Ecuație logaritmică se numește o ecuație în care necunoscuta (x) și expresiile cu aceasta se află sub semnul unei funcții logaritmice. Rezolvarea ecuațiilor logaritmice presupune că sunteți deja familiarizat cu și .
Cum se rezolvă ecuațiile logaritmice?

Cea mai simplă ecuație este log a x = b, unde a și b sunt numere, x este o necunoscută.
Rezolvarea ecuației logaritmice este x = a b cu condiția: a > 0, a 1.

Trebuie remarcat faptul că, dacă x este undeva în afara logaritmului, de exemplu log 2 x \u003d x-2, atunci o astfel de ecuație este deja numită mixtă și este necesară o abordare specială pentru a o rezolva.

Cazul ideal este atunci când întâlniți o ecuație în care numai numerele sunt sub semnul logaritmului, de exemplu x + 2 \u003d log 2 2. Aici este suficient să cunoașteți proprietățile logaritmilor pentru a o rezolva. Dar acest tip de noroc nu se întâmplă des, așa că pregătește-te pentru lucruri mai dificile.

Dar mai întâi, până la urmă, să începem cu ecuații simple. Pentru a le rezolva, este de dorit să aveți cea mai generală idee a logaritmului.

Rezolvarea ecuațiilor logaritmice simple

Acestea includ ecuații precum log 2 x \u003d log 2 16. Se poate observa cu ochiul liber că, omițând semnul logaritmului, obținem x = 16.

Pentru a rezolva o ecuație logaritmică mai complexă, se conduce de obicei la rezolvarea unei ecuații algebrice obișnuite sau la rezolvarea celei mai simple ecuații logaritmice log a x = b. În cele mai simple ecuații, acest lucru se întâmplă într-o singură mișcare, motiv pentru care sunt numite cele mai simple.

Metoda de mai sus de eliminare a logaritmilor este una dintre principalele modalități de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților logaritmice. În matematică, această operație se numește potențare. Există anumite reguli sau restricții pentru acest tip de operațiuni:

• logaritmii au aceleași baze numerice
• logaritmii din ambele părți ale ecuației sunt liberi, adică fără coeficienți și alte feluri diferite de expresii.

Să presupunem că în ecuația log 2 x \u003d 2log 2 (1- x), potențarea nu este aplicabilă - coeficientul 2 din dreapta nu permite. În exemplul următor, log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) una dintre restricții nu este, de asemenea, satisfăcută - există doi logaritmi în stânga. Asta ar fi una - o cu totul alta chestiune!

În general, puteți elimina logaritmii numai dacă ecuația are forma:

jurnal a(...) = jurnal a(...)

Absolut orice expresii pot fi între paranteze, acest lucru nu afectează absolut operația de potențare. Și după eliminarea logaritmilor, va rămâne o ecuație mai simplă - liniară, pătratică, exponențială etc., pe care deja, sper, știi să o rezolvi.

Să luăm un alt exemplu:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Aplicând potențarea, obținem:

log 3 (2x-1) = 2

Pe baza definiției logaritmului, și anume, că logaritmul este numărul la care trebuie ridicată baza pentru a obține o expresie care se află sub semnul logaritmului, i.e. (4x-1), obținem:

Din nou, am primit un răspuns frumos. Aici ne-am descurcat fără eliminarea logaritmilor, dar potențarea este aplicabilă și aici, deoarece logaritmul poate fi făcut din orice număr și exact cel de care avem nevoie. Această metodă este foarte utilă în rezolvarea ecuațiilor logaritmice și în special a inegalităților.

Să rezolvăm ecuația noastră logaritmică log 3 (2x-1) = 2 folosind potențarea:

Să reprezentăm numărul 2 ca logaritm, de exemplu, un astfel de log 3 9, deoarece 3 2 =9.

Apoi log 3 (2x-1) = log 3 9 și din nou obținem aceeași ecuație 2x-1 = 9. Sper că totul este clar.

Așa că ne-am uitat la cum să rezolvăm cele mai simple ecuații logaritmice, care sunt de fapt foarte importante, deoarece rezolvarea ecuațiilor logaritmice, chiar și cele mai groaznice și întortocheate, până la urmă întotdeauna se rezumă la rezolvarea celor mai simple ecuații.

În tot ceea ce am făcut mai sus, am trecut cu vederea un punct foarte important, care va juca un rol decisiv în viitor. Faptul este că soluția oricărei ecuații logaritmice, chiar și cea mai elementară, constă din două părți echivalente. Prima este soluția ecuației în sine, a doua este lucrul cu aria valorilor admisibile (ODV). Aceasta este doar prima parte pe care am stăpânit-o. În exemplele de mai sus, ODD-ul nu afectează în niciun fel răspunsul, așa că nu l-am luat în considerare.

Să luăm un alt exemplu:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

În exterior, această ecuație nu este diferită de cea elementară, care este rezolvată cu mare succes. Dar nu este așa. Nu, bineînțeles că o vom rezolva, dar cel mai probabil va fi greșit, pentru că există o mică ambuscadă în ea, în care cad imediat atât studenții C, cât și studenții excelenți. Să aruncăm o privire mai atentă.

Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcina ecuației sau suma rădăcinilor, dacă există mai multe:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Aplicăm potențare, aici este permisă. Ca rezultat, obținem ecuația pătratică obișnuită.

Găsim rădăcinile ecuației:

Există două rădăcini.

Răspuns: 3 și -1

La prima vedere, totul este corect. Dar să verificăm rezultatul și să-l înlocuim în ecuația originală.

Să începem cu x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Verificarea a avut succes, acum coada x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Da, oprește-te! În exterior, totul este perfect. Un moment - nu există logaritmi din numerele negative! Și asta înseamnă că rădăcina x \u003d -1 nu este potrivită pentru rezolvarea ecuației noastre. Și, prin urmare, răspunsul corect va fi 3, nu 2, așa cum am scris.

Aici și-a jucat ODZ rolul fatal, de care am uitat.

Permiteți-mi să vă reamintesc că în zona valorilor admisibile sunt acceptate astfel de valori ale lui x care sunt permise sau au sens pentru exemplul original.

Fără ODZ, orice soluție, chiar și una absolut corectă, a oricărei ecuații se transformă într-o loterie - 50/50.

Cum am putea fi prinși în timp ce rezolvăm un exemplu aparent elementar? Și iată-l în momentul potenței. Logaritmii au dispărut și, odată cu ei, toate limitările.

Ce să faci într-un astfel de caz? Refuzați să eliminați logaritmii? Și renunțați complet la soluția acestei ecuații?

Nu, noi, ca niște eroi adevărați dintr-un cântec celebru, vom merge în jur!

Înainte de a continua cu rezolvarea oricărei ecuații logaritmice, vom nota ODZ. Dar după aceea, poți face orice dorește inima ta cu ecuația noastră. După ce am primit răspunsul, pur și simplu aruncăm acele rădăcini care nu sunt incluse în ODZ-ul nostru și notăm versiunea finală.

