Bună pisicuțe! Ultima dată am analizat în detaliu ce sunt rădăcinile (dacă nu vă amintiți, vă recomand să citiți). Concluzia principală a acelei lecții: există o singură definiție universală a rădăcinilor, pe care trebuie să o cunoașteți. Restul este o prostie și o pierdere de timp.

Astăzi mergem mai departe. Vom învăța să înmulțim rădăcini, vom studia câteva probleme asociate cu înmulțirea (dacă aceste probleme nu sunt rezolvate, atunci pot deveni fatale la examen) și vom exersa corespunzător. Așa că aprovizionați-vă cu floricele de porumb, faceți-vă confortabil - și vom începe. :)

Încă nu ai fumat, nu-i așa?

Lecția s-a dovedit a fi destul de mare, așa că am împărțit-o în două părți:

1. În primul rând, ne vom uita la regulile de înmulțire. Capul pare să sugereze: atunci când există două rădăcini, există un semn „multiplicare” între ele - și vrem să facem ceva cu el.
2. Apoi vom analiza situația inversă: există o rădăcină mare și am fost nerăbdători să o prezentăm ca un produs a două rădăcini într-un mod mai simplu. Cu ce ​​frică este necesară este o întrebare separată. Vom analiza doar algoritmul.

Pentru cei care abia așteaptă să intre direct în partea 2, sunteți bineveniți. Să începem cu restul în ordine.

Regula de bază a înmulțirii

Să începem cu cele mai simple - rădăcini pătrate clasice. Cele care sunt notate cu $\sqrt(a)$ și $\sqrt(b)$. Pentru ei, totul este în general clar:

regula înmulțirii. Pentru a înmulți o rădăcină pătrată cu alta, trebuie doar să înmulțiți expresiile radicale ale acestora și să scrieți rezultatul sub radicalul comun:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Nu se impun restricții suplimentare pentru numerele din dreapta sau din stânga: dacă există rădăcini multiplicatoare, atunci există și produsul.

Exemple. Luați în considerare patru exemple cu numere simultan:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

După cum puteți vedea, sensul principal al acestei reguli este de a simplifica expresiile iraționale. Și dacă în primul exemplu am fi extras rădăcinile din 25 și 4 fără reguli noi, atunci staniul începe: $\sqrt(32)$ și $\sqrt(2)$ nu se numără de la sine, ci produsul lor se dovedește a fi un pătrat exact, deci rădăcina lui este egală cu un număr rațional.

Separat, aș dori să notez ultimul rând. Acolo, ambele expresii radicale sunt fracții. Datorită produsului, mulți factori se anulează, iar întreaga expresie se transformă într-un număr adecvat.

Desigur, nu totul va fi întotdeauna atât de frumos. Uneori, sub rădăcini vor fi prostii complete - nu este clar ce să faci cu ea și cum să se transforme după înmulțire. Puțin mai târziu, când începi să studiezi ecuațiile și inegalitățile iraționale, vor exista tot felul de variabile și funcții în general. Și de foarte multe ori, compilatorii problemelor contează doar pe faptul că veți găsi niște termeni sau factori de contractare, după care sarcina va fi mult simplificată.

În plus, nu este necesar să se înmulțească exact două rădăcini. Puteți înmulți trei deodată, patru - da chiar și zece! Acest lucru nu va schimba regula. Aruncă o privire:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

Și din nou o mică remarcă asupra celui de-al doilea exemplu. După cum puteți vedea, în al treilea multiplicator, există o fracție zecimală sub rădăcină - în procesul de calcule, o înlocuim cu una obișnuită, după care totul este ușor de redus. Deci: vă recomand cu căldură să scăpați de fracțiile zecimale din orice expresii iraționale (adică care conțin cel puțin o pictogramă radicală). Acest lucru vă va economisi mult timp și nervi în viitor.

Dar a fost o digresiune lirică. Acum să luăm în considerare un caz mai general - când exponentul rădăcină conține un număr arbitrar $n$, și nu doar cei doi „clasici”.

