Demonstrații de teoreme privind proprietățile unui cerc circumscris unui triunghi

Perpendicular la mijloc pe segment

Definiția 1 . Perpendicular la mijloc pe segment numită dreptă perpendiculară pe acest segment și care trece prin mijlocul acestuia (fig. 1).

Teorema 1. Fiecare punct al bisectoarei perpendiculare pe segment este la aceeași distanță de capete acest segment.

Dovada . Luați în considerare un punct arbitrar D situat pe bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB (Fig. 2) și demonstrați că triunghiurile ADC și BDC sunt egale.

Într-adevăr, aceste triunghiuri sunt triunghiuri dreptunghiulare ale căror catete AC și BC sunt egale, în timp ce catetele DC sunt comune. Din egalitatea triunghiurilor ADC și BDC urmează egalitatea segmentelor AD și DB. Teorema 1 este demonstrată.

Teorema 2 (Inversa la Teorema 1). Dacă un punct se află la aceeași distanță de capetele unui segment, atunci se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.

Dovada . Să demonstrăm teorema 2 prin metoda „prin contradicție”. În acest scop, să presupunem că un punct E este la aceeași distanță de capetele segmentului, dar nu se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment. Să aducem această presupunere într-o contradicție. Să luăm mai întâi în considerare cazul când punctele E și A se află pe părți opuse ale bisectoarei perpendiculare (Fig. 3). În acest caz, segmentul EA intersectează bisectoarea perpendiculară la un moment dat, pe care o vom nota cu litera D.

Să demonstrăm că segmentul AE este mai lung decât segmentul EB. Într-adevăr,

Astfel, în cazul în care punctele E și A se află pe laturi opuse ale bisectoarei perpendiculare, am obținut o contradicție.

Acum luați în considerare cazul în care punctele E și A se află de aceeași parte a bisectoarei perpendiculare (Fig. 4). Să demonstrăm că segmentul EB este mai lung decât segmentul AE. Într-adevăr,

Contradicția rezultată completează demonstrația teoremei 2

Cercul care circumscrie un triunghi

Definiția 2 . Un cerc care circumscrie un triunghi, numiți cercul care trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului (Fig. 5). În acest caz se numește triunghiul un triunghi înscris într-un cerc sau triunghi înscris.

Proprietățile unui cerc circumscris unui triunghi. Teorema sinusului

Figura	Imagine	Proprietate
Perpendiculare medii pe laturile triunghiului		se intersectează la un punct .
Centru circumscrisă unui triunghi ascuțit al unui cerc		Centrul descris despre unghiular acut interior triunghi.
Centru cerc circumscris unui triunghi dreptunghic		Centrul descris despre dreptunghiular punctul de mijloc al ipotenuzei .
Centru circumscrisă unui triunghi obtuz al unui cerc		Centrul descris despre obtuz cerc triunghi minciuni in afara triunghi.
		,
Pătrat triunghi		S= 2R 2 păcat A păcat B păcat C ,
Raza cercului circumscris		Pentru orice triunghi, egalitatea este adevărată:

Perpendiculare medii pe laturile unui triunghi

Toate bisectoarele perpendiculare atras de laturile unui triunghi arbitrar, se intersectează la un punct .

Cercul care circumscrie un triunghi

Orice triunghi poate fi circumscris unui cerc. . Centrul cercului circumscris triunghiului este punctul în care se intersectează toate bisectoarele perpendiculare trasate pe laturile triunghiului.

Centrul unui cerc circumscris unui triunghi ascuțit

Centrul descris despre unghiular acut cerc triunghi minciuni interior triunghi.

Centrul unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic

Centrul descris despre dreptunghiular triunghi cerc este punctul de mijloc al ipotenuzei .

Centrul unui cerc circumscris unui triunghi obtuz

Centrul descris despre obtuz cerc triunghi minciuni in afara triunghi.

Pentru orice triunghi, egalitățile sunt valabile (teorema sinusurilor): , unde a, b, c sunt laturile triunghiului, A, B, C sunt unghiurile triunghiului, R este raza cercului circumscris.