Acum să decidem cum să scriem ODZ. Pentru a face acest lucru, examinăm cu atenție ecuația originală și căutăm locuri suspecte în ea, cum ar fi împărțirea cu x, rădăcina unui grad par etc. Până nu rezolvăm ecuația, nu știm cu ce este egal x, dar știm sigur că un astfel de x, care, la înlocuire, va da o împărțire cu 0 sau extragerea rădăcinii pătrate a unui număr negativ, sunt evident că nu este potrivit pentru răspuns. Prin urmare, astfel de x-uri sunt inacceptabile, în timp ce restul vor constitui ODZ.

Să folosim din nou aceeași ecuație:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

După cum puteți vedea, nu există o împărțire cu 0, nu există nici rădăcini pătrate, dar există expresii cu x în corpul logaritmului. Ne amintim imediat că expresia din interiorul logaritmului trebuie să fie întotdeauna > 0. Această condiție este scrisă sub formă de ODZ:

Acestea. nu am rezolvat încă nimic, dar am notat deja o condiție obligatorie pentru întreaga expresie sublogaritmică. Acolada înseamnă că aceste condiții trebuie îndeplinite în același timp.

ODZ este notat, dar este și necesar să rezolvăm sistemul de inegalități rezultat, ceea ce vom face. Obținem răspunsul x > v3. Acum știm sigur care x nu ne va potrivi. Și apoi începem să rezolvăm ecuația logaritmică în sine, ceea ce am făcut mai sus.

După ce am primit răspunsurile x 1 \u003d 3 și x 2 \u003d -1, este ușor să vedem că doar x1 \u003d 3 este potrivit pentru noi și îl notăm ca răspuns final.

Pentru viitor, este foarte important să ne amintim următoarele: rezolvăm orice ecuație logaritmică în 2 etape. Primul - rezolvăm ecuația în sine, al doilea - rezolvăm condiția ODZ. Ambele etape se desfășoară independent una de cealaltă și se compară numai la scrierea răspunsului, adică. aruncăm toate cele inutile și notăm răspunsul corect.

Pentru a consolida materialul, vă recomandăm insistent vizionarea videoclipului:

În videoclip, alte exemple de rezolvare a jurnalului. ecuații și elaborarea metodei intervalelor în practică.

La acest subiect, cum se rezolvă ecuații logaritmice până când totul. Dacă ceva conform hotărârii jurnalului. ecuațiile au rămas neclare sau de neînțeles, scrieți-vă întrebările în comentarii.

Notă: Academia de Educație Socială (KSUE) este pregătită să accepte noi studenți.

Pregătirea pentru proba finală la matematică include o secțiune importantă - „Logaritmi”. Sarcinile din acest subiect sunt incluse în mod necesar în examen. Experiența anilor trecuți arată că ecuațiile logaritmice au cauzat dificultăți pentru mulți școlari. Prin urmare, elevii cu diferite niveluri de pregătire ar trebui să înțeleagă cum să găsească răspunsul corect și să le facă față rapid.

Treceți cu succes testul de certificare cu ajutorul portalului educațional „Shkolkovo”!

Atunci când se pregătesc pentru examenul unificat de stat, absolvenții de liceu au nevoie de o sursă de încredere care să ofere cele mai complete și precise informații pentru rezolvarea cu succes a problemelor de testare. Cu toate acestea, manualul nu este întotdeauna la îndemână, iar căutarea regulilor și formulelor necesare pe Internet necesită adesea timp.

Portalul educațional „Shkolkovo” vă permite să vă pregătiți pentru examen oriunde și oricând. Site-ul nostru oferă cea mai convenabilă abordare pentru repetarea și stăpânirea unei cantități mari de informații despre logaritmi, precum și despre una și mai multe necunoscute. Începeți cu ecuații simple. Dacă le-ai făcut față fără dificultate, treci la altele mai dificile. Dacă întâmpinați probleme la rezolvarea unei anumite inegalități, o puteți adăuga la Favorite, astfel încât să reveniți la ea mai târziu.

Puteți găsi formulele necesare pentru a finaliza sarcina, repeta cazuri speciale și metode pentru calcularea rădăcinii unei ecuații logaritmice standard, uitându-vă la secțiunea „Referință teoretică”. Profesorii de la „Șkolkovo” au colectat, sistematizat și prezentat toate materialele necesare pentru livrarea cu succes în cea mai simplă și mai înțeleasă formă.

Pentru a face față cu ușurință sarcinilor de orice complexitate, pe portalul nostru vă puteți familiariza cu soluția unor ecuații logaritmice tipice. Pentru a face acest lucru, accesați secțiunea „Cataloguri”. Am prezentat un număr mare de exemple, inclusiv cele cu ecuații ale nivelului de profil al Examenului Unificat de Stat la matematică.

Elevii din școlile din toată Rusia pot folosi portalul nostru. Pentru a începe, trebuie doar să vă înregistrați în sistem și să începeți să rezolvați ecuații. Pentru a consolida rezultatele, vă sfătuim să reveniți zilnic pe site-ul Shkolkovo.

Instruire

Notați expresia logaritmică dată. Dacă expresia folosește logaritmul lui 10, atunci notația sa este scurtată și arată astfel: lg b este logaritmul zecimal. Dacă logaritmul are ca bază numărul e, atunci se scrie expresia: ln b este logaritmul natural. Se înțelege că rezultatul oricărei este puterea la care trebuie ridicat numărul de bază pentru a obține numărul b.

Când găsiți două funcții din sumă, trebuie doar să le diferențiați una câte una și să adăugați rezultatele: (u+v)" = u"+v";

Când se află derivata produsului a două funcții, este necesar să se înmulțească derivata primei funcții cu a doua și să se adauge derivata celei de-a doua funcții, înmulțită cu prima funcție: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Pentru a afla derivata coeficientului a doua functii este necesar, din produsul derivatei dividendului inmultit cu functia divizor, sa se scade produsul derivatei divizorului inmultit cu functia divizor si sa se imparta toate acestea prin funcția divizor la pătrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Dacă este dată o funcție complexă, atunci este necesar să se înmulțească derivata funcției interioare și derivata celei exterioare. Fie y=u(v(x)), apoi y"(x)=y"(u)*v"(x).

Folosind cele obținute mai sus, puteți diferenția aproape orice funcție. Deci, să ne uităm la câteva exemple:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Există, de asemenea, sarcini pentru calcularea derivatei la un punct. Fie dată funcția y=e^(x^2+6x+5), trebuie să găsiți valoarea funcției în punctul x=1.
1) Aflați derivata funcției: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calculați valoarea funcției în punctul dat y"(1)=8*e^0=8

Videoclipuri asemănătoare

Sfaturi utile

Învață tabelul derivatelor elementare. Acest lucru va economisi mult timp.

Surse:

• derivată constantă

Deci, care este diferența dintre o ecuație irațională și una rațională? Dacă variabila necunoscută se află sub semnul rădăcinii pătrate, atunci ecuația este considerată irațională.

