Reducerea fracțiilor este necesară pentru a aduce fracția la o formă mai simplă, de exemplu, în răspunsul obținut în urma rezolvării expresiei.

Reducerea fracțiilor, definiție și formulă.

Ce este reducerea fracției? Ce înseamnă reducerea unei fracțiuni?

Definiție:
Reducerea fracțiilor- aceasta este împărțirea numărătorului și numitorului fracției la același număr pozitiv nu este egal cu zero și unu. În urma reducerii se obține o fracție cu numărător și numitor mai mici, egală cu fracția anterioară conform.

Formula de reducere a fracțiilor proprietatea de bază a numerelor raționale.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Luați în considerare un exemplu:
Reduceți fracția \(\frac(9)(15)\)

Decizie:
Putem factoriza o fracție în factori primi și reducem factorii comuni.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Răspuns: după reducere obținem fracția \(\frac(3)(5)\). Conform proprietății principale a numerelor raționale, fracțiile inițiale și cele rezultate sunt egale.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Cum se reduc fracțiile? Reducerea unei fracții la o formă ireductibilă.

Pentru a obține o fracție ireductibilă ca rezultat, avem nevoie găsiți cel mai mare divizor comun (mcd) pentru numărătorul și numitorul unei fracții.

Există mai multe moduri de a găsi GCD, vom folosi descompunerea numerelor în factori primi în exemplu.

Obțineți fracția ireductibilă \(\frac(48)(136)\).

Decizie:
Găsiți GCD(48, 136). Să scriem numerele 48 și 136 în factori primi.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
MCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Regula pentru reducerea unei fracții la o formă ireductibilă.

1. Aflați cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului.
2. Trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul la cel mai mare divizor comun ca rezultat al împărțirii pentru a obține o fracție ireductibilă.

Exemplu:
Reduceți fracția \(\frac(152)(168)\).

Decizie:
Găsiți GCD(152, 168). Să scriem numerele 152 și 168 în factori primi.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
mcd(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Răspuns: \(\frac(19)(21)\) este o fracție ireductibilă.

Abrevierea unei fracții improprie.

Cum se reduce o fracție necorespunzătoare?
Regulile pentru reducerea fracțiilor pentru fracțiile proprii și improprii sunt aceleași.

Luați în considerare un exemplu:
Reduceți fracția improprie \(\frac(44)(32)\).

Decizie:
Să scriem numărătorul și numitorul în factori primi. Și apoi reducem factorii comuni.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Reducerea fracțiilor mixte.

Fracțiile mixte urmează aceleași reguli ca și fracțiile obișnuite. Singura diferență este că putem nu atingeți întreaga parte, ci reduceți partea fracționată sau Convertiți o fracție mixtă într-o fracție improprie, reduceți și convertiți înapoi într-o fracție adecvată.

Luați în considerare un exemplu:
Reduceți fracția mixtă \(2\frac(30)(45)\).

Decizie:
Să o rezolvăm în două moduri:
Prima cale:
Vom scrie partea fracțională în factori primi și nu vom atinge partea întreagă.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

A doua cale:
Mai întâi traducem într-o fracție improprie, apoi o scriem în factori primi și o reducem. Transformați fracția necorespunzătoare rezultată într-una adecvată.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times) 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Întrebări înrudite:
Pot fi reduse fracțiile atunci când se adună sau se scad?
Răspuns: nu, trebuie mai întâi să adunați sau să scădeți fracții conform regulilor și abia apoi să reduceți. Luați în considerare un exemplu:

Evaluați expresia \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Decizie:
Ei fac adesea greșeala de a reduce aceleași numere la numărător și numitor în cazul nostru, numărul 20, dar nu pot fi reduse până nu efectuați adunarea și scăderea.

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Cu ce ​​număr poți reduce o fracție?
Răspuns: Puteți reduce o fracție cu cel mai mare divizor comun sau cu divizorul obișnuit al numărătorului și numitorului. De exemplu, fracția \(\frac(100)(150)\).

Să scriem numerele 100 și 150 în factori primi.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Cel mai mare divizor comun va fi numărul mcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Se obține fracția ireductibilă \(\frac(2)(3)\).