Cazul unui indicator arbitrar

Deci, ne-am dat seama de rădăcinile pătrate. Și ce să faci cu cuburile? Sau, în general, cu rădăcini de grad arbitrar $n$? Da, totul este la fel. Regula rămâne aceeași:

Pentru a înmulți două rădăcini de grad $n$, este suficient să înmulțim expresiile radicale ale acestora, după care rezultatul se scrie sub un radical.

In general, nimic complicat. Cu excepția cazului în care volumul calculelor poate fi mai mare. Să ne uităm la câteva exemple:

Exemple. Calculați produse:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

Și din nou atenție la a doua expresie. Înmulțim rădăcinile cubice, scăpăm de fracția zecimală și, ca rezultat, obținem produsul numerelor 625 și 25 la numitor. Acesta este un număr destul de mare - personal, nu voi calcula imediat ce este egal. la.

Prin urmare, am selectat pur și simplu cubul exact în numărător și numitor și apoi am folosit una dintre proprietățile cheie (sau, dacă doriți, definiția) rădăcinii gradului $n$:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\dreapta|. \\ \end(align)\]

Astfel de „escrocherii” vă pot economisi mult timp la un examen sau test, așa că rețineți:

Nu vă grăbiți să înmulțiți numerele din expresia radicală. În primul rând, verificați: ce se întâmplă dacă gradul exact al oricărei expresii este „criptat” acolo?

Cu toată evidenta acestei remarci, trebuie să recunosc că majoritatea studenților nepregătiți nu văd exact gradele. În schimb, înmulțesc totul înainte și apoi se întreabă: de ce au obținut numere atât de brutale? :)

Totuși, toate acestea sunt o joacă de copii în comparație cu ceea ce vom studia acum.

Înmulțirea rădăcinilor cu exponenți diferiți

Ei bine, acum putem înmulți rădăcini cu aceiași exponenți. Ce se întâmplă dacă scorurile sunt diferite? Spune, cum înmulți un $\sqrt(2)$ obișnuit cu niște prostii ca $\sqrt(23)$? Este chiar posibil să faci asta?

Da, sigur că poți. Totul se face după această formulă:

Regula înmulțirii rădăcinilor. Pentru a înmulți $\sqrt[n](a)$ cu $\sqrt[p](b)$, faceți următoarea transformare:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Cu toate acestea, această formulă funcționează numai dacă expresiile radicale sunt nenegative. Aceasta este o remarcă foarte importantă, la care vom reveni puțin mai târziu.

Deocamdată, să ne uităm la câteva exemple:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

După cum puteți vedea, nimic complicat. Acum să ne dăm seama de unde provine cerința de non-negativitate și ce se va întâmpla dacă o încălcăm. :)

Este ușor să înmulți rădăcinile.

De ce expresiile radicale trebuie să fie nenegative?

Desigur, puteți deveni ca profesorii de școală și puteți cita un manual cu un aspect inteligent:

Cerința de non-negativitate este asociată cu diferite definiții ale rădăcinilor de grade pare și impare (respectiv, domeniile lor de definiție sunt și ele diferite).

Ei bine, a devenit mai clar? Personal, când am citit această prostie în clasa a VIII-a, am înțeles pentru mine ceva de genul: „Cerința de non-negativitate este asociată cu *#&^@(*#@^#)~%” - pe scurt, eu nu am inteles nimic la vremea aia. :)

Așa că acum voi explica totul într-un mod normal.