Instruire

Principala metodă de rezolvare a unor astfel de ecuații este metoda de ridicare a ambelor părți ecuațiiîntr-un pătrat. In orice caz. acest lucru este firesc, primul pas este să scapi de semn. Din punct de vedere tehnic, această metodă nu este dificilă, dar uneori poate duce la probleme. De exemplu, ecuația v(2x-5)=v(4x-7). Punând la pătrat ambele părți, obțineți 2x-5=4x-7. O astfel de ecuație nu este greu de rezolvat; x=1. Dar numărul 1 nu va fi dat ecuații. De ce? Înlocuiți unitatea din ecuație în loc de valoarea x. Și părțile din dreapta și din stânga vor conține expresii care nu au sens, adică. O astfel de valoare nu este valabilă pentru o rădăcină pătrată. Prin urmare, 1 este o rădăcină străină și, prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.

Deci, ecuația irațională se rezolvă folosind metoda punerii la pătrat a ambelor părți. Și după ce am rezolvat ecuația, este necesar să tăiați rădăcinile străine. Pentru a face acest lucru, înlocuiți rădăcinile găsite în ecuația originală.

Luați în considerare altul.
2x+vx-3=0
Desigur, această ecuație poate fi rezolvată folosind aceeași ecuație ca cea anterioară. Compuși de transfer ecuații, care nu au rădăcină pătrată, în partea dreaptă și apoi folosiți metoda pătratului. rezolvați ecuația rațională și rădăcinile rezultate. Dar altul, mai elegant. Introduceți o nouă variabilă; vx=y. În consecință, veți obține o ecuație ca 2y2+y-3=0. Aceasta este ecuația pătratică obișnuită. Găsește-i rădăcinile; y1=1 și y2=-3/2. Apoi, rezolvă două ecuații vx=1; vx \u003d -3/2. A doua ecuație nu are rădăcini, din prima constatăm că x=1. Nu uitați de necesitatea de a verifica rădăcinile.

Rezolvarea identităților este destul de ușoară. Acest lucru necesită realizarea de transformări identice până la atingerea scopului. Astfel, cu ajutorul celor mai simple operații aritmetice, sarcina va fi rezolvată.

Vei avea nevoie

• - hartie;
• - pix.

Instruire

Cele mai simple astfel de transformări sunt înmulțirile algebrice abreviate (cum ar fi pătratul sumei (diferența), diferența de pătrate, suma (diferența), cubul sumei (diferența)). În plus, există multe formule trigonometrice care sunt în esență aceleași identități.

Într-adevăr, pătratul sumei a doi termeni este egal cu pătratul primului plus de două ori produsul primului și al doilea plus pătratul celui de-al doilea, adică (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Simplificați ambele

Principii generale de soluție

Repetați dintr-un manual de analiză matematică sau matematică superioară, care este o integrală definită. După cum știți, soluția unei integrale definite este o funcție a cărei derivată va da un integrand. Această funcție se numește antiderivată. Conform acestui principiu se construiesc integralele de bază.
Determinați după forma integrandului care dintre integralele tabelului este potrivită în acest caz. Nu este întotdeauna posibil să determinați acest lucru imediat. Adesea, forma tabulară devine vizibilă numai după mai multe transformări pentru a simplifica integrandul.

Metoda substituției variabile

Dacă integrandul este o funcție trigonometrică al cărei argument este un polinom, atunci încercați să utilizați metoda schimbării variabilelor. Pentru a face acest lucru, înlocuiți polinomul din argumentul integrandului cu o nouă variabilă. Pe baza raportului dintre variabila nouă și veche, determinați noile limite de integrare. Prin diferențierea acestei expresii, găsiți o nouă diferență în . Astfel, vei obține o nouă formă a vechei integrale, apropiată sau chiar corespunzătoare oricărui tabel.

Rezolvarea integralelor de al doilea fel

Dacă integrala este o integrală de al doilea fel, forma vectorială a integrandului, atunci va trebui să utilizați regulile pentru trecerea de la aceste integrale la cele scalare. O astfel de regulă este raportul Ostrogradsky-Gauss. Această lege face posibilă trecerea de la fluxul rotor al unei anumite funcții vectoriale la o integrală triplă peste divergența unui câmp vectorial dat.

Înlocuirea limitelor integrării

După găsirea antiderivatei, este necesar să se substituie limitele integrării. În primul rând, înlocuiți valoarea limitei superioare în expresia pentru antiderivată. Vei primi un număr. Apoi, scădeți din numărul rezultat un alt număr, limita inferioară rezultată la antiderivată. Dacă una dintre limitele de integrare este infinitul, atunci când o înlocuiți în funcția antiderivată, este necesar să mergeți la limită și să găsiți spre ce tinde expresia.
Dacă integrala este bidimensională sau tridimensională, atunci va trebui să reprezentați limitele geometrice ale integrării pentru a înțelege cum să calculați integrala. La urma urmei, în cazul, să zicem, a unei integrale tridimensionale, limitele integrării pot fi planuri întregi care limitează volumul care trebuie integrat.

Algebră clasa a 11-a

Subiect: „Metode pentru rezolvarea ecuațiilor logaritmice”

Obiectivele lecției:

educațional: formarea cunoștințelor despre diferite moduri de rezolvare a ecuațiilor logaritmice, capacitatea de a le aplica în fiecare situație specifică și de a alege orice metodă de rezolvare;

dezvoltarea: dezvoltarea abilităților de observare, comparare, aplicarea cunoștințelor într-o situație nouă, identificarea tiparelor, generalizarea; formarea deprinderilor de control reciproc și autocontrol;

educațional: educarea unei atitudini responsabile față de munca educațională, percepția atentă a materialului din lecție, acuratețea evidenței.

Tipul de lecție: o lecție de familiarizare cu material nou.

„Invenția logaritmilor, prin scurtarea muncii astronomului, i-a prelungit viața.”
Matematicianul și astronomul francez P.S. Laplace

În timpul orelor

I. Stabilirea scopului lecției

Definiția studiată a logaritmului, proprietățile logaritmilor și a funcției logaritmice ne vor permite să rezolvăm ecuații logaritmice. Toate ecuațiile logaritmice, indiferent cât de complexe sunt, sunt rezolvate folosind aceiași algoritmi. Vom lua în considerare acești algoritmi astăzi în lecție. Sunt puțini dintre ei. Dacă le stăpânești, atunci orice ecuație cu logaritmi va fi fezabilă pentru fiecare dintre voi.

Scrieți în caiet tema lecției: „Metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice”. Îi invit pe toți la cooperare.

II. Actualizarea cunoștințelor de bază

Să ne pregătim să studiem subiectul lecției. Rezolvi fiecare sarcină și notează răspunsul, nu poți scrie condiția. Lucrați în perechi.

1) Pentru ce valori ale lui x are sens funcția:

(Răspunsurile sunt verificate pentru fiecare diapozitiv și erorile sunt sortate)

2) Se potrivesc graficele funcțiilor?