Dar nu este întotdeauna necesară împărțirea cu GCD, o fracție ireductibilă nu este întotdeauna necesară, puteți reduce fracția cu un simplu divizor al numărătorului și numitorului. De exemplu, numărul 100 și 150 au un divizor comun 2. Să reducem fracția \(\frac(100)(150)\) cu 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Am obținut fracția redusă \(\frac(50)(75)\).

Ce fracții pot fi reduse?
Răspuns: Puteți reduce fracțiile în care numărătorul și numitorul au un divizor comun. De exemplu, fracția \(\frac(4)(8)\). Numărul 4 și 8 au un număr cu care ambele sunt divizibile cu acest număr 2. Prin urmare, o astfel de fracție poate fi redusă cu numărul 2.

Exemplu:
Comparați două fracții \(\frac(2)(3)\) și \(\frac(8)(12)\).

Aceste două fracții sunt egale. Luați în considerare fracția \(\frac(8)(12)\) în detaliu:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)

De aici obținem, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Două fracții sunt egale dacă și numai dacă una dintre ele se obține prin reducerea celeilalte fracții cu un factor comun al numărătorului și numitorului.

Exemplu:
Reduceți următoarele fracții dacă este posibil: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

Decizie:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) fracție ireductibilă
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ ori 5)=\frac(2)(5)\)

În acest articol, ne vom uita la operații de bază cu fracții algebrice:

• reducerea fracției
• înmulțirea fracțiilor
• împărțirea fracțiilor

Sa incepem cu abrevieri ale fracțiilor algebrice.

Aparent, algoritm evident.

La reduce fracțiile algebrice, nevoie

1. Factorizați numărătorul și numitorul unei fracții.

2. Reduceți aceiași multiplicatori.

Totuși, școlarii fac adesea greșeala de a „reduce” nu factorii, ci termenii. De exemplu, sunt amatori care „reduc” cu fracții și obțin ca rezultat, ceea ce, desigur, nu este adevărat.

Luați în considerare exemple:

1. Reduce fracția:

1. Factorizăm numărătorul după formula pătratului sumei, iar numitorul după formula diferenței de pătrate

2. Împărțiți numărătorul și numitorul la

2. Reduce fracția:

1. Factorizează numărătorul. Deoarece numărătorul conține patru termeni, aplicăm gruparea.

2. Factorizați numitorul. Același lucru este valabil și pentru grupare.

3. Să notăm fracția pe care am obținut-o și să reducem aceiași factori:

Înmulțirea fracțiilor algebrice.

La înmulțirea fracțiilor algebrice, înmulțim numărătorul cu numărătorul și înmulțim numitorul cu numitorul.

Important! Nu este nevoie să vă grăbiți pentru a efectua înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții. După ce am scris produsul dintre numărătorii fracțiilor în numărător și produsul numitorilor în numitor, trebuie să factorăm fiecare factor și să reducem fracția.

Luați în considerare exemple:

3. Simplificați expresia:

1. Să scriem produsul fracțiilor: la numărător produsul numărătorilor, iar la numitor produsul numitorilor:

2. Factorizăm fiecare paranteză:

Acum trebuie să reducem aceiași multiplicatori. Rețineți că expresiile și diferă doar prin semn: iar ca urmare a împărțirii primei expresii la a doua, obținem -1.

Asa de,

Efectuăm împărțirea fracțiilor algebrice după următoarea regulă:

i.e Pentru a împărți cu o fracție, trebuie să înmulțiți cu cea „inversată”.

Vedem că împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțire și înmulțirea se rezumă în cele din urmă la reducerea fracțiilor.

Luați în considerare un exemplu:

4. Simplificați expresia:

Pe baza proprietății lor principale: dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt împărțite la același polinom diferit de zero, atunci se va obține o fracție egală cu acesta.

Puteți reduce doar multiplicatorii!

Membrii polinoamelor nu pot fi reduse!

Pentru a reduce o fracție algebrică, polinoamele din numărător și numitor trebuie mai întâi factorizate.

Luați în considerare exemple de reducere a fracțiilor.