Mai întâi, să aflăm de unde vine formula de înmulțire de mai sus. Pentru a face acest lucru, permiteți-mi să vă reamintesc o proprietate importantă a rădăcinii:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Cu alte cuvinte, putem ridica în siguranță expresia rădăcinii la orice putere naturală $k$ - în acest caz, indicele rădăcinii va trebui înmulțit cu aceeași putere. Prin urmare, putem reduce cu ușurință orice rădăcină la un indicator comun, după care ne înmulțim. De aici provine formula de înmulțire:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Dar există o problemă care limitează sever aplicarea tuturor acestor formule. Luați în considerare acest număr:

Conform formulei tocmai oferite, putem adăuga orice grad. Să încercăm să adăugăm $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Am scos minusul tocmai pentru ca patratul arde minusul (ca orice alt grad par). Și acum să facem transformarea inversă: „reducem” cele două în exponent și grad. La urma urmei, orice egalitate poate fi citită atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](A); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt((((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Dar apoi se întâmplă ceva nebunesc:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Acest lucru nu se poate datora faptului că $\sqrt(-5) \lt 0$ și $\sqrt(5) \gt 0$. Aceasta înseamnă că pentru puteri par și numere negative, formula noastră nu mai funcționează. După care avem două opțiuni:

1. A lupta împotriva zidului pentru a afirma că matematica este o știință stupidă, unde „există niște reguli, dar acest lucru este inexact”;
2. Introduceți restricții suplimentare în baza cărora formula va deveni 100% funcțională.

În prima opțiune, va trebui să prindem în mod constant cazuri „nefuncționale” - acest lucru este dificil, lung și, în general, fu. Prin urmare, matematicienii au preferat a doua opțiune. :)

Dar nu-ți face griji! În practică, această restricție nu afectează în niciun fel calculele, deoarece toate problemele descrise se referă doar la rădăcinile unui grad impar, iar minusurile pot fi scoase din ele.

Prin urmare, formulăm o altă regulă care se aplică în general tuturor acțiunilor cu rădăcini:

Înainte de a multiplica rădăcinile, asigurați-vă că expresiile radicale nu sunt negative.

Exemplu. În numărul $\sqrt(-5)$, puteți scoate minusul de sub semnul rădăcină - atunci totul va fi bine:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt((((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Simte diferenta? Dacă lăsați un minus sub rădăcină, atunci când expresia radicală este pătrată, va dispărea și va începe prostiile. Și dacă scoți mai întâi un minus, atunci poți chiar să ridici/elimini un pătrat până când vei fi albastru în față - numărul va rămâne negativ. :)

Astfel, cel mai corect și mai fiabil mod de a înmulți rădăcinile este următorul:

1. Eliminați toate minusurile de sub radicali. Minusurile sunt doar în rădăcinile multiplicității impare - pot fi plasate în fața rădăcinii și, dacă este necesar, reduse (de exemplu, dacă există două dintre aceste minusuri).
2. Efectuați înmulțirea conform regulilor discutate mai sus în lecția de astăzi. Dacă indicii rădăcinilor sunt aceiași, pur și simplu înmulțiți expresiile rădăcinilor. Și dacă sunt diferite, folosim formula rea ​​\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Ne bucurăm de rezultat și de notele bune. :)

Bine? Să exersăm?

Exemplul 1. Simplificați expresia:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Aceasta este cea mai simplă opțiune: indicatorii rădăcinilor sunt aceiași și ciudați, problema este doar în minusul celui de-al doilea multiplicator. Îndurăm acest minus nafig, după care totul este ușor de luat în considerare.

Exemplul 2. Simplificați expresia:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( alinia)\]

Aici, mulți ar fi confuzi de faptul că rezultatul s-a dovedit a fi un număr irațional. Da, se întâmplă: nu am putut scăpa complet de rădăcină, dar cel puțin am simplificat semnificativ expresia.

Exemplul 3. Simplificați expresia:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Acesta este ceea ce aș dori să vă atrag atenția. Există două puncte aici:

1. Sub rădăcină nu se află un anumit număr sau grad, ci variabila $a$. La prima vedere, acest lucru este puțin neobișnuit, dar în realitate, atunci când rezolvați probleme matematice, cel mai adesea va trebui să vă ocupați de variabile.
2. În final, am reușit să „reducem” exponentul rădăcină și gradul în expresia radicală. Acest lucru se întâmplă destul de des. Și asta înseamnă că a fost posibil să simplificați semnificativ calculele dacă nu utilizați formula principală.