3) Rescrieți egalitățile ca egalități logaritmice:

4) Scrieți numerele ca logaritmi cu baza 2:

5) Calculați:

6) Încercați să restaurați sau să completați elementele lipsă din aceste egalități.

III. Introducere în material nou

Declarația este afișată pe ecran:

„Ecuația este cheia de aur care deblochează tot susanul matematic.”
Matematicianul polonez modern S. Koval

Încercați să formulați definiția unei ecuații logaritmice. (O ecuație care conține necunoscutul sub semnul logaritmului).

Considera cea mai simplă ecuație logaritmică:ButurugaAx = b(unde a>0, a ≠ 1). Deoarece funcția logaritmică crește (sau descrește) pe mulțimea numerelor pozitive și ia toate valorile reale, din teorema rădăcinii rezultă că pentru orice b, această ecuație are, și mai mult, o singură soluție, și una pozitivă.

Amintiți-vă definiția unui logaritm. (Logaritmul numărului x față de baza a este exponentul la care trebuie ridicată baza a pentru a obține numărul x). Din definiţia logaritmului rezultă imediat că Aîn este o astfel de solutie.

Notează titlul: Metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice

1. Prin definiția logaritmului.

Așa se rezolvă ecuații simple de formă.

Considera nr. 514(a): Rezolvați ecuația

Cum iti propui sa o rezolvi? (După definiția logaritmului)

Decizie. , Prin urmare 2x - 4 = 4; x = 4.

În această sarcină, 2x - 4 > 0, deoarece > 0, prin urmare, rădăcinile străine nu pot apărea și nu este nevoie să se verifice. Condiția 2x - 4 > 0 nu este necesară pentru a scrie în această sarcină.

2. Potentarea(tranziție de la logaritmul expresiei date la această expresie în sine).

Considera Nr. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Ce caracteristică ai observat? (Bazele sunt aceleași și logaritmii celor două expresii sunt egali). Ce se poate face? (potenția).

În acest caz, trebuie luat în considerare faptul că orice soluție este conținută printre toate x pentru care expresiile logaritmice sunt pozitive.

Soluție: ODZ:

X2+8>0 inegalitate suplimentară

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

Potențiază ecuația inițială

obținem ecuația x2+8= 8x+8

Rezolvăm: x2-8x=0

Răspuns: 0; opt

În general trecerea la un sistem echivalent:

Ecuația

(Sistemul conține o condiție redundantă - una dintre inegalități poate fi ignorată).

Întrebare pentru clasă: Care dintre aceste trei soluții ți-a plăcut cel mai mult? (Discuție despre metode).

Ai dreptul de a decide în orice fel.

3. Introducerea unei noi variabile.

Considera nr. 520(g). .

Ce ai observat? (Aceasta este o ecuație pătratică pentru log3x) Orice sugestii? (Introduceți o nouă variabilă)

Decizie. ODZ: x > 0.

Fie , atunci ecuația va lua forma:. Discriminant D > 0. Rădăcini după teorema lui Vieta:.

Să revenim la înlocuitor: sau .

Rezolvând cele mai simple ecuații logaritmice, obținem:

Raspuns: 27;

4. Logaritmul ambelor părți ale ecuației.

Rezolvați ecuația:.

Rezolvare: ODZ: x>0, luați logaritmul ambelor părți ale ecuației din baza 10:

Aplicați proprietatea logaritmului gradului:

(lgx + 3) lgx = 4

Fie lgx = y, atunci (y + 3)y = 4

, (D > 0) rădăcinile conform teoremei Vieta: y1 = -4 și y2 = 1.

Să revenim la înlocuire, obținem: lgx = -4,; logx = 1, .

Răspuns: 0,0001; zece.

5. Reducere la o bază.

Nr. 523(c). Rezolvați ecuația:

Rezolvare: ODZ: x>0. Să trecem la baza 3.

6. Metoda functional-grafica.

№ 509(d). Rezolvați grafic ecuația: = 3 - x.

Cum iti propui sa rezolvi? (Construiți grafice a două funcții y \u003d log2x și y \u003d 3 - x prin puncte și căutați abscisa punctelor de intersecție ale graficelor).

Vezi soluția ta pe diapozitiv.

Există vreo modalitate de a evita complotul . Este după cum urmează : dacă una dintre funcţii y = f(x) creşte şi celălalt y = g(x) scade pe intervalul X, apoi ecuația f(x)=g(x) are cel mult o rădăcină în intervalul X.

Dacă există o rădăcină, atunci poate fi ghicită.

În cazul nostru, funcția crește pentru x>0, iar funcția y \u003d 3 - x scade pentru toate valorile lui x, inclusiv x>0, ceea ce înseamnă că ecuația nu are mai mult de o rădăcină. Rețineți că pentru x = 2, ecuația se transformă într-o egalitate adevărată, deoarece .

„Aplicarea corectă a metodelor poate fi învățată,
doar aplicându-le la diverse exemple.
Istoricul danez al matematicii G. G. Zeiten

euV. Tema pentru acasă

P. 39 luați în considerare exemplul 3, rezolvați nr. 514 (b), nr. 529 (b), nr. 520 (b), nr. 523 (b)

V. Rezumând lecția

Ce metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice am luat în considerare în lecție?

În lecțiile următoare, ne vom uita la ecuații mai complexe. Pentru rezolvarea acestora sunt utile metodele studiate.

Afișarea ultimului diapozitiv:

„Ce este mai mult decât orice în lume?
Spaţiu.
Care este cel mai înțelept?
Timp.
Care este cel mai plăcut?
Obține ceea ce îți dorești.”
Thales

Îmi doresc ca fiecare să realizeze ceea ce își dorește. Vă mulțumim pentru cooperare și înțelegere.

Cu acest videoclip, încep o serie lungă de lecții despre ecuații logaritmice. Acum aveți trei exemple deodată, pe baza cărora vom învăța să rezolvăm cele mai simple sarcini, care se numesc așa - protozoare.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Permiteți-mi să vă reamintesc că cea mai simplă ecuație logaritmică este următoarea:

log a f(x) = b

Este important ca variabila x să fie prezentă numai în interiorul argumentului, adică numai în funcția f(x). Și numerele a și b sunt doar numere și în niciun caz nu sunt funcții care conțin variabila x.

Metode de bază de rezolvare

Există multe modalități de a rezolva astfel de structuri. De exemplu, majoritatea profesorilor de la școală sugerează astfel: Exprimați imediat funcția f ( x ) folosind formula f( x) = a b . Adică, atunci când întâlniți cea mai simplă construcție, puteți trece imediat la soluție fără acțiuni și construcții suplimentare.

Da, desigur, decizia se va dovedi a fi corectă. Cu toate acestea, problema cu această formulă este că majoritatea studenților nu inteleg, de unde vine și de ce exact ridicăm litera a la litera b.

Drept urmare, observ adesea erori foarte ofensatoare, când, de exemplu, aceste litere sunt schimbate. Această formulă trebuie fie înțeleasă, fie memorată, iar a doua metodă duce la erori în momentele cele mai inoportune și cruciale: la examene, teste etc.

De aceea, le sugerez tuturor elevilor mei să renunțe la formula școlară standard și să folosească a doua abordare pentru a rezolva ecuații logaritmice, care, după cum probabil ați ghicit din nume, se numește formă canonică.

Ideea formei canonice este simplă. Să ne uităm din nou la sarcina noastră: în stânga avem log a , în timp ce litera a înseamnă exact numărul și în niciun caz funcția care conține variabila x. Prin urmare, această scrisoare este supusă tuturor restricțiilor care sunt impuse pe baza logaritmului. și anume:

1 ≠ a > 0

Pe de altă parte, din aceeași ecuație, vedem că logaritmul trebuie să fie egal cu numărul b și nu sunt impuse restricții asupra acestei litere, deoarece poate lua orice valoare - atât pozitivă, cât și negativă. Totul depinde de ce valori ia funcția f(x).

Și aici ne amintim minunata noastră regulă că orice număr b poate fi reprezentat ca un logaritm în baza a de la a la puterea lui b:

b = log a a b

Cum să-ți amintești această formulă? Da, foarte simplu. Să scriem următoarea construcție:

b = b 1 = b log a a

Desigur, în acest caz, apar toate restricțiile pe care le-am notat la început. Și acum să folosim proprietatea de bază a logaritmului și să introducem factorul b ca putere a lui a. Primim:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Ca rezultat, ecuația originală va fi rescrisă în următoarea formă:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Asta e tot. Noua funcție nu mai conține un logaritm și este rezolvată prin tehnici algebrice standard.

Desigur, cineva va obiecta acum: de ce a fost necesar să se vină cu un fel de formulă canonică, de ce să se efectueze doi pași suplimentari inutile, dacă a fost posibil să se treacă imediat de la construcția inițială la formula finală? Da, fie doar pentru că majoritatea studenților nu înțeleg de unde vine această formulă și, ca urmare, greșesc în mod regulat atunci când o aplică.

Dar o astfel de secvență de acțiuni, constând din trei pași, vă permite să rezolvați ecuația logaritmică inițială, chiar dacă nu înțelegeți de unde provine acea formulă finală. Apropo, această intrare se numește formula canonică:

log a f(x) = log a a b

Comoditatea formei canonice constă și în faptul că poate fi folosită pentru a rezolva o clasă foarte largă de ecuații logaritmice, și nu doar pe cele mai simple pe care le luăm în considerare astăzi.

Exemple de soluții

Acum să ne uităm la exemple reale. Deci haideți să decidem:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Să-l rescriem astfel:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Mulți studenți se grăbesc și încearcă să ridice imediat numărul 0,5 la puterea care ne-a venit din problema inițială. Și într-adevăr, atunci când ești deja bine pregătit în rezolvarea unor astfel de probleme, poți face imediat acest pas.

Cu toate acestea, dacă acum abia începeți să studiați acest subiect, este mai bine să nu vă grăbiți nicăieri pentru a nu face greșeli jignitoare. Deci avem forma canonică. Noi avem:

3x - 1 = 0,5 -3

Aceasta nu mai este o ecuație logaritmică, ci una liniară în raport cu variabila x. Pentru a o rezolva, să ne ocupăm mai întâi de numărul 0,5 la puterea lui -3. Rețineți că 0,5 este 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Convertiți toate zecimale în fracții atunci când rezolvați o ecuație logaritmică.

Rescriem și obținem:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Toți am primit răspunsul. Prima sarcină este rezolvată.

A doua sarcină

Să trecem la a doua sarcină:

După cum puteți vedea, această ecuație nu mai este cea mai simplă. Numai pentru că diferența este pe stânga și nu un singur logaritm într-o bază.

Prin urmare, trebuie să scapi cumva de această diferență. În acest caz, totul este foarte simplu. Să aruncăm o privire mai atentă la baze: în stânga este numărul de sub rădăcină:

Recomandare generală: în toate ecuațiile logaritmice, încercați să scăpați de radicali, adică de la intrările cu rădăcini și treceți la funcții de putere, pur și simplu pentru că exponenții acestor puteri sunt ușor scoși din semnul logaritmului și, în cele din urmă, astfel de o notație simplifică și accelerează foarte mult calculele. Hai sa o scriem asa:

Acum ne amintim proprietatea remarcabilă a logaritmului: din argument, precum și din bază, puteți scoate grade. În cazul bazelor, se întâmplă următoarele:

log a k b = 1/k loga b

Cu alte cuvinte, numărul care a stat în gradul bazei este adus înainte și în același timp răsturnat, adică devine reciproca numărului. În cazul nostru, a existat un grad de bază cu un indicator de 1/2. Prin urmare, îl putem scoate ca 2/1. Primim:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Vă rugăm să rețineți: în niciun caz nu trebuie să scăpați de logaritmi la acest pas. Gândiți-vă la matematica de clasele 4-5 și la ordinea operațiilor: înmulțirea se efectuează mai întâi și abia apoi se efectuează adunarea și scăderea. În acest caz, scădem unul dintre aceleași elemente din 10 elemente:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Acum ecuația noastră arată așa cum ar trebui. Aceasta este cea mai simplă construcție și o rezolvăm folosind forma canonică:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

Asta e tot. A doua problemă este rezolvată.

Al treilea exemplu

Să trecem la a treia sarcină:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Amintiți-vă următoarea formulă:

log b = log 10 b

Dacă dintr-un motiv oarecare sunteți confuz scriind lg b , atunci când faceți toate calculele, puteți scrie pur și simplu log 10 b . Puteți lucra cu logaritmi zecimal în același mod ca și cu alții: scoateți puteri, adăugați și reprezentați orice număr ca lg 10.

Tocmai aceste proprietăți le vom folosi acum pentru a rezolva problema, deoarece nu este cea mai simplă pe care am notat-o ​​chiar la începutul lecției noastre.

Pentru început, rețineți că factorul 2 înainte de lg 5 poate fi inserat și devine o putere a bazei 5. În plus, termenul liber 3 poate fi reprezentat și ca logaritm - acest lucru este foarte ușor de observat din notația noastră.

Judecă singur: orice număr poate fi reprezentat ca log la baza 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Să rescriem problema inițială ținând cont de modificările primite:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

În fața noastră este din nou forma canonică și am obținut-o ocolind etapa transformărilor, adică cea mai simplă ecuație logaritmică nu a apărut nicăieri cu noi.

Despre asta vorbeam chiar la începutul lecției. Forma canonică permite rezolvarea unei clase mai largi de probleme decât formula școlară standard, care este dată de majoritatea profesorilor de școală.

Asta e tot, scăpăm de semnul logaritmului zecimal și obținem o construcție liniară simplă:

x + 3 = 25.000
x = 24997

Toate! Problema rezolvata.

