Din nou, triunghiul lui Pitagora :))) Dacă o bucată din diagonala mare de la baza mare până la punctul de intersecție este notă cu x, atunci rezultă din asemănarea evidentă a triunghiurilor dreptunghiulare cu aceleași unghiuri. x / 64 = 36 / x, deci x = 48; 48/64 = 3 / 4, deci TOATE triunghiurile dreptunghiulare formate din baze, diagonale și o latură perpendiculară pe bază sunt asemănătoare cu un triunghi cu laturile 3,4,5. Singura excepție este un triunghi format din bucăți de diagonale și o latură oblică, dar nu ne interesează :). (Pentru a fi clar, asemănarea în discuție este doar O ALTE DENUMITE funcții trigonometrice ale unghiurilor :) știm deja tangenta unghiului dintre diagonala mare și baza mare, este 3/4, deci sinusul este 3/5, iar cosinusul este 4 /5 :)) Puteți scrie imediat
Răspunsuri. Baza inferioară este de 80, înălțimea trapezului va fi de 60, iar cea de sus va fi de 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)
Sarcini conexe:
1. Baza prismei este un triunghi, în care o latură are 2 cm, iar celelalte două au câte 3 cm. Muchia laterală are 4 cm și face un unghi de 45 cu planul bazei. Aflați muchia unui cub egal.
2. Baza prismei înclinate este un triunghi echilateral cu latura a; una dintre fețele laterale este perpendiculară pe planul bazei și este un romb a cărui diagonală mai mică este c. Aflați volumul prismei.
3. Într-o prismă înclinată, baza este un triunghi dreptunghic, a cărui ipotenuză este egală cu c, un unghi ascuțit este 30, muchia laterală este egală cu și formează cu planul bazei un unghi de 60. Aflați volumul lui prisma.
1. Aflați latura unui pătrat dacă diagonala lui este de 10 cm
2. Într-un trapez isoscel, unghiul obtuz este cu 135 de grade mai mic decât baza este de 4 cm, iar înălțimea este de 2 cm, găsiți aria trapezului?
3. Înălțimea trapezului este de 3 ori mai mare decât una dintre baze, dar jumătate din cealaltă. Aflați bazele trapezului și înălțimea dacă aria trapezului este de 168 cm pătrat?
4. În triunghiul ABC, unghiul A = În unghi = 75 de grade. Aflați BC dacă aria unui triunghi este de 36 cm pătrat.
1. Într-un trapez ABCD cu laturile AB și CD, diagonalele se intersectează în punctul O
a) Comparați ariile triunghiurilor ABD și ACD
b) Comparați ariile triunghiurilor ABO și CDO
c) Demonstrați că OA*OB=OC*OD
2. Baza unui triunghi isoscel este legată de latură ca 4:3, iar înălțimea trasată la bază este de 30 cm. Aflați segmentele în care această înălțime este împărțită la bisectoarea unghiului de la bază.
3. Linia AM -tangentă la cerc, coarda AB a acestui cerc. Demonstrați că unghiul MAB se măsoară cu jumătate din arcul AB situat în interiorul unghiului MAB.
- Segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez este egal cu jumătate din diferența bazelor
- Triunghiurile formate din bazele trapezului și segmentele diagonalelor până la punctul de intersecție sunt asemănătoare
- Triunghiuri formate din segmente ale diagonalelor unui trapez, ale căror laturi se află pe laturile trapezului - sunt egale (au aceeași zonă)
- Dacă extindem laturile trapezului spre baza mai mică, atunci ele se vor intersecta într-un punct cu linia dreaptă care leagă punctele medii ale bazelor.
- Segmentul care leagă bazele trapezului și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului este împărțit la acest punct într-o proporție egală cu raportul dintre lungimile bazelor trapezului.
- Un segment paralel cu bazele trapezului și trasat prin punctul de intersecție al diagonalelor este traversat de acest punct, iar lungimea sa este 2ab / (a + b), unde a și b sunt bazele trapezului
Proprietățile unui segment care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez
Conectați punctele medii ale diagonalelor trapezului ABCD, în urma căruia vom avea un segment LM.
Un segment de dreaptă care unește punctele medii ale diagonalelor unui trapez se află pe linia mediană a trapezului.
Acest segment paralel cu bazele trapezului.