Aria unui triunghi

Pentru orice triunghi, egalitatea este adevărată: S= 2R 2 păcat A păcat B păcat C , unde A, B, C sunt unghiurile triunghiului, S este aria triunghiului, R este raza cercului circumscris.

Raza cercului circumscris

Pentru orice triunghi, egalitatea este adevărată: unde a, b, c sunt laturile triunghiului, S este aria triunghiului, R este raza cercului circumscris.

Demonstrații de teoreme privind proprietățile unui cerc circumscris unui triunghi

Teorema 3. Toate perpendicularele medii desenate pe laturile unui triunghi arbitrar se intersectează într-un punct.

Dovada . Luați în considerare două bisectoare perpendiculare trasate pe laturile AC și AB ale triunghiului ABC și notați punctul de intersecție a acestora cu litera O (Fig. 6).

Deoarece punctul O se află pe bisectoarea perpendiculară pe segmentul AC , atunci, în virtutea teoremei 1, este valabilă următoarea egalitate:

Deoarece punctul O se află pe bisectoarea perpendiculară pe segmentul AB , atunci, în virtutea teoremei 1, este valabilă următoarea egalitate:

Prin urmare, egalitatea este adevărată:

de unde, folosind teorema 2, concluzionăm că punctul O se află pe bisectoarea perpendiculară pe segmentul BC. Astfel, toate cele trei bisectoare perpendiculare trec prin același punct, ceea ce urma să fie demonstrat.

Consecinţă. Orice triunghi poate fi circumscris unui cerc. . Centrul cercului circumscris triunghiului este punctul în care se intersectează toate bisectoarele perpendiculare trasate pe laturile triunghiului.

Dovada . Să considerăm punctul O, în care se intersectează toate bisectoarele perpendiculare trasate pe laturile triunghiului ABC (Fig. 6).

La demonstrarea teoremei 3 s-a obținut următoarea egalitate:

din care rezultă că cercul centrat în punctul O și razele OA , OB , OC trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului ABC , ceea ce urma să fie demonstrat.

Triunghiul este cea mai simplă dintre figurile poligonale plate. Dacă valoarea oricărui unghi la vârfurile sale este egală cu 90 °, atunci triunghiul se numește dreptunghic. În apropierea unui astfel de poligon, este permis să desenați un cerc în așa fel încât fiecare dintre cele 3 vârfuri să aibă un punct comun cu limita (cercul) sa. Acest cerc va fi numit circumscris, iar prezența unui unghi drept simplifică foarte mult sarcina de a-l construi.

Vei avea nevoie

• Riglă, busolă, calculator.

Instruire

1. Începeți prin a determina raza cercului pe care doriți să-l desenați. Dacă este posibil să măsurați lungimile laturilor unui triunghi, atunci acordați atenție ipotenuzei sale - latura situată opusă unghiului drept. Măsurați-l și împărțiți valoarea rezultată la jumătate - aceasta va fi raza cercului descris lângă triunghiul dreptunghic.

2. Dacă lungimea ipotenuzei este necunoscută, dar există lungimi (a și b) ale catetelor (2 laturi adiacente unghiului drept), atunci găsiți raza (R) folosind teorema lui Pitagora. Din aceasta rezultă că acest parametru va fi egal cu jumătate din rădăcina pătrată extrasă din suma lungimilor catetelor la pătrat: R=?*?(a?+b?).

3. Dacă lungimea doar a unuia dintre catetele (a) și valoarea unghiului ascuțit adiacent acestuia (?), atunci pentru a determina raza cercului circumscris (R), utilizați funcția trigonometrică - cosinus. Într-un triunghi dreptunghic, determină raportul dintre lungimile ipotenuzei și acest catet. Calculați jumătate din câtul lungimii piciorului împărțit la cosinusul celebrului unghi: R=?*a/cos(?).