Numătorul și numitorul unei fracții sunt monomii. Ei reprezintă muncă(numerele, variabilele și gradele acestora), multiplicatori putem reduce.

Reducem numerele cu cel mai mare divizor comun al lor, adică cu cel mai mare număr cu care fiecare dintre numerele date este divizibil. Pentru 24 și 36, acesta este 12. După reducerea de la 24, rămân 2, de la 36 - 3.

Reducem gradele cu gradul cu cel mai mic indicator. A reduce o fracție înseamnă a împărți numărătorul și numitorul la același divizor și scăderea exponenților.

a² și a⁷ sunt reduse cu a². În același timp, unul rămâne în numărător de la a² (scriem 1 doar dacă nu au mai rămas alți factori după reducere. 2 rămâne din 24, deci nu scriem 1 rămas din a²). Din a⁷ după reducere rămâne a⁵.

b și b sunt prescurtate cu b, unitățile rezultate nu sunt scrise.

c³º și c⁵ sunt reduse cu c⁵. Din c³º rămâne c²⁵, din c⁵ - unitate (nu o scriem). Prin urmare,

Numătorul și numitorul acestei fracții algebrice sunt polinoame. Este imposibil să reduceți termenii polinoamelor! (nu poate fi redus, de exemplu, 8x² și 2x!). Pentru a reduce această fracție, este necesar. Numătorul are un factor comun de 4x. Să-l scoatem din paranteze:

Atât numărătorul cât și numitorul au același factor (2x-3). Reducem fracția cu acest factor. Avem 4x la numărător, 1 la numitor. Conform proprietății 1 a fracțiilor algebrice, fracția este 4x.

Puteți reduce doar factorii (nu puteți reduce o anumită fracție cu 25x²!). Prin urmare, polinoamele din numărătorul și numitorul unei fracții trebuie factorizate.

Numătorul este pătratul complet al sumei, iar numitorul este diferența pătratelor. După extinderea prin formulele de înmulțire abreviată, obținem:

Reducem fracția cu (5x + 1) (pentru a face acest lucru, tăiați cele două din numărător ca exponent, din (5x + 1) ² aceasta va lăsa (5x + 1)):

Numătorul are un factor comun de 2, să-l scoatem din paranteze. În numitor - formula pentru diferența de cuburi:

Ca urmare a extinderii numărătorului și numitorului, am obținut același factor (9 + 3a + a²). Reducem fracția de pe el:

Polinomul din numărător este format din 4 termeni. primul termen cu al doilea, al treilea cu al patrulea și scoatem factorul comun x² din primele paranteze. Descompunem numitorul conform formulei pentru suma cuburilor:

La numărător, scoatem din paranteze factorul comun (x + 2):

Reducem fracția cu (x + 2):

Fracțiile și reducerea lor este un alt subiect care începe în clasa a V-a. Aici se formează baza acestei acțiuni, iar apoi aceste abilități sunt trase printr-un fir în matematica superioară. Dacă elevul nu a învățat, atunci poate avea probleme în algebră. Prin urmare, este mai bine să înțelegeți câteva reguli odată pentru totdeauna. Și amintiți-vă de o interdicție și nu o încălcați niciodată.

Fracția și reducerea ei

Ce este, fiecare elev știe. Orice două cifre situate între bara orizontală sunt imediat percepute ca o fracție. Cu toate acestea, nu toată lumea înțelege că orice număr poate deveni. Dacă este un număr întreg, atunci poate fi întotdeauna împărțit la unu, atunci obțineți o fracție necorespunzătoare. Dar mai multe despre asta mai târziu.

Începutul este întotdeauna simplu. Mai întâi trebuie să vă dați seama cum să reduceți fracția corectă. Adică unul al cărui numărător este mai mic decât numitorul. Pentru a face acest lucru, trebuie să vă amintiți proprietatea principală a unei fracții. Afirmă că atunci când înmulțim (precum și împărțim) atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr, rezultă că fracția inițială este echivalentă.