De exemplu, puteți face acest lucru:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(align)\]

De fapt, toate transformările au fost efectuate numai cu al doilea radical. Și dacă nu pictați în detaliu toți pașii intermediari, atunci în cele din urmă cantitatea de calcule va scădea semnificativ.

De fapt, am întâlnit deja o sarcină similară mai sus când am rezolvat exemplul $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Acum se poate scrie mult mai ușor:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left((((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Ei bine, ne-am dat seama de înmulțirea rădăcinilor. Acum luați în considerare operația inversă: ce să faceți când există o lucrare sub rădăcină?

M-am uitat din nou la farfurie... Și, să mergem!

Să începem cu unul simplu:

Așteptaţi un minut. asta, ceea ce înseamnă că îl putem scrie astfel:

Am înţeles? Iată următorul pentru tine:

Rădăcinile numerelor rezultate nu sunt extrase exact? Nu vă faceți griji, iată câteva exemple:

Dar dacă nu există doi multiplicatori, ci mai mulți? La fel! Formula de înmulțire a rădăcinii funcționează cu orice număr de factori:

Acum complet independent:

Raspunsuri: Bine făcut! De acord, totul este foarte ușor, principalul lucru este să cunoști tabla înmulțirii!

Diviziune rădăcină

Ne-am dat seama de înmulțirea rădăcinilor, acum să trecem la proprietatea împărțirii.

Permiteți-mi să vă reamintesc că formula în general arată astfel:

Și asta înseamnă că rădăcina coeficientului este egală cu câtul rădăcinilor.

Ei bine, să ne uităm la exemple:

Asta e toată știința. Și iată un exemplu:

Totul nu este la fel de lin ca în primul exemplu, dar după cum puteți vedea, nu este nimic complicat.

Ce se întâmplă dacă expresia arată astfel:

Trebuie doar să aplicați formula invers:

Și iată un exemplu:

Puteți vedea și această expresie:

Totul este la fel, doar că aici trebuie să vă amintiți cum să traduceți fracțiile (dacă nu vă amintiți, uitați-vă la subiect și reveniți!). Amintit? Acum decidem!

Sunt sigur că ai făcut față cu totul, cu totul, acum hai să încercăm să construim rădăcini într-o anumită măsură.

Exponentiatie

Ce se întâmplă dacă rădăcina pătrată este pătrată? Este simplu, amintiți-vă semnificația rădăcinii pătrate a unui număr - acesta este un număr a cărui rădăcină pătrată este egală cu.

Deci, dacă pătratăm un număr a cărui rădăcină pătrată este egală, atunci ce obținem?

Ei bine, desigur,!

Să ne uităm la exemple:

Totul este simplu, nu? Și dacă rădăcina este într-un grad diferit? E bine!

Rămâneți la aceeași logică și amintiți-vă proprietățile și acțiunile posibile cu puteri.

Citiți teoria pe tema „” și totul vă va deveni extrem de clar.

De exemplu, iată o expresie:

În acest exemplu, gradul este par, dar dacă este impar? Din nou, aplicați proprietățile puterii și factorizați totul:

Cu aceasta, totul pare să fie clar, dar cum să extragi rădăcina dintr-un număr într-un grad? Iată, de exemplu, acesta:

Destul de simplu, nu? Ce se întâmplă dacă gradul este mai mare de doi? Urmăm aceeași logică folosind proprietățile gradelor:

Ei bine, totul este clar? Apoi rezolvă propriile exemple:

Și iată răspunsurile:

Introducere sub semnul rădăcinii

Ceea ce pur și simplu nu am învățat să facem cu rădăcinile! Rămâne doar să exersăm introducerea numărului sub semnul rădăcinii!

Este destul de ușor!

Să presupunem că avem un număr

Ce putem face cu el? Ei bine, desigur, ascunde triplul sub rădăcină, amintindu-ți totodată că triplul este rădăcina pătrată a!