4. Dacă, pe lângă lungimea unuia dintre catetele (a), se cunoaște și valoarea unui unghi ascuțit (?) care se află vizavi, atunci pentru a calcula raza (R), utilizați o altă funcție trigonometrică - sinusul. În plus față de înlocuirea funcției și a laturii, nimic nu se va schimba în formulă - împărțiți lungimea piciorului la sinusul unghiului acut cunoscut și împărțiți rezultatul la jumătate: R =? * b / sin (?).

5. După ce ați găsit raza prin oricare dintre metodele enumerate, determinați centrul cercului descris. Pentru a face acest lucru, puneți deoparte valoarea rezultată pe busolă și setați-o la orice vârf al triunghiului. Nu este nevoie să descrii un cerc complet, mătură cu ușurință locul în care se intersectează cu ipotenuza - acest punct va fi centrul cercului. Aceasta este calitatea unui triunghi dreptunghic - centrul cercului circumscris din jurul lui este situat invariabil în mijlocul celei mai lungi laturi. Desenați un cerc cu raza trasată pe busolă cu centrul în punctul detectat. Aceasta completează construcția.

Ocazional, lângă un poligon convex, este permis să desenați un cerc în așa fel încât vârfurile tuturor colțurilor să se afle pe el. Un astfel de cerc în raport cu poligonul ar trebui numit circumscris. A ei Centru nu trebuie neapărat să fie în interiorul perimetrului figurii înscrise, ci folosind proprietățile descrise cercuri, pentru a detecta acest punct, ca de obicei, nu este foarte dificil.

Vei avea nevoie

• Riglă, creion, raportor sau pătrat, busole.

Instruire

1. Dacă poligonul în jurul căruia este necesar să descrii cercul este desenat pe hârtie, pentru a găsi Centru iar un cerc este suficient cu o riglă, un creion și un raportor sau un pătrat. Măsurați lungimea fiecărei laturi ale figurii, determinați mijlocul acesteia și puneți un punct auxiliar în acest loc al desenului. Cu sprijinul unui pătrat sau al unui raportor, trageți un segment perpendicular pe această latură în interiorul poligonului până când se intersectează cu latura opusă.

2. Faceți aceeași operație cu orice altă parte a poligonului. Intersecția a 2 segmente construite va fi punctul dorit. Aceasta rezultă din proprietatea principală a descrisului cercuri- a ei Centruîntr-un poligon convex cu orice număr de laturi se află invariabil în punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare trasate pe aceste laturi.

3. Pentru poligoane adevărate definiția este Centru dar înscrisă cercuri ar putea fi mult mai ușor. Să spunem că este un pătrat, atunci trageți două diagonale - intersecția lor va fi Centru ohm inscripționat cercuri. Într-un poligon pozitiv cu orice număr par de laturi, este suficient să combinați două perechi de unghiuri situate unul față de celălalt cu segmente auxiliare - Centru descris cercuri trebuie să coincidă cu punctul de intersecție. Într-un triunghi dreptunghic, pentru a rezolva problema, determinați cu ușurință mijlocul celei mai lungi laturi a figurii - ipotenuza.

4. Dacă nu se știe din condiții dacă este permis în teză să se deseneze un cerc circumscris pentru un poligon dat, după determinarea punctului presupus Centruși prin oricare dintre metodele descrise poți afla. Lăsați deoparte pe busolă distanța dintre punctul detectat și fiecare dintre vârfuri, setați busola la valoarea necesară Centru cercuriși desenați un cerc - întregul vârf trebuie să se afle pe acesta cercuri. Dacă nu este cazul, atunci una dintre proprietățile de bază nu este satisfăcută și este imposibil să descrii un cerc în jurul unui poligon dat.

Conform definiției descrise cerc trebuie să treacă prin toate vârfurile de colț ale poligonului dat. În același timp, în mod ideal nu contează ce fel de poligon este - un triunghi, un pătrat, un dreptunghi, un trapez sau altceva. De asemenea, nu contează dacă este un poligon adevărat sau fals. Trebuie doar să luăm în considerare că există poligoane în jurul cărora cerc imposibil de descris. Este întotdeauna posibil să descrii cercîn jurul triunghiului. Cât despre patrulatere, cerc este permis să descrie despre un pătrat sau un dreptunghi sau un trapez isoscel.