Acțiunile de divizare care sunt efectuate asupra acestei proprietăți au ca rezultat o reducere. Adică simplificarea sa maximă. O fracție poate fi redusă atâta timp cât există factori comuni deasupra și sub linie. Când nu mai există, reducerea este imposibilă. Și ei spun că această fracție este ireductibilă.

doua feluri

1.Reducere pas cu pas. Folosește metoda ghicirii, când ambele numere sunt împărțite la factorul comun minim pe care l-a observat elevul. Dacă după prima reducere este clar că acesta nu este sfârșitul, atunci împărțirea continuă. Până când fracția devine ireductibilă.

2. Aflarea celui mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului. Acesta este cel mai mult mod rațional cum să reducă fracțiile. Implica factorizarea numărătorului și numitorului în factori primi. Printre ele, atunci trebuie să alegeți la fel. Produsul lor va da cel mai mare factor comun prin care se reduce fracția.

Ambele metode sunt echivalente. Elevul este invitat să le stăpânească și să-l folosească pe cel care i-a plăcut cel mai mult.

Ce se întâmplă dacă există litere și operații de adunare și scădere?

Cu prima parte a întrebării, totul este mai mult sau mai puțin clar. Literele pot fi abreviate la fel ca numerele. Principalul lucru este că acţionează ca multiplicatori. Dar cu al doilea, mulți au probleme.

Important de reținut! Puteți reduce doar numerele care sunt factori. Dacă sunt termeni, este imposibil.

Pentru a înțelege cum să reduceți fracțiile care arată ca o expresie algebrică, trebuie să învățați regula. Mai întâi, exprimă numărătorul și numitorul ca produs. Apoi puteți reduce dacă există factori comuni. Pentru reprezentarea ca multiplicatori, sunt utile următoarele trucuri:

• grupare;
• bracketing;
• aplicarea identităților de multiplicare prescurtate.

Mai mult, această din urmă metodă face posibilă obținerea imediată a termenilor sub formă de factori. Prin urmare, trebuie utilizat întotdeauna dacă este vizibil un model cunoscut.

Dar acest lucru nu este încă înfricoșător, apoi apar sarcini cu grade și rădăcini. Atunci trebuie să-ți faci curaj și să înveți câteva reguli noi.

Exprimarea puterii

Fracțiune. Produsul la numărător și numitor. Există litere și cifre. Și ei sunt, de asemenea, ridicați la o putere, care constă și în termeni sau factori. Există ceva de care să-ți fie frică.

Pentru a vă da seama cum să reduceți fracțiile cu puteri, trebuie să învățați două puncte:

• dacă există o sumă în exponent, atunci aceasta poate fi descompusă în factori, ale căror puteri vor fi termenii originali;
• dacă diferența, atunci în dividend și divizor, primul în grad va fi redus, al doilea - scăzut.

După parcurgerea acestor pași, multiplicatorii comuni devin vizibili. În astfel de exemple, nu este necesar să se calculeze toate puterile. Este suficient să reduceți pur și simplu gradele cu aceiași indicatori și baze.

Pentru a stăpâni în sfârșit cum să reduceți fracțiile cu puteri, aveți nevoie de multă practică. După mai multe exemple de același tip, acțiunile vor fi efectuate automat.

Ce se întâmplă dacă expresia conține o rădăcină?

Poate fi, de asemenea, scurtat. Din nou, doar urmați regulile. Mai mult, toate cele descrise mai sus sunt adevărate. În general, dacă întrebarea este cum să reduceți o fracție cu rădăcini, atunci trebuie să împărțiți.

De asemenea, poate fi împărțit în expresii iraționale. Adică, dacă numărătorul și numitorul au aceiași factori închiși sub semnul rădăcinii, atunci aceștia pot fi redusi în siguranță. Acest lucru va simplifica expresia și va duce treaba la bun sfârșit.

Dacă, după reducere, iraționalitatea rămâne sub linia fracției, atunci trebuie să scăpați de ea. Cu alte cuvinte, înmulțiți numărătorul și numitorul cu el. Dacă după această operație au apărut factori comuni, atunci aceștia vor trebui redusi din nou.

Asta, poate, este totul despre cum să reducă fracțiile. Puține reguli, dar o singură interdicție. Nu reduceți niciodată termenii!