De ce avem nevoie de ea? Da, doar pentru a ne extinde capacitățile atunci când rezolvăm exemple:

Cum vă place această proprietate a rădăcinilor? Face viața mult mai ușoară? Pentru mine, asa este! Numai trebuie să ne amintim că nu putem introduce decât numere pozitive sub semnul rădăcinii pătrate.

Încercați acest exemplu pentru dvs.:
Ai reușit? Să vedem ce ar trebui să obțineți:

Bine făcut! Ai reușit să introduci un număr sub semnul rădăcină! Să trecem la ceea ce este la fel de important - luați în considerare cum să comparați numerele care conțin o rădăcină pătrată!

Comparație rădăcină

De ce ar trebui să învățăm să comparăm numerele care conțin o rădăcină pătrată?

Foarte simplu. Adesea, în expresiile mari și lungi întâlnite la examen, primim un răspuns irațional (vă amintiți ce este? Am vorbit deja despre asta astăzi!)

Trebuie să plasăm răspunsurile primite pe linia de coordonate, de exemplu, pentru a determina care interval este potrivit pentru rezolvarea ecuației. Și aici apare problema: nu există un calculator la examen și, fără el, cum să ne imaginăm ce număr este mai mare și care este mai mic? Asta e!

De exemplu, determinați care este mai mare: sau?

Nu vei spune imediat. Ei bine, să folosim proprietatea analizată de a adăuga un număr sub semnul rădăcină?

Apoi înainte:

Ei bine, evident, cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina în sine este mai mare!

Acestea. dacă înseamnă .

De aici concluzionăm ferm că Și nimeni nu ne va convinge de contrariul!

Extragerea rădăcinilor din număr mare

Înainte de asta, am introdus un factor sub semnul rădăcinii, dar cum să-l scoatem? Trebuie doar să-l factorizezi și să extragi ceea ce este extras!

Era posibil să mergem pe altă cale și să ne descompunem în alți factori:

Nu-i rău, nu? Oricare dintre aceste abordări este corectă, decideți cum vă simțiți confortabil.

Factorizarea este foarte utilă atunci când rezolvați astfel de sarcini non-standard precum aceasta:

Nu ne speriam, actionam! Descompunem fiecare factor sub rădăcină în factori separați:

Și acum încercați singur (fără calculator! Nu va fi la examen):

Acesta este sfârșitul? Nu ne oprim la jumătate!

Asta e tot, nu e chiar atât de înfricoșător, nu?

S-a întâmplat? Bravo, ai dreptate!

Acum încearcă acest exemplu:

Și un exemplu este o nucă greu de spart, așa că nu vă puteți da seama imediat cum să o abordați. Dar, desigur, suntem în dinți.

Ei bine, hai să începem factoring, da? Imediat, observăm că puteți împărți un număr la (amintiți-vă semnele de divizibilitate):

Și acum, încercați singur (din nou, fără calculator!):

Ei bine, a funcționat? Bravo, ai dreptate!

Rezumând

1. Rădăcina pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) a unui număr nenegativ este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal.
   .
2. Dacă luăm doar rădăcina pătrată a ceva, obținem întotdeauna un rezultat nenegativ.
3. Proprietățile rădăcinii aritmetice:
4. Când comparăm rădăcinile pătrate, trebuie amintit că, cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina însăși este mai mare.

Cum îți place rădăcina pătrată? Tot clar?

Am încercat să vă explicăm fără apă tot ce trebuie să știți la examen despre rădăcina pătrată.

E randul tau. Scrieți-ne dacă acest subiect vă este dificil sau nu.

Ai învățat ceva nou sau totul era deja atât de clar.

Scrie in comentarii si mult succes la examene!

Materialul acestui articol ar trebui considerat ca parte a transformării subiectului a expresiilor iraționale. Aici, folosind exemple, vom analiza toate subtilitățile și nuanțele (dintre care sunt multe) care apar la efectuarea transformărilor bazate pe proprietățile rădăcinilor.

Navigare în pagină.