Vei avea nevoie

• Poligon dat
• Rigla
• pătrat
• Creion
• Busolă
• Raportor
• Tabelele sinusurilor și cosinusurilor
• Reprezentări și formule matematice
• teorema lui Pitagora
• Teorema sinusului
• Teorema cosinusului
• Semne de asemănare ale triunghiurilor

Instruire

1. Construiți un poligon cu parametrii dați și stabiliți dacă este permis să descrieți în jurul lui cerc. Dacă vi se oferă un patrulater, calculați suma unghiurilor sale opuse. Fiecare dintre ele ar trebui să fie egal cu 180°.

2. Pentru a descrie cerc, trebuie să-i calculați raza. Amintiți-vă unde se află centrul cercului circumscris în diferite poligoane. Într-un triunghi, acesta este situat în punctul de intersecție al tuturor înălțimilor triunghiului dat. Într-un pătrat și dreptunghiuri - în punctul de intersecție al diagonalelor, pentru un trapez - în punctul de intersecție al axei de simetrie cu linia care leagă punctele medii ale laturilor și pentru orice alt poligon convex - în punctul de intersecție al bisectoare perpendiculare pe laturi.

3. Calculați diametrul unui cerc circumscris unui pătrat și unui dreptunghi folosind teorema lui Pitagora. Va fi egal cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor laturilor dreptunghiului. Pentru un pătrat cu toate laturile egale, diagonala este egală cu rădăcina pătrată de două ori pătratul laturii. Împărțiți diametrul cu 2 pentru a obține raza.

4. Calculați raza cercului circumscris triunghiului. Din faptul că parametrii triunghiului sunt dați în condiții, se calculează raza folosind formula R = a / (2 sinA), unde a este una dintre laturile triunghiului, ? este unghiul opus. În loc de această latură, este permis să ia orice altă latură și unghiul opus acesteia.

5. Calculați raza unui cerc circumscris în jurul unui trapez. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) /2*(a+d+c) . Calculați valorile lipsă. Înălțimea poate fi calculată folosind teorema sinusurilor sau cosinusurilor, din faptul că lungimile laturilor trapezului și unghiurilor sunt date în condițiile problemei. Cunoscând înălțimea și ținând cont de semnele de asemănare ale triunghiurilor, calculează diagonala. Mai târziu, rămâne doar să calculăm raza folosind formula de mai sus.

Videoclipuri asemănătoare

Sfaturi utile
Pentru a calcula raza unui cerc circumscris altui poligon, efectuați o serie de construcții suplimentare. Obțineți mai multe figuri primitive ai căror parametri sunteți familiarizat.

Sfat 4: Cum să desenați un triunghi dreptunghic dintr-un unghi ascuțit și o ipotenuză

Un triunghi dreptunghic este un triunghi al cărui unghi la unul dintre vârfurile sale este de 90°. Latura opusă acestui unghi se numește ipotenuză, iar laturile opuse celor două unghiuri ascuțite ale triunghiului se numesc catete. Dacă se cunosc lungimea ipotenuzei și valoarea unuia dintre unghiurile ascuțite, atunci aceste date sunt suficiente pentru a construi un triunghi folosind cel puțin două metode.

Vei avea nevoie

• Foaie de hârtie, creion, riglă, busolă, calculator.

Instruire

1. Prima metodă necesită, pe lângă un creion și hârtie, o riglă, un raportor și un pătrat. Mai întâi, trageți latura care este ipotenuza - puneți punctul A, lăsați deoparte lungimea cunoscută a ipotenuzei, puneți punctul C și uniți punctele.

2. Atașați raportorul la segmentul desenat în așa fel încât marcajul zero să coincidă cu punctul A, măsurați valoarea unghiului acut condus și setați un punct auxiliar. Desenați o linie care va începe în punctul A și va trece prin punctul auxiliar.