Acest articol continuă tema transformării fracțiilor algebrice: considerați o astfel de acțiune ca reducerea fracțiilor algebrice. Să definim termenul în sine, să formulăm regula de abreviere și să analizăm exemple practice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Înțeles abreviere algebrică fracție

În materialele de pe fracția obișnuită, am luat în considerare reducerea acesteia. Am definit reducerea unei fracții comune ca împărțirea numărătorului și numitorului acesteia la un factor comun.

Reducerea unei fracții algebrice este o operație similară.

Definiția 1

Reducerea fracțiilor algebrice este împărțirea numărătorului și numitorului său cu un factor comun. În acest caz, spre deosebire de reducerea unei fracții obișnuite (doar un număr poate fi numitor comun), un polinom, în special un monom sau un număr, poate servi ca factor comun pentru numărătorul și numitorul unei fracții algebrice.

De exemplu, fracția algebrică 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 poate fi redusă cu numărul 3, ca rezultat obținem: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Putem reduce aceeași fracție cu variabila x, iar aceasta ne va da expresia 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . De asemenea, este posibil să se reducă o fracție dată cu un monom 3 x sau oricare dintre polinoame x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y sau 3 x 2 + 6 x y.

Scopul final al reducerii unei fracții algebrice este o fracție dintr-o formă mai simplă, în cel mai bun caz o fracție ireductibilă.

Sunt toate fracțiile algebrice supuse reducerii?

Din nou, din materialele pe fracții obișnuite, știm că există fracții reductibile și ireductibile. Ireductibile - acestea sunt fracții care nu au factori comuni ai numărătorului și numitorului, alții decât 1.

Cu fracțiile algebrice, totul este la fel: pot avea sau nu factori comuni ai numărătorului și numitorului. Prezența factorilor comuni vă permite să simplificați fracția originală prin reducere. Când nu există factori comuni, este imposibil să optimizați o anumită fracție prin metoda reducerii.

În cazuri generale, pentru un anumit tip de fracție, este destul de dificil de înțeles dacă este supusă reducerii. Desigur, în unele cazuri, prezența unui factor comun al numărătorului și numitorului este evidentă. De exemplu, în fracția algebrică 3 · x 2 3 · y este destul de clar că factorul comun este numărul 3 .

Într-o fracție - x · y 5 · x · y · z 3 înțelegem imediat că este posibil să o reducem cu x, sau y, sau cu x · y. Și totuși, exemplele de fracții algebrice sunt mult mai frecvente, atunci când factorul comun al numărătorului și numitorului nu este atât de ușor de văzut și chiar mai des - este pur și simplu absent.

De exemplu, putem reduce fracția x 3 - 1 x 2 - 1 cu x - 1, în timp ce factorul comun specificat nu este în înregistrare. Dar fracția x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 nu poate fi redusă, deoarece numărătorul și numitorul nu au un factor comun.

Astfel, problema de a afla contractibilitatea unei fracții algebrice nu este atât de simplă și este adesea mai ușor să lucrezi cu o fracție dintr-o formă dată decât să încerci să afli dacă aceasta este contractabilă. În acest caz, există astfel de transformări care în anumite cazuri ne permit să determinăm factorul comun al numărătorului și numitorului sau să concluzionam că fracția este ireductibilă. Vom analiza această problemă în detaliu în următorul paragraf al articolului.

Regula de reducere a fracțiilor algebrice

Regula de reducere a fracțiilor algebrice constă din două etape consecutive:

• găsirea factorilor comuni ai numărătorului și numitorului;
• în cazul constatării acestora, implementarea acţiunii directe de reducere a fracţiei.

Cea mai convenabilă metodă pentru găsirea numitorilor comuni este factorizarea polinoamelor prezente în numărătorul și numitorul unei fracții algebrice date. Acest lucru vă permite să vedeți vizual imediat prezența sau absența factorilor comuni.

Însăși acțiunea de reducere a unei fracții algebrice se bazează pe proprietatea principală a unei fracții algebrice, exprimată prin egalitatea nedefinită , unde a , b , c sunt niște polinoame, iar b și c sunt diferite de zero. Primul pas este reducerea fracției la forma a c b c , în care observăm imediat factorul comun c . Al doilea pas este efectuarea reducerii, i.e. trecerea la o fracție de forma a b .