O notă despre domeniul de aplicare

Aici aș dori să fac o remarcă importantă despre domeniul definiției. Cu siguranță acum există elevi și profesori care vor spune: „Când rezolvăm expresii cu logaritmi, este imperativ să ne amintim că argumentul f (x) trebuie să fie mai mare decât zero!” În acest sens, apare o întrebare logică: de ce în niciuna dintre problemele luate în considerare nu am cerut ca această inegalitate să fie satisfăcută?

Nu vă faceți griji. Nu vor apărea rădăcini suplimentare în aceste cazuri. Și acesta este un alt truc grozav care vă permite să accelerați soluția. Doar să știți că dacă în problemă variabila x apare doar într-un loc (sau mai bine zis, în singurul și singurul argument al unui și singurul logaritm), și nicăieri altundeva în cazul nostru variabila x, atunci scrieți domeniul nu este necesar deoarece va rula automat.

Judecă singur: în prima ecuație, am obținut că 3x - 1, adică argumentul ar trebui să fie egal cu 8. Aceasta înseamnă automat că 3x - 1 va fi mai mare decât zero.

Cu același succes, putem scrie că în al doilea caz, x trebuie să fie egal cu 5 2, adică este cu siguranță mai mare decât zero. Și în al treilea caz, unde x + 3 = 25.000, adică din nou, evident mai mare decât zero. Cu alte cuvinte, domeniul de aplicare este automat, dar numai dacă x apare doar în argumentul unui singur logaritm.

Este tot ce trebuie să știi pentru a rezolva probleme simple. Doar această regulă, împreună cu regulile de transformare, vă vor permite să rezolvați o clasă foarte largă de probleme.

Dar să fim sinceri: pentru a înțelege în sfârșit această tehnică, pentru a învăța cum să aplicați forma canonică a ecuației logaritmice, nu este suficient să vizionați o lecție video. Prin urmare, chiar acum, descărcați opțiunile pentru o soluție independentă care sunt atașate acestui tutorial video și începeți să rezolvați cel puțin una dintre aceste două lucrări independente.

Îți va lua doar câteva minute. Dar efectul unui astfel de antrenament va fi mult mai mare în comparație cu dacă tocmai ați viziona acest tutorial video.

Sper că această lecție vă va ajuta să înțelegeți ecuațiile logaritmice. Aplicați forma canonică, simplificați expresiile folosind regulile de lucru cu logaritmi - și nu vă va teme de nicio sarcină. Și asta e tot ce am pentru azi.

Considerarea domeniului de aplicare

Acum să vorbim despre domeniul funcției logaritmice, precum și despre modul în care aceasta afectează soluția ecuațiilor logaritmice. Luați în considerare o construcție a formei

log a f(x) = b

O astfel de expresie se numește cea mai simplă - are o singură funcție, iar numerele a și b sunt doar numere și în niciun caz nu sunt o funcție care depinde de variabila x. Se rezolva foarte simplu. Trebuie doar să utilizați formula:

b = log a a b

Această formulă este una dintre proprietățile cheie ale logaritmului și, atunci când o înlocuim în expresia noastră originală, obținem următoarele:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Aceasta este deja o formulă familiară din manualele școlare. Mulți elevi vor avea probabil o întrebare: deoarece funcția f ( x ) din expresia originală se află sub semnul log, i se impun următoarele restricții:

f(x) > 0

Această restricție este valabilă deoarece logaritmul numerelor negative nu există. Deci, poate din cauza acestei limitări, ar trebui să introduceți o verificare pentru răspunsuri? Poate că trebuie înlocuite în sursă?

Nu, în cele mai simple ecuații logaritmice, o verificare suplimentară nu este necesară. Si de aceea. Aruncă o privire la formula noastră finală:

f(x) = a b

Faptul este că, în orice caz, numărul a este mai mare decât 0 - această cerință este impusă și de logaritm. Numărul a este baza. În acest caz, nu se impun restricții asupra numărului b. Dar acest lucru nu contează, deoarece indiferent de gradul în care creștem un număr pozitiv, vom obține totuși un număr pozitiv la ieșire. Astfel, cerința f (x) > 0 este îndeplinită automat.

Ceea ce merită cu adevărat verificat este domeniul de aplicare al funcției de sub semnul jurnalului. Pot exista modele destul de complexe, iar în procesul de rezolvare a acestora, trebuie neapărat să le urmați. Să aruncăm o privire.

Prima sarcină:

Primul pas: convertiți fracția din dreapta. Primim:

Scăpăm de semnul logaritmului și obținem ecuația obișnuită irațională:

Dintre rădăcinile obținute, doar prima ni se potrivește, deoarece a doua rădăcină este mai mică decât zero. Singurul răspuns va fi numărul 9. Gata, problema este rezolvată. Nu sunt necesare verificări suplimentare că expresia de sub semnul logaritmului este mai mare decât 0, deoarece nu este doar mai mare decât 0, ci, prin condiția ecuației, este egală cu 2. Prin urmare, cerința „mai mare decât zero” este automat împlinit.

Să trecem la a doua sarcină:

Totul este la fel aici. Rescriem construcția, înlocuind triplul:

Scăpăm de semnele logaritmului și obținem o ecuație irațională:

Punem la patrat ambele părți, ținând cont de restricții și obținem:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Rezolvăm ecuația rezultată prin discriminant:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Dar x = −6 nu ne convine, deoarece dacă substituim acest număr în inegalitatea noastră, obținem:

−6 + 4 = −2 < 0

În cazul nostru, se cere ca acesta să fie mai mare decât 0 sau, în cazuri extreme, egal. Dar x = −1 ni se potrivește:

−1 + 4 = 3 > 0

Singurul răspuns în cazul nostru este x = −1. Asta e toată soluția. Să ne întoarcem la începutul calculelor noastre.

Concluzia principală din această lecție este că nu este necesară verificarea limitelor pentru o funcție în cele mai simple ecuații logaritmice. Pentru că în procesul de rezolvare toate constrângerile sunt executate automat.

Cu toate acestea, acest lucru nu înseamnă în niciun caz că puteți uita cu totul de verificare. În procesul de lucru la o ecuație logaritmică, se poate transforma într-una irațională, care va avea propriile limitări și cerințe pentru partea dreaptă, pe care le-am văzut astăzi în două exemple diferite.

Simțiți-vă liber să rezolvați astfel de probleme și fiți deosebit de atenți dacă există o rădăcină în argument.

Ecuații logaritmice cu baze diferite

Continuăm să studiem ecuațiile logaritmice și să analizăm încă două trucuri destul de interesante cu care este la modă să rezolvăm structuri mai complexe. Dar mai întâi, să ne amintim cum sunt rezolvate cele mai simple sarcini:

log a f(x) = b

În această notație, a și b sunt doar numere, iar în funcția f (x) variabila x trebuie să fie prezentă și numai acolo, adică x trebuie să fie doar în argument. Vom transforma astfel de ecuații logaritmice folosind forma canonică. Pentru aceasta, notăm că

b = log a a b

Și a b este doar un argument. Să rescriem această expresie după cum urmează:

log a f(x) = log a a b

Este exact ceea ce încercăm să realizăm, astfel încât atât în ​​stânga cât și în dreapta să existe un logaritm la baza a. În acest caz, putem, la figurat vorbind, să tăiem semnele de log, iar din punctul de vedere al matematicii, putem spune că echivalăm pur și simplu argumentele:

f(x) = a b

Ca urmare, obținem o nouă expresie care se va rezolva mult mai ușor. Să aplicăm această regulă sarcinilor noastre de astăzi.

Deci primul design:

În primul rând, observ că în dreapta există o fracție, al cărei numitor este log. Când vedeți o expresie ca aceasta, merită să vă amintiți de proprietatea minunată a logaritmilor:

Tradus în rusă, aceasta înseamnă că orice logaritm poate fi reprezentat ca un coeficient de doi logaritmi cu orice bază c. Desigur, 0< с ≠ 1.

Deci: această formulă are un caz special minunat când variabila c este egală cu variabila b. În acest caz, obținem o construcție de forma:

Este această construcție pe care o observăm din semnul din dreapta în ecuația noastră. Să înlocuim această construcție cu log a b , obținem:

Cu alte cuvinte, în comparație cu sarcina originală, am schimbat argumentul și baza logaritmului. În schimb, a trebuit să inversăm fracția.

Reamintim că orice grad poate fi scos din bază conform următoarei reguli:

Cu alte cuvinte, coeficientul k, care este gradul bazei, este luat ca o fracție inversată. Să o luăm ca o fracție inversată:

Factorul fracționar nu poate fi lăsat în față, deoarece în acest caz nu vom putea reprezenta această intrare ca formă canonică (la urma urmei, în forma canonică, nu există un factor suplimentar în fața celui de-al doilea logaritm). Prin urmare, să punem fracția 1/4 în argument ca putere:

Acum echivalăm argumentele ale căror baze sunt aceleași (și chiar avem aceleași baze) și scriem:

x + 5 = 1

x = −4

Asta e tot. Am primit răspunsul la prima ecuație logaritmică. Atenție: în problema inițială, variabila x apare doar într-un singur log și este în argumentul său. Prin urmare, nu este nevoie să verificăm domeniul, iar numărul nostru x = −4 este într-adevăr răspunsul.

Acum să trecem la a doua expresie:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Aici, pe lângă logaritmii obișnuiți, va trebui să lucrăm cu lg f (x). Cum se rezolvă o astfel de ecuație? I se poate părea unui student nepregătit că acesta este un fel de tablă, dar de fapt totul este rezolvat elementar.

Priviți cu atenție termenul lg 2 log 2 7. Ce putem spune despre el? Bazele și argumentele log și lg sunt aceleași, iar acest lucru ar trebui să ofere câteva indicii. Să ne amintim încă o dată cum sunt scoase gradele de sub semnul logaritmului:

log a b n = nlog a b

Cu alte cuvinte, care a fost puterea numărului b din argument devine un factor în fața logului însuși. Să aplicăm această formulă expresiei lg 2 log 2 7. Nu vă fie teamă de lg 2 - aceasta este cea mai comună expresie. Îl poți rescrie astfel:

Pentru el, toate regulile care se aplică oricărui alt logaritm sunt valabile. În special, factorul din față poate fi introdus în puterea argumentului. Hai să scriem:

De foarte multe ori, elevii nu văd această acțiune, deoarece nu este bine să introduceți un jurnal sub semnul altuia. De fapt, nu este nimic criminal în asta. Mai mult, obținem o formulă care este ușor de calculat dacă vă amintiți o regulă importantă:

Această formulă poate fi considerată atât ca o definiție, cât și ca una dintre proprietățile sale. În orice caz, dacă convertiți o ecuație logaritmică, ar trebui să cunoașteți această formulă în același mod ca reprezentarea oricărui număr sub formă de log.

Ne întoarcem la sarcina noastră. O rescriem ținând cont de faptul că primul termen din dreapta semnului egal va fi pur și simplu egal cu lg 7. Avem:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Să mutăm lg 7 la stânga, obținem:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

Scădem expresiile din stânga pentru că au aceeași bază:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

Acum să aruncăm o privire mai atentă la ecuația pe care o avem. Este practic forma canonică, dar există un factor -3 în dreapta. Să o punem în argumentul lg corect:

lg 8 = lg (x + 4) −3

În fața noastră este forma canonică a ecuației logaritmice, așa că tăiem semnele lui lg și echivalăm argumentele:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Asta e tot! Am rezolvat a doua ecuație logaritmică. În acest caz, nu sunt necesare verificări suplimentare, deoarece în problema inițială x era prezent doar într-un singur argument.

Permiteți-mi să recapitulez punctele cheie ale acestei lecții.

Formula principală care este studiată în toate lecțiile de pe această pagină dedicate rezolvării ecuațiilor logaritmice este forma canonică. Și nu te lăsa descurajat de faptul că majoritatea manualelor școlare te învață cum să rezolvi altfel aceste tipuri de probleme. Acest instrument funcționează foarte eficient și vă permite să rezolvați o clasă mult mai largă de probleme decât cele mai simple pe care le-am studiat chiar la începutul lecției noastre.

În plus, pentru a rezolva ecuații logaritmice, va fi util să cunoaștem proprietățile de bază. Și anume:

1. Formula de mutare la o singură bază și un caz special când răsturnăm jurnalul (acesta ne-a fost foarte util în prima sarcină);
2. Formula pentru introducerea și scoaterea puterilor de sub semnul logaritmului. Aici, mulți studenți rămân blocați și nu văd direct că puterea scoasă și adusă poate conține ea însăși log f (x). Nimic în neregulă cu asta. Putem introduce un buștean după semnul altuia și, în același timp, simplificăm semnificativ soluția problemei, ceea ce observăm în al doilea caz.

În concluzie, aș dori să adaug că nu este necesară verificarea domeniului de aplicare în fiecare dintre aceste cazuri, deoarece peste tot variabila x este prezentă într-un singur semn de log și, în același timp, este în argumentul său. În consecință, toate cerințele de domeniu sunt îndeplinite automat.

Probleme cu baza variabilă

Astăzi vom lua în considerare ecuațiile logaritmice, care pentru mulți studenți par nestandard, dacă nu complet de nerezolvat. Vorbim despre expresii care se bazează nu pe numere, ci pe variabile și chiar pe funcții. Vom rezolva astfel de construcții folosind tehnica noastră standard și anume prin forma canonică.

Pentru început, să ne amintim cum sunt rezolvate cele mai simple probleme, care se bazează pe numere obișnuite. Deci, cea mai simplă construcție se numește

log a f(x) = b

Pentru a rezolva astfel de probleme, putem folosi următoarea formulă:

b = log a a b

Rescriem expresia noastră originală și obținem:

log a f(x) = log a a b

Apoi echivalăm argumentele, adică scriem:

f(x) = a b

Astfel, scăpăm de semnul jurnalului și rezolvăm problema obișnuită. În acest caz, rădăcinile obținute în soluție vor fi rădăcinile ecuației logaritmice originale. În plus, înregistrarea, când atât stânga cât și dreapta sunt pe același logaritm cu aceeași bază, se numește forma canonică. Tocmai la acest record vom încerca să reducem construcțiile de astăzi. Deci să mergem.