3. Atașați pătratul de segmentul AC în așa fel încât unghiul drept să înceapă din punctul C. Marcați punctul de intersecție al dreptei trasate în pasul anterior cu litera B și combinați-l cu punctul C. Se completează astfel construcția unui drept. triunghiul cu celebra lungime a laturii AC (ipotenuză) și colțul ascuțit la vârful A va fi completat.

4. O altă metodă, pe lângă creion și hârtie, va necesita o riglă, busolă și calculator. Începeți prin a calcula lungimile catetelor - cunoașterea dimensiunii unui unghi ascuțit și a lungimii ipotenuzei este absolut suficientă pentru aceasta.

5. Calculați lungimea acelui catet (AB), cel care se află opus unghiului valorii cunoscute (β) - va fi egal cu produsul dintre lungimea ipotenuzei (AC) și sinusul celebrului unghi AB= AC*sin(β).

6. Determinați lungimea celuilalt catet (BC) - va fi egală cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și cosinusul unghiului condus BC=AC*cos(β).

7. Punctul de fixare A, măsurați lungimea ipotenuzei de la acesta, punctul de referință C și trasați o linie între ele.

8. Lăsați deoparte lungimea piciorului AB, calculată în pasul a cincea, pe busolă și desenați un semicerc auxiliar centrat în punctul A.

9. Lăsați deoparte lungimea piciorului BC calculată în pasul al șaselea pe busolă și desenați un semicerc auxiliar centrat în punctul C.

10. Marcați punctul de intersecție al celor 2 semicercuri cu litera B și trasați segmente între punctele A și B, C și B. Se completează astfel construcția unui triunghi dreptunghic.

Sfatul 5: Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic

Oamenii au fost interesați de proprietățile uimitoare ale triunghiurilor dreptunghiulare încă din cele mai vechi timpuri. Multe dintre aceste proprietăți au fost descrise de savantul grec antic Pitagora. În Grecia antică au apărut și numele laturilor unui triunghi dreptunghic.

Care triunghi se numește triunghi dreptunghic?

Există mai multe tipuri de triunghiuri. Unele au toate colțurile ascuțite, altele au unul obtuz și două ascuțite, iar alții au două ascuțite și unul drept. Conform acestui semn, fiecare tip de aceste figuri geometrice a primit denumirea: unghiular acut, unghiul obtuz și dreptunghiular. Adică, un triunghi se numește triunghi dreptunghic, în care unul dintre unghiuri este de 90 °. Există o altă definiție similară cu prima. Un triunghi dreptunghic este un triunghi ale cărui două laturi sunt perpendiculare.

Hipotenuză și picioare

În triunghiurile acute și obtuze, segmentele care leagă vârfurile colțurilor se numesc laturi primitive. Laturile unui triunghi dreptunghiular au alte denumiri. Cele care sunt adiacente unghiului drept se numesc picioare. Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză. Tradus din greacă, cuvântul „hipotenuză” înseamnă „întins”, iar „picior” – „perpendicular”.

Relații dintre ipotenuză și catete

Laturile unui triunghi dreptunghic sunt interconectate prin anumite rapoarte, care fac calculele mult mai ușoare. Să spunem, cunoscând dimensiunile catetelor, este posibil să se calculeze lungimea ipotenuzei. Acest raport, pe numele matematicianului care l-a descoperit, a fost numit teorema lui Pitagora și arată astfel: c2=a2+b2, unde c este ipotenuza, a și b catetele. Adică, ipotenuza va fi egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor catetelor. Pentru a găsi fiecare catete, este suficient să scădem pătratul celuilalt catete din pătratul ipotenuzei și să extragi rădăcina pătrată din diferența rezultată.