Exemple tipice

În ciuda unor evidente, să clarificăm cazul special când numărătorul și numitorul unei fracții algebrice sunt egale. Fracțiile similare sunt identic egale cu 1 pe întreaga ODZ a variabilelor acestei fracții:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

Deoarece fracțiile obișnuite sunt un caz special de fracții algebrice, să ne amintim cum sunt reduse. Numerele naturale scrise la numărător și numitor sunt descompuse în factori primi, apoi factorii comuni sunt anulați (dacă există).

De exemplu, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Produsul factorilor simpli identici poate fi scris ca grade, iar în procesul de reducere a fracțiilor, folosiți proprietatea de a împărți grade cu aceleași baze. Atunci soluția de mai sus ar fi:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(numeratorul și numitorul împărțiți la un factor comun 2 2 3). Sau, pentru claritate, pe baza proprietăților înmulțirii și împărțirii, vom da soluției următoarea formă:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Prin analogie, se realizează reducerea fracțiilor algebrice, în care numărătorul și numitorul au monomii cu coeficienți întregi.

Exemplul 1

Dată o fracție algebrică - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Trebuie redus.

Decizie

Este posibil să scrieți numărătorul și numitorul unei fracții date ca produs de factori primi și variabile și apoi reduceți:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Cu toate acestea, o modalitate mai rațională ar fi să scrieți soluția ca o expresie cu puteri:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

Răspuns:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Când există coeficienți numerici fracționari în numărătorul și numitorul unei fracții algebrice, există două moduri posibile de acțiuni ulterioare: fie împărțiți separat acești coeficienți fracționali, fie scăpați mai întâi de coeficienții fracționali prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu un număr natural. . Ultima transformare se realizează datorită proprietății principale a unei fracții algebrice (puteți citi despre aceasta în articolul „Reducerea unei fracții algebrice la un nou numitor”).

Exemplul 2

Dată o fracție 2 5 x 0 , 3 x 3 . Trebuie redus.

Decizie

Este posibilă reducerea fracției în acest fel:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Să încercăm să rezolvăm problema diferit, scăpând anterior de coeficienții fracționali - înmulțim numărătorul și numitorul cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor coeficienți, adică. pe LCM(5, 10) = 10. Atunci obținem:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Răspuns: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Când reducem fracțiile algebrice generale, în care numărătorii și numitorii pot fi atât monomii, cât și polinoame, este posibilă o problemă când factorul comun nu este întotdeauna vizibil imediat. Sau mai mult decât atât, pur și simplu nu există. Apoi, pentru a determina factorul comun sau pentru a fixa faptul absenței acestuia, numărătorul și numitorul fracției algebrice sunt factorizați.

Exemplul 3

Dată o fracție rațională 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Trebuie scurtat.

Decizie

Să factorizăm polinoamele în numărător și numitor. Să facem parantezele:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Vedem că expresia dintre paranteze poate fi convertită folosind formulele de înmulțire abreviate:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Se vede clar că este posibil să se reducă fracția printr-un factor comun b 2 (a + 7). Să facem o reducere:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Scriem o soluție scurtă fără explicații ca un lanț de egalități:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Răspuns: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Se întâmplă ca factorii comuni să fie ascunși de coeficienți numerici. Apoi, la reducerea fracțiilor, este optim să se scoată factorii numerici la puteri mai mari ale numărătorului și numitorului.

Exemplul 4

Dată o fracție algebrică 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Ar trebui redus dacă este posibil.

Decizie

La prima vedere, numărătorul și numitorul nu au un numitor comun. Cu toate acestea, să încercăm să convertim fracția dată. Să scoatem factorul x din numărător:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Acum puteți vedea o oarecare similitudine între expresia dintre paranteze și expresia din numitor datorită x 2 y . Să scoatem coeficienții numerici la puteri mai mari ai acestor polinoame:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Acum multiplicatorul comun devine vizibil, efectuăm reducerea:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Răspuns: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Să subliniem că abilitatea de a reduce fracțiile raționale depinde de capacitatea de a factoriza polinoame.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter