
Astfel, în sistemele cu parametri distribuiți, oscilațiile naturale - undele staționare - se caracterizează printr-un întreg spectru de frecvențe care sunt multipli unele ale altora. Cea mai mică dintre aceste frecvențe corespunzătoare celei mai lungi lungimi de undă se numește frecvență fundamentală; restul) sunt tonuri sau armonice.
Fiecare sistem se caracterizează nu numai prin prezența unui astfel de spectru de oscilații, ci și printr-o anumită distribuție a energiei între oscilații de diferite frecvențe. Pentru instrumentele muzicale, această distribuție conferă sunetului o caracteristică particulară, așa-numitul timbru sonor, care este diferit pentru diferite instrumente.
Calculele de mai sus se referă la o „tijă de lungime” oscilantă liber. Cu toate acestea, avem de obicei tije fixate la unul sau ambele capete (de exemplu, corzi vibratoare), sau există unul sau mai multe puncte de-a lungul tijei. mișcările sunt noduri de deplasare forțată. De exemplu,
dacă este necesar să se obțină unde stătătoare în tijă la unul, două, trei puncte de fixare etc., atunci aceste puncte nu pot fi alese arbitrar, ci trebuie să fie amplasate de-a lungul tijei astfel încât să se afle la nodurile undei stătătoare formate. . Acest lucru este prezentat, de exemplu, în Fig. 1,64. În aceeași figură, linia punctată arată deplasările punctelor tijei în timpul vibrațiilor; Antinoduri de deplasare sunt întotdeauna formate la capete libere, iar noduri de deplasare la capete fixe. Pentru coloanele de aer oscilante din conducte se obțin noduri de deplasare (și viteze) la pereții plini reflectorizați; la capetele deschise ale tuburilor se formează antinoduri de deplasări și viteze.
Dacă mai multe unde se propagă simultan în mediu, atunci oscilațiile particulelor mediului se dovedesc a fi suma geometrică a oscilațiilor pe care particulele le-ar face în timpul propagării fiecăreia dintre unde separat. În consecință, undele pur și simplu se suprapun unele pe altele fără a se deranja. Această afirmație se numește principiul suprapunerii (suprapoziției) undelor.
În cazul în care oscilațiile cauzate de undele individuale în fiecare dintre punctele mediului au o diferență de fază constantă, undele se numesc coerente. (O definiție mai riguroasă a coerenței va fi dată în § 120.) Când se adună undele coerente, apare fenomenul de interferență, care constă în faptul că oscilațiile în unele puncte se întăresc, iar în alte puncte se slăbesc reciproc.
Un caz foarte important de interferență se observă atunci când se suprapun două unde plane de contrapropagare cu aceeași amplitudine. Procesul oscilator rezultat se numește undă staționară. Practic, undele staționare apar atunci când valurile sunt reflectate de obstacole. Valul care cade pe barieră și unda reflectată care merge spre ea, suprapuse una peste alta, dau un val staționar.
Să scriem ecuațiile a două unde plane care se propagă de-a lungul axei x în direcții opuse:
Punând aceste ecuații împreună și transformând rezultatul folosind formula pentru suma cosinusurilor, obținem
Ecuația (99.1) este ecuația undei staționare. Pentru a o simplifica, alegem originea astfel încât diferența să devină egală cu zero, iar originea - astfel încât suma să se dovedească a fi zero. În plus, înlocuim numărul de undă k cu valoarea sa.
Atunci ecuația (99.1) ia forma
Din (99.2) se poate observa că în fiecare punct al undei staţionare apar oscilaţii de aceeaşi frecvenţă ca în undele contrare, iar amplitudinea depinde de x:
amplitudinea oscilaţiei atinge valoarea maximă. Aceste puncte sunt numite antinoduri ale undei staţionare. Din (99.3) se obțin valorile coordonatelor antinodului:
Trebuie avut în vedere că antinodul nu este un singur punct, ci un plan, ale cărui puncte au valorile coordonatei x determinate de formula (99.4).
În punctele ale căror coordonate satisfac condiția
amplitudinea oscilației dispare. Aceste puncte sunt numite nodurile undei staţionare. Punctele mediului situat la noduri nu oscilează. Coordonatele nodului contează
Un nod, ca un antinod, nu este un singur punct, ci un plan, ale cărui puncte au valori de coordonate x determinate de formula (99.5).
Din formulele (99.4) și (99.5) rezultă că distanța dintre antinodurile vecine, precum și distanța dintre nodurile vecine, este egală cu . Antinodurile și nodurile sunt deplasate unul față de celălalt cu un sfert din lungimea de undă.
Să revenim din nou la ecuația (99.2). Multiplicatorul își schimbă semnul când trece prin zero. În conformitate cu aceasta, faza oscilațiilor pe părțile opuse ale nodului diferă prin Aceasta înseamnă că punctele situate pe părțile opuse ale nodului oscilează în antifază. Toate punctele închise între două noduri învecinate oscilează în fază (adică, în aceeași fază). Pe fig. 99.1 este dată o serie de „instantanee” ale abaterilor punctelor de la poziția de echilibru.
Prima „fotografie” corespunde momentului în care abaterile ating cea mai mare valoare absolută. „Fotografiile” ulterioare au fost făcute la intervale de un sfert de perioadă. Săgețile arată vitezele particulelor.
Diferențiând ecuația (99.2) o dată față de t și altă dată față de x, găsim expresii pentru viteza particulelor și pentru deformarea mediului:
Ecuația (99.6) descrie o undă staționară de viteză și (99.7) - o undă staționară de deformare.
Pe fig. 99.2 se compară „instantanee” de deplasare, viteză și deformare pentru momentele de timp 0. Din grafice se poate observa că nodurile și antinodurile vitezei coincid cu nodurile și antinodurile deplasării; nodurile și antinodurile deformației coincid, respectiv, cu antinodurile și nodurile deplasării. La atingerea valorilor maxime, dispare și invers.
În consecință, de două ori într-o perioadă, energia undei staționare se transformă fie complet în potențial, concentrată în principal în apropierea nodurilor undei (unde se află antinodurile deformației), apoi complet în energie cinetică, concentrată în principal în apropierea antinodurilor deformarii. unda (unde sunt situate antinodurile vitezei). Ca rezultat, există un transfer de energie de la fiecare nod la antinoduri adiacente acestuia și invers. Fluxul de energie medie în timp în orice secțiune a undei este egal cu zero.