Picior adiacent și opus

Desenați un triunghi dreptunghic ACB. Litera C este folosită pentru a desemna vârful unui unghi drept, A și B sunt vârfurile unghiurilor ascuțite. Laturile opuse întregului unghi se numesc convenabil a, b și c, după denumirile unghiurilor opuse. Luați în considerare unghiul A. Piciorul a pentru că va fi opus, piciorul b - adiacent. Raportul dintre catetul opus și ipotenuză se numește sinus. Această funcție trigonometrică poate fi calculată folosind formula: sinA=a/c. Raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză se numește cosinus. Se calculează prin formula: cosA=b/c. Astfel, cunoscând unghiul și una dintre laturi, este posibil să se calculeze cealaltă latură folosind aceste formule. Ambele picioare sunt, de asemenea, legate prin relații trigonometrice. Raportul dintre opus și adiacent se numește tangentă, iar raportul dintre adiacent și opus se numește cotangentă. Aceste rapoarte pot fi exprimate prin formulele tgA=a/b sau ctgA=b/a.

Cercul circumferitor al unui triunghi dreptunghic. În această publicație, vom lua în considerare demonstrarea unui „fapt matematic”, care este utilizat pe scară largă în rezolvarea problemelor de geometrie. În unele surse, acest fapt este denumit teoremă, în altele ca proprietate, există diferite formulări, dar esența lor este aceeași:

Orice triunghi construit pe diametrul unui cerc al cărui al treilea vârf se află pe acest cerc este dreptunghic!

Adică, modelul din acest model geometric este că, oriunde plasați vârful triunghiului, unghiul la acest vârf va fi întotdeauna corect:

Sunt o mulțime de sarcini ale celor prezenți cu alcătuirea examenului la matematică, în cursul cărora se folosește această proprietate.

Cred că dovada standard este foarte confuză și supraîncărcată cu simboluri matematice, o veți găsi în manual. Vom considera simplu și intuitiv. L-am descoperit într-un eseu minunat numit „ matematică plângând Recomand să citească profesorilor și studenților.

Să ne uităm mai întâi la câteva puncte teoretice:

Semnul paralelogramului. Un paralelogram are laturile opuse egale. Adică, dacă un patrulater are ambele perechi de laturi opuse egale, atunci acest patrulater este un paralelogram.

Semn dreptunghi. Dreptunghiul este un paralelogram și diagonalele sale sunt egale. Adică, dacă diagonalele unui paralelogram sunt egale, atunci acesta este un dreptunghi.

* Un dreptunghi este un paralelogram, acesta este cazul său special.

Asadar, haideti sa începem:

Luați un triunghi și rotiți-l cu 180 0 față de centrul cercului (întoarceți-l). Obținem un patrulater înscris într-un cerc:

Deoarece tocmai am rotit triunghiul, laturile opuse ale patrulaterului sunt egale, ceea ce înseamnă că este un paralelogram. Deoarece triunghiul este rotit cu exact 180 de grade, vârful său este diametral opus vârfului triunghiului „original”.

Se dovedește că diagonalele patrulaterului sunt egale, deci sunt diametre. Avem un patrulater în care laturile opuse sunt egale și diagonalele sunt egale, deci este un dreptunghi, iar toate unghiurile lui sunt drepte.

Asta e toată dovada!

Puteți lua în considerare și acest lucru, de asemenea simplu și de înțeles:

Vezi mai multe dovezi =>>

Din punctul C construim un segment care trece prin centrul cercului, celălalt capăt al căruia se va afla în punctul opus al cercului (punctul D). Conectați punctul D la vârfurile A și B:Am un patrulater. Triunghiul AOD este egal cu triunghiul COB pe două laturi și unghiul dintre ele:

Din egalitatea triunghiurilor rezultă că AD = CB.

În mod similar, AC = DB.

Putem concluziona că patrulaterul este un paralelogram. În plus, diagonalele sale sunt egale - AB este dat inițial ca diametru, CD este și diametru (trece prin punctul O).

Astfel, ACBD este un dreptunghi, ceea ce înseamnă că toate unghiurile sale sunt unghiuri drepte. Dovedit!

O altă abordare notabilă care ne spune viu și „frumos” că unghiul în cauză este întotdeauna corect.