Amintiți-vă proprietățile rădăcinilor

Deoarece ne vom ocupa de transformarea expresiilor folosind proprietățile rădăcinilor, nu strică să le amintim pe cele principale, sau chiar mai bine, notează-le pe hârtie și așează-le în fața ta.

În primul rând, sunt studiate rădăcinile pătrate și următoarele proprietăți ale acestora (a, b, a 1, a 2, ..., a k sunt numere reale):

Și mai târziu, ideea rădăcinii este extinsă, este introdusă definiția rădăcinii de gradul al n-lea și sunt luate în considerare astfel de proprietăți (a, b, a 1, a 2, ..., a k sunt numere reale, m, n, n 1, n 2, ... , n k - numere naturale):

Conversia expresiilor cu numere sub semne rădăcină

Ca de obicei, ei învață mai întâi să lucreze cu expresii numerice și abia după aceea trec la expresii cu variabile. Vom proceda la fel și mai întâi ne vom ocupa de transformarea expresiilor iraționale care conțin numai expresii numerice sub semnele rădăcinilor, iar deja în paragraful următor vom introduce variabile sub semnele rădăcinilor.

Cum poate fi folosit pentru a transforma expresii? Foarte simplu: de exemplu, putem înlocui o expresie irațională cu o expresie sau invers. Adică, dacă expresia convertită conține o expresie care se potrivește cu expresia din partea stângă (dreapta) a oricăreia dintre proprietățile enumerate ale rădăcinilor, atunci poate fi înlocuită cu expresia corespunzătoare din partea dreaptă (stânga). Aceasta este transformarea expresiilor folosind proprietățile rădăcinilor.

Să mai luăm câteva exemple.

Să simplificăm expresia . Numerele 3, 5 și 7 sunt pozitive, așa că putem aplica în siguranță proprietățile rădăcinilor. Aici poți acționa diferit. De exemplu, o rădăcină bazată pe proprietăți poate fi reprezentată ca , iar o rădăcină bazată pe proprietăți cu k=3 ca , cu această abordare, soluția va arăta astfel:

Era posibil să se facă altfel, înlocuind cu , și apoi cu , în acest caz soluția ar arăta astfel:

Sunt posibile și alte soluții, de exemplu:

Să aruncăm o privire la un alt exemplu. Să transformăm expresia. Privind lista de proprietăți ale rădăcinilor, selectăm din ea proprietățile de care avem nevoie pentru a rezolva exemplul, este clar că două dintre ele și sunt utile aici, care sunt valabile pentru orice a . Avem:

Alternativ, s-ar putea transforma mai întâi expresiile sub semne rădăcină folosind

iar apoi aplicați proprietățile rădăcinilor

Până în acest moment, am convertit expresii care conțin doar rădăcini pătrate. Este timpul să lucrăm cu rădăcini care au alți indicatori.

Exemplu.

Transformați expresia irațională .

Soluţie.

După proprietate primul factor al unui produs dat poate fi înlocuit cu numărul −2:

Mergi mai departe. În virtutea proprietății, al doilea factor poate fi reprezentat ca și nu strică să înlocuiești 81 cu puterea cvadruplă a lui trei, deoarece numărul 3 apare în factorii rămași sub semnele rădăcinilor:

Este recomandabil să înlocuiți rădăcina fracției cu raportul dintre rădăcinile formei , care poate fi transformată în continuare: . Avem

Expresia rezultată după efectuarea operațiilor cu doi va lua forma , și rămâne de transformat produsul rădăcinilor.

Pentru a transforma produsele rădăcinilor, acestea sunt de obicei reduse la un singur indicator, pentru care este recomandabil să luați indicatorii tuturor rădăcinilor. În cazul nostru, LCM(12, 6, 12)=12 și doar rădăcina va trebui redusă la acest indicator, deoarece celelalte două rădăcini au deja un astfel de indicator. Pentru a face față acestei sarcini permite egalitatea, care se aplică de la dreapta la stânga. Asa de . Având în vedere acest rezultat, avem

Acum produsul rădăcinilor poate fi înlocuit cu rădăcina produsului și transformările rămase, deja evidente, pot fi efectuate:

Să facem o versiune scurtă a soluției:

Răspuns:

.