Prima sarcină:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Înlocuiți 1 cu log x − 2 (x − 2) 1 . Gradul pe care îl observăm în argument este, de fapt, numărul b , care se afla în dreapta semnului egal. Deci, să ne rescriem expresia. Primim:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Ce vedem? În fața noastră este forma canonică a ecuației logaritmice, astfel încât să putem echivala argumentele în siguranță. Primim:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Dar soluția nu se termină aici, deoarece această ecuație nu este echivalentă cu cea inițială. La urma urmei, construcția rezultată constă din funcții care sunt definite pe întreaga linie numerică, iar logaritmii noștri originali nu sunt definiți peste tot și nu întotdeauna.

Prin urmare, trebuie să scriem domeniul definiției separat. Să nu fim mai înțelepți și să notăm mai întâi toate cerințele:

În primul rând, argumentul fiecărui logaritm trebuie să fie mai mare decât 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

În al doilea rând, baza nu trebuie să fie numai mai mare decât 0, ci și diferită de 1:

x − 2 ≠ 1

Ca rezultat, obținem sistemul:

Dar nu vă alarmați: atunci când procesați ecuații logaritmice, un astfel de sistem poate fi foarte simplificat.

Judecăți singuri: pe de o parte, ni se cere ca funcția pătratică să fie mai mare decât zero, iar pe de altă parte, această funcție pătratică este echivalată cu o anumită expresie liniară, care se cere și ca aceasta să fie mai mare decât zero.

În acest caz, dacă solicităm ca x − 2 > 0, atunci cerința 2x 2 − 13x + 18 > 0 va fi satisfăcută automat. Prin urmare, putem tăia în siguranță inegalitatea care conține o funcție pătratică. Astfel, numărul de expresii conținute în sistemul nostru va fi redus la trei.

Desigur, am putea la fel de bine să tăiem inegalitatea liniară, adică să tăiem x - 2 > 0 și să cerem ca 2x 2 - 13x + 18 > 0. Dar trebuie să recunoști că rezolvarea celei mai simple inegalități liniare este mult mai rapidă și mai ușoară, decât pătratică, chiar dacă în urma rezolvării întregului sistem obținem aceleași rădăcini.

În general, încercați să optimizați calculele ori de câte ori este posibil. Și în cazul ecuațiilor logaritmice, tăiați cele mai dificile inegalități.

Să ne rescriem sistemul:

Iată un astfel de sistem de trei expresii, dintre care două, de fapt, le-am dat seama deja. Să scriem separat ecuația pătratică și să o rezolvăm:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

În fața noastră este un trinom pătrat redus și, prin urmare, putem folosi formulele Vieta. Primim:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Acum, revenind la sistemul nostru, aflăm că x = 2 nu ni se potrivește, deoarece ni se cere să avem x strict mai mare decât 2.

Dar x \u003d 5 ni se potrivește destul de bine: numărul 5 este mai mare decât 2 și, în același timp, 5 nu este egal cu 3. Prin urmare, singura soluție pentru acest sistem va fi x \u003d 5.

Totul, sarcina este rezolvată, inclusiv ținând cont de ODZ. Să trecem la a doua ecuație. Aici așteptăm calcule mai interesante și semnificative:

Primul pas: ca și ultima dată, aducem toată această afacere într-o formă canonică. Pentru a face acest lucru, putem scrie numărul 9 după cum urmează:

Baza cu rădăcina nu poate fi atinsă, dar este mai bine să transformați argumentul. Să trecem de la rădăcină la putere cu un exponent rațional. Hai să scriem:

Permiteți-mi să nu rescriu întreaga noastră ecuație logaritmică mare, ci doar echivalez imediat argumentele:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

În fața noastră este trinomul pătrat din nou redus, vom folosi formulele Vieta și vom scrie:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Deci, am primit rădăcinile, dar nimeni nu ne-a garantat că se vor potrivi cu ecuația logaritmică inițială. La urma urmei, semnele de jurnal impun restricții suplimentare (aici ar trebui să notăm sistemul, dar din cauza greutății întregii construcții, am decis să calculez domeniul de definiție separat).

În primul rând, rețineți că argumentele trebuie să fie mai mari decât 0 și anume:

Acestea sunt cerințele impuse de domeniul definiției.

Observăm imediat că, deoarece echivalăm primele două expresii ale sistemului una cu cealaltă, putem tăia oricare dintre ele. Să-l tăiem pe primul pentru că pare mai amenințător decât al doilea.

În plus, rețineți că soluțiile celei de-a doua și a treia inegalități vor fi aceleași mulțimi (cubul unui număr este mai mare decât zero, dacă acest număr în sine este mai mare decât zero; în mod similar cu rădăcina gradului al treilea - aceste inegalități sunt complet asemănătoare, așa că pe unul dintre ele îl putem tăia).

Dar cu a treia inegalitate, acest lucru nu va funcționa. Să scăpăm de semnul radicalului din stânga, pentru care ridicăm ambele părți într-un cub. Primim:

Deci obținem următoarele cerințe:

−2 ≠ x > −3

Care dintre rădăcinile noastre: x 1 = -3 sau x 2 = -1 îndeplinește aceste cerințe? Evident, doar x = −1, deoarece x = −3 nu satisface prima inegalitate (pentru că inegalitatea noastră este strictă). În total, revenind la problema noastră, obținem o rădăcină: x = −1. Gata, problema rezolvata.

Încă o dată, punctele cheie ale acestei sarcini:

1. Simțiți-vă liber să aplicați și să rezolvați ecuații logaritmice folosind forma canonică. Elevii care fac o astfel de înregistrare, și nu trec direct de la problema inițială la o construcție precum log a f ( x ) = b , greșesc mult mai puține decât cei care se grăbesc undeva, sărind peste pașii intermediari de calcul;
2. De îndată ce o bază variabilă apare în logaritm, problema încetează să fie cea mai simplă. Prin urmare, la rezolvarea acesteia, este necesar să se țină cont de domeniul definiției: argumentele trebuie să fie mai mari decât zero, iar bazele nu trebuie să fie doar mai mari decât 0, dar nu trebuie să fie egale cu 1.

Ultimele cerințe le puteți impune răspunsurilor finale în diferite moduri. De exemplu, este posibil să se rezolve un întreg sistem care conține toate cerințele de domeniu. Pe de altă parte, puteți mai întâi să rezolvați problema în sine și apoi să vă amintiți despre domeniul definiției, să o rezolvați separat sub forma unui sistem și să o aplicați la rădăcinile obținute.

Ce modalitate de a alege atunci când rezolvați o anumită ecuație logaritmică depinde de dvs. În orice caz, răspunsul va fi același.