Priviți și amintiți-vă informații despre. Acum uită-te la schiță:

Unghiul AOB nu este altceva decât unghiul central bazat pe arcul ADB și este egal cu 180 de grade. Da, AB este diametrul unui cerc, dar nimic nu ne împiedică să considerăm AOB un unghi central (acesta este un unghi dezvoltat). Pentru el este înscris unghiul ACB, se sprijină și pe același arc pe ADB.

Și știm că unghiul înscris este egal cu jumătate din cel central, adică indiferent de modul în care am așeza punctul C pe cerc, unghiul DIA va fi întotdeauna egal cu 90 de grade, adică este drept.

Ce concluzii se pot trage în legătură cu rezolvarea problemelor, în special a celor incluse în examen?

Dacă condiția se referă la un triunghi înscris într-un cerc și construit pe diametrul acestui cerc, atunci acest triunghi este cu siguranță un triunghi dreptunghic.

Dacă se spune că un triunghi dreptunghic este înscris într-un cerc, atunci aceasta înseamnă că ipotenuza lui este aceeași cu diametrul său (egal cu acesta) și centrul ipotenuzei coincide cu centrul cercului.

Asta e tot. Multă baftă!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

Primul nivel

cerc circumscris. Ghid vizual (2019)

Prima întrebare care poate apărea este: descris - în jurul a ce?

Ei bine, de fapt, uneori se întâmplă în jurul oricărui lucru și vom vorbi despre un cerc circumscris în jurul (uneori se spune „despre”) unui triunghi. Ce este?

Și acum, imaginați-vă, are loc un fapt uimitor:

De ce este acest fapt uimitor?

Dar triunghiurile sunt diferite!

Și pentru toată lumea există un cerc care va trece prin toate cele trei vârfuri, adică cercul circumscris.

Dovada acestui fapt uimitor poate fi găsită în următoarele niveluri de teorie, dar aici observăm doar că, dacă luăm, de exemplu, un patrulater, atunci deloc pentru toată lumea există un cerc care trece prin patru vârfuri. Aici, să spunem, un paralelogram este un patrulater excelent, dar un cerc care trece prin toate cele patru vârfuri nu este!

Și există doar pentru un dreptunghi:

Bine, și fiecare triunghi are întotdeauna propriul său cerc circumscris!Și chiar este întotdeauna destul de ușor să găsești centrul acestui cerc.

Știi ce este midperpendicular?

Acum să vedem ce se întâmplă dacă luăm în considerare până la trei bisectoare perpendiculare pe laturile triunghiului.

Se dovedește (și tocmai asta trebuie dovedit, deși nu vom face) că Toate cele trei perpendiculare se intersectează într-un punct. Priviți imaginea - toate cele trei perpendiculare mediane se intersectează într-un punct.

Crezi că centrul cercului circumscris se află întotdeauna în interiorul triunghiului? Imaginați-vă - nu întotdeauna!

Dar dacă unghi ascuțit, apoi - în interior:

Ce să faci cu un triunghi dreptunghic?

Și cu un bonus suplimentar:

Întrucât vorbim despre raza cercului circumscris: cu ce este egală pentru un triunghi arbitrar? Și există un răspuns la această întrebare: așa-numitul.

Și anume:

Și, desigur,

1. Existenta si centrul cercului circumscris

Aici apare întrebarea: există un astfel de cerc pentru vreun triunghi? Se dovedește că da, pentru toată lumea. Și mai mult, vom formula acum o teoremă care răspunde și la întrebarea unde este centrul cercului circumscris.

Uite asa:

Să ne adunăm curaj și să demonstrăm această teoremă. Dacă ați citit deja subiectul „”, v-ați dat seama de ce cele trei bisectoare se intersectează la un moment dat, atunci vă va fi mai ușor, dar dacă nu l-ați citit, nu vă faceți griji: acum ne vom da seama de toate afară.

Vom efectua demonstrația folosind conceptul de locus al punctelor (LPT).