Lungimea segmentului care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez este egală cu jumătatea diferenței bazelor acestuia.
LM = (AD - BC)/2
sau
LM = (a-b)/2
Proprietățile triunghiurilor formate din diagonalele unui trapez
Triunghiurile care sunt formate din bazele trapezului și punctul de intersecție al diagonalelor trapezului - Sunt asemănătoare.
Triunghiurile BOC și AOD sunt similare. Deoarece unghiurile BOC și AOD sunt verticale, ele sunt egale.
Unghiurile OCB și OAD sunt transversale interne situate la liniile paralele AD și BC (bazele trapezului sunt paralele între ele) și linia secantă AC, prin urmare, sunt egale.
Unghiurile OBC și ODA sunt egale din același motiv (încrucișare internă).
Deoarece toate cele trei unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu unghiurile corespunzătoare ale altui triunghi, aceste triunghiuri sunt similare.
Ce rezultă din asta?
Pentru a rezolva probleme de geometrie, asemănarea triunghiurilor este utilizată după cum urmează. Dacă cunoaștem lungimile celor două elemente corespondente ale triunghiurilor similare, atunci găsim coeficientul de asemănare (împărțim unul la celălalt). De unde lungimile tuturor celorlalte elemente sunt legate între ele prin exact aceeași valoare.
Proprietățile triunghiurilor situate pe partea laterală și pe diagonalele unui trapez
Luați în considerare două triunghiuri situate pe laturile trapezului AB și CD. Acestea sunt triunghiuri AOB și COD. În ciuda faptului că dimensiunile laturilor individuale ale acestor triunghiuri pot fi complet diferite, dar ariile triunghiurilor formate de laturile si punctul de intersectie al diagonalelor trapezului sunt, adică triunghiurile sunt egale.
Dacă laturile trapezului sunt extinse spre baza mai mică, atunci punctul de intersecție al laturilor va fi coincid cu o linie dreaptă care trece prin punctele medii ale bazelor.
Astfel, orice trapez poate fi extins la un triunghi. în care:
- Triunghiurile formate din bazele unui trapez cu un vârf comun în punctul de intersecție al laturilor extinse sunt similare
- Linia dreaptă care leagă punctele medii ale bazelor trapezului este, în același timp, mediana triunghiului construit
Proprietățile unui segment care leagă bazele unui trapez
Dacă desenați un segment ale cărui capete se află pe bazele trapezului, care se află în punctul de intersecție al diagonalelor trapezului (KN), atunci raportul segmentelor sale constitutive din partea bazei la punctul de intersecție al diagonale (KO / ON) va fi egal cu raportul bazelor trapezului(BC/AD).
KO/ON=BC/AD
Această proprietate rezultă din asemănarea triunghiurilor corespunzătoare (vezi mai sus).
Proprietățile unui segment paralel cu bazele unui trapez
Dacă trasăm un segment paralel cu bazele trapezului și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului, atunci acesta va avea următoarele proprietăți:
- Distanță prestabilită (KM) bisectează punctul de intersecție al diagonalelor trapezului
- Lungimea tăiată, care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului și paralel cu bazele, este egal cu KM = 2ab/(a + b)
Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez
a, b- bazele unui trapez
c, d- laturile trapezului
d1 d2- diagonalele unui trapez
α β - unghiuri cu baza mai mare a trapezului
Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez prin baze, laturi și unghiuri de la bază
Primul grup de formule (1-3) reflectă una dintre principalele proprietăți ale diagonalelor trapezoidale:
1. Suma pătratelor diagonalelor unui trapez este egală cu suma pătratelor laturilor plus de două ori produsul bazelor sale. Această proprietate a diagonalelor unui trapez poate fi demonstrată ca o teoremă separată
2 . Această formulă se obține prin transformarea formulei anterioare. Pătratul celei de-a doua diagonale este aruncat peste semnul egal, după care rădăcina pătrată este extrasă din părțile din stânga și din dreapta expresiei.
3 . Această formulă de găsire a lungimii diagonalei unui trapez este similară cu cea anterioară, cu diferența că o altă diagonală rămâne în partea stângă a expresiei
Următorul grup de formule (4-5) are sens similar și exprimă o relație similară.
Grupul de formule (6-7) vă permite să găsiți diagonala unui trapez dacă cunoașteți baza mai mare a trapezului, o latură și unghiul de la bază.
Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez în termeni de înălțime
Sarcină.
Diagonalele trapezului ABCD (AD | | BC) se intersectează în punctul O. Aflați lungimea bazei BC a trapezului dacă baza AD = 24 cm, lungimea AO = 9 cm, lungimea OS = 6 cm.
Decizie.
Soluția acestei sarcini este absolut identică cu sarcinile anterioare din punct de vedere ideologic.
Triunghiurile AOD și BOC sunt similare în trei unghiuri - AOD și BOC sunt verticale, iar unghiurile rămase sunt egale pe perechi, deoarece sunt formate prin intersecția unei linii și a două linii paralele.
Întrucât triunghiurile sunt similare, toate dimensiunile lor geometrice sunt legate între ele, ca dimensiunile geometrice ale segmentelor AO și OC cunoscute nouă în funcție de starea problemei. i.e
AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / î.Hr.
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Răspuns: 16 cm
Sarcina .
În trapezul ABCD se știe că AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Găsiți aria trapezului. 
Decizia .
Pentru a găsi înălțimea unui trapez de la vârfurile bazei mai mici B și C, coborâm două înălțimi pe baza mai mare. Deoarece trapezul este inegal, notăm lungimea AM = a, lungimea KD = b ( a nu se confunda cu simbolurile din formulă găsirea ariei unui trapez). Deoarece bazele trapezului sunt paralele și am omis două înălțimi perpendiculare pe baza mai mare, atunci MBCK este un dreptunghi.
Mijloace
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Triunghiurile DBM și ACK sunt dreptunghiulare, deci unghiurile lor drepte sunt formate de înălțimile trapezului. Să notăm înălțimea trapezului ca h. Apoi după teorema lui Pitagora
H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
și
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2
Luați în considerare că a \u003d 16 - b, apoi în prima ecuație
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2
Înlocuiți valoarea pătratului înălțimii în a doua ecuație, obținută prin teorema lui Pitagora. Primim:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Astfel, KD = 12
Unde
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5
Găsiți aria unui trapez folosind înălțimea acestuia și jumătate din suma bazelor
, unde a b - bazele trapezului, h - înălțimea trapezului
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2
Răspuns: aria unui trapez este de 80 cm2.
Dacă diagonalele dintr-un trapez isoscel sunt perpendiculare, următorul material teoretic va fi util în rezolvarea problemei.
1. Dacă diagonalele sunt perpendiculare într-un trapez isoscel, înălțimea trapezului este jumătate din suma bazelor.
Să tragem linia CF prin punctul C paralel cu BD și să extindem linia AD până când se intersectează cu CF.
Patrulaterul BCFD este un paralelogram (BC∥ DF ca bază a unui trapez, BD∥ CF prin construcție). Deci CF=BD, DF=BC și AF=AD+BC.
Triunghiul ACF este dreptunghic (dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă dreaptă). Deoarece diagonalele dintr-un trapez isoscel sunt egale și CF=BD, atunci CF=AC, adică triunghiul ACF este isoscel cu baza AF. Prin urmare, înălțimea sa CN este și mediana. Și întrucât mediana unui triunghi dreptunghic trasat la ipotenuză este egală cu jumătate din aceasta, atunci
care poate fi scris în general ca
unde h este înălțimea trapezului, a și b sunt bazele acestuia.
2. Dacă într-un trapez isoscel diagonalele sunt perpendiculare, atunci înălțimea acestuia este egală cu linia mediană.
Deoarece linia mediană a trapezului m este egală cu jumătate din suma bazelor, atunci
3. Dacă diagonalele sunt perpendiculare într-un trapez isoscel, atunci aria trapezului este egală cu pătratul înălțimii trapezului (sau pătratul semisumei bazelor sau pătratul liniei mediane ).
Deoarece aria unui trapez este găsită prin formula
iar înălțimea, jumătate din suma bazelor și linia mediană a unui trapez isoscel cu diagonale perpendiculare sunt egale între ele:
4. Dacă într-un trapez isoscel diagonalele sunt perpendiculare, atunci pătratul diagonalei sale este egal cu jumătatea pătratului sumei bazelor, precum și de două ori pătratul înălțimii și de două ori pătratul liniei mediane.
Deoarece aria unui patrulater convex poate fi găsită prin diagonalele sale și unghiul dintre ele folosind formula