Separat, subliniem că pentru a aplica proprietățile rădăcinilor este necesar să se țină cont de restricțiile impuse numerelor sub semnele rădăcinilor (a≥0 etc.). Ignorarea lor poate duce la rezultate incorecte. De exemplu, știm că proprietatea este valabilă pentru a nenegativ. Pe baza acestuia, putem merge în siguranță, de exemplu, de la la, deoarece 8 este un număr pozitiv. Dar dacă luăm o rădăcină semnificativă a unui număr negativ, de exemplu, , și, pe baza proprietății de mai sus, o înlocuim cu , atunci vom înlocui de fapt −2 cu 2 . Într-adevăr, un . Adică, pentru negativul a, egalitatea poate fi falsă, la fel cum alte proprietăți ale rădăcinilor pot fi false fără a ține cont de condițiile specificate pentru ele.

Dar ceea ce s-a spus în paragraful anterior nu înseamnă deloc că expresiile cu numere negative sub semnele rădăcinii nu pot fi transformate folosind proprietățile rădăcinilor. Trebuie doar să fie „pregătite” în prealabil prin aplicarea regulilor operațiilor cu numere sau folosind definiția unei rădăcini de grad impar dintr-un număr negativ, care corespunde egalității, unde −a este un număr negativ (în timp ce a este pozitiv) . De exemplu, nu poate fi înlocuit imediat cu , deoarece −2 și −3 sunt numere negative, dar ne permite să ne mutăm de la rădăcină la , și apoi să aplicăm proprietatea rădăcinii din produs: . Și într-unul dintre exemplele anterioare, a fost necesar să trecem de la rădăcina la rădăcina gradului al XVIII-lea nu așa, ci așa .

Deci, pentru a transforma expresii folosind proprietățile rădăcinilor, trebuie

• selectați proprietatea potrivită din listă,
• asigurați-vă că numerele de sub rădăcină îndeplinesc condițiile pentru proprietatea selectată (în caz contrar, trebuie să efectuați transformări preliminare),
• și să efectueze transformarea intenționată.

Conversia expresiilor cu variabile sub semne rădăcină

Pentru a transforma expresii iraționale care conțin nu numai numere, ci și variabile sub semnul rădăcinii, proprietățile rădăcinilor enumerate în primul paragraf al acestui articol trebuie aplicate cu atenție. Acest lucru se datorează în mare parte condițiilor pe care trebuie să le îndeplinească numerele implicate în formule. De exemplu, pe baza formulei, expresia poate fi înlocuită cu o expresie numai pentru acele valori x care îndeplinesc condițiile x≥0 și x+1≥0, deoarece formula specificată este setată pentru a≥0 și b≥ 0 .

Care este pericolul de a ignora aceste condiții? Răspunsul la această întrebare este demonstrat clar de următorul exemplu. Să presupunem că trebuie să calculăm valoarea unei expresii atunci când x=−2 . Dacă înlocuim imediat numărul −2 în loc de variabila x, atunci obținem valoarea de care avem nevoie . Și acum să ne imaginăm că, pe baza unor considerente, am convertit expresia dată la forma , și abia după aceea am decis să calculăm valoarea. Inlocuim numarul −2 in loc de x si ajungem la expresia , ceea ce nu are sens.

Să vedem ce se întâmplă cu intervalul de valori valide (ODV) ale variabilei x pe măsură ce trecem de la o expresie la alta. Am menționat ODZ nu întâmplător, deoarece acesta este un instrument serios de control al admisibilității transformărilor efectuate, iar schimbarea ODZ după transformarea expresiei ar trebui cel puțin să alerteze. Nu este greu de găsit ODZ pentru aceste expresii. Pentru expresie, ODZ este determinată din inegalitatea x (x+1)≥0 , soluția sa dă mulțimea numerică (−∞, −1]∪∪∪)