Ei bine, de exemplu, setul de bile este un „loc geometric” al obiectelor rotunde? Nu, desigur, pentru că există... pepeni rotunzi. Dar este un set de oameni, un „loc geometric”, capabil să vorbească? Nici, pentru că sunt bebeluși care nu pot vorbi. În viață, este în general dificil să găsești un exemplu de „loc geometric al punctelor”. Geometria este mai ușoară. Iată, de exemplu, exact ceea ce avem nevoie:

Aici mulțimea este perpendiculara mijlocie, iar proprietatea „” este „să fie echidistant (punctul) de la capetele segmentului”.

Sa verificam? Deci, trebuie să vă asigurați de două lucruri:

1. Orice punct care este echidistant de capetele unui segment se află pe bisectoarea perpendiculară pe acesta.

Conectați-vă cu și cu. Atunci linia este mediana și înălțimea în. Deci, - isoscel, - ne-am asigurat că orice punct situat pe bisectoarea perpendiculară este la fel de îndepărtat de punctele și.

Luați - mijlocul și conectați și. Am luat mediana. Dar - isoscel după condiție, nu numai mediana, ci și înălțimea, adică mediana perpendiculară. Aceasta înseamnă că punctul se află exact pe bisectoarea perpendiculară.

Tot! Am verificat pe deplin faptul că bisectoarea perpendiculară pe un segment este locul punctelor echidistante de capetele segmentului.

Asta e bine și bine, dar am uitat de cercul circumscris? Deloc, doar ne-am pregătit un „cap de pod pentru atac”.

Luați în considerare un triunghi. Să desenăm două perpendiculare mediane și, să zicem, la segmentele și. Se vor intersecta la un moment dat, pe care îl vom numi.

Și acum, atenție!

Punctul se află pe bisectoarea perpendiculară;
punctul se află pe bisectoarea perpendiculară.
Și asta înseamnă și.

De aici decurg mai multe lucruri:

În primul rând, punctul trebuie să se afle pe a treia bisectoare perpendiculară, pe segment.

Adică bisectoarea perpendiculară trebuie să treacă și ea prin punct și toate cele trei bisectoare perpendiculare se intersectează într-un punct.

În al doilea rând: dacă desenăm un cerc cu un centru într-un punct și o rază, atunci acest cerc va trece și prin punct și prin punct, adică va fi cercul descris. Aceasta înseamnă că există deja că intersecția celor trei bisectoare perpendiculare este centrul cercului circumscris pentru orice triunghi.

Și ultimul lucru: despre unicitate. Este clar (aproape) că punctul poate fi obținut într-un mod unic și, prin urmare, cercul este unic. Ei bine, „aproape” – vă lăsăm în seama dumneavoastră. Aici am demonstrat teorema. Puteți striga „Hura!”.

Și dacă problema este întrebarea „găsește raza cercului circumscris”? Sau invers, raza este dată, dar vrei să găsești altceva? Există o formulă care să raporteze raza cercului circumscris la celelalte elemente ale unui triunghi?

Rețineți că teorema sinusului spune că pentru a găsi raza cercului circumscris, aveți nevoie de o latură (orice!) și unghiul opus acesteia. Si asta e!

3. Centrul cercului - interior sau exterior

Și acum întrebarea este: poate centrul cercului circumscris să se afle în afara triunghiului?
Răspuns: pe cât posibil. Mai mult, acesta este întotdeauna cazul într-un triunghi obtuz.

Și în general vorbind:

CERCUL. SCURT DESPRE PRINCIPALA

1. Cerc circumscris unui triunghi

Acesta este un cerc care trece prin toate cele trei vârfuri ale acestui triunghi.

2. Existenta si centrul cercului circumscris

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

La examen nu vi se va cere teorie.

Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.

Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.

Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 rub.
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - 999 rub.

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

În al doilea caz vă vom oferi simulator „6000 de sarcini cu soluții și răspunsuri, pentru fiecare subiect, pentru toate nivelurile de complexitate”. Este cu siguranță suficient să puneți mâna pe rezolvarea problemelor pe orice subiect.

De fapt, acesta este mult mai mult decât un simplu simulator - un întreg program de antrenament. Dacă este necesar, îl puteți folosi și GRATUIT.

Accesul la toate textele și programele este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

In concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.

„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați!